Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

capitale (ricchezza) disponibile sembra non corrispondere al comportamento effettivo di molti
di noi. Per questo sono state proposte diverse famiglie di funzioni di utilità come quelle
esposte in Tab. 11 alcune delle quali hanno caratteristiche apprezzate come l’indice assoluto
di avversione al rischio costante o decrescente.
r(x)
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
170
172
174
176
178
180
110
182
184
186
188
Fig. 36: Funzione di avversione al rischio del decisore al variare del
capitale
Anche la funzione di avversione al rischio nella formulazione proposta da Arrow-Pratt risulta
invariante per trasformazioni lineari della funzione di utilità, quindi l’atteggiamento del
decisore di fronte al rischio risulta unicamente determinato sia in relazione a situazioni
rischiose in termini di capitale che in termini di guadagno.
8.4 Individuazione del portafoglio a rendimento aleatorio preferito
E' utile specificare i casi in cui l'utilità attesa non smentisce il principio E-V. Ciò accade se81: 1) per qualsiasi funzione di utilità u( x),
la variabile aleatoria x è Normalmente distribuita
con media µ e varianza σ 2 2
: x → N(
µσ , ) ; nella selezione del portafoglio, utilizzando la
simbologia adottata in precedenza: R → N R
⎛ _ ⎞
⎜ ,σ ⎟
⎝ ⎠
2
2) per qualsiasi distribuzione dell’importo aleatorio x, u( x)
è una funzione di utilità
quadratica.
Nel primo caso si dimostra come l'utilità attesa sia funzione della media e della varianza,
poichè per calcolare il valore atteso dell'utilità si deve risolvere il seguente integrale:
∞
Eux [ ( ) ] ∫ ux ( ) f( xdx ) .
Da questa relazione si capisce come essa sia funzione della media (per noi valore atteso) degli
importi aleatori e della varianza degli stessi.
81 COPELAND T. E. e WESTON J. F., 1988, op. cit.; ELTON E. J. E GRUBER M. J., 1995, op. cit.; CASTAGNOLI E.,
PECCATI L., 1991, op. cit..
= −∞
190 x