Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA
DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE
SAFE CENTER
CENTER FOR STUDIES IN ACTUARIAL AND FINANCIAL ENGINEERING -ECONOMICS
Francesco Rossi
Teoria della selezione del portafoglio
e
modelli di equilibrio del mercato dei capitali
SAFE CENTER
DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA
Via Giardino Giusti, 2 - 37129 VERONA
Fax 045 8054935; http://dse.univr.it/safe

Introduzione
CAPITOLO 1 - RENDIMENTO E RISCHIO DI UN’ATTIVITÀ
1.1 Rendimento di un titolo
1.2 Rendimento di un prodotto o business
1.3 Rendimento atteso e rischio di un titolo o business
1.4 Confronto fra più titoli o business
CAPITOLO 2 - ANALISI DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA DUE TITOLI O
BUSINESS
2.1 Introduzione
2.2 Analisi dei portafoglio possibili nel caso di due titoli o business a rendimento aleatorio
2.2.1 Un’applicazione
2.3 Selezione dei portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso di due titoli o business a
rendimento aleatorio
2.3.1 Caso con perfetta correlazione lineare positiva fra i rendimenti di due titoli o business
2.3.2 Caso con perfetta correlazione lineare negativa fra i rendimenti di due titoli o business
2.3.3 Caso con non perfetta correlazione lineare fra i rendimenti di due titoli o business (di
rilevante interesse operativo)
2.4 L’introduzione nel portafoglio di un titolo a rendimento certo
CAPITOLO 3 - ANALISI DI PORTAFOGLIO CON n TITOLI O BUSINESS
3.1 Rendimento e rischio di portafogli fattibili
3.2 Analisi del rischio del portafoglio all’aumentare del numero di titoli o business rischiosi
in portafoglio
3.2.1 Caso di titoli o business con rendimenti aleatori tutti linearmente indipendenti fra loro
3.2.2 Caso di titoli o business con rendimenti aleatori linearmente correlati
3.3 La selezione dei portafogli efficienti ovvero la valutazione della frontiera efficiente
3.4 Il modello parametrico
Appendice
Teorema di separazione
Teorema di ortogonalità
CAPITOLO 4 - ANALISI DEL PORTAFOGLIO IN PRESENZA DI TITOLI O
BUSINESS A RENDIMENTO ALEATORIO, INVESTIMENTI E
FINANZIAMENTI A TASSO CERTO
4.1 Portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso di n-1 titoli o business a rendimento
aleatorio e un titolo a rendimento certo
4.2 Alcune simulazioni
4.3 Portafogli efficienti, (frontiera efficiente) utilizzando sia titoli o business a rendimento
aleatori sia un titolo a rendimento certo sia la possibilità di indebitamento a tasso certo
CAPITOLO 5 - ROI, ROE E SOSTENIBILITÀ DEI DEBITI
5.1 Valore atteso e varianza di ROI e ROE
5.2 Ipotesi di tasso certo di debiti e rendimento aleatorio dei business
5.2.1 Scelte efficienti
5.2.2 Tasso massimo dei debiti razionalmente sostenibile dall’azienda
5.2.3 Simulazioni sulla valutazione del tasso massimo razionalmente sostenibile
5.2.4 L’effetto dei vincoli operativi sul tasso certo massimo sostenibile

5.2.5 Alcune simulazioni della valutazione del tasso certo massimo sostenibile in presenza di
vincoli operativi sulle variabile decisionali
CAPITOLO 6 - MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO:
IL MODELLO DIAGONALE DI SHARPE
6.1 Il modello diagonale di Sharpe
6.1.1 Rendimento e rischio di un titolo
6.1.2 Rendimento e rischio di portafogli fattibili con n titoli a rendimento aleatorio
6.1.3 La valutazione del rischio al crescere del numero di titoli o business in portafoglio o
azienda
6.1.4 La valutazione delle soluzioni efficienti
CAPITOLO 7 - MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO:
MODELLI A PIÙ INDICI
7.1 Modelli a più indici
7.2.0 Richiami su autovalori e autovettori
7.2.1 La tecnica delle Componenti Principali (P.C.A.)
7.2.2 Alcune esperienze
CAPITOLO 8 - LA SCELTA PREFERITA
8.1 Introduzione
8.2 La teoria dell’utilità attesa
8.3 Valutazione della funzione di utilità
8.4 Individuazione del portafoglio a rendimento aleatorio preferito
8.4.1 Criterio di scelta: la funzione di utilità e le curve di indifferenza in E-V
8.4.2 Utilizzo dell’arco di circonferenza tangente alla frontiera efficiente E-V come curva di
indifferenza
CAPITOLO 9 - MODELLI DI EQUILIBRIO
9.1 Equilibrio di mercato
9.2 Il Capital Asset Pricing Model (C.A.P.M.)
9.2.1 Le ipotesi del C.A.P.M.
9.2.2 La Security Market Line (S.M.L.)
9.3 L’Arbitrage Pricing Theory (A.P.T.)
9.3.1 Le ipotesi dell’A.P.T.
9.3.2 Il modello di equilibrio
Allegato - Indicatori di Performance
Bibliografia

Introduzione
Nel mercato finanziario o produttivo o commerciale o del lavoro, ovvero nel mercato
globale dei capitali, un decisore si trova ad operare su più possibilità e deve utilizzare tutte
le informazioni disponibili per la valutazione dei rendimenti futuri delle attività che sono
oggetto della sua analisi.
Per molte attività, in genere la maggior parte di esse, i rendimenti futuri non sono certi,
quindi la decisione si svolge in ambito incerto per mancanza, incompletezza o
inattendibilità, delle conoscenze ed informazioni a disposizione1 .
Poiché "distinguere ciò che ad un certo momento ignoriamo da ciò che invece ci risulta
essere o certo o impossibile serve a permetterci di contemplare l'ambito delle possibilità,
ossia l'ambito su cui si estende la nostra incertezza. Ciò non basta tuttavia come strumento
e guida per orientarci, per decidere, per agire: per tale scopo occorrerà basarsi su un
ulteriore concetto: quello di probabilità" 2 , vi è allora la convenienza, opportunità a dare
una valutazione probabilistica ad ogni rendimento futuro che si ritenga possibile. Si giunge
così a descrivere la variabile aleatoria rendimento del progetto di investimento.
La Selezione del Portafoglio3 è stata proposta per affrontare il problema della
ripartizione di risorse finanziarie tra diverse possibilità di investimento con rendimento
aleatorio. Scopo primario è quello di controllare sia il rendimento sia il rischio degli
investimenti. Per risolvere tale problema il metodo analizza una sola unità temporale ed
applica all'insieme delle possibili scelte il criterio E-V (Expected value-Variance).
Il criterio E-V ipotizza che il decisore scelga il proprio portafoglio perseguendo non
solo la massimizzazione del rendimento atteso (E), ma anche la minimizzazione del rischio
(V), approfondendo così il tema della diversificazione e della individuazione delle scelte
efficienti.
Poichè le opportunità d'investimento possono assumere varie forme, azioni,
obbligazioni, valute e loro derivati (in ambito strettamente finanziario), affari, servizi,
prodotti (in ambito commerciale ed industriale) si propone di applicare la selezione del
portafoglio, e quindi il criterio E-V, anche a questi ultimi, dato che è facile convenire sul
fatto che un’azienda può essere vista come un portafoglio di prodotti o di servizi. Si
propone quindi di controllare anche il rendimento atteso e il rischio aziendale e di dare una
risposta al problema noto come sostenibilità dei debiti, ovvero la valutazione del tasso
certo massimo sostenibile per un’impresa, dati i rendimenti attesi dei suoi business e i
vincoli operativi.
D'ora in avanti si parlerà semplicemente di titoli o business, intendendo con ciò una
qualunque forma d'investimento omogenea con altre con cui viene confrontata, e si
supporrà l'esistenza di un numero finito di titoli, o business, in cui poter investire
qualunque frazione del capitale disponibile, nonché, al fine di semplificare la
presentazione, l'assenza di costi di transazione o altri. Preme sottolineare che la metodica
qui esposta è la base su cui poggia la metodica Value at Risk (VaR) per il controllo del
rischio finanziario.
1 DE FINETTI B., Teoria delle Probabilità, vol. 1, Einaudi Ed., Torino, 1970, pag. 33.
2 DE FINETTI B., 1970, op. cit., pag. 35.
3 MARKOWITZ H. M., "Portfolio Selection", Journal of Finance, March 1952.
1

