Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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1 1 1 1<br />
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( ) u ( )<br />
g = g 0 + g 6 = 0+ 50 = 25 = g 2<br />
2 2 2 2<br />
Eu ( x) g<br />
1 1<br />
= ug 6 + ug 20<br />
2 2<br />
1 1<br />
= 50+ 100 = 75 = ug<br />
2 2<br />
11<br />
[ ] ( ) ( ) ( )<br />
Procedendo ulteriormente, come sopra, sul Rossi, si ottiene:<br />
x1 p(x1) ug(x1) x2 p(x2) ug(x2) mu ug(mu)=<br />
E[ug(x)]<br />
0 0.5 0 20 0.5 100 6 50<br />
0 0.5 0 6 0.5 50 2 25<br />
6 0.5 50 20 0.5 100 11 75<br />
0 0.5 0 2 0.5 25 1 12.5<br />
2 0.5 25 6 0.5 50 5 37.5<br />
6 0.5 50 11 0.5 75 8 62.5<br />
11 0.5 75 20 0.5 100 15 87.5<br />
L’insieme dei punti osservati nel piano [x, ug(x)] è dato da<br />
x 0 1 2 5 6 8 11 15 20<br />
ug(x) 0 12.5 25 37.5 50 62.5 75 87.5 100<br />
Adottando una funzione <strong>di</strong> utilità quadratica <strong>del</strong> tipo ( )<br />
2<br />
ux = a0 + ax 1 + ax 2 si devono ora<br />
calcolare valori dei parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> stessa. Applicando le regole d’interpolazione secondo il<br />
principio dei minimi quadrati or<strong>di</strong>nari e volendo far passare la funzione per i punti (0,0) e<br />
(20,100) si ha un problema <strong>di</strong> ottimizzazione quadratica vincolata:<br />
⎧<br />
⎪ min<br />
a , a , a<br />
⎪ 0 1 2 i<br />
⎪<br />
⎨c.v.<br />
⎪u<br />
( ) g 0 = 0<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
u ( ) g 20 = 100<br />
2<br />
∑[<br />
ug( xi) − ( a0+ a1xi + a2xi ) ]<br />
risolto il quale, con la Lagrangiana, si ottengono i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> quadratica, funzione <strong>di</strong><br />
utilità <strong>del</strong> guadagno <strong>del</strong> Rossi<br />
2<br />
u ( x) g = − 0. 21492x + 9. 29836x<br />
per il business in esame.<br />
107<br />
2