Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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6.1.4. La valutazione <strong>del</strong>le soluzioni efficienti<br />
Il mo<strong>del</strong>lo da ottimizzare è ora dato da:<br />
⎧<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎪min<br />
Z5<br />
=− µ RP + σ P =− µ ∑xiαi + ∑x<br />
Q<br />
x<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎨ ∑xiβi<br />
= xn+<br />
1 = βP<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
⎪∑<br />
x i − 1= 0<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩x<br />
≥ 0<br />
i<br />
La matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze da trattare è Q<br />
⎡Q1<br />
. .<br />
⎢<br />
. Q<br />
⎢ 2<br />
⎢ . ....<br />
Q = ⎢<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0 0<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 0<br />
76<br />
0 0 0 ⎤<br />
0 0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
Qi<br />
.<br />
⎥<br />
.... . ⎥<br />
⎥<br />
. . Qn+<br />
1⎦<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione (n+1)(n+1), ma con solo (n+1) elementi <strong>di</strong>agonali non nulli e zero altrove,<br />
quin<strong>di</strong> facile da trattare per valutare le soluzioni che interessano (gran parte degli sforzi dei<br />
“matematici” è devoluto alla <strong>di</strong>agonalizzazione <strong>del</strong>le matrici proprio al fine <strong>di</strong> trovare poi a<br />
costo molto basso le soluzioni al sistema in stu<strong>di</strong>o).<br />
Consideriamo tutti i parametri da inserire nel mo<strong>del</strong>lo. Essi sono ora 3n+2: n+1 per<br />
gliα i, n per i β i , n per i Q i , nonché Q n+1 . La soluzione al mo<strong>del</strong>lo è data utilizzando i<br />
meto<strong>di</strong> esposti nel cap.3.<br />
La proposta <strong>di</strong> Sharpe porta anche alla attribuzione <strong>di</strong> un preciso significato economico<br />
alla trasformazione lineare <strong>del</strong>le variabili. Interessante è sopratutto x n+1 che esprime il<br />
legame sistematico <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> alla variabile esterna <strong>di</strong> riferimento.<br />
Tale grandezza è utile per valutare la sensibilità, il rischio sistematico che il <strong>portafoglio</strong> <strong>del</strong><br />
decisore ha con l'economia, la congiuntura <strong>di</strong> cui I , in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> base, benchmark, è la sintesi.<br />
Volendo far risaltare questo concetto si ponga:<br />
il mo<strong>del</strong>lo si può quin<strong>di</strong> riscrivere come:<br />
α n+ 1 , n+<br />
1<br />
= A x = B<br />
i i