Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

In sintesi, mentre il postulato di non sazietà consente di suffragare la monotonicità della
funzione di utilità, l’atteggiamento del soggetto di fronte al rischio (avverso, neutrale o
propenso) permette di circoscrivere la famiglia di funzioni di utilità (concava, lineare o
convessa), caratterizzata in termini di derivata seconda (rispettivamente negativa, nulla o
positiva).
Come anticipato, un individuo chiamato a scegliere razionalmente tra più possibilità aleatorie
(il caso di alternativa certa può essere assunta ad alternativa aleatoria degenere) deve attuare
un confronto non già tra i valori attesi delle grandezze, ma tra i valori attesi delle
corrispondenti utilità e, dalla formulazione assiomatica precedente, è possibile definire il
certo equivalente. Per ogni alternativa casuale esiste sempre un ammontare certo che produce
un'utilità pari all'utilità attesa della somma aleatoria, rendendo per l'investitore indifferente la
scelta tra esso, certo, e l'alternativa casuale. Tale ammontare è detto certo equivalente 74.
Allora, se si considera m il certo equivalente e x l'importo aleatorio si ha:
[ ( ) ]
um ( )= Eux .
Se la funzione di utilità è continua e strettamente monotona sull'intervallo considerato, essa è
invertibile e si può calcolare come
vedi grafico in Fig. 33.
{ [ ( ) ] }
m= u E u x
−1
Poichè si è detto che l'utilità del certo equivalente vale l'utilità del valore atteso dell'importo
aleatorio allora
E[u(x)]= u(m)=u[E(x)]
vale se e solo se il soggetto è indifferente al rischio, cioè ha funzione di utilità lineare.
Se ciò non accade si può dimostrare che 75:
• l'utilità del certo equivalente risulta minore dell’utilità del valore atteso
E[u(x)]=u(m)