Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA<br />
DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE<br />
SAFE CENTER<br />
CENTER FOR STUDIES IN ACTUARIAL AND FINANCIAL ENGINEERING -ECONOMICS<br />
Francesco Rossi<br />
<strong>Teoria</strong> <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
e<br />
mo<strong>del</strong>li <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali<br />
SAFE CENTER<br />
DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE<br />
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA<br />
Via Giar<strong>di</strong>no Giusti, 2 - 37129 VERONA<br />
Fax 045 8054935; http://dse.univr.it/safe
Introduzione<br />
CAPITOLO 1 - RENDIMENTO E RISCHIO DI UN’ATTIVITÀ<br />
1.1 Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo<br />
1.2 Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un prodotto o business<br />
1.3 Ren<strong>di</strong>mento atteso e rischio <strong>di</strong> un titolo o business<br />
1.4 Confronto fra più titoli o business<br />
CAPITOLO 2 - ANALISI DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA DUE TITOLI O<br />
BUSINESS<br />
2.1 Introduzione<br />
2.2 Analisi dei <strong>portafoglio</strong> possibili nel caso <strong>di</strong> due titoli o business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
2.2.1 Un’applicazione<br />
2.3 Selezione dei portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso <strong>di</strong> due titoli o business a<br />
ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
2.3.1 Caso con perfetta correlazione lineare positiva fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business<br />
2.3.2 Caso con perfetta correlazione lineare negativa fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business<br />
2.3.3 Caso con non perfetta correlazione lineare fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business (<strong>di</strong><br />
rilevante interesse operativo)<br />
2.4 L’introduzione nel <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo<br />
CAPITOLO 3 - ANALISI DI PORTAFOGLIO CON n TITOLI O BUSINESS<br />
3.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili<br />
3.2 Analisi <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> all’aumentare <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business rischiosi<br />
in <strong>portafoglio</strong><br />
3.2.1 Caso <strong>di</strong> titoli o business con ren<strong>di</strong>menti aleatori tutti linearmente in<strong>di</strong>pendenti fra loro<br />
3.2.2 Caso <strong>di</strong> titoli o business con ren<strong>di</strong>menti aleatori linearmente correlati<br />
3.3 La <strong>selezione</strong> dei portafogli efficienti ovvero la valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente<br />
3.4 Il mo<strong>del</strong>lo parametrico<br />
Appen<strong>di</strong>ce<br />
Teorema <strong>di</strong> separazione<br />
Teorema <strong>di</strong> ortogonalità<br />
CAPITOLO 4 - ANALISI DEL PORTAFOGLIO IN PRESENZA DI TITOLI O<br />
BUSINESS A RENDIMENTO ALEATORIO, INVESTIMENTI E<br />
FINANZIAMENTI A TASSO CERTO<br />
4.1 Portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso <strong>di</strong> n-1 titoli o business a ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatorio e un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo<br />
4.2 Alcune simulazioni<br />
4.3 Portafogli efficienti, (frontiera efficiente) utilizzando sia titoli o business a ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatori sia un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo sia la possibilità <strong>di</strong> indebitamento a tasso certo<br />
CAPITOLO 5 - ROI, ROE E SOSTENIBILITÀ DEI DEBITI<br />
5.1 Valore atteso e varianza <strong>di</strong> ROI e ROE<br />
5.2 Ipotesi <strong>di</strong> tasso certo <strong>di</strong> debiti e ren<strong>di</strong>mento aleatorio dei business<br />
5.2.1 Scelte efficienti<br />
5.2.2 Tasso massimo dei debiti razionalmente sostenibile dall’azienda<br />
5.2.3 Simulazioni sulla valutazione <strong>del</strong> tasso massimo razionalmente sostenibile<br />
5.2.4 L’effetto dei vincoli operativi sul tasso certo massimo sostenibile
5.2.5 Alcune simulazioni <strong><strong>del</strong>la</strong> valutazione <strong>del</strong> tasso certo massimo sostenibile in presenza <strong>di</strong><br />
vincoli operativi sulle variabile decisionali<br />
CAPITOLO 6 - MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO:<br />
IL MODELLO DIAGONALE DI SHARPE<br />
6.1 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe<br />
6.1.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> un titolo<br />
6.1.2 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili con n titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
6.1.3 La valutazione <strong>del</strong> rischio al crescere <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business in <strong>portafoglio</strong> o<br />
azienda<br />
6.1.4 La valutazione <strong>del</strong>le soluzioni efficienti<br />
CAPITOLO 7 - MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO:<br />
MODELLI A PIÙ INDICI<br />
7.1 Mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci<br />
7.2.0 Richiami su autovalori e autovettori<br />
7.2.1 La tecnica <strong>del</strong>le Componenti Principali (P.C.A.)<br />
7.2.2 Alcune esperienze<br />
CAPITOLO 8 - LA SCELTA PREFERITA<br />
8.1 Introduzione<br />
8.2 La teoria <strong>del</strong>l’utilità attesa<br />
8.3 Valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità<br />
8.4 In<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> a ren<strong>di</strong>mento aleatorio preferito<br />
8.4.1 Criterio <strong>di</strong> scelta: la funzione <strong>di</strong> utilità e le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza in E-V<br />
8.4.2 Utilizzo <strong>del</strong>l’arco <strong>di</strong> circonferenza tangente alla frontiera efficiente E-V come curva <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>fferenza<br />
CAPITOLO 9 - MODELLI DI EQUILIBRIO<br />
9.1 Equilibrio <strong>di</strong> mercato<br />
9.2 Il Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong> (C.A.P.M.)<br />
9.2.1 Le ipotesi <strong>del</strong> C.A.P.M.<br />
9.2.2 La Security Market Line (S.M.L.)<br />
9.3 L’Arbitrage Pricing Theory (A.P.T.)<br />
9.3.1 Le ipotesi <strong>del</strong>l’A.P.T.<br />
9.3.2 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong><br />
Allegato - In<strong>di</strong>catori <strong>di</strong> Performance<br />
Bibliografia
Introduzione<br />
Nel mercato finanziario o produttivo o commerciale o <strong>del</strong> lavoro, ovvero nel mercato<br />
globale dei capitali, un decisore si trova ad operare su più possibilità e deve utilizzare tutte<br />
le informazioni <strong>di</strong>sponibili per la valutazione dei ren<strong>di</strong>menti futuri <strong>del</strong>le attività che sono<br />
oggetto <strong><strong>del</strong>la</strong> sua analisi.<br />
Per molte attività, in genere la maggior parte <strong>di</strong> esse, i ren<strong>di</strong>menti futuri non sono certi,<br />
quin<strong>di</strong> la decisione si svolge in ambito incerto per mancanza, incompletezza o<br />
inatten<strong>di</strong>bilità, <strong>del</strong>le conoscenze ed informazioni a <strong>di</strong>sposizione1 .<br />
Poiché "<strong>di</strong>stinguere ciò che ad un certo momento ignoriamo da ciò che invece ci risulta<br />
essere o certo o impossibile serve a permetterci <strong>di</strong> contemplare l'ambito <strong>del</strong>le possibilità,<br />
ossia l'ambito su cui si estende la nostra incertezza. Ciò non basta tuttavia come strumento<br />
e guida per orientarci, per decidere, per agire: per tale scopo occorrerà basarsi su un<br />
ulteriore concetto: quello <strong>di</strong> probabilità" 2 , vi è allora la convenienza, opportunità a dare<br />
una valutazione probabilistica ad ogni ren<strong>di</strong>mento futuro che si ritenga possibile. Si giunge<br />
così a descrivere la variabile aleatoria ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> progetto <strong>di</strong> investimento.<br />
La Selezione <strong>del</strong> Portafoglio3 è stata proposta per affrontare il problema <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
ripartizione <strong>di</strong> risorse finanziarie tra <strong>di</strong>verse possibilità <strong>di</strong> investimento con ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatorio. Scopo primario è quello <strong>di</strong> controllare sia il ren<strong>di</strong>mento sia il rischio degli<br />
investimenti. Per risolvere tale problema il metodo analizza una sola unità temporale ed<br />
applica all'insieme <strong>del</strong>le possibili scelte il criterio E-V (Expected value-Variance).<br />
Il criterio E-V ipotizza che il decisore scelga il proprio <strong>portafoglio</strong> perseguendo non<br />
solo la massimizzazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso (E), ma anche la minimizzazione <strong>del</strong> rischio<br />
(V), approfondendo così il tema <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>versificazione e <strong><strong>del</strong>la</strong> in<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong>le scelte<br />
efficienti.<br />
Poichè le opportunità d'investimento possono assumere varie forme, azioni,<br />
obbligazioni, valute e loro derivati (in ambito strettamente finanziario), affari, servizi,<br />
prodotti (in ambito commerciale ed industriale) si propone <strong>di</strong> applicare la <strong>selezione</strong> <strong>del</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>, e quin<strong>di</strong> il criterio E-V, anche a questi ultimi, dato che è facile convenire sul<br />
fatto che un’azienda può essere vista come un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> prodotti o <strong>di</strong> servizi. Si<br />
propone quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> controllare anche il ren<strong>di</strong>mento atteso e il rischio aziendale e <strong>di</strong> dare una<br />
risposta al problema noto come sostenibilità dei debiti, ovvero la valutazione <strong>del</strong> tasso<br />
certo massimo sostenibile per un’impresa, dati i ren<strong>di</strong>menti attesi dei suoi business e i<br />
vincoli operativi.<br />
D'ora in avanti si parlerà semplicemente <strong>di</strong> titoli o business, intendendo con ciò una<br />
qualunque forma d'investimento omogenea con altre con cui viene confrontata, e si<br />
supporrà l'esistenza <strong>di</strong> un numero finito <strong>di</strong> titoli, o business, in cui poter investire<br />
qualunque frazione <strong>del</strong> capitale <strong>di</strong>sponibile, nonché, al fine <strong>di</strong> semplificare la<br />
presentazione, l'assenza <strong>di</strong> costi <strong>di</strong> transazione o altri. Preme sottolineare che la meto<strong>di</strong>ca<br />
qui esposta è la base su cui poggia la meto<strong>di</strong>ca Value at Risk (VaR) per il controllo <strong>del</strong><br />
rischio finanziario.<br />
1 DE FINETTI B., <strong>Teoria</strong> <strong>del</strong>le Probabilità, vol. 1, Einau<strong>di</strong> Ed., Torino, 1970, pag. 33.<br />
2 DE FINETTI B., 1970, op. cit., pag. 35.<br />
3 MARKOWITZ H. M., "Portfolio Selection", Journal of Finance, March 1952.<br />
1
1<br />
RENDIMENTO E RISCHIO DI UN’ATTIVITA’<br />
1.1 Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo<br />
Si definisce Ri,t il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento previsto in t <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, azionario od<br />
obbligazionario, nell'intervallo temporale (t,t+1), anno, mese, decade, settimana, giorno,<br />
ora, minuto, come<br />
Pit , + 1− Pit , + Dit<br />
, + 1<br />
Rit<br />
, =<br />
Pit<br />
,<br />
dove:<br />
Pi,t prezzo (quotazione) <strong>del</strong>l'i-esimo titolo all'istante t;<br />
Di,t+1 cedola o <strong>di</strong>videndo ed eventuali premi4 previsti all'istante t+1;<br />
Pi,t+1 prezzo (quotazione) <strong>del</strong>l'i-esimo titolo all'istante t+1.<br />
Per semplificare l'analisi non verranno considerati, in seguito, premi e <strong>di</strong>videndo.<br />
Se si considera un intervallo (t,t+1) tendente a zero, utilizzando, per esempio, serie <strong>di</strong><br />
prezzi rilevate su un mercato telematico, e si calcola il rapporto<br />
Pit<br />
, + 1 Pit , + 1 + Pit , − Pit<br />
, Pit , + 1 − Pit<br />
,<br />
=<br />
= 1+ = 1 + R$<br />
it ,<br />
Pit<br />
, Pit<br />
,<br />
Pit<br />
,<br />
posto P<br />
P it , + 1<br />
it , + Pit<br />
,<br />
> 0 allora = Rit<br />
>-1<br />
P<br />
P<br />
it ,<br />
it ,<br />
− 1 $<br />
, .<br />
Se si applica il logaritmo si ottiene:<br />
Pit<br />
, + 1<br />
log = log ( 1+ R$ $<br />
it , ) = δ i()<br />
t<br />
Pit<br />
,<br />
dove $ ()<br />
δ i t è il tasso istantaneo <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento 5 (da capital gain) <strong>del</strong>l'alternativa i in t.<br />
1.2. Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un prodotto o business<br />
Lavorando su prodotti o business la valutazione <strong>del</strong> tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> business i<br />
per l’anno da t a t+1 è facile solo nel caso <strong>di</strong> aziende monoprodotto. Nel caso <strong>di</strong> aziende<br />
multiprodotto è possibile ed auspicabile l’analisi per cui l’azienda sia vista anche come un<br />
<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> prodotti. In questo caso i processi <strong>di</strong> valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> red<strong>di</strong>tività <strong>del</strong> capitale<br />
investito per prodotto sono complessi, basati su ipotesi forti (per esempio su chiavi <strong>di</strong><br />
ripartizione dei costi generali e comuni), costosi, ma non impossibili visto che, per<br />
esempio, nel settore assicurativo si <strong>di</strong>spone già <strong>di</strong> bilanci per ramo e che nel settore <strong>del</strong><br />
cre<strong>di</strong>to è prassi valutare, per esempio, la red<strong>di</strong>tività e il rischio <strong><strong>del</strong>la</strong> “linea” fi<strong>di</strong> per settore<br />
economico 6.<br />
4 Il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo deve essere corretto nel caso <strong>di</strong> variazioni <strong>del</strong> capitale sociale e nel caso in cui<br />
<strong>di</strong>viden<strong>di</strong> o premi o cedole fossero corrisposti in momenti <strong>di</strong>versi dall'istante finale.<br />
5 Vedasi questo testo nella parte riguardante i tassi <strong>di</strong> interesse.<br />
6 Per chi sia interessato a questo tema si rimanda a testi come: SELLERI L., Contabilità dei costi e contabilità<br />
analitica. Determinazioni quantitative e controllo <strong>di</strong> gestione, Etas Libri, Milano, 1990; BRUSA L.,<br />
ZAMPROGNA L., Pianificazione e controllo <strong>di</strong> gestione: creazione <strong>del</strong> valore, cost accounting e reporting<br />
2
Si deve comunque arrivare a valutare il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> business i intrapreso in t con<br />
PRit<br />
Rit<br />
,<br />
Cit<br />
=<br />
, + 1<br />
,<br />
dove:<br />
Pri,t+1 profitto derivante dalla produzione e ven<strong>di</strong>ta <strong>del</strong>l'i-esimo prodotto o business<br />
nel periodo (t, t+1) e riportato alla fine <strong>del</strong> periodo, cioè in t+1;<br />
Ci,t capitale investito in t, inizio <strong>del</strong> periodo, nell’i-esimo prodotto o business.<br />
Naturalmente tutto questo deve essere valutato ex-ante, anche sulla base <strong>di</strong> esperienze<br />
trascorse, ma “corrette” per il futuro, o <strong>di</strong> simulazioni sulla <strong>di</strong>stribuzione dei ren<strong>di</strong>menti<br />
(Monte Carlo, brainstorming, analisi top down) o <strong>di</strong> ipotesi, tutte tecniche che portano poi<br />
alla valutazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso e <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong>le singole possibilità <strong>di</strong><br />
investimento.<br />
1.3. Ren<strong>di</strong>mento atteso e rischio <strong>di</strong> un titolo o business<br />
D'ora in poi per ren<strong>di</strong>mento si intenderà il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento moltiplicato per 100 (per<br />
esempio, 17 sta per 17%) e si trascurerà l'in<strong>di</strong>ce temporale, dato che ci si occuperà <strong>di</strong> una<br />
sola, prossima, unità temporale rilevante per il decisore.<br />
Si utilizza quin<strong>di</strong> un mo<strong>del</strong>lo uniperiodale. Se un decisore ha scelto il mese come unità<br />
periodale, è scontato che prima <strong><strong>del</strong>la</strong> fine <strong>di</strong> ogni mese applichi, uttilizzando le<br />
informazioni <strong>di</strong>sponibili al momento, mese dopo mese, il mo<strong>del</strong>lo decisionale<br />
monoperiodale per simulare, controllare a priori, gli effetti <strong>del</strong>le nuove informazioni sul<br />
ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>del</strong> suo <strong>portafoglio</strong> o <strong><strong>del</strong>la</strong> sua azienda per il mese prossimo.<br />
A priori, il prezzo <strong>di</strong> un titolo in t=0, cioè inizio periodo, è noto, ma in t+1 non è certo e<br />
quin<strong>di</strong> il ren<strong>di</strong>mento è una variabile casuale (v.c.) e il decisore dovrà assegnarle una<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità 7. Quale sia nella realtà il tipo <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità <strong>del</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo o business, in generale, è un problema <strong>del</strong> tutto illusorio.<br />
Si sa che l'unità temporale influenza la <strong>di</strong>stribuzione; alcune verifiche empiriche hanno<br />
portato ad accettare <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong>verse anche se, ancor oggi, per convenienza <strong>di</strong>dattica<br />
od operativa, si ricorre spesso alla <strong>di</strong>stribuzione Gaussiana 8. L'utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> trasformazione<br />
logaritmica appena vista è ritenuto utile anche per verificare la normalità <strong>del</strong>le<br />
<strong>di</strong>stribuzioni dei ren<strong>di</strong>menti 9. Allora, per eludere tali problemi e semplificare l'approccio,<br />
<strong>di</strong>rezionale: tendenze evolutive, Etas Libri, Milano, 1991; CODA V., I costi standard nella programmazione e<br />
nel controllo, Giuffrè, Milano, 1975; DEAKIN E.B., MAHER M.W., Cost Accounting, Irwin, Homewood,<br />
1992; EMMANUEL C., OTLEY D., MERCHANT K., Accounting for Management Control, Chapman & Hall,<br />
London, 1990; MACIARIELLO J.A., KIRBY C.J., Management Control Systems, Prentice Hall Intl, Englewood<br />
Cliffs, 1994; BURCH J.G., Contabilità <strong>di</strong>rezionale e controllo <strong>di</strong> gestione; impatto <strong>del</strong>le nuove tecnologie,<br />
EGEA, Milano, 1997.<br />
7 LINTNER J., "The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and<br />
Capital Budgets", Review of Economics and Statistics. Feb. 1965; LEVY H., SARNAT M., Capital Investment<br />
and Financial Decisions, Prentice Hall Int., N.Y., 1986.<br />
8 BREALEY R., EDWARDS H., A Bibliography of Finance, Vol. 2, cap.10.3, The MIT Press, Cambridge,<br />
Mass., 1991; CANESTRELLI E., NARDELLI C., Criteri per la Selezione <strong>del</strong> Portafoglio, Giappichelli, Torino,<br />
1991; BOOKSTABER R.M., MCDONALD J.B., "A General Distribution for Describing Security Price Returns",<br />
Journal of Business, July 1987, vol. 60.3, pagg. 401-424; FAMA E.F., "The Behavior of Stock Market<br />
Prices", Journal of Business, Jan. 1965, vol. 38, pagg. 34-105; ALEXANDER G.J., FRANCIS J.C., Portfolio<br />
Analysis, Prentice Hall, New York 1986.<br />
9 GARBADE K., <strong>Teoria</strong> dei Mercati Finanziari, Il Mulino, Bologna, 1989, pagg. 85 e seg.<br />
3
invece <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità dei ren<strong>di</strong>menti, qualsiasi essa sia, si utilizzano<br />
degli in<strong>di</strong>ci sintetici; tipicamente i momenti10. I più usati sono il valore atteso e la varianza.<br />
Nel caso che la v.c. ren<strong>di</strong>mento sia <strong>di</strong>screta si assegna un valore <strong>di</strong> probabilità ad ogni<br />
ren<strong>di</strong>mento, quin<strong>di</strong> il valore atteso e la varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento futuro sono<br />
rispettivamente dati da<br />
M<br />
i ∑ ij ij<br />
j=<br />
1<br />
E( R ) = p R = R<br />
i<br />
M<br />
( ) ∑ ( )<br />
2 2<br />
2<br />
V( R ) = E R − R = p R − R = σ<br />
i ij i ij ij i<br />
j=<br />
1<br />
dove<br />
E( Ri )= Ri : ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, con i =1,2,...N;<br />
: j-esimo possibile ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, con j=1,2,...M;<br />
R ij<br />
pij : probabilità associata a Rij, con 0≤pij ≤ 1,<br />
∀j e ∑ pij = 1, ∀i.<br />
La varianza è il valore atteso <strong>del</strong> quadrato degli scarti dei valori <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile casuale<br />
dal suo valore atteso.<br />
La Tab.1 mostra la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo o business B per<br />
il quale sono previsti solo tre possibili <strong>di</strong>versi ren<strong>di</strong>menti per il prossimo anno.<br />
Possibili ren<strong>di</strong>menti<br />
<strong>del</strong> titolo o business B<br />
Probabilità<br />
10.8 1/6<br />
16.4 3/6<br />
15 2/6<br />
Totale 6/6= 1.00<br />
Tab. 1: Distribuzione <strong>di</strong> probabilità dei ren<strong>di</strong>menti<br />
<strong>del</strong> titolo o business B per il prossimo anno<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> B è 15, la varianza è 3.92, lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o (s.q.m.<br />
oppure σ), ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza, è 1.98. Infatti:<br />
ER ( i ) = 10. 8 × + . × + × =<br />
V( Ri)<br />
= ( . − ) × + ( . − ) × + ( − ) × = .<br />
= . = . ≅<br />
1 3 2<br />
16 4 15 15<br />
6 6 6<br />
2 1<br />
2 3<br />
2 2<br />
10 8 15 16 4 15 15 15 392<br />
6<br />
6<br />
6<br />
σ 392 198 2<br />
R i<br />
H.M. Markowitz 11 nel 1952 propose la varianza come misura <strong>del</strong> rischio d'investimento<br />
per cui: a varianza via via più elevata si associa rischio via via più elevato. Naturalmente,<br />
un titolo con varianza nulla è un titolo privo <strong>di</strong> rischio, cioè a ren<strong>di</strong>mento certo, come nel<br />
caso <strong>di</strong> obbligazioni senza cedola a scadenza fissa (per esempio i BOT e gli Zero Coupon<br />
Bond) se e solo se acquistati all'emissione e detenuti fino a scadenza. Valore atteso e<br />
varianza, ovviamente, non sintetizzano tutte le informazioni contenute nella <strong>di</strong>stribuzione<br />
10 VAJANI L., Statistica Descrittiva, Etas Libri, Milano, 1974.<br />
11 MARKOWITZ H.W., 1952, op. cit.<br />
4<br />
M<br />
j=<br />
1<br />
i
<strong><strong>del</strong>la</strong> variabile aleatoria ren<strong>di</strong>mento, salvo casi particolari come quello <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>stribuzione<br />
Gaussiana ed alcune altre 12. Di conseguenza la proposta <strong>di</strong> Markowitz è suscettibile <strong>di</strong><br />
critiche 13. Per esempio, si obietta che, razionalmente, il rischio dovrebbe considerare i<br />
ren<strong>di</strong>menti al <strong>di</strong> sotto <strong>di</strong> una certa soglia, <strong>di</strong>versa da operatore ad operatore, e che quin<strong>di</strong> si<br />
dovrebbero considerare solo gli scarti negativi e non quelli positivi da quella soglia. D'altro<br />
canto la varianza gode <strong>di</strong> vantaggi analitici che altre misure <strong>di</strong> variabilità non hanno 14.<br />
La proposta <strong>di</strong> Markowitz è comunque ancor oggi utilizzata sia nella teoria finanziaria<br />
(come nel Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong>, CAPM 15) sia nella pratica finanziaria 16, non ultima<br />
in RiskMetrics <strong><strong>del</strong>la</strong> J.P. Morgan/Reuters per il controllo <strong>del</strong> Value at Risk 17.<br />
1.4. Confronto fra più titoli o business<br />
Nella Tab. 2 sono riportati valore atteso, scarto quadratico me<strong>di</strong>o, ren<strong>di</strong>mento atteso per<br />
unità <strong>di</strong> rischio, rischio per unità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> cinque titoli o business<br />
denominati A, B, C, D, E 18.<br />
A B C D E<br />
R i 15 15 17 20 12<br />
σ i 1.4142 2.0000 1.6903 1.8516 1.0690<br />
R i /σ i 10.6067 7.5000 10.0574 10.8015 11.2254<br />
σ i/ R i 0.0943 0.1333 0.0994 0.0926 0.0891<br />
Tab. 2: Ren<strong>di</strong>mento atteso, scarto quadratico me<strong>di</strong>o, ren<strong>di</strong>mento atteso per unità <strong>di</strong> rischio,<br />
rischio per unità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>meto atteso <strong>di</strong> cinque titoli o business.<br />
Si può notare che:<br />
− D ha il ren<strong>di</strong>mento atteso più alto, ma non il rischio più alto;<br />
12 ALEXANDER G.J., FRANCIS G.C., 1986, op.cit.<br />
13 BAMBERG G., SPREMANN K., Capital Market Equilibria, Springer Verlag, N.Y., 1986, pag. 7-49<br />
14 PESARIN F. , Elementi <strong>di</strong> Calcolo <strong>del</strong>le Probabilitá, Cleup, Padova, 1985.<br />
15 CAPM: Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong>; SHARPE W.F:, "Capital Asset Prices: a Theory of Market<br />
Equilibrium under Con<strong>di</strong>tions of Risk", Journal of Finance, 19, 1964, pag, 425-442; LINTNER J., 1965, op.<br />
cit., pag 13-1; MOSSIN J., "Equilibrium in a Capital Asset Market", EM, Oct. 1966, vol. 34, pag, 768-783.<br />
16 BARRA, The Global Equity Mo<strong>del</strong> Handbook, Barra, University Avenue, Berkeley CA 94704-1058 USA,<br />
1995<br />
17 MORGAN J.P./REUTERS, Technical Document, December 1996, Morgan Guaranty Trust Company, New<br />
York;<br />
JORION P., Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk, 1997, IRWIN, Chicago.<br />
18 Per poter valutare i ren<strong>di</strong>menti attesi e gli scarti in Tab. 2 si deve procedere come già detto oppure si<br />
possono trattare dei ren<strong>di</strong>menti ex-ante forniti da più analisti:<br />
A B C D E<br />
15 17 17 19 12<br />
17 13 20 22 10<br />
... ... ... ... ...<br />
16 18 18 21 13<br />
15 12 16 18 12<br />
e quin<strong>di</strong> calcolare il valore atteso e lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o con le opportune tecniche statistiche. Talvolta<br />
un analista ha informazioni circa il valore atteso, il ren<strong>di</strong>mento massimo, xmax , e minimo, xmin , previsti per il<br />
periodo in esame e non ha lo s.q.m.. Allora, nell’ipotesi <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione gaussiana dei ren<strong>di</strong>menti,<br />
ponendo xmin = x2.5 e xmax = x97.5 valori percentili <strong><strong>del</strong>la</strong> stessa, si può valutare lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o<br />
come: σ ≅ (x97.5 - x2.5)/4.<br />
5
− E ha il ren<strong>di</strong>mento più basso ed anche il rischio più basso;<br />
− A e B hanno uguale ren<strong>di</strong>mento atteso, ma B risulta più rischioso perché ha lo s.q.m.<br />
maggiore <strong>di</strong> quello <strong>di</strong> A.<br />
Il rapporto<br />
Ri / σ i<br />
valuta il ren<strong>di</strong>mento atteso per unità <strong>di</strong> rischio ed è un in<strong>di</strong>ce utilmente impiegabile per<br />
confrontare più alternative a ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong>versi (è definito coefficiente <strong>di</strong><br />
variazione dagli statistici, mentre in finanza è detto anche "ren<strong>di</strong>mento periodale me<strong>di</strong>o<br />
aggiustato per il rischio" 19, o "ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong> rischio"). Tale rapporto Ri /σi rileva<br />
come A, C, D, E abbiano da 10.0574 a 11.2254 punti <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso per unità <strong>di</strong><br />
rischio, mentre B riporta un ren<strong>di</strong>mento aggiustato <strong>del</strong> rischio decisamente più basso: 7.5.<br />
Il reciproco <strong>di</strong> tale in<strong>di</strong>ce quantifica, naturalmente, il rischio per unità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso. B emerge, negativamente, sugli altri. In Fig. 1 il ren<strong>di</strong>mento atteso e lo scarto<br />
quadratico me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> ciascun titolo è stato rappresentato sul piano [ R,σ ] .<br />
Fig. 1: Ren<strong>di</strong>mento atteso e scarto quadratico me<strong>di</strong>o dei cinque titoli o<br />
business esaminati<br />
Si supponga <strong>di</strong> voler investire, per il prossimo anno, tutto il capitale <strong>di</strong>sponibile in uno<br />
solo dei cinque titoli o business considerati, ipotizzando che siano i soli <strong>di</strong>sponibili per il<br />
decisore. Per attuare la scelta si deve ricorrere all’in<strong>di</strong>viduazione <strong>di</strong> un criterio e a dei<br />
parametri che informino lo stesso.<br />
La <strong>selezione</strong> per or<strong>di</strong>ne alfabetico o casuale, lanciando per esempio un dado a cinque<br />
facce, sono meto<strong>di</strong> sicuramente interessanti, ma qui proponiamo un metodo che controlli<br />
sia il valore atteso sia il rischio, quest’ultimo misurato dallo scarto quadratico me<strong>di</strong>o (o<br />
varianza).<br />
19 RUOZI R., Manuale dei Fon<strong>di</strong> Comuni <strong>di</strong> Investimento, Giuffrè Ed., Milano 1987, pag, 89.<br />
6
Utilizzando il metodo <strong><strong>del</strong>la</strong> dominanza20 e come parametri decisionali il valore atteso<br />
e la varianza, metodo E-V, possiamo or<strong>di</strong>nare (scegliere, preferire) i titoli rischiosi in<br />
analisi.<br />
Tale metodo propone che si operi come segue:<br />
1) a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso viene scelta l'opportunità meno rischiosa (dominanza per<br />
rischio);<br />
2) a parità <strong>di</strong> varianza (o <strong>di</strong> σ) viene scelta l'opportunità con ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore<br />
(dominanza per ren<strong>di</strong>mento);<br />
2 2<br />
3) nel caso in cui Ri < Rj e σi < σ j il titolo j-esimo non domina il titolo i-esimo:<br />
in questo caso il metodo evidenzia che le possibilità con ren<strong>di</strong>mento maggiore hanno<br />
maggior rischio (a maggior ren<strong>di</strong>mento maggior rischio o viceversa) e niente altro.<br />
Quin<strong>di</strong>, in questo caso il metodo E-V, da solo, non aiuta a scegliere (non attua un<br />
or<strong>di</strong>namento totale, ma parziale), ovvero si ha indecisione.<br />
L’applicazione <strong>del</strong> criterio E-V alle nostre cinque possibilità porta a verificare che:<br />
1) nessun decisore razionale deve scegliere B, perché dominato da:<br />
− A per rischio;<br />
− C e D sia per ren<strong>di</strong>mento sia per rischio;<br />
2) E, A, C, D sono non dominati, quin<strong>di</strong> efficienti in quanto a maggior ren<strong>di</strong>mento<br />
corrisponde maggior rischio.<br />
Quin<strong>di</strong>, scartato B, non esiste, per ora, tra A, C, D, E, una soluzione migliore <strong>del</strong>le altre e<br />
“la scelta <strong>di</strong> uno <strong>di</strong> essi sia invece questione da lasciare al decisore sulla base <strong>del</strong> suo<br />
atteggiamento verso il rischio o, più in generale, sulla base <strong>del</strong> proprio sistema <strong>di</strong><br />
preferenze” 21.<br />
20 MARKOWITZ H.M., Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil Blackwell<br />
Inc., N.Y., 1987; CASTAGNOLI E., PECCATI L., Introduzione alla Selezione <strong>del</strong> Portafoglio, Coop. Lorenzo<br />
Milani, Milano, 1991; CANESTRELLI E., NARDELLI C., 1991, op. cit.<br />
21 CASTAGNOLI E., PECCATI L., 1991, pag. 11, op.cit.<br />
7
2<br />
ANALISI DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA<br />
DUE TITOLI O BUSINESS<br />
2.1 Introduzione<br />
L'analisi ren<strong>di</strong>mento-rischio non riguarda solo e semplicemente i singoli titoli,<br />
come quelli in<strong>di</strong>cati in Tab. 2, ma anche tutte le possibili composizioni degli stessi<br />
ovvero le varie configurazioni <strong>di</strong> mix <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, sia esso un fondo comune<br />
azionario o un mix produttivo-commerciale <strong>di</strong> una compagnia <strong>di</strong> assicurazioni<br />
operante nei rami danni o <strong>di</strong> un’impresa commerciale qualsiasi.<br />
Tali configurazioni possono essere infinite se definiamo x i la quota <strong>di</strong> capitale<br />
investita nell'i-esimo titolo, o nel i-esimo business, nel campo dei numeri reali e si<br />
pone il vincolo<br />
∑ xi = 1<br />
noto come vincolo <strong>di</strong> bilancio: tutto il capitale <strong>di</strong>sponibile viene investito.<br />
Nel caso <strong>di</strong> due titoli il vincolo <strong>di</strong> bilancio <strong>di</strong>venta: x1 + x2<br />
= 1.<br />
Trattando investimenti, la frazione <strong>di</strong> capitale xi assume tutti e solo i valori<br />
compresi tra 0 e 1 (estremi inclusi) 22 quin<strong>di</strong><br />
0 ≤ xi ≤ 1.<br />
Nel caso in cui fossero ammessi finanziamenti, o investimenti allo scoperto, la<br />
variabile xi può assumere anche valori esterni a tale intervallo, negativi o maggiori<br />
<strong>di</strong> 1.<br />
Scopo <strong><strong>del</strong>la</strong> Selezione <strong>del</strong> Portafoglio è quello <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare la migliore<br />
ripartizione, secondo il criterio E-V, <strong>del</strong> capitale tra i titoli o business, ossia stabilire<br />
i "giusti" pesi xi da attribuire ad ogni titolo o business.<br />
Tali “giusti” pesi dovranno razionalmente permettere <strong>di</strong> avere un progetto <strong>di</strong><br />
investimenti con il massimo ren<strong>di</strong>mento a parità <strong>di</strong> rischio o a minimo rischio a<br />
parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, cioè portare a comporre un progetto <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> efficiente in<br />
E-V.<br />
Il problema che si affronta è anche noto come il problema <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>versificazione,<br />
problema che nel gergo comune si esprime <strong>di</strong>cendo: “vorrei un <strong>portafoglio</strong> che mi<br />
permetta <strong>di</strong> guadagnare intorno al 10% con il minor rischio” ovvero “partendo da un<br />
rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, per esempio <strong>di</strong> due punti, vorrei sapere quale mix mi dà il<br />
massimo ren<strong>di</strong>mento”.<br />
2.2 Analisi dei portafogli possibili nel caso <strong>di</strong> due titoli o business a ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatorio<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong>, R P , è la me<strong>di</strong>a aritmetica ponderata dei<br />
ren<strong>di</strong>menti attesi dei singoli titoli o, in altre parole, trasformazione lineare dei<br />
2<br />
ren<strong>di</strong>menti attesi dei singoli titoli. La varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, σP, è data dal valore<br />
22 Tale ipotesi è da ritenersi d'ora in poi sempre presente, salvo che non venga detto <strong>di</strong>versamente.<br />
8
atteso <strong>del</strong> quadrato degli scarti <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> dal ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
<strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> stesso. Per un <strong>portafoglio</strong> composto da due titoli o business si ha:<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
RP = E( RP) = x1E( R1) + x2E( R2) = x1R1 + x2R2 varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> (meglio, dei ren<strong>di</strong>menti futuri dei titoli o business in<br />
<strong>portafoglio</strong>)<br />
dove:<br />
σ<br />
[ ]<br />
(<br />
2<br />
) 1 1 2 2 ( 1 1 2<br />
2<br />
2)<br />
[<br />
[<br />
1( 1<br />
2<br />
1 ( 1<br />
1) 2<br />
1)<br />
2( 2<br />
2<br />
2 ( 2<br />
2<br />
2)<br />
]<br />
2<br />
2)<br />
2 1 2( 1 1)( 2 2)<br />
]<br />
2<br />
1 ( 1<br />
2<br />
1)<br />
2<br />
2 ( 2<br />
2<br />
2)<br />
2 1 2 ( 1 1)( 2 2)<br />
= ER − R = ExR+ xR − xR + xR =<br />
2<br />
P P P<br />
= Ex R − R + x R − R =<br />
= Ex R − R + x R − R + xx R − R R − R =<br />
2<br />
2<br />
= x σ + x σ + 2x<br />
x σ<br />
9<br />
[ ]<br />
= x E R − R + x E R − R + x x E R −R R − R =<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 2 12<br />
[ ( )( ) ]<br />
σ12 = E R1−R1R2−R 2<br />
è la covarianza fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le due alternative <strong>di</strong>sponibili23. Da quanto sopra, si nota come la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è una trasformazione<br />
quadratica <strong>del</strong> “rischio” dei singoli titoli o business.<br />
La covarianza, σ12 , misura quanto i ren<strong>di</strong>menti dei due titoli siano legati da una<br />
relazione lineare, ed essendo il valore atteso <strong>del</strong> prodotto <strong>di</strong> due scarti, può assumere<br />
valori positivi, nulli o negativi:<br />
− positivi quando gli scarti dei ren<strong>di</strong>menti dei due titoli hanno prevalentemente lo<br />
stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi, Fig. 2);<br />
− negativi quando a scarti positivi <strong>di</strong> un investimento corrispondono<br />
prevalentemente scarti negativi nell'altro o viceversa (Fig. 3);<br />
− nullo quando si ha in<strong>di</strong>pendenza lineare tra i ren<strong>di</strong>menti dei due titoli24 (Fig. 4a e<br />
4b).<br />
Una caratteristica evidente <strong><strong>del</strong>la</strong> covarianza è la simmetria, cioè σ12 = σ21. Inoltre<br />
2<br />
2<br />
σ11 = E[ ( R1 −R1)( R1 − R1) ] = E( R1 − R 1)<br />
= σ1<br />
e, naturalmente,<br />
2<br />
2<br />
σ = E R −R R − R = E R − R = σ<br />
[ ( )( ) ] ( )<br />
22 2 2 2 2 2 2<br />
23La covarianza è data da: = ( − )( − )<br />
σ12 R1R1R2R2p 12<br />
con p 12 probabilità congiunta dei ren<strong>di</strong>menti dei due titoli (probabilità che si abbiano<br />
contemporaneamente R 1 e R 2 ).<br />
24 STEWART M.B., WALLIS K.F., Introductory Econometrics, Basil Blakwell, Oxford, 1981.<br />
2
Si può standar<strong>di</strong>zzare la covarianza <strong>di</strong>videndola per σ1σ2> 0, prodotto degli scarti<br />
quadratici me<strong>di</strong> dei ren<strong>di</strong>menti dei due titoli; in questo modo si possono confrontare<br />
le relazioni fra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business che compongono i portafogli<br />
in<strong>di</strong>pendentemente dall'unità <strong>di</strong> misura.<br />
Si ottiene così il coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare, ρ12, σ12<br />
σ 21<br />
−1≤ ρ12<br />
= = = ρ 21 ≤ + 1<br />
σσ 1 2 σσ 1 2<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare ha il medesimo significato e le medesime<br />
proprietà <strong><strong>del</strong>la</strong> covarianza (Fig. 2, Fig. 3, Fig. 4a, Fig. 4b) con il vantaggio <strong>di</strong> essere<br />
un buon in<strong>di</strong>ce, poiché possiede valore minimo (-1) e massimo (+1) noti.<br />
Inoltre se:<br />
ρ12= +1, i ren<strong>di</strong>menti dei due titoli o business sono legati da una legge<br />
deterministica lineare crescente;<br />
ρ12= -1, i ren<strong>di</strong>menti dei due business si muovono in <strong>di</strong>rezioni opposte evidenziando<br />
una legge deterministica lineare decrescente;<br />
ρ12= 0, i ren<strong>di</strong>menti dei due business sono linearmente non correlati.<br />
E' importante evidenziare la relazione<br />
σ12 = ρ12σ1σ 2<br />
che permette <strong>di</strong> trovare il valore massimo <strong><strong>del</strong>la</strong> covarianza dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due<br />
business in corrispondenza <strong>di</strong> ρ12 = 1.<br />
Quin<strong>di</strong> il valore massimo <strong><strong>del</strong>la</strong> covarianza è<br />
pari al prodotto dei due scarti quadratici me<strong>di</strong>. Essa, inoltre, mostra che il segno <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
covarianza <strong>di</strong>pende da quello <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare (σ1 e σ2 sono<br />
sempre positivi) e solo quando ρ12 = 0 la covarianza è nulla.<br />
In generale tra σij e ρij sussistono le seguenti relazioni:<br />
se i=j allora ρii = 1 e σii = ( σiσi) = σi<br />
2 (il numeratore è uguale al denominatore);<br />
se i≠j allora ρii ≤1 e σij = ρijσiσj. 2.2.1. Un'applicazione<br />
In Tab. 3 e Tab. 4 è riportata rispettivamente la matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze<br />
e la matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare tra i ren<strong>di</strong>menti futuri dei 5 titoli o<br />
business i cui ren<strong>di</strong>menti attesi e scarti sono in Tab. 2.<br />
A B C D E<br />
A 2.0000 -0.4286 2.2857 0.1429 -0.2857<br />
B 4.0000 -0.2857 1.1429 1.1429<br />
C 2.8571 0.7143 -0.5714<br />
D 3.4286 0.1429<br />
E 1.1429<br />
Tab. 3: Matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze fra i ren<strong>di</strong>menti futuri <strong>di</strong><br />
cinque titoli o business<br />
A B C D E<br />
10
A 1 -0.1515 0.9592 0.0546 -0.1890<br />
B 1 -0.0845 0.3086 0.5345<br />
C 1 0.2282 -0.3162<br />
D 1 0.0722<br />
E 1<br />
Tab. 4: Matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare fra i<br />
ren<strong>di</strong>menti futuri <strong>di</strong> cinque titoli o business<br />
Quanto in Tab. 3 e Tab. 4 può essere frutto:<br />
- <strong>del</strong>l’analisi bivariata <strong>del</strong>le rispettive variabili casuali ren<strong>di</strong>menti ex-ante;<br />
- <strong>di</strong> valutazioni a seguito <strong>di</strong> stime ex-post mo<strong>di</strong>ficate per identificare quanto vede il<br />
decisore per il periodo in analisi;<br />
- <strong>di</strong> ipotesi, <strong>di</strong> simulazioni.<br />
Si ricorda che se il decisore non ha informazioni sulle singole correlazioni può<br />
imporre a tutte le coppie il coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare me<strong>di</strong>o previsto, <strong>del</strong><br />
mercato o <strong>del</strong>l’azienda, e che le varianze e covarianze si possono calcolare anche<br />
utilizzando gli scarti quadratici me<strong>di</strong>, valutati in Tab. 2, e i coefficienti <strong>di</strong><br />
correlazione.<br />
Si ricorda che ρ ij<br />
ρij è detto coefficiente <strong>di</strong> determinazione lineare e<br />
quantifica la percentuale <strong>di</strong> casi, ren<strong>di</strong>menti, spiegati dalla relazione lineare fra i due<br />
titoli o business. Tale coefficiente permette <strong>di</strong> valutare il grado <strong>di</strong> aderenza alla<br />
funzione lineare per la descrizione <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei ren<strong>di</strong>menti.<br />
Si può osservare come:<br />
2 2<br />
, ( 0≤ ≤1)<br />
− A e C (ρ A,C = 0.96), sono i titoli o business a più elevata correlazione lineare<br />
<strong>di</strong>retta nei ren<strong>di</strong>menti, segue la coppia B ed E con ρ B,E = 0.53;<br />
− è verificata una debole correlazione lineare inversa fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> A con B, <strong>di</strong><br />
A con E, <strong>di</strong> C con E;<br />
− negli altri casi la correlazione lineare è o debole o debolissima.<br />
Si propongono alcune simulazioni <strong>di</strong> composizioni <strong>di</strong> due titoli o business, scelti fra i<br />
cinque <strong>di</strong>sponibili, per analizzare empiricamente le “proprietà nascoste” ren<strong>di</strong>mentorischio<br />
dei portafogli risultanti 25.<br />
25 Nelle simulazioni si utilizzano i valori riportati nelle tabelle 2, 3 e 4 arrotondati alla seconda cifra<br />
decimale.<br />
11
Fig. 2: Un esempio <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione congiunta dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business<br />
nel caso <strong>di</strong> covarianza e coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare positivi.<br />
Fig. 3: Un esempio <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione congiunta dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business<br />
nel caso <strong>di</strong> covarianza e coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare negativi.<br />
12
Figure 4a e 4b: Due esempi, fra i molti, <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione congiunta dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong><br />
due titoli o business nel caso <strong>di</strong> covarianza e coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare<br />
praticamente nulli.<br />
13
A)<br />
Componendo un <strong>portafoglio</strong> F ripartendo, empiricamente, il capitale 50% in A e 50%<br />
in C:<br />
⎧R<br />
A = 15; σ A = 141 .<br />
⎪<br />
dati: ⎨R<br />
C = 17; σC<br />
= 169 .<br />
⎪<br />
⎩<br />
ρAC<br />
= 096 .<br />
si hanno ren<strong>di</strong>mento atteso R F e scarto quadratico me<strong>di</strong>o σ F (Fig. 5):<br />
R F = 15 × 0. 5 + 17 × 0. 5 = 16<br />
σ F = .<br />
2<br />
×<br />
2<br />
. + .<br />
2<br />
×<br />
2<br />
. + × . × . × . × . × .<br />
12 /<br />
= .<br />
[ ]<br />
141 0 5 169 0 5 2 0 96 141 169 0 5 0 5 153<br />
Se si compongono “<strong>di</strong>versamente” i due titoli si ha, ad esempio:<br />
a) 80% in A, 20% in C. Allora si avrà :<br />
R P = 15 × 0. 8 + 17 × 0. 2 = 15. 4<br />
σ P = 146 .<br />
b) 20% in A, 80% in C. Allora si avrà:<br />
R P = 15 × 0. 2 + 17 × 0. 8 = 16. 6<br />
σ = 162 .<br />
P<br />
Fig. 5: Ren<strong>di</strong>mento atteso e scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> F ottenuto<br />
ripartendo il capitale: 50% nel business A e 50% nel business C.<br />
14
La curva AC rappresenta in [ R,σ ] gli infiniti portafogli fattibili componendo A e C<br />
con i pesi, infiniti, da A=100% e B=0% via via fino a A=0% e B=100%.<br />
Andando a valutare tutti i possibili portafogli componibili con A e C (infiniti) si<br />
potrebbe osservare che (Fig. 5):<br />
- a maggior ren<strong>di</strong>mento corrisponde sempre maggior rischio;<br />
- nessun <strong>portafoglio</strong> è dominato (tutti sono dominanti);<br />
- non si ha mai σ P < σ A.<br />
ossia il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> non è mai minore <strong>di</strong> quello <strong>di</strong><br />
A; vedremo più avanti che ciò è causato dall’elevata correlazione lineare positiva tra<br />
i ren<strong>di</strong>menti.<br />
15
B)<br />
Componendo un <strong>portafoglio</strong> Q ripartendo, empiricamente, il capitale 50% in B e<br />
50% in D:<br />
⎧R<br />
B = 15; σ B = 2<br />
⎪<br />
dati: ⎨R<br />
D = 20; σ D = 185 .<br />
⎪<br />
⎩<br />
ρBD<br />
= 031 .<br />
si hanno ren<strong>di</strong>mento atteso R Q e scarto quadratico me<strong>di</strong>o σ Q (Fig. 6):<br />
R Q<br />
σ<br />
Q<br />
= 15 × 0. 5 + 20 × 0. 5 = 17. 5<br />
2 2 2 2<br />
( 2 0. 5 185 . 0. 5 2 0. 31 2 185 . 0. 5 0. 5)<br />
= × + × + × × × × × =<br />
( )<br />
12 /<br />
= 1+ 0. 86 + 0. 57 = 156 .<br />
Si può osservare che componendo B con D come sopra si è ottenuto un rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>, σ Q =1.56, inferiore a quello dei singoli titoli, 2 e 1.85 rispettivamente;<br />
vedremo che ciò è dovuto alla non elevata correlazione lineare positiva fra i<br />
ren<strong>di</strong>menti dei due titoli o business trattati.<br />
Andando ad analizzare altre composizioni <strong>di</strong> B con D si trova che componendo il<br />
40% in B ed il 60% in D esiste un <strong>portafoglio</strong>, che in<strong>di</strong>chiamo Q', con R Q' =18 e<br />
σ Q ′ =1.56.<br />
Quin<strong>di</strong>, Q' domina Q: ha lo stesso s.q.m., ma maggior ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> Q. La<br />
composizione, empirica, 50% <strong>di</strong> capitale in B e 50% in D ha prodotto un<br />
<strong>portafoglio</strong> Q inefficiente in E-σ, perché dominato da Q’. Si analizzi la figura alla<br />
pagina successiva.<br />
16<br />
12 /
Fig. 6: Ren<strong>di</strong>mento atteso e scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> Q e Q' ottenuti<br />
ripartendo rispettivamente il capitale: 50% in B e 50% per Q, 40% in B e 60% in D<br />
per Q'. Q' domina Q perchè a parità <strong>di</strong> rischio ha ren<strong>di</strong>mento maggiore. La curva<br />
che unisce B a D rappresenta i ren<strong>di</strong>menti-rischi degli infiniti portafogli fattibili; la<br />
parte <strong><strong>del</strong>la</strong> curva che dal minimo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione sale fino a D rappresenta l’insieme<br />
dei portafogli dominanti, efficienti.<br />
17
C)<br />
Componendo empiricamente un <strong>portafoglio</strong> S con capitale 50% in C e 50% in E:<br />
⎧R<br />
C = 17; σ C = 169 .<br />
⎪<br />
dati: ⎨R<br />
E = 12; σ E = 107 .<br />
⎪<br />
⎩<br />
ρCE<br />
=−032<br />
.<br />
si ha ren<strong>di</strong>mento atteso R S e scarto quadratico me<strong>di</strong>o σS <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>:<br />
R S = 17 × 0. 5 + 12 × 0. 5 = 14. 5<br />
σS<br />
=<br />
2<br />
×<br />
2<br />
+<br />
2<br />
×<br />
2<br />
+ × ( − ) × × × ×<br />
12 /<br />
=<br />
[ ]<br />
169 . 05 . 107 . 05 . 2 032 . 169 . 107 . 05 . 05 . 084 .<br />
Fig. 7: Ren<strong>di</strong>mento atteso e scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> S, efficiente,<br />
ottenuto ripartendo il capitale: 50% in E , 50% in C.<br />
Andando ad analizzare tutte le possibili composizioni <strong>di</strong> C con E si verifica che il<br />
<strong>portafoglio</strong> S è efficiente, Fig. 7. Esso ha, inoltre, rischio inferiore a quello <strong>di</strong> E e a<br />
quello <strong>di</strong> C, grazie alla correlazione lineare negativa esistente fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> E e<br />
quelli <strong>di</strong> C. Interessante è osservare che, pur riportando S un rischio minore <strong>di</strong> quello<br />
<strong>di</strong> E, S rende più <strong>di</strong> E.<br />
Visti i risultati <strong>di</strong> queste esperienze dovrebbe essere naturale chiedersi come si deve<br />
operare per selezionare, a basso costo, i portafogli efficienti fra gli infiniti<br />
portafogli possibili.<br />
18
2.3. Selezione dei portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso <strong>di</strong> due titoli o<br />
business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio.<br />
Nei precedenti paragrafi sono state esaminate le caratteristiche <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento e<br />
rischio <strong>di</strong> singoli titoli e <strong>di</strong> alcuni portafogli possibili composti in maniera empirica.<br />
Si è anche introdotto il concetto <strong>di</strong> dominanza e <strong>di</strong> efficienza in E-σ.<br />
Si è altresì rilevato come:<br />
− il controllo <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> obblighi la valutazione <strong>di</strong> valore<br />
atteso <strong>di</strong> ogni titolo o business, come ognuno sa;<br />
− il controllo <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> obblighi la valutazione <strong>di</strong> valore atteso,<br />
varianza e correlazione lineare dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> ogni titolo o business con tutti<br />
gli altri, fatto non a tutti noto.<br />
Ora si approfon<strong>di</strong>rà lo stu<strong>di</strong>o <strong><strong>del</strong>la</strong> teoria <strong><strong>del</strong>la</strong> Selezione <strong>del</strong> Portafoglio 26 al fine<br />
<strong>di</strong> valutare i pesi x i che, dato un ren<strong>di</strong>mento atteso, minimizzino il rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong> ovvero, trattando il problema equivalente, dato il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
massimizzino il ren<strong>di</strong>mento. Si tratta, cioè, <strong>di</strong> valutare “scientificamente” la<br />
composizione <strong>di</strong> titoli o business per progettare portafogli efficienti, dominanti, e<br />
non semplicemente portafogli possibili. L'analisi partirà dal caso <strong>di</strong> portafogli con<br />
due titoli o business e verrà estesa al caso <strong>di</strong> n titoli o business nel Capitolo 3. In<br />
particolare si illustrerà come la <strong>selezione</strong> dei portafogli efficienti (economicamente<br />
sensati) non possa esaurirsi con un approccio euristico e/o informatico e/o tecnico<br />
economico-finanziario al problema, ma debba utilizzare l'approccio quantitativo 27,<br />
basato su mo<strong>del</strong>li ed algoritmi propri <strong>del</strong>l’analisi matematica e <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
programmazione matematica 28. Si rileverà come l'insieme dei portafogli efficienti<br />
formi la frontiera efficiente e che “la scelta <strong>di</strong> uno <strong>di</strong> essi sia invece questione da<br />
lasciare al decisore sulla base <strong>del</strong> suo atteggiamento verso il rischio o, più in<br />
generale, sulla base <strong>del</strong> proprio sistema <strong>di</strong> preferenze” 29.<br />
Le caratteristiche geometriche <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente <strong>di</strong>pendono dai seguenti<br />
parametri:<br />
− ren<strong>di</strong>menti attesi dei titoli o business;<br />
− varianze dei ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business, quin<strong>di</strong> singoli “rischi”;<br />
− covarianze (correlazioni) fra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business.<br />
Per facilitare il lettore, si pone, una volta per tutte, che i due titoli o business<br />
abbiano, da qui in poi,<br />
e si debba osservare il vincolo<br />
R R<br />
1 2<br />
< ; 0 < σ1 < σ 2<br />
26 MARKOWITZ H.M., Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, Wiley, N.Y., 1959;<br />
MARKOWITZ H.M., Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil<br />
Blackwell Inc., 1987; SHARPE W.F., Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw Hill Book Co.,<br />
N.Y., 1970; SZEGO G.P., Portfolio Theory, Academic Press, N.Y., 1980; SHARPE W.F., ALEXANDER<br />
G.J., Investments, Prentice Hall, N.Y., 1990.<br />
27 BARALDI S., La Scienza <strong><strong>del</strong>la</strong> Direzione, F. Angeli Ed., Milano, 1979.<br />
28 MARKOWITZ H.M., 1987, op. cit.<br />
29 CASTAGNOLI E., PECCATI L., 1991, pag. 11, op.cit.<br />
19
x1 + x2 = 1<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è<br />
RP = x1R1 + ( 1−x1) R2<br />
da cui si può avere anche che<br />
RP − R2<br />
x1<br />
= ,<br />
R1−R2 mentre il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è<br />
ovvero, sostituendo x<br />
2 2<br />
2 2<br />
[ 1 1 ( 1 1)<br />
2 2 1( 1 1) 12 1 2]<br />
σP= x σ + − x σ + x − x ρ σ σ<br />
1<br />
R − R<br />
=<br />
R − R<br />
P 2<br />
1 2<br />
si ha<br />
2<br />
2<br />
⎡⎛<br />
R − ⎞ ⎛ − ⎞ − ⎛ − ⎞ ⎤<br />
P R2<br />
2 RP R2<br />
2 RP R2<br />
RP R2<br />
σP = ⎢⎜<br />
⎟ σ1+ ⎜1−<br />
⎟ σ2+ 2 ⎜1−⎟ρ12σ1σ2⎥<br />
⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ − ⎝ −<br />
⎣⎢<br />
R1 R2<br />
R1 R2<br />
R1 R2<br />
R1 R2<br />
⎠<br />
⎦⎥<br />
( RP −R2)( R1 −RP)<br />
( R1 − R2)<br />
⎡<br />
2<br />
2<br />
⎛ R − ⎞ ⎛ − ⎞<br />
⎤<br />
= ⎢ P R2<br />
2 R1 RP<br />
2<br />
⎜ ⎟ σ + ⎜ ⎟ σ +<br />
ρ σ σ ⎥<br />
1<br />
2 2<br />
2 12 1 2<br />
⎢⎝<br />
R1 − R2<br />
⎠ ⎝ R1 − R2⎠<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
cioè l’equazione per cui il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è funzione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>.<br />
Si nota che, rispetto a x1: − l'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è funzione lineare dei due<br />
ren<strong>di</strong>menti;<br />
− l'equazione <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è:<br />
− una funzione lineare <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong>le alternative solo se |ρ12| = 1;<br />
− la ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> un polinomio <strong>di</strong> secondo grado se -1
aumenta il ren<strong>di</strong>mento e il rischio aziendale, secondo una relazione lineare, ed è<br />
impossibilitata ad ottiene “minor rischio” dall’aumento <strong><strong>del</strong>la</strong> quota nell’alternativa 2,<br />
anzi, per minimizzare il rischio non deve che investire tutto nell’attività 1. In questo<br />
caso tutti i punti-<strong>portafoglio</strong> possibili sono anche punti-portafogli sulla frontiera<br />
efficiente rappresentata da un segmento che unisce i due punti ( R 1 , σ 1), ( R 2 , σ 2),<br />
Fig.8.<br />
Fig. 8: Portafogli possibili e portafogli efficienti ottenuti dalla composizione <strong>di</strong> due<br />
titoli o business con perfetta correlazione lineare positiva dei ren<strong>di</strong>menti, ρ 12 =+1.<br />
Sostituendo ρ12 = +1 nella equazione che definisce il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, si ha<br />
= fR , lineare, <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente (Fig. 8)<br />
l'equazione σ P ( P)<br />
σ<br />
σ σ σ σ<br />
R R R<br />
⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ R1 2 − R2<br />
1⎞<br />
= ⎜ ⎟ + ⎜<br />
⎟<br />
⎝ − ⎠ ⎝ R − R ⎠<br />
P P<br />
1 2<br />
21<br />
1 2<br />
2.3.2. Caso con perfetta correlazione lineare negativa fra ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli<br />
o business<br />
Nel caso in cui si abbia perfetta correlazione lineare negativa, ρ 12 = -1, il rischio<br />
<strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è ancora combinazione lineare <strong>del</strong> rischio dei titoli<br />
σP= 2 2<br />
2 2<br />
x1σ1+ ( 1−x1) σ2−2x1( 1−<br />
x1)<br />
σ1σ2 1<br />
2<br />
=<br />
[ ]<br />
{ [ x1σ1 ( 1<br />
1<br />
2 2<br />
x1)<br />
σ2]<br />
} .<br />
= − −<br />
quin<strong>di</strong><br />
σP= x1σ1−( 1 −x1)<br />
σ2<br />
.<br />
Si ha ora da operare la <strong>di</strong>fferenza fra due adden<strong>di</strong> comunque positivi.
