Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

[ (
( )
2
+ 1)
]
[
2 [ (
(
+ 1)
] [ (
2
+ 1)
]
2
) ]
[ ( + 1)
]
[ ( + 1 + 1
2
+ 1)
] 2 [ ( + 1 + 1 + 1)
] [ (
2
) ]
[ (
2
+ 1)
] [ (
2
) ] 2
+ 1
2
[ ] ( )
2
σ = ER− ER = E α + β I+ ε − α + βα = Eβ I−
α + ε =
i i i i i i i i n i n i
2
= β E I − α + β E ε I − α + E ε =
i n i i n i
2
= β E α + ε − α + β E ε α + ε − α + E ε =
i n n n i i n n n i
2
= β E ε + E ε = β Q + Q
i n i i n i
La covarianza del rendimento del titolo i con il titolo j è data da:
σ = E R − R R − R =
[ ( )( ) ]
[ ( )
] ( )
[ ( ) ][ ( ) ]
2 [ ββ i jεn+ 1 εε i j βε i n+ 1εj βjεn+ 1εi]
ij i i i j
{ αi βi εi ( αi βiαn+ 1) [ α j β j ε j ( α j β jαn+ 1)
] }
{ βi αn+ 1 εi β j αn+ 1 ε j } { [ βiεn+ 1 εi][ β jεn+ 1 ε j]
}
= E + I + − + + I + − + =
= E I − + I − + = E + + =
= E + + + =
= ββ Q + Q + βQ + β Q = ββ Q
i j n+ 1 ij i j, n+ 1 j i, n+ 1 i j n+1
6.1.2 Rendimento e rischio di portafogli fattibili con n titoli a rendimento aleatorio
Secondo il modello diagonale, il rendimento di portafoglio R x R
di portafoglio investita nell'i-esimo titolo, é dato da:
n
73
( α β ε )
R = x R = x + I +
P i i
i=
1 i=
1
n
∑ ∑
che può essere scomposto nel seguente modo:
n
i i i i
∑ ( α ε ) ∑ iβi( αn+ 1 εn+
1)
R = x + + x +
P i i i
i=
1
n
i=
1
n
P = ∑ i i
i=
1
2
, con x i quota
ipotizzando quindi che il rendimento di portafoglio sia dato dal rendimento di base,
caratteristico di ogni titolo, e, un ipotetico "investimento" nell'indice.
Al variare di I il rendimento di portafoglio varierà della quantità xiβi , che è la media
ponderata dei β i dei titoli in portafoglio, e che viene definito come
n
∑
x = xβ
= β
n+ 1
i i
i=
1
Il rendimento di portafoglio si può quindi esprimere come:
n
P
n
∑
i=
1
∑ ( α ε ) n+ 1( αn+ 1 εn+ 1)
∑ i( αi εi)
R = x + + x + = x +
P i i i
i=
1
avendo tenuto conto della formulazione di I.
n+
1
i=
1