Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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allorquando il decisore sia propenso al rischio, cioè abbia funzione di utilità convessa. Con questo si vuole confermare il fatto che ogni ammontare aleatorio possiede il suo certo equivalente e che non sempre esso vale il valore atteso della variabile aleatoria. u(x) u[E(X)] E[u(X)] x 1 P1 A m E(X) 103 P 2 x 2 x Posto x l’importo monetario aleatorio con x X = x ⎧ 1 con probabilità p ⎨ ⎩ 2 con probabilità p u(x), utilità della moneta Fig. 33 Determinazione del certo equivalente m per un individuo avverso al rischio di fronte ad una somma incerta con due possibili determinazioni: x1 e x 2 con probabilità rispettivamente p 1 e p 2. La Figura 33 presenta la curva di utilità di un individuo avverso al rischio il quale si trova in una situazione aleatoria X definita da due possibili determinazioni x1 ed x2 rispettivamente con probabilità p1 e p2. Il valore atteso della variabile aleatoria è indicato con E(X)=p1x1+p2x2 la cui utilità è pari a u[E(X)]. Per determinare l’equivalente certo di questa situazione aleatoria si deve calcolare l’utilità attesa data da E[u(X)]=u(x1)p1+u(x2)p2. In base all’assioma 4), l’utilità dell’equivalente certo deve essere uguale all’utilità attesa della situazione aleatoria, cioè E[u(X)]=u(m). Accettando gli assiomi, esposti in precedenza, è possibile giustificare la determinazione del certo equivalente per mezzo del calcolo della funzione inversa di utilità calcolata nel punto E[u(X)]. Graficamente, proiettando l’utilità attesa sulla funzione di utilità si determina il punto A la cui ascissa è il certo equivalente m. Risulta chiaro che l’utilità del valore atteso è minore (per un soggetto avverso al rischio) dell’utilità attesa dell’importo aleatorio e quindi il certo equivalente è minore del valore atteso. Soltanto se il soggetto è indifferente al rischio e quindi la sua funzione di utilità è data dalla retta passante per i punti P1 e P2, il certo equivalente è pari al valore atteso della situazione aleatoria: l’utilità attesa è pari all’utilità del valore atteso. Per mezzo dell’analisi sopra esposta il decisore è in grado di scegliere razionalmente tra più alternative aleatorie confrontando i relativi equivalenti certi. 1 2
Ritornando alla Fig. 33, se il soggetto avesse a disposizione un ammontare certo k > m (oppure una seconda situazione aleatoria con equivalente certo k > m ) egli coerentemente sceglierebbe la situazione certa k (o la situazione aleatoria ad esso collegata) in quanto gli procurerebbe una utilità maggiore. Un’interessante osservazione è data dalla differenza tra il valore atteso e il certo equivalente π = Ex ( ) − m che viene definita premio per il rischio. Un premio positivo, π>0 (si pensi al premio di assicurazione), può essere interpretato come l’importo massimo che un soggetto avverso al rischio è disposto a pagare per sottrarsi alla situazione aleatoria. Al contrario, un premio negativo, π
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA D
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