Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Il rendimento di portafoglio avrà valore atteso
n+
1
n+
1
⎛
⎞
RP = E⎜∑xi( αi + εi) ⎟ = ∑xα
⎝
⎠
i=
1
n+
1
n+
1
⎛ ⎞
dato che E⎜∑xiεi⎟ = ∑xiE(
εi)
= 0
⎝ ⎠
i=
1
i=
1
L'equazione evidenzia che il rendimento atteso di portafoglio è dato dalla media
aritmetica ponderata degli α i, compreso quello dell'indice.
La varianza di portafoglio è
74
i=
1
i i
2
⎡
σP = ERP − RP = E xi αi + εi − x α
⎣ i=
1
i=
1
n+
1
n+
1
2
( ) ⎢∑
( ) ∑ i( i)
2
n 1
n 1
n 1
n 1
2 2
2 2
= E xiεi E( xiεi ) xi E( εi
) x Q
i 1
i 1
i 1
i 1
⎡
+
+
+
+
⎤
⎢∑
⎥ = ∑ = ∑ = ∑
⎣ = ⎦ =
=
=
2
⎤
⎥
⎦
=
Ora dovrebbe essere chiaro il motivo per cui Sharpe ha scelto di definire che l’indice
scelto I abbia valore atteso α n+1 e varianza Q n+1 .
6.1.3 La valutazione del rischio al crescere del numero di titoli o business in
portafoglio o azienda
Se si ipotizza un portafoglio di n titoli equiripartito con:
la varianza di portafoglio è data da:
che al divergere di n:
x
x
i
1
= con i= 12 ,,..., n
n
= β
n+ 1 P
2 2 2
2
σ = 1 n Q + x Q = 1 n 1 nQ + β Q
P
n
∑ i n+ 1 n+
1
n
∑
i=
1
i=
1
2
= 1 nQ + β Q
i P n+
1
( 1)
2
i i
i P n+
1
2 2
2
lim σ = lim 1 nQ + β Q = β Q .
P
n→∞
n→∞
i P n+ P n+
1