1
RENDIMENTO E RISCHIO DI UN’ATTIVITA’
1.1 Rendimento di un titolo
Si definisce Ri,t il tasso di rendimento previsto in t dell'i-esimo titolo, azionario od
obbligazionario, nell'intervallo temporale (t,t+1), anno, mese, decade, settimana, giorno,
ora, minuto, come
Pit , + 1− Pit , + Dit
, + 1
Rit
, =
Pit
,
dove:
Pi,t prezzo (quotazione) dell'i-esimo titolo all'istante t;
Di,t+1 cedola o dividendo ed eventuali premi4 previsti all'istante t+1;
Pi,t+1 prezzo (quotazione) dell'i-esimo titolo all'istante t+1.
Per semplificare l'analisi non verranno considerati, in seguito, premi e dividendo.
Se si considera un intervallo (t,t+1) tendente a zero, utilizzando, per esempio, serie di
prezzi rilevate su un mercato telematico, e si calcola il rapporto
Pit
, + 1 Pit , + 1 + Pit , − Pit
, Pit , + 1 − Pit
,
=
= 1+ = 1 + R$
it ,
Pit
, Pit
,
Pit
,
posto P
P it , + 1
it , + Pit
,
> 0 allora = Rit
>-1
P
P
it ,
it ,
− 1 $
, .
Se si applica il logaritmo si ottiene:
Pit
, + 1
log = log ( 1+ R$ $
it , ) = δ i()
t
Pit
,
dove $ ()
δ i t è il tasso istantaneo di rendimento 5 (da capital gain) dell'alternativa i in t.
1.2. Rendimento di un prodotto o business
Lavorando su prodotti o business la valutazione del tasso di rendimento del business i
per l’anno da t a t+1 è facile solo nel caso di aziende monoprodotto. Nel caso di aziende
multiprodotto è possibile ed auspicabile l’analisi per cui l’azienda sia vista anche come un
portafoglio di prodotti. In questo caso i processi di valutazione della redditività del capitale
investito per prodotto sono complessi, basati su ipotesi forti (per esempio su chiavi di
ripartizione dei costi generali e comuni), costosi, ma non impossibili visto che, per
esempio, nel settore assicurativo si dispone già di bilanci per ramo e che nel settore del
credito è prassi valutare, per esempio, la redditività e il rischio della “linea” fidi per settore
economico 6.
4 Il rendimento del titolo deve essere corretto nel caso di variazioni del capitale sociale e nel caso in cui
dividendi o premi o cedole fossero corrisposti in momenti diversi dall'istante finale.
5 Vedasi questo testo nella parte riguardante i tassi di interesse.
6 Per chi sia interessato a questo tema si rimanda a testi come: SELLERI L., Contabilità dei costi e contabilità
analitica. Determinazioni quantitative e controllo di gestione, Etas Libri, Milano, 1990; BRUSA L.,
ZAMPROGNA L., Pianificazione e controllo di gestione: creazione del valore, cost accounting e reporting
2

Si deve comunque arrivare a valutare il rendimento del business i intrapreso in t con
PRit
Rit
,
Cit
=
, + 1
,
dove:
Pri,t+1 profitto derivante dalla produzione e vendita dell'i-esimo prodotto o business
nel periodo (t, t+1) e riportato alla fine del periodo, cioè in t+1;
Ci,t capitale investito in t, inizio del periodo, nell’i-esimo prodotto o business.
Naturalmente tutto questo deve essere valutato ex-ante, anche sulla base di esperienze
trascorse, ma “corrette” per il futuro, o di simulazioni sulla distribuzione dei rendimenti
(Monte Carlo, brainstorming, analisi top down) o di ipotesi, tutte tecniche che portano poi
alla valutazione del rendimento atteso e del rischio delle singole possibilità di
investimento.
1.3. Rendimento atteso e rischio di un titolo o business
D'ora in poi per rendimento si intenderà il tasso di rendimento moltiplicato per 100 (per
esempio, 17 sta per 17%) e si trascurerà l'indice temporale, dato che ci si occuperà di una
sola, prossima, unità temporale rilevante per il decisore.
Si utilizza quindi un modello uniperiodale. Se un decisore ha scelto il mese come unità
periodale, è scontato che prima della fine di ogni mese applichi, uttilizzando le
informazioni disponibili al momento, mese dopo mese, il modello decisionale
monoperiodale per simulare, controllare a priori, gli effetti delle nuove informazioni sul
rendimento e rischio del suo portafoglio o della sua azienda per il mese prossimo.
A priori, il prezzo di un titolo in t=0, cioè inizio periodo, è noto, ma in t+1 non è certo e
quindi il rendimento è una variabile casuale (v.c.) e il decisore dovrà assegnarle una
distribuzione di probabilità 7. Quale sia nella realtà il tipo di distribuzione di probabilità del
rendimento di un titolo o business, in generale, è un problema del tutto illusorio.
Si sa che l'unità temporale influenza la distribuzione; alcune verifiche empiriche hanno
portato ad accettare distribuzioni diverse anche se, ancor oggi, per convenienza didattica
od operativa, si ricorre spesso alla distribuzione Gaussiana 8. L'utilizzo della trasformazione
logaritmica appena vista è ritenuto utile anche per verificare la normalità delle
distribuzioni dei rendimenti 9. Allora, per eludere tali problemi e semplificare l'approccio,
direzionale: tendenze evolutive, Etas Libri, Milano, 1991; CODA V., I costi standard nella programmazione e
nel controllo, Giuffrè, Milano, 1975; DEAKIN E.B., MAHER M.W., Cost Accounting, Irwin, Homewood,
1992; EMMANUEL C., OTLEY D., MERCHANT K., Accounting for Management Control, Chapman & Hall,
London, 1990; MACIARIELLO J.A., KIRBY C.J., Management Control Systems, Prentice Hall Intl, Englewood
Cliffs, 1994; BURCH J.G., Contabilità direzionale e controllo di gestione; impatto delle nuove tecnologie,
EGEA, Milano, 1997.
7 LINTNER J., "The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and
Capital Budgets", Review of Economics and Statistics. Feb. 1965; LEVY H., SARNAT M., Capital Investment
and Financial Decisions, Prentice Hall Int., N.Y., 1986.
8 BREALEY R., EDWARDS H., A Bibliography of Finance, Vol. 2, cap.10.3, The MIT Press, Cambridge,
Mass., 1991; CANESTRELLI E., NARDELLI C., Criteri per la Selezione del Portafoglio, Giappichelli, Torino,
1991; BOOKSTABER R.M., MCDONALD J.B., "A General Distribution for Describing Security Price Returns",
Journal of Business, July 1987, vol. 60.3, pagg. 401-424; FAMA E.F., "The Behavior of Stock Market
Prices", Journal of Business, Jan. 1965, vol. 38, pagg. 34-105; ALEXANDER G.J., FRANCIS J.C., Portfolio
Analysis, Prentice Hall, New York 1986.
9 GARBADE K., Teoria dei Mercati Finanziari, Il Mulino, Bologna, 1989, pagg. 85 e seg.
3

