Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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aumenta il rendimento e il rischio aziendale, secondo una relazione lineare, ed è impossibilitata ad ottiene “minor rischio” dall’aumento della quota nell’alternativa 2, anzi, per minimizzare il rischio non deve che investire tutto nell’attività 1. In questo caso tutti i punti-portafoglio possibili sono anche punti-portafogli sulla frontiera efficiente rappresentata da un segmento che unisce i due punti ( R 1 , σ 1), ( R 2 , σ 2), Fig.8. Fig. 8: Portafogli possibili e portafogli efficienti ottenuti dalla composizione di due titoli o business con perfetta correlazione lineare positiva dei rendimenti, ρ 12 =+1. Sostituendo ρ12 = +1 nella equazione che definisce il rischio di portafoglio, si ha = fR , lineare, della frontiera efficiente (Fig. 8) l'equazione σ P ( P) σ σ σ σ σ R R R ⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ R1 2 − R2 1⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ R − R ⎠ P P 1 2 21 1 2 2.3.2. Caso con perfetta correlazione lineare negativa fra rendimenti di due titoli o business Nel caso in cui si abbia perfetta correlazione lineare negativa, ρ 12 = -1, il rischio di portafoglio è ancora combinazione lineare del rischio dei titoli σP= 2 2 2 2 x1σ1+ ( 1−x1) σ2−2x1( 1− x1) σ1σ2 1 2 = [ ] { [ x1σ1 ( 1 1 2 2 x1) σ2] } . = − − quindi σP= x1σ1−( 1 −x1) σ2 . Si ha ora da operare la differenza fra due addendi comunque positivi.
Operando su due business a rendimento variabile e con perfetta correlazione inversa degli stessi, l’operatore ha la possibilità di ottenere un portafoglio a rendimento certo? Se si, quanto valgono le quote da investire nel business 1 e nel business 2 per avere tale rendimento certo? La soluzione si trova uguagliando a zero l’equazione del rischio di portafoglio. σP= x1σ1−( 1− x1) σ2 = 0 x1σ1−( 1− x1) σ2 = 0 x1σ1− σ2 + x1σ2 = 0 x σ + σ = σ e risolvendo per i pesi x 1 1 2 ( ) 1 1 2 2 σ 2 = σ + σ ; x σ1 2 = σ + σ ; 22 1 2 che permettono di avere un portafoglio a rischio nullo, cioè a rendimento certo. Poiché σ 1 e σ 2 sono strettamente positivi, come si è detto in precedenza, per ottenere un portafoglio a rischio zero è necessario investire in entrambi i titoli secondo quelle esatte proporzioni. Tale situazione corrisponde alla perfetta immunizzazione del rischio. In questa situazione è possibile ottenere altri portafogli con { } σP < min σ , σ = σ 1 2 1 e RP > R1 cioè portafogli in cui si verifica l'effetto diversificazione. Ricordando che x1 RPR2 R1 R2 σ P = fRP può essere scritta come: σ σ σ σ P P R R σ p σ σ σ σ P P R R R R R R R R R R R ⎧⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ 1 2 1 2 2 1 0 ⎪⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ per 1 ≤ < ⎪⎝ 1 − 2⎠ ⎝ 1 − 2 ⎠ = ⎨ ⎪ ⎛ + ⎞ ⎛ R + R ⎞ 1 2 1 2 2 1 0 −⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ per R ≤ R < R ⎪ 2 ⎩ ⎝ 1 − 2⎠ ⎝ R1 − R2 ⎠ dove R 0 indica il rendimento di portafoglio a rischio nullo, portafoglio composto da due titoli rischiosi con ρ12 = -1. Il rendimento certo di un portafoglio così composto è pari a 0 R1σ2 + R2σ1 R = σ1 + σ2 La funzione σ P = fR ( P) , esposta in Fig. 9, è quindi formata da due segmenti: uno decrescente e l'altro crescente, con: − uguale coefficiente angolare, ma di segno opposto; − uguale intercetta, ma di segno opposto. = ( - ) / ( - ) , la funzione ( )
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