Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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Valutazione del rendimento e rischio del portafoglio con i cinque business equiripartiti Si consideri il caso di un portafoglio formato dai cinque business A, B, C, D, E ciascuno con peso 20%. Esso avrà rischio e rendimento rispettivamente pari a: 2 σ P RP = = xCx ' ( 02 . 02 . 02 . 02 . 02 . ) = 0. 2 × 15 + 0. 2 × 15 + 0. 2 × 17 ⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857⎞ ⎛02 . ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜−0. 4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . ⎟⎜ 02 . ⎟ ⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714⎟⎜ 02 . ⎟ = 08572 . ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . ⎟⎜ 02 . ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝−0. 2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . ⎠⎝ 02 . ⎠ + 02 . × 20+ 02 . × 12= 158 . Si vuole ora determinare la composizione efficiente di portafoglio che dia un rendimento pari a 16 e discutere il comportamento del rischio in base ai risultati dell’esercizio precedente. Come nell'esempio a tre titoli si determina la composizione efficiente di portafoglio con: x M b 1 − = ⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857 −1−15⎞ ⎜ ⎟ ⎜−0. 4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . −1−15⎟ ⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714 −1−17⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . −1−20⎟ ⎜−0. 2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . −1−12⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 1 1 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 15 15 17 20 12 0 0 ⎠ ⎛ 4. 0331 ⎞ ⎛−0. 2812⎞ ⎛ −01462 . ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−0. 0500⎟ ⎜ 00020 . ⎟ ⎜−0. 0185⎟ ⎜ −34819 . ⎟ ⎜ 02460 . ⎟ ⎜ 0. 4545 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −0. 8175⎟ + ⎜ 00685 . ⎟ × 16 = ⎜ 0. 2777 ⎟ ⎜ 13162 . ⎟ ⎜−0. 0552⎟ ⎜ 0. 4325 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜12. 2932⎟ ⎜ −0. 8438⎟ ⎜ −12075 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0. 8438⎠ ⎝ 00606 . ⎠ ⎝ 01252 . ⎠ 49 −1 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ + ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ − M 1 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ × 16 = ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ Il portafoglio efficiente che dà un rendimento pari a 16 è quindi così composto: -14.62 % di A, -1.85% di B, 45.45% di C, 27.77% di D,43.25% di E. Si calcola ora la frontiera efficiente con la tecnica utilizzata nell'esercizio precedente di cui si omettono i calcoli: 2 ∗ ∗2 σ P = 12. 2932 − 16876 . RP + 0. 0606RP Si sostituisce il rendimento desiderato nell'equazione della frontiera efficiente per ottenere il rischio di portafoglio: 2 σ P = 12. 2932 − 27. 0014 + 155039 . = 0. 5977 Si nota così che, rispetto al portafoglio composto dai cinque titoli con peso 1/5, il nuovo portafoglio ha sia maggiore rendimento, sia minor rischio.
SIMULAZIONE Determinazione della composizione efficiente dei tre business B, D, E senza il vincolo sul rendimento atteso di portafoglio: ⎛0⎞ ⎛ R1 ⎞ ⎛ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 −1 x = M ⎜0⎟ ⎜ R2⎟ + M ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == ⎜11429 . µ 0 R ⎜ 3 11429 . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎛−0. 0889⎞ ⎛ 0. 4319 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0. 2541 ⎟ + ⎜ 17659 . ⎟ µ ⎜ 0. 8348 ⎟ ⎜ −21978 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0. 8888 ⎠ ⎝−13.5678⎠ 11429 . 34286 . 01429 . 1 11429 . 01429 . 11429 . 1 −1 −1⎞ ⎛0⎞ ⎛15⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1⎟ ⎜0⎟ −1 + M ⎜20⎟ µ = −1⎟ ⎜0⎟ ⎜12⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎠⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ A questo punto si può ipotizzare il comportamento dell'investitore per quanto riguarda la propensione al rischio. Al variare di µ si otterranno infatti diverse composizioni di portafoglio; si considereranno valori di µ inferiori a 0.5. ⎛0. 0407 ⎞ ⎜ ⎟ 0. 7839 Dato µ=0.3 si avrà la seguente soluzione: ⎜ ⎟ ⎜01755 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−32410 . ⎠ cui corrisponderà un portafoglio composto per il 4.07% di B, 78.39% di D e 17.55% di E. Applicazione come la precedente utilizzando tutti i cinque titoli disponibili: ⎛0⎞ ⎛ R1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ R2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ R ⎟ −1 0 −1 x = ⎜ ⎟ + ⎜ 3 M M ⎟ µ ⎜0⎟ ⎜ R4⎟ ⎜0⎟ ⎜ R ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857 −1⎞⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−0. 4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . −1⎟⎜0⎟ ⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714 −1⎟⎜0⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + M ⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . −1⎟ ⎜0⎟ ⎜−0. 2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . −1⎟⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 1 1 1 0⎠⎝1⎠ ⎛03938 . ⎞ ⎛−4. 3130 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−00226 . ⎟ ⎜0. 0225 ⎟ ⎜−00541 . ⎟ ⎜4. 0623 ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ µ . ⎜0. 01362⎟ ⎜11302 . ⎟ ⎜05467 . ⎟ ⎜−0. 9120 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝05369 . ⎠ ⎝−139326 . ⎠ ⎛−09001 . ⎞ ⎛01781 . ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−0. 0128⎟ ⎜−00209 . ⎟ ⎜11646 . ⎟ ⎜01490 . ⎟ Se µ = 0.3 ⇒ x = ⎜ ⎟ ; Se µ = 0.05 ⇒ x = ⎜ ⎟ ⎜0. 4753 ⎟ ⎜01927 . ⎟ ⎜0. 2731 ⎟ ⎜05011 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−36429 . ⎠ ⎝−01598 . ⎠ 50 −1 0 −1 ⎛15⎞ ⎜ ⎟ ⎜15⎟ ⎜17⎟ ⎜ ⎟ µ = ⎜20⎟ ⎜12⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠
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