Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Come in ambito certo, anche per l'utilità attesa esiste un or<strong>di</strong>namento <strong>del</strong>le preferenze<br />
(dominanza stocastica <strong>di</strong> primo or<strong>di</strong>ne) tale per cui:<br />
Eux > Eux ⇔ x f x;<br />
[ ( ) ] ( )<br />
( )<br />
[ ]<br />
[ ] [ ( ) ]<br />
1 2 1 2<br />
Eux1 = Eux2 ⇔ x1 ≈ x2.<br />
Tale approccio deriva dall'impostazione che Von Neumann-Morgenstern (VN-M) proposero<br />
nel 194472 in riferimento a possibili preferenze fra <strong>di</strong>verse lotterie affermando che:<br />
se L è una lotteria con poste x1, x2,..., xnassociate agli eventi E1, E2,..., Encon probabilità<br />
p1, p2,..., pnprefissate dal giocatore, la sua utilità è data dalla me<strong>di</strong>a ponderata <strong>del</strong>le<br />
funzioni <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong>le singole poste con pesi le corrispondenti probabilità:<br />
n<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
U( L) u( x ) p .<br />
VN-M hanno introdotto un insieme <strong>di</strong> postulati, o assiomi, su come si formano le preferenze,<br />
che permettono <strong>di</strong> creare una funzione <strong>di</strong> utilità che abbia la proprietà <strong>di</strong> stabilire non solo<br />
l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> preferenza <strong>del</strong>le azioni, ma anche la misura <strong>del</strong>le <strong>di</strong>fferenze nell’utilità <strong>di</strong> azioni<br />
<strong>di</strong>verse. I postulati sono73: 1) comparabilità o completezza: un investitore or<strong>di</strong>na tutti i possibili risultati stabilendo se un<br />
risultato x è preferito, in<strong>di</strong>fferente o non preferito ad un risultato y, cioè per ogni coppia x, y<br />
vale una ed una sola fra le seguenti alternative: x f y, x ≈ y, x p y;<br />
2) transitività o consistenza: se un investitore preferisce x a y e y a z allora preferisce x a z:<br />
x f y, y f z ⇒ x f z;<br />
tale postulato sottolinea quin<strong>di</strong> che l'attrattiva <strong>di</strong> un'alternativa è<br />
valutata in<strong>di</strong>pendentemente dalle altre alternative;<br />
3) in<strong>di</strong>pendenza o assioma <strong>di</strong> sostituzione: se un investitore è in<strong>di</strong>fferente fra due alternative x<br />
e y, me<strong>di</strong>e dei possibili risultati ponderati con le rispettive probabilità, e se viene data<br />
un'alternativa incerta z allora l'investitore risulta in<strong>di</strong>fferente tra le seguenti altre due<br />
alternative:<br />
x con probabilità p e z con probabilità 1-p<br />
y con probabilità p e z con probabilità 1-p:<br />
x ≈ y ⇒ [ px + ( 1−p) z] ≈ [ py + ( 1 − p) z]<br />
.<br />
L'elemento fondamentale <strong>di</strong> questo assioma è che impone alla funzione <strong>di</strong> utilità una forma<br />
lineare nelle probabilità; inoltre, va osservato che la formulazione <strong>del</strong>l’assioma <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>pendenza, come ne suggerisce la denominazione, comporta una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
probabilità <strong>di</strong> più alternative tra loro in<strong>di</strong>pendenti.<br />
4) misurabilità: se un investitore preferisce x a y e y a z allora esiste un’unica probabilità p<br />
tale che y sia in<strong>di</strong>fferente a x con probabilità p e z con probabilità 1-p:<br />
x f y f z ⇒∃! p∈( 01 , ) y ≈ [ px+ ( 1 −p)<br />
z]<br />
5) or<strong>di</strong>nabilità: se x e y sono preferiti ad a e non preferiti a b e si possono determinare due<br />
sitazioni tali per cui x è in<strong>di</strong>fferente ad a con probabilità p1 e b con probabilità (1-p1) e y è<br />
72VON NEUMANN J., MORGESTERN O., 1944, op. cit.; MORICONI F., Matematica Finanziaria, il Mulino, Milano,<br />
1994.<br />
73 L’approccio assiomatico presentato rispecchia la formulazione sviluppata in FAMA E. F. E MILLER M. H.,<br />
1972, op. cit.<br />
100<br />
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