Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

[ p(
) ]
Eu R
2 β 2
( Rp) + Rp
+ σ p =
γ
γ
[ p(
) ]
113
[ p(
) ]
2 Eu R
2
2 β 2 β
− α β
( Rp) + Rp
+ σ p + =
+
2
γ 4γγ4γ ⎡
⎢R
⎣
2
Eu R
2
β ⎤
− α
2
β
+ ⎥ + σ =
+
2γ⎦γ4γ p p
Tale relazione rappresenta una generica circonferenza sul piano [ Rp, σ p]
con
centro in −
⎛
1
2 2
β ⎞
⎡ Eu ( p)
−α
β ⎤
⎜ ,0 ⎟ , raggio rc
= +
⎝ 2 γ ⎠
⎢
2 ⎥ .
⎣ γ 4γ
⎦
Questa circonferenza descrive la generica curva di indifferenza associata all'utilità attesa, da
massimizzare, con il vincolo che il portafoglio appartenga alla frontiera efficiente
2
σ P = [ a0 + a1RP + a2 RP
]
12 /
( ) .
* β
Se la variabile casuale R assume valore R = R = − allora l'utilità attesa risulta
2 γ
e quindi
Eu p
− α
−
( )= α − + + ⋅ = − = −
β
γ
γ
β
β β
γ α
α
γ
γ
β
2 2
2 2 2
2
0
2
2 4
4 4 γ
⎡
⎤
⎢α
− − ⎥
⎡
rc = ⎢ + ⎥ = ⎢−
+
⎢
⎥ ⎣
⎢
⎥
⎣
⎦
β
γ α
2
2
2
2
4 β β β
2
2
γ 4γ4γ4γ 1
2
2
2
1
2
⎤
⎥
⎦
=
2
0
cioè qualora il rendimento, quindi l'utilità, fosse massimo, il raggio della circonferenza, con
centro sull’asse dei rendimenti, è nullo, quindi si ha una circonferenza degenere e la scelta
ottima massimizza l’utilità del decisore. Questo avviene solo se la frontiera efficiente tange
l'asse dei rendimenti nel centro.
Determinata l'utilità attesa da massimizzare e la sua rispettiva curva di indifferenza si
valutano i parametri della funzione di utilità sopra spiegati.
Il decisore analizza e discute le informazioni ( Rp, σp, σ′ p)
dei punti-portafogli sulla frontiera
efficiente e con queste informazioni per ogni portafoglio rischioso efficiente può calcolare:.
- le coordinate del centro, ( Rct ,0 ) , della circonferenza tangente la frontiera efficiente, quindi
il tasso di rendimento certo corrispondente alla sua massima utilità;
- il raggio della stessa r c. calcolato come distanza euclidea tra ( )
Rct ,0 e ( Rp,σ p)
,
- il rendimento certo indifferente, ( Rfq,0 ) , a quello del portafoglio rischioso tangente e ottimo
selezionato sulla frontiera ( Rp,σ p)
.