Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Per poter raggiungere la specificazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo si deve introdurre il seguente teorema<br />
(Minkowski-Farkas) 90:<br />
PROPOSIZIONE: siano w1, w2,..., wm e z vettori non nulli in ℜ n . Posto wx ′ = 0 per tutti<br />
gli x tali che wx ′ i = 0 con i = 1, ..., m, con x ∈ ℜ n . Esistono allora m numeri reali non<br />
negativi λ1 , λ2, ... λm, non tutti nulli, tali che<br />
m<br />
= ∑ λi i=<br />
1<br />
z wi. Nel caso in esame, le suddette con<strong>di</strong>zioni 1. e 2. per la determinazione <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong><br />
arbitraggio implicano che il vettore x sia ortogonale ad altri k+1 vettori: un vettore unitario<br />
1 (che rappresenta il vincolo <strong>di</strong> bilancio) e k vettori bj con j=1, ..., k (che esprimono la<br />
sensibilità <strong>del</strong> vettore dei ren<strong>di</strong>menti al fattore j-esimo). Se il mercato è in <strong>equilibrio</strong> non<br />
sono possibili portafogli <strong>di</strong> arbitraggio e quin<strong>di</strong> il vettore x è ortogonale anche al vettore<br />
dei ren<strong>di</strong>menti attesi R . In base al teorema <strong>di</strong> Minkowski-Farkas, poichè il vettore x è<br />
ortogonale sia al vettore R , Rx = 0, sia a k+1 vettori, 1x = 0 e bx ′ j = 0 , con j = 1, .., k<br />
allora esistono k+1 coefficienti non negativi λ0 , λ2, ... λk tali che<br />
ovvero<br />
R = λ0⋅ 1+ λibj<br />
=<br />
126<br />
k<br />
∑<br />
i 1<br />
Ri = λ0 + λ1bi1+ λ2bi2 + ..... + λkbik.<br />
In questo modo il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> titolo i-esimo può essere espresso come<br />
combinazione lineare <strong>di</strong> un vettore <strong>di</strong> 1 e <strong>di</strong> k vettori bj con j=1, ..., k.<br />
Se consideriamo un’attività priva <strong>di</strong> rischio con ren<strong>di</strong>mento Rf (risk-free), essa avrà tutti i<br />
bij pari a zero in quanto non è sensibile alle variazioni dei k fattori esplicativi Ij.<br />
L’equazione precedente risulta quin<strong>di</strong>:<br />
R f =λ 0<br />
dalla quale risulta che il coefficiente λ0 è pari al tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’attività senza<br />
rischio.<br />
Se consideriamo ora un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> attività rischiose con ren<strong>di</strong>mento atteso δ 1 e con<br />
sensibilità unitaria al fattore <strong>di</strong> rischio I1 (quin<strong>di</strong> con bi1 = 1 e bij = 0 con j=2,...,k)<br />
possiamo riscrivere l’equazione precedente come<br />
δ1 λ11<br />
= + R f<br />
da cui si ricava λ1 = δ1−<br />
Rf .<br />
Procedendo in modo analogo si può considerare l’equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
nell’ipotesi <strong>di</strong> assenza <strong>di</strong> arbitraggio come:<br />
R = R + δ − R b + δ − R b + + δ − R b<br />
( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ..... ( )<br />
i f f i f i k f ik<br />
In generale, il coefficiente λj (j=1,...,k) può essere interpretato come premio per il rischio,<br />
in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong>, per il j-esimo fattore. Il premio per il rischio λj risulta pari alla<br />
<strong>di</strong>fferenza fra:<br />
90 Per la <strong>di</strong>mostrazione <strong>del</strong> teorema e per maggiori approfon<strong>di</strong>menti in merito si vedano, tra gli altri,<br />
CASTAGNOLI E. PECCATI L., Matematica per l’analisi economica - Ottimizzazione statica e <strong>di</strong>namica,<br />
ETASLIBRI, Milano, 1979;<br />
TAKAYAMA A., Mathematical Economics, Cambridge University Press, London, 1985.