Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> avrà valore atteso<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
⎛<br />
⎞<br />
RP = E⎜∑xi( αi + εi) ⎟ = ∑xα<br />
⎝<br />
⎠<br />
i=<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
dato che E⎜∑xiεi⎟ = ∑xiE(<br />
εi)<br />
= 0<br />
⎝ ⎠<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
L'equazione evidenzia che il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è dato dalla me<strong>di</strong>a<br />
aritmetica ponderata degli α i, compreso quello <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce.<br />
La varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è<br />
74<br />
i=<br />
1<br />
i i<br />
2<br />
⎡<br />
σP = ERP − RP = E xi αi + εi − x α<br />
⎣ i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
( ) ⎢∑<br />
( ) ∑ i( i)<br />
2<br />
n 1<br />
n 1<br />
n 1<br />
n 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
= E xiεi E( xiεi ) xi E( εi<br />
) x Q<br />
i 1<br />
i 1<br />
i 1<br />
i 1<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
⎤<br />
⎢∑<br />
⎥ = ∑ = ∑ = ∑<br />
⎣ = ⎦ =<br />
=<br />
=<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
Ora dovrebbe essere chiaro il motivo per cui Sharpe ha scelto <strong>di</strong> definire che l’in<strong>di</strong>ce<br />
scelto I abbia valore atteso α n+1 e varianza Q n+1 .<br />
6.1.3 La valutazione <strong>del</strong> rischio al crescere <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business in<br />
<strong>portafoglio</strong> o azienda<br />
Se si ipotizza un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> n titoli equiripartito con:<br />
la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è data da:<br />
che al <strong>di</strong>vergere <strong>di</strong> n:<br />
x<br />
x<br />
i<br />
1<br />
= con i= 12 ,,..., n<br />
n<br />
= β<br />
n+ 1 P<br />
2 2 2<br />
2<br />
σ = 1 n Q + x Q = 1 n 1 nQ + β Q<br />
P<br />
n<br />
∑ i n+ 1 n+<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
2<br />
= 1 nQ + β Q<br />
i P n+<br />
1<br />
( 1)<br />
2<br />
i i<br />
i P n+<br />
1<br />
2 2<br />
2<br />
lim σ = lim 1 nQ + β Q = β Q .<br />
P<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
i P n+ P n+<br />
1