Operando su due business a ren<strong>di</strong>mento variabile e con perfetta correlazione inversa<br />
degli stessi, l’operatore ha la possibilità <strong>di</strong> ottenere un <strong>portafoglio</strong> a ren<strong>di</strong>mento<br />
certo? Se si, quanto valgono le quote da investire nel business 1 e nel business 2 per<br />
avere tale ren<strong>di</strong>mento certo? La soluzione si trova uguagliando a zero l’equazione<br />
<strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
σP= x1σ1−( 1− x1)<br />
σ2<br />
= 0<br />
x1σ1−(<br />
1− x1)<br />
σ2<br />
= 0<br />
x1σ1−<br />
σ2 + x1σ2<br />
= 0<br />
x σ + σ = σ<br />
e risolvendo per i pesi<br />
x 1<br />
1 2<br />
( )<br />
1 1 2 2<br />
σ 2 =<br />
σ + σ ; x σ1<br />
2 =<br />
σ + σ ;<br />
22<br />
1 2<br />
che permettono <strong>di</strong> avere un <strong>portafoglio</strong> a rischio nullo, cioè a ren<strong>di</strong>mento certo.<br />
Poiché σ 1 e σ 2 sono strettamente positivi, come si è detto in precedenza, per<br />
ottenere un <strong>portafoglio</strong> a rischio zero è necessario investire in entrambi i titoli<br />
secondo quelle esatte proporzioni. Tale situazione corrisponde alla perfetta<br />
immunizzazione <strong>del</strong> rischio.<br />
In questa situazione è possibile ottenere altri portafogli con<br />
{ }<br />
σP < min σ , σ = σ<br />
1 2 1 e RP > R1<br />
cioè portafogli in cui si verifica l'effetto <strong>di</strong>versificazione.<br />
Ricordando che x1 RPR2 R1 R2<br />
σ P = fRP<br />
può essere<br />
scritta come:<br />
σ σ σ σ<br />
P P<br />
R R<br />
σ p<br />
σ σ σ σ<br />
P P<br />
R<br />
R R<br />
R R R<br />
R R<br />
R R R<br />
⎧⎛<br />
+ ⎞ ⎛ + ⎞<br />
1 2<br />
1 2 2 1<br />
0<br />
⎪⎜<br />
⎟ − ⎜<br />
⎟ per 1 ≤ <<br />
⎪⎝<br />
1 − 2⎠<br />
⎝ 1 − 2 ⎠<br />
= ⎨<br />
⎪ ⎛ + ⎞ ⎛ R + R ⎞<br />
1 2<br />
1 2 2 1<br />
0<br />
−⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
⎟ per R ≤ R < R<br />
⎪<br />
2<br />
⎩ ⎝ 1 − 2⎠<br />
⎝ R1 − R2<br />
⎠<br />
dove R 0 in<strong>di</strong>ca il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> a rischio nullo, <strong>portafoglio</strong> composto da<br />
due titoli rischiosi con ρ12 = -1.<br />
Il ren<strong>di</strong>mento certo <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> così composto è pari a<br />
0 R1σ2 + R2σ1<br />
R =<br />
σ1 + σ2<br />
La funzione σ P = fR ( P)<br />
, esposta in Fig. 9, è quin<strong>di</strong> formata da due segmenti: uno<br />
decrescente e l'altro crescente, con:<br />
− uguale coefficiente angolare, ma <strong>di</strong> segno opposto;<br />
− uguale intercetta, ma <strong>di</strong> segno opposto.<br />
= ( - ) / ( - ) , la funzione ( )
I due segmenti rappresentano le caratteristiche E-σ <strong>di</strong> tutti i portafogli possibili con i<br />
due titoli. Solo il segmento crescente rappresenta i portafogli efficienti, dominando<br />
quello decrescente.<br />
Fig. 9: Portafogli fattibili ed efficienti nel caso <strong>di</strong> perfetta correlazione lineare<br />
negativa tra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business 1 e 2, ρ 12 = -1. Si <strong>di</strong>stingue la frontiera<br />
efficiente combinazione <strong>di</strong> portafogli efficienti ottenuti componendo il titolo 2 con<br />
il <strong>portafoglio</strong> privo <strong>di</strong> rischio e la combinazione <strong>di</strong> portafogli non efficienti ottenuti<br />
componendo il titolo 1 con il <strong>portafoglio</strong> privo <strong>di</strong> rischio.<br />
2.3.3 Caso con non perfetta correlazione lineare fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o<br />
business (<strong>di</strong> rilevante interesse operativo)<br />
Nella realtà economico-finanziaria la correlazione tra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o<br />
prodotti o business è “raramente” perfetta, <strong>di</strong>retta o inversa; la “normalità” <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
correlazione lineare fra i ren<strong>di</strong>menti futuri <strong>di</strong> due alternative vede -1 < ρ12 < 1. Anzi,<br />
operando nella stessa economia è molto frequente che il coefficiente <strong>di</strong> correlazione<br />
lineare fra i ren<strong>di</strong>menti sia positivo, 0 < ρ12 < 1. Allora la frontiera efficiente non è<br />
una funzione lineare. Essa risulta definita dalla funzione ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> un<br />
polinomio <strong>di</strong> secondo grado. Per verificare ciò basta stu<strong>di</strong>are il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
2 2<br />
2 2<br />
[ 1 1 ( 1 1)<br />
2 2 1( 1 1) 12 1 2]<br />
σP= x σ + − x σ + x −x<br />
ρ σ σ<br />
nella forma:<br />
⎡<br />
2<br />
2<br />
⎛ R ( )( )<br />
P − R ⎞ ⎛ R − R ⎞ R<br />
P P −R R −R<br />
⎤<br />
P<br />
σP= ⎢<br />
2 2 1<br />
2 2 1<br />
⎜ ⎟ σ + ⎜ ⎟ σ +<br />
ρ σ σ ⎥<br />
1<br />
2 2<br />
2 12 1 2<br />
⎢⎝<br />
R1−R2 ⎠ ⎝ R1−R2⎠ ⎣<br />
( R − R )<br />
⎥<br />
1 2<br />
⎦<br />
23<br />
1 2<br />
1 2
dalla quale risulta evidente che, a parità <strong>di</strong> RP , R1, R2,<br />
σ1, σ 2,<br />
il rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong>minuisce al ridursi <strong>di</strong> ρ12 nel suo dominio da +1 a -1.<br />
Tale funzione ha un minimo che può essere (Fig. 10):<br />
a) σP = min { σ1, σ2} = σ1,<br />
ovvero uguale al σi <strong>del</strong> titolo con minor rischio;<br />
b) σP < min { σ1, σ2} = σ1<br />
, ovvero σ P minore <strong>di</strong> quello in a), a partire dal quale inizia<br />
la frontiera efficiente.<br />
Fig. 10: Esempi <strong>di</strong> frontiere efficienti nel caso in cui i due titoli o business<br />
abbiano ren<strong>di</strong>menti non perfettamente correlati: − 1< ρ 12 < + 1<br />
Il caso b) illustra l'effetto <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>versificazione secondo la <strong>selezione</strong> <strong>del</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>. Si ricorda che stiamo trattando ancora il caso <strong>di</strong> soli due titoli o business<br />
e che ora si è verificato, analiticamente, come non occorra ricorrere a molti titoli o<br />
business per veder <strong>di</strong>minuito il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o d’azienda.<br />
Per calcolare il valore <strong>di</strong> x1 che minimizza il rischio, lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o<br />
<strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> titoli azionari o <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> business (in questo caso si<br />
minimizza il rischio aziendale), basta uguagliare a zero la derivata prima <strong>di</strong> σp<br />
rispetto a x1:<br />
2<br />
2 2<br />
dσP12x1σ1<br />
+ 2x1σ2 − 2σ2+ 2ρ σ σ −4x<br />
ρ σ σ<br />
=<br />
dx1<br />
2 2<br />
2<br />
12 /<br />
2<br />
2<br />
[ x1σ1+ ( 1− x1) σ2+ 2x1( 1−x1)<br />
ρ12σ1σ2] e risolverla per x1:<br />
2<br />
σ2−ρ12σ1σ2 x1 = 2 2<br />
σ + σ −2ρ<br />
σ σ<br />
1<br />
2<br />
24<br />
12 1 2 1 12 1 2<br />
12 1 2<br />
Sostituendo x1 nel vincolo <strong>di</strong> bilancio, x1+ x2<br />
= 1,<br />
si ottiene x2:<br />
= 0
x 2<br />
2<br />
σ1−ρ12σ1σ2 =<br />
σ + σ −2ρ<br />
σ σ<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
25<br />
12 1 2<br />
I valori <strong>di</strong> x1 e x2 sono le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> minimo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione<br />
σ P = fR ( P)<br />
, visto che la stessa è convessa (concava verso l'alto).<br />
Si può osservare che per ρ12 = 0, cioè l’in<strong>di</strong>pendenza lineare fra ren<strong>di</strong>menti, si ha<br />
2<br />
2<br />
σ 2<br />
σ1<br />
x1 =<br />
; x 2 2<br />
2 = ;<br />
2 2<br />
σ1+ σ2<br />
σ1+ σ2<br />
frazioni che non permettono, generalmente, l’annullamento <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
Imponendo <strong>di</strong> non investire o produrre tutto nella alternativa 1, titolo o business a<br />
minimo rischio, si ha la <strong>di</strong>sequazione<br />
2<br />
σ2−ρ12σ1σ2 x1 =<br />
< 1.<br />
2 2<br />
σ1+ σ2−2ρ12σ1σ2 Ponendo la con<strong>di</strong>zione<br />
2 2<br />
σ1+ σ2− 2ρ12σ1σ2 > 0,<br />
possiamo avere<br />
2<br />
2 2<br />
σ2− ρ12σ1σ2< σ1+ σ2−2 ρ12σ1σ2 che porta a<br />
σ1<br />
ρ12<br />
< .<br />
σ 2<br />
Cioè: il minimo rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> o il minimo rischio <strong>del</strong>l’azienda è inferiore<br />
a quello <strong>del</strong> prodotto 1 se e solo se ρ12 è inferiore al rapporto σ1<br />
(ricordando che si<br />
σ 2<br />
è imposto σ2 > σ1).<br />
In tutti gli altri casi il rischio minimo si ha investendo o<br />
investendo-producendo tutto e solo nel titolo o prodotto a minor rischio.<br />
.
SIMULAZIONI : valutazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> a rischio minimo<br />
1) Componendo i titoli o business D ed E, che presentano correlazione positiva nei ren<strong>di</strong>menti assai<br />
debole (ve<strong>di</strong> Tabella 4), si ha<br />
2<br />
σD − ρDEσEσD x1 = 2 2<br />
σE + σD −2ρDEσEσD<br />
2<br />
σE − ρDEσEσD x2 = 2 2<br />
σE + σD −2ρDEσEσD<br />
2<br />
185 . − 0. 07 × 107 . × 185 .<br />
=<br />
= 077 .<br />
2 2<br />
107 . + 185 . − 2 × 0. 07 × 107 . × 185 .<br />
2<br />
107 . − 007 . × 107 . × 185 .<br />
=<br />
= 023 .<br />
2 2<br />
107 . + 185 . − 2× 007 . × 107 . × 185 .<br />
ovvero x2 = 1− x1<br />
= 1− 077 , = 023 ,<br />
Il <strong>portafoglio</strong> che minimizza il rischio é quin<strong>di</strong> composto per il 77% dal titolo E e per il 23% dal<br />
titolo D. A questa soluzione corrispondono i seguenti ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>:<br />
= 12 × 0. 77 + 20 × 0. 23 = 1384 .<br />
R P<br />
σ<br />
P<br />
2 2 2 2<br />
[ ]<br />
= 107 . × 0. 77 + 185 . × 0. 23 + 2 × 0. 77 × 0. 23× 0. 07 × 107 . × 185 . = 0. 95<br />
2) Componendo i titoli A e C, altamente correlati nei ren<strong>di</strong>menti (ve<strong>di</strong> Tabella 4), si ha:<br />
x<br />
1<br />
2<br />
σC − ρACσAσC 2<br />
A +<br />
2<br />
C −2AC<br />
A C<br />
=<br />
σ σ ρ σ σ<br />
2<br />
σA − ρACσAσC x2 = 2 2<br />
σA + σC −2ρACσAσC<br />
2<br />
26<br />
12 /<br />
169 . − 096 . × 141 . × 169 .<br />
=<br />
= 211 .<br />
2 2<br />
141 . + 169 . − 2× 096 . × 14 . × 169 .<br />
2<br />
141 . − 096 . × 141 . × 169 .<br />
=<br />
=−111<br />
.<br />
2 2<br />
141 . + 169 . − 2× 096 . × 141 . × 169 .<br />
I risultati <strong>di</strong>mostrano come la composizione <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> mantenga il vincolo <strong>di</strong> bilancio in quanto<br />
2.11-1.11=1, ma con x1>1 e x2
2.4. L’introduzione nel <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo<br />
Si supponga ora <strong>di</strong> avere un:<br />
− titolo a ren<strong>di</strong>mento certo R f e rischio σf =0;<br />
− titolo o business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio con ren<strong>di</strong>mento atteso R 1 e rischio σ1;<br />
e quin<strong>di</strong>, coerentemente, sia: R1 > Rfe σ1>0. Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> ovvero <strong>del</strong>l’azienda che investa in BOT e un<br />
solo prodotto a ren<strong>di</strong>mento aleatorio è<br />
RP = x1R1 + ( 1 −x1)<br />
Rf<br />
ed il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o <strong>del</strong>l’azienda è pari a<br />
2 2<br />
σP= ( x1σ1) = xσ<br />
12 /<br />
1 1<br />
Dato che l’alternativa a ren<strong>di</strong>mento certo ha:<br />
− varianza nulla;<br />
− correlazione lineare nulla con qualsiasi variabile;<br />
se il decisore vuole, desidera, un <strong>portafoglio</strong> con rischio σP può determinare la<br />
quantità <strong>di</strong> capitale x1 da investire nel titolo a ren<strong>di</strong>mento aleatorio risolvendo<br />
l'equazione<br />
P x1<br />
=<br />
1<br />
σ<br />
σ<br />
che, sostituita nell'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> ed esplicitata rispetto al<br />
rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, dà:<br />
σ R f σ<br />
σ P<br />
P<br />
R Rf R Rf R<br />
=− 1<br />
1 + .<br />
1 −<br />
1 −<br />
Se i vincoli <strong>di</strong> bilancio e <strong>di</strong> non negatività <strong>del</strong>le xi sono operanti, la funzione<br />
( )<br />
σ P fRP<br />
R f,σ f = 0 e<br />
( R1,σ1) in Fig. 11.<br />
Si supponga ora <strong>di</strong> poter prendere a prestito al tasso Rf una quantità aggiuntiva <strong>di</strong><br />
= è rappresentata da un segmento condotto tra i punti ( )<br />
capitale per investirla nell’alternativa rischiosa, titolo o business. Risulterà, stante il<br />
vincolo <strong>di</strong> bilancio x1 + x2<br />
= 1,<br />
x1 > 1 e quin<strong>di</strong> xf = (1-x1) < 0.<br />
Allora, supponendo <strong>di</strong> poter prendere a prestito quantità “enormi” (illimitate) <strong>di</strong><br />
capitale “visto che l’ente finanziatore accetta le smisurate nostre garanzie ipotecarie<br />
su beni immobili”, la frontiera efficiente <strong>di</strong>venta una semiretta, uscente dal punto<br />
( R f,σ f = 0 ) e passante per ( R1,σ 1)<br />
, Fig.1130. 30 Si desidera determinare il coefficiente angolare <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente ed il premio per unità<br />
<strong>di</strong> rischio <strong>di</strong> un generico <strong>portafoglio</strong> P composto per il 60% dal titolo A ( R A = 15 e σA = 141 . ) e per<br />
il 40% da un BOT con ren<strong>di</strong>mento R f = 8 .<br />
RP = xARA + ( 1−<br />
xA ) Rf<br />
=<br />
= 06 . × 15+ 04 . × 8= 122<br />
.<br />
27
Visto il coefficiente angolare <strong><strong>del</strong>la</strong> semiretta in Fig. 11, è importante<br />
R1−Rf evidenziare il significato <strong>del</strong> suo reciproco, R R 1 − f , che è definito "premio al<br />
σ1<br />
rischio" o "prezzo <strong>del</strong> rischio", valutazione rilevante per le scelte finanziarie, recepita<br />
anche nei mo<strong>del</strong>li <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali come il Capital Asset Pricing<br />
Mo<strong>del</strong>31. Infatti, esplicitando la<br />
σ R f σ<br />
σ P<br />
P<br />
R Rf R Rf R<br />
=− 1<br />
1 +<br />
1 −<br />
1 −<br />
per R P si ha<br />
R1−Rf RP = Rf<br />
+ σ P<br />
σ1<br />
ovvero che<br />
⎛ ren<strong>di</strong>mento⎞<br />
prezzo premio per rischio<br />
⎜ ⎟<br />
⎜atteso<br />
<strong>di</strong> ⎟ <strong>del</strong> unità <strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
⎜ ⎟<br />
⎝ <strong>portafoglio</strong>⎠<br />
tempo rischio <strong>portafoglio</strong><br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
×<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
per qualsiasi <strong>portafoglio</strong>, efficiente o no.<br />
Si supponga ora che su un mercato coesistano:<br />
− un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo con Rf = 8 e σf = 0;<br />
− i cinque business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio <strong>di</strong> cui alle Tab. 2, 3, 4;<br />
e si voglia analizzare la composizione <strong>del</strong>l'alternativa non rischiosa con ognuna <strong>del</strong>le<br />
alternative a rischio.<br />
Si hanno allora cinque segmenti da (Rf = 8, σf = 0) ai punti A, B, C, D, E (in<br />
Fig.12) rispettivamente. I coefficienti angolari sono rispettivamente: 0.20, 0.29, 0.19,<br />
0.15, 0.27.<br />
( )<br />
2 2 12 /<br />
σP = xAσA = xAσA<br />
= 06 . × 141 . = 085 .<br />
Si verifica che il calcolo <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> può essere fatto usando il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong> nell'equazione:<br />
σARf σA<br />
σP<br />
P<br />
RA Rf RA Rf R<br />
=− +<br />
=<br />
− −<br />
.<br />
141 . × 8 141 .<br />
=− + × 12. 2 = 0. 85<br />
15 − 8 15 − 8<br />
Il coefficiente angolare <strong><strong>del</strong>la</strong> retta-frontiera efficiente in [ R P , σ P ] è:<br />
σ A<br />
=<br />
RA − Rf<br />
− =<br />
141 .<br />
020 .<br />
15 8<br />
Il suo reciproco è pari a 5, ovvero, in questo caso si hanno cinque punti <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong><br />
rischio.<br />
31 SHARPE W.F., 1964, op.cit.<br />
28<br />
σ 1
Il decisore razionale deve considerare solo portafogli componibili con il titolo a<br />
ren<strong>di</strong>mento certo e il titolo D in quanto:<br />
− procurano il maggior premio al rischio: 1/0.15 = 6.67;<br />
− sono portafogli efficienti.<br />
Fig. 11: Frontiera efficiente nel caso si possa investire e prendere a prestito<br />
allo stesso tasso certo Rf; x 1 è la quantità da investire nell'alternativa, titolo o<br />
business, a ren<strong>di</strong>mento aleatorio.<br />
E<br />
B<br />
A<br />
Fig. 12: Portafogli possibili e frontiera efficiente ottenuti componendo <strong>di</strong> volta<br />
in volta il titolo a ren<strong>di</strong>mento certo con ognuno dei business A, B, C, D, E.<br />
La combinazione con D è quella che a parità <strong>di</strong> rischio “paga” <strong>di</strong> più: 6,67 punti<br />
<strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong> rischio.<br />
C<br />
29<br />
D
ANALISI DI PORTAFOGLIO<br />
CON n TITOLI O BUSINESS<br />
3.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili<br />
Anche in questo caso il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> è la me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
ponderata dei ren<strong>di</strong>menti attesi dei singoli titoli o business<br />
n<br />
n<br />
n<br />
RP = E RP = E xR i i xER i ( i)<br />
xR<br />
⎛ ⎞<br />
( ) ⎜∑<br />
⎟ = ∑ = ∑<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
i=<br />
1 i=<br />
1 i=<br />
1<br />
ovvero trasformazione lineare dei ren<strong>di</strong>menti attesi <strong>del</strong>le singole possibilità.<br />
La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> è<br />
( )<br />
2<br />
2<br />
σ P = ERP − RP<br />
che nel caso <strong>di</strong> n possibilità è sempre una trasformazione quadratica:<br />
n<br />
∑<br />
2 2 2<br />
σ = x σ + 2 ∑ ∑ x x σ<br />
P i<br />
i=<br />
1<br />
n n<br />
i<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i j ij<br />
Nell’equazione:<br />
− i primi n termini contengono le varianze dei ren<strong>di</strong>menti degli n titoli;<br />
− i successivi n(n-1)/2 termini contengono le covarianze dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> ciascuna<br />
possibilità con quelli <strong>del</strong>le restanti (n-1).<br />
Forme alternative per rappresentare la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> sono<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
2<br />
σ = xxσ σ + xxσ = xxσ = xxσ<br />
σ ρ<br />
P i j i i i j ij i j ij i j i j ij<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i= j<br />
i=<br />
1i≠j<br />
j=<br />
1<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
30<br />
i< j<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
n<br />
i i<br />
n<br />
∑∑<br />
3.2 Analisi <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> all'aumentare <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business<br />
rischiosi in <strong>portafoglio</strong><br />
Possiamo ora analizzare il comportamento <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> all'aumentare <strong>del</strong><br />
numero <strong>di</strong> titoli o business composti nello stesso 32, pratica attuata da molti operatori con<br />
32 ELTON E., GRUBER M., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Wiley, N.Y., 1984.
l'intento <strong>di</strong> <strong>di</strong>versificare, ovvero <strong>di</strong> "frazionare i rischi e ridurre la variabilità <strong>del</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o degli investimenti" 33 cioè <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
3.2.1 Caso <strong>di</strong> titoli o business con ren<strong>di</strong>menti aleatori tutti linearmente in<strong>di</strong>pendenti<br />
fra <strong>di</strong> loro<br />
L’analisi in questo paragrafo ha rilevante significato logico e formale, ma, come<br />
osserveremo, purtroppo scarsa rilevanza operativa in quanto rappresenta un caso che è<br />
pressochè impossibile da riscontrare nella realtà.<br />
Riprendendo l’equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, ora con tutte le covarianze<br />
nulle:<br />
n<br />
P = ∑ i<br />
i=<br />
1<br />
2 2<br />
σ x σ<br />
se si suppone <strong>di</strong> equiripartire il capitale tra le n possibilità, cioè x i=1/n per ogni x i , la<br />
varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong>venta<br />
31<br />
2<br />
i<br />
n<br />
2 2 2 ⎡<br />
σP= ( 1/ n) σi=<br />
1/<br />
n ⎢<br />
i 1<br />
⎣<br />
∑ ∑<br />
= i=<br />
1<br />
n<br />
2<br />
σ i ⎤<br />
n<br />
⎥<br />
⎦<br />
Si definisce il termine entro parentesi quadrata come varianza me<strong>di</strong>a dei titoli o<br />
2<br />
business in <strong>portafoglio</strong>, σi , ed è facile verificare che al <strong>di</strong>vergere <strong>di</strong> n essa (varianza<br />
me<strong>di</strong>a) tende a zero<br />
lim σ = lim ( 1/ n ) σ = 0<br />
2 2<br />
n→∞<br />
P<br />
n→∞<br />
i<br />
Quin<strong>di</strong>, operando con infiniti titoli o business, tutti non correlati linearmente nei<br />
ren<strong>di</strong>menti, si riesce ad annullare il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o d’azienda.<br />
Purtroppo, nella realtà è impossibile trovare infiniti titoli o business che risultino tutti<br />
con ren<strong>di</strong>menti non linearmente correlati. Quin<strong>di</strong>, questo risultato è <strong>di</strong> puro riferimento<br />
e stimolo data l’ipotesi forte <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>pendenza dei ren<strong>di</strong>menti.<br />
33 DE LUCA G., VERRILLI A., Dizionario Economico Finanziario e Contabile, E<strong>di</strong>zioni Simone, Napoli, 1992.
3.2.2 Caso <strong>di</strong> titoli o business con ren<strong>di</strong>menti aleatori linearmente correlati<br />
E’ il caso <strong>di</strong> rilevante interesse operativo, in quanto rappresenta la “totalità” <strong>del</strong>le realtà<br />
sia produttive che finanziarie.<br />
Riprendendo l’equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza ed equiripartendo il capitale tra gli n titoli o<br />
business si ha una varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o aziendale pari a 34:<br />
2 2 2<br />
σ = ( 1/ n) σ + ( 1/ n)( 1/<br />
n)<br />
σ<br />
P<br />
n<br />
∑ ∑<br />
n<br />
∑<br />
1i≠j i ij<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
j=<br />
1<br />
Raccogliendo:<br />
- 1/n nel primo addendo;<br />
- (n-1)/n nel secondo addendo, dopo aver moltiplicato e <strong>di</strong>viso per (n-1);<br />
si ottiene<br />
n 2<br />
n n<br />
σ<br />
σ<br />
2 ⎡ ⎤ i n −1<br />
⎡ ij ⎤<br />
σ P = 1 / n⎢∑<br />
i 1 n<br />
⎥ + ∑∑ ⎣ ⎦ n<br />
⎢<br />
i 1 j n n<br />
i j 1 ⎣ −1<br />
⎥<br />
= = ≠ = ( ) ⎦<br />
Entrambi i termini entro parentesi quadre rappresentano me<strong>di</strong>e:<br />
2<br />
- il primo, come già detto, è la varianza me<strong>di</strong>a dei titoli o business in <strong>portafoglio</strong>, σi ;<br />
- il secondo è la covarianza me<strong>di</strong>a dei titoli in <strong>portafoglio</strong>, σij (le covarianze sono in<br />
numero <strong>di</strong> n(n-1)).<br />
Allora, l'equazione precedente può essere riscritta come<br />
2 2<br />
σ = ( 1/ n) σ + ( n −1)/<br />
n σ<br />
32<br />
n<br />
[ ]<br />
P i ij<br />
Essa permette <strong>di</strong> verificare che per n che tende ad infinito:<br />
- il primo addendo tende a zero;<br />
- il secondo addendo tende al valore asintotico σij, che non può essere annullato (vedasi la<br />
Fig.13). Quin<strong>di</strong><br />
n<br />
lim P = lim +<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
n n<br />
−<br />
2 ⎡1<br />
2 1 ⎤<br />
2<br />
σ<br />
⎣<br />
⎢<br />
σ σ<br />
⎦<br />
⎥<br />
= σ = σ σ ρ = σ ρ<br />
i ij ij i j ij i ij<br />
34 Utilizzando i cinque titoli o business A, B, C, D, E, ed i dati in Tab. 3, matrice simmetrica <strong>del</strong>le varianze e<br />
covarianze tra i ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le cinque possibilità, si calcoli il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> nell'ipotesi <strong>di</strong><br />
x i = 1/ 5,<br />
∀i<br />
(Arrotondamenti alla seconda cifra decimale).<br />
2<br />
5<br />
2 ⎛ 1 5 5<br />
2 1 1<br />
σP= ⎜ σi σ<br />
⎝ 5<br />
5 5<br />
⎞ ⎛<br />
∑ ⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
∑ ∑ ⎟<br />
⎠<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1j=<br />
1<br />
ij<br />
2<br />
σ<br />
σ<br />
2 1 5<br />
i 5 1 5 5<br />
ij<br />
σ P = ∑<br />
5 i 1 5 5 i 1j<br />
15(<br />
5 1)<br />
1 2 4 286 343 114 4 0 43 2 29 014 0 29 0 29 114 114 0 71 0 57 014<br />
2<br />
5<br />
5<br />
5<br />
20<br />
1<br />
4<br />
269 2 02 086<br />
5<br />
5<br />
⎡ ⎤ −<br />
⎢ ⎥ + ∑ ∑ =<br />
⎣⎢<br />
= ⎦⎥<br />
= = −<br />
⎛ + + . + . + . ⎞ ⎛ − . + . + . − . − . + . + . + . − . + . ⎞<br />
= ⎜<br />
⎟ + × ⎜<br />
⎟ =<br />
⎝<br />
⎠ ⎝<br />
⎠<br />
= × . + × × . = .
ove σ ij è la covarianza me<strong>di</strong>a fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le alternative considerate.<br />
La covarianza σij così calcolata è detta anche "rischio sistematico", “rischio<br />
ineliminabile” e può essere letta come prodotto <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza me<strong>di</strong>a per il coefficiente<br />
<strong>di</strong> correlazione lineare me<strong>di</strong>o fra i ren<strong>di</strong>menti degli n business. Il coefficiente <strong>di</strong><br />
correlazione lineare me<strong>di</strong>o fra i ren<strong>di</strong>menti degli n business è, nella realtà operativa,<br />
me<strong>di</strong>amente positivo (ricordo che ha massimo in +1). E’ quin<strong>di</strong> “LUI” che smorza il<br />
rischio (la varianza me<strong>di</strong>a) dei titoli o business trattati, rischio che ogni singolo<br />
operatore non può influenzare.<br />
Si riporta il risultato <strong>di</strong> Whitmore 35che ha valutato, su portafogli azionari, la percentuale <strong>di</strong><br />
riduzione <strong>del</strong> rischio attuabile in alcuni paesi (quin<strong>di</strong>, con il complemento a uno, il rischio<br />
sistematico <strong>di</strong> ogni paese).<br />
PAESE rischio %<br />
eliminabile<br />
33<br />
rischio %<br />
non eliminabile<br />
ovvero sistematico<br />
BELGIO 80.0 20.0<br />
OLANDA 76.1 23.9<br />
USA 73.0 27.0<br />
FRANCIA 67.3 32.7<br />
UK 65.5 34.5<br />
ITALIA 60.0 40.0<br />
GERMANIA 56.2 43.8<br />
SVIZZERA 56.0 44.0<br />
UN PORTAFOGLIO<br />
INTERNAZIONALE<br />
PER UN<br />
AMERICANO<br />
89.3 10.7<br />
Tab. 5: Percentuale <strong>di</strong> rischio eliminabile con la<br />
<strong>di</strong>versificazione e percentuale <strong>di</strong> rischio ineliminabile sul<br />
mercato azionario <strong>di</strong> alcuni paesi.<br />
(Fonte: WHITMORE G.A., “Diversification and the reduction of<br />
Dispersion: a note”, Journal of Financial and Quantitative<br />
Analysis, V, n. 2, May 1970, pp.263-264)<br />
Si può verificare come Svizzera, Germania e Italia risentano <strong>del</strong>l’elevata covarianza<br />
positiva fra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli, ovvero <strong>del</strong> fatto che i titoli tendono a muoversi insieme,<br />
mentre Belgio e Olanda possono avere un rischio sistematico molto basso (l’Italia ha<br />
rischio sistematico doppio rispetto a quello <strong>del</strong> Belgio). Si rileva come la <strong>di</strong>versificazione<br />
possibile con un <strong>portafoglio</strong> internazionale <strong>di</strong> azioni, per un americano, riduca il rischio <strong>del</strong><br />
90% circa.<br />
In Fig. 13 si rappresenta, per un americano, l'andamento <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
all'aumentare <strong>del</strong> numero n <strong>di</strong> titoli azionari USA 36 in <strong>portafoglio</strong>; si rileva che già con 20<br />
35 WHITMORE, G.A., “Diversification and the reduction of Dispersion: a note”, Journal of Financial and<br />
Quantitative Analysis, V, n. 2, May 1970, pp.263-264<br />
36 ELTON E.J., GRUBER M.J., 1984, op. cit., pag. 36.; SOLNIK B., "The advantages of Domestic and<br />
International Diversification", in Elton e Gruber, International Capital Markets, Amsterdam, North Holland,<br />
1975.
