Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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con i parametri a1 ed a2 costanti tali da garantire un r(x) sempre positivo.<br />
Uno tra i possibili meto<strong>di</strong> utilizzati per costruire la curva <strong>di</strong> utilità consiste nel determinare<br />
per più situazioni aleatorie, <strong><strong>del</strong>la</strong> forma {x1, p1 = 0.5; x2, p2 = 0.5} i corrispondenti certi<br />
equivalenti. Questo metodo, definito Equally Likely Certainty Equivalent (ELCE) 79, consente<br />
<strong>di</strong> approntare la costruzione <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> utilità per un decisore senza incorrere nei paradossi<br />
e nelle <strong>di</strong>fficoltà evidenziate da altre tecniche 80.<br />
8.3 Valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità<br />
Al fine <strong>di</strong> determinare la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi lo si sottopone ad una serie <strong>di</strong> domande.<br />
In primo luogo si chiede a Rossi per quale importo certo è <strong>di</strong>sposto a scambiare un gioco<br />
(scommessa, lotteria, investimento, business) che gli procura un guadagno <strong>di</strong> 0 milioni con<br />
probabilità 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5. La risposta “6 milioni”, fornita da Rossi,<br />
rappresenta la situazione per cui gli è in<strong>di</strong>fferente avere un guadagno certo <strong>di</strong> 6 milioni<br />
oppure 0 milioni con probabiltà 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5.<br />
Per costruire la funzione <strong>di</strong> utilità si fissano, arbitrariamente, a priori le utilità corrispondenti<br />
al valore minimo e massimo <strong>del</strong>le somme aleatorie (0 e 20 milioni). Il Rossi afferma <strong>di</strong> dare<br />
utilità zero al guadagno zero e utilità 100 al guadagno 20. Allora, possiamo scrivere<br />
x 0 20<br />
ug(x) 0 100<br />
e calcolare l’utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione aleatoria<br />
1 1 1 1<br />
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( )<br />
g = g 0 + g 20 = 0+ 100 = 50<br />
2 2 2 2<br />
Poichè l’utilità derivante dalla situazione aleatoria deve essere uguale all’utilità associata alla<br />
situazione certa si ha<br />
u ( ) [ ( )<br />
g 6 = Eug x ] = 50<br />
utilità dei sei utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
milioni certi situazione aleatoria<br />
In tal caso, sul piano [x, ug(x)], si sono già in<strong>di</strong>viduati, con le valutazioni <strong>di</strong> cui sopra, 3 punti<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi in relazione alle quantità monetarie:<br />
x 0 6 20<br />
ug(x) 0 50 100<br />
Si ripete ora la medesima procedura sottoponendo il Rossi alla determinazione <strong>del</strong> valore<br />
equivalente alle due lotterie ottenute sud<strong>di</strong>videndo la lotteria iniziale in:<br />
• 0 milioni con probabilità 0.5 e 6 milioni con probabiltà 0.5<br />
• 6 milioni con probabilità 0.5 e 20 milioni con probabiltà 0.5<br />
Il Rossi risponde, rispettivamente, i valori certi equivalenti 2 milioni e 11 milioni, da cui si<br />
ricavano le utilità attese nel modo precedentemente descritto<br />
79 ANDERSON J., DILLON J., HARDAKER B., Agricultural Decision Analysis, Iowa State University Press, Ames,<br />
Iowa, 1977.<br />
80 Ve<strong>di</strong> (tra gli altri) QUIGGIN J., Generalized Expected Utility Theory-The Rank Dependent Mo<strong>del</strong>, Kluwer<br />
Academic Publishers, Boston, 1993.<br />
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