Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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In sintesi, mentre il postulato <strong>di</strong> non sazietà consente <strong>di</strong> suffragare la monotonicità <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
funzione <strong>di</strong> utilità, l’atteggiamento <strong>del</strong> soggetto <strong>di</strong> fronte al rischio (avverso, neutrale o<br />
propenso) permette <strong>di</strong> circoscrivere la famiglia <strong>di</strong> funzioni <strong>di</strong> utilità (concava, lineare o<br />
convessa), caratterizzata in termini <strong>di</strong> derivata seconda (rispettivamente negativa, nulla o<br />
positiva).<br />
Come anticipato, un in<strong>di</strong>viduo chiamato a scegliere razionalmente tra più possibilità aleatorie<br />
(il caso <strong>di</strong> alternativa certa può essere assunta ad alternativa aleatoria degenere) deve attuare<br />
un confronto non già tra i valori attesi <strong>del</strong>le grandezze, ma tra i valori attesi <strong>del</strong>le<br />
corrispondenti utilità e, dalla formulazione assiomatica precedente, è possibile definire il<br />
certo equivalente. Per ogni alternativa casuale esiste sempre un ammontare certo che produce<br />
un'utilità pari all'utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong> somma aleatoria, rendendo per l'investitore in<strong>di</strong>fferente la<br />
scelta tra esso, certo, e l'alternativa casuale. Tale ammontare è detto certo equivalente 74.<br />
Allora, se si considera m il certo equivalente e x l'importo aleatorio si ha:<br />
[ ( ) ]<br />
um ( )= Eux .<br />
Se la funzione <strong>di</strong> utilità è continua e strettamente monotona sull'intervallo considerato, essa è<br />
invertibile e si può calcolare come<br />
ve<strong>di</strong> grafico in Fig. 33.<br />
{ [ ( ) ] }<br />
m= u E u x<br />
−1<br />
Poichè si è detto che l'utilità <strong>del</strong> certo equivalente vale l'utilità <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong>l'importo<br />
aleatorio allora<br />
E[u(x)]= u(m)=u[E(x)]<br />
vale se e solo se il soggetto è in<strong>di</strong>fferente al rischio, cioè ha funzione <strong>di</strong> utilità lineare.<br />
Se ciò non accade si può <strong>di</strong>mostrare che 75:<br />
• l'utilità <strong>del</strong> certo equivalente risulta minore <strong>del</strong>l’utilità <strong>del</strong> valore atteso<br />
E[u(x)]=u(m)