titoli, negli Stati Uniti, si può attuare una buona <strong>di</strong>versificazione. Alcune ricerche 37 hanno<br />
<strong>di</strong>mostrato che i mercati internazionali mostrano una relativa in<strong>di</strong>pendenza gli uni dagli<br />
altri. In Tab. 6 si riporta la matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare fra le variazioni<br />
mensili, dal 1971 al 1986, degli in<strong>di</strong>ci azionari <strong>del</strong>le principali borse mon<strong>di</strong>ali e le<br />
fluttuazioni <strong>di</strong> alcune valute 38. Si rileva la debole o debolissima correlazione lineare,<br />
spesso <strong>di</strong> segno negativo. Allora si può affermare<br />
Fig. 13: Effetto <strong>del</strong>l'aumento <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> azioni U.S.A. in <strong>portafoglio</strong> sul rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong> per un investitore statunitense (WHITMORE, G.A., “Diversification and the<br />
Reduction of Dispersion: a note”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, V, n. 2,<br />
May 1970, pp.263-264)<br />
Fig. 14: L'effetto <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> sole azioni U.S.A. e <strong>di</strong> quello <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> azioni<br />
appartenenti ad alcuni <strong>di</strong>versi mercati (senza copertura <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> cambio) sul rischio<br />
<strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>: per un investitore statunitense la <strong>di</strong>versificazione internazionale riduce il<br />
rischio sistematico (SOLNIK B., “Why not Diversify Internationally Rather Than<br />
Domestically “, Financial Analysts Journal, July 1974).<br />
37 ELTON .E., GRUBER M.J., 1984 op. cit., cap. 10.<br />
38 SOLNIK B., 1988, op. cit., pag. 20.<br />
34
che investire su più mercati è un'operazione vantaggiosa nell'ottica E-σ: la <strong>di</strong>versificazione<br />
internazionale riduce il rischio sistematico 39 (Fig. 14). Per quanto sopra esposto è<br />
importante evidenziare che portafogli realizzati con investimenti frazionati su un grande<br />
numero <strong>di</strong> titoli, che sullo stesso mercato hanno me<strong>di</strong>amente correlazione positiva nei<br />
ren<strong>di</strong>menti, portano sì ad avere un rischio quantificabile nella<br />
Valute<br />
$ USA Yen Marco Sterl F.F. $Can Cor.Ol. F.Svi F.Belg<br />
a<br />
Mercati<br />
USA 0.08 0.16 0.10 0.16 0.19 0.17 0.03 0.18<br />
Giapp. -0.06 0.02 -0 0.05 -0.02 0.01 -0.03 0.09<br />
Germ. -0.03 0.05 0.11 0.09 -0.01 0.11 0.09 0.07<br />
Gran. Br. -0.15 -0.07 -0.07 -0.01 -0.09 -0.07 -0.10 -0.06<br />
Francia -0.21 -0.11 -0.15 0.05 -0.15 -0.17 -0.09 -0.18<br />
Canada -0.33 -0.01 0.07 0.06 0.13 0.05 0.04 0.09<br />
Olanda 0.05 0.05 -0.01 0.15 0.09 0.09 -0.02 0.05<br />
Svizzera 0.04 0.06 0.12 0.18 0.19 0.08 0.19 0.17<br />
Belgio -0.16 0 0.05 -0.04 0.06 -0.15 0.03 -0.02<br />
Tab. 6: Matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare fra ren<strong>di</strong>menti mensili, dal 1973 al 1982, sulle<br />
azioni <strong>del</strong>le principali borse mon<strong>di</strong>ali e le fluttuazioni dei singoli tassi <strong>di</strong> cambio, tratta da SOLNIK B.,<br />
International Investments, Ad<strong>di</strong>son Wesley, 1988, pag 40.<br />
covarianza me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti, non annullabile, ma nulla <strong>di</strong>cono circa il ren<strong>di</strong>mento<br />
∞<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
atteso <strong>del</strong>lo stesso. Posto R i
Tab. 7: Matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare fra le variazioni degli in<strong>di</strong>ci azionari <strong>del</strong>le<br />
principali borse mon<strong>di</strong>ali (elaborazioni mensili in dollari USA dal 1971 al 1986), tratta da SOLNIK B.,<br />
International Investments, Ad<strong>di</strong>son Wesley, 1988, pag 40.<br />
Ger Bel Dan Fra Ita Nor Ola Reg Sve Sviz<br />
Germania 1 .63 .42 .55 .33 .33 .66 .41 .36 .69<br />
Belgio .63 1 .47 .62 .41 .51 .65 .51 .42 .64<br />
Danimarca .42 .47 1 .31 .29 .32 .48 .36 .38 .43<br />
Francia .55 .62 .31 1 .43 .44 .57 .52 .31 .59<br />
Italia .33 .41 .29 .43 1 .24 .35 .35 .30 .32<br />
Norvegia .33 .51 .32 .44 .24 1 .48 .34 .32 .41<br />
Olanda .66 .65 .48 .57 .35 .48 1 .61 .42 .68<br />
Regno Unito .41 .51 .36 .52 .35 .34 .61 1 .36 .52<br />
Svezia .36 .42 .38 .31 .30 .32 .42 .36 1 .44<br />
Svizzera .69 .64 .43 .59 .32 .41 .68 .52 .44 1<br />
Spagna .34 .36 .25 .35 .37 .20 .34 .26 .29 .28<br />
Australia .26 .28 .28 .35 .26 .36 .36 .41 .30 .36<br />
Giappone .45 .44 .36 .40 .38 .10 .44 .32 .31 .41<br />
Hong Kong .18 .23 .31 .21 .18 .20 .34 .29 .17 .26<br />
Singapore .07 .14 .20 .14 .10 .15 .24 .40 .16 .21<br />
Canada .28 .32 .31 .42 .25 .36 .52 .50 .32 .44<br />
Stati Uniti .32 .36 .31 .40 .23 .37 .55 .47 .35 .44<br />
Miniere d'oro .11 .23 .01 .21 .13 .25 .17 .08 .10 .22<br />
Oro .19 .29 .11 .25 .18 .28 .22 .08 .15 .24<br />
In<strong>di</strong>ce Mon<strong>di</strong>ale .55 .57 .44 .60 .44 .44 .73 .65 .45 .61<br />
In<strong>di</strong>ce EAFE .64 .62 .44 .62 .52 .35 .70 .69 .43 .61<br />
Spa Aus Gia Hon Sin Can Sta Min Oro Mon EAFE<br />
Germania .34 .26 .45 .18 .07 .28 .32 .11 .19 .55 .64<br />
Belgio .36 .28 .44 .23 .14 .32 .36 .23 .29 .57 .62<br />
Danimarca .25 .28 .36 .31 .20 .31 .31 .01 .11 .44 .44<br />
Francia .35 .35 .40 .21 .14 .42 .40 .21 .25 .60 .62<br />
Italia .37 .26 .38 .18 .10 .25 .23 .13 .18 .44 .52<br />
Norvegia .20 .36 .10 .20 .15 .36 .37 .25 .28 .44 .35<br />
Olanda .34 .36 .44 .34 .24 .52 .55 .17 .22 .73 .70<br />
Regno Unito .26 .41 .32 .29 .40 .50 .47 .08 .08 .65 .69<br />
Svezia .29 .30 .31 .17 .16 .32 .35 .10 .15 .45 .43<br />
Svizzera .28 .36 .41 .26 .21 .44 .44 .22 .24 .61 .61<br />
Spagna 1 .22 .34 .15 -.02 .19 .15 -.01 .13 .35 .43<br />
Australia .22 1 .27 .29 .29 .56 .47 .15 .32 .56 .46<br />
Giappone .34 .27 1 .28 .21 .25 .27 .09 .17 .60 .77<br />
Hong Kong .15 .29 .28 1 .41 .22 .26 -.08 .07 .32 .28<br />
Singapore -.02 .29 .21 .41 1 .29 .37 -.04 -.07 .39 .31<br />
Canada .19 .56 .25 .22 .29 1 .66 .23 .26 .70 .48<br />
Stati Uniti .15 .47 .27 .26 .37 .66 1 .10 .01 .87 .47<br />
Miniere d'oro -.01 .15 .09 -.08 -.04 .23 .10 1 .58 .17 .14<br />
Oro .13 .32 .17 .07 -.07 .26 .01 .58 1 .16 .22<br />
In<strong>di</strong>ce Mon<strong>di</strong>ale .35 .56 .60 .32 .39 .70 .87 .17 .16 1 .83<br />
In<strong>di</strong>ce EAFE .43 .46 .77 .28 .31 .48 .47 .14 .22 .83 1<br />
36
3.3. La <strong>selezione</strong> dei portafogli efficienti ovvero la valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera<br />
efficiente<br />
Dati i nostri cinque titoli o business A, B, C, D, E (si vedano le Tab. 2, 3 e 4) si ipotizzi<br />
<strong>di</strong> voler comporre un <strong>portafoglio</strong> G sud<strong>di</strong>videndo, in maniera empirica, il capitale nel<br />
modo seguente:<br />
35% in A, 35% in C, 10% in B, 10% in E, 10% in D<br />
La “ragione” <strong>di</strong> questa ripartizione, proposta dal Rossi, sta nel fatto che i business A e<br />
C hanno ren<strong>di</strong>mento e rischio “centrali” nella <strong>di</strong>stribuzione bivariata ren<strong>di</strong>mento-rischio<br />
(ve<strong>di</strong> Fig.1), mentre i business B, E, D risultano troppo o troppo poco red<strong>di</strong>tivi e rischiosi.<br />
Utilizzando le equazioni stu<strong>di</strong>ate, G ha ren<strong>di</strong>mento atteso R G =15.9 e σ G=1.11.<br />
Queste due informazioni sono sicuramente interessanti, ma, come gestori <strong>di</strong> un fondo o<br />
<strong>di</strong>rettori generali <strong>di</strong> un’impresa, ci si deve chiedere:<br />
− qual’è la posizione <strong>di</strong> G nello spazio E−σ dei portafogli fattibili?<br />
− esiste un <strong>portafoglio</strong> (o mix <strong>di</strong> prodotti) che ha lo stesso rischio, ma maggior<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> G?<br />
− esiste un <strong>portafoglio</strong> (o mix <strong>di</strong> prodotti) che ha lo stesso ren<strong>di</strong>mento, ma minor<br />
rischio <strong>di</strong> G?<br />
cioè, in sintesi: G è un <strong>portafoglio</strong> (mix) dominante (efficiente)?<br />
Se G è dominante in E-V il decisore è stato efficiente nella scelta, se non lo è il decisore<br />
che lo ha proposto non ha pianificato le risorse in maniera efficiente.<br />
La risposta alla domanda fatta, assai importante, si imposta adottando un mo<strong>del</strong>lo in<br />
cui:<br />
− o si massimizzi il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, fissata una varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
∗<br />
VP desiderata (parametro);<br />
− o si minimizzi la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, fissato un ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
∗<br />
R P desiderato (parametro);<br />
e, trascurando il vincolo <strong>di</strong> non negatività sulle risorse (cioè non ponendo xi ≥ 0), allora si<br />
hanno o l’uno o l’altro dei seguenti mo<strong>del</strong>li<br />
n<br />
⎧<br />
⎪max<br />
Z1= RP = xiR x ∑<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
n n<br />
⎪<br />
*<br />
⎪∑∑<br />
xx i jσij = VP<br />
⎩ i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i<br />
37<br />
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z2= V P = xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1 ⎪<br />
n ⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
Il primo mo<strong>del</strong>lo vuole massimizzare il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, mentre il secondo<br />
vuole la minimizzazione <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
Se la <strong>di</strong>stribuzione dei ren<strong>di</strong>menti è simmetrica (ad esempio una <strong>di</strong>stribuzione<br />
Gaussiana) si può utilizzare la semivarianza (0.5 V P ) per semplificare i calcoli; si ottiene<br />
comunque lo stesso vettore soluzione <strong><strong>del</strong>la</strong> minimizzazione <strong>di</strong> Z2.<br />
j ij
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z3= 0.5 V P = 0.5 xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1 ⎪<br />
n ⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
I vincoli <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo sono:<br />
− <strong>di</strong> bilancio (quantità <strong>di</strong> risorse tutte investite)<br />
*<br />
− sul ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> R P reso parametro.<br />
L'assenza <strong>di</strong> vincoli <strong>del</strong> tipo 0 ≤ xi ≤ 1, il cui significato economico è già stato spiegato,<br />
facilita la ricerca <strong><strong>del</strong>la</strong> soluzione <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> ottimo <strong>di</strong> funzioni non lineari in presenza<br />
<strong>di</strong> vincoli <strong>di</strong> sole uguaglianze.<br />
Il vettore soluzione annulla le derivate parziali <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione lagrangiana41 e risolve il<br />
problema <strong>di</strong> ottimizzazione vincolata utilizzando il mo<strong>del</strong>lo con funzione obiettivo Z3. Il<br />
vettore soluzione trovato dà l’ottimo globale <strong>del</strong> problema in stu<strong>di</strong>o perchè rispetta le<br />
seguenti con<strong>di</strong>zioni: la funzione obiettivo è una funzione convessa (e lo spazio <strong>del</strong>le<br />
soluzioni ammissibili è convesso), la matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza è semidefinita<br />
positiva ed i vincoli sono lineari.<br />
La funzione lagrangiana è:<br />
n<br />
n<br />
⎛ ⎞ ⎛ * ⎞<br />
Lx ( i, λS, λR ) = 05 . VP + λS⎜1−∑xi⎟ + λR⎜RP<br />
−∑xR<br />
i i⎟<br />
⎝ i=<br />
1 ⎠ ⎝ i=<br />
1 ⎠<br />
e le n+2 derivate parziali costituiscono un sistema <strong>di</strong> equazioni<br />
⎧ ∂L<br />
⎪ = σi1xi+ .... + σinxn −λS − λRRi<br />
= 0 i:1,2,3...., n<br />
⎪<br />
∂xi<br />
⎪ ∂L<br />
⎨ = 1−x1−.......<br />
−xn=0<br />
⎪∂λS<br />
⎪ ∂L<br />
*<br />
⎪ = RP −R1x1 −R2x2−... − Rnxn = 0<br />
⎩∂λ<br />
R<br />
Questo sistema può essere riscritto in forma matriciale<br />
Mx = b<br />
dove:<br />
M matrice dei coefficienti <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> derivate parziali <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione<br />
lagrangiana;<br />
x vettore colonna 42 <strong>del</strong>le incognite <strong>del</strong> problema, costituito dalle n variabili e dai<br />
due lagrangiani λS e λR<br />
41 Vedasi il capitolo <strong>di</strong> questo volume ove trattasi problemi <strong>di</strong> ottimizzazione non lineare vincolata.<br />
42 Il trasposto <strong>del</strong> vettore x viene in<strong>di</strong>cato con x', vettore riga.<br />
38<br />
j ij i
M x b<br />
⎡σ11<br />
σ12 ... σ1<br />
1 1 1 0<br />
n − −R⎤⎡x<br />
⎤ ⎡ ⎤<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
σ21σ22 ... σ2<br />
1 2 2 0<br />
n R x<br />
⎥<br />
− −<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ : : : : : : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥<br />
⎢σ<br />
1 σ 2 ... σ 1<br />
0<br />
n n nn − −R<br />
x n⎥⎢n⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ 1 1 ... 1 0 0 ⎥ ⎢λ<br />
⎥ ⎢ S 1 ⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∗ ⎥<br />
⎣⎢<br />
R λ<br />
1 R2 ... Rn0<br />
0 ⎦⎥<br />
⎣ R⎦⎣RP⎦ La matrice M è invertibile se e solo se il coefficiente <strong>di</strong> correlazione ρ ij ≠±1 (se ciò<br />
accadesse si avrebbe σij = σiσje le righe sarebbero combinazioni lineari) e se manca il<br />
titolo a ren<strong>di</strong>mento certo che ha rischio nullo (se la matrice contenesse una riga <strong>di</strong> valori<br />
a zero non sarebbe invertibile). Se M è invertibile il vettore soluzione è dato da:<br />
*<br />
⎡0⎤<br />
⎡0⎤<br />
⎧x1<br />
= h1 + k1RP ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪<br />
*<br />
0 0<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪x2<br />
= h2 + k2RP ⎢:<br />
⎥ ⎢:<br />
⎥<br />
⎪<br />
−1 −1 −1<br />
* * ⎪..................<br />
x = M b= M ⎢ ⎥ + M ⎢ ⎥R<br />
P = h + k R P ⇒ ⎨<br />
*<br />
⎢0⎥<br />
⎢0⎥<br />
⎪xn<br />
= hn + knRP ⎢1⎥<br />
⎢0⎥<br />
⎪<br />
*<br />
λS<br />
= ΛS<br />
+ lR S P<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪<br />
⎣0⎦<br />
⎣1<br />
*<br />
⎦<br />
⎩⎪<br />
λ R = Λ R + lRRP dove i vettori colonna sono rispettivamente formati da:<br />
h : h i, Λ S, Λ R i = 1, 2, ....., n<br />
k : k i, l S, l R i = 1, 2, ....., n<br />
*<br />
Allora, il vettore soluzione <strong>di</strong>pende linearmente da R P ; la varianza può essere scritta<br />
in forma matriciale come<br />
VP = x'Cx<br />
dove:<br />
x vettore colonna (nx1) <strong>del</strong>le xi; C matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza, {σij} <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione (n x n).<br />
Se si sostituiscono le prime n righe <strong>del</strong> vettore x nella equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza, scritta<br />
2 *<br />
= fR ,<br />
in forma matriciale43, si trovano i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> secondo grado σ P ( P)<br />
*<br />
per un generico R P :<br />
*<br />
= x'Cx = (h + k )' C(h + k ) =<br />
2<br />
σ P RP *<br />
RP<br />
*<br />
= h'Ch+ 2k'ChRP<br />
* 2<br />
k'CkRP<br />
* * 2<br />
1 P 2 P<br />
= a + a R + a R<br />
0<br />
39<br />
+ =<br />
Il tratto crescente <strong>di</strong> questa funzione quadratica costituisce la frontiera efficiente nel<br />
piano [ Rp,σp] 2 . Estraendo la ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> tale polinomio si ottiene un'altra funzione<br />
che rappresenta la frontiera efficiente nello spazio [ Rp,σ p]<br />
.<br />
43 Si controllino le proprietà stu<strong>di</strong>ate per il prodotto <strong>di</strong> vettori e matrici.
Possiamo ora “criticare” il <strong>portafoglio</strong> G, costruito empiricamente dal Rossi:<br />
A) IN RIFERIMENTO AL CASO IN CUI SI POSSA VENDERE A BREVE QUALSIASI QUANTITÀ<br />
DELLE CINQUE POSSIBILITÀ SI HA:<br />
*<br />
A1) fissato il rischio, σ P=1.11<br />
uguale a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G e risolto il mo<strong>del</strong>lo<br />
n<br />
⎧<br />
⎪max<br />
Z = RP = ∑ xiRi x i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪<br />
n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
n n<br />
⎪<br />
*<br />
xx i j ij = VP<br />
= .<br />
⎩⎪<br />
∑∑<br />
σ 12321<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
il <strong>portafoglio</strong> efficiente è Mss con<br />
Ren<strong>di</strong>meto Scarto XA XB XC XD XE<br />
17.325 1.11 -0.4921 -0.0159 0.7803 0.3685 0.3592<br />
che ha ren<strong>di</strong>mento superiore a quello <strong>di</strong> G. L’inefficienza <strong>di</strong> G per ren<strong>di</strong>mento è <strong>di</strong><br />
17. 325− 15. 9 = 1425 . punti (su mille miliar<strong>di</strong>, l’inefficienza <strong><strong>del</strong>la</strong> scelta G vale 14.25<br />
miliar<strong>di</strong>, secondo la nuova tecnica VaR (Value at Risk)).<br />
Fig 15: Portafoglio efficiente M ss ottenuto imponendo σ p=1.11 e<br />
massimizzando il ren<strong>di</strong>mento atteso con il solo vincolo <strong>di</strong> bilancio (e<br />
senza il vincolo 0 ≤ x i ≤ 1 ∀i).<br />
40
*<br />
A2) Posto R P =15.9 uguale a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G e risolto il mo<strong>del</strong>lo<br />
il <strong>portafoglio</strong> efficiente è Nss con<br />
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z = V P = xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1 ⎪<br />
n ⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
Ren<strong>di</strong>mento Scarto XA XB XC XD XE<br />
15.9 0.8782 -0.1199 -0.0187 0.4298 0.2709 0.4379<br />
che ha rischio inferiore a quello <strong>di</strong> G.<br />
L’inefficienza <strong>di</strong> G per rischio è <strong>di</strong> 1.11-0.88 = 0.23 punti.<br />
*<br />
Fig 16: Portafoglio efficiente Nss ottento imponendo R P =15.9 e minimizzando il<br />
rischio con il solo vincolo <strong>di</strong> bilancio (e senza i vincoli 0 ≤ xi ≤1 ∀i ).<br />
41<br />
j ij
B) IN RIFERIMENTO AL CASO IN CUI NON SI POSSA VENDERE A BREVE (OVVERO<br />
OPERANDO ANCHE CON I VINCOLI SULLE Xi≥0) SI HA:<br />
*<br />
B1) fissato il rischio σ P =1.11 uguale a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G si può costruire il mo<strong>del</strong>lo<br />
⎧<br />
n<br />
⎪max<br />
Z = R P = xiR x ∑<br />
⎪<br />
i=<br />
1<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎪<br />
⎨∑<br />
xi<br />
= 1<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n n<br />
*<br />
⎪∑∑<br />
xx i jσij = VP<br />
⎪ i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩x<br />
i ≥ 0<br />
e risolverlo, ricorrendo alle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Kuhn-Tucker introdotte nel capitolo <strong>di</strong><br />
programmazione matematica dal Prof. Bortot. Il <strong>portafoglio</strong> trovato è Mnss con<br />
Ren<strong>di</strong>mento Scarto XA XB XC XD XE<br />
17.25 1.11 0.00 0.0329 0.3418 0.4303 0.1950<br />
L'inefficienza <strong>di</strong> G per ren<strong>di</strong>mento si può quin<strong>di</strong> calcolare in 1.40 punti (data da: 17.3-<br />
15.9).<br />
Fig. 17: Portafoglio efficiente Mnss ottenuto imponendo σp=1.11 e massimizzando il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> con il vincolo <strong>di</strong> bilancio e il vincolo 0 ≤ xi ≤1 ∀i.<br />
42<br />
i
*<br />
B2) Posto R P =15.9, uguale a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G, il <strong>portafoglio</strong> efficiente con lo<br />
stesso ren<strong>di</strong>mento è valutabile risolvendo, con l’utilizzo <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Kuhn-Tucker,<br />
il sistema<br />
che porge il <strong>portafoglio</strong> Nnss<br />
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z = V P = xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎪<br />
⎨∑<br />
xi<br />
= 1<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩xi<br />
≥ 0<br />
Ren<strong>di</strong>mento Scarto XA XB XC XD XE<br />
15.9 0.879 0.00 0.00 0.3236 0.2853 0.3911<br />
L'inefficienza <strong>di</strong> G per rischio si può calcolare in 0.23 punti (data da: 1.11-0.88).<br />
*<br />
Fig 18: Portafoglio efficiente Nnss, ottenuto imponendo R P =15.9 e minimizzando il rischio<br />
con il vincolo <strong>di</strong> bilancio e il vincolo 0 ≤ xi ≤1 ∀i.<br />
43<br />
j ij
In conclusione:<br />
G è dominato sia nel caso con “short selling” sia nel caso senza “short selling” e non<br />
solo dai portafogli dominanti appena trovati, ma da infiniti portafogli, visto che G non è<br />
sulla frontiera E-V.<br />
La Fig. 19 rappresenta la sintesi <strong>del</strong>le simulazioni fatte per analizzare criticamente<br />
l’inefficienza <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G in presenza <strong>di</strong> vincoli <strong>di</strong> non negatività dei pesi. Preme<br />
sottolineare (Figg. 15 e 16) che nel caso con “short selling” l’area che rappresenta le<br />
possibilità, infinite, si è allargata rispetto a quella <strong>del</strong> caso senza “short selling” (e le<br />
infinite possibilità stanno nell’insieme convesso <strong>del</strong>imitato dalla frontiera, efficiente ed<br />
inefficiente, non superiormente limitata).<br />
Fig. 19: Regione <strong>di</strong> tutte le possibili soluzioni ( R P,σ P)<br />
componendo portafogli con i<br />
cinque titoli o business in analisi, con vincolo <strong>di</strong> bilancio 0 ≤ xi ≤1 ∀i. Soluzioni efficienti,<br />
<strong>portafoglio</strong> Mnss e <strong>portafoglio</strong> Nnss, dominanti G rispettivamente per ren<strong>di</strong>mento e rischio<br />
(ma anche tutti gli infiniti fra M o N e G dominano G).<br />
44
3.4. Il mo<strong>del</strong>lo parametrico<br />
Il problema generale per il calcolo degli infiniti portafogli efficienti che compongono la<br />
frontiera efficiente nel caso in cui si abbiano solo alternative rischiose e con “short selling”<br />
può anche essere espresso come:<br />
n<br />
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z4=− µ RP + 05 . VP =− µ xiRi 05 . xixj ij<br />
x ∑ + ∑∑<br />
σ<br />
⎪<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎨<br />
n<br />
⎪<br />
soggetto a =<br />
⎪ ∑ xi 1<br />
⎩<br />
i= 1<br />
Questa è la forma più semplice e generale <strong>del</strong> problema in stu<strong>di</strong>o (valutazione <strong>del</strong>le<br />
soluzioni efficienti, dominanti in E-V), con un unico vincolo lineare <strong>di</strong> uguaglianza.<br />
La minimizzazione <strong>di</strong> Z4 <strong>di</strong>fferisce da quella <strong>di</strong> Z3 per:<br />
− l'assenza <strong>del</strong> vincolo sul ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>;<br />
− la presenza nella funzione obiettivo <strong>di</strong> due obiettivi pesati;<br />
− la massimizzazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento (il primo addendo) con peso µ, parametro. E'<br />
bene ricordare44 che -min (-µ R P ) è uguale a max (µ R P ) e che min(-µ R P ) ha lo<br />
stesso vettore soluzione <strong>di</strong> max (µ R P );<br />
− la minimizzazione <strong>del</strong> rischio (secondo addendo) con peso 0.5.<br />
Il parametro µ è interpretato come misura sintetica <strong>del</strong> grado <strong>di</strong> propensione al rischio45 <strong>del</strong><br />
decisore.<br />
Se:<br />
µ = 0 , la Funzione Obiettivo vede annullarsi il primo addendo e il decisore opera<br />
solo per la minimizzazione <strong>del</strong> rischio. Il mo<strong>del</strong>lo sarà adatto ad un decisore che<br />
vuole sopportare il minimo rischio, a prescindere dai ren<strong>di</strong>menti attesi;<br />
µ tende a +∝ la Funzione Obiettivo è determinata soprattutto dal primo addendo, il<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso. Il mo<strong>del</strong>lo sarà adatto ad un decisore con propensione al rischio<br />
tale da considerare solo i ren<strong>di</strong>menti attesi e trascurare il rischio.<br />
Applicando i meto<strong>di</strong> analitici già visti (3.3), il sistema risolutivo <strong>del</strong> problema <strong>di</strong><br />
minimizzazione Z4 <strong>di</strong>venta:<br />
M x b<br />
⎡σ11<br />
⎢<br />
⎢σ21<br />
⎢<br />
⎢ :<br />
⎢σn1<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎢ 1<br />
σ12 σ22 :<br />
σn2 1<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
σ1n<br />
σ2n<br />
:<br />
σnn<br />
1<br />
−1⎤<br />
⎡x<br />
⎤ ⎡µ<br />
R ⎤<br />
1<br />
1<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
−1⎥<br />
⎢x<br />
⎥ ⎢µ<br />
R ⎥<br />
2<br />
2<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
: ⎥ ⎢ : ⎥<br />
=<br />
⎢ : ⎥<br />
−1⎥<br />
⎢x<br />
⎥ ⎢µ<br />
R ⎥<br />
n<br />
n<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
0 ⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢λ<br />
1<br />
S ⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎦<br />
⎥<br />
Il vettore soluzione, <strong>di</strong>pendente dal parametro µ, è dato da<br />
44 Si riveda quanto esposto nella parte curata dal Professor Paolo Bortot.<br />
45 Markowitz H.M., 1987, op. cit.<br />
45
⎡0⎤<br />
⎡R<br />
1 ⎤ ⎧x1<br />
= p1 + q1µ<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
0<br />
⎪<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
R<br />
⎥<br />
x = +<br />
2<br />
2 p2 q2µ<br />
−1 −1 −1<br />
⎪<br />
x = M b= M ⎢:<br />
⎥ + M ⎢ : ⎥ µ ⇒ ⎨.........<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪<br />
⎢0⎥<br />
⎢R<br />
⎥ x = p + q<br />
n n n nµ<br />
⎪<br />
⎣<br />
⎢1⎦<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣ 0 ⎦ ⎩⎪<br />
λ S = ΛS<br />
+ lSµ<br />
Per valori <strong>di</strong> µ>0 i problemi Z 3 e Z 4 sono equivalenti (µ=0 è un caso limite 46).<br />
In Fig. 20 sono in<strong>di</strong>cate le <strong>di</strong>verse composizioni <strong>di</strong> titoli o business che, sui vari archi<br />
<strong>del</strong>imitati da punti-portafogli d'angolo, formano via via la frontiera efficiente nel caso “no<br />
short sales”. I portafogli d'angolo sono quei punti-portafogli in cui cambia il vettore<br />
soluzione perché almeno un titolo entra o esce dal vettore soluzione.<br />
Fig. 20: Composizione qualitativa dei cinque titoli sui tratti <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente<br />
(<strong>del</strong>imitati dai portafogli d'angolo in cui cambia la composizione qualitativa dei titoli nei<br />
portafogli efficienti) con il vincolo <strong>di</strong> bilancio e quelli <strong>di</strong><br />
0 ≤ x ≤ 1 ∀i. Il <strong>portafoglio</strong> efficiente a rischio minimo presenta σ P = 0.73 ed è ottenuto<br />
componendo: 33.83% <strong>di</strong> A, 12.31% <strong>di</strong> D, 53.85% <strong>di</strong> E. Si deve sottolineare che il titolo D<br />
compare in ogni punto-<strong>portafoglio</strong> sulla frontiera efficiente grazie al suo elevato<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso e al suo basso grado <strong>di</strong> correlazione lineare con tutti gli altri quattro<br />
titoli.<br />
46 Markowitz H.M., 1987. op. cit., pag. 152.<br />
46
SIMULAZIONE<br />
Determinazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> efficiente componendo i tre business B, D, E. (I dati utilizzati si rifanno<br />
alle tabelle 2, 3 e 4, arrotondati alla quarta cifra decimale). Si ponga <strong>di</strong> voler ottenere un ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> 15.6.<br />
⎧ n<br />
⎪<br />
n n<br />
∑ xi<br />
= 1<br />
⎪ i=<br />
1<br />
F.O. = min 0.5 VP = min 0.5 ∑∑<br />
xixjσ ij con vincoli ⎨ n<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞<br />
*<br />
Lx ( i, λS, λR) = 05 . VP + λ ⎜ S⎜ 1−∑x⎟<br />
i⎟<br />
+ λ ⎜ R⎜ RP −∑xR⎟<br />
i i⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
⎛ σ σ σ ⎞⎛<br />
x ⎞<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
Lx ( i, λS, λR)<br />
= . ( x x x)<br />
⎜σ<br />
σ σ ⎟⎜<br />
x ⎟ + λ ⎜ S − x ⎟<br />
⎜ i⎟<br />
+ λ ⎜ R RP − xiR ⎟<br />
⎜<br />
i⎟<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
σ σ σ x<br />
⎝<br />
⎝<br />
i ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
i ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
x<br />
. [ ( x σ x σ x σ )( x σ x σ x σ )( x σ x σ x σ ) ] x<br />
x<br />
λ S<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
= + + + + + + ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
11 12 13 1<br />
3<br />
3<br />
∗<br />
05 1 2 3 21 22 23 2 1 ∑ ∑<br />
= 1<br />
= 1<br />
31 32 33 3<br />
1<br />
05 1 11 2 21 3 31 1 12 2 22 3 32 1 13 2 23 3 33 2<br />
3<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
+ ⎜<br />
∗<br />
1−∑x<br />
⎟<br />
⎜ i ⎟<br />
+ ⎜ R RP −∑x<br />
R ⎟<br />
⎜<br />
i i⎟<br />
⎝ i=<br />
⎠ ⎝ i=<br />
⎠<br />
[ x ( x x x ) x ( x x x ) x ( x x x ) ]<br />
∗<br />
S ∑xi R RP ∑xiRi<br />
i=<br />
i=<br />
x x x x x x x x x<br />
=<br />
= + + + + + + + + +<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
+ ⎜<br />
− ⎟<br />
+ ⎜ − ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
=<br />
3<br />
3<br />
λ<br />
1<br />
1<br />
05 . 1 1σ11 2σ213σ31 2 1σ122σ223σ3231σ13 2σ233σ33 3<br />
3<br />
λ 1 λ<br />
1<br />
1<br />
= 05 . σ + σ + σ + σ + σ + x σ + x x σ + x x σ + x σ +<br />
=0.5<br />
1 2 11 1 2 21 1 3 31 1 2 12 2 2<br />
( 22 2 3 32 1 3 13 2 3 23 3 )<br />
S x x x R RP x R x R x R<br />
2<br />
33<br />
+ λ 1−<br />
1 − 2 − 3 + λ<br />
∗<br />
− 1 1 − 2 2 − 3 3 =<br />
( ) ( )<br />
per la simmetria <strong>del</strong>le covarianze si ha:<br />
2 ( x1σ11 2<br />
x2σ22 2<br />
x3σ332x1x2σ12 2x1x3σ13 2x2x3σ23)<br />
∗<br />
+ λS( 1−<br />
x1 − x2 − x3) + λR(<br />
RP − x1R1 − x2R2 − x3R3) =<br />
+ + + + + +<br />
L'ottimo si ha uguagliando a zero le derivate parziali:<br />
⎧ ∂L<br />
1<br />
⎪ = ( 2x1σ11 + 2x2σ12 + 2x3σ13) −λS − λRR1<br />
= 0<br />
⎪<br />
∂x1<br />
2<br />
⎪ ∂L<br />
1<br />
⎪ = ( 2x2σ22 + 2x1σ21 + 2x3σ23) −λS − λRR2<br />
= 0<br />
⎪<br />
∂x2<br />
2<br />
⎪ ∂L<br />
1<br />
⎨ = ( 2x3σ33 + 2x1σ31 + 2x2σ32) −λS − λRR3<br />
= 0<br />
⎪∂x3<br />
2<br />
⎪ ∂L<br />
⎪ = 1−x1 − x2 − x3 = 0⇒ x1 + x2 + x3<br />
= 1<br />
⎪∂λ<br />
S<br />
⎪ ∂L<br />
⎪ = R − R1x1− R2x2− R3x3= 0 ⇒ R1x1+ R2x2+ R3x3= R<br />
⎩∂λ<br />
R<br />
che posto in forma matriciale:<br />
∗ ∗<br />
P P<br />
47
M x b<br />
⎛ σ11 ⎜<br />
⎜σ21<br />
⎜σ<br />
⎜ 31<br />
⎜ 1<br />
⎜<br />
⎝ R<br />
σ12 σ22 σ32 1<br />
R<br />
σ13<br />
σ23<br />
σ33<br />
1<br />
R<br />
−1 −1 −1 0<br />
0<br />
−R1⎞⎛x1⎞<br />
⎛ 0 ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−R2⎟⎜x2⎟<br />
⎜ 0 ⎟<br />
−R⎟⎜<br />
3 x ⎟<br />
3 = ⎜ 0 ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0 ⎟ ⎜ λ S ⎟ ⎜ 1 ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∗⎟<br />
0 ⎠ ⎝λ<br />
⎠ ⎝ R ⎠<br />
1 2 3<br />
48<br />
R P<br />
Da tale relazione si vuole estrarre il vettore soluzione <strong><strong>del</strong>la</strong> composizione efficiente <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
⎛0⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
−1 −1 1<br />
x = M b = M ⎜ ⎟ −<br />
+ M ⎜ ⎟ ∗<br />
0 0 RP ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0⎠<br />
⎝1⎠<br />
Sostituendo i dati a nostra <strong>di</strong>sposizione nella matrice M questa risulta:<br />
⎛ 4<br />
⎜<br />
⎜11429<br />
.<br />
M = ⎜11429<br />
.<br />
⎜<br />
⎜ 1<br />
⎜<br />
⎝ 15<br />
11429 .<br />
34286 .<br />
01429 .<br />
1<br />
20<br />
11429 .<br />
01429 .<br />
11429 .<br />
1<br />
12<br />
−1 −1 −1 0<br />
0<br />
−15⎞<br />
⎟<br />
−20⎟<br />
−12⎟<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎠<br />
Calcolando l'inversa <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice M:<br />
M − ⎛ 0. 3690<br />
⎜<br />
⎜ −01384 .<br />
1<br />
= ⎜−0.<br />
2306<br />
⎜<br />
⎜ 0. 4745<br />
⎜<br />
⎝−0.<br />
0280<br />
−01384 .<br />
0. 0519<br />
0. 0865<br />
13221 .<br />
−01145 .<br />
−0. 2306<br />
0. 0865<br />
01442 .<br />
−2. 7965<br />
01425 .<br />
−0.<br />
4745<br />
−13221<br />
.<br />
2. 7965<br />
131757 .<br />
−0.<br />
8926<br />
0. 0280 ⎞<br />
⎟<br />
01145 . ⎟<br />
−01425<br />
. ⎟<br />
⎟<br />
−0.<br />
8926 ⎟<br />
0. 0648 ⎠<br />
1 −<br />
e sostituendola nell'equazione x = M b si ottiene:<br />
⎛−0.<br />
4745⎞<br />
⎛ 0. 0280 ⎞ ⎛−0.<br />
0376⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ −13221<br />
. ⎟ ⎜ 01145 . ⎟ ⎜ 0. 4641 ⎟<br />
⎜ 2. 7966 ⎟ + ⎜ −01425<br />
. ⎟ × 15. 6 = ⎜ 0. 5735 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ 131746 . ⎟ ⎜−0.<br />
8925⎟<br />
⎜ −0.<br />
7483⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ −0.<br />
8925⎠<br />
⎝ 0. 0648 ⎠ ⎝ 01189 . ⎠<br />
Se si sommano i primi tre valori, percentuali <strong>di</strong> capitale investito nei tre titoli, si ottiene l'unità ed è quin<strong>di</strong><br />
rispettato il vincolo <strong>di</strong> bilancio.<br />
⎧x1<br />
=−00376<br />
.<br />
⎪<br />
Il <strong>portafoglio</strong> efficiente è quin<strong>di</strong> composto da: ⎨x2<br />
= 0. 4641<br />
⎪<br />
⎩x3<br />
= 0. 5735<br />
Si può determinare ora anche l'equazione che descrive la frontiera efficiente:<br />
2<br />
σ P h'Ch<br />
∗<br />
2k'ChRP '<br />
2<br />
∗<br />
k'CkRP<br />
= + + =<br />
⎛−0<br />
4745⎞<br />
⎛ 4 11429 11429⎞<br />
⎛−0<br />
4745⎞<br />
0 0280<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
2<br />
= ⎜ −13221⎟<br />
⎜11429<br />
34286 01429⎟⎜<br />
−13221⎟<br />
2 01145 RP RP<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 7966 ⎠ ⎝11429<br />
01429 11429⎠<br />
⎝ 2 7966 ⎠ 01425<br />
+<br />
′<br />
.<br />
. . . ⎛ . ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
∗ ∗<br />
. . . . . ⎜ . ⎟ Ch × + k'Ck =<br />
⎜ ⎟<br />
. . . . . ⎝−<br />
. ⎠<br />
2<br />
∗ ∗<br />
P P<br />
= 131757 . − 17851 . R + 0. 0648R<br />
Dall'equazione, sostituendo il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> 15.6 si ottiene il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
2<br />
= 131757 . − 27. 8479 + 15. 7790 = 11069 .<br />
<strong>di</strong>: σ P
Valutazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> con i cinque business equiripartiti<br />
Si consideri il caso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> formato dai cinque business A, B, C, D, E ciascuno con peso 20%. Esso<br />
avrà rischio e ren<strong>di</strong>mento rispettivamente pari a:<br />
2<br />
σ P<br />
RP<br />
=<br />
=<br />
xCx '<br />
( 02 . 02 . 02 . 02 . 02 . )<br />
= 0. 2 × 15 + 0. 2 × 15 + 0. 2 × 17<br />
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0.<br />
2857⎞<br />
⎛02<br />
. ⎞<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎜−0.<br />
4286 4 −0.<br />
2857 11429 . 11429 . ⎟⎜<br />
02 . ⎟<br />
⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0.<br />
5714⎟⎜<br />
02 . ⎟ = 08572 .<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . ⎟⎜<br />
02 . ⎟<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎝−0.<br />
2857 11429 . −0.<br />
5714 01429 . 11429 . ⎠⎝<br />
02 . ⎠<br />
+ 02 . × 20+ 02 . × 12= 158 .<br />
Si vuole ora determinare la composizione efficiente <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> che <strong>di</strong>a un ren<strong>di</strong>mento pari a 16 e<br />
<strong>di</strong>scutere il comportamento <strong>del</strong> rischio in base ai risultati <strong>del</strong>l’esercizio precedente.<br />
Come nell'esempio a tre titoli si determina la composizione efficiente <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> con:<br />
x M b<br />
1 −<br />
=<br />
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857 −1−15⎞ ⎜<br />
⎟<br />
⎜−0.<br />
4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . −1−15⎟ ⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714 −1−17⎟ ⎜<br />
⎟<br />
= ⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . −1−20⎟ ⎜−0.<br />
2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . −1−12⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 1 1 1 1 1 0 0 ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 15 15 17 20 12 0 0 ⎠<br />
⎛ 4. 0331 ⎞ ⎛−0.<br />
2812⎞<br />
⎛ −01462<br />
. ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜−0.<br />
0500⎟<br />
⎜ 00020 . ⎟ ⎜−0.<br />
0185⎟<br />
⎜ −34819<br />
. ⎟ ⎜ 02460 . ⎟ ⎜ 0. 4545 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
= ⎜ −0.<br />
8175⎟<br />
+ ⎜ 00685 . ⎟ × 16 = ⎜ 0. 2777 ⎟<br />
⎜ 13162 . ⎟ ⎜−0.<br />
0552⎟<br />
⎜ 0. 4325 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜12.<br />
2932⎟<br />
⎜ −0.<br />
8438⎟<br />
⎜ −12075<br />
. ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ −0.<br />
8438⎠<br />
⎝ 00606 . ⎠ ⎝ 01252 . ⎠<br />
49<br />
−1<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
+<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝0⎠<br />
−<br />
M 1<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
× 16 =<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1⎠<br />
Il <strong>portafoglio</strong> efficiente che dà un ren<strong>di</strong>mento pari a 16 è quin<strong>di</strong> così composto:<br />
-14.62 % <strong>di</strong> A, -1.85% <strong>di</strong> B, 45.45% <strong>di</strong> C, 27.77% <strong>di</strong> D,43.25% <strong>di</strong> E.<br />
Si calcola ora la frontiera efficiente con la tecnica utilizzata nell'esercizio precedente <strong>di</strong> cui si omettono i<br />
calcoli:<br />
2<br />
∗ ∗2<br />
σ P = 12. 2932 − 16876 . RP + 0. 0606RP<br />
Si sostituisce il ren<strong>di</strong>mento desiderato nell'equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente per ottenere il rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>:<br />
2<br />
σ P = 12. 2932 − 27. 0014 + 155039 . = 0. 5977<br />
Si nota così che, rispetto al <strong>portafoglio</strong> composto dai cinque titoli con peso 1/5, il nuovo <strong>portafoglio</strong> ha sia<br />
maggiore ren<strong>di</strong>mento, sia minor rischio.
SIMULAZIONE<br />
Determinazione <strong><strong>del</strong>la</strong> composizione efficiente dei tre business B, D, E senza il vincolo sul ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>:<br />
⎛0⎞<br />
⎛ R1<br />
⎞ ⎛ 4<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
−1 −1<br />
x = M<br />
⎜0⎟<br />
⎜ R2⎟<br />
+ M<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
==<br />
⎜11429<br />
.<br />
µ<br />
0 R ⎜<br />
3 11429 .<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
1 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1<br />
⎛−0.<br />
0889⎞<br />
⎛ 0. 4319 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ 0. 2541 ⎟<br />
+<br />
⎜ 17659 . ⎟<br />
µ<br />
⎜ 0. 8348 ⎟ ⎜ −21978<br />
. ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 0. 8888 ⎠ ⎝−13.5678⎠<br />
11429 .<br />
34286 .<br />
01429 .<br />
1<br />
11429 .<br />
01429 .<br />
11429 .<br />
1<br />
−1<br />
−1⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎛15⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−1⎟<br />
⎜0⎟<br />
−1<br />
+ M<br />
⎜20⎟<br />
µ =<br />
−1⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜12⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0⎠⎝1⎠<br />
⎝ 0 ⎠<br />
A questo punto si può ipotizzare il comportamento <strong>del</strong>l'investitore per quanto riguarda la propensione al<br />
rischio. Al variare <strong>di</strong> µ si otterranno infatti <strong>di</strong>verse composizioni <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>; si considereranno valori <strong>di</strong><br />
µ inferiori a 0.5.<br />
⎛0.<br />
0407 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
0. 7839<br />
Dato µ=0.3 si avrà la seguente soluzione:<br />
⎜ ⎟<br />
⎜01755<br />
. ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−32410<br />
. ⎠<br />
cui corrisponderà un <strong>portafoglio</strong> composto per il 4.07% <strong>di</strong> B, 78.39% <strong>di</strong> D e 17.55% <strong>di</strong> E.<br />
Applicazione come la precedente utilizzando tutti i cinque titoli <strong>di</strong>sponibili:<br />
⎛0⎞<br />
⎛ R1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ R2⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ R ⎟<br />
−1 0 −1<br />
x = ⎜ ⎟ + ⎜ 3<br />
M M ⎟ µ<br />
⎜0⎟<br />
⎜ R4⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜<br />
R<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ 5⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1⎠<br />
⎝ 0 ⎠<br />
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857 −1⎞⎛⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜−0.<br />
4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . −1⎟⎜0⎟<br />
⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714 −1⎟⎜0⎟<br />
= ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ + M<br />
⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . −1⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜−0.<br />
2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . −1⎟⎜0⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 1 1 1 1 1 0⎠⎝1⎠<br />
⎛03938<br />
. ⎞ ⎛−4.<br />
3130 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜−00226<br />
. ⎟ ⎜0.<br />
0225 ⎟<br />
⎜−00541<br />
. ⎟ ⎜4.<br />
0623 ⎟<br />
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ µ .<br />
⎜0.<br />
01362⎟<br />
⎜11302<br />
. ⎟<br />
⎜05467<br />
. ⎟ ⎜−0.<br />
9120 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝05369<br />
. ⎠ ⎝−139326<br />
. ⎠<br />
⎛−09001<br />
. ⎞<br />
⎛01781<br />
. ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜−0.<br />
0128⎟<br />
⎜−00209<br />
. ⎟<br />
⎜11646<br />
. ⎟<br />
⎜01490<br />
. ⎟<br />
Se µ = 0.3 ⇒ x = ⎜ ⎟ ; Se µ = 0.05 ⇒ x = ⎜ ⎟<br />
⎜0.<br />
4753 ⎟<br />
⎜01927<br />
. ⎟<br />
⎜0.<br />
2731 ⎟<br />
⎜05011<br />
. ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−36429<br />
. ⎠<br />
⎝−01598<br />
.<br />
⎠<br />
50<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
⎛15⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜15⎟<br />
⎜17⎟<br />
⎜ ⎟ µ =<br />
⎜20⎟<br />
⎜12⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎠
APPENDICE AL CAPITOLO 3<br />
TEOREMA DI SEPARAZIONE (o dei due fon<strong>di</strong>)<br />
Nel caso si possa operare con “short selling” e fissati xa ed xb due portafogli a varianza<br />
minima con ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o rispettivamente Raed Rb , con Ra ≠ Rb<br />
si ha che:<br />
a) qualsiasi <strong>portafoglio</strong> a varianza minima xc è una combinazione lineare dei portafogli xa<br />
ed xb;<br />
b) ogni <strong>portafoglio</strong> ottenuto dalla combinazione lineare <strong>di</strong> xa ed xb, αxa+(1-α)xb, è un<br />
<strong>portafoglio</strong> a varianza minima, situato sulla frontiera;<br />
c) in particolare, se xa ed xb sono portafogli a varianza minima efficienti, allora, per ogni<br />
0≤α ≤1,<br />
anche αxa+(1-α)xb è un <strong>portafoglio</strong> efficiente a varianza minima.<br />
Dimostrazione<br />
a)<br />
Poniamo Rc il ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> a varianza minima xc. Scegliamo il<br />
parametro α in modo tale che<br />
R R ( )<br />
c = α a + 1 − α Rb<br />
ciò significa scegliere α pari a<br />
Rc − Rb<br />
α=<br />
Ra − Rb<br />
Nota che α esiste ed è unico se si ipotizzaRa ≠ Rb.<br />
xc xa xb<br />
Ricor<strong>di</strong>mo che xc ottiene<br />
= h+ kRc<br />
e sostituendo a Rc la combinazione lineare <strong>di</strong> Ra ed Rb si<br />
xc = h+ kRc<br />
= h( α+ 1− α) + k( αR ( )<br />
a + 1−α<br />
Rb)<br />
= αh+ ( 1− α) h + αkR + ( 1−α)<br />
kR<br />
Dimostriamo che = α + ( 1 − α)<br />
( h kR ) ( 1 )( h kR )<br />
= α + + − α +<br />
= αx + ( 1−α)<br />
x<br />
a b<br />
a b<br />
a b<br />
51<br />
c.v.d.
