Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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3.4. Il modello parametrico Il problema generale per il calcolo degli infiniti portafogli efficienti che compongono la frontiera efficiente nel caso in cui si abbiano solo alternative rischiose e con “short selling” può anche essere espresso come: n n n ⎧ ⎪min Z4=− µ RP + 05 . VP =− µ xiRi 05 . xixj ij x ∑ + ∑∑ σ ⎪ i= 1 i= 1 j= 1 ⎨ n ⎪ soggetto a = ⎪ ∑ xi 1 ⎩ i= 1 Questa è la forma più semplice e generale del problema in studio (valutazione delle soluzioni efficienti, dominanti in E-V), con un unico vincolo lineare di uguaglianza. La minimizzazione di Z4 differisce da quella di Z3 per: − l'assenza del vincolo sul rendimento atteso di portafoglio; − la presenza nella funzione obiettivo di due obiettivi pesati; − la massimizzazione del rendimento (il primo addendo) con peso µ, parametro. E' bene ricordare44 che -min (-µ R P ) è uguale a max (µ R P ) e che min(-µ R P ) ha lo stesso vettore soluzione di max (µ R P ); − la minimizzazione del rischio (secondo addendo) con peso 0.5. Il parametro µ è interpretato come misura sintetica del grado di propensione al rischio45 del decisore. Se: µ = 0 , la Funzione Obiettivo vede annullarsi il primo addendo e il decisore opera solo per la minimizzazione del rischio. Il modello sarà adatto ad un decisore che vuole sopportare il minimo rischio, a prescindere dai rendimenti attesi; µ tende a +∝ la Funzione Obiettivo è determinata soprattutto dal primo addendo, il rendimento atteso. Il modello sarà adatto ad un decisore con propensione al rischio tale da considerare solo i rendimenti attesi e trascurare il rischio. Applicando i metodi analitici già visti (3.3), il sistema risolutivo del problema di minimizzazione Z4 diventa: M x b ⎡σ11 ⎢ ⎢σ21 ⎢ ⎢ : ⎢σn1 ⎢ ⎣ ⎢ 1 σ12 σ22 : σn2 1 ... ... ... ... ... σ1n σ2n : σnn 1 −1⎤ ⎡x ⎤ ⎡µ R ⎤ 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −1⎥ ⎢x ⎥ ⎢µ R ⎥ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ : ⎥ ⎢ : ⎥ = ⎢ : ⎥ −1⎥ ⎢x ⎥ ⎢µ R ⎥ n n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎥ ⎣ ⎢λ 1 S ⎦ ⎥ ⎣ ⎢ ⎦ ⎥ Il vettore soluzione, dipendente dal parametro µ, è dato da 44 Si riveda quanto esposto nella parte curata dal Professor Paolo Bortot. 45 Markowitz H.M., 1987, op. cit. 45
⎡0⎤ ⎡R 1 ⎤ ⎧x1 = p1 + q1µ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ R ⎥ x = + 2 2 p2 q2µ −1 −1 −1 ⎪ x = M b= M ⎢: ⎥ + M ⎢ : ⎥ µ ⇒ ⎨......... ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎢0⎥ ⎢R ⎥ x = p + q n n n nµ ⎪ ⎣ ⎢1⎦ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎩⎪ λ S = ΛS + lSµ Per valori di µ>0 i problemi Z 3 e Z 4 sono equivalenti (µ=0 è un caso limite 46). In Fig. 20 sono indicate le diverse composizioni di titoli o business che, sui vari archi delimitati da punti-portafogli d'angolo, formano via via la frontiera efficiente nel caso “no short sales”. I portafogli d'angolo sono quei punti-portafogli in cui cambia il vettore soluzione perché almeno un titolo entra o esce dal vettore soluzione. Fig. 20: Composizione qualitativa dei cinque titoli sui tratti della frontiera efficiente (delimitati dai portafogli d'angolo in cui cambia la composizione qualitativa dei titoli nei portafogli efficienti) con il vincolo di bilancio e quelli di 0 ≤ x ≤ 1 ∀i. Il portafoglio efficiente a rischio minimo presenta σ P = 0.73 ed è ottenuto componendo: 33.83% di A, 12.31% di D, 53.85% di E. Si deve sottolineare che il titolo D compare in ogni punto-portafoglio sulla frontiera efficiente grazie al suo elevato rendimento atteso e al suo basso grado di correlazione lineare con tutti gli altri quattro titoli. 46 Markowitz H.M., 1987. op. cit., pag. 152. 46
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