Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z3= 0.5 V P = 0.5 xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1 ⎪<br />
n ⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
I vincoli <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo sono:<br />
− <strong>di</strong> bilancio (quantità <strong>di</strong> risorse tutte investite)<br />
*<br />
− sul ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> R P reso parametro.<br />
L'assenza <strong>di</strong> vincoli <strong>del</strong> tipo 0 ≤ xi ≤ 1, il cui significato economico è già stato spiegato,<br />
facilita la ricerca <strong><strong>del</strong>la</strong> soluzione <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> ottimo <strong>di</strong> funzioni non lineari in presenza<br />
<strong>di</strong> vincoli <strong>di</strong> sole uguaglianze.<br />
Il vettore soluzione annulla le derivate parziali <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione lagrangiana41 e risolve il<br />
problema <strong>di</strong> ottimizzazione vincolata utilizzando il mo<strong>del</strong>lo con funzione obiettivo Z3. Il<br />
vettore soluzione trovato dà l’ottimo globale <strong>del</strong> problema in stu<strong>di</strong>o perchè rispetta le<br />
seguenti con<strong>di</strong>zioni: la funzione obiettivo è una funzione convessa (e lo spazio <strong>del</strong>le<br />
soluzioni ammissibili è convesso), la matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza è semidefinita<br />
positiva ed i vincoli sono lineari.<br />
La funzione lagrangiana è:<br />
n<br />
n<br />
⎛ ⎞ ⎛ * ⎞<br />
Lx ( i, λS, λR ) = 05 . VP + λS⎜1−∑xi⎟ + λR⎜RP<br />
−∑xR<br />
i i⎟<br />
⎝ i=<br />
1 ⎠ ⎝ i=<br />
1 ⎠<br />
e le n+2 derivate parziali costituiscono un sistema <strong>di</strong> equazioni<br />
⎧ ∂L<br />
⎪ = σi1xi+ .... + σinxn −λS − λRRi<br />
= 0 i:1,2,3...., n<br />
⎪<br />
∂xi<br />
⎪ ∂L<br />
⎨ = 1−x1−.......<br />
−xn=0<br />
⎪∂λS<br />
⎪ ∂L<br />
*<br />
⎪ = RP −R1x1 −R2x2−... − Rnxn = 0<br />
⎩∂λ<br />
R<br />
Questo sistema può essere riscritto in forma matriciale<br />
Mx = b<br />
dove:<br />
M matrice dei coefficienti <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> derivate parziali <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione<br />
lagrangiana;<br />
x vettore colonna 42 <strong>del</strong>le incognite <strong>del</strong> problema, costituito dalle n variabili e dai<br />
due lagrangiani λS e λR<br />
41 Vedasi il capitolo <strong>di</strong> questo volume ove trattasi problemi <strong>di</strong> ottimizzazione non lineare vincolata.<br />
42 Il trasposto <strong>del</strong> vettore x viene in<strong>di</strong>cato con x', vettore riga.<br />
38<br />
j ij i