Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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M x b ⎡σ11 σ12 ... σ1 1 1 1 0 n − −R⎤⎡x ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ σ21σ22 ... σ2 1 2 2 0 n R x ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ : : : : : : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢σ 1 σ 2 ... σ 1 0 n n nn − −R x n⎥⎢n⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 ... 1 0 0 ⎥ ⎢λ ⎥ ⎢ S 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∗ ⎥ ⎣⎢ R λ 1 R2 ... Rn0 0 ⎦⎥ ⎣ R⎦⎣RP⎦ La matrice M è invertibile se e solo se il coefficiente di correlazione ρ ij ≠±1 (se ciò accadesse si avrebbe σij = σiσje le righe sarebbero combinazioni lineari) e se manca il titolo a rendimento certo che ha rischio nullo (se la matrice contenesse una riga di valori a zero non sarebbe invertibile). Se M è invertibile il vettore soluzione è dato da: * ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎧x1 = h1 + k1RP ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ * 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪x2 = h2 + k2RP ⎢: ⎥ ⎢: ⎥ ⎪ −1 −1 −1 * * ⎪.................. x = M b= M ⎢ ⎥ + M ⎢ ⎥R P = h + k R P ⇒ ⎨ * ⎢0⎥ ⎢0⎥ ⎪xn = hn + knRP ⎢1⎥ ⎢0⎥ ⎪ * λS = ΛS + lR S P ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣0⎦ ⎣1 * ⎦ ⎩⎪ λ R = Λ R + lRRP dove i vettori colonna sono rispettivamente formati da: h : h i, Λ S, Λ R i = 1, 2, ....., n k : k i, l S, l R i = 1, 2, ....., n * Allora, il vettore soluzione dipende linearmente da R P ; la varianza può essere scritta in forma matriciale come VP = x'Cx dove: x vettore colonna (nx1) delle xi; C matrice di varianza-covarianza, {σij} di dimensione (n x n). Se si sostituiscono le prime n righe del vettore x nella equazione della varianza, scritta 2 * = fR , in forma matriciale43, si trovano i parametri della funzione di secondo grado σ P ( P) * per un generico R P : * = x'Cx = (h + k )' C(h + k ) = 2 σ P RP * RP * = h'Ch+ 2k'ChRP * 2 k'CkRP * * 2 1 P 2 P = a + a R + a R 0 39 + = Il tratto crescente di questa funzione quadratica costituisce la frontiera efficiente nel piano [ Rp,σp] 2 . Estraendo la radice quadrata di tale polinomio si ottiene un'altra funzione che rappresenta la frontiera efficiente nello spazio [ Rp,σ p] . 43 Si controllino le proprietà studiate per il prodotto di vettori e matrici.
Possiamo ora “criticare” il portafoglio G, costruito empiricamente dal Rossi: A) IN RIFERIMENTO AL CASO IN CUI SI POSSA VENDERE A BREVE QUALSIASI QUANTITÀ DELLE CINQUE POSSIBILITÀ SI HA: * A1) fissato il rischio, σ P=1.11 uguale a quello del portafoglio G e risolto il modello n ⎧ ⎪max Z = RP = ∑ xiRi x i= 1 ⎪ ⎪con vincoli ⎪ n ⎨ ⎪∑ xi = 1 i= 1 ⎪ n n ⎪ * xx i j ij = VP = . ⎩⎪ ∑∑ σ 12321 i= 1 j= 1 il portafoglio efficiente è Mss con Rendimeto Scarto XA XB XC XD XE 17.325 1.11 -0.4921 -0.0159 0.7803 0.3685 0.3592 che ha rendimento superiore a quello di G. L’inefficienza di G per rendimento è di 17. 325− 15. 9 = 1425 . punti (su mille miliardi, l’inefficienza della scelta G vale 14.25 miliardi, secondo la nuova tecnica VaR (Value at Risk)). Fig 15: Portafoglio efficiente M ss ottenuto imponendo σ p=1.11 e massimizzando il rendimento atteso con il solo vincolo di bilancio (e senza il vincolo 0 ≤ x i ≤ 1 ∀i). 40
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- ROSS S. A., "Return Risk and Arbi
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