Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

3.4. Il modello parametrico
Il problema generale per il calcolo degli infiniti portafogli efficienti che compongono la
frontiera efficiente nel caso in cui si abbiano solo alternative rischiose e con “short selling”
può anche essere espresso come:
n
n n
⎧
⎪min
Z4=− µ RP + 05 . VP =− µ xiRi 05 . xixj ij
x ∑ + ∑∑
σ
⎪
i=
1
i=
1 j=
1
⎨
n
⎪
soggetto a =
⎪ ∑ xi 1
⎩
i= 1
Questa è la forma più semplice e generale del problema in studio (valutazione delle
soluzioni efficienti, dominanti in E-V), con un unico vincolo lineare di uguaglianza.
La minimizzazione di Z4 differisce da quella di Z3 per:
− l'assenza del vincolo sul rendimento atteso di portafoglio;
− la presenza nella funzione obiettivo di due obiettivi pesati;
− la massimizzazione del rendimento (il primo addendo) con peso µ, parametro. E'
bene ricordare44 che -min (-µ R P ) è uguale a max (µ R P ) e che min(-µ R P ) ha lo
stesso vettore soluzione di max (µ R P );
− la minimizzazione del rischio (secondo addendo) con peso 0.5.
Il parametro µ è interpretato come misura sintetica del grado di propensione al rischio45 del
decisore.
Se:
µ = 0 , la Funzione Obiettivo vede annullarsi il primo addendo e il decisore opera
solo per la minimizzazione del rischio. Il modello sarà adatto ad un decisore che
vuole sopportare il minimo rischio, a prescindere dai rendimenti attesi;
µ tende a +∝ la Funzione Obiettivo è determinata soprattutto dal primo addendo, il
rendimento atteso. Il modello sarà adatto ad un decisore con propensione al rischio
tale da considerare solo i rendimenti attesi e trascurare il rischio.
Applicando i metodi analitici già visti (3.3), il sistema risolutivo del problema di
minimizzazione Z4 diventa:
M x b
⎡σ11
⎢
⎢σ21
⎢
⎢ :
⎢σn1
⎢
⎣
⎢ 1
σ12 σ22 :
σn2 1
...
...
...
...
...
σ1n
σ2n
:
σnn
1
−1⎤
⎡x
⎤ ⎡µ
R ⎤
1
1
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−1⎥
⎢x
⎥ ⎢µ
R ⎥
2
2
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
: ⎥ ⎢ : ⎥
=
⎢ : ⎥
−1⎥
⎢x
⎥ ⎢µ
R ⎥
n
n
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 ⎦
⎥
⎣
⎢λ
1
S ⎦
⎥
⎣
⎢
⎦
⎥
Il vettore soluzione, dipendente dal parametro µ, è dato da
44 Si riveda quanto esposto nella parte curata dal Professor Paolo Bortot.
45 Markowitz H.M., 1987, op. cit.
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