Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

M x b
⎡σ11
σ12 ... σ1
1 1 1 0
n − −R⎤⎡x
⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢
σ21σ22 ... σ2
1 2 2 0
n R x
⎥
− −
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ : : : : : : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢σ
1 σ 2 ... σ 1
0
n n nn − −R
x n⎥⎢n⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 1 ... 1 0 0 ⎥ ⎢λ
⎥ ⎢ S 1 ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∗ ⎥
⎣⎢
R λ
1 R2 ... Rn0
0 ⎦⎥
⎣ R⎦⎣RP⎦ La matrice M è invertibile se e solo se il coefficiente di correlazione ρ ij ≠±1 (se ciò
accadesse si avrebbe σij = σiσje le righe sarebbero combinazioni lineari) e se manca il
titolo a rendimento certo che ha rischio nullo (se la matrice contenesse una riga di valori
a zero non sarebbe invertibile). Se M è invertibile il vettore soluzione è dato da:
*
⎡0⎤
⎡0⎤
⎧x1
= h1 + k1RP ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
*
0 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪x2
= h2 + k2RP ⎢:
⎥ ⎢:
⎥
⎪
−1 −1 −1
* * ⎪..................
x = M b= M ⎢ ⎥ + M ⎢ ⎥R
P = h + k R P ⇒ ⎨
*
⎢0⎥
⎢0⎥
⎪xn
= hn + knRP ⎢1⎥
⎢0⎥
⎪
*
λS
= ΛS
+ lR S P
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
⎣0⎦
⎣1
*
⎦
⎩⎪
λ R = Λ R + lRRP dove i vettori colonna sono rispettivamente formati da:
h : h i, Λ S, Λ R i = 1, 2, ....., n
k : k i, l S, l R i = 1, 2, ....., n
*
Allora, il vettore soluzione dipende linearmente da R P ; la varianza può essere scritta
in forma matriciale come
VP = x'Cx
dove:
x vettore colonna (nx1) delle xi; C matrice di varianza-covarianza, {σij} di dimensione (n x n).
Se si sostituiscono le prime n righe del vettore x nella equazione della varianza, scritta
2 *
= fR ,
in forma matriciale43, si trovano i parametri della funzione di secondo grado σ P ( P)
*
per un generico R P :
*
= x'Cx = (h + k )' C(h + k ) =
2
σ P RP *
RP
*
= h'Ch+ 2k'ChRP
* 2
k'CkRP
* * 2
1 P 2 P
= a + a R + a R
0
39
+ =
Il tratto crescente di questa funzione quadratica costituisce la frontiera efficiente nel
piano [ Rp,σp] 2 . Estraendo la radice quadrata di tale polinomio si ottiene un'altra funzione
che rappresenta la frontiera efficiente nello spazio [ Rp,σ p]
.
43 Si controllino le proprietà studiate per il prodotto di vettori e matrici.