Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Per poter raggiungere la specificazione del modello si deve introdurre il seguente teorema
(Minkowski-Farkas) 90:
PROPOSIZIONE: siano w1, w2,..., wm e z vettori non nulli in ℜ n . Posto wx ′ = 0 per tutti
gli x tali che wx ′ i = 0 con i = 1, ..., m, con x ∈ ℜ n . Esistono allora m numeri reali non
negativi λ1 , λ2, ... λm, non tutti nulli, tali che
m
= ∑ λi i=
1
z wi. Nel caso in esame, le suddette condizioni 1. e 2. per la determinazione di un portafoglio di
arbitraggio implicano che il vettore x sia ortogonale ad altri k+1 vettori: un vettore unitario
1 (che rappresenta il vincolo di bilancio) e k vettori bj con j=1, ..., k (che esprimono la
sensibilità del vettore dei rendimenti al fattore j-esimo). Se il mercato è in equilibrio non
sono possibili portafogli di arbitraggio e quindi il vettore x è ortogonale anche al vettore
dei rendimenti attesi R . In base al teorema di Minkowski-Farkas, poichè il vettore x è
ortogonale sia al vettore R , Rx = 0, sia a k+1 vettori, 1x = 0 e bx ′ j = 0 , con j = 1, .., k
allora esistono k+1 coefficienti non negativi λ0 , λ2, ... λk tali che
ovvero
R = λ0⋅ 1+ λibj
=
126
k
∑
i 1
Ri = λ0 + λ1bi1+ λ2bi2 + ..... + λkbik.
In questo modo il rendimento atteso del titolo i-esimo può essere espresso come
combinazione lineare di un vettore di 1 e di k vettori bj con j=1, ..., k.
Se consideriamo un’attività priva di rischio con rendimento Rf (risk-free), essa avrà tutti i
bij pari a zero in quanto non è sensibile alle variazioni dei k fattori esplicativi Ij.
L’equazione precedente risulta quindi:
R f =λ 0
dalla quale risulta che il coefficiente λ0 è pari al tasso di rendimento dell’attività senza
rischio.
Se consideriamo ora un portafoglio di attività rischiose con rendimento atteso δ 1 e con
sensibilità unitaria al fattore di rischio I1 (quindi con bi1 = 1 e bij = 0 con j=2,...,k)
possiamo riscrivere l’equazione precedente come
δ1 λ11
= + R f
da cui si ricava λ1 = δ1−
Rf .
Procedendo in modo analogo si può considerare l’equazione del rendimento atteso
nell’ipotesi di assenza di arbitraggio come:
R = R + δ − R b + δ − R b + + δ − R b
( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ..... ( )
i f f i f i k f ik
In generale, il coefficiente λj (j=1,...,k) può essere interpretato come premio per il rischio,
in condizioni di equilibrio, per il j-esimo fattore. Il premio per il rischio λj risulta pari alla
differenza fra:
90 Per la dimostrazione del teorema e per maggiori approfondimenti in merito si vedano, tra gli altri,
CASTAGNOLI E. PECCATI L., Matematica per l’analisi economica - Ottimizzazione statica e dinamica,
ETASLIBRI, Milano, 1979;
TAKAYAMA A., Mathematical Economics, Cambridge University Press, London, 1985.