Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

APPENDICE AL CAPITOLO 3
TEOREMA DI SEPARAZIONE (o dei due fondi)
Nel caso si possa operare con “short selling” e fissati xa ed xb due portafogli a varianza
minima con rendimento medio rispettivamente Raed Rb , con Ra ≠ Rb
si ha che:
a) qualsiasi portafoglio a varianza minima xc è una combinazione lineare dei portafogli xa
ed xb;
b) ogni portafoglio ottenuto dalla combinazione lineare di xa ed xb, αxa+(1-α)xb, è un
portafoglio a varianza minima, situato sulla frontiera;
c) in particolare, se xa ed xb sono portafogli a varianza minima efficienti, allora, per ogni
0≤α ≤1,
anche αxa+(1-α)xb è un portafoglio efficiente a varianza minima.
Dimostrazione
a)
Poniamo Rc il rendimento medio di un portafoglio a varianza minima xc. Scegliamo il
parametro α in modo tale che
R R ( )
c = α a + 1 − α Rb
ciò significa scegliere α pari a
Rc − Rb
α=
Ra − Rb
Nota che α esiste ed è unico se si ipotizzaRa ≠ Rb.
xc xa xb
Ricordimo che xc ottiene
= h+ kRc
e sostituendo a Rc la combinazione lineare di Ra ed Rb si
xc = h+ kRc
= h( α+ 1− α) + k( αR ( )
a + 1−α
Rb)
= αh+ ( 1− α) h + αkR + ( 1−α)
kR
Dimostriamo che = α + ( 1 − α)
( h kR ) ( 1 )( h kR )
= α + + − α +
= αx + ( 1−α)
x
a b
a b
a b
51
c.v.d.