Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

− la covarianza del rendimento del titolo i-esimo con quello del titolo j-esimo,
considerando che tutti i termini incrociati sono nulli per ipotesi, è:
σ = E R − R R − R =
[ ( )( ) ]
{ [ ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK K i) ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK
K)
]
( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK uj) ( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK) ij i i j j
= E + I + I + + I + u − + I + I + + I ⋅
[ ]}
⋅ + + + + + − + + + + =
K
K
⎧⎡
⎤⎡
⎤⎫
= E⎨⎢∑βik ( Ik− Ik) + ui⎥⎢∑β jk( Ik − Ik) + uj⎥⎬=
⎩⎣
k=
1 ⎦⎣
k=
1
⎦⎭
2
= ββ σ + ββ
2
σ + .......... + β β
2
σ
i1 j1 I1 i2 j2 I2 iK jK IK
Si è verificato che i modelli a più indici operano meglio dei modelli ad un solo indice nel
riprodurre la matrice storica delle correlazioni, ma non sempre migliorano la capacità
previsiva degli stessi. Quest'ultima migliora se si procede ad una classificazione dei titoli
per pseudo-industrie o comunque per raggruppamenti omogenei 58.
Tali raggruppamenti equivalgono alla trasformazione del sistema iniziale dei rendimenti,
che spesso nella realtà sono altamente correlati, in un sistema semplificato, composto da un
numero inferiore di nuove variabili fra di loro indipendenti che esprimano la maggior parte
della variabilità iniziale del sistema. Si desidera quindi trovare un insieme di nuove
variabili che riassumano l'insieme delle informazioni dei rendimenti osservati. La tecnica
per determinare queste nuove variabili è detta tecnica delle componenti principali (PCA),
che, applicata alla matrice delle varianze-covarianze o delle correlazioni fra rendimenti,
spiega l'analisi della variabilità dei rendimenti con uno o più componenti, indici, fattori,
ortogonali 59.
Prima di procedere all'esposizione della tecnica delle componenti principali è utile aprire
una parentesi per richiamare come si calcolano gli autovalori e gli autovettori di una
matrice.
58 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit., pag. 147.
59 LEBART L., MORINEAU A., WARWICK K.M., Multivariate Descriptive Statistical Analysis, Wiley, N.Y.,
1984.
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