Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

con i parametri a1 ed a2 costanti tali da garantire un r(x) sempre positivo.
Uno tra i possibili metodi utilizzati per costruire la curva di utilità consiste nel determinare
per più situazioni aleatorie, della forma {x1, p1 = 0.5; x2, p2 = 0.5} i corrispondenti certi
equivalenti. Questo metodo, definito Equally Likely Certainty Equivalent (ELCE) 79, consente
di approntare la costruzione della curva di utilità per un decisore senza incorrere nei paradossi
e nelle difficoltà evidenziate da altre tecniche 80.
8.3 Valutazione della funzione di utilità
Al fine di determinare la funzione di utilità del Rossi lo si sottopone ad una serie di domande.
In primo luogo si chiede a Rossi per quale importo certo è disposto a scambiare un gioco
(scommessa, lotteria, investimento, business) che gli procura un guadagno di 0 milioni con
probabilità 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5. La risposta “6 milioni”, fornita da Rossi,
rappresenta la situazione per cui gli è indifferente avere un guadagno certo di 6 milioni
oppure 0 milioni con probabiltà 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5.
Per costruire la funzione di utilità si fissano, arbitrariamente, a priori le utilità corrispondenti
al valore minimo e massimo delle somme aleatorie (0 e 20 milioni). Il Rossi afferma di dare
utilità zero al guadagno zero e utilità 100 al guadagno 20. Allora, possiamo scrivere
x 0 20
ug(x) 0 100
e calcolare l’utilità attesa della situazione aleatoria
1 1 1 1
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( )
g = g 0 + g 20 = 0+ 100 = 50
2 2 2 2
Poichè l’utilità derivante dalla situazione aleatoria deve essere uguale all’utilità associata alla
situazione certa si ha
u ( ) [ ( )
g 6 = Eug x ] = 50
utilità dei sei utilità attesa della
milioni certi situazione aleatoria
In tal caso, sul piano [x, ug(x)], si sono già individuati, con le valutazioni di cui sopra, 3 punti
della funzione di utilità del Rossi in relazione alle quantità monetarie:
x 0 6 20
ug(x) 0 50 100
Si ripete ora la medesima procedura sottoponendo il Rossi alla determinazione del valore
equivalente alle due lotterie ottenute suddividendo la lotteria iniziale in:
• 0 milioni con probabilità 0.5 e 6 milioni con probabiltà 0.5
• 6 milioni con probabilità 0.5 e 20 milioni con probabiltà 0.5
Il Rossi risponde, rispettivamente, i valori certi equivalenti 2 milioni e 11 milioni, da cui si
ricavano le utilità attese nel modo precedentemente descritto
79 ANDERSON J., DILLON J., HARDAKER B., Agricultural Decision Analysis, Iowa State University Press, Ames,
Iowa, 1977.
80 Vedi (tra gli altri) QUIGGIN J., Generalized Expected Utility Theory-The Rank Dependent Model, Kluwer
Academic Publishers, Boston, 1993.
106