Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO
IL MODELLO DIAGONALE DI SHARPE
Per informare il modello di selezione del portafoglio proposto da Markowitz, finora
utilizzato, si deve disporre, nel caso di n titoli, di 2n+n(n-1)/2 parametri di cui:
n rendimenti attesi;
n varianze;
n(n-1)/2 , con i≠j coefficienti di correlazione lineare ρ ij o covarianze.
È evidente l'elevato costo delle attività di informazione (di ordine n 2 ) per fornire i
parametri al modello di Markowitz.
Questo è uno dei motivi che hanno favorito la ricerca di semplificazioni del modello
stesso. Tra i modelli semplificati proposti verranno analizzati in seguito il modello
diagonale di Sharpe e modelli a più indici.
6.1 Il modello diagonale di Sharpe
Il modello diagonale di Sharpe 53 assume che i rendimenti dei titoli o business siano
influenzati solo e soltanto da un unico fattore. In pratica Sharpe propone di calcolare il
rendimento di un titolo attraverso una funzione lineare in cui la variabile esogena è data
dall’andamento, variazione, rendimento di un basic underlying factor (trattando azioni,
l'indice potrebbe essere quello del mercato azionario).
6.1.1 Rendimento e rischio di un titolo
Sharpe ha ipotizzato che il rendimento dell'i-esimo titolo, con i = 1, 2, 3,...,n, sia dato
da:
Ri = αi + βiI + εi
con:
αi, βi parametri;
componente erratica (unica) del rendimento con distribuzione Gaussiana e con
ε i
valore atteso ( ε ) = 0 e varianza ( )
E i
Var ε = Q . La varianza del rendimento
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i i
dei titoli è supposta costante lungo tutta la retta.;
I variazione dell'indice di mercato scelto come rappresentativo dell'andamento
dei titoli.
Il valore di I viene definito da un parametro fissato e da una variabile aleatoria:
I = α n+ 1 + ε n+
1
αn+1 parametro;
εn+1 componente erratica con E( ε n+
1) = 0 e Var( ε n+ 1) = Qn+ 1 = Var( I)
Infatti Var( I) = Var( αn+ 1 + εn+ 1) = Var( αn+ 1) + Var( εn+ 1) + 2Cov(
αn+ 1, εn+
1)
; il primo ed
il terzo addendo sono nulli in quanto (vedi sopra) αn+1 é una costante.
Le informazioni necessare all'applicazione del modello diagonale sono quindi i parametri
della retta αi e βi, la varianza Qi del rendimento dei titoli, il valore atteso dell’indice
E(I)=α n+1 e la varianza Qn+1 dell’indice scelto come base di riferimento dal decisore. In
53 SHARPE W.F., "Simplifed Model for Portfolio Analysis", Management Science, Jan.1963.