Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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6<br />
MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO<br />
IL MODELLO DIAGONALE DI SHARPE<br />
Per informare il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> proposto da Markowitz, finora<br />
utilizzato, si deve <strong>di</strong>sporre, nel caso <strong>di</strong> n titoli, <strong>di</strong> 2n+n(n-1)/2 parametri <strong>di</strong> cui:<br />
n ren<strong>di</strong>menti attesi;<br />
n varianze;<br />
n(n-1)/2 , con i≠j coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare ρ ij o covarianze.<br />
È evidente l'elevato costo <strong>del</strong>le attività <strong>di</strong> informazione (<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n 2 ) per fornire i<br />
parametri al mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Markowitz.<br />
Questo è uno dei motivi che hanno favorito la ricerca <strong>di</strong> semplificazioni <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo<br />
stesso. Tra i mo<strong>del</strong>li semplificati proposti verranno analizzati in seguito il mo<strong>del</strong>lo<br />
<strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe e mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci.<br />
6.1 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe<br />
Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe 53 assume che i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business siano<br />
influenzati solo e soltanto da un unico fattore. In pratica Sharpe propone <strong>di</strong> calcolare il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo attraverso una funzione lineare in cui la variabile esogena è data<br />
dall’andamento, variazione, ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un basic underlying factor (trattando azioni,<br />
l'in<strong>di</strong>ce potrebbe essere quello <strong>del</strong> mercato azionario).<br />
6.1.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> un titolo<br />
Sharpe ha ipotizzato che il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, con i = 1, 2, 3,...,n, sia dato<br />
da:<br />
Ri = αi + βiI + εi<br />
con:<br />
αi, βi parametri;<br />
componente erratica (unica) <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento con <strong>di</strong>stribuzione Gaussiana e con<br />
ε i<br />
valore atteso ( ε ) = 0 e varianza ( )<br />
E i<br />
Var ε = Q . La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
71<br />
i i<br />
dei titoli è supposta costante lungo tutta la retta.;<br />
I variazione <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato scelto come rappresentativo <strong>del</strong>l'andamento<br />
dei titoli.<br />
Il valore <strong>di</strong> I viene definito da un parametro fissato e da una variabile aleatoria:<br />
I = α n+ 1 + ε n+<br />
1<br />
αn+1 parametro;<br />
εn+1 componente erratica con E( ε n+<br />
1) = 0 e Var( ε n+ 1) = Qn+ 1 = Var( I)<br />
Infatti Var( I) = Var( αn+ 1 + εn+ 1) = Var( αn+ 1) + Var( εn+ 1) + 2Cov(<br />
αn+ 1, εn+<br />
1)<br />
; il primo ed<br />
il terzo addendo sono nulli in quanto (ve<strong>di</strong> sopra) αn+1 é una costante.<br />
Le informazioni necessare all'applicazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale sono quin<strong>di</strong> i parametri<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> retta αi e βi, la varianza Qi <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento dei titoli, il valore atteso <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce<br />
E(I)=α n+1 e la varianza Qn+1 <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce scelto come base <strong>di</strong> riferimento dal decisore. In<br />
53 SHARPE W.F., "Simplifed Mo<strong>del</strong> for Portfolio Analysis", Management Science, Jan.1963.