Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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u c(x)
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Fig. 35: Funzione di utilità del decisore Rossi, al quale, circa un certo business
basato sulla dotazione di capitale, sono state prospettate diverse situazioni
aleatorie per le quali egli ha fornito i rispetttivi certi equivalenti. La funzione di
utilità quadratica del tipo uc(x)=b 0+b 1x+b 2x 2 è stata ottenuta per mezzo di
interpolazione statistica vincolata a passare per i punti (170,10) e (190,20).
Definite le funzioni di utilità del Rossi, sia in termini di guadagno sia in termini di capitale,
possiamo ora procedere a determinare i parametri a e b della funzione di trasformazione
lineare del tipo u ( x k) au ( x) c + = g + b (ove uc(x) e ug(x) sono rispettivamente le funzioni
precedentemente stimate di utilità in termini di capitale e di guadagno).
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I parametri risultano rispettivamente: a = ; b= 10; k = 170 da cui
10
uc(x+170)=1/10 ug(x) + 10 ; ∀x∈D, D = {0 ≤ x ≤ 20}
Ribadiamo che il sistema di preferenze del Rossi non viene alterato dalla definizione della
curva di utilità in termini di guadagno o di capitale. Ne deriva che la trasformazione lineare
della funzione risulta valida se definita sull’appropriato dominio, cioè D { x }
g = 0≤ ≤ 20 o
D { x }
c = 170 ≤ ≤190
, il che spiega la scrittura 1/10 ug(x) + 10 quale trasformazione lineare
della ug.
Valutiamo ora l’avversione al rischio del Rossi, quale misura sintetica del suo comportamento
di fronte al business aleatorio in discussione:
u ( x)
r ( ) c x =−
u ( x)
( )
( ) x
′′
′
2 ⋅−0.
02149
=−
> 0
2 ⋅− 0. 02149 + 8. 23704
109
182
∀x∈ D, D= { 170 ≤ x ≤190}
Osserviamo che rc(x) risulta maggiore di zero su tutto l’intervallo di definizione della
funzione di utilità; a significare che il Rossi è avverso al rischio con un grado di avversione
crescente al crescere del capitale (vedi Fig. 36).
Alcuni studiosi ed operatori non condividono l’utilizzo della funzione quadratica quale
funzione di utilità, in quanto un indice di avversione al rischio che cresce all’aumentare del
184
x
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