)<br />
Consideriamo il <strong>portafoglio</strong> xc come combinazione lineare <strong>di</strong> xa ed xb.<br />
Quin<strong>di</strong><br />
x = αx + ( 1−α)<br />
x<br />
c a b<br />
( h kR ) ( 1 )( h kR )<br />
= α + a + − α + b<br />
= αh+ αkR ( ) h ( )<br />
a + 1− α + 1−α<br />
kRb<br />
= h( α+ 1− α) + k( αR ( )<br />
a + 1−α<br />
Rb)<br />
= h+ kRc<br />
da cui si conclude che se xa ed xb sono portafogli a varianza minima lo è anche xc.<br />
c)<br />
Questo si <strong>di</strong>mostra come nel punto b) introducendo la restrizione 0≤α ≤1<br />
la quale<br />
implica che<br />
se Ra ≤ Rb<br />
allora R R ( )<br />
a ≤ α a + 1 − α Rb ≤ Rb.<br />
TEOREMA DI ORTOGONALITA’<br />
Due portafogli a varianza minima xa ed xb , nel caso con “short selling”, si definiscono<br />
ortogonali se la loro covarianza è zero, cioè, xa′ Cxb = 0. Vogliamo <strong>di</strong>mostrare che per ogni<br />
<strong>portafoglio</strong>, eccetto quello definito nel punto <strong>di</strong> minimo <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera dei portafogli<br />
fattibili, esiste un unico <strong>portafoglio</strong> ortogonale a quello dato. Inoltre, definito Rb il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> dato, è possibile calcolare il ren<strong>di</strong>mento Ra <strong>del</strong>l’unico<br />
<strong>portafoglio</strong> ortogonale nel modo seguente:<br />
xa′ Cxb<br />
= 0<br />
h′ + k′ R C h+ kR<br />
= 0<br />
( a) ( b)<br />
( h kR )( Ch CkR<br />
)<br />
′ + ′ a + b = 0<br />
hCh ′ + hCk ′ Rb + kCh ′ Ra + kCk ′ RaRb = 0<br />
hCh ′ + hCk ′ Rb<br />
Ra<br />
=−<br />
kCh ′ + kCk ′ R<br />
ponendo:<br />
a = hCh ′<br />
b = hCk ′ = kCh ′<br />
c = k′ Ck<br />
risulta<br />
a bR<br />
Ra<br />
=−<br />
b cR<br />
+<br />
+<br />
b<br />
b<br />
b<br />
52
σp<br />
Portafogli<br />
inefficienti a<br />
varianza<br />
minima<br />
σa<br />
σG<br />
R a<br />
a<br />
Portafogli<br />
fattibili<br />
R G<br />
53<br />
G<br />
b<br />
Portafogli<br />
efficienti a<br />
varianza<br />
minima<br />
Nel caso con “short selling”, considerate n possibilità a ren<strong>di</strong>mento aleatorio, scelto il<br />
<strong>portafoglio</strong> efficiente b si può valutare il <strong>portafoglio</strong> ortogonale ad esso, detto<br />
<strong>portafoglio</strong> a , utilizzando il vertice G.<br />
L’interpretazione geometrica <strong><strong>del</strong>la</strong> proprietà <strong>di</strong> ortogonalità è descritta nella figura<br />
precedente. Dato il <strong>portafoglio</strong> b posizionato sul tratto <strong>di</strong> frontiera efficiente, il <strong>portafoglio</strong><br />
ortogonale si determina tracciando una retta passante per i portafogli b, quello scelto, e G<br />
(<strong>portafoglio</strong> a varianza minima globale). Il punto <strong>di</strong> intersezione <strong><strong>del</strong>la</strong> retta, passante per b<br />
e G, con l’asse dei ren<strong>di</strong>menti attesi identifica il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> a.<br />
ortogonale al <strong>portafoglio</strong> b. Una volta valutato R a si determina lo scarto associato con la<br />
verticale su R ache in<strong>di</strong>vidua l’unico <strong>portafoglio</strong> dominato a varianza minima.<br />
E’ interessante notare che se il <strong>portafoglio</strong> dato si trova sul tratto <strong>di</strong> frontiera dei<br />
portafogli efficienti a varianza minima allora il relativo <strong>portafoglio</strong> ortogonale si trova sul<br />
tratto <strong>di</strong> frontiera inefficiente. E’ pertanto <strong>di</strong>mostrato che non possono esistere due<br />
portafogli efficienti tra loro ortogonali.<br />
R p
4<br />
ANALISI DEL PORTAFOGLIO<br />
IN PRESENZA DI TITOLI O BUSINESS<br />
A RENDIMENTO ALEATORIO,<br />
INVESTIMENTI E FINANZIAMENTI<br />
A TASSO CERTO<br />
E’ noto che ogni mercato (per esempio il mercato azionario, l’obbligazionario, il<br />
valutario, l’assicurativo quotato e no, l’automobilistico quotato e no, l’elettronico quotato e<br />
no) è inserito nel più grande mercato, omnicomprensivo, detto globale, nazionale o<br />
sovranazionale.<br />
Se ci fermiano, per como<strong>di</strong>tà, al mercato nazionale, si sa che ogni mercato ha:<br />
− più possibilità a ren<strong>di</strong>mento certo (imperfezione <strong>del</strong> mercato) lucrabile in una certa<br />
unità temporale e che fra queste si deve razionalmente scegliere solo quella a<br />
ren<strong>di</strong>mento massimo;<br />
− molte, spesso moltissime, possibilità a ren<strong>di</strong>mento-rischio <strong>di</strong>versi;<br />
− molte possibilità <strong>di</strong> indebitarsi a tasso certo (imperfezione <strong>del</strong> mercato); fra queste<br />
deve interessare solo quella a tasso più basso.<br />
Quin<strong>di</strong> il mercato-<strong>portafoglio</strong> nazionale azionario, obbligazionario, valutario, assicurativo,<br />
automobilistico, elettronico, tutti a ren<strong>di</strong>mento aleatorio, non bastano a formare il mercato<br />
globale-nazionale perchè esiste e opera, in competizione, anche l’alternativa <strong>di</strong><br />
investimento a ren<strong>di</strong>mento certo e quella <strong>di</strong> finanziamento a tasso certo che devono essere<br />
inserite nei mo<strong>del</strong>li formali stu<strong>di</strong>ati perchè ogni operatore può investire ed indebitarsi a<br />
questi tassi.<br />
4.1. Portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso <strong>di</strong> n-1 titoli o business a<br />
ren<strong>di</strong>mento aleatorio ed un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo<br />
Il problema <strong>di</strong> minimizzazione nella Z4 torna utile in questa nuova fase che utilizza il<br />
teorema detto <strong>di</strong> Separazione47 .<br />
La presenza <strong>di</strong> un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo48 accanto ad altri a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
semplifica notevolmente il calcolo <strong><strong>del</strong>la</strong> nuova frontiera efficiente.<br />
L'investitore infatti, come già visto, sceglierà il tratto <strong>di</strong> retta che, partendo da Rf tange la frontiera efficiente <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> composto dai soli titoli rischiosi. Il Teorema <strong>di</strong><br />
Separazione afferma che: "l'ammontare investito in ogni singolo titolo rischioso è una<br />
quota costante <strong>del</strong>l'ammontare totale investito in titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio pur al<br />
variare <strong><strong>del</strong>la</strong> propensione al rischio" 49.<br />
Si supponga che esistano un titolo a ren<strong>di</strong>mento non rischioso ed n-1 titoli a ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatorio e sia:<br />
R1 = Rf; σ1i = σ i1<br />
= 0; ∀ i= 12 , ,..., n.<br />
47 Vedasi l’appen<strong>di</strong>ce al Cap. 3 e SHARPE W.F., 1964, op. cit.<br />
48 Questo caso corrisponde a quello in cui vi sia perfetta correlazione lineare negativa tra due titoli a<br />
ren<strong>di</strong>mento aleatorio (in quanto è possibile trovare almeno una combinazione <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> che annulli il<br />
rischio).<br />
49 SHARPE.W.F., Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw Hill Book Co., N.Y., 1970.<br />
54
A partire da queste informazioni, il sistema da risolvere è dato da:<br />
M x b<br />
⎡0<br />
⎢0<br />
⎢:<br />
⎢<br />
⎢0<br />
⎣⎢<br />
1<br />
0<br />
σ22 :<br />
σn2 1<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
0<br />
σ2n<br />
:<br />
σnn<br />
1<br />
−1⎤⎡x1⎤<br />
⎡µ<br />
R f ⎤<br />
−1⎥⎢⎥<br />
⎢<br />
x<br />
⎢<br />
2⎥⎢ µ R<br />
⎥<br />
2⎥<br />
: ⎥ ⎢ : ⎥ = ⎢ : ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
−1⎥⎢xn⎥⎢µ<br />
R n ⎥<br />
0 ⎣<br />
⎢<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢ 1 ⎦<br />
⎥<br />
⎦⎥<br />
λ S<br />
Esso permette <strong>di</strong> trovare subito il valore <strong>del</strong>l'incognita:<br />
che, sostituito nel sistema <strong>di</strong> equazioni, dà:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
un sistema <strong>di</strong> n equazioni ed n incognite.<br />
λ S =-µ R f<br />
M x b<br />
0 σ22 σ x<br />
2 1 µ<br />
n⎤<br />
⎡ ⎤ ⎡ ( R2−Rf) ⎤<br />
⎢<br />
:<br />
:<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
:<br />
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎥<br />
0 σ 2 σ ⎢x<br />
1 µ<br />
n nn n−<br />
⎥ ⎢ ( Rn − Rf<br />
) ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢<br />
⎥<br />
1 1 ... 1 ⎣ x n ⎦ ⎣⎢<br />
1 ⎦⎥<br />
⎦<br />
Questo sistema può essere ulteriormente semplificato trascurando la prima colonna e<br />
l'ultima riga. Esse infatti servono solo a determinare l'incognita x 1 , che può essere calcolata<br />
per <strong>di</strong>fferenza dopo aver determinato i valori <strong>del</strong>le altre x i ; essa assumerà il valore che farà<br />
rispettare il vincolo <strong>di</strong> bilancio (<strong>di</strong> somma 1).<br />
Ricordando che le xi possono assumere qualunque valore, positivo, negativo o nullo, il<br />
sistema <strong>di</strong>venta<br />
⎡σ22<br />
⎢ :<br />
⎢σn2<br />
M<br />
...<br />
...<br />
...<br />
x b<br />
σ µ<br />
2 2 ( 2 )<br />
n⎤<br />
⎡x<br />
⎤ ⎡ R − Rf⎤<br />
⎢<br />
: :<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥<br />
:<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢ ⎥<br />
σ x µ ( )<br />
nn⎥⎣⎢n⎦⎥⎣ ⎢ Rn − Rf<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
Il vettore soluzione <strong>di</strong> questo sistema <strong>di</strong> n-1 incognite ed n-1 equazioni è<br />
x = M b= M<br />
−1 −1<br />
⎦<br />
⎡R2<br />
− Rf⎤<br />
⎧x2<br />
= g2µ<br />
⎢ ⎥ ⎪<br />
⎢<br />
:<br />
⎥<br />
µ ⇒ ⎨:<br />
⎣<br />
⎢R<br />
− R ⎦<br />
⎥ ⎪<br />
n f ⎩x<br />
n = g nµ<br />
Ciò porta <strong>di</strong>rettamente al Teorema <strong>di</strong> Separazione, il quale afferma che se:<br />
55
n<br />
⎛ ⎞<br />
1) l'unico vincolo <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> ottimizzazione è quello <strong>di</strong> bilancio ⎜∑<br />
xi = 1⎟<br />
;<br />
⎝ i=<br />
1 ⎠<br />
2) esiste la possibilità <strong>di</strong> investimento e indebitamento non rischioso al tasso R f ;<br />
allora:<br />
− la quota <strong>di</strong> investimento rischioso in un <strong>portafoglio</strong> è pari a<br />
−<br />
n<br />
n<br />
∑ xi = µ ∑ gi<br />
i=<br />
2 i=<br />
2<br />
− la quota investita in ciascun titolo a ren<strong>di</strong>mento aleatorio è pari a:<br />
che non <strong>di</strong>pende da µ..<br />
xi<br />
µ gi<br />
gi<br />
= =<br />
n<br />
n<br />
n<br />
∑xiµ ∑gi∑g i=<br />
2 i=<br />
2 i=<br />
2<br />
In altre parole: il mix <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> rischioso efficiente è uguale per tutti gli<br />
investitori e non è influenzato dal loro <strong>di</strong>verso grado <strong>di</strong> propensione al rischio.<br />
Il parametro µ influisce invece sulla ripartizione <strong>del</strong> capitale <strong>di</strong>sponibile tra<br />
investimento rischioso e non rischioso, che sarà pari a<br />
n<br />
x = 1− µ g poichè x = 1−x<br />
1<br />
∑ ∑<br />
i<br />
i=<br />
2 i=<br />
2<br />
Il Teorema <strong>di</strong> Separazione è a base <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali<br />
denominato Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong> (CAPM) 50.<br />
4.2. Alcune simulazioni<br />
Considerando:<br />
− i cinque titoli o business A, B, C, D, E a ren<strong>di</strong>mento aleatorio;<br />
− la possibilità <strong>di</strong> investire in un'attività T con ren<strong>di</strong>mento certo R f =8;<br />
con ∑xi=1 e xi≥0;<br />
allora:<br />
− i ren<strong>di</strong>menti-rischi degli infiniti portafogli fattibili sono rappresentati in Fig. 21;<br />
− i ren<strong>di</strong>menti-rischi <strong>del</strong>le scelte efficienti sono in Fig. 22 e dati dall'unione <strong>del</strong><br />
segmento TU con la curva UD.<br />
50 Ve<strong>di</strong> nota 15.<br />
56<br />
n<br />
i<br />
i<br />
1
Fig. 21: Regione ren<strong>di</strong>menti-rischi degli infiniti portafogli fattibili (0≤xi ≤1) con sei<br />
business, <strong>di</strong> cui: cinque a ren<strong>di</strong>mento aleatorio e uno a ren<strong>di</strong>mento certo.<br />
Il <strong>portafoglio</strong> U è quello in<strong>di</strong>viduato dalla semiretta uscente da T e tangente alla curvafrontiera<br />
efficiente calcolata considerando solo i titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio, Fig. 18. Esso<br />
ha ren<strong>di</strong>mento atteso R U =15.43 e σ U=0.82 ed è così composto:<br />
7.08% <strong>di</strong> A 0 <strong>di</strong> B 25.44% <strong>di</strong> C 24.32% <strong>di</strong> D 43.16% <strong>di</strong> E<br />
Fig. 22: Scelte efficienti, con 0≤xi ≤1, date dall'unione <strong>del</strong> segmento TU con la curva UD<br />
Il decisore può decidere efficientemente <strong>di</strong> investire:<br />
− o tutto in T con un ren<strong>di</strong>mento certo 8;<br />
− o componendo T con U se è <strong>di</strong>sposto ad accettare un rischio massimo <strong>di</strong> 0.82 o vuole<br />
un ren<strong>di</strong>mento fino a 15.43;<br />
Se, ad esempio, il decisore vuole un <strong>portafoglio</strong> V con σ V =0.5 dovrà:<br />
57
− investire x U = 0.5/0.82 = 0.61 = 61% <strong>del</strong> suo capitale in U;<br />
− e quin<strong>di</strong> il restante 39% in T;<br />
ottenendo R V = 15.43 × 0.61 + 8 × 0.39 = 12.53.<br />
V è composto: 39% <strong>di</strong> T, 4.31% <strong>di</strong> A, 15.52% <strong>di</strong> C, 14.84% <strong>di</strong> D e 26.33% <strong>di</strong> E<br />
dove i pesi <strong>di</strong> A, C, D, E sono il 61% dei rispettivi pesi con cui compaiono in U.<br />
− o in portafogli che non contengono T e dati dalla frontiera efficiente con le sole<br />
alternative a ren<strong>di</strong>mento aleatorio, se vuole un ren<strong>di</strong>mento superiore a 15.43 o un<br />
rischio maggiore <strong>di</strong> 0.82.<br />
4.3. Portafogli efficienti (frontiera efficiente) utilizzando sia titoli o business a<br />
ren<strong>di</strong>mento aleatorio sia un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo sia la possibilità <strong>di</strong><br />
indebitamento a tasso certo<br />
Tutte le considerazioni fatte in 4.1. per il titolo a ren<strong>di</strong>mento certo valgono anche per<br />
l’indebitamento a tasso certo. Allora, nel nostro caso guida, dati:<br />
− i cinque titoli o business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio;<br />
− la possibilità <strong>di</strong> investire in T con ren<strong>di</strong>mento certo R fc = 8 e prendere a prestito in T<br />
a tasso certo R fd =8;<br />
allora, la frontiera efficiente è la semiretta uscente da T e tangente in U, Fig. 23.<br />
Fig. 23: Frontiera efficiente uscente da T, possibilità <strong>di</strong> investimento e <strong>di</strong> finanziamento a<br />
tasso certo R fc = R fd = 8, e tangente in U. I punti sulla semiretta da U in poi identificano i<br />
portafogli ottenuti indebitandosi e sovrainvestendo sempre nel <strong>portafoglio</strong>, mix <strong>di</strong><br />
business, U<br />
Il decisore può decidere efficientemente <strong>di</strong> investire:<br />
− o tutto in T, con un ren<strong>di</strong>mento certo 8;<br />
− o componendo T con U, se vuole un rischio maggiore <strong>di</strong> zero e inferiore a 0.82 o vuole<br />
un ren<strong>di</strong>mento atteso inferiore a 15.43 e maggiore <strong>di</strong> 8;<br />
− o tutto in U se vuole un rischio 0.82 o un ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> 15.43;<br />
− o tutto, capitale proprio più capitale a debito, in U finanziandosi in T a tasso certo 8, se<br />
vuole un ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore <strong>di</strong> 15.43 o un rischio maggiore <strong>di</strong> 0.82.<br />
58<br />
Fig
Si verifica l’effetto leva <strong>del</strong>l’indebitamento: indebitandosi aumenta il ren<strong>di</strong>mento, ma<br />
anche il rischio <strong>del</strong>l’investimento, secondo una relazione lineare.<br />
Poichè il nostro sistema finanziario non opera con Rfc=Rfd , purtroppo, ma con Rfc
− ren<strong>di</strong>mento lordo <strong>di</strong> lire 22.397628, costo <strong>del</strong>l'indebitamento <strong>di</strong> 2.397628, quin<strong>di</strong> un<br />
ren<strong>di</strong>mento netto <strong>di</strong> 20 e σΩ valutabile utilizzando l’equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> semiretta uscente<br />
da (13, 0) e tangente alla frontiera efficiente <strong>del</strong>le sole attività a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
nel punto Z:<br />
⎧0=<br />
a+ 13b<br />
⎨<br />
⎩145<br />
. = a+ 1891 . b<br />
145 . − 0 = a− a+ ( 18. 91−13) b<br />
b = 0. 245347<br />
a =−3189511<br />
.<br />
σ =− 1189511 . + 0. 245347R<br />
p p<br />
da cui si ha:<br />
σ<br />
p<br />
=− 1189511 . + 0. 245347 ⋅ 20 = 1717429 . ≅172<br />
.<br />
È facile verificare che il titolo D ha ren<strong>di</strong>mento atteso 20 e rischio 1.85 e che potendo<br />
indebitarsi a tasso R fd =13 si può ottenere il <strong>portafoglio</strong> Ω che ha stesso ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> D<br />
e rischio 1.72: Ω domina D per rischio. Quin<strong>di</strong>, lavorando con capitale a debito si riesce<br />
a migliorare l’efficienza <strong>del</strong>l’investimento.<br />
Fig. 25: Soluzione efficiente Ω con ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> 20 indebitandosi a tasso certo<br />
R fd =13 e investendo tutto nel <strong>portafoglio</strong> Z.<br />
60
SIMULAZIONI<br />
1) Si considera il caso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> composto dai tre business B, D, E e si suppone inoltre la<br />
possibilità <strong>di</strong> investire in un titolo con ren<strong>di</strong>mento certo pari a 8. Si in<strong>di</strong>ca la quota da investire nel titolo a<br />
ren<strong>di</strong>mento certo x0<br />
⎛0<br />
0 0 0 −1⎞⎛x0⎞<br />
⎛ R f ⎞<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0<br />
4 11429 . 11429 . −1⎟<br />
⎜ x1<br />
⎟ ⎜ R1<br />
⎟<br />
Mx = b ⇒⎜0<br />
11429 . 3. 4286 01429 . −1⎟<br />
⎜ x ⎟ = ⎜ ⎟<br />
2 µ R 2<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0<br />
11429 . 01429 . 11429 . −1⎟<br />
⎜ x 3 ⎟ ⎜ R 3 ⎟<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝1<br />
1 1 1 0⎠⎝λ⎠ ⎝ 1 ⎠<br />
che <strong>di</strong>venta<br />
x M 1<br />
⎛ R1−Rf⎞⎛ 4 11429 . 11429 . ⎞<br />
− ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
= ⎜ R2−Rf⎟µ = ⎜11429<br />
. 3. 4286 01429 . ⎟<br />
⎜<br />
⎝ − ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
R R ⎠ ⎝11429<br />
. 01429 . 11429 . ⎠<br />
3<br />
f<br />
61<br />
−1<br />
s<br />
⎛15<br />
− 8⎞<br />
⎛−00725<br />
. ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜20<br />
− 8⎟<br />
05 . = ⎜ 17071 . ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝12<br />
− 8⎠<br />
⎝ 16090 . ⎠<br />
Si deve ora determinare la quota <strong>di</strong> capitale da investire o prendere a prestito al tasso certo affinchè sia<br />
rispettato il vincolo <strong>di</strong> bilancio, data la propensione al rischio 0.5.<br />
Dato x1 + x2 + x3<br />
= − 0. 0725 + 17071 . + 16090 . = 3. 2436<br />
Dovrà essere x0 = 1− 3. 2436 =−2.<br />
2436 , quantitá da prendere a prestito al tasso certo.<br />
2) Si consideri ora il <strong>portafoglio</strong> composto utilizzando i cinque business A, B, C, D, E e con le ipotesi<br />
formulate nel precedente esempio:<br />
x M 1<br />
⎛ R1−Rf⎞⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0.<br />
2857⎞<br />
⎛ 7 ⎞ ⎛ 00385 . ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ R2−Rf⎟⎜−0. 4286 4 −0.<br />
2857 11429 . 11429 . ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜−0.2168⎟<br />
−<br />
= ⎜ R − R ⎟ = ⎜ − − ⎟ ⎜ ⎟ =<br />
⎜ 3 f µ 2. 2857 0. 2857 2. 8571 0. 7143 0. 5714 9 µ ⎜ 34645 . ⎟µ<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ R4−Rf⎟⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 3. 4286 01429 . ⎟ ⎜12⎟<br />
⎜ 2. 6351 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ R − R ⎠ ⎝−0.<br />
2857 11429 . −0.<br />
5714 01429 . 11429 . ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 51289 . ⎠<br />
5<br />
⎛ 0. 0193 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜−01084<br />
. ⎟<br />
Si avrà, dato µ = 0.5, ⎜ 17323 . ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 13175 . ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2. 5645 ⎠<br />
f<br />
Per rispettare il vincolo <strong>di</strong> bilancio l'investitore dovrà prendere a prestito al tasso certo l'importo 4.5251.<br />
−1
ROI, ROE E SOSTENIBILITA' DEI DEBITI<br />
5.1. Valore atteso e varianza <strong>di</strong> ROI e ROE<br />
Giunti ad una buona conoscenza <strong>del</strong> criterio E-V si ritiene interessante inserire il presente<br />
capitolo per mostrare come tale criterio risulti utile anche nella gestione, non solo<br />
finanziaria, <strong>di</strong> una azienda, dove la variabile casuale non è più il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo<br />
bensì il roi (return on investment) oppure il roe (return on equity) <strong>del</strong>l'azienda vista come<br />
<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> prodotti.<br />
Il roe è definito, utilizzando parametri deterministici, cioè valori certi e costanti, da:<br />
roe = roi + L(roi-c)<br />
con:<br />
L rapporto tra quota <strong>di</strong> capitale <strong>di</strong> terzi e capitale investito (leva finanziaria);<br />
c rapporto interessi passivi/capitale <strong>di</strong> terzi;<br />
roi>c.<br />
Il ricorso all'indebitamento permette alle aziende <strong>di</strong> aumentare il ren<strong>di</strong>mento sul capitale<br />
proprio, roe, attraverso l'effetto leva, posto che il tasso a debito, c (me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
ponderata <strong>di</strong> più tassi certi), sia minore <strong>del</strong> tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento degli investimenti, roi.<br />
Nel caso in cui l'azienda non ricorra all'indebitamento si ha L=0 e, naturalmente,<br />
roi=roe.<br />
Viste queste premesse è lecito chiedersi ed in molte aziende ci si chiede:<br />
− quanto e come aumenta il rischio aziendale al variare <strong>del</strong> grado <strong>di</strong> indebitamento?<br />
− qual'è il tasso massimo a debito che l'azienda può razionalmente sostenere?<br />
− esiste una struttura finanziaria-produttiva efficiente?<br />
Tali quesiti rimangono spesso irrisolti poichè nella realtà operativa c'è scarsa<br />
consapevolezza che le con<strong>di</strong>zioni in cui operano le aziende si possano tradurre in termini<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> probabilità <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile casuale ren<strong>di</strong>mento, roe o roi, o <strong>di</strong> suoi in<strong>di</strong>ci<br />
sintetici quali valore atteso, varianza ed altri momenti51 .<br />
Poichè tutti devono ammettere che roe e roi non possono trattarsi come deterministici, si<br />
propone l’utilizzo <strong>del</strong> criterio E-σ proposto da Markowitz per stu<strong>di</strong>are le variabili aziendali<br />
roi e roe come trasformazione <strong>di</strong> quelle <strong>di</strong> prodotto o business.<br />
Il <strong>portafoglio</strong> che deve essere composto è quello <strong>di</strong> una generica azienda che operi con n<br />
business (prodotti, aree d'affari). Consideriamo il generico k-esimo <strong>portafoglio</strong> così<br />
caratterizzato:<br />
dove:<br />
E roi : valore atteso <strong>del</strong> roi <strong>del</strong> mix k;<br />
( )<br />
k<br />
62<br />
5<br />
n<br />
k = ∑ k i i<br />
i=<br />
1<br />
( ) x ( )<br />
E roi E roi<br />
k i x : quota <strong>di</strong> capitale destinata all'i-esimo business nel mix k, dove ∑ kx<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
= 1, con<br />
0≤ x ≤1;<br />
k i<br />
51 TREGLIA B., ROSSI F.A., "Il Criterio Me<strong>di</strong>a-Varianza nelle Scelte Finanziarie con Costo <strong>del</strong> Capitale Certo<br />
o Aleatorio", Il Risparmio, n 6, 1991.<br />
n
Eroi ( i ) : valore atteso <strong>del</strong> roi <strong>del</strong>l'i-esimo business;<br />
n n<br />
σ( kroi ) = k xi kx jσ( roi i) σ( roi j)<br />
ρij<br />
i j<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢∑∑<br />
⎥<br />
⎣ = 1 = 1<br />
⎦<br />
dove:<br />
σ k roi scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> roi <strong>del</strong> mix k;<br />
( )<br />
σ( roii ) scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> roi <strong>del</strong>l'i-esimo business;<br />
ρij coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare tra i roi <strong>del</strong>l'i-esimo e j-esimo business.<br />
Si ricorda che σ( roii ) σ( roi j ) ρij σ(<br />
roiij<br />
)<br />
= è:<br />
−la covarianza <strong>del</strong> roi <strong>del</strong>l'i-esimo business con quello <strong>del</strong> j-esimo se i≠j<br />
−la varianza <strong>del</strong> roi <strong>del</strong>l'i-esimo business se i=j.<br />
5.2. Ipotesi <strong>di</strong> indebitamento a tasso certo e <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento aleatorio dei business:<br />
scelte possibili<br />
Nell'ipotesi <strong>di</strong> tasso certo <strong>del</strong>l'indebitamento, si propone <strong>di</strong> valutare il tasso massimo<br />
che l'azienda può sostenere utilizzando la frontiera efficiente <strong>del</strong> roe aziendale ed il<br />
Teorema <strong>di</strong> Separazione già visto in Cap. 3 e Cap. 4. In questo caso il decisore potrà<br />
scegliere tra infiniti livelli <strong>di</strong> indebitamento senza mo<strong>di</strong>ficare il mix efficiente <strong>di</strong><br />
investimenti/prodotti.<br />
Se il tasso dei debiti c è certo, allora il valore atteso <strong>del</strong> roe <strong>del</strong> mix k E( roe)<br />
63<br />
12 /<br />
( )<br />
k è una<br />
combinazione lineare tra una variabile aleatoria E( kroii ) ed una grandezza costante c:<br />
E( kroe) = E( kroi) + kL[ E( kroi)<br />
−c]<br />
= E( kroi) + kLE( kroi) −kLc<br />
= ( 1+<br />
LE ) ( roi) −cL<br />
dove:<br />
E( k roe)<br />
valore atteso <strong>del</strong> roe <strong>del</strong> mix k;<br />
k k k<br />
c tasso (me<strong>di</strong>o ponderato) certo dei debiti, con c ≥0;<br />
k L quota <strong>di</strong> indebitamento <strong>del</strong>l'azienda investita nel mix k, con kL≥0<br />
Lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> roe <strong>del</strong> k-esimo mix, σ( k roe ) , finanziato con un grado<br />
<strong>di</strong> indebitamento pari k L sarà dato da:<br />
σ( roe) = σ(<br />
roi)( 1 + L)<br />
= σ( roi) + Lσ( roi)<br />
k k k<br />
k k k<br />
In assenza <strong>di</strong> indebitamento, L = 0 ⇒ σ( roe) = σ ( roi)<br />
k k k<br />
Quest'ultima relazione mostra che in tale contesto σ(roe), dato σ(roi), cresce<br />
linearmente al crescere <strong>di</strong> L.<br />
Il decisore è chiamato ad affrontare i seguenti due problemi:<br />
1) in quale <strong>portafoglio</strong> rischioso investire/produrre, tra gli infiniti possibili;<br />
2) quale grado <strong>di</strong> leva finanziaria adottare.<br />
Con il Teorema <strong>di</strong> Separazione si <strong>di</strong>mostra che:<br />
a) la composizione <strong>del</strong> mix rischioso è in<strong>di</strong>pendente dal grado <strong>di</strong> leva finanziaria;
) l’intensità <strong><strong>del</strong>la</strong> leva finanziaria <strong>di</strong>pende dal profilo<br />
( E( kroi) ; σ( kroi) ) = ( E( kroe) ; σ(<br />
kroe)<br />
) , con L = 0, <strong>del</strong> mix <strong>di</strong> business, scelto per<br />
leverare.<br />
σ(roe)<br />
2.25<br />
1.69<br />
c = 8<br />
17<br />
64<br />
Profilo<br />
ren<strong>di</strong>mento-rischio per l’azienda<br />
che voglia ulteriormente indebitarsi<br />
al tasso certo <strong>del</strong>l’8%<br />
Profilo (20, 2.25) per l’azienda che<br />
può indebitarsi a tasso certo 8%<br />
e voglia un L= 0.3333<br />
E(roe)<br />
Ren<strong>di</strong>mento rischio<br />
<strong>del</strong>l’azienda non leverata<br />
Fig. 26: L’azienda non indebitata che operi con un E(roe)=17%=E(roi) e<br />
σ(roe)=1.69%=σ(roi), avendo la possibilità <strong>di</strong> indebitarsi a tasso certo <strong>del</strong>l’8% se vuole<br />
un E(roe)=20% deve indebitarsi secondo: 8%(-L)+(1+L)17%=20% da cui L=0.3333.<br />
σ(roe) sarà: σ(roe)=σ(roi)(1+L)=1.69%⋅1.3333=2.2533%.<br />
Sostituendo (1+ k L ) con<br />
σ<br />
σ<br />
( k roe)<br />
( roi)<br />
k<br />
, la determinazione <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong> roe <strong>di</strong>venta:<br />
( k roe)<br />
( roi)<br />
E( kroe) = c+ [ E( kroi)<br />
−c] k<br />
σ<br />
σ<br />
In questa espressione <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong> roe <strong>del</strong> k-esimo mix <strong>di</strong> business, mix <strong>di</strong><br />
prodotti, d’azienda, il leverage kL non compare e si è <strong>di</strong>mostrato l'asserto a), concordando<br />
con quanto esposto da Mo<strong>di</strong>gliani-Miller52. 5.2.1 Scelte efficienti<br />
Valutiamo ora in quale <strong>portafoglio</strong> rischioso investire/produrre in modo efficiente. Le<br />
due determinazioni <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong> roe viste sopra presuppongono <strong>di</strong> aver calcolato i<br />
parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente dei business aleatori <strong>del</strong>l'azienda. Tale frontiera<br />
efficiente é ottenibile risolvendo il seguente problema <strong>di</strong> programmazione quadratica<br />
Eroe *<br />
, si cerca il <strong>portafoglio</strong> a<br />
( )<br />
parametrica in cui, fissato un roe atteso desiderato ( )<br />
rischio minimo:<br />
52 MODIGLIANI F., MILLER M., The cost of Capital,Corporation Finance and The Theory of Investment, in<br />
American Economic Review, June 1958;<br />
MODIGLIANI F., MILLER M., Dividend Policy, Growth and the Valuation of Shares, in Journal of Business,<br />
October 1961.
⎧<br />
n n<br />
2<br />
⎪min<br />
σ ( kroe ) = ∑ ∑ kxi kxj σ( roei) σ( roe j)<br />
ρ<br />
x i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎪<br />
*<br />
⎨∑<br />
kxE i ( roei ) = E(<br />
roe)<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
⎪∑<br />
kxi = 1<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎩<br />
⎪0≤kxi<br />
≤1 ∀i:<br />
12 , ,........, n<br />
Il primo vincolo è in riferimento al roe atteso desiderato, il secondo è il già noto vincolo<br />
<strong>di</strong> bilancio, mentre il terzo riguarda i vincoli economico-strutturali, interni ed esterni<br />
all'azienda, sulle variabili decisionali che non possono essere negative.<br />
Nello spazio E-σ la frontiera efficiente è definita (ve<strong>di</strong> paragrafo 3.3) da:<br />
dove a 2<br />
≥ 0 .<br />
( 0 1 ( ) 2 ( ) )<br />
σ( roe) = a + a E roe + a E roe<br />
Conoscendo la frontiera valutata solo sui business rischiosi (tratto <strong>di</strong> curva U nella Fig.<br />
27) è possibile trovare il <strong>portafoglio</strong> rischioso (punto H in Fig. 27) in cui si deve investire<br />
una volta noto il tasso (me<strong>di</strong>o ponderato) certo c dei debiti. Esso è il <strong>portafoglio</strong> che<br />
massimizza il premio <strong>di</strong> rischio e viene identificato dal punto <strong>di</strong> tangenza tra una semiretta,<br />
tra le infinite uscenti dal punto c, e la frontiera efficiente <strong>del</strong>le sole attività rischiose. Si<br />
<strong>di</strong>mostra che questa semiretta ha la minima pendenza ovvero garantisce il massimo premio<br />
<strong>di</strong> rischio: essa è la nuova frontiera efficiente (semiretta H in Fig. 27), la frontiera<br />
efficiente <strong>del</strong> roe aziendale.<br />
65<br />
2<br />
/ 12<br />
Il mo<strong>del</strong>lo (ve<strong>di</strong> sub b) però non spiega analiticamente la scelta <strong>del</strong> decisore <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
E roe ; σ roe , informazione necessaria per determinare l'intensità <strong><strong>del</strong>la</strong> leva.<br />
( k k )<br />
coppia ( ) ( )<br />
Per valutare questa si dovrebbe ricorrere anche ad altre tecniche come l’in<strong>di</strong>fferenza in<br />
E-σ associata alla utilità attesa <strong>del</strong> decisore (per cui si rimanda al Cap. 8)<br />
ij
σ(roe)<br />
c = 8<br />
U<br />
H<br />
66<br />
H<br />
E(roe)<br />
insieme efficiente dei<br />
punti [E(roe), σ(roe)]<br />
configurabili per<br />
<strong>di</strong>versi gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> leva<br />
finanziaria<br />
Fig. 27: La semiretta H è la frontiera efficiente <strong>del</strong> roe aziendale nel caso in cui i debiti<br />
abbiano tasso certo c=8 ed il decisore abbia ren<strong>di</strong>menti aleatori <strong>di</strong> prodotti con portafogli<br />
efficienti descritti dalla curva U.<br />
5.2.2 Tasso massimo <strong>di</strong> indebitamento razionalmente sostenibile dall'azienda<br />
Dopo aver definito la frontiera efficiente si può dare una risposta al problema,<br />
convenzionalmente denominato <strong><strong>del</strong>la</strong> "sostenibilità" ovvero <strong>di</strong> quale sia il tasso certo<br />
massimo che l'azienda può economicamente (razionalmente) sostenere.<br />
Mentre nel problema precedente (5.2.1) il tasso c è noto, ora esso è preso come<br />
incognita. Si propone <strong>di</strong> calcolarlo trovando l'intersezione con l'asse <strong>del</strong>le ascisse <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
retta tangente la frontiera efficiente nel suo estremo superiore; nel nostro caso l'estremo<br />
superiore è anche il massimo. Si ricorda infatti che la frontiera efficiente è una funzione<br />
continua ovunque definita in un intervallo chiuso e limitato: ciò garantisce la presenza <strong>di</strong><br />
un minimo e <strong>di</strong> un massimo assoluti i quali sono anche unici visto che la funzione è<br />
strettamente crescente. Nell'intervallo, quin<strong>di</strong>, la funzione <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente, sopra<br />
definita, ha una tangente con pendenza massima nel suo estremo superiore. L'intersezione<br />
<strong>di</strong> tale tangente con l'asse dei ren<strong>di</strong>menti identifica il tasso certo massimo sostenibile.<br />
Se per un'azienda è pari a maxc , è ancora possibile trovare un mix rischioso efficiente in<br />
cui investire (produrre, vendere); esso è caratterizzato dalla terna<br />
( E( max roe) ; σ( max roe)<br />
; max σ ' ) dove max σ ' è la derivata <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente così<br />
calcolata:<br />
dσ( roe)<br />
a1 + a2E( roe)<br />
=<br />
dE( roe)<br />
2 [ a0 + a1E( roe) + a2( E( roe))<br />
]<br />
12<br />
2<br />
2<br />
e valutata nel suo punto <strong>di</strong> massimo.<br />
Se invece l'azienda ricorre a debiti ad un tasso c con c> max c non esiste più alcun<br />
<strong>portafoglio</strong> efficiente in cui poter investire. La semiretta uscente da un punto c scelto<br />
maggiore <strong>di</strong> max c non può più tangere la frontiera efficiente nel suo estremo superiore.<br />
Essa può solo secare tale funzione venendo così a determinare un insieme inefficiente.<br />
L'intersezione con l'asse <strong>del</strong>le ascisse <strong><strong>del</strong>la</strong> semiretta tangente alla frontiera efficiente<br />
E roe ; σ roe si ha in:<br />
( k k )<br />
nel punto ( ) ( )
( roe)<br />
⎛ σ k ⎞<br />
⎜ E( k roe)<br />
− ;0 ⎟<br />
⎝<br />
k σ′<br />
⎠<br />
Infatti, dato il coefficiente angolare <strong><strong>del</strong>la</strong> retta tangente il generico <strong>portafoglio</strong> k k σ ' e<br />
il generico punto ( E( kroe) ; σ ( kroe)<br />
) si può determinare l'equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> retta attraverso<br />
la formulazione generale <strong>di</strong> una retta dato il coefficiente angolare ed un punto (x0,y0): y− y0 = m( x−x0) che nel nostro caso, dato:<br />
y = σ, y0= σ( kroe) , m=<br />
kσ<br />
'<br />
x = R , x0= E( k roe)<br />
<strong>di</strong>venta<br />
σ− σ ( roe) = σ '( R − E( roe ))<br />
k k k<br />
σ = kσ'( R − E( kroe)) + σ ( kroe)<br />
Si trova l'intersezione con l'asse <strong>del</strong>le or<strong>di</strong>nate per R =0 che si ha nel punto:<br />
σ = σ ( kroe) − kσ' E( kroe<br />
)<br />
Da cui, ricordando l'equazione generale <strong><strong>del</strong>la</strong> retta y=mx+q, si ha l'equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> retta<br />
tangente:<br />
σ = kσ' R + σ ( kroe) −kσ<br />
' E( kroe)<br />
In σ = 0 si trova il valore <strong>di</strong> R in cui la retta interseca l'asse <strong>del</strong>le ascisse<br />
0 = kσ ' R + σ ( kroe) −kσ<br />
' E( kroe)<br />
da cui<br />
σ(<br />
k roe)<br />
R = E( k roe)<br />
−<br />
k σ '<br />
Se al punto <strong>di</strong> intersezione si sostituisce la terna [ E( max roe) ; σ( max roe)<br />
; max σ′ ] si ottiene<br />
la formulazione <strong>del</strong> tasso massimo sostenibile:<br />
( max roe)<br />
max c = E( max roe)<br />
−<br />
max '<br />
σ<br />
σ<br />
Tale relazione <strong>di</strong>mostra come max c è uguale a E( max roe)<br />
solo se max σ ' tende all'infinito<br />
(oltre al caso banale che il numeratore sia nullo tale per cui σ( max roe ) = 0 ): cioè quando la<br />
frontiera efficiente ha tangente all'estremo superiore praticamente verticale; in questo caso<br />
si ha un premio al rischio nullo: non conviene indebitarsi!<br />
5.2.3 Simulazioni sulla valutazione <strong>del</strong> tasso massimo razionalmente sostenibile<br />
A) Si supponga l'esistenza <strong>di</strong> un'azienda che nel proprio <strong>portafoglio</strong> detenga cinque<br />
business e, per facilitare la comprensione, si considerino i valori dei soliti cinque business<br />
A, B, C, D, E finora utilizzati. Il roe atteso ed il rischio corrispondono ai valori in Tabella<br />
2. Si prendano inoltre in considerazione la loro matrice <strong>di</strong> varianze e covarianze e quella<br />
dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione (Tab. 3 e 4).<br />
Ipotizziamo che sia data la funzione<br />
σ = (183.111 - 19.7778 E(roe)+ 0.539682 (E(roe)) 2 ) 1/2<br />
67
definita fra un roe atteso <strong>di</strong> 19 e 20 e si voglia calcolare il costo massimo sopportabile<br />
nell’ipotesi <strong>di</strong> produrre secondo un <strong>portafoglio</strong> che ha roe atteso 20 e rischio 1.85. Allora,<br />
vista l’ultima equazione <strong>del</strong> paragrafo precedente, si ha:<br />
185 .<br />
c = 20 − = 16. 21<br />
max<br />
0. 48867<br />
cioè, in questa azienda:<br />
− il 16.21% è il tasso certo massimo razionalmente sostenibile come tasso <strong>di</strong><br />
finanziamento;<br />
− se tale azienda si indebita per L=0.5 allora essa avrà:<br />
− E(roe) = 20 (1 + 0.5) - 16.21⋅ 0.5 = 21.8950;<br />
− σ(roe) = 1.851432 (1 + 0.5) = 2.777148.<br />
B) Ve<strong>di</strong>amo ora come si comporta max c al variare <strong><strong>del</strong>la</strong> correlazione tra il roe dei business<br />
prima <strong>di</strong> introdurre vincoli operativi alla scelta degli stessi. Come già mostrato più è<br />
correlato il ren<strong>di</strong>mento dei business, minori sono le possibilità <strong>di</strong> ridurre la rischiosità <strong>del</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>. Ne <strong>di</strong>scende che maggiore è la correlazione me<strong>di</strong>a tra i ren<strong>di</strong>menti dei<br />
business, minore è il costo certo massimo sostenibile, a parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni.<br />
Ciò è chiaro anche dalla formulazione <strong>del</strong> max c che mostra come all'aumentare <strong>di</strong> σ e a<br />
parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni si riduce il tasso massimo sostenibile.<br />
In Figura 28 sono riportate le possibili frontiere efficienti ottenibili con i cinque<br />
business al variare <strong><strong>del</strong>la</strong> correlazione tra questi:<br />
− frontiera 1:<br />
calcolata dopo aver posto nella matrice <strong>di</strong> correlazione tutti i ρij = 0, ∀i≠j;<br />
(tasso massimo sostenibile 17%)<br />
− frontiera 2:<br />
calcolata in base alla matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione in Tab. 4;<br />
(tasso massimo sostenibile 16.21%)<br />
− frontiera 3:<br />
calcolata dopo aver posto nella matrice <strong>di</strong> correlazione tutti i ρij = 05 . , ∀ i≠j;<br />
(tasso massimo sostenibile 14.49%)<br />
− frontiera 4:<br />
calcolata dopo aver posto nella matrice <strong>di</strong> correlazione tutti i ρij = 07 . , ∀ i≠j;<br />
(tasso massimo sostenibile 11.71%).<br />
Si ricorda che in tutte queste simulazioni il roe atteso aziendale era sempre <strong>del</strong> 20% ed<br />
il rischio <strong>del</strong>l’1.85%.<br />
Come si può vedere in Figura 28, la frontiera 1, calcolata nell'ipotesi che tutti i business<br />
siano non correlati linearmente, permette all'azienda <strong>di</strong> sostenere un tasso massimo certo <strong>di</strong><br />
17. La frontiera 4 permette <strong>di</strong> sostenere, al più, un costo <strong>di</strong> 11.71.<br />
68
Fig. 28: Possibili tassi certi massimi coerentemente sostenibili in presenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>versi<br />
gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> correlazione esistenti fra i ren<strong>di</strong>menti degli stessi cinque business.<br />
5.2.4. L’effetto dei vincoli operativi sul tasso certo massimo sostenibile<br />
La realtà aziendale suggerisce <strong>di</strong> inserire nel mo<strong>del</strong>lo eventuali vincoli strutturali, <strong>di</strong><br />
mercato, <strong>del</strong> tipo: 0≤kαi≤kxi≤kβ i ≤1<br />
∀i: 1, 2 ,........, n,<br />
dove:<br />
kα i:<br />
estremo inferiore dei valori ammissibili per kx i;<br />
kβ i:<br />
estremo superiore dei valori ammissibili per kx i.<br />
Gli effetti ottenibili dall'introduzione <strong>di</strong> tali vincoli sono sintetizzabili nei seguenti tre<br />
punti:<br />
− si riduce l'ampiezza sia <strong>del</strong> dominio sia <strong>del</strong> codominio <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente, rispetto<br />
ad una frontiera calcolata in assenza <strong>di</strong> tali vincoli;<br />
− la frontiera efficiente si localizza nello spazio E-σ in una posizione interna, rispetto ad<br />
una frontiera calcolata in assenza <strong>di</strong> vincoli, cioè, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso, aumenta<br />
il rischio minimo che deve essere assunto (ci si sposta verso l'angolo <strong>di</strong> Nord-Ovest);<br />
− si riduce il numero <strong>di</strong> portafogli d'angolo <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente;<br />
( max ; max ; max )<br />
Visto che max c <strong>di</strong>pende dalla terna E( roe) ( roe)<br />
σ σ ' e, in base a quanto<br />
detto sopra, per i nuovi portafogli componibili si ha che:<br />
E roe<br />
( )<br />
σ( max roe ) aumenta;<br />
max <strong>di</strong>minuisce;<br />
se max σ ′ rimane invariato, come solitamente succede, allora max c sarà inferiore rispetto<br />
a quello valutato in assenza <strong>di</strong> vincoli operativi.<br />
69
5.2.5 Alcune simulazioni <strong><strong>del</strong>la</strong> valutazione <strong>del</strong> tasso certo massimo sostenibile in<br />
presenza <strong>di</strong> vincoli operativi sulle variabili decisionali<br />
Tra le frontiere efficienti viste in Fig. 28, la frontiera numero 2 è calcolata in base ai<br />
coefficienti <strong>di</strong> correlazione riportati in Tab. 4; per la sua determinazione si sono considerati<br />
solo i vincoli 0≤ x i ≤ 1, ∑ x i = 1.<br />
Il punto massimo <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera è D in cui si hanno:<br />
E(roe)=20, σ(roe)=1.85, σ'=0.49 (derivata sinistra). Il tasso massimo sostenibile calcolato<br />
è in 16.21.<br />
Considerando la stessa matrice <strong>di</strong> correlazione, ma imponendo i seguenti vincoli:<br />
⎧005<br />
. ≤ x A ≤015<br />
.<br />
⎪<br />
030 . ≤ x B ≤035<br />
.<br />
⎪<br />
⎨010<br />
. ≤ xC<br />
≤015<br />
.<br />
⎪040<br />
. ≤ xD<br />
≤050<br />
.<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
005 . ≤ x E ≤010<br />
.<br />
si è calcolata la frontiera numero 5, tratto <strong>di</strong> curva assai corto, che in Fig. 29 viene<br />
confrontata con la frontiera 2 <strong><strong>del</strong>la</strong> Fig. 28. Nel punto <strong>di</strong> massimo <strong><strong>del</strong>la</strong> nuova frontiera si<br />
hanno: E(roe)=17.55, σ(roe)=1.30, σ'=0.25. Il tasso massimo sostenibile è <strong>di</strong> 13.32,<br />
inferiore al tasso massimo <strong>di</strong> 16.21 corrispondente alla frontiera 2.<br />
σ(roe)<br />
70<br />
E(roe)<br />
Fig. 29: Confronto fra tasso massimo coerentemente sostenibile in presenza ed assenza<br />
<strong>di</strong> vincoli operativi nel mix dei cinque business.
