Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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ESEMPIO<br />
Data l'applicazione lineare<br />
⎡ 2 3 ⎤<br />
f ( a) = Ta = ⎢ a<br />
⎣−1<br />
−2<br />
⎥<br />
⎦<br />
si determinano gli autovalori (due). Data l'equazione caratteristica<br />
⎡ − ⎤<br />
det( T− I)<br />
= ⇒ det⎢<br />
⎣ − − −<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
λ<br />
2 λ 3<br />
0<br />
0<br />
1 2 λ<br />
si avrà:<br />
( 2−λ)( −2− λ)<br />
+ 3= 0<br />
2<br />
−4− 2λ+ 2λ+ λ + 3= 0<br />
2<br />
− 4+ λ + 3= 0<br />
2<br />
λ − 1= 0 ⇒ λ = − 1; λ = 1<br />
1 2<br />
L'autovettore a associato a λ1 =− 1 è tale che f(a)=-a mentre l'autovettore associato a λ 2<br />
f(b)=b.<br />
Gli autovettori si ottengono risolvendo il sistema Ta = λ a :<br />
⎧2a1<br />
+ 3a2<br />
= −a1<br />
dato λ1 = − 1 Þ ⎨<br />
da cui<br />
⎩−a1<br />
− 2a2<br />
= −a2<br />
l'autovettore associato è dato da a = − ⎡ 1⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
con k ∈ℜ .<br />
⎣ 1 ⎦<br />
⎧2b1<br />
+ 3b2<br />
= b1<br />
Dato λ 2 = 1 Þ ⎨<br />
da cui b1 =−3b2<br />
⎩−b1<br />
− 2b2<br />
= b2<br />
l'autovettore associato è dato da b = − ⎡ 3⎤<br />
⎢ ⎥h<br />
con h∈ℜ<br />
.<br />
⎣ 1 ⎦<br />
84<br />
a =−a<br />
1 2<br />
= 1 è tale che<br />
Come visto anche dall'esempio, gli autovettori hanno lunghezza arbitraria e quin<strong>di</strong> se a<br />
sod<strong>di</strong>sfa l'equazione Ta =λ a per qualche λ, anche ca risulta una soluzione, per c scalare<br />
arbitrario. E' convenzione utilizzare, tra gli infiniti autovettori generati dall’autovalore<br />
associato, l’autovettore che risponde a:<br />
a'a = 1<br />
ovvero che ha norma unitaria.<br />
Si citano ora, senza <strong>di</strong>mostrarli, alcuni teoremi e proprietà degli autovalori:<br />
− ogni matrice quadrata T <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n ha n autovalori (conseguenza <strong>del</strong> teorema<br />
fondamentale <strong>del</strong>l'algebra);<br />
− λ =0 è un autovalore <strong>di</strong> T se e solo se det(T)=0;<br />
− gli autovalori <strong>di</strong> una matrice <strong>di</strong>agonale sono gli elementi <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>agonale principale;<br />
− se λ è un autovalore <strong>di</strong> T allora 1/λ è un autovalore <strong>del</strong>l'inversa T -1 ;<br />
− λ p è autovalore <strong>di</strong> T p<br />
.<br />
Nel nostro ambito <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o (<strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>) la matrice T è simmetrica<br />
semidefinita positiva essendo la matrice <strong>di</strong> varianze e covarianze (o <strong>del</strong>le correlazioni<br />
lineari) tra ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> n titoli. Per le matrici simmetriche valgono queste ulteriori<br />
proprietà:<br />
− gli autovalori <strong>di</strong> una matrice simmetrica sono reali;<br />
− gli autovettori associati ad autovalori <strong>di</strong>stinti sono ortogonali fra <strong>di</strong> loro (cioè<br />
aa i j = 0) per ogni i≠j; T é quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>agonalizzabile;