Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Per semplificazione si tratterà la determinazione delle componenti principali con il solo
utilizzo della matrice di varianza-covarianza, specificando le differenze effettive che si
riscontrano nell'utilizzo della matrice di correlazione solo alla fine della trattazione.
′
Dato il vettore x = ( x1, x2, x3,......., xp) di variabili casuali con media nulla61 e matrice di
varianza e covarianza C={ σ ij }, data la matrice A ottenuta dall'accostamento degli
autovettori normalizzati di C, si considera la seguente trasformazione lineare:
z1 = a11x1 + a21x2+ ........... + ap1xp = a'1 x
z2 = a12x1 + a22x2+ ........... + ap2xp = a'2 x
................
z = a x + a x + ........... + a x = a' x
dove z i è la i-esima componente principale.
p 1p 1 2p 2
pp p p
La generica componente principale zi = a'i x avrà:
− valore atteso: Ez ( i) = ai' Ex ( ) = 0
− varianza pari a:
Var( zi) = E[ ( a' x − E( zi))( a' x − E( zi)) ′ ] = E[ ( a' x)( a' x) '] = a'
i=1, 2, ......p, e con E(xx')=C.
E(
xx') a = a' Ca
i i i i i i i icon
La covarianza tra due componenti è data da
Cov z , z = E z ⋅ z = E a' x a' x ' = a' E xx' a =
[ ] ( )
( i j) ( i j)
( )( )
= a'iCa j = a'i λ jaj = λ ja'i
a j = 0 essendo a'i a j = 0
con i≠j , vista l’ortogonalità degli autovettori.
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i j i j
In forma matriciale si avrà z= A′ x con:
− z = ( z1, z2, z3 ,... zp)' vettore delle nuove variabili casuali, le componenti principali;
− A matrice (p x p) ottenuta dall'accostamento degli autovettori normalizzati.
Si definisce forma quadratica associata a T la funzione scalare di a
Q( a) = a'Ta
considerando T matrice simmetrica. Ad esempio nel caso di T(2x2) e di un generico
vettore a di due elementi, la forma quadratica avrà la seguente espressione:
2
2
a' Ta = t11a1+ 2 t12a1a2+ t22a2 e nel caso generale di matrice di ordine n
2
a' Ta = t11a1+ 2t12a1a2+ 2t13a1a3+ ...... + 2t1na1an
2
+ t22a2 + 2t23a2a3+ ...... + 2t2na2an
2
+ t33a3 + ....... + 2t3na3an
...........
2
+ tnnan Si osserva che la varianza di zi = aCa 1′ 1 è una forma quadratica semidefinita positiva.
61 Questa condizione non risulta gravosa perchè, se y ha media E(y), allora x=y-E(y) ha media nulla.