invece della distribuzione di probabilità dei rendimenti, qualsiasi essa sia, si utilizzano
degli indici sintetici; tipicamente i momenti10. I più usati sono il valore atteso e la varianza.
Nel caso che la v.c. rendimento sia discreta si assegna un valore di probabilità ad ogni
rendimento, quindi il valore atteso e la varianza del rendimento futuro sono
rispettivamente dati da
M
i ∑ ij ij
j=
1
E( R ) = p R = R
i
M
( ) ∑ ( )
2 2
2
V( R ) = E R − R = p R − R = σ
i ij i ij ij i
j=
1
dove
E( Ri )= Ri : rendimento atteso dell'i-esimo titolo, con i =1,2,...N;
: j-esimo possibile rendimento dell'i-esimo titolo, con j=1,2,...M;
R ij
pij : probabilità associata a Rij, con 0≤pij ≤ 1,
∀j e ∑ pij = 1, ∀i.
La varianza è il valore atteso del quadrato degli scarti dei valori della variabile casuale
dal suo valore atteso.
La Tab.1 mostra la distribuzione di probabilità del rendimento del titolo o business B per
il quale sono previsti solo tre possibili diversi rendimenti per il prossimo anno.
Possibili rendimenti
del titolo o business B
Probabilità
10.8 1/6
16.4 3/6
15 2/6
Totale 6/6= 1.00
Tab. 1: Distribuzione di probabilità dei rendimenti
del titolo o business B per il prossimo anno
Il rendimento atteso di B è 15, la varianza è 3.92, lo scarto quadratico medio (s.q.m.
oppure σ), radice quadrata della varianza, è 1.98. Infatti:
ER ( i ) = 10. 8 × + . × + × =
V( Ri)
= ( . − ) × + ( . − ) × + ( − ) × = .
= . = . ≅
1 3 2
16 4 15 15
6 6 6
2 1
2 3
2 2
10 8 15 16 4 15 15 15 392
6
6
6
σ 392 198 2
R i
H.M. Markowitz 11 nel 1952 propose la varianza come misura del rischio d'investimento
per cui: a varianza via via più elevata si associa rischio via via più elevato. Naturalmente,
un titolo con varianza nulla è un titolo privo di rischio, cioè a rendimento certo, come nel
caso di obbligazioni senza cedola a scadenza fissa (per esempio i BOT e gli Zero Coupon
Bond) se e solo se acquistati all'emissione e detenuti fino a scadenza. Valore atteso e
varianza, ovviamente, non sintetizzano tutte le informazioni contenute nella distribuzione
10 VAJANI L., Statistica Descrittiva, Etas Libri, Milano, 1974.
11 MARKOWITZ H.W., 1952, op. cit.
4
M
j=
1
i

della variabile aleatoria rendimento, salvo casi particolari come quello della distribuzione
Gaussiana ed alcune altre 12. Di conseguenza la proposta di Markowitz è suscettibile di
critiche 13. Per esempio, si obietta che, razionalmente, il rischio dovrebbe considerare i
rendimenti al di sotto di una certa soglia, diversa da operatore ad operatore, e che quindi si
dovrebbero considerare solo gli scarti negativi e non quelli positivi da quella soglia. D'altro
canto la varianza gode di vantaggi analitici che altre misure di variabilità non hanno 14.
La proposta di Markowitz è comunque ancor oggi utilizzata sia nella teoria finanziaria
(come nel Capital Asset Pricing Model, CAPM 15) sia nella pratica finanziaria 16, non ultima
in RiskMetrics della J.P. Morgan/Reuters per il controllo del Value at Risk 17.
1.4. Confronto fra più titoli o business
Nella Tab. 2 sono riportati valore atteso, scarto quadratico medio, rendimento atteso per
unità di rischio, rischio per unità di rendimento atteso di cinque titoli o business
denominati A, B, C, D, E 18.
A B C D E
R i 15 15 17 20 12
σ i 1.4142 2.0000 1.6903 1.8516 1.0690
R i /σ i 10.6067 7.5000 10.0574 10.8015 11.2254
σ i/ R i 0.0943 0.1333 0.0994 0.0926 0.0891
Tab. 2: Rendimento atteso, scarto quadratico medio, rendimento atteso per unità di rischio,
rischio per unità di rendimeto atteso di cinque titoli o business.
Si può notare che:
− D ha il rendimento atteso più alto, ma non il rischio più alto;
12 ALEXANDER G.J., FRANCIS G.C., 1986, op.cit.
13 BAMBERG G., SPREMANN K., Capital Market Equilibria, Springer Verlag, N.Y., 1986, pag. 7-49
14 PESARIN F. , Elementi di Calcolo delle Probabilitá, Cleup, Padova, 1985.
15 CAPM: Capital Asset Pricing Model; SHARPE W.F:, "Capital Asset Prices: a Theory of Market
Equilibrium under Conditions of Risk", Journal of Finance, 19, 1964, pag, 425-442; LINTNER J., 1965, op.
cit., pag 13-1; MOSSIN J., "Equilibrium in a Capital Asset Market", EM, Oct. 1966, vol. 34, pag, 768-783.
16 BARRA, The Global Equity Model Handbook, Barra, University Avenue, Berkeley CA 94704-1058 USA,
1995
17 MORGAN J.P./REUTERS, Technical Document, December 1996, Morgan Guaranty Trust Company, New
York;
JORION P., Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk, 1997, IRWIN, Chicago.
18 Per poter valutare i rendimenti attesi e gli scarti in Tab. 2 si deve procedere come già detto oppure si
possono trattare dei rendimenti ex-ante forniti da più analisti:
A B C D E
15 17 17 19 12
17 13 20 22 10
... ... ... ... ...
16 18 18 21 13
15 12 16 18 12
e quindi calcolare il valore atteso e lo scarto quadratico medio con le opportune tecniche statistiche. Talvolta
un analista ha informazioni circa il valore atteso, il rendimento massimo, xmax , e minimo, xmin , previsti per il
periodo in esame e non ha lo s.q.m.. Allora, nell’ipotesi di una distribuzione gaussiana dei rendimenti,
ponendo xmin = x2.5 e xmax = x97.5 valori percentili della stessa, si può valutare lo scarto quadratico medio
come: σ ≅ (x97.5 - x2.5)/4.
5

