Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

atteso del quadrato degli scarti del rendimento di portafoglio dal rendimento atteso
del portafoglio stesso. Per un portafoglio composto da due titoli o business si ha:
rendimento atteso di portafoglio
RP = E( RP) = x1E( R1) + x2E( R2) = x1R1 + x2R2 varianza di portafoglio (meglio, dei rendimenti futuri dei titoli o business in
portafoglio)
dove:
σ
[ ]
(
2
) 1 1 2 2 ( 1 1 2
2
2)
[
[
1( 1
2
1 ( 1
1) 2
1)
2( 2
2
2 ( 2
2
2)
]
2
2)
2 1 2( 1 1)( 2 2)
]
2
1 ( 1
2
1)
2
2 ( 2
2
2)
2 1 2 ( 1 1)( 2 2)
= ER − R = ExR+ xR − xR + xR =
2
P P P
= Ex R − R + x R − R =
= Ex R − R + x R − R + xx R − R R − R =
2
2
= x σ + x σ + 2x
x σ
9
[ ]
= x E R − R + x E R − R + x x E R −R R − R =
2
1
1
2
2
2
1 2 12
[ ( )( ) ]
σ12 = E R1−R1R2−R 2
è la covarianza fra i rendimenti delle due alternative disponibili23. Da quanto sopra, si nota come la varianza di portafoglio è una trasformazione
quadratica del “rischio” dei singoli titoli o business.
La covarianza, σ12 , misura quanto i rendimenti dei due titoli siano legati da una
relazione lineare, ed essendo il valore atteso del prodotto di due scarti, può assumere
valori positivi, nulli o negativi:
− positivi quando gli scarti dei rendimenti dei due titoli hanno prevalentemente lo
stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi, Fig. 2);
− negativi quando a scarti positivi di un investimento corrispondono
prevalentemente scarti negativi nell'altro o viceversa (Fig. 3);
− nullo quando si ha indipendenza lineare tra i rendimenti dei due titoli24 (Fig. 4a e
4b).
Una caratteristica evidente della covarianza è la simmetria, cioè σ12 = σ21. Inoltre
2
2
σ11 = E[ ( R1 −R1)( R1 − R1) ] = E( R1 − R 1)
= σ1
e, naturalmente,
2
2
σ = E R −R R − R = E R − R = σ
[ ( )( ) ] ( )
22 2 2 2 2 2 2
23La covarianza è data da: = ( − )( − )
σ12 R1R1R2R2p 12
con p 12 probabilità congiunta dei rendimenti dei due titoli (probabilità che si abbiano
contemporaneamente R 1 e R 2 ).
24 STEWART M.B., WALLIS K.F., Introductory Econometrics, Basil Blakwell, Oxford, 1981.
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