Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Per dimostrare che anche nel secondo caso l'utilità attesa è funzione della media e della
2
varianza si utilizza la funzione quadratica ux ( )= ax 1 −ax
2 con a2 parametro positivo e
quindi si attuano i seguenti passaggi:
2
2
2 2 2
Eux = Eax− ax = aE x − aE x = aE x − a E x + σ = f E x,
σ
[ ( ) ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( )
che con la legenda della selezione del portafoglio diventa:
EuR ( )
2
= EaR− aR
2
= aE R − aE R =
111
( [ ] ) ( ( ) )
[ ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( )
= aE( R) − a
2 2 [ E( R) ] + σ
2
= f( E R,
σ )
1 2
( ) ( )
Nella selezione di portafoglio secondo il metodo E-V si deve, per individuare il portafoglio
ottimo, o adottare come ipotesi di base una funzione di utilità quadratica o ipotizzare una
distribuzione Gaussiana dei rendimenti futuri.
Ritornando all'analisi di portafoglio tramite l'utilizzo delle frontiere efficienti, si può
considerare l'utilità attesa funzione del rendimento atteso e del rischio di portafoglio e
massimizzarla per individuare il portafoglio ottimo.
Ciò può avvenire riportando i valori della funzione dell'utilità, funzione di E e V, associando
ad ognuno di essi una curva di indifferenza quadratica in E-V (nel caso, circonferenza con
centro sull'asse dei rendimenti).
8.4.1 Critero di scelta: la funzione di utilità e le curve di indifferenza in E-V
La funzione di utilità che si associa a curve di indifferenza descritte da circonferenze nel
piano E-V deve risultare quadratica e concava a rappresentare l'avversione al rischio del
decisore:
2
U( x)= a0 + a1x+ a2x ; a1≥ 0 e a2
< 0
e dove il capitale x è costituito da due variabili: la ricchezza non nulla W a disposizione, che è
nota, ed il profitto π =∆W , cioè l'incremento di ricchezza, che è una variabile aleatoria. Si ha
quindi che U( x) = U( W +π ) , con W > 0, inoltre moltiplicando e dividendo π per W la
funzione di utilità risulta
⎛ π ⎞
U( x) = U⎜W + W ⎟
⎝ W ⎠
e, se si considera la nuova variabile R =
W
π intesa come profitto percentuale, ossia tasso di
rendimento, la relazione diventa:
U( x) = U( W + WR)
La funzione di utilità assunta per l'investitore dipende pertanto da una sola variabile casuale R
, tasso di rendimento, tale per cui si ha:
*
con R appartenente all'insieme [ R1, R ] con:
- R1, rendimento minimo;
- R * =− β
2 γ
.
U( R)= α+ βR+ γR 2