− E ha il rendimento più basso ed anche il rischio più basso;
− A e B hanno uguale rendimento atteso, ma B risulta più rischioso perché ha lo s.q.m.
maggiore di quello di A.
Il rapporto
Ri / σ i
valuta il rendimento atteso per unità di rischio ed è un indice utilmente impiegabile per
confrontare più alternative a rendimento e rischio diversi (è definito coefficiente di
variazione dagli statistici, mentre in finanza è detto anche "rendimento periodale medio
aggiustato per il rischio" 19, o "rendimento per unità di rischio"). Tale rapporto Ri /σi rileva
come A, C, D, E abbiano da 10.0574 a 11.2254 punti di rendimento atteso per unità di
rischio, mentre B riporta un rendimento aggiustato del rischio decisamente più basso: 7.5.
Il reciproco di tale indice quantifica, naturalmente, il rischio per unità di rendimento
atteso. B emerge, negativamente, sugli altri. In Fig. 1 il rendimento atteso e lo scarto
quadratico medio di ciascun titolo è stato rappresentato sul piano [ R,σ ] .
Fig. 1: Rendimento atteso e scarto quadratico medio dei cinque titoli o
business esaminati
Si supponga di voler investire, per il prossimo anno, tutto il capitale disponibile in uno
solo dei cinque titoli o business considerati, ipotizzando che siano i soli disponibili per il
decisore. Per attuare la scelta si deve ricorrere all’individuazione di un criterio e a dei
parametri che informino lo stesso.
La selezione per ordine alfabetico o casuale, lanciando per esempio un dado a cinque
facce, sono metodi sicuramente interessanti, ma qui proponiamo un metodo che controlli
sia il valore atteso sia il rischio, quest’ultimo misurato dallo scarto quadratico medio (o
varianza).
19 RUOZI R., Manuale dei Fondi Comuni di Investimento, Giuffrè Ed., Milano 1987, pag, 89.
6

Utilizzando il metodo della dominanza20 e come parametri decisionali il valore atteso
e la varianza, metodo E-V, possiamo ordinare (scegliere, preferire) i titoli rischiosi in
analisi.
Tale metodo propone che si operi come segue:
1) a parità di rendimento atteso viene scelta l'opportunità meno rischiosa (dominanza per
rischio);
2) a parità di varianza (o di σ) viene scelta l'opportunità con rendimento atteso maggiore
(dominanza per rendimento);
2 2
3) nel caso in cui Ri < Rj e σi < σ j il titolo j-esimo non domina il titolo i-esimo:
in questo caso il metodo evidenzia che le possibilità con rendimento maggiore hanno
maggior rischio (a maggior rendimento maggior rischio o viceversa) e niente altro.
Quindi, in questo caso il metodo E-V, da solo, non aiuta a scegliere (non attua un
ordinamento totale, ma parziale), ovvero si ha indecisione.
L’applicazione del criterio E-V alle nostre cinque possibilità porta a verificare che:
1) nessun decisore razionale deve scegliere B, perché dominato da:
− A per rischio;
− C e D sia per rendimento sia per rischio;
2) E, A, C, D sono non dominati, quindi efficienti in quanto a maggior rendimento
corrisponde maggior rischio.
Quindi, scartato B, non esiste, per ora, tra A, C, D, E, una soluzione migliore delle altre e
“la scelta di uno di essi sia invece questione da lasciare al decisore sulla base del suo
atteggiamento verso il rischio o, più in generale, sulla base del proprio sistema di
preferenze” 21.
20 MARKOWITZ H.M., Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil Blackwell
Inc., N.Y., 1987; CASTAGNOLI E., PECCATI L., Introduzione alla Selezione del Portafoglio, Coop. Lorenzo
Milani, Milano, 1991; CANESTRELLI E., NARDELLI C., 1991, op. cit.
21 CASTAGNOLI E., PECCATI L., 1991, pag. 11, op.cit.
7

2
ANALISI DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA
DUE TITOLI O BUSINESS
2.1 Introduzione
L'analisi rendimento-rischio non riguarda solo e semplicemente i singoli titoli,
come quelli indicati in Tab. 2, ma anche tutte le possibili composizioni degli stessi
ovvero le varie configurazioni di mix di portafoglio, sia esso un fondo comune
azionario o un mix produttivo-commerciale di una compagnia di assicurazioni
operante nei rami danni o di un’impresa commerciale qualsiasi.
Tali configurazioni possono essere infinite se definiamo x i la quota di capitale
investita nell'i-esimo titolo, o nel i-esimo business, nel campo dei numeri reali e si
pone il vincolo
∑ xi = 1
noto come vincolo di bilancio: tutto il capitale disponibile viene investito.
Nel caso di due titoli il vincolo di bilancio diventa: x1 + x2
= 1.
Trattando investimenti, la frazione di capitale xi assume tutti e solo i valori
compresi tra 0 e 1 (estremi inclusi) 22 quindi
0 ≤ xi ≤ 1.
Nel caso in cui fossero ammessi finanziamenti, o investimenti allo scoperto, la
variabile xi può assumere anche valori esterni a tale intervallo, negativi o maggiori
di 1.
Scopo della Selezione del Portafoglio è quello di individuare la migliore
ripartizione, secondo il criterio E-V, del capitale tra i titoli o business, ossia stabilire
i "giusti" pesi xi da attribuire ad ogni titolo o business.
Tali “giusti” pesi dovranno razionalmente permettere di avere un progetto di
investimenti con il massimo rendimento a parità di rischio o a minimo rischio a
parità di rendimento, cioè portare a comporre un progetto di portafoglio efficiente in
E-V.
Il problema che si affronta è anche noto come il problema della diversificazione,
problema che nel gergo comune si esprime dicendo: “vorrei un portafoglio che mi
permetta di guadagnare intorno al 10% con il minor rischio” ovvero “partendo da un
rischio di portafoglio, per esempio di due punti, vorrei sapere quale mix mi dà il
massimo rendimento”.
2.2 Analisi dei portafogli possibili nel caso di due titoli o business a rendimento
aleatorio
Il rendimento atteso di un portafoglio, R P , è la media aritmetica ponderata dei
rendimenti attesi dei singoli titoli o, in altre parole, trasformazione lineare dei
2
rendimenti attesi dei singoli titoli. La varianza di portafoglio, σP, è data dal valore
22 Tale ipotesi è da ritenersi d'ora in poi sempre presente, salvo che non venga detto diversamente.
8

