Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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− la covarianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo con quello <strong>del</strong> titolo j-esimo,<br />
considerando che tutti i termini incrociati sono nulli per ipotesi, è:<br />
σ = E R − R R − R =<br />
[ ( )( ) ]<br />
{ [ ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK K i) ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK<br />
K)<br />
]<br />
( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK uj) ( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK) ij i i j j<br />
= E + I + I + + I + u − + I + I + + I ⋅<br />
[ ]}<br />
⋅ + + + + + − + + + + =<br />
K<br />
K<br />
⎧⎡<br />
⎤⎡<br />
⎤⎫<br />
= E⎨⎢∑βik ( Ik− Ik) + ui⎥⎢∑β jk( Ik − Ik) + uj⎥⎬=<br />
⎩⎣<br />
k=<br />
1 ⎦⎣<br />
k=<br />
1<br />
⎦⎭<br />
2<br />
= ββ σ + ββ<br />
2<br />
σ + .......... + β β<br />
2<br />
σ<br />
i1 j1 I1 i2 j2 I2 iK jK IK<br />
Si è verificato che i mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci operano meglio dei mo<strong>del</strong>li ad un solo in<strong>di</strong>ce nel<br />
riprodurre la matrice storica <strong>del</strong>le correlazioni, ma non sempre migliorano la capacità<br />
previsiva degli stessi. Quest'ultima migliora se si procede ad una classificazione dei titoli<br />
per pseudo-industrie o comunque per raggruppamenti omogenei 58.<br />
Tali raggruppamenti equivalgono alla trasformazione <strong>del</strong> sistema iniziale dei ren<strong>di</strong>menti,<br />
che spesso nella realtà sono altamente correlati, in un sistema semplificato, composto da un<br />
numero inferiore <strong>di</strong> nuove variabili fra <strong>di</strong> loro in<strong>di</strong>pendenti che esprimano la maggior parte<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità iniziale <strong>del</strong> sistema. Si desidera quin<strong>di</strong> trovare un insieme <strong>di</strong> nuove<br />
variabili che riassumano l'insieme <strong>del</strong>le informazioni dei ren<strong>di</strong>menti osservati. La tecnica<br />
per determinare queste nuove variabili è detta tecnica <strong>del</strong>le componenti principali (PCA),<br />
che, applicata alla matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze o <strong>del</strong>le correlazioni fra ren<strong>di</strong>menti,<br />
spiega l'analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei ren<strong>di</strong>menti con uno o più componenti, in<strong>di</strong>ci, fattori,<br />
ortogonali 59.<br />
Prima <strong>di</strong> procedere all'esposizione <strong><strong>del</strong>la</strong> tecnica <strong>del</strong>le componenti principali è utile aprire<br />
una parentesi per richiamare come si calcolano gli autovalori e gli autovettori <strong>di</strong> una<br />
matrice.<br />
58 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit., pag. 147.<br />
59 LEBART L., MORINEAU A., WARWICK K.M., Multivariate Descriptive Statistical Analysis, Wiley, N.Y.,<br />
1984.<br />
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