6<br />
MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO<br />
IL MODELLO DIAGONALE DI SHARPE<br />
Per informare il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> proposto da Markowitz, finora<br />
utilizzato, si deve <strong>di</strong>sporre, nel caso <strong>di</strong> n titoli, <strong>di</strong> 2n+n(n-1)/2 parametri <strong>di</strong> cui:<br />
n ren<strong>di</strong>menti attesi;<br />
n varianze;<br />
n(n-1)/2 , con i≠j coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare ρ ij o covarianze.<br />
È evidente l'elevato costo <strong>del</strong>le attività <strong>di</strong> informazione (<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n 2 ) per fornire i<br />
parametri al mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Markowitz.<br />
Questo è uno dei motivi che hanno favorito la ricerca <strong>di</strong> semplificazioni <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo<br />
stesso. Tra i mo<strong>del</strong>li semplificati proposti verranno analizzati in seguito il mo<strong>del</strong>lo<br />
<strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe e mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci.<br />
6.1 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe<br />
Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe 53 assume che i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business siano<br />
influenzati solo e soltanto da un unico fattore. In pratica Sharpe propone <strong>di</strong> calcolare il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo attraverso una funzione lineare in cui la variabile esogena è data<br />
dall’andamento, variazione, ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un basic underlying factor (trattando azioni,<br />
l'in<strong>di</strong>ce potrebbe essere quello <strong>del</strong> mercato azionario).<br />
6.1.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> un titolo<br />
Sharpe ha ipotizzato che il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, con i = 1, 2, 3,...,n, sia dato<br />
da:<br />
Ri = αi + βiI + εi<br />
con:<br />
αi, βi parametri;<br />
componente erratica (unica) <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento con <strong>di</strong>stribuzione Gaussiana e con<br />
ε i<br />
valore atteso ( ε ) = 0 e varianza ( )<br />
E i<br />
Var ε = Q . La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
71<br />
i i<br />
dei titoli è supposta costante lungo tutta la retta.;<br />
I variazione <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato scelto come rappresentativo <strong>del</strong>l'andamento<br />
dei titoli.<br />
Il valore <strong>di</strong> I viene definito da un parametro fissato e da una variabile aleatoria:<br />
I = α n+ 1 + ε n+<br />
1<br />
αn+1 parametro;<br />
εn+1 componente erratica con E( ε n+<br />
1) = 0 e Var( ε n+ 1) = Qn+ 1 = Var( I)<br />
Infatti Var( I) = Var( αn+ 1 + εn+ 1) = Var( αn+ 1) + Var( εn+ 1) + 2Cov(<br />
αn+ 1, εn+<br />
1)<br />
; il primo ed<br />
il terzo addendo sono nulli in quanto (ve<strong>di</strong> sopra) αn+1 é una costante.<br />
Le informazioni necessare all'applicazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale sono quin<strong>di</strong> i parametri<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> retta αi e βi, la varianza Qi <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento dei titoli, il valore atteso <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce<br />
E(I)=α n+1 e la varianza Qn+1 <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce scelto come base <strong>di</strong> riferimento dal decisore. In<br />
53 SHARPE W.F., "Simplifed Mo<strong>del</strong> for Portfolio Analysis", Management Science, Jan.1963.
Fig. 30 si illustrano le relazioni viste sinora. Gli αi e βi identificano la retta che lega i<br />
ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong> titolo i-esimo ai ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce I.<br />
Fig. 30: Relazione tra la variazione <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato e il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo<br />
titolo, con specificazione <strong>del</strong>l'andamento gaussiano <strong><strong>del</strong>la</strong> componente erratica e<br />
<strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato.<br />
Sharpe assume inoltre che:<br />
Cov( ε , ε ) = E ε − E( ε ) ε − E( ε ) = E ε −0 ε − 0 = E ε , ε = Q = 0<br />
[ ( )( ) ] [ ( )( ) ] ( )<br />
+ 1 + 1 [ + 1 + 1 + 1 ] ( + 1)<br />
i j i i j j i j i j ij<br />
( ) ( ) ( )( )<br />
Cov ε , I = Cov ε , α + ε = E ε − 0 α + ε − α = E ε , ε = 0<br />
i i n n i n n n i n<br />
La prima con<strong>di</strong>zione sostiene l'in<strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> ciascuna <strong>del</strong>le n variabili casuali ε i dalle<br />
altre n-1. Quin<strong>di</strong>, solo l'in<strong>di</strong>ce, e niente altro, muove i ren<strong>di</strong>menti dei titoli. La seconda<br />
impone in<strong>di</strong>pendenza tra gli n ε i ed I e quin<strong>di</strong> che gli errori valutati sul titolo i-esimo siano<br />
in<strong>di</strong>pendenti da quelli valutati sull'in<strong>di</strong>ce.<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong>l'i-esimo titolo è<br />
ER ( i) = E( αi + βiI+ εi) = E( αi) + E( βiI) + E( εi) = αi + βiEI ( ) = αi + βα i n+<br />
1<br />
La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento 54 <strong>del</strong>lo stesso titolo risulta pari a<br />
54Si premette che la varianza <strong>di</strong> una variabile può essere espressa anche come <strong>di</strong>fferenza tra valore atteso <strong>del</strong><br />
2<br />
quadrato <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile e il quadrato <strong>del</strong> valore atteso: V( ε ) = E ( ε ) −<br />
2<br />
E(<br />
ε )<br />
72<br />
i i i
[ (<br />
( )<br />
2<br />
+ 1)<br />
]<br />
[<br />
2 [ (<br />
(<br />
+ 1)<br />
] [ (<br />
2<br />
+ 1)<br />
]<br />
2<br />
) ]<br />
[ ( + 1)<br />
]<br />
[ ( + 1 + 1<br />
2<br />
+ 1)<br />
] 2 [ ( + 1 + 1 + 1)<br />
] [ (<br />
2<br />
) ]<br />
[ (<br />
2<br />
+ 1)<br />
] [ (<br />
2<br />
) ] 2<br />
+ 1<br />
2<br />
[ ] ( )<br />
2<br />
σ = ER− ER = E α + β I+ ε − α + βα = Eβ I−<br />
α + ε =<br />
i i i i i i i i n i n i<br />
2<br />
= β E I − α + β E ε I − α + E ε =<br />
i n i i n i<br />
2<br />
= β E α + ε − α + β E ε α + ε − α + E ε =<br />
i n n n i i n n n i<br />
2<br />
= β E ε + E ε = β Q + Q<br />
i n i i n i<br />
La covarianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i con il titolo j è data da:<br />
σ = E R − R R − R =<br />
[ ( )( ) ]<br />
[ ( )<br />
] ( )<br />
[ ( ) ][ ( ) ]<br />
2 [ ββ i jεn+ 1 εε i j βε i n+ 1εj βjεn+ 1εi]<br />
ij i i i j<br />
{ αi βi εi ( αi βiαn+ 1) [ α j β j ε j ( α j β jαn+ 1)<br />
] }<br />
{ βi αn+ 1 εi β j αn+ 1 ε j } { [ βiεn+ 1 εi][ β jεn+ 1 ε j]<br />
}<br />
= E + I + − + + I + − + =<br />
= E I − + I − + = E + + =<br />
= E + + + =<br />
= ββ Q + Q + βQ + β Q = ββ Q<br />
i j n+ 1 ij i j, n+ 1 j i, n+ 1 i j n+1<br />
6.1.2 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili con n titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
Secondo il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale, il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> R x R<br />
<strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> investita nell'i-esimo titolo, é dato da:<br />
n<br />
73<br />
( α β ε )<br />
R = x R = x + I +<br />
P i i<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
n<br />
∑ ∑<br />
che può essere scomposto nel seguente modo:<br />
n<br />
i i i i<br />
∑ ( α ε ) ∑ iβi( αn+ 1 εn+<br />
1)<br />
R = x + + x +<br />
P i i i<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
P = ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
2<br />
, con x i quota<br />
ipotizzando quin<strong>di</strong> che il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> sia dato dal ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> base,<br />
caratteristico <strong>di</strong> ogni titolo, e, un ipotetico "investimento" nell'in<strong>di</strong>ce.<br />
Al variare <strong>di</strong> I il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> varierà <strong><strong>del</strong>la</strong> quantità xiβi , che è la me<strong>di</strong>a<br />
ponderata dei β i dei titoli in <strong>portafoglio</strong>, e che viene definito come<br />
n<br />
∑<br />
x = xβ<br />
= β<br />
n+ 1<br />
i i<br />
i=<br />
1<br />
Il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> si può quin<strong>di</strong> esprimere come:<br />
n<br />
P<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
∑ ( α ε ) n+ 1( αn+ 1 εn+ 1)<br />
∑ i( αi εi)<br />
R = x + + x + = x +<br />
P i i i<br />
i=<br />
1<br />
avendo tenuto conto <strong><strong>del</strong>la</strong> formulazione <strong>di</strong> I.<br />
n+<br />
1<br />
i=<br />
1
Il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> avrà valore atteso<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
⎛<br />
⎞<br />
RP = E⎜∑xi( αi + εi) ⎟ = ∑xα<br />
⎝<br />
⎠<br />
i=<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
dato che E⎜∑xiεi⎟ = ∑xiE(<br />
εi)<br />
= 0<br />
⎝ ⎠<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
L'equazione evidenzia che il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è dato dalla me<strong>di</strong>a<br />
aritmetica ponderata degli α i, compreso quello <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce.<br />
La varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è<br />
74<br />
i=<br />
1<br />
i i<br />
2<br />
⎡<br />
σP = ERP − RP = E xi αi + εi − x α<br />
⎣ i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
( ) ⎢∑<br />
( ) ∑ i( i)<br />
2<br />
n 1<br />
n 1<br />
n 1<br />
n 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
= E xiεi E( xiεi ) xi E( εi<br />
) x Q<br />
i 1<br />
i 1<br />
i 1<br />
i 1<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
⎤<br />
⎢∑<br />
⎥ = ∑ = ∑ = ∑<br />
⎣ = ⎦ =<br />
=<br />
=<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
Ora dovrebbe essere chiaro il motivo per cui Sharpe ha scelto <strong>di</strong> definire che l’in<strong>di</strong>ce<br />
scelto I abbia valore atteso α n+1 e varianza Q n+1 .<br />
6.1.3 La valutazione <strong>del</strong> rischio al crescere <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business in<br />
<strong>portafoglio</strong> o azienda<br />
Se si ipotizza un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> n titoli equiripartito con:<br />
la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è data da:<br />
che al <strong>di</strong>vergere <strong>di</strong> n:<br />
x<br />
x<br />
i<br />
1<br />
= con i= 12 ,,..., n<br />
n<br />
= β<br />
n+ 1 P<br />
2 2 2<br />
2<br />
σ = 1 n Q + x Q = 1 n 1 nQ + β Q<br />
P<br />
n<br />
∑ i n+ 1 n+<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
2<br />
= 1 nQ + β Q<br />
i P n+<br />
1<br />
( 1)<br />
2<br />
i i<br />
i P n+<br />
1<br />
2 2<br />
2<br />
lim σ = lim 1 nQ + β Q = β Q .<br />
P<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
i P n+ P n+<br />
1
Tale valore rappresenta il rischio sistematico ineliminabile secondo questo<br />
mo<strong>del</strong>lo.<br />
Vale la pena <strong>di</strong> soffermarsi a commentare quest’ultimo risultato:<br />
− è il prodotto <strong>di</strong> due fattori;<br />
− uno è il quadrato <strong><strong>del</strong>la</strong> misura <strong>del</strong> legame sistematico ren<strong>di</strong>mento <strong>portafoglio</strong>benchmark,<br />
l’altro la varianza <strong>del</strong> benchmark (in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> base, <strong>di</strong> riferimento);<br />
− se il <strong>portafoglio</strong> ha βp = 1 con il benchmark, il <strong>portafoglio</strong> avrà il rischio (varianza) <strong>del</strong><br />
benchmark ( lim Q<br />
2 2<br />
σ = β<br />
n→∞<br />
P P n+<br />
1 = Qn+1 );<br />
− se il <strong>portafoglio</strong> ha βp < 1 con il benchmark, il <strong>portafoglio</strong> avrà rischio più basso <strong>di</strong><br />
quello <strong>del</strong> benchmark secondo una quadratica ( lim Q<br />
2 2<br />
σ = β<br />
75<br />
n→∞<br />
P P n+<br />
1 < Qn+1 );<br />
− se il <strong>portafoglio</strong> ha βp> 1 con il benchmark, il <strong>portafoglio</strong> avrà rischio più grande <strong>di</strong><br />
2 2<br />
quello <strong>del</strong> benchmark secondo una quadratica ( lim σP = βPQn+<br />
1> Qn+1 ).<br />
Si rileva che, quin<strong>di</strong>, la scelta <strong>del</strong>l’economia <strong>di</strong> riferimento, <strong>del</strong> benchmark, è assai<br />
importante per <strong>di</strong>scutere <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento e <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o d’azienda perchè, in<br />
questo mo<strong>del</strong>lo semplificato, il rischio non è più assoluto, ma relativo al movimento <strong>del</strong><br />
benchmark: il rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> o <strong>del</strong>l’azienda è legato, riflesso, letto, attraverso il<br />
rischio <strong>del</strong> benchmark.<br />
Visto che ∑ xiβi = β<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
P<br />
n→∞<br />
è una componente ineliminabile <strong>del</strong> rischio sistematico si è<br />
proposta una classificazione dei titoli secondo il loro βi, che è stato eletto a in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong><br />
rischio.<br />
Se:<br />
β i > 1, il titolo ha rischio maggiore <strong>di</strong> quello <strong>del</strong> benchmark (titolo aggressivo);<br />
β i = 1, il titolo ha il rischio in linea con quello <strong>del</strong> benchmark (titolo neutro);<br />
β i < 1, il titolo ha rischio minore <strong>di</strong> quello <strong>del</strong> benchmark (titolo <strong>di</strong>fensivo).<br />
Naturalmente, le stesse considerazioni si fanno sul <strong>portafoglio</strong> utilizzando βp.
6.1.4. La valutazione <strong>del</strong>le soluzioni efficienti<br />
Il mo<strong>del</strong>lo da ottimizzare è ora dato da:<br />
⎧<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎪min<br />
Z5<br />
=− µ RP + σ P =− µ ∑xiαi + ∑x<br />
Q<br />
x<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎨ ∑xiβi<br />
= xn+<br />
1 = βP<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
⎪∑<br />
x i − 1= 0<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩x<br />
≥ 0<br />
i<br />
La matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze da trattare è Q<br />
⎡Q1<br />
. .<br />
⎢<br />
. Q<br />
⎢ 2<br />
⎢ . ....<br />
Q = ⎢<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0 0<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 0<br />
76<br />
0 0 0 ⎤<br />
0 0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
Qi<br />
.<br />
⎥<br />
.... . ⎥<br />
⎥<br />
. . Qn+<br />
1⎦<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione (n+1)(n+1), ma con solo (n+1) elementi <strong>di</strong>agonali non nulli e zero altrove,<br />
quin<strong>di</strong> facile da trattare per valutare le soluzioni che interessano (gran parte degli sforzi dei<br />
“matematici” è devoluto alla <strong>di</strong>agonalizzazione <strong>del</strong>le matrici proprio al fine <strong>di</strong> trovare poi a<br />
costo molto basso le soluzioni al sistema in stu<strong>di</strong>o).<br />
Consideriamo tutti i parametri da inserire nel mo<strong>del</strong>lo. Essi sono ora 3n+2: n+1 per<br />
gliα i, n per i β i , n per i Q i , nonché Q n+1 . La soluzione al mo<strong>del</strong>lo è data utilizzando i<br />
meto<strong>di</strong> esposti nel cap.3.<br />
La proposta <strong>di</strong> Sharpe porta anche alla attribuzione <strong>di</strong> un preciso significato economico<br />
alla trasformazione lineare <strong>del</strong>le variabili. Interessante è sopratutto x n+1 che esprime il<br />
legame sistematico <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> alla variabile esterna <strong>di</strong> riferimento.<br />
Tale grandezza è utile per valutare la sensibilità, il rischio sistematico che il <strong>portafoglio</strong> <strong>del</strong><br />
decisore ha con l'economia, la congiuntura <strong>di</strong> cui I , in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> base, benchmark, è la sintesi.<br />
Volendo far risaltare questo concetto si ponga:<br />
il mo<strong>del</strong>lo si può quin<strong>di</strong> riscrivere come:<br />
α n+ 1 , n+<br />
1<br />
= A x = B<br />
i i
⎧<br />
n<br />
n n<br />
⎡<br />
⎤<br />
2<br />
2<br />
⎪min<br />
Z7<br />
=− µ RP + σ P =− µ +<br />
x<br />
⎣<br />
⎢∑xiαi<br />
BA<br />
⎦<br />
⎥ + ( ∑ ∑xix<br />
jQij<br />
+ B Qin+<br />
1 )<br />
i=<br />
1 j=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎨ ∑xiβi<br />
= B<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
⎪∑<br />
x i − 1= 0<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
x i ≥ 0<br />
dove risulta più chiara anche la possibilità data al decisore <strong>di</strong> scegliere, parametrizzare,<br />
imporre B cioè quantificare a priori il legame sistematico voluto con il benchmark. Per<br />
esempio, imporre:<br />
− B1, se il decisore vuole un <strong>portafoglio</strong> aggressivo riguardo il benchmark.<br />
SIMULAZIONI<br />
A)<br />
Con i nostri soliti cinque titoli o business si ipotizza <strong>di</strong> aver scelto, per esempio:<br />
I = variazione percentuale In<strong>di</strong>ce Azionario Generale Comit, per controllare il ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> un<br />
<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> titoli azionari;<br />
oppure<br />
I = tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> tutte le aziende <strong>del</strong> settore assicurativo danni, per controllare il ren<strong>di</strong>mento e<br />
rischio <strong>del</strong>l’azienda assicurativa che opera nei cinque rami danni A, B, C, D, E.<br />
Date le informazioni in Tab.8 si può valutare il ren<strong>di</strong>mento e la varianza dei titoli azionari o rami A, B,<br />
C, D, E nonchè la covarianza dei ren<strong>di</strong>menti dei titoli o rami secondo il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale proposto da<br />
Sharpe:<br />
A B C D E<br />
α i 0.9592 0.7245 4.1224 1.6939 9.1837<br />
β i 0.9913 0.9767 1.3120 1.1370 0.1749<br />
Q i 1.2099 3.5760 1.3654 2.5219 1.2983<br />
Tab. 8: α i , βi , Qi dei cinque titoli o rami assicurativi con il benchmark I<br />
Le informazioni in Tab. 8 possono essere determinate o l’analisi probabilistica bivariata o con la<br />
regressione su serie prospettiche o su basi ipotetiche, simulative, ottenute anche mo<strong>di</strong>ficando stime ex-post<br />
degli stessi parametri decisionali 55 .<br />
55 Alcune società, nazionali e internazionali, calcolano sistematicamente per i vari mercati quanto in Tab. 8<br />
sulle serie storiche dei titoli e degli in<strong>di</strong>ci più trattati. Naturalmente, ogni operatore deve poi adattare tali<br />
informazioni alla congiuntura prevista per l’unità periodale in analisi. La valutazione dei parametri αi e βi , in<br />
Ri = αi + βiI + εi , può essere anche il frutto <strong>di</strong> ipotesi, ovvero <strong>di</strong> simulazioni, sintesi <strong>di</strong> più proiezioni ex-ante<br />
dei ren<strong>di</strong>menti, dei titoli azionari o rami e <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce. Per esempio, nel nostro caso si possono proporre:<br />
A B C D E I<br />
15 17 17 19 12 16.3<br />
13 15 15 19 11 14.8<br />
... ... ... ... ... ...<br />
16 18 18 21 13 17.5<br />
15 12 16 18 12 14.9<br />
77
Siano, inoltre: EI ( ) = 161 . = n+<br />
1<br />
α , Var( I) = 098 . = Qn+ 1 . Si sono calcolati i coefficienti <strong>di</strong> determinazione<br />
lineare ρ 2 in: 0.4811, 0.2337, 0.5904, 0.3695 e 0.0262 rispettivamente per A, B, C, D, E con I.<br />
Dalla Tab. 8 si può verificare che:<br />
− sono titoli aggressivi C e D;<br />
− sono sicuramente titoli <strong>di</strong>fensivi B, E;<br />
− A, che ha β=0.99, puó essere etichettato come "quasi neutro".<br />
B)<br />
Si consideri un <strong>portafoglio</strong> equiripartito tra i cinque titoli A, B, C, D, E e gli αi e βi <strong>di</strong> Tab.6. Si avrà x = 1/n<br />
i<br />
= 0.2.<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
xiβi = βP<br />
= xn+<br />
1 = 0. 2( 0. 9913 + 0. 9767 + 13120 . + 11370 . + 01749 . ) = 0. 9184<br />
Si desidera ora determinare il valore atteso <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> e la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
tenendo conto che xn+ 1Qn+ 1 = β PVar(<br />
I)<br />
n+<br />
1<br />
R = ∑ x α<br />
P i i<br />
i=<br />
1<br />
⎧xi=<br />
02 . con i = 12 , ,..., n<br />
⎨<br />
⎩xn+<br />
1αn+ 1 = βPE(<br />
I) i = n+<br />
1<br />
= 0.( 2 −0. 9592 −0. 7245 − 41224 . + 16939 . + 91837 . ) + 0. 9184 × 161 . = 1580 .<br />
PER IL TITOLO O BUSINESS A<br />
Dato: RA =− 0. 9592 + 0. 9913I<br />
+ ε i<br />
ER ( A) = E( − 0. 9592 + 0. 9913I + ε i)<br />
= − 0. 9592 + 0. 9913EI<br />
( ) =<br />
=− 0. 9592 + 0. 9913α<br />
n+<br />
1 =<br />
=− 0. 9592 + 0. 9913 × 161 . = 15. 0007<br />
2 2<br />
2<br />
σA = βAQn+<br />
1 + QA<br />
= 0. 9913 × 0. 98 + 12099 . = 21729 .<br />
σ = 14741 .<br />
B<br />
PER IL TITOLO O BUSINESS B<br />
Dato: RB =− 0. 724 + 0. 977I<br />
+ ε i<br />
ER ( B) = E( − 0. 7245 + 0. 9767I + ε i)<br />
= − 0. 7245 + 0. 9767EI<br />
( ) =<br />
=− 0. 7245 + 0. 9767α<br />
n+<br />
1 =<br />
=− 0. 7245 + 0. 9767 × 161 . = 22. 37<br />
2 2<br />
2<br />
σB = βBQn+<br />
1 + QB<br />
= 0. 9767 × 0. 98 + 35760 . = 4. 5109<br />
σ = 21239 .<br />
B<br />
su cui operare con il metodo dei minimi quadrati per valutare gli αi e βi ed i valori <strong>del</strong>le varianze residue<br />
esposti in Tab. 8.<br />
78
PER IL TITOLO O BUSINESS C<br />
Dato: RC =− 4122 . + 1312 . I + ε i<br />
ER ( C) = E( − 41224 . + 13120 . I+ ε i)<br />
= − 41224 . + 13120 . EI ( ) =<br />
=− 41224 . + 13120 . α n+<br />
1 =<br />
=− 41224 . + 13120 . × 161 . = 17. 0008<br />
2 2<br />
2<br />
σC = βCQn+<br />
1 + QC<br />
= 13120 . × 0. 98 + 13654 . = 30523 .<br />
σ = 17471 .<br />
C<br />
PER IL TITOLO O BUSINESS D<br />
Dato: RD = 1694 . + 1137 . I + ε i<br />
ER ( D) = E( 16939 . + 11370 . I+ ε i)<br />
= 16939 . + 11370 . EI ( ) =<br />
= 16939 . + 11370 . α n+<br />
1 =<br />
= 16939 . + 11370 . × 161 . = 36. 95<br />
2 2<br />
2<br />
σD = βDQn+<br />
1 + QD<br />
= 11370 . × 0. 98 + 2. 5219 = 37888 .<br />
σ = 19465 .<br />
D<br />
PER IL TITOLO O BUSINESS E<br />
Dato: RE = 9184 . + 0175 . I + ε i<br />
ER ( E) = E( 91837 . + 01749 . I+ ε i)<br />
= 91837 . + 01749 . EI ( ) =<br />
= 91837 . + 01749 . α n+<br />
1 =<br />
= 91837 . + 01749 . × 161 . = 119996 .<br />
2<br />
σE 2<br />
= βEQn+<br />
1 + QE<br />
2<br />
= 01749 . × 0. 98 + 12983 . = 13283 .<br />
σ = 11525 .<br />
E<br />
Qui sotto è riportato il calcolo <strong>del</strong>le covarianze, viste attraverso il Benchmark I, dei ren<strong>di</strong>menti dei titoli:<br />
σAB = βAβBQn+1 = 0.9488<br />
σAC = βAβCQn+1 = 1.2746<br />
σAD = βAβDQn+1 = 1.1046<br />
σAE = βAβEQn+1 = 0.1699<br />
σBC = βBβCQn+1 = 1.2558<br />
σBD = βBβDQn+1 = 1.0883<br />
σBE = βBβEQn+1 = 0.1674<br />
σCD = βCβDQn+1 = 1.4619<br />
σCE = βCβEQn+1 = 0.2249<br />
σDE = βDβEQn+1 = 0.1949<br />
79
7<br />
MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO<br />
MODELLI A PIU’ INDICI<br />
I mo<strong>del</strong>li unifattoriali valutabili con quanto esposto nel capitolo 6 si basano sull'ipotesi che<br />
i ren<strong>di</strong>menti dei titoli considerati siano funzione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un unico in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> base,<br />
che in genere è un in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato. Tale ipotesi è assai forte ovvero è da tempo chiaro<br />
che i ren<strong>di</strong>menti dei titoli non possono essere mossi da un solo “basic underlying factor”,<br />
ma risentono <strong>di</strong> molti fattori, spesso <strong>di</strong> <strong>di</strong>fficile rilevazione <strong>di</strong>retta.<br />
Considerando il mo<strong>del</strong>lo unifattoriale come caso particolare, si può generalizzare questa<br />
ipotesi introducendo più variabili esplicative <strong>del</strong>l'andamento dei ren<strong>di</strong>menti dei titoli, più<br />
in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> riferimento. Si parla in questo caso <strong>di</strong> mo<strong>del</strong>li multifattoriali.<br />
7.1. Mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci<br />
Lo scopo <strong>di</strong> questi mo<strong>del</strong>li è <strong>di</strong> spiegare meglio dei mo<strong>del</strong>li unifattoriali la variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti pur mantenendo basso il numero <strong>di</strong> informazioni necessarie all'analisi, numero<br />
che deve essere inferiore a quello <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo generale <strong>di</strong> Markowitz56 e, possibilmente, <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne n.<br />
In questi mo<strong>del</strong>li il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo si esprime come combinazione lineare <strong>del</strong><br />
valore degli in<strong>di</strong>ci scelti:<br />
* * * * * * *<br />
Ri = α i + β i1I1+ β i2I2 + ....... + β iKIK+ ui<br />
dove:<br />
∗ ∗<br />
, βij parametri;<br />
αi ui variabile erratica costante (<strong>di</strong>fferenza tra valore <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento e ren<strong>di</strong>mento<br />
2<br />
previsto) con E(ui)=0 e V(ui)=σ . Questo valore rappresenta la misura <strong>del</strong> rischio<br />
ui<br />
associato all'i-esimo titolo che non <strong>di</strong>pende dalla relazione <strong>del</strong> titolo stesso con gli in<strong>di</strong>ci;<br />
∗<br />
I j variabili esplicative, j=1, 2, ..., k.<br />
Nell'analisi multivariata non si può prescindere dal considerare la possibilità <strong>di</strong><br />
correlazione tra le variabili, gli in<strong>di</strong>ci. Operativamente ciò <strong>di</strong>sturba57 sia la stima dei<br />
parametri sia la loro gestione e si rende necessario ortogonalizzare (rendere in<strong>di</strong>pendenti)<br />
le variabili <strong>del</strong> sistema.<br />
Se, ad esempio, si considera un mo<strong>del</strong>lo bifattoriale (si usano due soli in<strong>di</strong>ci) si può<br />
esprimere il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo come:<br />
* * * * *<br />
R = α + β I + β I + u<br />
*<br />
dove gli in<strong>di</strong>ci I1 e I2<br />
dall'effetto <strong>del</strong>l'altra.<br />
i i i1 1 i2 2 i<br />
* sono linearmente <strong>di</strong>pendenti; bisogna quin<strong>di</strong> depurare una variabile<br />
Posto I1 I1<br />
utilizzando la tecnica <strong><strong>del</strong>la</strong> regressione si ottiene<br />
*<br />
I = γ + γ I + <strong>di</strong> * = (dove la mancanza <strong>del</strong>l'asterisco in<strong>di</strong>ca d'ora in poi la variabile ortogonale) e<br />
2 0 1 1<br />
*<br />
Si chiama I2 un nuovo in<strong>di</strong>ce ottenuto depurando I2 dall'effetto <strong>di</strong> I1 ossia<br />
( γ γ )<br />
*<br />
I2 = I2− 0 + 1I1 = <strong>di</strong> 56 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit.<br />
57 Si considerino le problematiche circa la correttezza, l'efficienza, la consistenza <strong>del</strong>le stime nella statistica<br />
inferente e nell'econometria.<br />
80
Si sostituiscono tali risultati nell'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
* * * *<br />
Ri = αi + βi1I1+ βi2( γ0+ γ1I1<br />
+ I2) + ui<br />
=<br />
* * * *<br />
= α + β I + β γ<br />
*<br />
+ β γ I<br />
*<br />
+ β I + u =<br />
i i1 1 i2 0 i2 1 1 i2 2 i<br />
( ) ( )<br />
=<br />
* *<br />
αi + βi2γ0 +<br />
* *<br />
βi1 + βi2γ1 *<br />
I1 + βi2I2<br />
+ ui<br />
e si ottiene un’equazione con variabili esplicative ortogonali.<br />
Posto poi:<br />
* *<br />
αi + βi2γ 0 = αi<br />
, valore costante;<br />
* *<br />
β + β γ = β , l'effetto <strong>del</strong>le variazioni <strong>di</strong> I1 sul ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo.<br />
i1 i2 1 i1<br />
*<br />
In esso sono compresi sia l'effetto <strong>di</strong> I1 (β i1 ), sia l'effetto in<strong>di</strong>retto attraverso I2<br />
81<br />
* *<br />
(β γ );<br />
*<br />
βi2 = βi2<br />
, l'effetto <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>fferenza <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce I2 dalla sua relazione prevista con I2 *<br />
<strong>di</strong> stima I2 con I2 ) sul ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo;<br />
l'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo <strong>di</strong>venta:<br />
Ri = α i + β i1I1 + β i2I2 + ui<br />
Supponendo <strong>di</strong> applicare questo proce<strong>di</strong>mento all'equazione generale si ottiene<br />
Ri = αi + βi1I1 + βi2 I2+ ..... + βiKIK<br />
+ ui<br />
dove I j sono variabili esplicative non correlate con:<br />
[ ]<br />
( j) j; ( j) σ Ij; ( j j)( m m)<br />
2<br />
i2 1<br />
*<br />
(errore<br />
EI = I VarI= E I − I I − I = 0 ∀j≠ m.<br />
Viene ovviamente mantenuta anche l'ipotesi <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza tra le variabili esplicative ed i<br />
residui ui , cioè:<br />
E I − I , u = 0<br />
[ ( j j) i]<br />
affinchè il valore effettivo assunto dalla variabile esplicativa non <strong>di</strong>storca la stima <strong>di</strong> Ri .<br />
La semplificazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo è dovuta soprattutto all'ipotesi <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza dei residui,<br />
cioè Euu [ i j ] = 0 . Essa permette <strong>di</strong> escludere altri fattori quali cause <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti dei titoli oltre gli in<strong>di</strong>ci previsti, che sono in numero <strong>di</strong> K.<br />
Considerando queste ipotesi si ottiene:<br />
− il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un titolo<br />
ER ( i) = E( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK<br />
+ ui)<br />
=<br />
= E( αi) + E( βi1I1) + E( βi2I2) + ... + E( βiKIK)<br />
+ E( ui)<br />
=<br />
= αi + βi1I1+ βi2I2+ ... + βiKIK<br />
− la varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo (considerando che tutti i termini incrociati sono<br />
pari a zero) è<br />
2<br />
σi = E[ ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK 2<br />
+ ui) − ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK)<br />
]<br />
2<br />
⎡ K<br />
⎤ K<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= E⎢∑βij ( I j − I j ) + ui⎥ = ∑βij<br />
E( I j − I j ) + σui<br />
⎣ j=<br />
1<br />
⎦ j=<br />
1<br />
=<br />
2 2<br />
=<br />
βσ<br />
2 2<br />
+ βσ<br />
2 2<br />
+ .... + β σ<br />
2<br />
+ σ<br />
i1I1 i2I2 iK IK ui
− la covarianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo con quello <strong>del</strong> titolo j-esimo,<br />
considerando che tutti i termini incrociati sono nulli per ipotesi, è:<br />
σ = E R − R R − R =<br />
[ ( )( ) ]<br />
{ [ ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK K i) ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK<br />
K)<br />
]<br />
( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK uj) ( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK) ij i i j j<br />
= E + I + I + + I + u − + I + I + + I ⋅<br />
[ ]}<br />
⋅ + + + + + − + + + + =<br />
K<br />
K<br />
⎧⎡<br />
⎤⎡<br />
⎤⎫<br />
= E⎨⎢∑βik ( Ik− Ik) + ui⎥⎢∑β jk( Ik − Ik) + uj⎥⎬=<br />
⎩⎣<br />
k=<br />
1 ⎦⎣<br />
k=<br />
1<br />
⎦⎭<br />
2<br />
= ββ σ + ββ<br />
2<br />
σ + .......... + β β<br />
2<br />
σ<br />
i1 j1 I1 i2 j2 I2 iK jK IK<br />
Si è verificato che i mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci operano meglio dei mo<strong>del</strong>li ad un solo in<strong>di</strong>ce nel<br />
riprodurre la matrice storica <strong>del</strong>le correlazioni, ma non sempre migliorano la capacità<br />
previsiva degli stessi. Quest'ultima migliora se si procede ad una classificazione dei titoli<br />
per pseudo-industrie o comunque per raggruppamenti omogenei 58.<br />
Tali raggruppamenti equivalgono alla trasformazione <strong>del</strong> sistema iniziale dei ren<strong>di</strong>menti,<br />
che spesso nella realtà sono altamente correlati, in un sistema semplificato, composto da un<br />
numero inferiore <strong>di</strong> nuove variabili fra <strong>di</strong> loro in<strong>di</strong>pendenti che esprimano la maggior parte<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità iniziale <strong>del</strong> sistema. Si desidera quin<strong>di</strong> trovare un insieme <strong>di</strong> nuove<br />
variabili che riassumano l'insieme <strong>del</strong>le informazioni dei ren<strong>di</strong>menti osservati. La tecnica<br />
per determinare queste nuove variabili è detta tecnica <strong>del</strong>le componenti principali (PCA),<br />
che, applicata alla matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze o <strong>del</strong>le correlazioni fra ren<strong>di</strong>menti,<br />
spiega l'analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei ren<strong>di</strong>menti con uno o più componenti, in<strong>di</strong>ci, fattori,<br />
ortogonali 59.<br />
Prima <strong>di</strong> procedere all'esposizione <strong><strong>del</strong>la</strong> tecnica <strong>del</strong>le componenti principali è utile aprire<br />
una parentesi per richiamare come si calcolano gli autovalori e gli autovettori <strong>di</strong> una<br />
matrice.<br />
58 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit., pag. 147.<br />
59 LEBART L., MORINEAU A., WARWICK K.M., Multivariate Descriptive Statistical Analysis, Wiley, N.Y.,<br />
1984.<br />
82
7.2.0. Richiami su autovalori ed autovettori<br />
Dovendo descrivere il comportamento <strong>di</strong> sistemi reali <strong>di</strong> gran<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni può essere utile<br />
ricercare sottoinsiemi <strong>di</strong> definizione i cui elementi siano trasformati dall'applicazione<br />
lineare f in elementi <strong>del</strong> sottoinsieme stesso; ovvero sottoinsiemi W tali che f( W) ⊂ W .<br />
Ricordando che:<br />
n m<br />
− le applicazioni lineari f :ℜ → ℜ si possono esprimere come<br />
83<br />
n ( )<br />
f ( a) = Ta a ∈ℜ<br />
con T(nxm) matrice associata all'applicazione f. Essa è unica data la base scelta per ℜ n e<br />
ℜ m ;<br />
− dato lo scalare λ l'applicazione f ( a) = λ a trasforma ogni elemento <strong>di</strong> a in<br />
multipli <strong>di</strong> se stesso.<br />
n n<br />
Data la matrice quadrata T <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n associata a f :ℜ → ℜ , lo scalare λ ed il vettore<br />
a ∈ℜ n con a ≠ 0 , che sod<strong>di</strong>sfano l'equazione<br />
Ta = λ a<br />
sono detti rispettivamente λ autovalore ed a autovettore (associato all'autovalore λ) <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice T.<br />
Il calcolo degli autovalori <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice T segue dalla definizione. Infatti dato Ta = λ a si<br />
ricava il sistema omogeneo<br />
che si può scrivere come<br />
con I matrice identità in ℜ n .<br />
Ta − λa = 0<br />
( T− λI) a = 0<br />
Supponendo λ noto si ricercano i vettori a soluzione <strong>del</strong> sistema omogeneo ( T− λI) a = 0<br />
che ha n equazioni ed n incognite.<br />
Affinchè il sistema abbia soluzione non banale (a≠0) dovrà essere<br />
det( T− λI) = 0<br />
Il primo membro <strong>del</strong>l'equazione è un polinomio in λ <strong>di</strong> grado n detto polinomio<br />
caratteristico <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice T. L'equazione è detta equazione caratteristica. Le sue n ra<strong>di</strong>ci<br />
sono gli autovalori <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice T. Per il Teorema Fondamentale <strong>del</strong>l'algebra ogni<br />
polinomio <strong>di</strong> grado n ha n ra<strong>di</strong>ci complesse. Per ogni autovalore (si possono avere anche<br />
autovalori uguali) esiste un autovettore a che sod<strong>di</strong>sfa l'equazione<br />
Ta = λ<br />
a
ESEMPIO<br />
Data l'applicazione lineare<br />
⎡ 2 3 ⎤<br />
f ( a) = Ta = ⎢ a<br />
⎣−1<br />
−2<br />
⎥<br />
⎦<br />
si determinano gli autovalori (due). Data l'equazione caratteristica<br />
⎡ − ⎤<br />
det( T− I)<br />
= ⇒ det⎢<br />
⎣ − − −<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
λ<br />
2 λ 3<br />
0<br />
0<br />
1 2 λ<br />
si avrà:<br />
( 2−λ)( −2− λ)<br />
+ 3= 0<br />
2<br />
−4− 2λ+ 2λ+ λ + 3= 0<br />
2<br />
− 4+ λ + 3= 0<br />
2<br />
λ − 1= 0 ⇒ λ = − 1; λ = 1<br />
1 2<br />
L'autovettore a associato a λ1 =− 1 è tale che f(a)=-a mentre l'autovettore associato a λ 2<br />
f(b)=b.<br />
Gli autovettori si ottengono risolvendo il sistema Ta = λ a :<br />
⎧2a1<br />
+ 3a2<br />
= −a1<br />
dato λ1 = − 1 Þ ⎨<br />
da cui<br />
⎩−a1<br />
− 2a2<br />
= −a2<br />
l'autovettore associato è dato da a = − ⎡ 1⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
con k ∈ℜ .<br />
⎣ 1 ⎦<br />
⎧2b1<br />
+ 3b2<br />
= b1<br />
Dato λ 2 = 1 Þ ⎨<br />
da cui b1 =−3b2<br />
⎩−b1<br />
− 2b2<br />
= b2<br />
l'autovettore associato è dato da b = − ⎡ 3⎤<br />
⎢ ⎥h<br />
con h∈ℜ<br />
.<br />
⎣ 1 ⎦<br />
84<br />
a =−a<br />
1 2<br />
= 1 è tale che<br />
Come visto anche dall'esempio, gli autovettori hanno lunghezza arbitraria e quin<strong>di</strong> se a<br />
sod<strong>di</strong>sfa l'equazione Ta =λ a per qualche λ, anche ca risulta una soluzione, per c scalare<br />
arbitrario. E' convenzione utilizzare, tra gli infiniti autovettori generati dall’autovalore<br />
associato, l’autovettore che risponde a:<br />
a'a = 1<br />
ovvero che ha norma unitaria.<br />
Si citano ora, senza <strong>di</strong>mostrarli, alcuni teoremi e proprietà degli autovalori:<br />
− ogni matrice quadrata T <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n ha n autovalori (conseguenza <strong>del</strong> teorema<br />
fondamentale <strong>del</strong>l'algebra);<br />
− λ =0 è un autovalore <strong>di</strong> T se e solo se det(T)=0;<br />
− gli autovalori <strong>di</strong> una matrice <strong>di</strong>agonale sono gli elementi <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>agonale principale;<br />
− se λ è un autovalore <strong>di</strong> T allora 1/λ è un autovalore <strong>del</strong>l'inversa T -1 ;<br />
− λ p è autovalore <strong>di</strong> T p<br />
.<br />
Nel nostro ambito <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o (<strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>) la matrice T è simmetrica<br />
semidefinita positiva essendo la matrice <strong>di</strong> varianze e covarianze (o <strong>del</strong>le correlazioni<br />
lineari) tra ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> n titoli. Per le matrici simmetriche valgono queste ulteriori<br />
proprietà:<br />
− gli autovalori <strong>di</strong> una matrice simmetrica sono reali;<br />
− gli autovettori associati ad autovalori <strong>di</strong>stinti sono ortogonali fra <strong>di</strong> loro (cioè<br />
aa i j = 0) per ogni i≠j; T é quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>agonalizzabile;
− gli autovalori associati ad una matrice semidefinita positiva sono positivi o, al piú,<br />
nulli.<br />
− la matrice A ottenuta accostando gli autovettori normalizzati è tale che ′ = −<br />
A A 1<br />
,λ , con i= 1 ,....., n,<br />
si può riassumere in forma<br />
matriciale l'insieme <strong>di</strong> relazioni:<br />
Ta i = λ iai con i= 1,....., n come TA = AΛ<br />
con A = ( a1,....., an)<br />
matrice ottenuta accostando gli n autovettori e Λ matrice <strong>di</strong>agonale<br />
degli autovalori <strong>di</strong> T<br />
⎡λ1<br />
0 .. 0 ⎤<br />
⎢<br />
0 λ<br />
⎥<br />
Λ= ⎢ 2 ..<br />
⎥<br />
⎢ .. .. .. .. ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 .. λ n ⎦<br />
Da questa relazione, ricordando che trattando matrici <strong>di</strong> varianze-covarianze o <strong>di</strong><br />
correlazione si ha ′ = −<br />
A A 1 la <strong>di</strong>agonalizzazione <strong>di</strong> T:<br />
ATA ′ = Λ<br />
Determinate a questo punto le coppie ( )<br />
a i i<br />
7.2.1. La tecnica <strong>del</strong>le Componenti Principali (PCA).<br />
L'analisi fattoriale 60 permette <strong>di</strong> trovare un insieme <strong>di</strong> fattori latenti, fra <strong>di</strong> loro<br />
stocasticamente in<strong>di</strong>pendenti, esplicativi <strong>del</strong>le variabili iniziali per noi <strong>di</strong>versi in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong><br />
mercato. Per determinare tali fattori si può applicare la Tecnica <strong>del</strong>le Componenti<br />
Principali.<br />
La tecnica <strong>del</strong>le Componenti Principali si propone <strong>di</strong> rappresentare, con la minor per<strong>di</strong>ta<br />
possibile <strong>di</strong> informazioni, un insieme <strong>di</strong> variabili attraverso un numero relativamente<br />
piccolo <strong>di</strong> relazioni lineari.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista matematico la PCA ha lo scopo <strong>di</strong> trasformare p variabili non tutte<br />
in<strong>di</strong>pendenti in un insieme m
Per semplificazione si tratterà la determinazione <strong>del</strong>le componenti principali con il solo<br />
utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza, specificando le <strong>di</strong>fferenze effettive che si<br />
riscontrano nell'utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> correlazione solo alla fine <strong><strong>del</strong>la</strong> trattazione.<br />
′<br />
Dato il vettore x = ( x1, x2, x3,......., xp) <strong>di</strong> variabili casuali con me<strong>di</strong>a nulla61 e matrice <strong>di</strong><br />
varianza e covarianza C={ σ ij }, data la matrice A ottenuta dall'accostamento degli<br />
autovettori normalizzati <strong>di</strong> C, si considera la seguente trasformazione lineare:<br />
z1 = a11x1 + a21x2+ ........... + ap1xp = a'1 x<br />
z2 = a12x1 + a22x2+ ........... + ap2xp = a'2 x<br />
................<br />
z = a x + a x + ........... + a x = a' x<br />
dove z i è la i-esima componente principale.<br />
p 1p 1 2p 2<br />
pp p p<br />
La generica componente principale zi = a'i x avrà:<br />
− valore atteso: Ez ( i) = ai' Ex ( ) = 0<br />
− varianza pari a:<br />
Var( zi) = E[ ( a' x − E( zi))( a' x − E( zi)) ′ ] = E[ ( a' x)( a' x) '] = a'<br />
i=1, 2, ......p, e con E(xx')=C.<br />
E(<br />
xx') a = a' Ca<br />
i i i i i i i icon<br />
La covarianza tra due componenti è data da<br />
Cov z , z = E z ⋅ z = E a' x a' x ' = a' E xx' a =<br />
[ ] ( )<br />
( i j) ( i j)<br />
( )( )<br />
= a'iCa j = a'i λ jaj = λ ja'i<br />
a j = 0 essendo a'i a j = 0<br />
con i≠j , vista l’ortogonalità degli autovettori.<br />
86<br />
i j i j<br />
In forma matriciale si avrà z= A′ x con:<br />
− z = ( z1, z2, z3 ,... zp)' vettore <strong>del</strong>le nuove variabili casuali, le componenti principali;<br />
− A matrice (p x p) ottenuta dall'accostamento degli autovettori normalizzati.<br />
Si definisce forma quadratica associata a T la funzione scalare <strong>di</strong> a<br />
Q( a) = a'Ta<br />
considerando T matrice simmetrica. Ad esempio nel caso <strong>di</strong> T(2x2) e <strong>di</strong> un generico<br />
vettore a <strong>di</strong> due elementi, la forma quadratica avrà la seguente espressione:<br />
2<br />
2<br />
a' Ta = t11a1+ 2 t12a1a2+ t22a2 e nel caso generale <strong>di</strong> matrice <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n<br />
2<br />
a' Ta = t11a1+ 2t12a1a2+ 2t13a1a3+ ...... + 2t1na1an<br />
2<br />
+ t22a2 + 2t23a2a3+ ...... + 2t2na2an<br />
2<br />
+ t33a3 + ....... + 2t3na3an<br />
...........<br />
2<br />
+ tnnan Si osserva che la varianza <strong>di</strong> zi = aCa 1′ 1 è una forma quadratica semidefinita positiva.<br />
61 Questa con<strong>di</strong>zione non risulta gravosa perchè, se y ha me<strong>di</strong>a E(y), allora x=y-E(y) ha me<strong>di</strong>a nulla.
