Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

ESEMPIO
Data l'applicazione lineare
⎡ 2 3 ⎤
f ( a) = Ta = ⎢ a
⎣−1
−2
⎥
⎦
si determinano gli autovalori (due). Data l'equazione caratteristica
⎡ − ⎤
det( T− I)
= ⇒ det⎢
⎣ − − −
⎥
⎦
=
λ
2 λ 3
0
0
1 2 λ
si avrà:
( 2−λ)( −2− λ)
+ 3= 0
2
−4− 2λ+ 2λ+ λ + 3= 0
2
− 4+ λ + 3= 0
2
λ − 1= 0 ⇒ λ = − 1; λ = 1
1 2
L'autovettore a associato a λ1 =− 1 è tale che f(a)=-a mentre l'autovettore associato a λ 2
f(b)=b.
Gli autovettori si ottengono risolvendo il sistema Ta = λ a :
⎧2a1
+ 3a2
= −a1
dato λ1 = − 1 Þ ⎨
da cui
⎩−a1
− 2a2
= −a2
l'autovettore associato è dato da a = − ⎡ 1⎤
⎢ ⎥k
con k ∈ℜ .
⎣ 1 ⎦
⎧2b1
+ 3b2
= b1
Dato λ 2 = 1 Þ ⎨
da cui b1 =−3b2
⎩−b1
− 2b2
= b2
l'autovettore associato è dato da b = − ⎡ 3⎤
⎢ ⎥h
con h∈ℜ
.
⎣ 1 ⎦
84
a =−a
1 2
= 1 è tale che
Come visto anche dall'esempio, gli autovettori hanno lunghezza arbitraria e quindi se a
soddisfa l'equazione Ta =λ a per qualche λ, anche ca risulta una soluzione, per c scalare
arbitrario. E' convenzione utilizzare, tra gli infiniti autovettori generati dall’autovalore
associato, l’autovettore che risponde a:
a'a = 1
ovvero che ha norma unitaria.
Si citano ora, senza dimostrarli, alcuni teoremi e proprietà degli autovalori:
− ogni matrice quadrata T di ordine n ha n autovalori (conseguenza del teorema
fondamentale dell'algebra);
− λ =0 è un autovalore di T se e solo se det(T)=0;
− gli autovalori di una matrice diagonale sono gli elementi della diagonale principale;
− se λ è un autovalore di T allora 1/λ è un autovalore dell'inversa T -1 ;
− λ p è autovalore di T p
.
Nel nostro ambito di studio (selezione del portafoglio) la matrice T è simmetrica
semidefinita positiva essendo la matrice di varianze e covarianze (o delle correlazioni
lineari) tra rendimenti di n titoli. Per le matrici simmetriche valgono queste ulteriori
proprietà:
− gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali;
− gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali fra di loro (cioè
aa i j = 0) per ogni i≠j; T é quindi diagonalizzabile;