Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Una supposizione iniziale per formulare la S.M.L. é quella <strong>di</strong> conoscere la proporzione w i<br />
con la quale una attività é presente sul mercato. Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong><br />
mercato é allora<br />
N<br />
M = ∑ i i<br />
i=<br />
2<br />
R wR<br />
Risulta utile introdurre, prima <strong>di</strong> procedere ulteriormente all’esposizione <strong>del</strong> C.A.P.M., il<br />
seguente TEOREMA 87:<br />
per un dato <strong>portafoglio</strong> P il vettore <strong>del</strong>le covarianze <strong>del</strong>le singole attività rispetto al<br />
<strong>portafoglio</strong> dato è linearmente <strong>di</strong>pendente dal vettore dei ren<strong>di</strong>menti se e solo se il<br />
<strong>portafoglio</strong> P è un <strong>portafoglio</strong> a varianza minima.<br />
Dimostrazione:<br />
la covarianza <strong>del</strong> titolo k-esimo rispetto al ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato risulta<br />
N<br />
N<br />
⎡ ⎛<br />
⎞ ⎤<br />
CovR ( k; RM) = E⎢( Rk −Rk) ⎜∑wR<br />
i i −∑wR<br />
i i⎟⎥<br />
=<br />
⎣ ⎝ i=<br />
2 i=<br />
2 ⎠ ⎦<br />
⎡ ⎛<br />
⎞ ⎤ ⎡<br />
= E⎢R −R w R −R<br />
E w R R R R<br />
⎣ ⎝ i=<br />
2 ⎠ ⎦ ⎣ i=<br />
2<br />
N<br />
N<br />
( k k) ⎜∑<br />
i( i i) ⎟ ⎥ = ⎢∑<br />
i( i − i) ( k − k)<br />
N<br />
N<br />
∑ i [ ( i i) ( k k)<br />
] ∑<br />
= wE R −RR− R = wσ<br />
i=<br />
2 i=<br />
2<br />
espresso dalla combinazione lineare <strong>del</strong>le covarianze <strong>del</strong> titolo k-esimo con gli altri N −1<br />
titoli rischiosi (compreso il titolo k stesso) con pesi wi, proporzione <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong><br />
<strong>del</strong>l’attività i-esima nel <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato. Se e solo se il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato M<br />
risulta efficiente in E-V, allora il vettore x, soluzione <strong>del</strong> problema decisionale, è uguale al<br />
vettore, w, <strong>del</strong>le attività negoziabili detenute proporzionalmente al loro valore:<br />
⎡ σ22 . . . σ2N⎤⎡w2⎤⎡µ<br />
( R2−R ) ⎤ f<br />
⎢<br />
. . . . .<br />
⎥⎢<br />
.<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
.<br />
⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ σi2. . . σiN<br />
⎥⎢<br />
wi<br />
⎥ = ⎢ µ ( Ri − Rf)<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ . . . . . ⎥⎢<br />
. ⎥ ⎢ . ⎥<br />
⎣⎢<br />
σN2. . . σNN⎦⎥⎣⎢wN⎦⎥⎢<br />
⎣<br />
µ ( RN − R ⎥<br />
f ) ⎦<br />
La covarianza <strong>del</strong> titolo k-esimo con il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato si ottiene moltiplicando la iesima<br />
riga <strong>del</strong> sistema solutorio per il vettore w.<br />
87 ve<strong>di</strong> (tra gli altri):<br />
CONSTANTINIDES G.M., MALLIARIS A.G., Portfolio Theory, in JARROW R. ET. AL., Handbooks in OR &MS,<br />
Vol. 9, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 1995.<br />
120<br />
i ik<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=