Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Al fine <strong>di</strong> una migliore interpretazione <strong>di</strong> questa quantità, assunta a misura <strong>del</strong>l’atteggiamento<br />
<strong>del</strong> decisore <strong>di</strong> fronte al rischio, risulta interessante e necessaria una semplice osservazione:<br />
considerati due decisori, caratterizzati dalle proprie funzioni <strong>di</strong> utilità u1 e u2, si calcolano m1<br />
e m2, rispettivamente, gli equivalenti certi ad una stessa situazione aleatoria X. Se:<br />
u1( x)<br />
u2( x)<br />
r1( x)<br />
=− r2( x) x D<br />
u1( x)<br />
u2( x)<br />
′′<br />
>−<br />
′<br />
′′<br />
= ∀ ∈ allora m1 < m2<br />
′<br />
ossia un decisore più avverso al rischio <strong>di</strong> un altro valuterà la medesima situazione aleatoria<br />
attribuendole un equivalente certo minore, o allo stesso modo sarà <strong>di</strong>sposto a sostenere un<br />
maggiore premio per il rischio.<br />
Si riportano in Tabella 11 le funzioni <strong>di</strong> utilità più <strong>di</strong>ffuse in letteratura, il dominio dei<br />
parametri e <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile, il coefficiente assoluto e relativo <strong>di</strong> avversione al rischio.<br />
Funzioni <strong>di</strong><br />
utilità<br />
Dominio dei<br />
parametri e <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
variabile<br />
Coefficiente assoluto<br />
<strong>di</strong> avversione al<br />
rischio<br />
105<br />
Coefficiente relativo<br />
<strong>di</strong> avversione al<br />
rischio<br />
Lineare<br />
ux = ax a > 0 zero zero<br />
( )<br />
Quadratica<br />
ux = ax−ax ( )<br />
1 2<br />
Esponenziale<br />
ux = −e − 1<br />
1<br />
( )<br />
a x<br />
Potenza<br />
a<br />
x<br />
ux ( ) =<br />
a<br />
Logaritmica<br />
ux ( ) = alog( x+ d)<br />
a<br />
2<br />
1 x <<br />
2a2<br />
; a2 >0<br />
2a2<br />
a − 2a<br />
x<br />
1 2<br />
a > 0 1<br />
a<br />
x > 0<br />
a > 0<br />
x > 0<br />
a > 0<br />
d > 0<br />
1− a<br />
x<br />
1<br />
x + d<br />
Tab. 11: Alcune funzioni <strong>di</strong> utilità<br />
2a2<br />
x<br />
a − 2a<br />
x<br />
1 2<br />
x<br />
a<br />
1− a<br />
x<br />
x + d<br />
Scelta una funzione <strong>di</strong> utilità, qualsiasi trasformazione lineare crescente <strong>di</strong> questa la<br />
mo<strong>di</strong>fica, ma non muta il sistema <strong>di</strong> preferenze lì sintetizzato. Quin<strong>di</strong>, ad esempio, invece <strong>di</strong><br />
considerare la funzione <strong>di</strong> utilità quadratica u(x)=a1x-a2x 2 si può considerare u(x+k)=b0+b1xb2x<br />
2 , trasformazione lineare <strong><strong>del</strong>la</strong> prima, ma il sistema <strong>di</strong> preferenze non cambia.<br />
E’ interessante notare come le funzioni <strong>di</strong> utilità in Tab. 9 (ad esclusione <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione<br />
lineare) sono <strong>di</strong> tipo HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) 78 in quanto hanno un r(x)<br />
<strong>di</strong> tipo iperbolico:<br />
78 MORICONI F., op. cit.<br />
rx ( )<br />
1<br />
=<br />
a + a x<br />
1 2