Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

3.2.2 Caso di titoli o business con rendimenti aleatori linearmente correlati
E’ il caso di rilevante interesse operativo, in quanto rappresenta la “totalità” delle realtà
sia produttive che finanziarie.
Riprendendo l’equazione della varianza ed equiripartendo il capitale tra gli n titoli o
business si ha una varianza di portafoglio o aziendale pari a 34:
2 2 2
σ = ( 1/ n) σ + ( 1/ n)( 1/
n)
σ
P
n
∑ ∑
n
∑
1i≠j i ij
i=
1
i=
j=
1
Raccogliendo:
- 1/n nel primo addendo;
- (n-1)/n nel secondo addendo, dopo aver moltiplicato e diviso per (n-1);
si ottiene
n 2
n n
σ
σ
2 ⎡ ⎤ i n −1
⎡ ij ⎤
σ P = 1 / n⎢∑
i 1 n
⎥ + ∑∑ ⎣ ⎦ n
⎢
i 1 j n n
i j 1 ⎣ −1
⎥
= = ≠ = ( ) ⎦
Entrambi i termini entro parentesi quadre rappresentano medie:
2
- il primo, come già detto, è la varianza media dei titoli o business in portafoglio, σi ;
- il secondo è la covarianza media dei titoli in portafoglio, σij (le covarianze sono in
numero di n(n-1)).
Allora, l'equazione precedente può essere riscritta come
2 2
σ = ( 1/ n) σ + ( n −1)/
n σ
32
n
[ ]
P i ij
Essa permette di verificare che per n che tende ad infinito:
- il primo addendo tende a zero;
- il secondo addendo tende al valore asintotico σij, che non può essere annullato (vedasi la
Fig.13). Quindi
n
lim P = lim +
n→∞
n→∞
n n
−
2 ⎡1
2 1 ⎤
2
σ
⎣
⎢
σ σ
⎦
⎥
= σ = σ σ ρ = σ ρ
i ij ij i j ij i ij
34 Utilizzando i cinque titoli o business A, B, C, D, E, ed i dati in Tab. 3, matrice simmetrica delle varianze e
covarianze tra i rendimenti delle cinque possibilità, si calcoli il rischio di portafoglio nell'ipotesi di
x i = 1/ 5,
∀i
(Arrotondamenti alla seconda cifra decimale).
2
5
2 ⎛ 1 5 5
2 1 1
σP= ⎜ σi σ
⎝ 5
5 5
⎞ ⎛
∑ ⎟ + ⎜
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
∑ ∑ ⎟
⎠
i=
1
i=
1j=
1
ij
2
σ
σ
2 1 5
i 5 1 5 5
ij
σ P = ∑
5 i 1 5 5 i 1j
15(
5 1)
1 2 4 286 343 114 4 0 43 2 29 014 0 29 0 29 114 114 0 71 0 57 014
2
5
5
5
20
1
4
269 2 02 086
5
5
⎡ ⎤ −
⎢ ⎥ + ∑ ∑ =
⎣⎢
= ⎦⎥
= = −
⎛ + + . + . + . ⎞ ⎛ − . + . + . − . − . + . + . + . − . + . ⎞
= ⎜
⎟ + × ⎜
⎟ =
⎝
⎠ ⎝
⎠
= × . + × × . = .