Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

6.1.4. La valutazione delle soluzioni efficienti
Il modello da ottimizzare è ora dato da:
⎧
n+
1
n+
1
2
2
⎪min
Z5
=− µ RP + σ P =− µ ∑xiαi + ∑x
Q
x
i=
1
i=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n
⎨ ∑xiβi
= xn+
1 = βP
⎪ i=
1
⎪ n
⎪∑
x i − 1= 0
i=
1
⎪
⎩x
≥ 0
i
La matrice delle varianze-covarianze da trattare è Q
⎡Q1
. .
⎢
. Q
⎢ 2
⎢ . ....
Q = ⎢
⎢ 0
⎢ 0 0
⎢
⎣ 0 0 0
76
0 0 0 ⎤
0 0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
Qi
.
⎥
.... . ⎥
⎥
. . Qn+
1⎦
di dimensione (n+1)(n+1), ma con solo (n+1) elementi diagonali non nulli e zero altrove,
quindi facile da trattare per valutare le soluzioni che interessano (gran parte degli sforzi dei
“matematici” è devoluto alla diagonalizzazione delle matrici proprio al fine di trovare poi a
costo molto basso le soluzioni al sistema in studio).
Consideriamo tutti i parametri da inserire nel modello. Essi sono ora 3n+2: n+1 per
gliα i, n per i β i , n per i Q i , nonché Q n+1 . La soluzione al modello è data utilizzando i
metodi esposti nel cap.3.
La proposta di Sharpe porta anche alla attribuzione di un preciso significato economico
alla trasformazione lineare delle variabili. Interessante è sopratutto x n+1 che esprime il
legame sistematico del rendimento del portafoglio alla variabile esterna di riferimento.
Tale grandezza è utile per valutare la sensibilità, il rischio sistematico che il portafoglio del
decisore ha con l'economia, la congiuntura di cui I , indice di base, benchmark, è la sintesi.
Volendo far risaltare questo concetto si ponga:
il modello si può quindi riscrivere come:
α n+ 1 , n+
1
= A x = B
i i