Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Fig. 30 si illustrano le relazioni viste sinora. Gli αi e βi identificano la retta che lega i<br />
ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong> titolo i-esimo ai ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce I.<br />
Fig. 30: Relazione tra la variazione <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato e il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo<br />
titolo, con specificazione <strong>del</strong>l'andamento gaussiano <strong><strong>del</strong>la</strong> componente erratica e<br />
<strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato.<br />
Sharpe assume inoltre che:<br />
Cov( ε , ε ) = E ε − E( ε ) ε − E( ε ) = E ε −0 ε − 0 = E ε , ε = Q = 0<br />
[ ( )( ) ] [ ( )( ) ] ( )<br />
+ 1 + 1 [ + 1 + 1 + 1 ] ( + 1)<br />
i j i i j j i j i j ij<br />
( ) ( ) ( )( )<br />
Cov ε , I = Cov ε , α + ε = E ε − 0 α + ε − α = E ε , ε = 0<br />
i i n n i n n n i n<br />
La prima con<strong>di</strong>zione sostiene l'in<strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> ciascuna <strong>del</strong>le n variabili casuali ε i dalle<br />
altre n-1. Quin<strong>di</strong>, solo l'in<strong>di</strong>ce, e niente altro, muove i ren<strong>di</strong>menti dei titoli. La seconda<br />
impone in<strong>di</strong>pendenza tra gli n ε i ed I e quin<strong>di</strong> che gli errori valutati sul titolo i-esimo siano<br />
in<strong>di</strong>pendenti da quelli valutati sull'in<strong>di</strong>ce.<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong>l'i-esimo titolo è<br />
ER ( i) = E( αi + βiI+ εi) = E( αi) + E( βiI) + E( εi) = αi + βiEI ( ) = αi + βα i n+<br />
1<br />
La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento 54 <strong>del</strong>lo stesso titolo risulta pari a<br />
54Si premette che la varianza <strong>di</strong> una variabile può essere espressa anche come <strong>di</strong>fferenza tra valore atteso <strong>del</strong><br />
2<br />
quadrato <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile e il quadrato <strong>del</strong> valore atteso: V( ε ) = E ( ε ) −<br />
2<br />
E(<br />
ε )<br />
72<br />
i i i