Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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ANALISI DI PORTAFOGLIO<br />
CON n TITOLI O BUSINESS<br />
3.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili<br />
Anche in questo caso il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> è la me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
ponderata dei ren<strong>di</strong>menti attesi dei singoli titoli o business<br />
n<br />
n<br />
n<br />
RP = E RP = E xR i i xER i ( i)<br />
xR<br />
⎛ ⎞<br />
( ) ⎜∑<br />
⎟ = ∑ = ∑<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
i=<br />
1 i=<br />
1 i=<br />
1<br />
ovvero trasformazione lineare dei ren<strong>di</strong>menti attesi <strong>del</strong>le singole possibilità.<br />
La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> è<br />
( )<br />
2<br />
2<br />
σ P = ERP − RP<br />
che nel caso <strong>di</strong> n possibilità è sempre una trasformazione quadratica:<br />
n<br />
∑<br />
2 2 2<br />
σ = x σ + 2 ∑ ∑ x x σ<br />
P i<br />
i=<br />
1<br />
n n<br />
i<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i j ij<br />
Nell’equazione:<br />
− i primi n termini contengono le varianze dei ren<strong>di</strong>menti degli n titoli;<br />
− i successivi n(n-1)/2 termini contengono le covarianze dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> ciascuna<br />
possibilità con quelli <strong>del</strong>le restanti (n-1).<br />
Forme alternative per rappresentare la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> sono<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
2<br />
σ = xxσ σ + xxσ = xxσ = xxσ<br />
σ ρ<br />
P i j i i i j ij i j ij i j i j ij<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i= j<br />
i=<br />
1i≠j<br />
j=<br />
1<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
30<br />
i< j<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
n<br />
i i<br />
n<br />
∑∑<br />
3.2 Analisi <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> all'aumentare <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business<br />
rischiosi in <strong>portafoglio</strong><br />
Possiamo ora analizzare il comportamento <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> all'aumentare <strong>del</strong><br />
numero <strong>di</strong> titoli o business composti nello stesso 32, pratica attuata da molti operatori con<br />
32 ELTON E., GRUBER M., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Wiley, N.Y., 1984.