Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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7.2.0. Richiami su autovalori ed autovettori Dovendo descrivere il comportamento di sistemi reali di grandi dimensioni può essere utile ricercare sottoinsiemi di definizione i cui elementi siano trasformati dall'applicazione lineare f in elementi del sottoinsieme stesso; ovvero sottoinsiemi W tali che f( W) ⊂ W . Ricordando che: n m − le applicazioni lineari f :ℜ → ℜ si possono esprimere come 83 n ( ) f ( a) = Ta a ∈ℜ con T(nxm) matrice associata all'applicazione f. Essa è unica data la base scelta per ℜ n e ℜ m ; − dato lo scalare λ l'applicazione f ( a) = λ a trasforma ogni elemento di a in multipli di se stesso. n n Data la matrice quadrata T di ordine n associata a f :ℜ → ℜ , lo scalare λ ed il vettore a ∈ℜ n con a ≠ 0 , che soddisfano l'equazione Ta = λ a sono detti rispettivamente λ autovalore ed a autovettore (associato all'autovalore λ) della matrice T. Il calcolo degli autovalori della matrice T segue dalla definizione. Infatti dato Ta = λ a si ricava il sistema omogeneo che si può scrivere come con I matrice identità in ℜ n . Ta − λa = 0 ( T− λI) a = 0 Supponendo λ noto si ricercano i vettori a soluzione del sistema omogeneo ( T− λI) a = 0 che ha n equazioni ed n incognite. Affinchè il sistema abbia soluzione non banale (a≠0) dovrà essere det( T− λI) = 0 Il primo membro dell'equazione è un polinomio in λ di grado n detto polinomio caratteristico della matrice T. L'equazione è detta equazione caratteristica. Le sue n radici sono gli autovalori della matrice T. Per il Teorema Fondamentale dell'algebra ogni polinomio di grado n ha n radici complesse. Per ogni autovalore (si possono avere anche autovalori uguali) esiste un autovettore a che soddisfa l'equazione Ta = λ a
ESEMPIO Data l'applicazione lineare ⎡ 2 3 ⎤ f ( a) = Ta = ⎢ a ⎣−1 −2 ⎥ ⎦ si determinano gli autovalori (due). Data l'equazione caratteristica ⎡ − ⎤ det( T− I) = ⇒ det⎢ ⎣ − − − ⎥ ⎦ = λ 2 λ 3 0 0 1 2 λ si avrà: ( 2−λ)( −2− λ) + 3= 0 2 −4− 2λ+ 2λ+ λ + 3= 0 2 − 4+ λ + 3= 0 2 λ − 1= 0 ⇒ λ = − 1; λ = 1 1 2 L'autovettore a associato a λ1 =− 1 è tale che f(a)=-a mentre l'autovettore associato a λ 2 f(b)=b. Gli autovettori si ottengono risolvendo il sistema Ta = λ a : ⎧2a1 + 3a2 = −a1 dato λ1 = − 1 Þ ⎨ da cui ⎩−a1 − 2a2 = −a2 l'autovettore associato è dato da a = − ⎡ 1⎤ ⎢ ⎥k con k ∈ℜ . ⎣ 1 ⎦ ⎧2b1 + 3b2 = b1 Dato λ 2 = 1 Þ ⎨ da cui b1 =−3b2 ⎩−b1 − 2b2 = b2 l'autovettore associato è dato da b = − ⎡ 3⎤ ⎢ ⎥h con h∈ℜ . ⎣ 1 ⎦ 84 a =−a 1 2 = 1 è tale che Come visto anche dall'esempio, gli autovettori hanno lunghezza arbitraria e quindi se a soddisfa l'equazione Ta =λ a per qualche λ, anche ca risulta una soluzione, per c scalare arbitrario. E' convenzione utilizzare, tra gli infiniti autovettori generati dall’autovalore associato, l’autovettore che risponde a: a'a = 1 ovvero che ha norma unitaria. Si citano ora, senza dimostrarli, alcuni teoremi e proprietà degli autovalori: − ogni matrice quadrata T di ordine n ha n autovalori (conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra); − λ =0 è un autovalore di T se e solo se det(T)=0; − gli autovalori di una matrice diagonale sono gli elementi della diagonale principale; − se λ è un autovalore di T allora 1/λ è un autovalore dell'inversa T -1 ; − λ p è autovalore di T p . Nel nostro ambito di studio (selezione del portafoglio) la matrice T è simmetrica semidefinita positiva essendo la matrice di varianze e covarianze (o delle correlazioni lineari) tra rendimenti di n titoli. Per le matrici simmetriche valgono queste ulteriori proprietà: − gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali; − gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali fra di loro (cioè aa i j = 0) per ogni i≠j; T é quindi diagonalizzabile;
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA D
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