Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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Per dimostrare che anche nel secondo caso l'utilità attesa è funzione della media e della 2 varianza si utilizza la funzione quadratica ux ( )= ax 1 −ax 2 con a2 parametro positivo e quindi si attuano i seguenti passaggi: 2 2 2 2 2 Eux = Eax− ax = aE x − aE x = aE x − a E x + σ = f E x, σ [ ( ) ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) che con la legenda della selezione del portafoglio diventa: EuR ( ) 2 = EaR− aR 2 = aE R − aE R = 111 ( [ ] ) ( ( ) ) [ ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( ) = aE( R) − a 2 2 [ E( R) ] + σ 2 = f( E R, σ ) 1 2 ( ) ( ) Nella selezione di portafoglio secondo il metodo E-V si deve, per individuare il portafoglio ottimo, o adottare come ipotesi di base una funzione di utilità quadratica o ipotizzare una distribuzione Gaussiana dei rendimenti futuri. Ritornando all'analisi di portafoglio tramite l'utilizzo delle frontiere efficienti, si può considerare l'utilità attesa funzione del rendimento atteso e del rischio di portafoglio e massimizzarla per individuare il portafoglio ottimo. Ciò può avvenire riportando i valori della funzione dell'utilità, funzione di E e V, associando ad ognuno di essi una curva di indifferenza quadratica in E-V (nel caso, circonferenza con centro sull'asse dei rendimenti). 8.4.1 Critero di scelta: la funzione di utilità e le curve di indifferenza in E-V La funzione di utilità che si associa a curve di indifferenza descritte da circonferenze nel piano E-V deve risultare quadratica e concava a rappresentare l'avversione al rischio del decisore: 2 U( x)= a0 + a1x+ a2x ; a1≥ 0 e a2 < 0 e dove il capitale x è costituito da due variabili: la ricchezza non nulla W a disposizione, che è nota, ed il profitto π =∆W , cioè l'incremento di ricchezza, che è una variabile aleatoria. Si ha quindi che U( x) = U( W +π ) , con W > 0, inoltre moltiplicando e dividendo π per W la funzione di utilità risulta ⎛ π ⎞ U( x) = U⎜W + W ⎟ ⎝ W ⎠ e, se si considera la nuova variabile R = W π intesa come profitto percentuale, ossia tasso di rendimento, la relazione diventa: U( x) = U( W + WR) La funzione di utilità assunta per l'investitore dipende pertanto da una sola variabile casuale R , tasso di rendimento, tale per cui si ha: * con R appartenente all'insieme [ R1, R ] con: - R1, rendimento minimo; - R * =− β 2 γ . U( R)= α+ βR+ γR 2
Se si considerano la variabile aleatoria rendimento e l'importo certo ricchezza, la funzione di utilità diventa: 2 U( x) = U( W + WR) = a0 + a1( W + WR) + a2( W + WR) = 2 2 2 2 = a0 + aW 1 + aWR 1 + aW 2 + 2aW 2 R+ aW 2 R = 2 2 2 2 = a0 + aW 1 + aW 2 + ( aW 1 + 2aW 2 ) R+ aW 2 R = 2 = α+ βR+ γR con: ⎧α = a0 + aW 1 + aW 2 ⎪ 2 ⎨β = aW 1 + 2aW 2 ⎪ 2 ⎩γ = aW 2 2 dove W è la ricchezza nota. Poichè si è supposto W > 0, a1 ≥ 0, a2< 0 , allora γ
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA D
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