Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

3.3. La selezione dei portafogli efficienti ovvero la valutazione della frontiera
efficiente
Dati i nostri cinque titoli o business A, B, C, D, E (si vedano le Tab. 2, 3 e 4) si ipotizzi
di voler comporre un portafoglio G suddividendo, in maniera empirica, il capitale nel
modo seguente:
35% in A, 35% in C, 10% in B, 10% in E, 10% in D
La “ragione” di questa ripartizione, proposta dal Rossi, sta nel fatto che i business A e
C hanno rendimento e rischio “centrali” nella distribuzione bivariata rendimento-rischio
(vedi Fig.1), mentre i business B, E, D risultano troppo o troppo poco redditivi e rischiosi.
Utilizzando le equazioni studiate, G ha rendimento atteso R G =15.9 e σ G=1.11.
Queste due informazioni sono sicuramente interessanti, ma, come gestori di un fondo o
direttori generali di un’impresa, ci si deve chiedere:
− qual’è la posizione di G nello spazio E−σ dei portafogli fattibili?
− esiste un portafoglio (o mix di prodotti) che ha lo stesso rischio, ma maggior
rendimento di G?
− esiste un portafoglio (o mix di prodotti) che ha lo stesso rendimento, ma minor
rischio di G?
cioè, in sintesi: G è un portafoglio (mix) dominante (efficiente)?
Se G è dominante in E-V il decisore è stato efficiente nella scelta, se non lo è il decisore
che lo ha proposto non ha pianificato le risorse in maniera efficiente.
La risposta alla domanda fatta, assai importante, si imposta adottando un modello in
cui:
− o si massimizzi il rendimento atteso di portafoglio, fissata una varianza di portafoglio
∗
VP desiderata (parametro);
− o si minimizzi la varianza di portafoglio, fissato un rendimento atteso di portafoglio
∗
R P desiderato (parametro);
e, trascurando il vincolo di non negatività sulle risorse (cioè non ponendo xi ≥ 0), allora si
hanno o l’uno o l’altro dei seguenti modelli
n
⎧
⎪max
Z1= RP = xiR x ∑
i=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n
⎨
⎪∑
xi
= 1
i=
1
⎪
n n
⎪
*
⎪∑∑
xx i jσij = VP
⎩ i=
1 j=
1
i
37
n n
⎧
⎪min
Z2= V P = xix x ∑∑
σ
i=
1 j=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n ⎨
⎪∑
xi
= 1
i=
1 ⎪
n ⎪
*
⎪∑
xR i i = RP
⎩ i=
1
Il primo modello vuole massimizzare il rendimento di portafoglio, mentre il secondo
vuole la minimizzazione del rischio di portafoglio.
Se la distribuzione dei rendimenti è simmetrica (ad esempio una distribuzione
Gaussiana) si può utilizzare la semivarianza (0.5 V P ) per semplificare i calcoli; si ottiene
comunque lo stesso vettore soluzione della minimizzazione di Z2.
j ij