Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Secondo il modello esplicativo della determinazione dei rendimenti tramite l'insieme di
indici, il valore atteso del rendimento di ogni titolo é dato da:
Ri = ai + bi1I1+ bi2I2 + ..... + bikIk Il rendimento di qualunque portafoglio P é dato da:
N
P = ∑ i i
i=
1
R x R
ove xi è il valore dell'investimento nel titolo i-esimo e non le quote, come era invece
considerato nei capitoli precedenti.
Il rischio del rendimento del portafoglio P é formato da tante componenti quanti sono i
fattori esplicativi:
N
N
∑ ∑ ∑
b = xb ; b = xb ; .........; b = xb
P1 i i1
P2 i i2
Pk i ik
i=
1
i=
1 i=
1
ed inoltre dal rischio inserito dalla componente erratica:
N
P = ∑ i i
i=
1
e x e
La condizione sufficiente affinché sia valido il modello A.P.T. é che sul mercato ci sia un
numero sufficiente di alternative d'investimento in modo tale che non possano esistere
portafogli d'arbitraggio, cioé portafogli con rendimento positivo ma rischio ed
investimento netto nullo. In termini matematici un portafoglio di arbitraggio è
caratterizzato dalle seguenti equazioni:
1. il vincolo di bilancio é nullo: la quantitá di capitale impiegata deve essere nulla. Gli
acquisti e le vendite di titoli devono cioé compensarsi esattamente.
N
∑ xi = 0
i=
1
2. il portafoglio d'arbitraggio deve permettere guadagni a rischio nullo, quindi tutte le
componenti di rischio del portafoglio (cioè rischio diversificabile o non sistematico e
rischio sistematico) devono essere nulle:
e
N
N
∑ ∑ ∑
b = x b = 0 ; b = x b = 0 ;.........; b = x b = 0
P1 i i1
P2 i i2
Pk i ik
i=
1
i=
1 i=
1
N
P ∑ i i
i=
1
e = xe ≅0,
cioè eP tende asintoticamente a 0 secondo le ipotesi 3 e 4
3. il rendimento atteso del portafoglio di arbitraggio deve risultare strettamente maggiore
di zero:
N
P ∑ i i
i=
1
R = x R > 0
In un mercato in equilibrio non possono esistere opportunitá di arbitraggio non rischiose.
Ovvero qualunque portafoglio di arbitraggio a rischio nullo non puó che dare un
rendimento nullo. Quindi le precedenti equazioni in una situazione di equilibrio implicano:
N
P ∑ i i
i=
1
R = x R = 0
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N
N