Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO
MODELLI A PIU’ INDICI
I modelli unifattoriali valutabili con quanto esposto nel capitolo 6 si basano sull'ipotesi che
i rendimenti dei titoli considerati siano funzione del rendimento di un unico indice di base,
che in genere è un indice di mercato. Tale ipotesi è assai forte ovvero è da tempo chiaro
che i rendimenti dei titoli non possono essere mossi da un solo “basic underlying factor”,
ma risentono di molti fattori, spesso di difficile rilevazione diretta.
Considerando il modello unifattoriale come caso particolare, si può generalizzare questa
ipotesi introducendo più variabili esplicative dell'andamento dei rendimenti dei titoli, più
indici di riferimento. Si parla in questo caso di modelli multifattoriali.
7.1. Modelli a più indici
Lo scopo di questi modelli è di spiegare meglio dei modelli unifattoriali la variabilità dei
rendimenti pur mantenendo basso il numero di informazioni necessarie all'analisi, numero
che deve essere inferiore a quello del modello generale di Markowitz56 e, possibilmente, di
ordine n.
In questi modelli il rendimento del titolo i-esimo si esprime come combinazione lineare del
valore degli indici scelti:
* * * * * * *
Ri = α i + β i1I1+ β i2I2 + ....... + β iKIK+ ui
dove:
∗ ∗
, βij parametri;
αi ui variabile erratica costante (differenza tra valore del rendimento e rendimento
2
previsto) con E(ui)=0 e V(ui)=σ . Questo valore rappresenta la misura del rischio
ui
associato all'i-esimo titolo che non dipende dalla relazione del titolo stesso con gli indici;
∗
I j variabili esplicative, j=1, 2, ..., k.
Nell'analisi multivariata non si può prescindere dal considerare la possibilità di
correlazione tra le variabili, gli indici. Operativamente ciò disturba57 sia la stima dei
parametri sia la loro gestione e si rende necessario ortogonalizzare (rendere indipendenti)
le variabili del sistema.
Se, ad esempio, si considera un modello bifattoriale (si usano due soli indici) si può
esprimere il rendimento di un titolo come:
* * * * *
R = α + β I + β I + u
*
dove gli indici I1 e I2
dall'effetto dell'altra.
i i i1 1 i2 2 i
* sono linearmente dipendenti; bisogna quindi depurare una variabile
Posto I1 I1
utilizzando la tecnica della regressione si ottiene
*
I = γ + γ I + di * = (dove la mancanza dell'asterisco indica d'ora in poi la variabile ortogonale) e
2 0 1 1
*
Si chiama I2 un nuovo indice ottenuto depurando I2 dall'effetto di I1 ossia
( γ γ )
*
I2 = I2− 0 + 1I1 = di 56 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit.
57 Si considerino le problematiche circa la correttezza, l'efficienza, la consistenza delle stime nella statistica
inferente e nell'econometria.
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