Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Si sostituiscono tali risultati nell'equazione del rendimento
* * * *
Ri = αi + βi1I1+ βi2( γ0+ γ1I1
+ I2) + ui
=
* * * *
= α + β I + β γ
*
+ β γ I
*
+ β I + u =
i i1 1 i2 0 i2 1 1 i2 2 i
( ) ( )
=
* *
αi + βi2γ0 +
* *
βi1 + βi2γ1 *
I1 + βi2I2
+ ui
e si ottiene un’equazione con variabili esplicative ortogonali.
Posto poi:
* *
αi + βi2γ 0 = αi
, valore costante;
* *
β + β γ = β , l'effetto delle variazioni di I1 sul rendimento del titolo i-esimo.
i1 i2 1 i1
*
In esso sono compresi sia l'effetto di I1 (β i1 ), sia l'effetto indiretto attraverso I2
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* *
(β γ );
*
βi2 = βi2
, l'effetto della differenza dell'indice I2 dalla sua relazione prevista con I2 *
di stima I2 con I2 ) sul rendimento del titolo i-esimo;
l'equazione del rendimento del titolo i-esimo diventa:
Ri = α i + β i1I1 + β i2I2 + ui
Supponendo di applicare questo procedimento all'equazione generale si ottiene
Ri = αi + βi1I1 + βi2 I2+ ..... + βiKIK
+ ui
dove I j sono variabili esplicative non correlate con:
[ ]
( j) j; ( j) σ Ij; ( j j)( m m)
2
i2 1
*
(errore
EI = I VarI= E I − I I − I = 0 ∀j≠ m.
Viene ovviamente mantenuta anche l'ipotesi di indipendenza tra le variabili esplicative ed i
residui ui , cioè:
E I − I , u = 0
[ ( j j) i]
affinchè il valore effettivo assunto dalla variabile esplicativa non distorca la stima di Ri .
La semplificazione del modello è dovuta soprattutto all'ipotesi di indipendenza dei residui,
cioè Euu [ i j ] = 0 . Essa permette di escludere altri fattori quali cause della variabilità dei
rendimenti dei titoli oltre gli indici previsti, che sono in numero di K.
Considerando queste ipotesi si ottiene:
− il rendimento atteso di un titolo
ER ( i) = E( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK
+ ui)
=
= E( αi) + E( βi1I1) + E( βi2I2) + ... + E( βiKIK)
+ E( ui)
=
= αi + βi1I1+ βi2I2+ ... + βiKIK
− la varianza del rendimento di un titolo (considerando che tutti i termini incrociati sono
pari a zero) è
2
σi = E[ ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK 2
+ ui) − ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK)
]
2
⎡ K
⎤ K
2
2
2
= E⎢∑βij ( I j − I j ) + ui⎥ = ∑βij
E( I j − I j ) + σui
⎣ j=
1
⎦ j=
1
=
2 2
=
βσ
2 2
+ βσ
2 2
+ .... + β σ
2
+ σ
i1I1 i2I2 iK IK ui