Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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3.3. La selezione dei portafogli efficienti ovvero la valutazione della frontiera efficiente Dati i nostri cinque titoli o business A, B, C, D, E (si vedano le Tab. 2, 3 e 4) si ipotizzi di voler comporre un portafoglio G suddividendo, in maniera empirica, il capitale nel modo seguente: 35% in A, 35% in C, 10% in B, 10% in E, 10% in D La “ragione” di questa ripartizione, proposta dal Rossi, sta nel fatto che i business A e C hanno rendimento e rischio “centrali” nella distribuzione bivariata rendimento-rischio (vedi Fig.1), mentre i business B, E, D risultano troppo o troppo poco redditivi e rischiosi. Utilizzando le equazioni studiate, G ha rendimento atteso R G =15.9 e σ G=1.11. Queste due informazioni sono sicuramente interessanti, ma, come gestori di un fondo o direttori generali di un’impresa, ci si deve chiedere: − qual’è la posizione di G nello spazio E−σ dei portafogli fattibili? − esiste un portafoglio (o mix di prodotti) che ha lo stesso rischio, ma maggior rendimento di G? − esiste un portafoglio (o mix di prodotti) che ha lo stesso rendimento, ma minor rischio di G? cioè, in sintesi: G è un portafoglio (mix) dominante (efficiente)? Se G è dominante in E-V il decisore è stato efficiente nella scelta, se non lo è il decisore che lo ha proposto non ha pianificato le risorse in maniera efficiente. La risposta alla domanda fatta, assai importante, si imposta adottando un modello in cui: − o si massimizzi il rendimento atteso di portafoglio, fissata una varianza di portafoglio ∗ VP desiderata (parametro); − o si minimizzi la varianza di portafoglio, fissato un rendimento atteso di portafoglio ∗ R P desiderato (parametro); e, trascurando il vincolo di non negatività sulle risorse (cioè non ponendo xi ≥ 0), allora si hanno o l’uno o l’altro dei seguenti modelli n ⎧ ⎪max Z1= RP = xiR x ∑ i= 1 ⎪ ⎪con vincoli ⎪ n ⎨ ⎪∑ xi = 1 i= 1 ⎪ n n ⎪ * ⎪∑∑ xx i jσij = VP ⎩ i= 1 j= 1 i 37 n n ⎧ ⎪min Z2= V P = xix x ∑∑ σ i= 1 j= 1 ⎪ ⎪con vincoli ⎪ n ⎨ ⎪∑ xi = 1 i= 1 ⎪ n ⎪ * ⎪∑ xR i i = RP ⎩ i= 1 Il primo modello vuole massimizzare il rendimento di portafoglio, mentre il secondo vuole la minimizzazione del rischio di portafoglio. Se la distribuzione dei rendimenti è simmetrica (ad esempio una distribuzione Gaussiana) si può utilizzare la semivarianza (0.5 V P ) per semplificare i calcoli; si ottiene comunque lo stesso vettore soluzione della minimizzazione di Z2. j ij
n n ⎧ ⎪min Z3= 0.5 V P = 0.5 xix x ∑∑ σ i= 1 j= 1 ⎪ ⎪con vincoli ⎪ n ⎨ ⎪∑ xi = 1 i= 1 ⎪ n ⎪ * ⎪∑ xR i i = RP ⎩ i= 1 I vincoli del modello sono: − di bilancio (quantità di risorse tutte investite) * − sul rendimento atteso di portafoglio R P reso parametro. L'assenza di vincoli del tipo 0 ≤ xi ≤ 1, il cui significato economico è già stato spiegato, facilita la ricerca della soluzione del problema di ottimo di funzioni non lineari in presenza di vincoli di sole uguaglianze. Il vettore soluzione annulla le derivate parziali della funzione lagrangiana41 e risolve il problema di ottimizzazione vincolata utilizzando il modello con funzione obiettivo Z3. Il vettore soluzione trovato dà l’ottimo globale del problema in studio perchè rispetta le seguenti condizioni: la funzione obiettivo è una funzione convessa (e lo spazio delle soluzioni ammissibili è convesso), la matrice di varianza-covarianza è semidefinita positiva ed i vincoli sono lineari. La funzione lagrangiana è: n n ⎛ ⎞ ⎛ * ⎞ Lx ( i, λS, λR ) = 05 . VP + λS⎜1−∑xi⎟ + λR⎜RP −∑xR i i⎟ ⎝ i= 1 ⎠ ⎝ i= 1 ⎠ e le n+2 derivate parziali costituiscono un sistema di equazioni ⎧ ∂L ⎪ = σi1xi+ .... + σinxn −λS − λRRi = 0 i:1,2,3...., n ⎪ ∂xi ⎪ ∂L ⎨ = 1−x1−....... −xn=0 ⎪∂λS ⎪ ∂L * ⎪ = RP −R1x1 −R2x2−... − Rnxn = 0 ⎩∂λ R Questo sistema può essere riscritto in forma matriciale Mx = b dove: M matrice dei coefficienti del sistema di derivate parziali della funzione lagrangiana; x vettore colonna 42 delle incognite del problema, costituito dalle n variabili e dai due lagrangiani λS e λR 41 Vedasi il capitolo di questo volume ove trattasi problemi di ottimizzazione non lineare vincolata. 42 Il trasposto del vettore x viene indicato con x', vettore riga. 38 j ij i
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- ROSS S. A., "Return Risk and Arbi
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