PRIMO PASSO: l'obiettivo è quello <strong>di</strong> determinare il vettore a che massimizza la<br />
varianza <strong>del</strong> sistema in analisi, con il vincolo che tale vettore abbia norma unitaria. Il<br />
problema <strong>di</strong> programmazione matematica <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong>:<br />
⎧⎪<br />
max φ= a'Ca<br />
a<br />
⎨<br />
⎩⎪ soggetta al vincolo a' a = 1<br />
Esso si risolve definendo la funzione Lagrangiana<br />
L ( a, λ) = a'Ca−λ( a'a−1<br />
)<br />
e imponendo le con<strong>di</strong>zioni necessarie: ∂L<br />
∂L<br />
= 0 e = 0.<br />
∂a<br />
∂λ<br />
Se si deriva la Lagrangiana rispetto ad a si ha:<br />
∂ L ∂[ a'Ca −λ( a'a −1)<br />
]<br />
=<br />
= 0<br />
∂a<br />
∂a<br />
= 2Ca − 2λa= 0<br />
= C− λI<br />
a = 0<br />
dove I è la matrice identità in ℜ p .<br />
( )<br />
Il sistema da risolvere risulta quin<strong>di</strong>:<br />
⎧(<br />
C− λI) a = 0<br />
⎨<br />
⎩aa<br />
' = 1<br />
Si tratta in pratica <strong>di</strong> trovare il massimo autovalore e il corrispondente autovettore <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice C, con il vincolo che l'autovettore abbia norma unitaria.<br />
Come visto, gli autovalori sono gli zeri <strong>del</strong> polinomio caratteristico<br />
det( C− λI) = 0 .<br />
Se gli autovalori che si ottengono da tale equazione sono posti in or<strong>di</strong>ne decrescente<br />
( λ1 ≥λ2 ≥... ≥λ<br />
p ) , essendo non negativi, dato che C è una matrice simmetrica semidefinita<br />
positiva, il problema è risolto prendendo λmax = λ1. Sostituendo λ1 nella relazione<br />
( C− I) a = 0 si determina l'autovettore amax = a1 ad esso corrispondente soluzione <strong>del</strong><br />
λ1 problema <strong>di</strong> massimo. La prima componente principale è data da:<br />
z1 = a'1x .<br />
λ1 rappresenta la varianza <strong><strong>del</strong>la</strong> prima componente principale, cioè la quantitá <strong>di</strong><br />
informazione <strong>del</strong> sistema iniziale che entra nel nuovo insieme dato dalla prima<br />
componente principale. Infatti dalle equazioni Ca1 = λ 1a1 e a1′ a1<br />
= 1 si ricava che<br />
λ = a 'Ca = a ' λa<br />
= Var( z ) .<br />
1 1 1 1 1 1<br />
SECONDO PASSO: per trovare la seconda componente z 2 2<br />
⎧max<br />
φ = a'Ca<br />
⎪<br />
a<br />
⎪soggetta<br />
ai vincoli<br />
⎨<br />
⎪ a'a = 1<br />
⎩⎪<br />
a'a=<br />
0<br />
1<br />
87<br />
= a' x si risolve il problema
determinando λ2 e a2. Dopo p iterazioni si deve risolvere il problema<br />
⎧max<br />
φ = a'Ca<br />
⎪<br />
a<br />
⎪soggetta<br />
ai vincoli<br />
⎨<br />
⎪ a'a = 1<br />
⎩⎪<br />
a'a i = 0, per i = 1,....., p−1<br />
che determina la coppia (λp, ap). Tale procedura corrisponde, più semplicemente, alla determinazione degli autovalori <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice C, or<strong>di</strong>nandoli come visto sopra e calcolando i rispettivi autovettori.<br />
Si nota come si possano determinare tante componenti principali quante sono le variabili <strong>di</strong><br />
partenza, ma nelle applicazioni non si eseguono tutte le p iterazioni; se ne considera in<br />
genere un numero m
3) limitazione <strong>del</strong>l'analisi alle componenti con autovalore uguale o superiore al valore<br />
considerato "punto <strong>di</strong> gomito" <strong>del</strong> <strong>di</strong>agramma ottenuto dopo aver rappresentato in [i,<br />
λ i], con i=1, 2, ...,p, gli autovalori (Fig. 31) 63.<br />
Fig. 31: Autovalori estratti da una matrice <strong>di</strong> varianze-covarianze con specificazione <strong>del</strong><br />
punto <strong>di</strong> "gomito". Si consiglia <strong>di</strong> estrarre soltanto i primi tre autovalori e autovettori<br />
associati.<br />
Dopo aver determinato le componenti principali si desidera esprimere una stima <strong>del</strong>le<br />
variabili casuali iniziali come combinazione lineare <strong>del</strong>le componenti principali stesse.<br />
Infatti, da z= A′ x si ha x= Az poichè ′ = −<br />
A A 1 . Se si desidera ora esprimere le variabili<br />
iniziali in funzione <strong>del</strong>le sole m < p componenti principali si otterrà un nuovo sistema:<br />
$x= Bz dove B è la matrice (p x m), ottenuta eliminando le ultime ( p− m)<br />
colonne <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice A; $x esprime la stima <strong>di</strong> x me<strong>di</strong>ante z. Se si considerano realmente le sole m < p<br />
colonne <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice dei coefficienti <strong><strong>del</strong>la</strong> PCA non si parlerà più <strong>di</strong> componenti<br />
principali, ma <strong>di</strong> fattori.<br />
La nuova matrice B è quin<strong>di</strong> detta matrice dei factor loa<strong>di</strong>ngs (coefficienti <strong>di</strong> saturazione)<br />
rappresentanti l'analisi fattoriale, che se letta per riga analizza la stima <strong>del</strong>le variabili<br />
iniziali in funzione dei fattori, mentre se letta per colonna esprime i coefficienti <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
combinazione lineare <strong>del</strong>le variabili per la determinazione <strong>del</strong>le componenti principali.<br />
Inoltre, se si elevano al quadrato i singoli coefficienti <strong>di</strong> saturazione si ottiene la variabilità<br />
spiegata da ogni fattore su ogni variabile, mentre la variabilità spiegata dai fattori comuni<br />
per le singole variabili è detta comunalità.<br />
Se si <strong>di</strong>spone <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> correlazione R invece <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza,<br />
lo svolgimento per la determinazione <strong>del</strong>le componenti principali e quin<strong>di</strong> dei fattori si<br />
mantiene. Unica <strong>di</strong>stinzione effettiva da considerare è che in questo caso si ha:<br />
63 KOUTSOYIANNIS A., 1993, op. cit., pag. 424.<br />
89
p<br />
∑ λi =<br />
i=<br />
1<br />
poichè tale somma equivale al calcolo <strong><strong>del</strong>la</strong> traccia <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice presa in considerazione<br />
che nel caso <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> correlazione, con <strong>di</strong>agonale principale unitaria, risulta uguale<br />
alla <strong>di</strong>mensione <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice stessa. Si deve inoltre sottolineare che, in seguito alla<br />
normalizzazione con cui si passa da C ad<br />
⎧⎪<br />
σ ij ⎫⎪<br />
R = ⎨ρ<br />
ij = ⎬ ,<br />
⎩⎪ σσ i j ⎭⎪<br />
gli autovalori e autovettori <strong>di</strong> R sono, in generale, <strong>di</strong>versi da quelli <strong>di</strong> C.<br />
Prima <strong>di</strong> passare agli esempi sull'applicazione <strong><strong>del</strong>la</strong> PCA risulta utile determinare i<br />
coefficienti <strong>di</strong> correlazione fra i fattori e le variabili iniziali. Si definisce coefficiente <strong>di</strong><br />
correlazione fra la k-esima variabile iniziale e l'i-esimo fattore il seguente rapporto:<br />
Cov( xk, zi)<br />
ρxz = k i Var( xk) Var( zi)<br />
.<br />
Si osserva che la k-esima variabile può essere in<strong>di</strong>cata come:<br />
xk = lkx con lk<br />
= ( 0,..., 1,.... 0 ) . La covarianza Cov( xk , zi<br />
) può ora essere scritta nel<br />
seguente modo:<br />
Cov( xk, zi) = E ( lkx)( ax i ) ′ = lkCa<br />
i<br />
valendo l'uguaglianza Cai = λi ai<br />
Cov( xk, zi) = lkλiai = λiaik.<br />
Se Var( xk )= σk 2 , essendo la varianza <strong>di</strong> zi uguale all'i-esimo autovalore λi, si ha:<br />
Cov( x λ λ<br />
k, zi)<br />
ia a<br />
ik ik i<br />
ρxkz=<br />
= =<br />
i<br />
2<br />
Var ( xk) Var ( zi)<br />
σ λ σ<br />
k i k<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> correlazione ρxz descrive quanto la variabile casuale k-esima sia legata<br />
k i<br />
linearmente all'i-esimo fattore.<br />
Se la matrice utilizzata è quella <strong>di</strong> correlazione R tale coefficiente risulta uguale a<br />
ρxz= aik<br />
λ<br />
k i<br />
i ,<br />
essendo in questo caso le variabili x standar<strong>di</strong>zzate e quin<strong>di</strong> con varianza unitaria.<br />
Inoltre, se i fattori stimati sono fra loro ortogonali, i factor loa<strong>di</strong>ngs rappresentano anche la<br />
correlazione fra i fattori e le variabili; <strong>di</strong> conseguenza la somma per riga dei quadrati dei<br />
factor loa<strong>di</strong>ngs risulterà uguale a λi<br />
2<br />
σ k<br />
se la matrice iniziale è C, oppure a λi se la matrice<br />
originaria è R.<br />
Spesso, purtroppo, da una prima analisi i fattori determinati rappresentano<br />
significativamente più <strong>di</strong> una variabile alla volta risultando così <strong>di</strong> <strong>di</strong>fficile interpretazione.<br />
Per risolvere questo problema si può applicare una rotazione dei fattori, per esempio<br />
utilizzando il metodo VARIMAX 64, che cerca <strong>di</strong> minimizzare il numero <strong>di</strong> variabili che<br />
64 HARMANN H.H., Modern factor analysis, The University of Chicago Press, Chicago, 1967, 2nd E<strong>di</strong>tion;<br />
CHILD D., The essentials of Factor Analysis, Holt, Rineart and Winstone, London, 1970;<br />
MORRISON D.F., Meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> analisi statistica multivariata, Casa E<strong>di</strong>trice Ambrosiana, Milano, 1976;<br />
90<br />
p,
hanno alti legami con un fattore per ottenere un sistema finale <strong>di</strong> fattori in<strong>di</strong>pendenti<br />
esplicativi <strong>di</strong> insiemi <strong>di</strong>stinti <strong>di</strong> variabili. Con questa rotazione la matrice iniziale dei factor<br />
loa<strong>di</strong>ngs cambia mantenendo però costante la comunalità <strong>di</strong> ogni variabile.<br />
Nel paragrafo successivo verranno mostrate applicazioni economiche <strong>del</strong>l'analisi fattoriale,<br />
con la tecnica <strong>del</strong>le componenti principali, in cui si cercherà <strong>di</strong> interpretare la matrice dei<br />
coefficienti <strong>di</strong> saturazione per poter dare significato ai fattori estratti.<br />
SIMULAZIONI<br />
1) Date due variabili, cui corrisponde la seguente matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza<br />
C = ⎡ 4<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
2<br />
si propone <strong>di</strong> trovarne le componenti principali<br />
2⎤<br />
⎥<br />
3 ⎦⎥<br />
Si devono calcolare dapprima gli autovalori <strong>di</strong> C, trovando i valori che annullano il determinante <strong>del</strong><br />
sistema<br />
⎧⎪<br />
⎡ 4<br />
det⎨⎢ ⎩⎪ ⎣⎢<br />
2<br />
2⎤⎡1<br />
⎥ − ⎢<br />
3 ⎦⎥<br />
⎣0<br />
0⎤⎫⎪<br />
4<br />
det<br />
1<br />
⎥⎬<br />
⎦⎭⎪<br />
2<br />
2<br />
( 5 )( 2 ) 0<br />
3<br />
=<br />
⎡ −<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
⎤<br />
⎥ = = − − =<br />
− ⎦⎥<br />
λ<br />
λ<br />
........ λ λ<br />
λ<br />
Si hanno soluzioni per λ1 = 5 e λ2 = 2.<br />
La prima componente principale sarà quella corrispondente all'autovalore più grande, λ1 = 5. Il<br />
corrispondente autovettore si ottiene sostituendo l1 e risolvendo il sistema<br />
⎡4−5<br />
2 ⎤⎡<br />
11 ⎤ ⎡0<br />
⎢ ⎥⎢<br />
⎥ = ⎢<br />
⎣⎢<br />
2 3−5⎦⎥⎣21 ⎦ ⎣0<br />
⎤ a<br />
a<br />
⎥<br />
⎦<br />
cioè<br />
⎧⎪<br />
− a11 + 2 a21<br />
= 0<br />
⎨<br />
⎩⎪ 2 a11 − 2a21 = 0<br />
l'autovettore corrispondente è: a = ⎡ 2 ⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
k ∈R<br />
⎣⎢<br />
1 ⎦⎥<br />
,<br />
⎡ 2<br />
Tenendo presente il vincolo aa 1′ 1= 1, si ottiene l'autovettore: a= ⎢<br />
⎣⎢<br />
1<br />
principale<br />
3⎤<br />
⎥ da cui la prima componente<br />
3 ⎦⎥<br />
z1 = ax 1 = a11x1+ a21x2 =<br />
2<br />
x1+ 3<br />
1<br />
x2<br />
3<br />
'<br />
La variabilità spiegata dalla prima componente è pari a 5/(5+2) cioè il 71,4% <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità totale.<br />
Si determina il secondo autovettore in modo analogo:<br />
z2 = ax 2 = a12x1+ a22x2 =<br />
1<br />
x1+ 3<br />
2<br />
x2<br />
3<br />
'<br />
Allora si può calcolare x attraverso<br />
x1<br />
x = Az<br />
x2<br />
⎡ ⎤ ⎡ + ⎤<br />
⎢ ⎥ = = ⎢<br />
⎣ ⎦ ⎣ +<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
⎡ 2<br />
⎢ z1+ a11z1 a12z2 ⎢ 3<br />
a ⎢<br />
21z1 a22z2 1<br />
⎢ z1+ ⎣⎢<br />
3<br />
1 ⎤<br />
z2⎥<br />
3 ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
z ⎥ 2<br />
3 ⎦⎥<br />
Se si vuole approssimare x tramite l'utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> sola prima componente principale si ha:<br />
KAISER H.F., Computer Program for varimax rotation in factor analysis, in Journal of Educatiorn and<br />
Psycological Measurement, 1959, Vol.19, Pagg 413-420<br />
91
a<br />
$x = z<br />
a<br />
⎛ 11⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2) Determinare le componenti principali utilizzando la matrice <strong>del</strong>le varianze e covarianze fra i ren<strong>di</strong>menti<br />
⎛ 196 .<br />
dei titoli A e C : ⎜<br />
⎝229<br />
.<br />
229 . ⎞<br />
⎟<br />
285 . ⎠<br />
⎛196<br />
. − λ<br />
det( C− λI)<br />
= det⎜<br />
⎝ 229 .<br />
229 . ⎞<br />
⎟ = 0<br />
285 . − λ⎠<br />
2 2 2<br />
(. 1 96 −λ)( 2. 85−λ) − 2. 29 = 5. 586 −1. 96λ − 2. 85λ + λ − 5. 2441 = λ − 4. 81λ + 0. 3419 = 0<br />
Gli autovalori sono:<br />
4. 81± λ =<br />
23. 1361− 4 × 0. 3419 4. 81± 4. 666<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
λ1 4 738 = .<br />
4. 738<br />
La variabilità spiegata da λ1 è pari a<br />
= 0. 985<br />
4. 738 + 0. 072<br />
21<br />
= . e λ 2 0 072<br />
Si determina l'autovettore associato al primo autovalore risolvendo il sistema<br />
⎛196<br />
. − 4. 738<br />
⎜<br />
⎝ 229 .<br />
2. 29 ⎞ 11<br />
⎟ 0<br />
285 . − 4738 . ⎠ 21<br />
⎛a<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝a<br />
⎠<br />
2<br />
soggetto al vincolo <strong>di</strong> normalizzazione a<br />
2<br />
+ a = 1 ovvero il sistema:<br />
11<br />
21<br />
⎧−<br />
2. 778a11 + 2. 29a21 = 0<br />
⎪<br />
⎨229<br />
. a11 − 1888 . a21<br />
= 0<br />
⎪ 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21<br />
= 1<br />
229 .<br />
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21 = 0. 824a21<br />
⇒<br />
2. 778<br />
⎡0.<br />
824⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
;<br />
⎣ 1 ⎦<br />
imponendo il vincolo <strong>di</strong> norma unitaria si ottiene l'autovettore corrispondente al primo autovalore<br />
a = ⎡06358<br />
. ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣07716<br />
. ⎦<br />
La prima componente principale è data:<br />
z1 = 0. 6358x1+ 0. 7716x2<br />
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente<br />
z2 = − 0. 7716x1+ 0. 6361x2<br />
Se si vogliono esprimere le variabili x in funzione <strong>di</strong> z si avrà:<br />
x1 = 0. 6358z1−0. 7716z2<br />
x2 = 0. 7716z1+ 0. 6361z2<br />
Si vuole ora illustrare lo stesso esempio utilizzando però la matrice <strong>di</strong> correlazione R:<br />
R = ⎡ 1 096 . ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣096<br />
. 1 ⎦<br />
Data la funzione caratteristica si ha<br />
⎛1−λ096<br />
. ⎞<br />
det( R− λI)<br />
= det⎜<br />
⎟ = 0<br />
⎝ 096 . 1−<br />
λ⎠<br />
( )( )<br />
2<br />
1−λ 1−λ − 0. 96<br />
con i seguenti autovalori:<br />
2 2<br />
= 1+ λ −2λ− 0. 9216 = λ − 2λ+ 0. 0784 = 0<br />
1<br />
λ12<br />
, =<br />
1 0. 0784<br />
λ1<br />
196 .<br />
1 096 .<br />
1<br />
λ 2 004 .<br />
± −<br />
⎧ =<br />
196 .<br />
= ± ⇒ ⎨ dove la variabilità spiegata da l1 è pari a<br />
=<br />
098 .<br />
⎩ =<br />
196 . + 004 .<br />
92<br />
1
Si determina ora l'autovettore associato a questo primo autovalore risolvendo il seguente sistema<br />
⎛1−196<br />
⎜<br />
⎝ 096<br />
096 ⎞ 11<br />
⎟ 0<br />
1−196⎠ 21<br />
⎛<br />
.<br />
.<br />
. a ⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
. ⎝a<br />
⎠<br />
2 2<br />
soggetto al vincolo a11 + a21<br />
= 1,<br />
ovvero il sistema:<br />
⎧−<br />
096 . a11 + 096 . a21<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎨096<br />
. a11 − 096 . a21<br />
= 0<br />
⎪ 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21<br />
= 1<br />
⎡<br />
⎢<br />
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21<br />
⇒ a = ⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
La prima componente principale è data:<br />
1 ⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎥ ;<br />
1 ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
⎦<br />
z1 =<br />
1<br />
x1+ 2<br />
1<br />
x2<br />
2<br />
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente<br />
z2 =−<br />
1<br />
x1+ 2<br />
1<br />
x2<br />
2<br />
3) Si ipotizzi <strong>di</strong> applicare la PCA sulla matrice <strong>del</strong>le varianze e covarianze dei ren<strong>di</strong>menti dei tre titoli A, C,<br />
E:<br />
⎛ 196 .<br />
⎜<br />
C = ⎜ 229 .<br />
⎜<br />
⎝−028<br />
.<br />
229 .<br />
285 .<br />
−057<br />
.<br />
−028<br />
. ⎞<br />
⎟<br />
−057<br />
. ⎟<br />
114 . ⎠<br />
da cui<br />
⎛196<br />
. −<br />
⎜<br />
det⎜<br />
229 .<br />
⎜<br />
⎝ −028 .<br />
229 .<br />
285 . −<br />
−057 .<br />
−028<br />
. ⎞<br />
⎟<br />
−057<br />
. ⎟ 0<br />
⎟<br />
114 . − ⎠<br />
=<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
si ottengono gli autovalori l1=4.8411, l2=1.058, l3=0.0509 la cui somma è pari a 5.95.<br />
La variabilità spiegata dai singoli autovalori è la seguente:<br />
λ1<br />
λ2<br />
λ3<br />
= 0. 81; = 0. 178; = 0. 008<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
∑ ∑ ∑<br />
i i i<br />
Per le fasi successive si sceglie solo il primo autovalore poiché esprime l'81% <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti. Per il calcolo <strong>del</strong> corrispondente autovettore si deve risolvere il sistema omogeneo:<br />
⎛196<br />
. −4. 8411<br />
⎜<br />
⎜ 2. 29<br />
⎜<br />
⎝ −0. 28<br />
2. 29<br />
2. 85 −4. 8411<br />
−0. 57<br />
−0.<br />
28 ⎞⎛<br />
11⎞<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
−0.<br />
57 ⎟⎜<br />
21⎟<br />
0<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
114 . −4.<br />
8411⎠<br />
⎝ 31⎠<br />
=<br />
2 2 2<br />
con vincolo a11 + a21 + a31<br />
= 1 cioè:<br />
a<br />
a<br />
a<br />
⎧−<br />
2. 8811a11 + 2. 29a21 − 0. 28a31 = 0<br />
⎪<br />
⎪229<br />
. a11 −19811 . a21 − 057 . a31<br />
= 0<br />
⎨<br />
⎪<br />
−0. 28a11 −0. 57a21 − 3. 701a31 = 0<br />
⎪ 2 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21 + a31<br />
= 1<br />
L' autovettore risulta così composto: a11=0.623, a21=0.764, a31=-0.165.<br />
La prima componente principale quin<strong>di</strong> è data da:<br />
z1= 0623 . A+ 0764 . C−0165 .<br />
E<br />
93
A questo punto, pur avendo determinato una sola componente principale, si può calcolare il vettore dei<br />
coefficienti <strong>di</strong> correlazione fra la componente principale e le variabili iniziali:<br />
a11<br />
λ1<br />
0. 623 4. 8411 0623 . ⋅ 22 .<br />
ρ Az = = = = 0979 .<br />
1 σ A 196 .<br />
14 .<br />
a21<br />
λ1<br />
0. 764 4. 8411 0764 . ⋅ 22 .<br />
ρBz<br />
= = = = 0996 .<br />
1 σ<br />
285 . 1688 .<br />
ρ<br />
Cz1<br />
B<br />
( . ) . ( )<br />
a31<br />
λ1<br />
0165 4 8411<br />
= =<br />
σ<br />
114<br />
−<br />
= − ⋅<br />
.<br />
C<br />
Si otterrà così il seguente vettore correlazione:<br />
0165 . 22 .<br />
=−034<br />
.<br />
1067 .<br />
z1<br />
A ⎡0979<br />
. ⎤<br />
B<br />
⎢<br />
0996 .<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
C ⎣⎢<br />
−034<br />
. ⎦⎥<br />
Analizzando tale vettore si vede come la componente principale sia altamente correlata positivamente con i<br />
titoli A e B.<br />
94
7.2.2. Alcune esperienze<br />
Molti stu<strong>di</strong>osi hanno analizzato i mercati finanziari con la tecnica <strong><strong>del</strong>la</strong> componenti<br />
principali. Meric I. e Meric G. 65 hanno applicato la tecnica <strong>del</strong>le componenti principali alla<br />
matrice <strong>di</strong> varianza e covarianza <strong>del</strong>le serie storiche dei ren<strong>di</strong>menti mensili, dal 1973 al<br />
1987, degli in<strong>di</strong>ci azionari <strong>di</strong> 17 paesi e <strong>del</strong>le serie storiche dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> 17 settori<br />
industriali internazionali.<br />
Data l'estrazione <strong>di</strong> quattro componenti, nell'analisi <strong>di</strong> 17 in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> borsa, e l'estrazione<br />
<strong>di</strong> due componenti, nell'analisi dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> 17 settori industriali, si sono calcolate le<br />
due matrici <strong>del</strong>le correlazioni in<strong>di</strong>ci-componenti (Tab.9 e Tab. 10).<br />
In grassetto si sono segnati i coefficienti massimi per riga.<br />
In Tab. 10 si nota come l'estrazione <strong>di</strong> due soli fattori spiega che i ren<strong>di</strong>menti dei settori<br />
industriali sono più correlati tra loro dei ren<strong>di</strong>menti dei mercati azionari nazionali (Tab.9).<br />
Portafogli <strong>di</strong>versificati per nazione permettono quin<strong>di</strong> risultati migliori, in termini <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento-rischio, <strong>di</strong> portafogli <strong>di</strong>versificati per settore industriale.<br />
In Tabella 9 si può notare, analizzando la varianza spiegata cumulata, come i primi<br />
quattro fattori spiegano insieme il 62% <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le 17 nazioni. Il<br />
primo fattore è altamente correlato con i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> mercato <strong>del</strong>l'area <strong>del</strong> marco e quin<strong>di</strong><br />
riassume la variabilità degli in<strong>di</strong>catori <strong>di</strong> tale area. Il secondo invece riassume la variabilità<br />
dei ren<strong>di</strong>menti dei paesi <strong>del</strong>l'area <strong>del</strong> dollaro. Il terzo considera i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> Spagna,<br />
Italia e Giappone. Il quarto riassume la variabilità dei paesi <strong>del</strong> sud-est asiatico. La Francia<br />
ha ren<strong>di</strong>menti legati con tutti i primi tre fattori. Si possono così utilizzare solo quattro<br />
variabili (le quattro componenti) per spiegare la variabilità dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> ben 17<br />
nazioni.<br />
Analizzando la Tab.10 é evidente che i settori industriali internazionali sono molto<br />
correlati nei ren<strong>di</strong>menti; bastano infatti due componenti per spiegare il 67.6% <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
variabilità totale, inoltre si hanno settori con ren<strong>di</strong>menti correlati sia con la prima sia con la<br />
seconda componente.<br />
Elton e Gruber 66 hanno applicato la PCA alla matrice <strong>del</strong>le correlazioni dei prezzi <strong>di</strong> 76<br />
società <strong>di</strong> sette comparti industriali. Essi hanno trovato che la variabilità totale è stata<br />
spiegata:<br />
− dalla prima componente per il 36%;<br />
− dalle prime tre componenti per il 45%;<br />
− dalle prime otto per il 61%;<br />
− dalle prime <strong>di</strong>ciassette per il 75%.<br />
65MERIC I. e MERIC G., "Potential Gains from International Portfolio Diversification and Intertemporal<br />
Stability and Seasonality in International Market Relationship", Journal of Banking and Finance, 13, 1989.<br />
66ELTON J.E., GRUBER J.M., “Estimating the Dependence Structure of Share Price”, Journal of Finance,<br />
Dec., 1973.<br />
95
Anche in Italia si è utilizzato più volte tale tecnica sia nella <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> nel<br />
caso in cui le osservazioni siano in numero inferiore rispetto alle possibilità 67 , sia per<br />
l'analisi <strong>del</strong>le performance dei fon<strong>di</strong> comuni <strong>di</strong> <strong>di</strong>ritto italiano 68 .<br />
Tab. 9: Correlazioni fra i ren<strong>di</strong>menti dei mercati azionari <strong>di</strong> 17 paesi e le<br />
quattro componenti estratte da Meric I. e Meric G.:"Potential Gains from<br />
International Portfolio Diversification and Intertemporal Stability and<br />
Seasonality in International Market Relationship", Journal of Banking and<br />
Finance, 13, 1989 (in grassetto il coefficiente <strong>di</strong> correlazione massimo per riga).<br />
COMPONENTI PRINCIPALI<br />
Mercati Prima Seconda Terza Quarta<br />
azionari I1 I2 I3 I4<br />
Germania 0.837 0.133 0.151 0.154<br />
Austria 0.767 -0.008 0.181 0.063<br />
Svizzera 0.720 0.371 0.167 0.203<br />
Paesi Bassi 0.683 0.457 0.134 0.183<br />
Belgio 0.651 0.373 0.331 0.036<br />
Canada 0.076 0.784 0.173 0.203<br />
U.S.A. 0.186 0.719 -0.026 0.322<br />
Norvegia 0.374 0.658 0.092 -0.003<br />
Gran Bretagna 0.273 0.591 0.307 0.122<br />
Italia 0.160 0.223 0.674 0.034<br />
Spagna 0.188 0.086 0.656 0.001<br />
Giappone 0.386 -0.077 0.610 0.404<br />
Hong Kong 0.195 0.114 0.098 0.796<br />
Singapore 0.108 0.339 0.019 0.716<br />
Svezia 0.392 0.347 0.166 0.225<br />
Francia 0.420 0.458 0.451 -0.043<br />
Australia<br />
% varianza<br />
-0.059 0.493 0.466 0.373<br />
spiegata<br />
% var. spiegata<br />
cumulata<br />
40.1<br />
40.1<br />
67 ROSSI F.A., "La Selezione <strong>del</strong> Portafoglio nel caso <strong>di</strong> Alternative in Numero Maggiore <strong>del</strong>le Osservazioni<br />
e in Presenza <strong>di</strong> Strutture <strong>di</strong> Dipendenza Lineare", Il Risparmio, n.3, Marzo 1981.<br />
68 ROSSI F.A., ERLACHER E., "Efficienza ed Equilibrio Finanziario dei Fon<strong>di</strong> Comuni <strong>di</strong> Diritto Italiano", Atti<br />
<strong>del</strong> XII convegno A:M.A.S.E.S., Palermo, Settembre, 1988.<br />
96<br />
9.2<br />
49.4<br />
6.4<br />
55.8<br />
6.3<br />
62.0
Tab. 10: Correlazioni fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> 17 settori<br />
internazionali e le due componenti estratte da Meric I. e Meric<br />
G.: "Potential Gains from International Portfolio Diversification<br />
and Intertemporal Stability and Seasonality in International<br />
Market Relationship", Journal of Banking and Finance, 13,<br />
1989 (in grassetto i coefficienti massimi per riga).<br />
Componenti Principali<br />
Settori Prima Seconda<br />
Internazionali I1 I2<br />
Distribuzione 0.852 0.254<br />
Alimentari 0.837 0.366<br />
Sanità 0.832 0.328<br />
Assicurazioni 0.745 0.444<br />
Tessile 0.680 0.505<br />
Energia 0.679 0.115<br />
E<strong>di</strong>lizia 0.665 0.589<br />
Chimica 0.648 0.604<br />
Legno 0.644 0.487<br />
Acciaio 0.097 0.861<br />
Metalmeccanica 0.454 0.785<br />
Elettronica 0.503 0.705<br />
Aviotrasporti 0.168 0.678<br />
Automobili 0.413 0.610<br />
Banche 0.491 0.584<br />
Metalli non ferrosi 0.381 0.567<br />
Altri 0.445 0.547<br />
% varianza spiegata<br />
% varianza spiegata<br />
cumulata<br />
97<br />
60.7<br />
60.7<br />
6.9<br />
67.6
8<br />
LA SCELTA PREFERITA<br />
8.1 Introduzione<br />
Credo che se si chiedesse a un decisore qualsiasi “Avendo due possibilità, l’investimento A<br />
con ren<strong>di</strong>mento certo 8 milioni e l’investimento B con ren<strong>di</strong>mento certo 12 milioni, quale<br />
sceglieresti a parità <strong>di</strong> capitale da investire e <strong>di</strong> orizzonte temporale?” , la risposta, coerente,<br />
deve essere “scelgo B, perchè è l’alternativa che garantisce il maggior ren<strong>di</strong>mento e quin<strong>di</strong> il<br />
maggior capitale finale (capitale iniziale + ren<strong>di</strong>mento)”. Il rischio è nullo in entrambi i casi,<br />
quin<strong>di</strong> si parla <strong>di</strong> decisioni in ambito certo. Il decisore che utilizza il comune buon senso<br />
commenta che 12 milioni “è meglio” <strong>di</strong> 8 milioni e poggiando sull’adagio che più è meglio <strong>di</strong><br />
meno non va a scomodare l’utilità derivante da tali possibilità: applica <strong>di</strong>rettamente l’utilità<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> moneta. Ma se dovessimo chiedere allo stesso decisore “Avendo due possibilità, a parità<br />
<strong>di</strong> capitale investito e <strong>di</strong> orizzonte temporale: l’investimento A con ren<strong>di</strong>mento certo 6 milioni<br />
e l’investimento B con ren<strong>di</strong>mento 0 milioni con probabilità 0.5 e 20 milioni con probabilità<br />
0.5, quale seglieresti?”, credo che il decisore in questione avrà:<br />
- prima, qualche momento <strong>di</strong> riflessione;<br />
- poi, l’accenno <strong>di</strong> una risposta che:<br />
- nel caso più frequente è “non saprei” o “dovrei vedere” o “le alternative non sono a<br />
pari con<strong>di</strong>zioni, quin<strong>di</strong> non confrontabili” (una dà un ren<strong>di</strong>mento certo, l’altra aleatorio);<br />
- talvolta è “scelgo B perchè i 6 milioni <strong>di</strong> A sono inferiori ai 10 milioni (= 0×0.5 +<br />
20×0.5) <strong>di</strong> B” e costui potrebbe passare per persona istruita, competente ed in grado <strong>di</strong><br />
gestire il rischio avendo evidenziato che il valore atteso <strong>di</strong> B è maggiore <strong>del</strong> valore certo <strong>di</strong> A.<br />
Taluno potrebbe forse spingersi a classificare tale decisore come propenso al rischio;<br />
- tal’altra “scelgo A, perchè mi garantisce 6 milioni certi, non accettando 0 milioni con<br />
probabilità 0.5, anche se ho la possibilità <strong>di</strong> 20 milioni con probabilità 0.5”, e costui<br />
passerebbe per persona avversa al rischio.<br />
In questo capitolo si stu<strong>di</strong>eranno questi problemi. L’approcio alle scelte in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
incertezza sarà attuato utilizzando la metodologia <strong>del</strong>l’utilità attesa che sarà poi applicata alle<br />
scelte <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> per la in<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> ottimo (la scelta migliore).<br />
8.2 La teoria <strong>del</strong>l’utilità attesa<br />
Definiti con<br />
Xa={xa,1,...,xa,n}; Xb={xb,1,...,xb,n} ; ......<br />
gli insiemi <strong>del</strong>le possibili realizzazioni <strong>di</strong> variabili casuali rappresentanti, nell’or<strong>di</strong>ne, gli esiti<br />
degli eventi finanziari a,b,..., al fine <strong>di</strong> ottenere un or<strong>di</strong>namento <strong>di</strong> preferenza nell’insieme X è<br />
necessario introdurre una funzione <strong>di</strong> valutazione<br />
y=g(Xj), j=a,b,... , con y∈ℜ ; g:X→ℜ.<br />
98
Il valore <strong>di</strong> utilità è, pertanto, un numero reale associato ad una determinata situazione, tale da<br />
rappresentarne il grado <strong>di</strong> desiderabilità 69 .<br />
Ad ogni alternativa, predeterminata e caratterizzata da <strong>di</strong>versi gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> convincimento, risulta<br />
possibile assegnare un valore <strong>di</strong> probabilitá 70 dato dalle considerazioni coerenti che<br />
l'in<strong>di</strong>viduo soggettivamente compie. Inoltre, per poter utilizzare tale approccio è necessario<br />
che la scelta tra le <strong>di</strong>verse alternative permetta al decisore <strong>di</strong> massimizzare la propria funzione<br />
<strong>di</strong> utilitá (o sod<strong>di</strong>sfacimento).<br />
Il criterio <strong>di</strong> scelta, in tal caso, è espresso dalla massimizzazione <strong>del</strong>l’utilità attesa.<br />
Scegliere l'utilitá attesa come criterio per la <strong>selezione</strong> fra <strong>di</strong>verse attivitá vuol <strong>di</strong>re associare<br />
ad ognuna <strong>di</strong> esse, in<strong>di</strong>pendenti fra <strong>di</strong> loro, una coppia <strong>di</strong> valori: l'utilitá <strong>del</strong>l’evento e la<br />
probabilità associata all’evento.<br />
I problemi decisionali attinenti a conseguenze <strong>di</strong> carattere monetario richiedono, al fine <strong>di</strong> una<br />
soluzione razionale, la definizione <strong>di</strong> una funzione, detta funzione <strong>di</strong> utilità <strong><strong>del</strong>la</strong> moneta ed<br />
espressa da u(x), con x variabile aleatoria a carattere monetario come la ricchezza, il red<strong>di</strong>to,<br />
il Valore Attuale <strong>di</strong> flussi netti futuri.<br />
Si passa quin<strong>di</strong> da una teoria <strong>del</strong>l'utilitá in ambito certo dove 71<br />
( ) ( )<br />
U x ≥U x ⇔ x f x<br />
1 2 1 2<br />
cioè l'utilità <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione x1 è maggiore o uguale all'utilità <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione x2 se e solo se<br />
x1 è preferito a x2 , alla teoria <strong>del</strong>l'utilità in ambito probabilistico ove il decisore associa ad<br />
ogni possibile ammontare aleatorio il valore <strong>del</strong>l’utilità che lo stesso decisore ne trae, quin<strong>di</strong><br />
l'utilità <strong>di</strong> un insieme <strong>di</strong> possibilità è data dal valore atteso <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità u( x):<br />
∞<br />
U( X) = ∫ u( x) f ( x) dx con x definito nel continuo<br />
−∞<br />
n<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
U ( X) u( x ) p<br />
i i<br />
con x carattere <strong>di</strong>screto<br />
X, insieme <strong>del</strong>le possibilità;<br />
f ( x) , pi , rispettivamente la funzione <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> probabilità e le probabilità assegnate alle<br />
varie possibilità (eventi).<br />
Generalizzando, la relazione può essere scritta come:<br />
U( X) = E u x .<br />
99<br />
[ ( ) ]<br />
69 VARIAN H., Microeconomia, Cafoscarina, Venezia, 1987.<br />
70 VON NEUMANN J., MORGESTERN O., Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press,<br />
1944; FAMA E. F. E MILLER M. H., The Theory of Finance, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1972, cap. 5;<br />
COPELAND T. E. e WESTON J. F., Financial Theory and Corporate Policy, Ad<strong>di</strong>son Wesley, Rea<strong>di</strong>ng Mass.,<br />
1988; HUANG C., LITZENBERGER R.H., Foudations for Financial Economics, North-Holland, New York, 1988;<br />
INGERSOLL J.E., Theory of Financial Decision Making, Rowman and Littlefield, Savage, 1987; ZIEMBA W.T.,<br />
VICKSON R.G., Stochastic Optimisation Mo<strong>del</strong>s in Finance, Academic Press, New York, 1975.<br />
71 In termini formali con il simbolo f si in<strong>di</strong>ca la relazione “essere preferito a”, mentre la relazione <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>fferenza si in<strong>di</strong>ca con ≈.
Come in ambito certo, anche per l'utilità attesa esiste un or<strong>di</strong>namento <strong>del</strong>le preferenze<br />
(dominanza stocastica <strong>di</strong> primo or<strong>di</strong>ne) tale per cui:<br />
Eux > Eux ⇔ x f x;<br />
[ ( ) ] ( )<br />
( )<br />
[ ]<br />
[ ] [ ( ) ]<br />
1 2 1 2<br />
Eux1 = Eux2 ⇔ x1 ≈ x2.<br />
Tale approccio deriva dall'impostazione che Von Neumann-Morgenstern (VN-M) proposero<br />
nel 194472 in riferimento a possibili preferenze fra <strong>di</strong>verse lotterie affermando che:<br />
se L è una lotteria con poste x1, x2,..., xnassociate agli eventi E1, E2,..., Encon probabilità<br />
p1, p2,..., pnprefissate dal giocatore, la sua utilità è data dalla me<strong>di</strong>a ponderata <strong>del</strong>le<br />
funzioni <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong>le singole poste con pesi le corrispondenti probabilità:<br />
n<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
U( L) u( x ) p .<br />
VN-M hanno introdotto un insieme <strong>di</strong> postulati, o assiomi, su come si formano le preferenze,<br />
che permettono <strong>di</strong> creare una funzione <strong>di</strong> utilità che abbia la proprietà <strong>di</strong> stabilire non solo<br />
l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> preferenza <strong>del</strong>le azioni, ma anche la misura <strong>del</strong>le <strong>di</strong>fferenze nell’utilità <strong>di</strong> azioni<br />
<strong>di</strong>verse. I postulati sono73: 1) comparabilità o completezza: un investitore or<strong>di</strong>na tutti i possibili risultati stabilendo se un<br />
risultato x è preferito, in<strong>di</strong>fferente o non preferito ad un risultato y, cioè per ogni coppia x, y<br />
vale una ed una sola fra le seguenti alternative: x f y, x ≈ y, x p y;<br />
2) transitività o consistenza: se un investitore preferisce x a y e y a z allora preferisce x a z:<br />
x f y, y f z ⇒ x f z;<br />
tale postulato sottolinea quin<strong>di</strong> che l'attrattiva <strong>di</strong> un'alternativa è<br />
valutata in<strong>di</strong>pendentemente dalle altre alternative;<br />
3) in<strong>di</strong>pendenza o assioma <strong>di</strong> sostituzione: se un investitore è in<strong>di</strong>fferente fra due alternative x<br />
e y, me<strong>di</strong>e dei possibili risultati ponderati con le rispettive probabilità, e se viene data<br />
un'alternativa incerta z allora l'investitore risulta in<strong>di</strong>fferente tra le seguenti altre due<br />
alternative:<br />
x con probabilità p e z con probabilità 1-p<br />
y con probabilità p e z con probabilità 1-p:<br />
x ≈ y ⇒ [ px + ( 1−p) z] ≈ [ py + ( 1 − p) z]<br />
.<br />
L'elemento fondamentale <strong>di</strong> questo assioma è che impone alla funzione <strong>di</strong> utilità una forma<br />
lineare nelle probabilità; inoltre, va osservato che la formulazione <strong>del</strong>l’assioma <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>pendenza, come ne suggerisce la denominazione, comporta una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
probabilità <strong>di</strong> più alternative tra loro in<strong>di</strong>pendenti.<br />
4) misurabilità: se un investitore preferisce x a y e y a z allora esiste un’unica probabilità p<br />
tale che y sia in<strong>di</strong>fferente a x con probabilità p e z con probabilità 1-p:<br />
x f y f z ⇒∃! p∈( 01 , ) y ≈ [ px+ ( 1 −p)<br />
z]<br />
5) or<strong>di</strong>nabilità: se x e y sono preferiti ad a e non preferiti a b e si possono determinare due<br />
sitazioni tali per cui x è in<strong>di</strong>fferente ad a con probabilità p1 e b con probabilità (1-p1) e y è<br />
72VON NEUMANN J., MORGESTERN O., 1944, op. cit.; MORICONI F., Matematica Finanziaria, il Mulino, Milano,<br />
1994.<br />
73 L’approccio assiomatico presentato rispecchia la formulazione sviluppata in FAMA E. F. E MILLER M. H.,<br />
1972, op. cit.<br />
100<br />
i i
in<strong>di</strong>fferente ad a con probabilità p2 e b con probabilità (1-p2), allora se p1 è maggiore <strong>di</strong> p2 ne<br />
deriva che x è preferito ad y:<br />
Se a p x pbe a p y pb<br />
ed inoltre<br />
x ≈ [ pa 1 + ( 1− p1) b] e y ≈ [ p2a+ ( 1−<br />
p2) b]<br />
allora se:<br />
p1 > p2 ⇒ x f y<br />
p1 = p2 ⇒ x ≈ y<br />
p1 < p2 ⇒ x p y<br />
A questi assiomi va affiancato il postulato <strong>di</strong> non sazietà, espresso dal “preferire il più al<br />
meno”. In tal caso l’utilità marginale <strong><strong>del</strong>la</strong> ricchezza è sempre positiva.<br />
Questi postulati permettono la costruzione <strong>del</strong>l'ipotesi fondamentale <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong> utilità<br />
crescente e continua su tutto il suo insieme <strong>di</strong> definizione che rappresenta le scelte razionali<br />
<strong>del</strong>l'operatore.<br />
Al fine <strong>di</strong> ottenere una funzione <strong>di</strong> utilità, per un determinato soggetto e in relazione ad un<br />
insieme <strong>di</strong> alternative aleatorie, è necessario indagare l’atteggiamento <strong>del</strong> decisore verso il<br />
rischio.<br />
Si possono verificare tre atteggiamenti <strong>di</strong>versi da parte <strong>del</strong> decisore nei confronti <strong>del</strong> rischio<br />
consistenti con gli assiomi <strong>di</strong> VN-M (ve<strong>di</strong> Fig. 32):<br />
a) investitore avverso al rischio (risk averter) dotato <strong>di</strong> una curva <strong>di</strong> utilità concava in<br />
quanto ad incrementi uguali <strong>di</strong> capitale corrispondono incrementi <strong>di</strong> utilità via via<br />
decrescenti;<br />
b) investitore in<strong>di</strong>fferente al rischio (risk neutral) denota interesse esclusivo per il<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso senza considerare il livello <strong>di</strong> rischio associato all’investimento: la<br />
scelta ricadrebbe sull’alternativa con ren<strong>di</strong>mento atteso più elevato;<br />
c) investitore propenso al rischio (risk lover) dotato <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong> utilità convessa in<br />
quanto l’utilità marginale è in relazione crescente con la ricchezza: il decisore si<br />
orienterebbe sull’alternativa con rischio più elevato (anche se non con red<strong>di</strong>tività attesa<br />
più alta).<br />
u(x)<br />
avverso in<strong>di</strong>fferente propenso<br />
u(x)<br />
u(x)<br />
x<br />
(a) (b) (c)<br />
Fig. 32 Esempi <strong>di</strong> funzioni <strong>di</strong> utilità <strong>di</strong> decisiori avversi, neutrali, propensi al rischio.<br />
101<br />
x<br />
x
In sintesi, mentre il postulato <strong>di</strong> non sazietà consente <strong>di</strong> suffragare la monotonicità <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
funzione <strong>di</strong> utilità, l’atteggiamento <strong>del</strong> soggetto <strong>di</strong> fronte al rischio (avverso, neutrale o<br />
propenso) permette <strong>di</strong> circoscrivere la famiglia <strong>di</strong> funzioni <strong>di</strong> utilità (concava, lineare o<br />
convessa), caratterizzata in termini <strong>di</strong> derivata seconda (rispettivamente negativa, nulla o<br />
positiva).<br />
Come anticipato, un in<strong>di</strong>viduo chiamato a scegliere razionalmente tra più possibilità aleatorie<br />
(il caso <strong>di</strong> alternativa certa può essere assunta ad alternativa aleatoria degenere) deve attuare<br />
un confronto non già tra i valori attesi <strong>del</strong>le grandezze, ma tra i valori attesi <strong>del</strong>le<br />
corrispondenti utilità e, dalla formulazione assiomatica precedente, è possibile definire il<br />
certo equivalente. Per ogni alternativa casuale esiste sempre un ammontare certo che produce<br />
un'utilità pari all'utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong> somma aleatoria, rendendo per l'investitore in<strong>di</strong>fferente la<br />
scelta tra esso, certo, e l'alternativa casuale. Tale ammontare è detto certo equivalente 74.<br />
Allora, se si considera m il certo equivalente e x l'importo aleatorio si ha:<br />
[ ( ) ]<br />
um ( )= Eux .<br />
Se la funzione <strong>di</strong> utilità è continua e strettamente monotona sull'intervallo considerato, essa è<br />
invertibile e si può calcolare come<br />
ve<strong>di</strong> grafico in Fig. 33.<br />
{ [ ( ) ] }<br />
m= u E u x<br />
−1<br />
Poichè si è detto che l'utilità <strong>del</strong> certo equivalente vale l'utilità <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong>l'importo<br />
aleatorio allora<br />
E[u(x)]= u(m)=u[E(x)]<br />
vale se e solo se il soggetto è in<strong>di</strong>fferente al rischio, cioè ha funzione <strong>di</strong> utilità lineare.<br />
Se ciò non accade si può <strong>di</strong>mostrare che 75:<br />
• l'utilità <strong>del</strong> certo equivalente risulta minore <strong>del</strong>l’utilità <strong>del</strong> valore atteso<br />
E[u(x)]=u(m)
allorquando il decisore sia propenso al rischio, cioè abbia funzione <strong>di</strong> utilità convessa.<br />
Con questo si vuole confermare il fatto che ogni ammontare aleatorio possiede il suo certo<br />
equivalente e che non sempre esso vale il valore atteso <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile aleatoria.<br />
u(x)<br />
u[E(X)]<br />
E[u(X)]<br />
x 1<br />
P1<br />
A<br />
m<br />
E(X)<br />
103<br />
P 2<br />
x 2<br />
x<br />
Posto x l’importo monetario<br />
aleatorio<br />
con<br />
x<br />
X =<br />
x<br />
⎧ 1 con probabilità p<br />
⎨<br />
⎩ 2 con probabilità p<br />
u(x), utilità <strong><strong>del</strong>la</strong> moneta<br />
Fig. 33 Determinazione <strong>del</strong> certo equivalente m per un in<strong>di</strong>viduo avverso al rischio <strong>di</strong> fronte ad una<br />
somma incerta con due possibili determinazioni: x1 e x 2 con probabilità rispettivamente p 1 e p 2.<br />
La Figura 33 presenta la curva <strong>di</strong> utilità <strong>di</strong> un in<strong>di</strong>viduo avverso al rischio il quale si trova in<br />
una situazione aleatoria X definita da due possibili determinazioni x1 ed x2 rispettivamente<br />
con probabilità p1 e p2. Il valore atteso <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile aleatoria è in<strong>di</strong>cato con E(X)=p1x1+p2x2<br />
la cui utilità è pari a u[E(X)].<br />
Per determinare l’equivalente certo <strong>di</strong> questa situazione aleatoria si deve calcolare l’utilità<br />
attesa data da E[u(X)]=u(x1)p1+u(x2)p2. In base all’assioma 4), l’utilità <strong>del</strong>l’equivalente certo<br />
deve essere uguale all’utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione aleatoria, cioè E[u(X)]=u(m). Accettando<br />
gli assiomi, esposti in precedenza, è possibile giustificare la determinazione <strong>del</strong> certo<br />
equivalente per mezzo <strong>del</strong> calcolo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione inversa <strong>di</strong> utilità calcolata nel punto<br />
E[u(X)].<br />
Graficamente, proiettando l’utilità attesa sulla funzione <strong>di</strong> utilità si determina il punto A la cui<br />
ascissa è il certo equivalente m.<br />
Risulta chiaro che l’utilità <strong>del</strong> valore atteso è minore (per un soggetto avverso al rischio)<br />
<strong>del</strong>l’utilità attesa <strong>del</strong>l’importo aleatorio e quin<strong>di</strong> il certo equivalente è minore <strong>del</strong> valore<br />
atteso. Soltanto se il soggetto è in<strong>di</strong>fferente al rischio e quin<strong>di</strong> la sua funzione <strong>di</strong> utilità è data<br />
dalla retta passante per i punti P1 e P2, il certo equivalente è pari al valore atteso <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
situazione aleatoria: l’utilità attesa è pari all’utilità <strong>del</strong> valore atteso.<br />
Per mezzo <strong>del</strong>l’analisi sopra esposta il decisore è in grado <strong>di</strong> scegliere razionalmente tra più<br />
alternative aleatorie confrontando i relativi equivalenti certi.<br />
1<br />
2
Ritornando alla Fig. 33, se il soggetto avesse a <strong>di</strong>sposizione un ammontare certo k > m<br />
