Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Si sostituiscono tali risultati nell'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
* * * *<br />
Ri = αi + βi1I1+ βi2( γ0+ γ1I1<br />
+ I2) + ui<br />
=<br />
* * * *<br />
= α + β I + β γ<br />
*<br />
+ β γ I<br />
*<br />
+ β I + u =<br />
i i1 1 i2 0 i2 1 1 i2 2 i<br />
( ) ( )<br />
=<br />
* *<br />
αi + βi2γ0 +<br />
* *<br />
βi1 + βi2γ1 *<br />
I1 + βi2I2<br />
+ ui<br />
e si ottiene un’equazione con variabili esplicative ortogonali.<br />
Posto poi:<br />
* *<br />
αi + βi2γ 0 = αi<br />
, valore costante;<br />
* *<br />
β + β γ = β , l'effetto <strong>del</strong>le variazioni <strong>di</strong> I1 sul ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo.<br />
i1 i2 1 i1<br />
*<br />
In esso sono compresi sia l'effetto <strong>di</strong> I1 (β i1 ), sia l'effetto in<strong>di</strong>retto attraverso I2<br />
81<br />
* *<br />
(β γ );<br />
*<br />
βi2 = βi2<br />
, l'effetto <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>fferenza <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce I2 dalla sua relazione prevista con I2 *<br />
<strong>di</strong> stima I2 con I2 ) sul ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo;<br />
l'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo <strong>di</strong>venta:<br />
Ri = α i + β i1I1 + β i2I2 + ui<br />
Supponendo <strong>di</strong> applicare questo proce<strong>di</strong>mento all'equazione generale si ottiene<br />
Ri = αi + βi1I1 + βi2 I2+ ..... + βiKIK<br />
+ ui<br />
dove I j sono variabili esplicative non correlate con:<br />
[ ]<br />
( j) j; ( j) σ Ij; ( j j)( m m)<br />
2<br />
i2 1<br />
*<br />
(errore<br />
EI = I VarI= E I − I I − I = 0 ∀j≠ m.<br />
Viene ovviamente mantenuta anche l'ipotesi <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza tra le variabili esplicative ed i<br />
residui ui , cioè:<br />
E I − I , u = 0<br />
[ ( j j) i]<br />
affinchè il valore effettivo assunto dalla variabile esplicativa non <strong>di</strong>storca la stima <strong>di</strong> Ri .<br />
La semplificazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo è dovuta soprattutto all'ipotesi <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza dei residui,<br />
cioè Euu [ i j ] = 0 . Essa permette <strong>di</strong> escludere altri fattori quali cause <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti dei titoli oltre gli in<strong>di</strong>ci previsti, che sono in numero <strong>di</strong> K.<br />
Considerando queste ipotesi si ottiene:<br />
− il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un titolo<br />
ER ( i) = E( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK<br />
+ ui)<br />
=<br />
= E( αi) + E( βi1I1) + E( βi2I2) + ... + E( βiKIK)<br />
+ E( ui)<br />
=<br />
= αi + βi1I1+ βi2I2+ ... + βiKIK<br />
− la varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo (considerando che tutti i termini incrociati sono<br />
pari a zero) è<br />
2<br />
σi = E[ ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK 2<br />
+ ui) − ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK)<br />
]<br />
2<br />
⎡ K<br />
⎤ K<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= E⎢∑βij ( I j − I j ) + ui⎥ = ∑βij<br />
E( I j − I j ) + σui<br />
⎣ j=<br />
1<br />
⎦ j=<br />
1<br />
=<br />
2 2<br />
=<br />
βσ<br />
2 2<br />
+ βσ<br />
2 2<br />
+ .... + β σ<br />
2<br />
+ σ<br />
i1I1 i2I2 iK IK ui