Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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12<br />
11<br />
10<br />
u c(x)<br />
170<br />
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174<br />
176<br />
178<br />
180<br />
Fig. 35: Funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore Rossi, al quale, circa un certo business<br />
basato sulla dotazione <strong>di</strong> capitale, sono state prospettate <strong>di</strong>verse situazioni<br />
aleatorie per le quali egli ha fornito i rispetttivi certi equivalenti. La funzione <strong>di</strong><br />
utilità quadratica <strong>del</strong> tipo uc(x)=b 0+b 1x+b 2x 2 è stata ottenuta per mezzo <strong>di</strong><br />
interpolazione statistica vincolata a passare per i punti (170,10) e (190,20).<br />
Definite le funzioni <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi, sia in termini <strong>di</strong> guadagno sia in termini <strong>di</strong> capitale,<br />
possiamo ora procedere a determinare i parametri a e b <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> trasformazione<br />
lineare <strong>del</strong> tipo u ( x k) au ( x) c + = g + b (ove uc(x) e ug(x) sono rispettivamente le funzioni<br />
precedentemente stimate <strong>di</strong> utilità in termini <strong>di</strong> capitale e <strong>di</strong> guadagno).<br />
1<br />
I parametri risultano rispettivamente: a = ; b= 10; k = 170 da cui<br />
10<br />
uc(x+170)=1/10 ug(x) + 10 ; ∀x∈D, D = {0 ≤ x ≤ 20}<br />
Riba<strong>di</strong>amo che il sistema <strong>di</strong> preferenze <strong>del</strong> Rossi non viene alterato dalla definizione <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
curva <strong>di</strong> utilità in termini <strong>di</strong> guadagno o <strong>di</strong> capitale. Ne deriva che la trasformazione lineare<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> funzione risulta valida se definita sull’appropriato dominio, cioè D { x }<br />
g = 0≤ ≤ 20 o<br />
D { x }<br />
c = 170 ≤ ≤190<br />
, il che spiega la scrittura 1/10 ug(x) + 10 quale trasformazione lineare<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> ug.<br />
Valutiamo ora l’avversione al rischio <strong>del</strong> Rossi, quale misura sintetica <strong>del</strong> suo comportamento<br />
<strong>di</strong> fronte al business aleatorio in <strong>di</strong>scussione:<br />
u ( x)<br />
r ( ) c x =−<br />
u ( x)<br />
( )<br />
( ) x<br />
′′<br />
′<br />
2 ⋅−0.<br />
02149<br />
=−<br />
> 0<br />
2 ⋅− 0. 02149 + 8. 23704<br />
109<br />
182<br />
∀x∈ D, D= { 170 ≤ x ≤190}<br />
Osserviamo che rc(x) risulta maggiore <strong>di</strong> zero su tutto l’intervallo <strong>di</strong> definizione <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
funzione <strong>di</strong> utilità; a significare che il Rossi è avverso al rischio con un grado <strong>di</strong> avversione<br />
crescente al crescere <strong>del</strong> capitale (ve<strong>di</strong> Fig. 36).<br />
Alcuni stu<strong>di</strong>osi ed operatori non con<strong>di</strong>vidono l’utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione quadratica quale<br />
funzione <strong>di</strong> utilità, in quanto un in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> avversione al rischio che cresce all’aumentare <strong>del</strong><br />
184<br />
x<br />
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188<br />
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