Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

dalla quale risulta evidente che, a parità di RP , R1, R2,
σ1, σ 2,
il rischio di
portafoglio diminuisce al ridursi di ρ12 nel suo dominio da +1 a -1.
Tale funzione ha un minimo che può essere (Fig. 10):
a) σP = min { σ1, σ2} = σ1,
ovvero uguale al σi del titolo con minor rischio;
b) σP < min { σ1, σ2} = σ1
, ovvero σ P minore di quello in a), a partire dal quale inizia
la frontiera efficiente.
Fig. 10: Esempi di frontiere efficienti nel caso in cui i due titoli o business
abbiano rendimenti non perfettamente correlati: − 1< ρ 12 < + 1
Il caso b) illustra l'effetto della diversificazione secondo la selezione del
portafoglio. Si ricorda che stiamo trattando ancora il caso di soli due titoli o business
e che ora si è verificato, analiticamente, come non occorra ricorrere a molti titoli o
business per veder diminuito il rischio di portafoglio o d’azienda.
Per calcolare il valore di x1 che minimizza il rischio, lo scarto quadratico medio
del portafoglio di titoli azionari o del portafoglio di business (in questo caso si
minimizza il rischio aziendale), basta uguagliare a zero la derivata prima di σp
rispetto a x1:
2
2 2
dσP12x1σ1
+ 2x1σ2 − 2σ2+ 2ρ σ σ −4x
ρ σ σ
=
dx1
2 2
2
12 /
2
2
[ x1σ1+ ( 1− x1) σ2+ 2x1( 1−x1)
ρ12σ1σ2] e risolverla per x1:
2
σ2−ρ12σ1σ2 x1 = 2 2
σ + σ −2ρ
σ σ
1
2
24
12 1 2 1 12 1 2
12 1 2
Sostituendo x1 nel vincolo di bilancio, x1+ x2
= 1,
si ottiene x2:
= 0