Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Al fine di una migliore interpretazione di questa quantità, assunta a misura dell’atteggiamento
del decisore di fronte al rischio, risulta interessante e necessaria una semplice osservazione:
considerati due decisori, caratterizzati dalle proprie funzioni di utilità u1 e u2, si calcolano m1
e m2, rispettivamente, gli equivalenti certi ad una stessa situazione aleatoria X. Se:
u1( x)
u2( x)
r1( x)
=− r2( x) x D
u1( x)
u2( x)
′′
>−
′
′′
= ∀ ∈ allora m1 < m2
′
ossia un decisore più avverso al rischio di un altro valuterà la medesima situazione aleatoria
attribuendole un equivalente certo minore, o allo stesso modo sarà disposto a sostenere un
maggiore premio per il rischio.
Si riportano in Tabella 11 le funzioni di utilità più diffuse in letteratura, il dominio dei
parametri e della variabile, il coefficiente assoluto e relativo di avversione al rischio.
Funzioni di
utilità
Dominio dei
parametri e della
variabile
Coefficiente assoluto
di avversione al
rischio
105
Coefficiente relativo
di avversione al
rischio
Lineare
ux = ax a > 0 zero zero
( )
Quadratica
ux = ax−ax ( )
1 2
Esponenziale
ux = −e − 1
1
( )
a x
Potenza
a
x
ux ( ) =
a
Logaritmica
ux ( ) = alog( x+ d)
a
2
1 x <
2a2
; a2 >0
2a2
a − 2a
x
1 2
a > 0 1
a
x > 0
a > 0
x > 0
a > 0
d > 0
1− a
x
1
x + d
Tab. 11: Alcune funzioni di utilità
2a2
x
a − 2a
x
1 2
x
a
1− a
x
x + d
Scelta una funzione di utilità, qualsiasi trasformazione lineare crescente di questa la
modifica, ma non muta il sistema di preferenze lì sintetizzato. Quindi, ad esempio, invece di
considerare la funzione di utilità quadratica u(x)=a1x-a2x 2 si può considerare u(x+k)=b0+b1xb2x
2 , trasformazione lineare della prima, ma il sistema di preferenze non cambia.
E’ interessante notare come le funzioni di utilità in Tab. 9 (ad esclusione della funzione
lineare) sono di tipo HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) 78 in quanto hanno un r(x)
di tipo iperbolico:
78 MORICONI F., op. cit.
rx ( )
1
=
a + a x
1 2