Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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atteso del quadrato degli scarti del rendimento di portafoglio dal rendimento atteso del portafoglio stesso. Per un portafoglio composto da due titoli o business si ha: rendimento atteso di portafoglio RP = E( RP) = x1E( R1) + x2E( R2) = x1R1 + x2R2 varianza di portafoglio (meglio, dei rendimenti futuri dei titoli o business in portafoglio) dove: σ [ ] ( 2 ) 1 1 2 2 ( 1 1 2 2 2) [ [ 1( 1 2 1 ( 1 1) 2 1) 2( 2 2 2 ( 2 2 2) ] 2 2) 2 1 2( 1 1)( 2 2) ] 2 1 ( 1 2 1) 2 2 ( 2 2 2) 2 1 2 ( 1 1)( 2 2) = ER − R = ExR+ xR − xR + xR = 2 P P P = Ex R − R + x R − R = = Ex R − R + x R − R + xx R − R R − R = 2 2 = x σ + x σ + 2x x σ 9 [ ] = x E R − R + x E R − R + x x E R −R R − R = 2 1 1 2 2 2 1 2 12 [ ( )( ) ] σ12 = E R1−R1R2−R 2 è la covarianza fra i rendimenti delle due alternative disponibili23. Da quanto sopra, si nota come la varianza di portafoglio è una trasformazione quadratica del “rischio” dei singoli titoli o business. La covarianza, σ12 , misura quanto i rendimenti dei due titoli siano legati da una relazione lineare, ed essendo il valore atteso del prodotto di due scarti, può assumere valori positivi, nulli o negativi: − positivi quando gli scarti dei rendimenti dei due titoli hanno prevalentemente lo stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi, Fig. 2); − negativi quando a scarti positivi di un investimento corrispondono prevalentemente scarti negativi nell'altro o viceversa (Fig. 3); − nullo quando si ha indipendenza lineare tra i rendimenti dei due titoli24 (Fig. 4a e 4b). Una caratteristica evidente della covarianza è la simmetria, cioè σ12 = σ21. Inoltre 2 2 σ11 = E[ ( R1 −R1)( R1 − R1) ] = E( R1 − R 1) = σ1 e, naturalmente, 2 2 σ = E R −R R − R = E R − R = σ [ ( )( ) ] ( ) 22 2 2 2 2 2 2 23La covarianza è data da: = ( − )( − ) σ12 R1R1R2R2p 12 con p 12 probabilità congiunta dei rendimenti dei due titoli (probabilità che si abbiano contemporaneamente R 1 e R 2 ). 24 STEWART M.B., WALLIS K.F., Introductory Econometrics, Basil Blakwell, Oxford, 1981. 2
Si può standardizzare la covarianza dividendola per σ1σ2> 0, prodotto degli scarti quadratici medi dei rendimenti dei due titoli; in questo modo si possono confrontare le relazioni fra i rendimenti dei titoli o business che compongono i portafogli indipendentemente dall'unità di misura. Si ottiene così il coefficiente di correlazione lineare, ρ12, σ12 σ 21 −1≤ ρ12 = = = ρ 21 ≤ + 1 σσ 1 2 σσ 1 2 Il coefficiente di correlazione lineare ha il medesimo significato e le medesime proprietà della covarianza (Fig. 2, Fig. 3, Fig. 4a, Fig. 4b) con il vantaggio di essere un buon indice, poiché possiede valore minimo (-1) e massimo (+1) noti. Inoltre se: ρ12= +1, i rendimenti dei due titoli o business sono legati da una legge deterministica lineare crescente; ρ12= -1, i rendimenti dei due business si muovono in direzioni opposte evidenziando una legge deterministica lineare decrescente; ρ12= 0, i rendimenti dei due business sono linearmente non correlati. E' importante evidenziare la relazione σ12 = ρ12σ1σ 2 che permette di trovare il valore massimo della covarianza dei rendimenti di due business in corrispondenza di ρ12 = 1. Quindi il valore massimo della covarianza è pari al prodotto dei due scarti quadratici medi. Essa, inoltre, mostra che il segno della covarianza dipende da quello del coefficiente di correlazione lineare (σ1 e σ2 sono sempre positivi) e solo quando ρ12 = 0 la covarianza è nulla. In generale tra σij e ρij sussistono le seguenti relazioni: se i=j allora ρii = 1 e σii = ( σiσi) = σi 2 (il numeratore è uguale al denominatore); se i≠j allora ρii ≤1 e σij = ρijσiσj. 2.2.1. Un'applicazione In Tab. 3 e Tab. 4 è riportata rispettivamente la matrice delle varianze-covarianze e la matrice dei coefficienti di correlazione lineare tra i rendimenti futuri dei 5 titoli o business i cui rendimenti attesi e scarti sono in Tab. 2. A B C D E A 2.0000 -0.4286 2.2857 0.1429 -0.2857 B 4.0000 -0.2857 1.1429 1.1429 C 2.8571 0.7143 -0.5714 D 3.4286 0.1429 E 1.1429 Tab. 3: Matrice delle varianze-covarianze fra i rendimenti futuri di cinque titoli o business A B C D E 10
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