atteso del quadrato degli scarti del rendimento di portafoglio dal rendimento atteso
del portafoglio stesso. Per un portafoglio composto da due titoli o business si ha:
rendimento atteso di portafoglio
RP = E( RP) = x1E( R1) + x2E( R2) = x1R1 + x2R2 varianza di portafoglio (meglio, dei rendimenti futuri dei titoli o business in
portafoglio)
dove:
σ
[ ]
(
2
) 1 1 2 2 ( 1 1 2
2
2)
[
[
1( 1
2
1 ( 1
1) 2
1)
2( 2
2
2 ( 2
2
2)
]
2
2)
2 1 2( 1 1)( 2 2)
]
2
1 ( 1
2
1)
2
2 ( 2
2
2)
2 1 2 ( 1 1)( 2 2)
= ER − R = ExR+ xR − xR + xR =
2
P P P
= Ex R − R + x R − R =
= Ex R − R + x R − R + xx R − R R − R =
2
2
= x σ + x σ + 2x
x σ
9
[ ]
= x E R − R + x E R − R + x x E R −R R − R =
2
1
1
2
2
2
1 2 12
[ ( )( ) ]
σ12 = E R1−R1R2−R 2
è la covarianza fra i rendimenti delle due alternative disponibili23. Da quanto sopra, si nota come la varianza di portafoglio è una trasformazione
quadratica del “rischio” dei singoli titoli o business.
La covarianza, σ12 , misura quanto i rendimenti dei due titoli siano legati da una
relazione lineare, ed essendo il valore atteso del prodotto di due scarti, può assumere
valori positivi, nulli o negativi:
− positivi quando gli scarti dei rendimenti dei due titoli hanno prevalentemente lo
stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi, Fig. 2);
− negativi quando a scarti positivi di un investimento corrispondono
prevalentemente scarti negativi nell'altro o viceversa (Fig. 3);
− nullo quando si ha indipendenza lineare tra i rendimenti dei due titoli24 (Fig. 4a e
4b).
Una caratteristica evidente della covarianza è la simmetria, cioè σ12 = σ21. Inoltre
2
2
σ11 = E[ ( R1 −R1)( R1 − R1) ] = E( R1 − R 1)
= σ1
e, naturalmente,
2
2
σ = E R −R R − R = E R − R = σ
[ ( )( ) ] ( )
22 2 2 2 2 2 2
23La covarianza è data da: = ( − )( − )
σ12 R1R1R2R2p 12
con p 12 probabilità congiunta dei rendimenti dei due titoli (probabilità che si abbiano
contemporaneamente R 1 e R 2 ).
24 STEWART M.B., WALLIS K.F., Introductory Econometrics, Basil Blakwell, Oxford, 1981.
2

Si può standardizzare la covarianza dividendola per σ1σ2> 0, prodotto degli scarti
quadratici medi dei rendimenti dei due titoli; in questo modo si possono confrontare
le relazioni fra i rendimenti dei titoli o business che compongono i portafogli
indipendentemente dall'unità di misura.
Si ottiene così il coefficiente di correlazione lineare, ρ12, σ12
σ 21
−1≤ ρ12
= = = ρ 21 ≤ + 1
σσ 1 2 σσ 1 2
Il coefficiente di correlazione lineare ha il medesimo significato e le medesime
proprietà della covarianza (Fig. 2, Fig. 3, Fig. 4a, Fig. 4b) con il vantaggio di essere
un buon indice, poiché possiede valore minimo (-1) e massimo (+1) noti.
Inoltre se:
ρ12= +1, i rendimenti dei due titoli o business sono legati da una legge
deterministica lineare crescente;
ρ12= -1, i rendimenti dei due business si muovono in direzioni opposte evidenziando
una legge deterministica lineare decrescente;
ρ12= 0, i rendimenti dei due business sono linearmente non correlati.
E' importante evidenziare la relazione
σ12 = ρ12σ1σ 2
che permette di trovare il valore massimo della covarianza dei rendimenti di due
business in corrispondenza di ρ12 = 1.
Quindi il valore massimo della covarianza è
pari al prodotto dei due scarti quadratici medi. Essa, inoltre, mostra che il segno della
covarianza dipende da quello del coefficiente di correlazione lineare (σ1 e σ2 sono
sempre positivi) e solo quando ρ12 = 0 la covarianza è nulla.
In generale tra σij e ρij sussistono le seguenti relazioni:
se i=j allora ρii = 1 e σii = ( σiσi) = σi
2 (il numeratore è uguale al denominatore);
se i≠j allora ρii ≤1 e σij = ρijσiσj. 2.2.1. Un'applicazione
In Tab. 3 e Tab. 4 è riportata rispettivamente la matrice delle varianze-covarianze
e la matrice dei coefficienti di correlazione lineare tra i rendimenti futuri dei 5 titoli o
business i cui rendimenti attesi e scarti sono in Tab. 2.
A B C D E
A 2.0000 -0.4286 2.2857 0.1429 -0.2857
B 4.0000 -0.2857 1.1429 1.1429
C 2.8571 0.7143 -0.5714
D 3.4286 0.1429
E 1.1429
Tab. 3: Matrice delle varianze-covarianze fra i rendimenti futuri di
cinque titoli o business
A B C D E
10

A 1 -0.1515 0.9592 0.0546 -0.1890
B 1 -0.0845 0.3086 0.5345
C 1 0.2282 -0.3162
D 1 0.0722
E 1
Tab. 4: Matrice dei coefficienti di correlazione lineare fra i
rendimenti futuri di cinque titoli o business
Quanto in Tab. 3 e Tab. 4 può essere frutto:
- dell’analisi bivariata delle rispettive variabili casuali rendimenti ex-ante;
- di valutazioni a seguito di stime ex-post modificate per identificare quanto vede il
decisore per il periodo in analisi;
- di ipotesi, di simulazioni.
Si ricorda che se il decisore non ha informazioni sulle singole correlazioni può
imporre a tutte le coppie il coefficiente di correlazione lineare medio previsto, del
mercato o dell’azienda, e che le varianze e covarianze si possono calcolare anche
utilizzando gli scarti quadratici medi, valutati in Tab. 2, e i coefficienti di
correlazione.
Si ricorda che ρ ij
ρij è detto coefficiente di determinazione lineare e
quantifica la percentuale di casi, rendimenti, spiegati dalla relazione lineare fra i due
titoli o business. Tale coefficiente permette di valutare il grado di aderenza alla
funzione lineare per la descrizione della variabilità dei rendimenti.
Si può osservare come:
2 2
, ( 0≤ ≤1)
− A e C (ρ A,C = 0.96), sono i titoli o business a più elevata correlazione lineare
diretta nei rendimenti, segue la coppia B ed E con ρ B,E = 0.53;
− è verificata una debole correlazione lineare inversa fra i rendimenti di A con B, di
A con E, di C con E;
− negli altri casi la correlazione lineare è o debole o debolissima.
Si propongono alcune simulazioni di composizioni di due titoli o business, scelti fra i
cinque disponibili, per analizzare empiricamente le “proprietà nascoste” rendimentorischio
dei portafogli risultanti 25.
25 Nelle simulazioni si utilizzano i valori riportati nelle tabelle 2, 3 e 4 arrotondati alla seconda cifra
decimale.
11

