Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

allorquando il decisore sia propenso al rischio, cioè abbia funzione di utilità convessa.
Con questo si vuole confermare il fatto che ogni ammontare aleatorio possiede il suo certo
equivalente e che non sempre esso vale il valore atteso della variabile aleatoria.
u(x)
u[E(X)]
E[u(X)]
x 1
P1
A
m
E(X)
103
P 2
x 2
x
Posto x l’importo monetario
aleatorio
con
x
X =
x
⎧ 1 con probabilità p
⎨
⎩ 2 con probabilità p
u(x), utilità della moneta
Fig. 33 Determinazione del certo equivalente m per un individuo avverso al rischio di fronte ad una
somma incerta con due possibili determinazioni: x1 e x 2 con probabilità rispettivamente p 1 e p 2.
La Figura 33 presenta la curva di utilità di un individuo avverso al rischio il quale si trova in
una situazione aleatoria X definita da due possibili determinazioni x1 ed x2 rispettivamente
con probabilità p1 e p2. Il valore atteso della variabile aleatoria è indicato con E(X)=p1x1+p2x2
la cui utilità è pari a u[E(X)].
Per determinare l’equivalente certo di questa situazione aleatoria si deve calcolare l’utilità
attesa data da E[u(X)]=u(x1)p1+u(x2)p2. In base all’assioma 4), l’utilità dell’equivalente certo
deve essere uguale all’utilità attesa della situazione aleatoria, cioè E[u(X)]=u(m). Accettando
gli assiomi, esposti in precedenza, è possibile giustificare la determinazione del certo
equivalente per mezzo del calcolo della funzione inversa di utilità calcolata nel punto
E[u(X)].
Graficamente, proiettando l’utilità attesa sulla funzione di utilità si determina il punto A la cui
ascissa è il certo equivalente m.
Risulta chiaro che l’utilità del valore atteso è minore (per un soggetto avverso al rischio)
dell’utilità attesa dell’importo aleatorio e quindi il certo equivalente è minore del valore
atteso. Soltanto se il soggetto è indifferente al rischio e quindi la sua funzione di utilità è data
dalla retta passante per i punti P1 e P2, il certo equivalente è pari al valore atteso della
situazione aleatoria: l’utilità attesa è pari all’utilità del valore atteso.
Per mezzo dell’analisi sopra esposta il decisore è in grado di scegliere razionalmente tra più
alternative aleatorie confrontando i relativi equivalenti certi.
1
2