Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Una supposizione iniziale per formulare la S.M.L. é quella di conoscere la proporzione w i
con la quale una attività é presente sul mercato. Il rendimento atteso del portafoglio di
mercato é allora
N
M = ∑ i i
i=
2
R wR
Risulta utile introdurre, prima di procedere ulteriormente all’esposizione del C.A.P.M., il
seguente TEOREMA 87:
per un dato portafoglio P il vettore delle covarianze delle singole attività rispetto al
portafoglio dato è linearmente dipendente dal vettore dei rendimenti se e solo se il
portafoglio P è un portafoglio a varianza minima.
Dimostrazione:
la covarianza del titolo k-esimo rispetto al rendimento del portafoglio di mercato risulta
N
N
⎡ ⎛
⎞ ⎤
CovR ( k; RM) = E⎢( Rk −Rk) ⎜∑wR
i i −∑wR
i i⎟⎥
=
⎣ ⎝ i=
2 i=
2 ⎠ ⎦
⎡ ⎛
⎞ ⎤ ⎡
= E⎢R −R w R −R
E w R R R R
⎣ ⎝ i=
2 ⎠ ⎦ ⎣ i=
2
N
N
( k k) ⎜∑
i( i i) ⎟ ⎥ = ⎢∑
i( i − i) ( k − k)
N
N
∑ i [ ( i i) ( k k)
] ∑
= wE R −RR− R = wσ
i=
2 i=
2
espresso dalla combinazione lineare delle covarianze del titolo k-esimo con gli altri N −1
titoli rischiosi (compreso il titolo k stesso) con pesi wi, proporzione di equilibrio
dell’attività i-esima nel portafoglio di mercato. Se e solo se il portafoglio di mercato M
risulta efficiente in E-V, allora il vettore x, soluzione del problema decisionale, è uguale al
vettore, w, delle attività negoziabili detenute proporzionalmente al loro valore:
⎡ σ22 . . . σ2N⎤⎡w2⎤⎡µ
( R2−R ) ⎤ f
⎢
. . . . .
⎥⎢
.
⎥ ⎢ ⎥
.
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ σi2. . . σiN
⎥⎢
wi
⎥ = ⎢ µ ( Ri − Rf)
⎥
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ . . . . . ⎥⎢
. ⎥ ⎢ . ⎥
⎣⎢
σN2. . . σNN⎦⎥⎣⎢wN⎦⎥⎢
⎣
µ ( RN − R ⎥
f ) ⎦
La covarianza del titolo k-esimo con il portafoglio di mercato si ottiene moltiplicando la iesima
riga del sistema solutorio per il vettore w.
87 vedi (tra gli altri):
CONSTANTINIDES G.M., MALLIARIS A.G., Portfolio Theory, in JARROW R. ET. AL., Handbooks in OR &MS,
Vol. 9, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 1995.
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i ik
⎤
⎥
⎦
=