Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Come in ambito certo, anche per l'utilità attesa esiste un ordinamento delle preferenze
(dominanza stocastica di primo ordine) tale per cui:
Eux > Eux ⇔ x f x;
[ ( ) ] ( )
( )
[ ]
[ ] [ ( ) ]
1 2 1 2
Eux1 = Eux2 ⇔ x1 ≈ x2.
Tale approccio deriva dall'impostazione che Von Neumann-Morgenstern (VN-M) proposero
nel 194472 in riferimento a possibili preferenze fra diverse lotterie affermando che:
se L è una lotteria con poste x1, x2,..., xnassociate agli eventi E1, E2,..., Encon probabilità
p1, p2,..., pnprefissate dal giocatore, la sua utilità è data dalla media ponderata delle
funzioni di utilità delle singole poste con pesi le corrispondenti probabilità:
n
= ∑
i=
1
U( L) u( x ) p .
VN-M hanno introdotto un insieme di postulati, o assiomi, su come si formano le preferenze,
che permettono di creare una funzione di utilità che abbia la proprietà di stabilire non solo
l’ordine di preferenza delle azioni, ma anche la misura delle differenze nell’utilità di azioni
diverse. I postulati sono73: 1) comparabilità o completezza: un investitore ordina tutti i possibili risultati stabilendo se un
risultato x è preferito, indifferente o non preferito ad un risultato y, cioè per ogni coppia x, y
vale una ed una sola fra le seguenti alternative: x f y, x ≈ y, x p y;
2) transitività o consistenza: se un investitore preferisce x a y e y a z allora preferisce x a z:
x f y, y f z ⇒ x f z;
tale postulato sottolinea quindi che l'attrattiva di un'alternativa è
valutata indipendentemente dalle altre alternative;
3) indipendenza o assioma di sostituzione: se un investitore è indifferente fra due alternative x
e y, medie dei possibili risultati ponderati con le rispettive probabilità, e se viene data
un'alternativa incerta z allora l'investitore risulta indifferente tra le seguenti altre due
alternative:
x con probabilità p e z con probabilità 1-p
y con probabilità p e z con probabilità 1-p:
x ≈ y ⇒ [ px + ( 1−p) z] ≈ [ py + ( 1 − p) z]
.
L'elemento fondamentale di questo assioma è che impone alla funzione di utilità una forma
lineare nelle probabilità; inoltre, va osservato che la formulazione dell’assioma di
indipendenza, come ne suggerisce la denominazione, comporta una distribuzione di
probabilità di più alternative tra loro indipendenti.
4) misurabilità: se un investitore preferisce x a y e y a z allora esiste un’unica probabilità p
tale che y sia indifferente a x con probabilità p e z con probabilità 1-p:
x f y f z ⇒∃! p∈( 01 , ) y ≈ [ px+ ( 1 −p)
z]
5) ordinabilità: se x e y sono preferiti ad a e non preferiti a b e si possono determinare due
sitazioni tali per cui x è indifferente ad a con probabilità p1 e b con probabilità (1-p1) e y è
72VON NEUMANN J., MORGESTERN O., 1944, op. cit.; MORICONI F., Matematica Finanziaria, il Mulino, Milano,
1994.
73 L’approccio assiomatico presentato rispecchia la formulazione sviluppata in FAMA E. F. E MILLER M. H.,
1972, op. cit.
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