(oppure una seconda situazione aleatoria con equivalente certo k > m ) egli coerentemente<br />
sceglierebbe la situazione certa k (o la situazione aleatoria ad esso collegata) in quanto gli<br />
procurerebbe una utilità maggiore.<br />
Un’interessante osservazione è data dalla <strong>di</strong>fferenza tra il valore atteso e il certo equivalente<br />
π = Ex ( ) − m<br />
che viene definita premio per il rischio.<br />
Un premio positivo, π>0 (si pensi al premio <strong>di</strong> assicurazione), può essere interpretato come<br />
l’importo massimo che un soggetto avverso al rischio è <strong>di</strong>sposto a pagare per sottrarsi alla<br />
situazione aleatoria.<br />
Al contrario, un premio negativo, π
Al fine <strong>di</strong> una migliore interpretazione <strong>di</strong> questa quantità, assunta a misura <strong>del</strong>l’atteggiamento<br />
<strong>del</strong> decisore <strong>di</strong> fronte al rischio, risulta interessante e necessaria una semplice osservazione:<br />
considerati due decisori, caratterizzati dalle proprie funzioni <strong>di</strong> utilità u1 e u2, si calcolano m1<br />
e m2, rispettivamente, gli equivalenti certi ad una stessa situazione aleatoria X. Se:<br />
u1( x)<br />
u2( x)<br />
r1( x)<br />
=− r2( x) x D<br />
u1( x)<br />
u2( x)<br />
′′<br />
>−<br />
′<br />
′′<br />
= ∀ ∈ allora m1 < m2<br />
′<br />
ossia un decisore più avverso al rischio <strong>di</strong> un altro valuterà la medesima situazione aleatoria<br />
attribuendole un equivalente certo minore, o allo stesso modo sarà <strong>di</strong>sposto a sostenere un<br />
maggiore premio per il rischio.<br />
Si riportano in Tabella 11 le funzioni <strong>di</strong> utilità più <strong>di</strong>ffuse in letteratura, il dominio dei<br />
parametri e <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile, il coefficiente assoluto e relativo <strong>di</strong> avversione al rischio.<br />
Funzioni <strong>di</strong><br />
utilità<br />
Dominio dei<br />
parametri e <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
variabile<br />
Coefficiente assoluto<br />
<strong>di</strong> avversione al<br />
rischio<br />
105<br />
Coefficiente relativo<br />
<strong>di</strong> avversione al<br />
rischio<br />
Lineare<br />
ux = ax a > 0 zero zero<br />
( )<br />
Quadratica<br />
ux = ax−ax ( )<br />
1 2<br />
Esponenziale<br />
ux = −e − 1<br />
1<br />
( )<br />
a x<br />
Potenza<br />
a<br />
x<br />
ux ( ) =<br />
a<br />
Logaritmica<br />
ux ( ) = alog( x+ d)<br />
a<br />
2<br />
1 x <<br />
2a2<br />
; a2 >0<br />
2a2<br />
a − 2a<br />
x<br />
1 2<br />
a > 0 1<br />
a<br />
x > 0<br />
a > 0<br />
x > 0<br />
a > 0<br />
d > 0<br />
1− a<br />
x<br />
1<br />
x + d<br />
Tab. 11: Alcune funzioni <strong>di</strong> utilità<br />
2a2<br />
x<br />
a − 2a<br />
x<br />
1 2<br />
x<br />
a<br />
1− a<br />
x<br />
x + d<br />
Scelta una funzione <strong>di</strong> utilità, qualsiasi trasformazione lineare crescente <strong>di</strong> questa la<br />
mo<strong>di</strong>fica, ma non muta il sistema <strong>di</strong> preferenze lì sintetizzato. Quin<strong>di</strong>, ad esempio, invece <strong>di</strong><br />
considerare la funzione <strong>di</strong> utilità quadratica u(x)=a1x-a2x 2 si può considerare u(x+k)=b0+b1xb2x<br />
2 , trasformazione lineare <strong><strong>del</strong>la</strong> prima, ma il sistema <strong>di</strong> preferenze non cambia.<br />
E’ interessante notare come le funzioni <strong>di</strong> utilità in Tab. 9 (ad esclusione <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione<br />
lineare) sono <strong>di</strong> tipo HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) 78 in quanto hanno un r(x)<br />
<strong>di</strong> tipo iperbolico:<br />
78 MORICONI F., op. cit.<br />
rx ( )<br />
1<br />
=<br />
a + a x<br />
1 2
con i parametri a1 ed a2 costanti tali da garantire un r(x) sempre positivo.<br />
Uno tra i possibili meto<strong>di</strong> utilizzati per costruire la curva <strong>di</strong> utilità consiste nel determinare<br />
per più situazioni aleatorie, <strong><strong>del</strong>la</strong> forma {x1, p1 = 0.5; x2, p2 = 0.5} i corrispondenti certi<br />
equivalenti. Questo metodo, definito Equally Likely Certainty Equivalent (ELCE) 79, consente<br />
<strong>di</strong> approntare la costruzione <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> utilità per un decisore senza incorrere nei paradossi<br />
e nelle <strong>di</strong>fficoltà evidenziate da altre tecniche 80.<br />
8.3 Valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità<br />
Al fine <strong>di</strong> determinare la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi lo si sottopone ad una serie <strong>di</strong> domande.<br />
In primo luogo si chiede a Rossi per quale importo certo è <strong>di</strong>sposto a scambiare un gioco<br />
(scommessa, lotteria, investimento, business) che gli procura un guadagno <strong>di</strong> 0 milioni con<br />
probabilità 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5. La risposta “6 milioni”, fornita da Rossi,<br />
rappresenta la situazione per cui gli è in<strong>di</strong>fferente avere un guadagno certo <strong>di</strong> 6 milioni<br />
oppure 0 milioni con probabiltà 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5.<br />
Per costruire la funzione <strong>di</strong> utilità si fissano, arbitrariamente, a priori le utilità corrispondenti<br />
al valore minimo e massimo <strong>del</strong>le somme aleatorie (0 e 20 milioni). Il Rossi afferma <strong>di</strong> dare<br />
utilità zero al guadagno zero e utilità 100 al guadagno 20. Allora, possiamo scrivere<br />
x 0 20<br />
ug(x) 0 100<br />
e calcolare l’utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione aleatoria<br />
1 1 1 1<br />
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( )<br />
g = g 0 + g 20 = 0+ 100 = 50<br />
2 2 2 2<br />
Poichè l’utilità derivante dalla situazione aleatoria deve essere uguale all’utilità associata alla<br />
situazione certa si ha<br />
u ( ) [ ( )<br />
g 6 = Eug x ] = 50<br />
utilità dei sei utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
milioni certi situazione aleatoria<br />
In tal caso, sul piano [x, ug(x)], si sono già in<strong>di</strong>viduati, con le valutazioni <strong>di</strong> cui sopra, 3 punti<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi in relazione alle quantità monetarie:<br />
x 0 6 20<br />
ug(x) 0 50 100<br />
Si ripete ora la medesima procedura sottoponendo il Rossi alla determinazione <strong>del</strong> valore<br />
equivalente alle due lotterie ottenute sud<strong>di</strong>videndo la lotteria iniziale in:<br />
• 0 milioni con probabilità 0.5 e 6 milioni con probabiltà 0.5<br />
• 6 milioni con probabilità 0.5 e 20 milioni con probabiltà 0.5<br />
Il Rossi risponde, rispettivamente, i valori certi equivalenti 2 milioni e 11 milioni, da cui si<br />
ricavano le utilità attese nel modo precedentemente descritto<br />
79 ANDERSON J., DILLON J., HARDAKER B., Agricultural Decision Analysis, Iowa State University Press, Ames,<br />
Iowa, 1977.<br />
80 Ve<strong>di</strong> (tra gli altri) QUIGGIN J., Generalized Expected Utility Theory-The Rank Dependent Mo<strong>del</strong>, Kluwer<br />
Academic Publishers, Boston, 1993.<br />
106
1 1 1 1<br />
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( ) u ( )<br />
g = g 0 + g 6 = 0+ 50 = 25 = g 2<br />
2 2 2 2<br />
Eu ( x) g<br />
1 1<br />
= ug 6 + ug 20<br />
2 2<br />
1 1<br />
= 50+ 100 = 75 = ug<br />
2 2<br />
11<br />
[ ] ( ) ( ) ( )<br />
Procedendo ulteriormente, come sopra, sul Rossi, si ottiene:<br />
x1 p(x1) ug(x1) x2 p(x2) ug(x2) mu ug(mu)=<br />
E[ug(x)]<br />
0 0.5 0 20 0.5 100 6 50<br />
0 0.5 0 6 0.5 50 2 25<br />
6 0.5 50 20 0.5 100 11 75<br />
0 0.5 0 2 0.5 25 1 12.5<br />
2 0.5 25 6 0.5 50 5 37.5<br />
6 0.5 50 11 0.5 75 8 62.5<br />
11 0.5 75 20 0.5 100 15 87.5<br />
L’insieme dei punti osservati nel piano [x, ug(x)] è dato da<br />
x 0 1 2 5 6 8 11 15 20<br />
ug(x) 0 12.5 25 37.5 50 62.5 75 87.5 100<br />
Adottando una funzione <strong>di</strong> utilità quadratica <strong>del</strong> tipo ( )<br />
2<br />
ux = a0 + ax 1 + ax 2 si devono ora<br />
calcolare valori dei parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> stessa. Applicando le regole d’interpolazione secondo il<br />
principio dei minimi quadrati or<strong>di</strong>nari e volendo far passare la funzione per i punti (0,0) e<br />
(20,100) si ha un problema <strong>di</strong> ottimizzazione quadratica vincolata:<br />
⎧<br />
⎪ min<br />
a , a , a<br />
⎪ 0 1 2 i<br />
⎪<br />
⎨c.v.<br />
⎪u<br />
( ) g 0 = 0<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
u ( ) g 20 = 100<br />
2<br />
∑[<br />
ug( xi) − ( a0+ a1xi + a2xi ) ]<br />
risolto il quale, con la Lagrangiana, si ottengono i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> quadratica, funzione <strong>di</strong><br />
utilità <strong>del</strong> guadagno <strong>del</strong> Rossi<br />
2<br />
u ( x) g = − 0. 21492x + 9. 29836x<br />
per il business in esame.<br />
107<br />
2
ug(x)<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
Fig. 34: Funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore Rossi, al quale, circa un certo business<br />
basato sui ren<strong>di</strong>menti, sono state prospettate <strong>di</strong>verse situazioni aleatorie per<br />
le quali egli ha fornito i rispetttivi certi equivalenti. La funzione <strong>di</strong> utilità<br />
quadratica <strong>del</strong> tipo ug(x)=a 1x+a 2x 2 è stata ottenuta per mezzo <strong>di</strong> interpolazione<br />
statistica vincolata a passare per i punti (0,0) e (20,100).<br />
E’ interessante evidenziare che il sistema <strong>di</strong> preferenze <strong>del</strong> Rossi, espresso dalla funzione<br />
soggettiva <strong>di</strong> utilità, non muta allorquando si attua sulla funzione in oggetto una<br />
trasformazione lineare crescente. In termini economici ciò vale a sostenere che risulta<br />
in<strong>di</strong>fferente stimare la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore Rossi in termini <strong>di</strong> guadagno o <strong>di</strong><br />
dotazione <strong>di</strong> capitale.<br />
Nel procedere alla stima <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità in termini <strong>di</strong> capitale <strong>di</strong>sponibile è sufficiente<br />
impostare la scelta, per la determinazione <strong>del</strong> certo equivalente, tra l’ottenere un capitale <strong>di</strong><br />
170 milioni (dotazione iniziale <strong>di</strong> capitale <strong>del</strong> Rossi) con probabilità 0.5 e <strong>di</strong> 190 milioni con<br />
probabilità 0.5. Si procede poi come descritto in precedenza. Assegnati arbitrariamente i<br />
valori <strong>di</strong> utilità 10 e 20 corrispondenti a 170 e a 190, si ottiene la seguente serie <strong>di</strong><br />
osservazioni<br />
x 170 171 172 175 176 178 181 185 190<br />
uc(x) 10 11.25 12.5 13.75 15 16.25 17.5 18.75 20<br />
dalla quale si stima la seguente funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi, valutata ora sul capitale,<br />
utilizzando:<br />
che fornisce la<br />
⎧<br />
⎪ min<br />
bbb 0, 1, 2 i<br />
⎪<br />
⎨c.v.<br />
⎪<br />
u ( ) c 170 = 10<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
u ( 190) = 20<br />
c<br />
12<br />
108<br />
14<br />
16<br />
18<br />
2<br />
∑[<br />
uc( xi) − ( b0+ b1xi + b2xi ) ]<br />
2<br />
u ( x) c = − 0. 02149x + 8. 23704x−769185 .<br />
2<br />
20<br />
x
20<br />
19<br />
18<br />
17<br />
16<br />
15<br />
14<br />
13<br />
12<br />
11<br />
10<br />
u c(x)<br />
170<br />
172<br />
174<br />
176<br />
178<br />
180<br />
Fig. 35: Funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore Rossi, al quale, circa un certo business<br />
basato sulla dotazione <strong>di</strong> capitale, sono state prospettate <strong>di</strong>verse situazioni<br />
aleatorie per le quali egli ha fornito i rispetttivi certi equivalenti. La funzione <strong>di</strong><br />
utilità quadratica <strong>del</strong> tipo uc(x)=b 0+b 1x+b 2x 2 è stata ottenuta per mezzo <strong>di</strong><br />
interpolazione statistica vincolata a passare per i punti (170,10) e (190,20).<br />
Definite le funzioni <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi, sia in termini <strong>di</strong> guadagno sia in termini <strong>di</strong> capitale,<br />
possiamo ora procedere a determinare i parametri a e b <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> trasformazione<br />
lineare <strong>del</strong> tipo u ( x k) au ( x) c + = g + b (ove uc(x) e ug(x) sono rispettivamente le funzioni<br />
precedentemente stimate <strong>di</strong> utilità in termini <strong>di</strong> capitale e <strong>di</strong> guadagno).<br />
1<br />
I parametri risultano rispettivamente: a = ; b= 10; k = 170 da cui<br />
10<br />
uc(x+170)=1/10 ug(x) + 10 ; ∀x∈D, D = {0 ≤ x ≤ 20}<br />
Riba<strong>di</strong>amo che il sistema <strong>di</strong> preferenze <strong>del</strong> Rossi non viene alterato dalla definizione <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
curva <strong>di</strong> utilità in termini <strong>di</strong> guadagno o <strong>di</strong> capitale. Ne deriva che la trasformazione lineare<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> funzione risulta valida se definita sull’appropriato dominio, cioè D { x }<br />
g = 0≤ ≤ 20 o<br />
D { x }<br />
c = 170 ≤ ≤190<br />
, il che spiega la scrittura 1/10 ug(x) + 10 quale trasformazione lineare<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> ug.<br />
Valutiamo ora l’avversione al rischio <strong>del</strong> Rossi, quale misura sintetica <strong>del</strong> suo comportamento<br />
<strong>di</strong> fronte al business aleatorio in <strong>di</strong>scussione:<br />
u ( x)<br />
r ( ) c x =−<br />
u ( x)<br />
( )<br />
( ) x<br />
′′<br />
′<br />
2 ⋅−0.<br />
02149<br />
=−<br />
> 0<br />
2 ⋅− 0. 02149 + 8. 23704<br />
109<br />
182<br />
∀x∈ D, D= { 170 ≤ x ≤190}<br />
Osserviamo che rc(x) risulta maggiore <strong>di</strong> zero su tutto l’intervallo <strong>di</strong> definizione <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
funzione <strong>di</strong> utilità; a significare che il Rossi è avverso al rischio con un grado <strong>di</strong> avversione<br />
crescente al crescere <strong>del</strong> capitale (ve<strong>di</strong> Fig. 36).<br />
Alcuni stu<strong>di</strong>osi ed operatori non con<strong>di</strong>vidono l’utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione quadratica quale<br />
funzione <strong>di</strong> utilità, in quanto un in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> avversione al rischio che cresce all’aumentare <strong>del</strong><br />
184<br />
x<br />
186<br />
188<br />
190
capitale (ricchezza) <strong>di</strong>sponibile sembra non corrispondere al comportamento effettivo <strong>di</strong> molti<br />
<strong>di</strong> noi. Per questo sono state proposte <strong>di</strong>verse famiglie <strong>di</strong> funzioni <strong>di</strong> utilità come quelle<br />
esposte in Tab. 11 alcune <strong>del</strong>le quali hanno caratteristiche apprezzate come l’in<strong>di</strong>ce assoluto<br />
<strong>di</strong> avversione al rischio costante o decrescente.<br />
r(x)<br />
0,7<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
170<br />
172<br />
174<br />
176<br />
178<br />
180<br />
110<br />
182<br />
184<br />
186<br />
188<br />
Fig. 36: Funzione <strong>di</strong> avversione al rischio <strong>del</strong> decisore al variare <strong>del</strong><br />
capitale<br />
Anche la funzione <strong>di</strong> avversione al rischio nella formulazione proposta da Arrow-Pratt risulta<br />
invariante per trasformazioni lineari <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità, quin<strong>di</strong> l’atteggiamento <strong>del</strong><br />
decisore <strong>di</strong> fronte al rischio risulta unicamente determinato sia in relazione a situazioni<br />
rischiose in termini <strong>di</strong> capitale che in termini <strong>di</strong> guadagno.<br />
8.4 In<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> a ren<strong>di</strong>mento aleatorio preferito<br />
E' utile specificare i casi in cui l'utilità attesa non smentisce il principio E-V. Ciò accade se81: 1) per qualsiasi funzione <strong>di</strong> utilità u( x),<br />
la variabile aleatoria x è Normalmente <strong>di</strong>stribuita<br />
con me<strong>di</strong>a µ e varianza σ 2 2<br />
: x → N(<br />
µσ , ) ; nella <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>, utilizzando la<br />
simbologia adottata in precedenza: R → N R<br />
⎛ _ ⎞<br />
⎜ ,σ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
2) per qualsiasi <strong>di</strong>stribuzione <strong>del</strong>l’importo aleatorio x, u( x)<br />
è una funzione <strong>di</strong> utilità<br />
quadratica.<br />
Nel primo caso si <strong>di</strong>mostra come l'utilità attesa sia funzione <strong><strong>del</strong>la</strong> me<strong>di</strong>a e <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza,<br />
poichè per calcolare il valore atteso <strong>del</strong>l'utilità si deve risolvere il seguente integrale:<br />
∞<br />
Eux [ ( ) ] ∫ ux ( ) f( xdx ) .<br />
Da questa relazione si capisce come essa sia funzione <strong><strong>del</strong>la</strong> me<strong>di</strong>a (per noi valore atteso) degli<br />
importi aleatori e <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza degli stessi.<br />
81 COPELAND T. E. e WESTON J. F., 1988, op. cit.; ELTON E. J. E GRUBER M. J., 1995, op. cit.; CASTAGNOLI E.,<br />
PECCATI L., 1991, op. cit..<br />
= −∞<br />
190 x
Per <strong>di</strong>mostrare che anche nel secondo caso l'utilità attesa è funzione <strong><strong>del</strong>la</strong> me<strong>di</strong>a e <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
2<br />
varianza si utilizza la funzione quadratica ux ( )= ax 1 −ax<br />
2 con a2 parametro positivo e<br />
quin<strong>di</strong> si attuano i seguenti passaggi:<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
Eux = Eax− ax = aE x − aE x = aE x − a E x + σ = f E x,<br />
σ<br />
[ ( ) ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( )<br />
che con la legenda <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong>venta:<br />
EuR ( )<br />
2<br />
= EaR− aR<br />
2<br />
= aE R − aE R =<br />
111<br />
( [ ] ) ( ( ) )<br />
[ ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( )<br />
= aE( R) − a<br />
2 2 [ E( R) ] + σ<br />
2<br />
= f( E R,<br />
σ )<br />
1 2<br />
( ) ( )<br />
Nella <strong>selezione</strong> <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> secondo il metodo E-V si deve, per in<strong>di</strong>viduare il <strong>portafoglio</strong><br />
ottimo, o adottare come ipotesi <strong>di</strong> base una funzione <strong>di</strong> utilità quadratica o ipotizzare una<br />
<strong>di</strong>stribuzione Gaussiana dei ren<strong>di</strong>menti futuri.<br />
Ritornando all'analisi <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> tramite l'utilizzo <strong>del</strong>le frontiere efficienti, si può<br />
considerare l'utilità attesa funzione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso e <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> e<br />
massimizzarla per in<strong>di</strong>viduare il <strong>portafoglio</strong> ottimo.<br />
Ciò può avvenire riportando i valori <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>del</strong>l'utilità, funzione <strong>di</strong> E e V, associando<br />
ad ognuno <strong>di</strong> essi una curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza quadratica in E-V (nel caso, circonferenza con<br />
centro sull'asse dei ren<strong>di</strong>menti).<br />
8.4.1 Critero <strong>di</strong> scelta: la funzione <strong>di</strong> utilità e le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza in E-V<br />
La funzione <strong>di</strong> utilità che si associa a curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza descritte da circonferenze nel<br />
piano E-V deve risultare quadratica e concava a rappresentare l'avversione al rischio <strong>del</strong><br />
decisore:<br />
2<br />
U( x)= a0 + a1x+ a2x ; a1≥ 0 e a2<br />
< 0<br />
e dove il capitale x è costituito da due variabili: la ricchezza non nulla W a <strong>di</strong>sposizione, che è<br />
nota, ed il profitto π =∆W , cioè l'incremento <strong>di</strong> ricchezza, che è una variabile aleatoria. Si ha<br />
quin<strong>di</strong> che U( x) = U( W +π ) , con W > 0, inoltre moltiplicando e <strong>di</strong>videndo π per W la<br />
funzione <strong>di</strong> utilità risulta<br />
⎛ π ⎞<br />
U( x) = U⎜W + W ⎟<br />
⎝ W ⎠<br />
e, se si considera la nuova variabile R =<br />
W<br />
π intesa come profitto percentuale, ossia tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento, la relazione <strong>di</strong>venta:<br />
U( x) = U( W + WR)<br />
La funzione <strong>di</strong> utilità assunta per l'investitore <strong>di</strong>pende pertanto da una sola variabile casuale R<br />
, tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, tale per cui si ha:<br />
*<br />
con R appartenente all'insieme [ R1, R ] con:<br />
- R1, ren<strong>di</strong>mento minimo;<br />
- R * =− β<br />
2 γ<br />
.<br />
U( R)= α+ βR+ γR 2
Se si considerano la variabile aleatoria ren<strong>di</strong>mento e l'importo certo ricchezza, la funzione <strong>di</strong><br />
utilità <strong>di</strong>venta:<br />
2<br />
U( x) = U( W + WR) = a0 + a1( W + WR) + a2( W + WR)<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
= a0 + aW 1 + aWR 1 + aW 2 + 2aW<br />
2 R+ aW 2 R =<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
= a0 + aW 1 + aW 2 + ( aW 1 + 2aW<br />
2 ) R+ aW 2 R =<br />
2<br />
= α+ βR+ γR<br />
con:<br />
⎧α<br />
= a0 + aW 1 + aW 2<br />
⎪<br />
2<br />
⎨β<br />
= aW 1 + 2aW 2<br />
⎪<br />
2<br />
⎩γ<br />
= aW 2<br />
2<br />
dove W è la ricchezza nota. Poichè si è supposto W > 0, a1 ≥ 0, a2<<br />
0 , allora γ
[ p(<br />
) ]<br />
Eu R<br />
2 β 2<br />
( Rp) + Rp<br />
+ σ p =<br />
γ<br />
γ<br />
[ p(<br />
) ]<br />
113<br />
[ p(<br />
) ]<br />
2 Eu R<br />
2<br />
2 β 2 β<br />
− α β<br />
( Rp) + Rp<br />
+ σ p + =<br />
+<br />
2<br />
γ 4γγ4γ ⎡<br />
⎢R<br />
⎣<br />
2<br />
Eu R<br />
2<br />
β ⎤<br />
− α<br />
2<br />
β<br />
+ ⎥ + σ =<br />
+<br />
2γ⎦γ4γ p p<br />
Tale relazione rappresenta una generica circonferenza sul piano [ Rp, σ p]<br />
con<br />
centro in −<br />
⎛<br />
1<br />
2 2<br />
β ⎞<br />
⎡ Eu ( p)<br />
−α<br />
β ⎤<br />
⎜ ,0 ⎟ , raggio rc<br />
= +<br />
⎝ 2 γ ⎠<br />
⎢<br />
2 ⎥ .<br />
⎣ γ 4γ<br />
⎦<br />
Questa circonferenza descrive la generica curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza associata all'utilità attesa, da<br />
massimizzare, con il vincolo che il <strong>portafoglio</strong> appartenga alla frontiera efficiente<br />
2<br />
σ P = [ a0 + a1RP + a2 RP<br />
]<br />
12 /<br />
( ) .<br />
* β<br />
Se la variabile casuale R assume valore R = R = − allora l'utilità attesa risulta<br />
2 γ<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Eu p<br />
− α<br />
−<br />
( )= α − + + ⋅ = − = −<br />
β<br />
γ<br />
γ<br />
β<br />
β β<br />
γ α<br />
α<br />
γ<br />
γ<br />
β<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2 4<br />
4 4 γ<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢α<br />
− − ⎥<br />
⎡<br />
rc = ⎢ + ⎥ = ⎢−<br />
+<br />
⎢<br />
⎥ ⎣<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
β<br />
γ α<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4 β β β<br />
2<br />
2<br />
γ 4γ4γ4γ 1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
2<br />
0<br />
cioè qualora il ren<strong>di</strong>mento, quin<strong>di</strong> l'utilità, fosse massimo, il raggio <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza, con<br />
centro sull’asse dei ren<strong>di</strong>menti, è nullo, quin<strong>di</strong> si ha una circonferenza degenere e la scelta<br />
ottima massimizza l’utilità <strong>del</strong> decisore. Questo avviene solo se la frontiera efficiente tange<br />
l'asse dei ren<strong>di</strong>menti nel centro.<br />
Determinata l'utilità attesa da massimizzare e la sua rispettiva curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza si<br />
valutano i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità sopra spiegati.<br />
Il decisore analizza e <strong>di</strong>scute le informazioni ( Rp, σp, σ′ p)<br />
dei punti-portafogli sulla frontiera<br />
efficiente e con queste informazioni per ogni <strong>portafoglio</strong> rischioso efficiente può calcolare:.<br />
- le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> centro, ( Rct ,0 ) , <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza tangente la frontiera efficiente, quin<strong>di</strong><br />
il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento certo corrispondente alla sua massima utilità;<br />
- il raggio <strong><strong>del</strong>la</strong> stessa r c. calcolato come <strong>di</strong>stanza euclidea tra ( )<br />
Rct ,0 e ( Rp,σ p)<br />
,<br />
- il ren<strong>di</strong>mento certo in<strong>di</strong>fferente, ( Rfq,0 ) , a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> rischioso tangente e ottimo<br />
selezionato sulla frontiera ( Rp,σ p)<br />
.
2 2 2<br />
Allora, data l'equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza generale ( x−a) −( y− a) = c = r si ha :<br />
2<br />
2<br />
( Rp− Rct) + p = ( Rct −Rfq)<br />
σ .<br />
Dimostrato che la circonferenza è utilizzabile per sintetizzare l’in<strong>di</strong>fferenza secondo una<br />
funzione <strong>di</strong> utilità quadratica si propone, operando su portafogli efficienti secondo il criterio<br />
me<strong>di</strong>a-varianza, <strong>di</strong> utilizzare le informazioni contenute nella frontiera efficiente per valutare i<br />
parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza e <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore che scegliesse<br />
uno <strong>di</strong> questi punti-<strong>portafoglio</strong> 82. Con questa analisi si possono inoltre valutare l'avversione<br />
al rischio e il grado <strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfazione <strong>del</strong> decisore.<br />
8.4.2 Utilizzo <strong>del</strong>l’arco <strong>di</strong> circonferenza tangente alla frontiera efficiente E-V come<br />
curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza<br />
In E-V l'insieme degli infiniti portafogli efficienti è definito dall'equazione σ P = f( RP)<br />
<strong>di</strong> cui<br />
al paragrafo 3.3. Essa può essere riscritta come<br />
2<br />
σP = [ b0 + bR 1 P + b2 RP<br />
]<br />
12 /<br />
( )<br />
con derivata prima<br />
dσP<br />
b1+ b2RP σ′<br />
P = =<br />
dR<br />
2<br />
P [ b0 + bR 1 P + b2 RP<br />
]<br />
12<br />
2<br />
/<br />
2 ( )<br />
che rappresenta la pendenza <strong><strong>del</strong>la</strong> tangente alla frontiera efficiente in uno qualsiasi dei punti<br />
<strong>del</strong> dominio ed il cui reciproco rappresenta il premio <strong>di</strong> rischio <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente in<br />
quel punto.<br />
In<strong>di</strong>viduato dal decisore un punto-<strong>portafoglio</strong> sulla frontiera, per tale punto-<strong>portafoglio</strong><br />
rischioso sono noti:<br />
- il ren<strong>di</strong>mento atteso;<br />
- lo s.q.m. (e quin<strong>di</strong> il ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong> rischio);<br />
- la derivata prima σ′ P ;<br />
Per determinare la curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza che massimizza l'utilità attesa dall'investitore si<br />
determina prima la retta perpen<strong>di</strong>colare alla tangente nel punto <strong>portafoglio</strong> scelto. Il punto in<br />
cui questa retta interseca l'asse dei ren<strong>di</strong>menti è il centro <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza che tange la<br />
frontiera efficiente nel punto <strong>portafoglio</strong> scelto. E l’arco <strong>di</strong> Nord-Ovest <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza,<br />
fino al punto <strong>di</strong> tangenza, è la curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza che massimizza l'utilità attesa<br />
<strong>del</strong>l'investitore.<br />
Si determinano innanzitutto i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> retta perpen<strong>di</strong>colare alla tangente nel punto<br />
<strong>portafoglio</strong> scelto ( RP, σ P)<br />
. La retta ha equazione generica<br />
σ= q+ mR<br />
82 ROSSI F.A.,"Valutazione <strong>del</strong>l'Avversione al Rischio <strong>del</strong> Decisore dall'Analisi <strong>del</strong>l'Insieme <strong>del</strong>le Alternative<br />
Non Dominate" Atti <strong>del</strong> XII convegno A.M.A.S.E.S, Palermo, Settembre 1988;<br />
ROSSI F.A. GIACOMELLO B., "Valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> Funzione <strong>di</strong> Utilità Quadratica dall'Analisi <strong>del</strong>le Scelte E-V<br />
Efficienti" Atti <strong>del</strong> XVI convegno A.M.A.S.E.S, Trieste, Settembre 1992.<br />
114<br />
2
1<br />
Il coefficiente angolare sarà allora m =−<br />
σ ′ P<br />
e con esso si determina q<br />
σ = mR + q<br />
p p<br />
q= σ p −mRp<br />
La retta avrà allora equazione σ = mR + σp<br />
−mRp.<br />
p mRp<br />
q<br />
Essa interseca l'asse dei ren<strong>di</strong>menti in R =<br />
m m<br />
− + σ<br />
=−<br />
Il centro <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza tangente alla frontiera efficiente nel punto-<strong>portafoglio</strong> cui il<br />
decisore è interessato, Rct , è in<strong>di</strong>viduato dalle coor<strong>di</strong>nate<br />
q<br />
Rct<br />
= −<br />
m<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ,0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
La circonferenza con centro come sopra e tangente il punto-<strong>portafoglio</strong> interessato seca l'asse<br />
dei ren<strong>di</strong>menti nel punto:<br />
q<br />
R<br />
m r<br />
fq =− − c<br />
rc è il raggio <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza e viene determinato attraverso la formula per<br />
calcolare la <strong>di</strong>stanza tra due punti: nel nostro caso il centro ed il punto portofoglio selezionato<br />
2<br />
12 /<br />
⎡⎛<br />
q ⎞ ⎤ 2<br />
rc = ⎢⎜<br />
RP<br />
+ ⎟ + σ P⎥<br />
⎣⎢<br />
⎝ m⎠<br />
⎦⎥<br />
Rfq è il ren<strong>di</strong>mento a rischio zero in<strong>di</strong>fferente a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> rischioso in<strong>di</strong>viduato<br />
dal decisore sulla frontiera.<br />
In presenza <strong>di</strong> un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo R f ed n-1 titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio la frontiera<br />
efficiente é descritta dalla semiretta uscente da ( R f ,0 ) e tangente alla frontiera efficiente nel<br />
caso <strong>di</strong> soli titoli rischiosi con coefficiente angolare σ′ P . Allora si può operare come sopra.<br />
Fig. 37, 38: Frontiere efficienti e curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza in assenza e in presenza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
<strong>del</strong> titolo privo <strong>di</strong> rischio.<br />
115
SIMULAZIONI<br />
Si consideri la frontiera efficiente e i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza utilizzando i cinque titoli aleatori e il<br />
titolo privo <strong>di</strong> rischio già utilizzati nei capitoli precendenti.<br />
La frontiera sia definita da:<br />
( 12. 2932 16876 . R 0. 0606 R )<br />
2<br />
12 /<br />
σ= − +<br />
e il decisore sia interessato al punto-<strong>portafoglio</strong> (19, 1.4510) sulla frontiera efficiente con ren<strong>di</strong>mento atteso 19,<br />
e rischio σ =1.4510.<br />
Per tale punto-<strong>portafoglio</strong> efficiente si ha:<br />
- σ′ P = 02120 .<br />
- Rct = (19.3076, 0)<br />
- R fq = (17.8244, 0)<br />
Quin<strong>di</strong> il decisore che scegliesse il <strong>portafoglio</strong> efficiente rischioso (19, 1.4510) deve considerare l'alternativa a<br />
ren<strong>di</strong>mento certo 17.8244 come in<strong>di</strong>fferente. Inoltre, si verifica che la massimizzazione <strong><strong>del</strong>la</strong> sua funzione <strong>di</strong><br />
utilità si avrebbe con alternativa a ren<strong>di</strong>mento certo 19.3076 che, nel caso in esame, non é <strong>di</strong>sponibile, ve<strong>di</strong> Fig.<br />
39.<br />
Siano dati i cinque titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio A,B,C,D,E, e un'alternativa a ren<strong>di</strong>mento certo R f = 8 . La<br />
frontiera efficiente valutata con i titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio è così determinata:<br />
( 12. 2932 16876 . R 0. 0606 R )<br />
σ= − +<br />
2<br />
12 /<br />
La retta uscente dal punto (8, 0) tange la curva-frontiera efficiente nel punto-<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate (15.43,<br />
0.82).<br />
La semiretta uscente da (8, 0) e tangente in (15.43, 0.82) ha equazione<br />
( 0. 1111R 0. 8888)<br />
σ= −<br />
ed è la nuova frontiera efficiente nel tratto considerato.<br />
Si supponga un investitore interessato ad un <strong>portafoglio</strong> con ren<strong>di</strong>mento aleatorio pari a 15. In questo caso si<br />
avrà (Fig.40):<br />
- Rct = (15.0872, 0)<br />
- R fq =(14.3039, 0)<br />
116
2<br />
12 /<br />
Fig. 39: Data la funzione σ= ( 12. 2932 − 16876 . R + 0. 0606 R ) , e in<strong>di</strong>viduato su <strong>di</strong><br />
essa il <strong>portafoglio</strong> efficiente con ren<strong>di</strong>mento atteso 19 e rischio 1.4510 si valuta in<br />
17.8244 il ren<strong>di</strong>mento certo in<strong>di</strong>fferente associato e in 19.3076 quello che<br />
massimizzerebbe l'utilità <strong>del</strong> decisore<br />
Fig.<br />
40: Data la funzione σ= ( 0. 1111R −0.<br />
8888)<br />
, e in<strong>di</strong>viduato su <strong>di</strong> essa il <strong>portafoglio</strong><br />
efficiente con ren<strong>di</strong>mento atteso 15 e rischio 0.82 si valuta in 14.3039 il ren<strong>di</strong>mento<br />
certo in<strong>di</strong>fferente associato e in 15.0872 quello che massimizzerebbe l'utilità <strong>del</strong><br />
decisore.<br />
117
118<br />
9<br />
MODELLI DI EQUILIBRIO<br />
9.1. Equilibrio <strong>di</strong> mercato<br />
Si definisce mercato <strong>di</strong> capitali in <strong>equilibrio</strong> quel mercato in cui la domanda e l'offerta<br />
totali <strong>di</strong> ciascun titolo sono uguali; in esso si creano prezzi <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> che permettano a<br />
ciascun investitore <strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfare le proprie esigenze 83 .<br />
Per descrivere le ipotesi <strong>di</strong> un mercato finanziario in <strong>equilibrio</strong> si devono considerare tre<br />
concetti base che successivamente verranno strutturati come ipotesi per i singoli mo<strong>del</strong>li.<br />
Principalmente si devono specificare le regole che i partecipanti al mercato devono<br />
rispettare nelle decisioni <strong>di</strong> investimento, quin<strong>di</strong> strutturare il processo per attuare tali<br />
scelte ed infine creare una procedura che renda compatibili le scelte <strong>di</strong> tutti i partecipanti.<br />
9.2. Il Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong> (C.A.P.M.)<br />
Il CAPM é un mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali, sviluppato in<strong>di</strong>pendentemente<br />
da Sharpe, Lintner e Mossin 84 e che ha come proposta finale:<br />
- la misura <strong>di</strong> rischio per qualunque tipo <strong>di</strong> investimento;<br />
- la relazione tra ren<strong>di</strong>mento atteso e rischio <strong>di</strong> ogni attività quando il mercato é in<br />
<strong>equilibrio</strong>.<br />
Questi risultati sono ottenuti introducendo alcune ipotesi comportamentali ed aggregando i<br />
risultati vali<strong>di</strong> per ciascun investitore.<br />
9.2.1. Le ipotesi <strong>del</strong> C.A.P.M.<br />
Per poter formalizzare un mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato é necessario introdurre <strong>del</strong>le<br />
ipotesi semplificatrici sul funzionamento <strong>del</strong> mercato e sul comportamento degli<br />
investitori 85 :<br />
1) assenza <strong>di</strong> costi <strong>di</strong> transazione, altrimenti il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un titolo sarebbe legato<br />
al fatto <strong>di</strong> essere o meno posseduto dall'investitore prima <strong>del</strong> periodo <strong>di</strong> decisione, questo<br />
infatti impe<strong>di</strong>rebbe il verificarsi <strong>del</strong>l'ipotesi n.9;<br />
2) infinita <strong>di</strong>visibilità <strong>del</strong>le attività, necessaria per rendere irrilevante nella scelta la<br />
<strong>di</strong>mensione <strong><strong>del</strong>la</strong> ricchezza <strong>di</strong>sponibile;<br />
3) assenza <strong>di</strong> imposte sui red<strong>di</strong>ti, necessaria per rendere irrilevante la forma nella quale il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo si materializza, sia esso <strong>di</strong>videndo o capital gain;<br />
4) concorrenza perfetta nel mercato dei capitali, per poter supporre che tutti abbiano le<br />
stesse informazioni, il mercato non sia protetto da barriere all'entrata e all'uscita e che<br />
nessuno riesca in<strong>di</strong>vidualmente ad influenzare il prezzo <strong>del</strong> titolo;<br />
5) possibilità <strong>di</strong> ven<strong>di</strong>te illimitate allo scoperto (ovvero possibilità <strong>di</strong> indebitarsi),<br />
necessaria per non dover porre alcun vincolo sul valore che possono assumere le xi;<br />
83 GARBADE K., 1989,.op. cit.<br />
84 LINTNER J., 1965, op. cit., "The Aggregation of Investors Diverse Judgments and Preferences in Purely<br />
Competitive Security Markets", Journal of Financial and Quantitative Analysis, Dicembre, 1969, "The<br />
Market Price of Risk, Size of Market and Investor's Risk Aversion", Review of Economics and Statistics,<br />
1970; MOSSIN J., 1966, op. cit.; SHARPE W.F., 1964, op.cit.<br />
85 ELTON E.J. GRUBER M.J., 1995, op. cit.
6) illimitata possibilità <strong>di</strong> investimento o indebitamento allo stesso tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento o<br />
costo certo Rf con Var(Rf )=0;<br />
7) ven<strong>di</strong>ta e acquisto liberi <strong>di</strong> qualsiasi bene sul mercato;<br />
8) decisione degli operatori, per il medesimo ed unico periodo <strong>di</strong> tempo, solo in base al<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso e allo scarto quadratico me<strong>di</strong>o dei ren<strong>di</strong>menti dei loro portafogli;<br />
9) aspettative omogenee degli operatori sui valori <strong>di</strong> input ( ER ( i) , σ i, ρ ij)<br />
, necessari a<br />
formulare e a risolvere il problema <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
Con le precedenti ipotesi il problema <strong>di</strong> programmazione quadratica può essere risolto in<br />
modo tale da arrivare alla definizione <strong><strong>del</strong>la</strong> Security Market Line 86.<br />
9. 2. La Security Market Line (S.M.L.)<br />
Il problema decisionale che tutti gli operatori, in base all'ipotesi 8), devono affrontare é il<br />
seguente:<br />
⎧<br />
N<br />
N N<br />
min Z =− µ Rp + 05 . Vp =− µ ∑xiRi + 05 . ∑∑xixjσij<br />
⎪ x i=<br />
1 i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎨<br />
N<br />
⎪<br />
xi<br />
=<br />
⎩⎪<br />
con ∑ 1,<br />
vincolo <strong>di</strong> bilancio<br />
i=<br />
1<br />
L'ipotesi 6) suppone inoltre che esista un titolo (o un insieme <strong>di</strong> titoli) privo <strong>di</strong> rischio il cui<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso R1 = Rfcon σ1i = σ i1 = 0...... ∀ i = 1,.....,<br />
N.<br />
Il sistema risolutivo,<br />
valendosi <strong>del</strong> Teorema <strong>di</strong> Separazione (ve<strong>di</strong> cap.3), per la parte rischiosa <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> é:<br />
ovvero:<br />
⎡ σ22 . . σ2<br />
⎢<br />
. .<br />
⎢<br />
⎢ . .<br />
⎢<br />
⎣σ<br />
2 . . σ<br />
Mx = b<br />
N NN N<br />
N<br />
119<br />
⎤⎡<br />
x ⎤ ⎡µ<br />
⎥⎢<br />
.<br />
⎥ ⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ =<br />
⎢<br />
⎥⎢<br />
. ⎥ ⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎦⎣x<br />
⎦ ⎣⎢<br />
µ<br />
2 2<br />
( R − Rf)<br />
.<br />
.<br />
( RN − Rf<br />
)<br />
Se gli investitori hanno aspettative omogenee, come l'ipotesi 9) assicura, essi formuleranno<br />
il problema con i medesimi parametri <strong>di</strong> input arrivando quin<strong>di</strong> tutti alla medesima<br />
soluzione <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>. Ne <strong>di</strong>scende che, se tutti gli operatori<br />
scelgono lo stesso <strong>portafoglio</strong> rischioso, allora, in <strong>equilibrio</strong>, la composizione <strong>di</strong> quel<br />
<strong>portafoglio</strong> deve essere tale per cui tutte le attività sono presenti nella medesima<br />
percentuale w i con cui sono presenti sul mercato, ove<br />
w i =<br />
Valore <strong>di</strong> mercato <strong>del</strong>l'attività i - esima<br />
Valore <strong>di</strong> mercato <strong>di</strong> tutte le attività<br />
86 ELTON E.J. GRUBER M.J., 1995, op. cit; CANDIA B., "<strong>Teoria</strong> e Tecnica <strong><strong>del</strong>la</strong> Gestione Quantitativa", XI<br />
Corso <strong>di</strong> Formazione per Analisti Finanziari, Milano, Settembre 1994.<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦⎥
Una supposizione iniziale per formulare la S.M.L. é quella <strong>di</strong> conoscere la proporzione w i<br />
con la quale una attività é presente sul mercato. Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong><br />
mercato é allora<br />
N<br />
M = ∑ i i<br />
i=<br />
2<br />
R wR<br />
Risulta utile introdurre, prima <strong>di</strong> procedere ulteriormente all’esposizione <strong>del</strong> C.A.P.M., il<br />
seguente TEOREMA 87:<br />
per un dato <strong>portafoglio</strong> P il vettore <strong>del</strong>le covarianze <strong>del</strong>le singole attività rispetto al<br />
<strong>portafoglio</strong> dato è linearmente <strong>di</strong>pendente dal vettore dei ren<strong>di</strong>menti se e solo se il<br />
<strong>portafoglio</strong> P è un <strong>portafoglio</strong> a varianza minima.<br />
Dimostrazione:<br />
la covarianza <strong>del</strong> titolo k-esimo rispetto al ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato risulta<br />
N<br />
N<br />
⎡ ⎛<br />
⎞ ⎤<br />
CovR ( k; RM) = E⎢( Rk −Rk) ⎜∑wR<br />
i i −∑wR<br />
i i⎟⎥<br />
=<br />
⎣ ⎝ i=<br />
2 i=<br />
2 ⎠ ⎦<br />
⎡ ⎛<br />
⎞ ⎤ ⎡<br />
= E⎢R −R w R −R<br />
E w R R R R<br />
⎣ ⎝ i=<br />
2 ⎠ ⎦ ⎣ i=<br />
2<br />
N<br />
N<br />
( k k) ⎜∑<br />
i( i i) ⎟ ⎥ = ⎢∑<br />
i( i − i) ( k − k)<br />
N<br />
N<br />
∑ i [ ( i i) ( k k)<br />
] ∑<br />
= wE R −RR− R = wσ<br />
i=<br />
2 i=<br />
2<br />
espresso dalla combinazione lineare <strong>del</strong>le covarianze <strong>del</strong> titolo k-esimo con gli altri N −1<br />
titoli rischiosi (compreso il titolo k stesso) con pesi wi, proporzione <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong><br />
<strong>del</strong>l’attività i-esima nel <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato. Se e solo se il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato M<br />
risulta efficiente in E-V, allora il vettore x, soluzione <strong>del</strong> problema decisionale, è uguale al<br />
vettore, w, <strong>del</strong>le attività negoziabili detenute proporzionalmente al loro valore:<br />
⎡ σ22 . . . σ2N⎤⎡w2⎤⎡µ<br />
( R2−R ) ⎤ f<br />
⎢<br />
. . . . .<br />
⎥⎢<br />
.<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
.<br />
⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ σi2. . . σiN<br />
⎥⎢<br />
wi<br />
⎥ = ⎢ µ ( Ri − Rf)<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ . . . . . ⎥⎢<br />
. ⎥ ⎢ . ⎥<br />
⎣⎢<br />
σN2. . . σNN⎦⎥⎣⎢wN⎦⎥⎢<br />
⎣<br />
µ ( RN − R ⎥<br />
f ) ⎦<br />
La covarianza <strong>del</strong> titolo k-esimo con il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato si ottiene moltiplicando la iesima<br />
riga <strong>del</strong> sistema solutorio per il vettore w.<br />
87 ve<strong>di</strong> (tra gli altri):<br />
CONSTANTINIDES G.M., MALLIARIS A.G., Portfolio Theory, in JARROW R. ET. AL., Handbooks in OR &MS,<br />
Vol. 9, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 1995.<br />
120<br />
i ik<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=
da cui risulta<br />
⎡ w2<br />
⎤<br />
⎢<br />
.<br />
⎥<br />
N<br />
⎢ ⎥<br />
∑ σik wk<br />
= σi2σ iN µ<br />
k = 2<br />
⎢ . ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣w<br />
⎦<br />
[ . . . ] ⎢ . ⎥ = ( R − R ) = Cov( R , R )<br />
N<br />
( k, M) = µ ( k − f )<br />
121<br />
k f k M<br />
Cov R R R R<br />
<strong>di</strong>mostrando che la covarianza <strong>del</strong> titolo k-esimo con il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato è<br />
linearmente <strong>di</strong>pendente dal ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo k-esimo, in<strong>di</strong>pendentemente dalla matrice<br />
varianza-covarianza.<br />
Dato che questa equazione deve valere per qualunque titolo e per qualunque <strong>portafoglio</strong><br />
efficiente la si può applicare al <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato, e visto che Cov( R M, R M) = σ M<br />
2 , si<br />
ottiene<br />
e<br />
( R R )<br />
2<br />
σ = µ −<br />
M M f<br />
µ =<br />
2<br />
σ<br />
M<br />
( RM − Rf<br />
)<br />
µ viene considerato misura sintetica <strong>del</strong> grado <strong>di</strong> propensione al rischio <strong>del</strong> decisore (ve<strong>di</strong><br />
paragrafo 3.4) e ora è leggibile anche come rischio sistematico <strong>di</strong> mercato per unità <strong>di</strong><br />
premio.<br />
Se si sostituisce il valore trovato <strong>di</strong> µ nell'equazione precedente si ha:<br />
( )<br />
Cov R , R =<br />
i M<br />
σ 2<br />
M ( Ri − Rf<br />
)<br />
( RM − Rf<br />
)<br />
Isolando R i si ottiene la Security Market Line (Fig. 41) 88:<br />
R = R +<br />
i f<br />
( )<br />
( M − f )<br />
R R Cov R R R R R<br />
σ<br />
,<br />
2<br />
M<br />
( i M) = f + β i( M − f )<br />
Cov R<br />
88 i, RM<br />
Il coefficiente β i =<br />
è dato dal rapporto tra la covarianza, <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo<br />
2<br />
σ M<br />
con il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> mercato, ed il rischio <strong>di</strong> mercato.