Fig. 2: Un esempio di dispersione congiunta dei rendimenti di due titoli o business
nel caso di covarianza e coefficiente di correlazione lineare positivi.
Fig. 3: Un esempio di dispersione congiunta dei rendimenti di due titoli o business
nel caso di covarianza e coefficiente di correlazione lineare negativi.
12

Figure 4a e 4b: Due esempi, fra i molti, di dispersione congiunta dei rendimenti di
due titoli o business nel caso di covarianza e coefficiente di correlazione lineare
praticamente nulli.
13

A)
Componendo un portafoglio F ripartendo, empiricamente, il capitale 50% in A e 50%
in C:
⎧R
A = 15; σ A = 141 .
⎪
dati: ⎨R
C = 17; σC
= 169 .
⎪
⎩
ρAC
= 096 .
si hanno rendimento atteso R F e scarto quadratico medio σ F (Fig. 5):
R F = 15 × 0. 5 + 17 × 0. 5 = 16
σ F = .
2
×
2
. + .
2
×
2
. + × . × . × . × . × .
12 /
= .
[ ]
141 0 5 169 0 5 2 0 96 141 169 0 5 0 5 153
Se si compongono “diversamente” i due titoli si ha, ad esempio:
a) 80% in A, 20% in C. Allora si avrà :
R P = 15 × 0. 8 + 17 × 0. 2 = 15. 4
σ P = 146 .
b) 20% in A, 80% in C. Allora si avrà:
R P = 15 × 0. 2 + 17 × 0. 8 = 16. 6
σ = 162 .
P
Fig. 5: Rendimento atteso e scarto quadratico medio del portafoglio F ottenuto
ripartendo il capitale: 50% nel business A e 50% nel business C.
14

La curva AC rappresenta in [ R,σ ] gli infiniti portafogli fattibili componendo A e C
con i pesi, infiniti, da A=100% e B=0% via via fino a A=0% e B=100%.
Andando a valutare tutti i possibili portafogli componibili con A e C (infiniti) si
potrebbe osservare che (Fig. 5):
- a maggior rendimento corrisponde sempre maggior rischio;
- nessun portafoglio è dominato (tutti sono dominanti);
- non si ha mai σ P < σ A.
ossia il rischio di portafoglio non è mai minore di quello di
A; vedremo più avanti che ciò è causato dall’elevata correlazione lineare positiva tra
i rendimenti.
15

B)
Componendo un portafoglio Q ripartendo, empiricamente, il capitale 50% in B e
50% in D:
⎧R
B = 15; σ B = 2
⎪
dati: ⎨R
D = 20; σ D = 185 .
⎪
⎩
ρBD
= 031 .
si hanno rendimento atteso R Q e scarto quadratico medio σ Q (Fig. 6):
R Q
σ
Q
= 15 × 0. 5 + 20 × 0. 5 = 17. 5
2 2 2 2
( 2 0. 5 185 . 0. 5 2 0. 31 2 185 . 0. 5 0. 5)
= × + × + × × × × × =
( )
12 /
= 1+ 0. 86 + 0. 57 = 156 .
Si può osservare che componendo B con D come sopra si è ottenuto un rischio di
portafoglio, σ Q =1.56, inferiore a quello dei singoli titoli, 2 e 1.85 rispettivamente;
vedremo che ciò è dovuto alla non elevata correlazione lineare positiva fra i
rendimenti dei due titoli o business trattati.
Andando ad analizzare altre composizioni di B con D si trova che componendo il
40% in B ed il 60% in D esiste un portafoglio, che indichiamo Q', con R Q' =18 e
σ Q ′ =1.56.
Quindi, Q' domina Q: ha lo stesso s.q.m., ma maggior rendimento di Q. La
composizione, empirica, 50% di capitale in B e 50% in D ha prodotto un
portafoglio Q inefficiente in E-σ, perché dominato da Q’. Si analizzi la figura alla
pagina successiva.
16
12 /

Fig. 6: Rendimento atteso e scarto quadratico medio del portafoglio Q e Q' ottenuti
ripartendo rispettivamente il capitale: 50% in B e 50% per Q, 40% in B e 60% in D
per Q'. Q' domina Q perchè a parità di rischio ha rendimento maggiore. La curva
che unisce B a D rappresenta i rendimenti-rischi degli infiniti portafogli fattibili; la
parte della curva che dal minimo della funzione sale fino a D rappresenta l’insieme
dei portafogli dominanti, efficienti.
17

C)
Componendo empiricamente un portafoglio S con capitale 50% in C e 50% in E:
⎧R
C = 17; σ C = 169 .
⎪
dati: ⎨R
E = 12; σ E = 107 .
⎪
⎩
ρCE
=−032
.
si ha rendimento atteso R S e scarto quadratico medio σS di portafoglio:
R S = 17 × 0. 5 + 12 × 0. 5 = 14. 5
σS
=
2
×
2
+
2
×
2
+ × ( − ) × × × ×
12 /
=
[ ]
169 . 05 . 107 . 05 . 2 032 . 169 . 107 . 05 . 05 . 084 .
Fig. 7: Rendimento atteso e scarto quadratico medio del portafoglio S, efficiente,
ottenuto ripartendo il capitale: 50% in E , 50% in C.
Andando ad analizzare tutte le possibili composizioni di C con E si verifica che il
portafoglio S è efficiente, Fig. 7. Esso ha, inoltre, rischio inferiore a quello di E e a
quello di C, grazie alla correlazione lineare negativa esistente fra i rendimenti di E e
quelli di C. Interessante è osservare che, pur riportando S un rischio minore di quello
di E, S rende più di E.
Visti i risultati di queste esperienze dovrebbe essere naturale chiedersi come si deve
operare per selezionare, a basso costo, i portafogli efficienti fra gli infiniti
portafogli possibili.
18

