Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Fig. 30 si illustrano le relazioni viste sinora. Gli αi e βi identificano la retta che lega i
rendimenti del titolo i-esimo ai rendimenti dell'indice I.
Fig. 30: Relazione tra la variazione dell’indice di mercato e il rendimento dell'i-esimo
titolo, con specificazione dell'andamento gaussiano della componente erratica e
dell'indice di mercato.
Sharpe assume inoltre che:
Cov( ε , ε ) = E ε − E( ε ) ε − E( ε ) = E ε −0 ε − 0 = E ε , ε = Q = 0
[ ( )( ) ] [ ( )( ) ] ( )
+ 1 + 1 [ + 1 + 1 + 1 ] ( + 1)
i j i i j j i j i j ij
( ) ( ) ( )( )
Cov ε , I = Cov ε , α + ε = E ε − 0 α + ε − α = E ε , ε = 0
i i n n i n n n i n
La prima condizione sostiene l'indipendenza di ciascuna delle n variabili casuali ε i dalle
altre n-1. Quindi, solo l'indice, e niente altro, muove i rendimenti dei titoli. La seconda
impone indipendenza tra gli n ε i ed I e quindi che gli errori valutati sul titolo i-esimo siano
indipendenti da quelli valutati sull'indice.
Il rendimento atteso dell'i-esimo titolo è
ER ( i) = E( αi + βiI+ εi) = E( αi) + E( βiI) + E( εi) = αi + βiEI ( ) = αi + βα i n+
1
La varianza del rendimento 54 dello stesso titolo risulta pari a
54Si premette che la varianza di una variabile può essere espressa anche come differenza tra valore atteso del
2
quadrato della variabile e il quadrato del valore atteso: V( ε ) = E ( ε ) −
2
E(
ε )
72
i i i