Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Operando su due business a ren<strong>di</strong>mento variabile e con perfetta correlazione inversa<br />
degli stessi, l’operatore ha la possibilità <strong>di</strong> ottenere un <strong>portafoglio</strong> a ren<strong>di</strong>mento<br />
certo? Se si, quanto valgono le quote da investire nel business 1 e nel business 2 per<br />
avere tale ren<strong>di</strong>mento certo? La soluzione si trova uguagliando a zero l’equazione<br />
<strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
σP= x1σ1−( 1− x1)<br />
σ2<br />
= 0<br />
x1σ1−(<br />
1− x1)<br />
σ2<br />
= 0<br />
x1σ1−<br />
σ2 + x1σ2<br />
= 0<br />
x σ + σ = σ<br />
e risolvendo per i pesi<br />
x 1<br />
1 2<br />
( )<br />
1 1 2 2<br />
σ 2 =<br />
σ + σ ; x σ1<br />
2 =<br />
σ + σ ;<br />
22<br />
1 2<br />
che permettono <strong>di</strong> avere un <strong>portafoglio</strong> a rischio nullo, cioè a ren<strong>di</strong>mento certo.<br />
Poiché σ 1 e σ 2 sono strettamente positivi, come si è detto in precedenza, per<br />
ottenere un <strong>portafoglio</strong> a rischio zero è necessario investire in entrambi i titoli<br />
secondo quelle esatte proporzioni. Tale situazione corrisponde alla perfetta<br />
immunizzazione <strong>del</strong> rischio.<br />
In questa situazione è possibile ottenere altri portafogli con<br />
{ }<br />
σP < min σ , σ = σ<br />
1 2 1 e RP > R1<br />
cioè portafogli in cui si verifica l'effetto <strong>di</strong>versificazione.<br />
Ricordando che x1 RPR2 R1 R2<br />
σ P = fRP<br />
può essere<br />
scritta come:<br />
σ σ σ σ<br />
P P<br />
R R<br />
σ p<br />
σ σ σ σ<br />
P P<br />
R<br />
R R<br />
R R R<br />
R R<br />
R R R<br />
⎧⎛<br />
+ ⎞ ⎛ + ⎞<br />
1 2<br />
1 2 2 1<br />
0<br />
⎪⎜<br />
⎟ − ⎜<br />
⎟ per 1 ≤ <<br />
⎪⎝<br />
1 − 2⎠<br />
⎝ 1 − 2 ⎠<br />
= ⎨<br />
⎪ ⎛ + ⎞ ⎛ R + R ⎞<br />
1 2<br />
1 2 2 1<br />
0<br />
−⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
⎟ per R ≤ R < R<br />
⎪<br />
2<br />
⎩ ⎝ 1 − 2⎠<br />
⎝ R1 − R2<br />
⎠<br />
dove R 0 in<strong>di</strong>ca il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> a rischio nullo, <strong>portafoglio</strong> composto da<br />
due titoli rischiosi con ρ12 = -1.<br />
Il ren<strong>di</strong>mento certo <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> così composto è pari a<br />
0 R1σ2 + R2σ1<br />
R =<br />
σ1 + σ2<br />
La funzione σ P = fR ( P)<br />
, esposta in Fig. 9, è quin<strong>di</strong> formata da due segmenti: uno<br />
decrescente e l'altro crescente, con:<br />
− uguale coefficiente angolare, ma <strong>di</strong> segno opposto;<br />
− uguale intercetta, ma <strong>di</strong> segno opposto.<br />
= ( - ) / ( - ) , la funzione ( )