2.3. Selezione dei portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso di due titoli o
business a rendimento aleatorio.
Nei precedenti paragrafi sono state esaminate le caratteristiche di rendimento e
rischio di singoli titoli e di alcuni portafogli possibili composti in maniera empirica.
Si è anche introdotto il concetto di dominanza e di efficienza in E-σ.
Si è altresì rilevato come:
− il controllo del rendimento di portafoglio obblighi la valutazione di valore
atteso di ogni titolo o business, come ognuno sa;
− il controllo del rischio di portafoglio obblighi la valutazione di valore atteso,
varianza e correlazione lineare dei rendimenti di ogni titolo o business con tutti
gli altri, fatto non a tutti noto.
Ora si approfondirà lo studio della teoria della Selezione del Portafoglio 26 al fine
di valutare i pesi x i che, dato un rendimento atteso, minimizzino il rischio di
portafoglio ovvero, trattando il problema equivalente, dato il rischio di portafoglio
massimizzino il rendimento. Si tratta, cioè, di valutare “scientificamente” la
composizione di titoli o business per progettare portafogli efficienti, dominanti, e
non semplicemente portafogli possibili. L'analisi partirà dal caso di portafogli con
due titoli o business e verrà estesa al caso di n titoli o business nel Capitolo 3. In
particolare si illustrerà come la selezione dei portafogli efficienti (economicamente
sensati) non possa esaurirsi con un approccio euristico e/o informatico e/o tecnico
economico-finanziario al problema, ma debba utilizzare l'approccio quantitativo 27,
basato su modelli ed algoritmi propri dell’analisi matematica e della
programmazione matematica 28. Si rileverà come l'insieme dei portafogli efficienti
formi la frontiera efficiente e che “la scelta di uno di essi sia invece questione da
lasciare al decisore sulla base del suo atteggiamento verso il rischio o, più in
generale, sulla base del proprio sistema di preferenze” 29.
Le caratteristiche geometriche della frontiera efficiente dipendono dai seguenti
parametri:
− rendimenti attesi dei titoli o business;
− varianze dei rendimenti dei titoli o business, quindi singoli “rischi”;
− covarianze (correlazioni) fra i rendimenti dei titoli o business.
Per facilitare il lettore, si pone, una volta per tutte, che i due titoli o business
abbiano, da qui in poi,
e si debba osservare il vincolo
R R
1 2
< ; 0 < σ1 < σ 2
26 MARKOWITZ H.M., Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, Wiley, N.Y., 1959;
MARKOWITZ H.M., Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil
Blackwell Inc., 1987; SHARPE W.F., Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw Hill Book Co.,
N.Y., 1970; SZEGO G.P., Portfolio Theory, Academic Press, N.Y., 1980; SHARPE W.F., ALEXANDER
G.J., Investments, Prentice Hall, N.Y., 1990.
27 BARALDI S., La Scienza della Direzione, F. Angeli Ed., Milano, 1979.
28 MARKOWITZ H.M., 1987, op. cit.
29 CASTAGNOLI E., PECCATI L., 1991, pag. 11, op.cit.
19

x1 + x2 = 1
Il rendimento atteso di portafoglio è
RP = x1R1 + ( 1−x1) R2
da cui si può avere anche che
RP − R2
x1
= ,
R1−R2 mentre il rischio di portafoglio è
ovvero, sostituendo x
2 2
2 2
[ 1 1 ( 1 1)
2 2 1( 1 1) 12 1 2]
σP= x σ + − x σ + x − x ρ σ σ
1
R − R
=
R − R
P 2
1 2
si ha
2
2
⎡⎛
R − ⎞ ⎛ − ⎞ − ⎛ − ⎞ ⎤
P R2
2 RP R2
2 RP R2
RP R2
σP = ⎢⎜
⎟ σ1+ ⎜1−
⎟ σ2+ 2 ⎜1−⎟ρ12σ1σ2⎥
⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ − ⎝ −
⎣⎢
R1 R2
R1 R2
R1 R2
R1 R2
⎠
⎦⎥
( RP −R2)( R1 −RP)
( R1 − R2)
⎡
2
2
⎛ R − ⎞ ⎛ − ⎞
⎤
= ⎢ P R2
2 R1 RP
2
⎜ ⎟ σ + ⎜ ⎟ σ +
ρ σ σ ⎥
1
2 2
2 12 1 2
⎢⎝
R1 − R2
⎠ ⎝ R1 − R2⎠
⎥
⎣
⎦
cioè l’equazione per cui il rischio di portafoglio è funzione del rendimento atteso di
portafoglio.
Si nota che, rispetto a x1: − l'equazione del rendimento atteso di portafoglio è funzione lineare dei due
rendimenti;
− l'equazione del rischio di portafoglio è:
− una funzione lineare del rischio delle alternative solo se |ρ12| = 1;
− la radice quadrata di un polinomio di secondo grado se -1

aumenta il rendimento e il rischio aziendale, secondo una relazione lineare, ed è
impossibilitata ad ottiene “minor rischio” dall’aumento della quota nell’alternativa 2,
anzi, per minimizzare il rischio non deve che investire tutto nell’attività 1. In questo
caso tutti i punti-portafoglio possibili sono anche punti-portafogli sulla frontiera
efficiente rappresentata da un segmento che unisce i due punti ( R 1 , σ 1), ( R 2 , σ 2),
Fig.8.
Fig. 8: Portafogli possibili e portafogli efficienti ottenuti dalla composizione di due
titoli o business con perfetta correlazione lineare positiva dei rendimenti, ρ 12 =+1.
Sostituendo ρ12 = +1 nella equazione che definisce il rischio di portafoglio, si ha
= fR , lineare, della frontiera efficiente (Fig. 8)
l'equazione σ P ( P)
σ
σ σ σ σ
R R R
⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ R1 2 − R2
1⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜
⎟
⎝ − ⎠ ⎝ R − R ⎠
P P
1 2
21
1 2
2.3.2. Caso con perfetta correlazione lineare negativa fra rendimenti di due titoli
o business
Nel caso in cui si abbia perfetta correlazione lineare negativa, ρ 12 = -1, il rischio
di portafoglio è ancora combinazione lineare del rischio dei titoli
σP= 2 2
2 2
x1σ1+ ( 1−x1) σ2−2x1( 1−
x1)
σ1σ2 1
2
=
[ ]
{ [ x1σ1 ( 1
1
2 2
x1)
σ2]
} .
= − −
quindi
σP= x1σ1−( 1 −x1)
σ2
.
Si ha ora da operare la differenza fra due addendi comunque positivi.