Fig. 41: Security Market Line con specificazione <strong>del</strong>le possibili interpretazioni <strong>di</strong> β i<br />
Un'analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> S.M.L. permette <strong>di</strong> evidenziare alcune sue caratteristiche:<br />
- R f ed R M non sono funzioni <strong><strong>del</strong>la</strong> singola attività, visto che sono parametri <strong>del</strong> problema;<br />
- la misura adeguata <strong>del</strong> rischio sistematico <strong>del</strong>l'attività con il mercato é rappresentata dal<br />
suo β i, variazione me<strong>di</strong>a <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo a seguito <strong><strong>del</strong>la</strong> variazione <strong>del</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato;<br />
- per β i = 0 si ha Ri= Rf:<br />
attività non rischiose hanno ren<strong>di</strong>mento uguale al solo prezzo<br />
<strong>del</strong> tempo, essendo nulla la covarianza con il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> mercato;<br />
- per βi = 1 si ha Ri= RM:<br />
l’attività deve avere ren<strong>di</strong>menti uguali a quelli <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong><br />
mercato;<br />
- per β i >1 l'attività i-esima comporta un rischio maggiore <strong>di</strong> quello <strong>del</strong> mercato e quin<strong>di</strong><br />
da essa si attendono profitti maggiori <strong>di</strong> quelli <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato e per<strong>di</strong>te<br />
maggiori <strong>di</strong> quelle <strong>del</strong> mercato, venendo così definita attività aggressiva;<br />
- per 0
acquisto e <strong>di</strong> ven<strong>di</strong>ta, con ren<strong>di</strong>mento a rischio nullo, che riportano il titolo in questione<br />
sui valori definiti dalla S.M.L. .<br />
Si supponga, ad esempio, che la S.M.L. <strong>di</strong> un mercato sia la seguente:<br />
( β 10 15) 10 β ( 15 10)<br />
Ri = f i Rf = ; RM<br />
= = + i − .<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> mercato in corrispondenza <strong>di</strong> un titolo T1 con β1=2 sarà<br />
R1 = 10 + 2 × 5 = 20 .<br />
Se però sul mercato fosse presente un titolo T2 con β2=2 che presenta un ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
<strong>di</strong> 30 risulta conveniente acquistarlo, finanziandosi con la ven<strong>di</strong>ta (anche allo scoperto) o<br />
indebitandosi nel titolo T1. Infatti vendendo allo scoperto il titolo T1 si riceve nel momento<br />
<strong>del</strong> perfezionamento <strong>del</strong>l’atto un controvalore, ipotizziamo pari a 100, da investire<br />
integralmente nell’acquisto <strong>del</strong> titolo T2. In un contesto uniperiodale, al termine<br />
<strong>del</strong>l’investimento il montante maturato sul titolo T2 pari a 130, <strong>di</strong> cui 100 <strong>di</strong> quota capitale<br />
e 30 <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, consente <strong>di</strong> chiudere la posizione aperta sul titolo T1 versando 120<br />
complessive (100 rimborso <strong>del</strong> capitale e 20 rimborso <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento) ottenendo un<br />
guadagno <strong>di</strong> 10. Il rischio <strong>del</strong>l’operazione è nullo in quanto i due titoli hanno lo stesso<br />
valore β.<br />
Gli importanti risultati ottenuti <strong>di</strong>pendono evidentemente dalla presenza <strong>del</strong>le nove ipotesi<br />
sottostanti il C.A.P.M.. Si deve notare però che il venir meno <strong>di</strong> una o piú ipotesi, fuorchè<br />
per la 4 e la 9 che sono ipotesi fondamentali, rende il mo<strong>del</strong>lo piú complesso, ma<br />
comunque in grado <strong>di</strong> ritornare a <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong>. Inoltre, si riesce a<br />
mantenere la maggior parte <strong>del</strong>le conclusioni anche in assenza <strong>di</strong> una o piú <strong>del</strong>le ipotesi<br />
sottostanti.<br />
Il limite dato dalla presenza, spesso obbligata, <strong>del</strong>le nove ipotesi si contrappone<br />
comunque alle molte caratteristiche positive <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo C.A.P.M. che lo portano ad<br />
essere scelto per l'analisi <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, avendo utilizzato il “single index mo<strong>del</strong>”, in<br />
alternativa al mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Markowitz. Come è stato precedentemente detto per valutare il<br />
rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> secondo il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Markowitz si deve calcolare la varianza <strong>di</strong> ogni<br />
attività e le loro rispettive covarianze, mentre con il C.A.P.M. si devono calcolare le<br />
singole varianze e le sole covarianze con l'in<strong>di</strong>ce preso in considerazione come me<strong>di</strong>a<br />
ponderata <strong>di</strong> tutti gli investimenti. Di conseguenza, i costi <strong>di</strong> rilevazione e calcolo vengono<br />
notevolmente <strong>di</strong>minuiti senza però perdere informazioni utili per la determinazione <strong>del</strong><br />
rischio e <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'attività analizzata. Infatti tale mo<strong>del</strong>lo tiene in<br />
considerazione:<br />
a) un in<strong>di</strong>ce, l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato che riassume le informazioni <strong>di</strong>sponibili sulle attività<br />
rischiose che entrano a far parte <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> attività finanziarie <strong>del</strong>l'investitore;<br />
b) un'attività priva <strong>di</strong> rischio;<br />
tutti elementi che ci permettono <strong>di</strong> conoscere il mercato finanziario nella sua globalità.<br />
Infine, risulta utile sottolineare che l'unica stima che deve essere effettuata per ogni<br />
titolo nel mo<strong>del</strong>lo C.A.P.M. è quella <strong>del</strong> rischio dei singoli titoli, misurato dal coefficiente<br />
β, poichè nella relazione entrano le sole stime <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento dall'attività priva <strong>di</strong> rischio<br />
e <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato, stime che poi verranno utilizzate per tutto l'insieme <strong>del</strong>le attività<br />
considerate.<br />
123
9.3. L'Arbitrage Pricing Theory (A.P.T.)<br />
Tale mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali é una generalizzazione dei mo<strong>del</strong>li<br />
multifattoriali <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> 89. In questa luce, il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe<br />
rappresenta un mo<strong>del</strong>lo unifattoriale. Il contributo dato da Ross, infatti, consiste nell’aver<br />
trovato le con<strong>di</strong>zioni sufficienti <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato <strong>di</strong> cui si conosce, per ipotesi, il<br />
processo che genera i ren<strong>di</strong>menti dei titoli (un mo<strong>del</strong>lo multifattoriale appunto).<br />
9.3.1 Le ipotesi <strong>del</strong>l'A.P.T.<br />
Il mo<strong>del</strong>lo A.P.T. è derivato sotto la consueta ipotesi <strong>di</strong> mercati perfettamente competitivi<br />
e privi <strong>di</strong> attriti.<br />
Come nel precedente mo<strong>del</strong>lo anche in questo si devono introdurre le ipotesi base che ne<br />
permettono la sua formulazione:<br />
1) tutti gli operatori sono consapevoli che i ren<strong>di</strong>menti dei titoli sul mercato sono<br />
linearmente collegati ad un insieme <strong>di</strong> più in<strong>di</strong>ci:<br />
Ri = ai + bi1I1+ bi2I2+ ..... + bikIk + ei<br />
con<br />
i= 1,...,<br />
N<br />
j = 1,...,<br />
k<br />
dove:<br />
ai costante, <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, in<strong>di</strong>pendente dai fattori esplicativi;<br />
I j fattore esplicativo;<br />
bij sensitivitá <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo a variazioni <strong>del</strong> valore <strong>del</strong> j-esimo<br />
fattore esplicativo;<br />
2<br />
ei errore casuale con Ee ( i) = 0;<br />
Vare ( i) = σe che rappresenta il rischio non<br />
i<br />
sistematico <strong>del</strong>l’i-esima attività.<br />
Questa ipotesi sostituisce il criterio E-V come mo<strong>del</strong>lo decisionale <strong>del</strong> C.A.P.M.;<br />
2) aspettative omogenee per tutti gli operatori che:<br />
-adoperano il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> cui all'ipotesi 1) come unico criterio decisionale;<br />
-conoscono tutti i fattori esplicativi I j ;<br />
-stimano ai, bij ed ei <strong>di</strong> tutti i titoli nello stesso modo;<br />
3) ipotesi sulle covarianze:<br />
Cov e , e = 0 , ∀i≠ k , cioè gli errori relativi a due titoli <strong>di</strong>versi non sono correlati fra<br />
( )<br />
i k<br />
[ ]<br />
loro, Cov ei ( I j I j)<br />
, − = 0 , cioè non c'è correlazione tra l'errore relativo al titolo i-esimo e<br />
l'in<strong>di</strong>ce j-esimo, ∀ i e j;<br />
4) il numero dei titoli N deve essere grande a tal punto da poter applicare la legge dei<br />
gran<strong>di</strong> numeri;<br />
5) illimitata possibilitá <strong>di</strong> ven<strong>di</strong>te allo scoperto.<br />
9.3.2 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong><br />
89 ROLL R.: "A Critique of the Asset Pricing Theory's Tests", Journal of Financial Economics, Marzo 1978;<br />
ROSS S. A. "The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing", Journal of Economic Theory, Dicembre 1976;<br />
"Return Risk and Arbitrage", Risk and Return in Finance, I.Friend & J.L. Bicksler E<strong>di</strong>tion, Cambridge,<br />
Mass., 1977.<br />
124
Secondo il mo<strong>del</strong>lo esplicativo <strong><strong>del</strong>la</strong> determinazione dei ren<strong>di</strong>menti tramite l'insieme <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>ci, il valore atteso <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> ogni titolo é dato da:<br />
Ri = ai + bi1I1+ bi2I2 + ..... + bikIk Il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> qualunque <strong>portafoglio</strong> P é dato da:<br />
N<br />
P = ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
R x R<br />
ove xi è il valore <strong>del</strong>l'investimento nel titolo i-esimo e non le quote, come era invece<br />
considerato nei capitoli precedenti.<br />
Il rischio <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> P é formato da tante componenti quanti sono i<br />
fattori esplicativi:<br />
N<br />
N<br />
∑ ∑ ∑<br />
b = xb ; b = xb ; .........; b = xb<br />
P1 i i1<br />
P2 i i2<br />
Pk i ik<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
ed inoltre dal rischio inserito dalla componente erratica:<br />
N<br />
P = ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
e x e<br />
La con<strong>di</strong>zione sufficiente affinché sia valido il mo<strong>del</strong>lo A.P.T. é che sul mercato ci sia un<br />
numero sufficiente <strong>di</strong> alternative d'investimento in modo tale che non possano esistere<br />
portafogli d'arbitraggio, cioé portafogli con ren<strong>di</strong>mento positivo ma rischio ed<br />
investimento netto nullo. In termini matematici un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> arbitraggio è<br />
caratterizzato dalle seguenti equazioni:<br />
1. il vincolo <strong>di</strong> bilancio é nullo: la quantitá <strong>di</strong> capitale impiegata deve essere nulla. Gli<br />
acquisti e le ven<strong>di</strong>te <strong>di</strong> titoli devono cioé compensarsi esattamente.<br />
N<br />
∑ xi = 0<br />
i=<br />
1<br />
2. il <strong>portafoglio</strong> d'arbitraggio deve permettere guadagni a rischio nullo, quin<strong>di</strong> tutte le<br />
componenti <strong>di</strong> rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> (cioè rischio <strong>di</strong>versificabile o non sistematico e<br />
rischio sistematico) devono essere nulle:<br />
e<br />
N<br />
N<br />
∑ ∑ ∑<br />
b = x b = 0 ; b = x b = 0 ;.........; b = x b = 0<br />
P1 i i1<br />
P2 i i2<br />
Pk i ik<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
N<br />
P ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
e = xe ≅0,<br />
cioè eP tende asintoticamente a 0 secondo le ipotesi 3 e 4<br />
3. il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> arbitraggio deve risultare strettamente maggiore<br />
<strong>di</strong> zero:<br />
N<br />
P ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
R = x R > 0<br />
In un mercato in <strong>equilibrio</strong> non possono esistere opportunitá <strong>di</strong> arbitraggio non rischiose.<br />
Ovvero qualunque <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> arbitraggio a rischio nullo non puó che dare un<br />
ren<strong>di</strong>mento nullo. Quin<strong>di</strong> le precedenti equazioni in una situazione <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> implicano:<br />
N<br />
P ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
R = x R = 0<br />
125<br />
N<br />
N
Per poter raggiungere la specificazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo si deve introdurre il seguente teorema<br />
(Minkowski-Farkas) 90:<br />
PROPOSIZIONE: siano w1, w2,..., wm e z vettori non nulli in ℜ n . Posto wx ′ = 0 per tutti<br />
gli x tali che wx ′ i = 0 con i = 1, ..., m, con x ∈ ℜ n . Esistono allora m numeri reali non<br />
negativi λ1 , λ2, ... λm, non tutti nulli, tali che<br />
m<br />
= ∑ λi i=<br />
1<br />
z wi. Nel caso in esame, le suddette con<strong>di</strong>zioni 1. e 2. per la determinazione <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong><br />
arbitraggio implicano che il vettore x sia ortogonale ad altri k+1 vettori: un vettore unitario<br />
1 (che rappresenta il vincolo <strong>di</strong> bilancio) e k vettori bj con j=1, ..., k (che esprimono la<br />
sensibilità <strong>del</strong> vettore dei ren<strong>di</strong>menti al fattore j-esimo). Se il mercato è in <strong>equilibrio</strong> non<br />
sono possibili portafogli <strong>di</strong> arbitraggio e quin<strong>di</strong> il vettore x è ortogonale anche al vettore<br />
dei ren<strong>di</strong>menti attesi R . In base al teorema <strong>di</strong> Minkowski-Farkas, poichè il vettore x è<br />
ortogonale sia al vettore R , Rx = 0, sia a k+1 vettori, 1x = 0 e bx ′ j = 0 , con j = 1, .., k<br />
allora esistono k+1 coefficienti non negativi λ0 , λ2, ... λk tali che<br />
ovvero<br />
R = λ0⋅ 1+ λibj<br />
=<br />
126<br />
k<br />
∑<br />
i 1<br />
Ri = λ0 + λ1bi1+ λ2bi2 + ..... + λkbik.<br />
In questo modo il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> titolo i-esimo può essere espresso come<br />
combinazione lineare <strong>di</strong> un vettore <strong>di</strong> 1 e <strong>di</strong> k vettori bj con j=1, ..., k.<br />
Se consideriamo un’attività priva <strong>di</strong> rischio con ren<strong>di</strong>mento Rf (risk-free), essa avrà tutti i<br />
bij pari a zero in quanto non è sensibile alle variazioni dei k fattori esplicativi Ij.<br />
L’equazione precedente risulta quin<strong>di</strong>:<br />
R f =λ 0<br />
dalla quale risulta che il coefficiente λ0 è pari al tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’attività senza<br />
rischio.<br />
Se consideriamo ora un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> attività rischiose con ren<strong>di</strong>mento atteso δ 1 e con<br />
sensibilità unitaria al fattore <strong>di</strong> rischio I1 (quin<strong>di</strong> con bi1 = 1 e bij = 0 con j=2,...,k)<br />
possiamo riscrivere l’equazione precedente come<br />
δ1 λ11<br />
= + R f<br />
da cui si ricava λ1 = δ1−<br />
Rf .<br />
Procedendo in modo analogo si può considerare l’equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
nell’ipotesi <strong>di</strong> assenza <strong>di</strong> arbitraggio come:<br />
R = R + δ − R b + δ − R b + + δ − R b<br />
( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ..... ( )<br />
i f f i f i k f ik<br />
In generale, il coefficiente λj (j=1,...,k) può essere interpretato come premio per il rischio,<br />
in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong>, per il j-esimo fattore. Il premio per il rischio λj risulta pari alla<br />
<strong>di</strong>fferenza fra:<br />
90 Per la <strong>di</strong>mostrazione <strong>del</strong> teorema e per maggiori approfon<strong>di</strong>menti in merito si vedano, tra gli altri,<br />
CASTAGNOLI E. PECCATI L., Matematica per l’analisi economica - Ottimizzazione statica e <strong>di</strong>namica,<br />
ETASLIBRI, Milano, 1979;<br />
TAKAYAMA A., Mathematical Economics, Cambridge University Press, London, 1985.
• il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> con sensibilità unitaria al j-esimo fattore e<br />
sensibilità nulla rispetto agli altri k-1 fattori<br />
• il tasso risk-free, Rf.<br />
Se si stima l’equazione precedente a minimi quadrati or<strong>di</strong>nari91 i coefficienti bij saranno<br />
dati da:<br />
Cov( Ri,δj)<br />
bij<br />
=<br />
Var(<br />
δ j )<br />
in tal caso i bij vengono definiti nello stesso modo dei βi <strong>del</strong> CAPM. In quest’ottica il<br />
CAPM può essere interpretato come un mo<strong>del</strong>lo APT in cui il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
<strong>di</strong> mercato risulta essere l’unico fattore esplicativo <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>le singole attività<br />
rischiose.<br />
L’APT si rivela quin<strong>di</strong> un mo<strong>del</strong>lo caratterizzato da una generalità maggiore rispetto al<br />
CAPM ed inoltre si basa su ipotesi meno stringenti in quanto92: • non formula alcuna ipotesi sulla <strong>di</strong>stribuzione dei ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le singole attività;<br />
• permette ai ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong>le attività <strong>di</strong> essere <strong>di</strong>pendenti da più fattori e<br />
non solo dal ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato, come fa, riduttivamente, il CAPM;<br />
• consente <strong>di</strong> determinare il prezzo relativo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>di</strong> un qualsiasi sottoinsieme <strong>di</strong><br />
attività senza dover necessariamente considerare l’intero mercato;<br />
• non richiede che il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato sia efficiente;<br />
• non impone ipotesi circa la funzione <strong>di</strong> utilità degli in<strong>di</strong>vidui.<br />
Nell’ambito <strong>del</strong>le scelte <strong>di</strong> investimento il decisore deve costantemente valutarne il<br />
ren<strong>di</strong>mento ed il rischio. In questo contesto il CAPM si rivela uno strumento più<br />
approssimativo <strong>del</strong>l’APT ai fini decisionali. Il CAPM misura il rischio in una sola<br />
<strong>di</strong>mensione mentre l’APT consente <strong>di</strong> identificare più portafogli con uguale ren<strong>di</strong>mento e<br />
con <strong>di</strong>verse combinazioni dei coefficienti <strong>di</strong> sensibilità ai fattori <strong>di</strong> rischio sottostanti.<br />
Infatti non è in<strong>di</strong>fferente scegliere tra due portafogli che presentano lo stesso grado <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento, ma con rischio complessivo <strong>di</strong>stribuito su più fattori che lo generano. Se<br />
ipotizziamo che il rischio sia generato da inflazione e produzione industriale un soggetto<br />
potrebbe preferire un <strong>portafoglio</strong> il cui rischio <strong>di</strong>pende per il 70% dall’inflazione e per il<br />
30% dalla produzione industriale mentre un altro soggetto, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento e rischio<br />
complessivo, potrebbe preferire un <strong>portafoglio</strong> con il 25% <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong>pendente<br />
dall’inflazione ed il 75% <strong>di</strong>pendente dalla produzione industriale.<br />
Allo scopo <strong>di</strong> applicare il mo<strong>del</strong>lo APT è necessario determinare i fattori esplicativi dei<br />
ren<strong>di</strong>menti. A tal fine sono stati proposti due <strong>di</strong>fferenti approcci.<br />
Un primo approccio identifica le variabili esplicative Ij sulla base <strong>del</strong>le teorie economiche.<br />
Un mo<strong>del</strong>lo a quattro fattori proposto da Chen, Roll e Ross 93 ha specificato quattro<br />
variabili economiche quali fattori generatori dei ren<strong>di</strong>menti in quanto influenzano o la<br />
91si considerano valide implicitamente le ipotesi sottostanti al generale problema <strong>di</strong> minimizzazione a minimi<br />
quadrati or<strong>di</strong>nari.<br />
92COPELAND T. E. e WESTON J. F., Financial Theory and Corporate Policy, Ad<strong>di</strong>son Wesley, Rea<strong>di</strong>ng<br />
Mass., 1988.<br />
127
<strong>di</strong>mensione dei futuri flussi <strong>di</strong> cassa derivanti dalla detenzione <strong>del</strong> titolo o il valore dei<br />
futuri flussi <strong>di</strong> cassa:<br />
1. il tasso <strong>di</strong> crescita <strong><strong>del</strong>la</strong> produzione industriale, in quanto influenza le opportunità <strong>di</strong><br />
investimento e quin<strong>di</strong> il valore reale dei flussi <strong>di</strong> cassa;<br />
2. il tasso <strong>di</strong> inflazione non anticipato, che manifesta un impatto sia sul tasso <strong>di</strong> sconto che<br />
sul valore dei flussi;<br />
3. la struttura a termine dei tassi <strong>di</strong> interesse, espressa dal <strong>di</strong>fferenziale tra tasso <strong>di</strong><br />
interesse a lungo e a breve che influenza il valore dei pagamenti in relazione all’epoca<br />
<strong>di</strong> scadenza;<br />
4. il premio al rischio, stimato come <strong>di</strong>fferenza nel ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> titoli con rating (Aaa) e<br />
(Baa), cioè tra titoli con <strong>di</strong>verso grado <strong>di</strong> rischio per misurare la reazione <strong>del</strong> mercato al<br />
rischio.<br />
Altri autori hanno suggerito <strong>di</strong> inserire tra i fattori esplicativi anche l’andamento<br />
<strong>del</strong>l’economia mon<strong>di</strong>ale in relazione alla correlazione positiva esistente tra gli andamenti<br />
dei prezzi dei titoli azionari nelle varie borse mon<strong>di</strong>ali e i movimenti valutari in relazione<br />
alla struttura e alla valuta <strong>di</strong> denominazione degli investimenti <strong>del</strong>le società quotate.<br />
Un secondo approccio per identificare i fattori generanti i ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le attività<br />
rischiose stu<strong>di</strong>ate consiste nell’utilizzo <strong>del</strong>l’analisi fattoriale, un corpo <strong>di</strong> tecniche che<br />
consente <strong>di</strong> spiegare o <strong>di</strong> rappresentare determinate relazioni osservate per mezzo <strong>di</strong><br />
variabili in<strong>di</strong>pendenti (fattori). Consiste nell’estrarre un numero limitato <strong>di</strong> fattori<br />
in<strong>di</strong>pendenti sulla base <strong>del</strong>le correlazioni tra le variabili osservate. Uno dei meto<strong>di</strong><br />
fondamentali per l’analisi fattoriale è dato dall’analisi <strong>del</strong>le componenti principali. In tal<br />
caso è possibile identificare degli in<strong>di</strong>ci che non hanno una specificazione economica, ma<br />
che derivano dalle prime componenti principali estratte dalle stesse variabili osservate,<br />
come visto nel capitolo 7.<br />
93CHEN N., ROLL R. E ROSS S., Economic Forces and the Stock Market, Journal of Business, 59, 1986, pagg.<br />
386-403.<br />
128
Misure <strong>di</strong> Performance<br />
Performance assoluta<br />
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o<br />
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o Geometrico<br />
Mean Excess Return<br />
Misure <strong>di</strong> Rischio<br />
Volatilità (Standard Deviation)<br />
Volatilità attesa (EWMA volatility)<br />
Downside Deviation<br />
Tracking Error<br />
Var<br />
Misure <strong>di</strong> Rischio/Ren<strong>di</strong>mento<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sortino<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani<br />
Information Ratio<br />
Analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> correlazione<br />
Coefficiente <strong>di</strong> correlazione<br />
Alfa<br />
Beta<br />
Alfa <strong>di</strong> Jensen<br />
Allegato<br />
In<strong>di</strong>catori <strong>di</strong> Performance<br />
Granularità:<br />
se tutti gli in<strong>di</strong>catori sono espressi su base giornaliera il fattore <strong>di</strong> annualizzazione = 252<br />
Misure <strong>di</strong> Performance<br />
Performance assoluta<br />
Rappresenta l’incremento <strong>di</strong> valore percentuale <strong>del</strong>l’asset considerato.<br />
V F<br />
V I<br />
= Valore finale <strong>del</strong>l’asset<br />
= Valore inziale <strong>del</strong>l’asset<br />
⎛V<br />
F ⎞<br />
Total Return =<br />
⎜ −1 ⎟<br />
⎝ VI<br />
⎠<br />
129
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o<br />
E’ la semplice me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti giornalieri, calcolata sommando i risultati <strong>di</strong> ciascun<br />
periodo e <strong>di</strong>videndo il totale per il numero dei perio<strong>di</strong>.<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
N<br />
∑<br />
I =1<br />
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o = N<br />
R<br />
i<br />
= R<br />
Dato annualizzato<br />
Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o annualizzato = R * 252 = R a<br />
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o Geometrico<br />
E’ la me<strong>di</strong>a geometrica dei ren<strong>di</strong>menti giornalieri. Rappresenta il ren<strong>di</strong>mento giornaliero<br />
da attribuire ad ogni periodo per arrivare ad ottenere a fine periodo il ren<strong>di</strong>mento composto<br />
<strong>di</strong> periodo corrispondente.<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
V F = Valore finale <strong>del</strong>l’asset<br />
V I = Valore inziale <strong>del</strong>l’asset<br />
VF<br />
Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico = N −1<br />
= R G<br />
V<br />
Dato annualizzato<br />
Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato = ( 1 ) −1<br />
I<br />
130<br />
+ G<br />
252<br />
R G<br />
R = a
Mean Excess Return<br />
Rappresenta la me<strong>di</strong>a <strong><strong>del</strong>la</strong> performance relativa rispetto ad un Benchmark definito.<br />
N = numero <strong>di</strong> perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
RD i = Ren<strong>di</strong>mento Benchmark periodo i<br />
Mean Excess Return = ER =<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( R −RD)<br />
Dato annualizzato<br />
Se per il ren<strong>di</strong>mento annualizzato utilizziamo il ren<strong>di</strong>mento composto allora<br />
RG a = ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato<br />
RD G a<br />
= ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato <strong>del</strong> Benchmark<br />
Mean Excess Return annualizzato = RGa - RD G a = ER a<br />
Se invece si usa il ren<strong>di</strong>mento non composto<br />
Mean Excess Return annualizzato = ER * 252<br />
Misure <strong>di</strong> Rischio<br />
Volatilità (Standard Deviation)<br />
Serve a misurare la <strong>di</strong>spersione me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti. Misura il grado <strong>di</strong> variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti intorno alla me<strong>di</strong>a. E’ spesso utilizzata come misura <strong>del</strong> rischio<br />
<strong>del</strong>l’investimento.<br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
R = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti R<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
Standard Deviation = σ R =<br />
N<br />
∑<br />
I = 1<br />
i<br />
N<br />
( R − R )<br />
i<br />
N −1<br />
Dato annualizzato<br />
Standard Deviation Annualizzata = σ R * 252 = σ Ra<br />
Volatilità attesa (EWMA volatility)<br />
(Exponentially Weighted Moving Average Standard Deviation )<br />
E’ uno stimatore <strong>del</strong>le volatilità, che permette <strong>di</strong> catturare la <strong>di</strong>namicità dei ren<strong>di</strong>menti<br />
<strong>del</strong>le attività finanziarie dando maggior enfasi alle osservazioni più recenti. In particolare<br />
2<br />
131<br />
i
il suo utilizzo permette <strong>di</strong> considerare gli shock più recenti cui è stato soggetto il mercato e<br />
<strong>di</strong> mantenere memoria (effetto <strong>di</strong> persistenza tipico <strong>del</strong>le serie finanziarie) per perio<strong>di</strong> più o<br />
meno lunghi, in funzione <strong>del</strong> valore attribuito al fattore <strong>di</strong> deca<strong>di</strong>mento (decay factor), e<br />
quin<strong>di</strong> al sistema <strong>di</strong> pesi esponenziali.<br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
R = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti R<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
λ = Decay Factor =0.94 (cfr. Risk Metrics® J.P.Morgan per dati giornalieri)<br />
Standard Deviation = σ ewR<br />
= ( 1−<br />
λ ) * ∑ λ * ( R −<br />
132<br />
N<br />
i=<br />
1<br />
i−1<br />
Dato annualizzato<br />
Standard Deviation Annualizzata = σ ewR<br />
* 252 = σ ewRa Nota<br />
Per avere valori “atten<strong>di</strong>bili” si consiglia <strong>di</strong> considerare almeno 3 mesi <strong>di</strong> dati giornalieri<br />
(circa 70 osservazioni). Con una numerosità dei dati bassa possono esserci alcuni<br />
problemi:<br />
T<br />
i−1<br />
1<br />
Utilizzando lo stimatore Ewma, si applica l’approssimazione : ∑ λ ≅<br />
j=<br />
1 ( 1−<br />
λ)<br />
Le due espressioni sono equivalenti per T → ∞ .<br />
Per valori <strong>di</strong> T bassi i valori così ottenuti non sono confrontabili con il mo<strong>del</strong>lo <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
volatilità non esponenziale. Il numero <strong>di</strong> osservazioni è inoltre collegato al livello <strong>di</strong><br />
confidenza <strong>del</strong> risultato: con il fattore <strong>di</strong> decay scelto (0.94) per avere un grado <strong>di</strong><br />
confidenza <strong>del</strong>l’1% occorre avere almeno 74 osservazioni (Cfr. Riskmetrics Technical<br />
Document pag. 79)<br />
Downside Deviation<br />
Rappresenta la deviazione standard in cui vengono considerati però solo i ren<strong>di</strong>menti<br />
inferiori ad un certo livello minimo (solitamente il livello minimo è 0)<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
Li = R i se R i< 0; 0 se R i≥ 0<br />
Downside Deviation =<br />
N<br />
∑<br />
I =1<br />
( L)<br />
N<br />
2<br />
= R D σ<br />
Dato annualizzato<br />
Downside Deviation annualizzata = R D σ * 252 = σ<br />
DRa i<br />
R)<br />
2
Tracking Error (Volatility)<br />
In<strong>di</strong>ca la variabilità <strong>del</strong>le <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento tra l’asset considerato e il benchmark.<br />
Fornisce in<strong>di</strong>cazioni sulla rischiosità che si sopporta investendo nel fondo anziché detenere<br />
<strong>di</strong>rettamente il benchmark. Quin<strong>di</strong>, in<strong>di</strong>ca quanto rischio corre il gestore per avere un<br />
determinato <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento. Da tale analisi possiamo valutare se un gestore<br />
adotta una strategia attiva o passiva.<br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
RD i = Ren<strong>di</strong>mento Benchmark periodo i<br />
Tracking Error Volatility =<br />
N<br />
∑<br />
I = 1<br />
( R − RD )<br />
i<br />
N −1<br />
i<br />
2<br />
133<br />
=TEV<br />
Dato annualizzato = Daily Tracking Error* 252 = TEVa<br />
VaR (Value at Risk)<br />
Il VaR è una stima, con un adeguato intervallo <strong>di</strong> confidenza, <strong>del</strong>le massime per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> un<br />
determinato <strong>portafoglio</strong>, in un determinato intervallo <strong>di</strong> tempo.<br />
σ R = Standard Deviation giornaliera<br />
α = grado <strong>di</strong> confidenza<br />
p = intervallo <strong>di</strong> tempo<br />
c = valore associato nella tavola <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione, al grado <strong>di</strong> confidenza scelto (α)<br />
VAR = c* σ R * p<br />
Misure <strong>di</strong> Rischio/Ren<strong>di</strong>mento<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe<br />
E’ la più utilizzata misura <strong>di</strong> Risk Adjusted Performance, cioè misure che considerano<br />
congiuntamente rischio e ren<strong>di</strong>mento. Rappresenta una misura <strong>del</strong> premio al rischio<br />
calcolato su basi unitarie, cioè su ogni unità <strong>di</strong> rischio.<br />
RG a = Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
σ = Standard Deviation annualizzata<br />
a<br />
R<br />
RRF a = Ren<strong>di</strong>mento annuo <strong>del</strong>l’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )
⎛ RG<br />
a − R ⎞<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe = ⎜<br />
RF a<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ σ Ra<br />
⎠<br />
Molto <strong>di</strong>ffusa è la versione con il ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o annuo invece che quello geometrico;<br />
si ritiene più corretta questa in<strong>di</strong>cazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento.<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sortino<br />
Un’altra misura <strong>di</strong> rischio/ren<strong>di</strong>mento, rappresenta il sovra-ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong><br />
volatilità negativa (la volatilità dei soli ren<strong>di</strong>menti negativi). Il sovra-ren<strong>di</strong>mento può<br />
essere calcolato rispetto al benchmark o rispetto all’attività priva <strong>di</strong> rischio.<br />
RG a = Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato<br />
RRF a = Ren<strong>di</strong>mento annuo <strong>del</strong>l’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )<br />
σ DRa = Downside Deviation<br />
⎛ R<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sortino = ⎜ Ga<br />
− R<br />
⎜<br />
⎝ σDRa<br />
RF<br />
a ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani<br />
E’ un in<strong>di</strong>ce che permette <strong>di</strong> confrontare asset con lo stesso obiettivo d’investimento<br />
(medesimo benchmark) portandoli ad un uguale livello <strong>di</strong> rischio, cioè variando la loro<br />
rischiosità fino a farla coincidere con quella <strong>del</strong> benchmark e in seguito calcolando il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’asset mo<strong>di</strong>ficato.<br />
In pratica, per ciascun asset con un dato rischio e ren<strong>di</strong>mento, la misura <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani<br />
determina il ren<strong>di</strong>mento che l’asset avrebbe avuto se avesse assunto lo stesso livello <strong>del</strong><br />
rischio <strong>del</strong> Benchmark. E’ analogo all’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe, ma mentre il primo rappresenta un<br />
“coefficiente”, l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani è espresso con un valore percentuale, è cioè un “<br />
ren<strong>di</strong>mento”.<br />
RG a = Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato<br />
σ Ra<br />
= Standard Deviation annualizzata<br />
a<br />
RD<br />
σ = Standard Deviation <strong>del</strong> Benchmark annualizzata<br />
RRF a = Ren<strong>di</strong>mento annuo <strong>del</strong>l’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )<br />
σ RDa<br />
* RRF a<br />
σ a<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani = ( R a − R a)<br />
+<br />
G<br />
RF<br />
R<br />
Information Ratio<br />
E’ una misura che mostra quanto rischio aggiuntivo, rispetto al benchmark, il gestore ha<br />
assunto al fine <strong>di</strong> produrre un determinato <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento.<br />
ER a = Mean Excess Return annualizzato<br />
TEVa =Tracking Error Volatility annualized<br />
ERa<br />
Information Ratio =<br />
TEVa<br />
134
Analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> correlazione<br />
Coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare<br />
Misura il grado <strong>di</strong> correlazione lineare tra due variabili. Il valore è compreso tra –1<br />
(perfetta relazione lineare inversa) e +1 (perfetta relazione lineare <strong>di</strong>retta). Il coefficiente <strong>di</strong><br />
determinazione lineare, il quadrato <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare ovvero ρ 2 , R 2 su<br />
valori campionari, misura quanto buona sia l’aderenza dei valori osservati intorno ad<br />
un’interpolante lineare (rappresenta la percentuale <strong>di</strong> varianza “spiegata” dalla regressione<br />
lineare).<br />
N = numero <strong>di</strong> perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
RD i = Ren<strong>di</strong>mento Benchmark periodo i<br />
R = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti R<br />
RD = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong> Benchmark<br />
coefficiente <strong>di</strong> correlazione = ρ =<br />
Dove:<br />
ρ =<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
RD<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( R − R)<br />
* ( RD − RD)<br />
( ) ( ) 2<br />
N<br />
2<br />
R − R * RD − RD<br />
i<br />
i<br />
135<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( R − R)<br />
* ( RD − RD)<br />
i<br />
cov R,<br />
RD<br />
σ<br />
* σ<br />
R<br />
i<br />
i<br />
i<br />
= Covarianza<br />
Beta<br />
Il Beta misura il rischio <strong>di</strong> un particolare asset relativamente al mercato nel suo complesso.<br />
Descrive la sensibilità <strong>del</strong>l’investimento all’andamento <strong>del</strong> mercato. Un <strong>portafoglio</strong><br />
aggressivo ha un beta maggiore <strong>del</strong>l’unità. Beta rappresenta, geometricamente, la pendenza<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> retta <strong>di</strong> regressione.<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
RD i = Ren<strong>di</strong>mento Benchmark periodo i
β =<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
Dove:<br />
cov<br />
β =<br />
σ<br />
( R − R)<br />
* ( RD − RD)<br />
N<br />
i<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
R,<br />
RD<br />
2<br />
RD<br />
( ) 2<br />
RD − RD<br />
i<br />
i<br />
( R − R)<br />
* ( RD − RD)<br />
i<br />
i<br />
= Covarianza<br />
Alfa<br />
E’ la misura <strong>del</strong> valore aggiunto dall’attività <strong>di</strong> gestione.<br />
L’alfa in<strong>di</strong>ca in che misura l’andamento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> è stato migliore o peggiore <strong>del</strong>le<br />
previsioni basate sulla sua rischiosità intrinseca: è la <strong>di</strong>fferenza tra la performance effettiva<br />
<strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> e la performance prevista alla luce <strong>del</strong> suo fattore beta e dall’andamento <strong>del</strong><br />
mercato.<br />
Geometricamente, rappresenta l’intercetta <strong><strong>del</strong>la</strong> retta <strong>di</strong> regressione.<br />
R = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti R<br />
RD = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong> Benchmark<br />
Alfa = α = R − β * RD<br />
252 −<br />
Alfa annualizzato = ( 1 ) 1<br />
+α = α a<br />
Alfa <strong>di</strong> Jensen<br />
E’ un in<strong>di</strong>catore <strong>del</strong>l’abilità <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong>l’asset manager.<br />
Analiticamente l’Alfa <strong>di</strong> Jensen è misurata dalla <strong>di</strong>fferenza tra il sovraren<strong>di</strong>mento rispetto<br />
al free risk effettivamente realizzato e quello atteso <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> (secondo la Security<br />
Market Line), per un <strong>portafoglio</strong> avente lo stesso rischio sistematico cioè lo stesso beta.<br />
RD = Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> Benchmark<br />
R = Ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )<br />
RF<br />
Alfa <strong>di</strong> Jensen = ( R RF ) − ( RD − R )<br />
− β * RF = α j<br />
252<br />
1+<br />
α j − = α<br />
ja<br />
Alfa <strong>di</strong> Jensen annualizzato = ( ) 1<br />
136
BIBLIOGRAFIA<br />
- ALEXANDER G.J., FRANCIS J.C., Portfolio Analysis, Prentice Hall, New York 1986<br />
- ANDERSON J., DILLON J., HARDAKER B., Agricultural Decision Analysis, Iowa State<br />
University Press, Ames, Iowa, 1977<br />
- ARROW K.J., Aspects of the Theory of Risk Bearing, Helsinki, 1971<br />
- BAMBERG G., SPREMANN K., Capital Market Equilibria, Springer Verlag, N.Y.,<br />
1986<br />
- BARALDI S., La Scienza <strong><strong>del</strong>la</strong> Direzione, F. Angeli Ed., Milano, 1979<br />
- BARRA, The Global Equity Mo<strong>del</strong> Handbook, Barra, University Avenue, Berkeley<br />
CA 94704-1058 USA, 1995<br />
- BOOKSTABER R.M., MCDONALD J.B., "A General Distribution for Describing<br />
Security Price Returns", Journal of Business, July 1987<br />
- BREALEY R., EDWARDS H., A Bibliography of Finance, Vol. 2, The MIT Press,<br />
Cambridge, Mass., 1991<br />
- BRUSA L., ZAMPROGNA L., Pianificazione e controllo <strong>di</strong> gestione: creazione <strong>del</strong><br />
valore, cost accounting e reporting <strong>di</strong>rezionale: tendenze evolutive, Etas Libri,<br />
Milano, 1991<br />
- BURCH J.G., Contabilità <strong>di</strong>rezionale e controllo <strong>di</strong> gestione; impatto <strong>del</strong>le nuove<br />
tecnologie, EGEA, Milano, 1997<br />
- CACCIAFESTA F., Lezioni <strong>di</strong> matematica finanziaria classica e moderna,<br />
Giappichelli, Torino, 1993<br />
- CANDIA B., "<strong>Teoria</strong> e Tecnica <strong><strong>del</strong>la</strong> Gestione Quantitativa", XI Corso <strong>di</strong><br />
Formazione per Analisti Finanziari, Milano, Settembre 1994<br />
- CANESTRELLI E., NARDELLI C., Criteri per la Selezione <strong>del</strong> Portafoglio,<br />
Giappichelli, Torino, 1991<br />
- CASTAGNOLI E. PECCATI L., Matematica per l’analisi economica - Ottimizzazione<br />
statica e <strong>di</strong>namica, ETASLIBRI, Milano, 1979<br />
- CASTAGNOLI E., PECCATI L., Introduzione alla Selezione <strong>del</strong> Portafoglio, Coop.<br />
Lorenzo Milani, Milano, 1991<br />
- CHEN N., ROLL R. E ROSS S., Economic Forces and the Stock Market, Journal of<br />
Business, 59, 1986<br />
- CHILD D., The essentials of Factor Analysis, Holt, Rineart and Winstone, London,<br />
1970<br />
- CODA V., I costi standard nella programmazione e nel controllo, Giuffrè, Milano,<br />
1975<br />
137
- CONSTANTINIDES G.M., MALLIARIS A.G., Portfolio Theory, in JARROW R. ET. AL.,<br />
Handbooks in OR &MS, Vol. 9, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 1995<br />
- COPELAND T. E., WESTON J. F., Financial Theory and Corporate Policy, Ad<strong>di</strong>son<br />
Wesley, Rea<strong>di</strong>ng Mass., 1988<br />
- DE FINETTI B., Sulla preferibilità, Giornale degli Economisti e Annali <strong>di</strong> Economia,<br />
1952.<br />
- DE FINETTI B., <strong>Teoria</strong> <strong>del</strong>le Probabilità, vol. 1, Einau<strong>di</strong> Ed., Torino, 1970, pag. 33.<br />
- DE LUCA G., VERRILLI A., Dizionario Economico Finanziario e Contabile, E<strong>di</strong>zioni<br />
Simone, Napoli, 1992<br />
- DEAKIN E.B., MAHER M.W., Cost Accounting, Irwin, Homewood, 1992<br />
- ELTON E. J. GRUBER M. J., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis,<br />
Wiley & Sons, New York, 1995<br />
- ELTON E., GRUBER M., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Wiley,<br />
N.Y., 1984<br />
- ELTON J.E., GRUBER J.M., “Estimating the Dependence Structure of Share Price”,<br />
Journal of Finance, Dec., 1973<br />
- EMMANUEL C., OTLEY D., MERCHANT K., Accounting for Management Control,<br />
Chapman & Hall, London, 1990<br />
- FAMA E. F. E MILLER M. H., The Theory of Finance, Holt, Rinehart and Winston,<br />
New York, 1972<br />
- FAMA E.F., "The Behavior of Stock Market Prices", Journal of Business, Jan. 1965,<br />
vol. 38, pagg. 34-105<br />
- GARBADE K., <strong>Teoria</strong> dei Mercati Finanziari, Il Mulino, Bologna, 1989<br />
- HARMAN H.H., Modern Factor Analysis, University of Chicago Press, 1968.<br />
- HARMANN H.H., Modern factor analysis, The University of Chicago Press,<br />
Chicago, 1967, 2nd E<strong>di</strong>tion<br />
- HUANG C., LITZENBERGER R.H., Foudations for Financial Economics, North-<br />
Holland, New York, 1988<br />
- INGERSOLL J.E., Theory of Financial Decision Making, Rowman and Littlefield,<br />
Savage, 1987<br />
- JORION P., Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk,<br />
IRWIN, Chicago, 1997<br />
- KAISER H.F., Computer Program for varimax rotation in factor analysis, in Journal<br />
of Educatiorn and Psycological Measurement, 1959, Vol.19<br />
- KOUTSOYIANNIS A., Theory of Econometrics, Macmillian, London, 1993<br />
- LEBART L., MORINEAU A., WARWICK K.M., Multivariate Descriptive Statistical<br />
Analysis, Wiley, N.Y., 1984<br />
- LEVY H., SARNAT M., Capital Investment and Financial Decisions, Prentice Hall<br />
Int., N.Y., 1986<br />
138
- LINTNER J., "The Aggregation of Investors Diverse Judgments and Preferences in<br />
Purely Competitive Security Markets", Journal of Financial and Quantitative<br />
Analysis, Dicembre, 1969<br />
- LINTNER J., "The Market Price of Risk, Size of Market and Investor's Risk<br />
Aversion", Review of Economics and Statistics, 1970<br />
- LINTNER J., "The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments<br />
in Stock Portfolios and Capital Budgets", Review of Economics and Statistics. Feb.<br />
1965<br />
- MACIARIELLO J.A., KIRBY C.J., Management Control Systems, Prentice Hall Int.,<br />
Englewood Cliffs, 1994<br />
- MARKOWITZ H. M., "Portfolio Selection", Journal of Finance, March 1952<br />
- MARKOWITZ H.M., Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital<br />
Markets, Basil Blackwell Inc., N.Y., 1987<br />
- MARKOWITZ H.M., Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital<br />
Markets, Basil Blackwell Inc., 1987<br />
- MARKOWITZ H.M., Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments,<br />
Wiley, N.Y., 1959<br />
- MERIC I. e MERIC G., "Potential Gains from International Portfolio Diversification<br />
and Intertemporal Stability and Seasonality in International Market Relationship",<br />
Journal of Banking and Finance, 13, 1989<br />
- MODIGLIANI F., MILLER M., Dividend Policy, Growth and the Valuation of Shares,<br />
in Journal of Business, October 1961<br />
- MODIGLIANI F., MILLER M., The cost of Capital,Corporation Finance and The<br />
Theory of Investment, in American Economic Review, June 1958<br />
- MORGAN J.P. /REUTERS, Technical Document, December 1996, Morgan Guaranty<br />
Trust Company, New York<br />
- MORICONI F., Matematica Finanziaria, il Mulino, Milano, 1994<br />
- MORRISON D.F., Meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> analisi statistica multivariata, Casa E<strong>di</strong>trice<br />
-<br />
Ambrosiana, Milano, 1976<br />
MOSSIN J., "Equilibrium in a Capital Asset Market", EM, Oct. 1966<br />
- PESARIN F., Elementi <strong>di</strong> Calcolo <strong>del</strong>le Probabilitá, Cleup, Padova, 1985<br />
- PRATT J.W., Risk aversion in the Small and in the Large, Econometrica, Gen-Apr,<br />
1964<br />
- QUIGGIN J., Generalized Expected Utility Theory-The Rank Dependent Mo<strong>del</strong>,<br />
Kluwer Academic Publishers, Boston, 1993<br />
- ROLL R.: "A Critique of the Asset Pricing Theory's Tests", Journal of Financial<br />
Economics, Marzo 1978<br />
- ROSS S. A. "The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing", Journal of Economic<br />
Theory, Dicembre 1976<br />
139
- ROSS S. A., "Return Risk and Arbitrage", Risk and Return in Finance, I.Friend &<br />
J.L. Bicksler E<strong>di</strong>tion, Cambridge, Mass., 1977<br />
- ROSSI F.A. GIACOMELLO B., "Valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> Funzione <strong>di</strong> Utilità Quadratica<br />
dall'Analisi <strong>del</strong>le Scelte E-V Efficienti" Atti <strong>del</strong> XVI convegno A.M.A.S.E.S, Trieste,<br />
Settembre 1992<br />
- ROSSI F.A., "La Selezione <strong>del</strong> Portafoglio nel caso <strong>di</strong> Alternative in Numero<br />
Maggiore <strong>del</strong>le Osservazioni e in Presenza <strong>di</strong> Strutture <strong>di</strong> Dipendenza Lineare", Il<br />
Risparmio, n.3, Marzo 1981<br />
- ROSSI F.A., ERLACHER E., "Efficienza ed Equilibrio Finanziario dei Fon<strong>di</strong> Comuni<br />
<strong>di</strong> Diritto Italiano", Atti <strong>del</strong> XII convegno A:M.A.S.E.S., Palermo, Settembre, 1988<br />
- ROSSI F.A.,"Valutazione <strong>del</strong>l'Avversione al Rischio <strong>del</strong> Decisore dall'Analisi<br />
<strong>del</strong>l'Insieme <strong>del</strong>le Alternative Non Dominate" Atti <strong>del</strong> XII convegno A.M.A.S.E.S,<br />
Palermo, Settembre 1988<br />
- RUOZI R., Manuale dei Fon<strong>di</strong> Comuni <strong>di</strong> Investimento, Giuffrè Ed., Milano 1987,<br />
pag, 89<br />
- SELLERI L., Contabilità dei costi e contabilità analitica. Determinazioni<br />
quantitative e controllo <strong>di</strong> gestione, Etas Libri, Milano, 1990<br />
- SHARPE W.F., "Simplifed Mo<strong>del</strong> for Portfolio Analysis", Management Science,<br />
Jan.1963.<br />
- SHARPE W.F., ALEXANDER G.J., Investments, Prentice Hall, N.Y., 1990<br />
- SHARPE W.F., Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw Hill Book Co.,<br />
N.Y., 1970<br />
- SHARPE W.F:, "Capital Asset Prices: a Theory of Market Equilibrium under<br />
Con<strong>di</strong>tions of Risk", Journal of Finance, 19, 1964<br />
- SHARPE.W.F., Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw Hill Book Co.,<br />
N.Y., 1970<br />
- SOLNIK B., "The advantages of Domestic and International Diversification", in<br />
Elton e Gruber, International Capital Markets, Amsterdam, North Holland, 1975<br />
- SOLNIK B., International Investments, Ad<strong>di</strong>son Wesley, 1988<br />
- STEWART M.B., WALLIS K.F., Introductory Econometrics, Basil Blakwell, Oxford,<br />
1981<br />
- SZEGO G.P., Portfolio Theory, Academic Press, N.Y., 1980<br />
- TAKAYAMA A., Mathematical Economics, Cambridge University Press, London,<br />
1985<br />
- TREGLIA B., ROSSI F.A., "Il Criterio Me<strong>di</strong>a-Varianza nelle Scelte Finanziarie con<br />
Costo <strong>del</strong> Capitale Certo o Aleatorio", Il Risparmio, n 6, 1991<br />
- VAJANI L., Statistica Descrittiva, Etas Libri, Milano, 1974<br />
- VARIAN H., Microeconomia, Cafoscarina, Venezia, 1987<br />
140
- VON NEUMANN J., MORGESTERN O., Theory of Games and Economic Behavior,<br />
Princeton University Press, 1944<br />
- WHITMORE, G.A., “Diversification and the reduction of Dispersion: a note”, Journal<br />
of Financial and Quantitative Analysis, V, n. 2, May 1970<br />
- ZIEMBA W.T., VICKSON R.G., Stochastic Optimisation Mo<strong>del</strong>s in Finance,<br />
Academic Press, New York, 1975<br />
141