Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

)
Consideriamo il portafoglio xc come combinazione lineare di xa ed xb.
Quindi
x = αx + ( 1−α)
x
c a b
( h kR ) ( 1 )( h kR )
= α + a + − α + b
= αh+ αkR ( ) h ( )
a + 1− α + 1−α
kRb
= h( α+ 1− α) + k( αR ( )
a + 1−α
Rb)
= h+ kRc
da cui si conclude che se xa ed xb sono portafogli a varianza minima lo è anche xc.
c)
Questo si dimostra come nel punto b) introducendo la restrizione 0≤α ≤1
la quale
implica che
se Ra ≤ Rb
allora R R ( )
a ≤ α a + 1 − α Rb ≤ Rb.
TEOREMA DI ORTOGONALITA’
Due portafogli a varianza minima xa ed xb , nel caso con “short selling”, si definiscono
ortogonali se la loro covarianza è zero, cioè, xa′ Cxb = 0. Vogliamo dimostrare che per ogni
portafoglio, eccetto quello definito nel punto di minimo della frontiera dei portafogli
fattibili, esiste un unico portafoglio ortogonale a quello dato. Inoltre, definito Rb il
rendimento del portafoglio dato, è possibile calcolare il rendimento Ra dell’unico
portafoglio ortogonale nel modo seguente:
xa′ Cxb
= 0
h′ + k′ R C h+ kR
= 0
( a) ( b)
( h kR )( Ch CkR
)
′ + ′ a + b = 0
hCh ′ + hCk ′ Rb + kCh ′ Ra + kCk ′ RaRb = 0
hCh ′ + hCk ′ Rb
Ra
=−
kCh ′ + kCk ′ R
ponendo:
a = hCh ′
b = hCk ′ = kCh ′
c = k′ Ck
risulta
a bR
Ra
=−
b cR
+
+
b
b
b
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