Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

A partire da queste informazioni, il sistema da risolvere è dato da:
M x b
⎡0
⎢0
⎢:
⎢
⎢0
⎣⎢
1
0
σ22 :
σn2 1
...
...
...
...
...
0
σ2n
:
σnn
1
−1⎤⎡x1⎤
⎡µ
R f ⎤
−1⎥⎢⎥
⎢
x
⎢
2⎥⎢ µ R
⎥
2⎥
: ⎥ ⎢ : ⎥ = ⎢ : ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−1⎥⎢xn⎥⎢µ
R n ⎥
0 ⎣
⎢
⎦
⎥
⎣
⎢ 1 ⎦
⎥
⎦⎥
λ S
Esso permette di trovare subito il valore dell'incognita:
che, sostituito nel sistema di equazioni, dà:
⎡
⎢
⎢
⎣
un sistema di n equazioni ed n incognite.
λ S =-µ R f
M x b
0 σ22 σ x
2 1 µ
n⎤
⎡ ⎤ ⎡ ( R2−Rf) ⎤
⎢
:
:
⎥ ⎢
⎥
:
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢
⎥
0 σ 2 σ ⎢x
1 µ
n nn n−
⎥ ⎢ ( Rn − Rf
) ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
1 1 ... 1 ⎣ x n ⎦ ⎣⎢
1 ⎦⎥
⎦
Questo sistema può essere ulteriormente semplificato trascurando la prima colonna e
l'ultima riga. Esse infatti servono solo a determinare l'incognita x 1 , che può essere calcolata
per differenza dopo aver determinato i valori delle altre x i ; essa assumerà il valore che farà
rispettare il vincolo di bilancio (di somma 1).
Ricordando che le xi possono assumere qualunque valore, positivo, negativo o nullo, il
sistema diventa
⎡σ22
⎢ :
⎢σn2
M
...
...
...
x b
σ µ
2 2 ( 2 )
n⎤
⎡x
⎤ ⎡ R − Rf⎤
⎢
: :
⎥ ⎢ ⎥
⎥
:
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
σ x µ ( )
nn⎥⎣⎢n⎦⎥⎣ ⎢ Rn − Rf
⎦
⎥
⎣
Il vettore soluzione di questo sistema di n-1 incognite ed n-1 equazioni è
x = M b= M
−1 −1
⎦
⎡R2
− Rf⎤
⎧x2
= g2µ
⎢ ⎥ ⎪
⎢
:
⎥
µ ⇒ ⎨:
⎣
⎢R
− R ⎦
⎥ ⎪
n f ⎩x
n = g nµ
Ciò porta direttamente al Teorema di Separazione, il quale afferma che se:
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