Operando su due business a rendimento variabile e con perfetta correlazione inversa
degli stessi, l’operatore ha la possibilità di ottenere un portafoglio a rendimento
certo? Se si, quanto valgono le quote da investire nel business 1 e nel business 2 per
avere tale rendimento certo? La soluzione si trova uguagliando a zero l’equazione
del rischio di portafoglio.
σP= x1σ1−( 1− x1)
σ2
= 0
x1σ1−(
1− x1)
σ2
= 0
x1σ1−
σ2 + x1σ2
= 0
x σ + σ = σ
e risolvendo per i pesi
x 1
1 2
( )
1 1 2 2
σ 2 =
σ + σ ; x σ1
2 =
σ + σ ;
22
1 2
che permettono di avere un portafoglio a rischio nullo, cioè a rendimento certo.
Poiché σ 1 e σ 2 sono strettamente positivi, come si è detto in precedenza, per
ottenere un portafoglio a rischio zero è necessario investire in entrambi i titoli
secondo quelle esatte proporzioni. Tale situazione corrisponde alla perfetta
immunizzazione del rischio.
In questa situazione è possibile ottenere altri portafogli con
{ }
σP < min σ , σ = σ
1 2 1 e RP > R1
cioè portafogli in cui si verifica l'effetto diversificazione.
Ricordando che x1 RPR2 R1 R2
σ P = fRP
può essere
scritta come:
σ σ σ σ
P P
R R
σ p
σ σ σ σ
P P
R
R R
R R R
R R
R R R
⎧⎛
+ ⎞ ⎛ + ⎞
1 2
1 2 2 1
0
⎪⎜
⎟ − ⎜
⎟ per 1 ≤ <
⎪⎝
1 − 2⎠
⎝ 1 − 2 ⎠
= ⎨
⎪ ⎛ + ⎞ ⎛ R + R ⎞
1 2
1 2 2 1
0
−⎜
⎟ + ⎜
⎟ per R ≤ R < R
⎪
2
⎩ ⎝ 1 − 2⎠
⎝ R1 − R2
⎠
dove R 0 indica il rendimento di portafoglio a rischio nullo, portafoglio composto da
due titoli rischiosi con ρ12 = -1.
Il rendimento certo di un portafoglio così composto è pari a
0 R1σ2 + R2σ1
R =
σ1 + σ2
La funzione σ P = fR ( P)
, esposta in Fig. 9, è quindi formata da due segmenti: uno
decrescente e l'altro crescente, con:
− uguale coefficiente angolare, ma di segno opposto;
− uguale intercetta, ma di segno opposto.
= ( - ) / ( - ) , la funzione ( )

I due segmenti rappresentano le caratteristiche E-σ di tutti i portafogli possibili con i
due titoli. Solo il segmento crescente rappresenta i portafogli efficienti, dominando
quello decrescente.
Fig. 9: Portafogli fattibili ed efficienti nel caso di perfetta correlazione lineare
negativa tra i rendimenti dei titoli o business 1 e 2, ρ 12 = -1. Si distingue la frontiera
efficiente combinazione di portafogli efficienti ottenuti componendo il titolo 2 con
il portafoglio privo di rischio e la combinazione di portafogli non efficienti ottenuti
componendo il titolo 1 con il portafoglio privo di rischio.
2.3.3 Caso con non perfetta correlazione lineare fra i rendimenti di due titoli o
business (di rilevante interesse operativo)
Nella realtà economico-finanziaria la correlazione tra i rendimenti dei titoli o
prodotti o business è “raramente” perfetta, diretta o inversa; la “normalità” della
correlazione lineare fra i rendimenti futuri di due alternative vede -1 < ρ12 < 1. Anzi,
operando nella stessa economia è molto frequente che il coefficiente di correlazione
lineare fra i rendimenti sia positivo, 0 < ρ12 < 1. Allora la frontiera efficiente non è
una funzione lineare. Essa risulta definita dalla funzione radice quadrata di un
polinomio di secondo grado. Per verificare ciò basta studiare il rischio di portafoglio
2 2
2 2
[ 1 1 ( 1 1)
2 2 1( 1 1) 12 1 2]
σP= x σ + − x σ + x −x
ρ σ σ
nella forma:
⎡
2
2
⎛ R ( )( )
P − R ⎞ ⎛ R − R ⎞ R
P P −R R −R
⎤
P
σP= ⎢
2 2 1
2 2 1
⎜ ⎟ σ + ⎜ ⎟ σ +
ρ σ σ ⎥
1
2 2
2 12 1 2
⎢⎝
R1−R2 ⎠ ⎝ R1−R2⎠ ⎣
( R − R )
⎥
1 2
⎦
23
1 2
1 2

dalla quale risulta evidente che, a parità di RP , R1, R2,
σ1, σ 2,
il rischio di
portafoglio diminuisce al ridursi di ρ12 nel suo dominio da +1 a -1.
Tale funzione ha un minimo che può essere (Fig. 10):
a) σP = min { σ1, σ2} = σ1,
ovvero uguale al σi del titolo con minor rischio;
b) σP < min { σ1, σ2} = σ1
, ovvero σ P minore di quello in a), a partire dal quale inizia
la frontiera efficiente.
Fig. 10: Esempi di frontiere efficienti nel caso in cui i due titoli o business
abbiano rendimenti non perfettamente correlati: − 1< ρ 12 < + 1
Il caso b) illustra l'effetto della diversificazione secondo la selezione del
portafoglio. Si ricorda che stiamo trattando ancora il caso di soli due titoli o business
e che ora si è verificato, analiticamente, come non occorra ricorrere a molti titoli o
business per veder diminuito il rischio di portafoglio o d’azienda.
Per calcolare il valore di x1 che minimizza il rischio, lo scarto quadratico medio
del portafoglio di titoli azionari o del portafoglio di business (in questo caso si
minimizza il rischio aziendale), basta uguagliare a zero la derivata prima di σp
rispetto a x1:
2
2 2
dσP12x1σ1
+ 2x1σ2 − 2σ2+ 2ρ σ σ −4x
ρ σ σ
=
dx1
2 2
2
12 /
2
2
[ x1σ1+ ( 1− x1) σ2+ 2x1( 1−x1)
ρ12σ1σ2] e risolverla per x1:
2
σ2−ρ12σ1σ2 x1 = 2 2
σ + σ −2ρ
σ σ
1
2
24
12 1 2 1 12 1 2
12 1 2
Sostituendo x1 nel vincolo di bilancio, x1+ x2
= 1,
si ottiene x2:
= 0

x 2
2
σ1−ρ12σ1σ2 =
σ + σ −2ρ
σ σ
2
1
2
2
25
12 1 2
I valori di x1 e x2 sono le coordinate del punto di minimo della funzione
σ P = fR ( P)
, visto che la stessa è convessa (concava verso l'alto).
Si può osservare che per ρ12 = 0, cioè l’indipendenza lineare fra rendimenti, si ha
2
2
σ 2
σ1
x1 =
; x 2 2
2 = ;
2 2
σ1+ σ2
σ1+ σ2
frazioni che non permettono, generalmente, l’annullamento del rischio di portafoglio.
Imponendo di non investire o produrre tutto nella alternativa 1, titolo o business a
minimo rischio, si ha la disequazione
2
σ2−ρ12σ1σ2 x1 =
< 1.
2 2
σ1+ σ2−2ρ12σ1σ2 Ponendo la condizione
2 2
σ1+ σ2− 2ρ12σ1σ2 > 0,
possiamo avere
2
2 2
σ2− ρ12σ1σ2< σ1+ σ2−2 ρ12σ1σ2 che porta a
σ1
ρ12
< .
σ 2
Cioè: il minimo rischio del portafoglio o il minimo rischio dell’azienda è inferiore
a quello del prodotto 1 se e solo se ρ12 è inferiore al rapporto σ1
(ricordando che si
σ 2
è imposto σ2 > σ1).
In tutti gli altri casi il rischio minimo si ha investendo o
investendo-producendo tutto e solo nel titolo o prodotto a minor rischio.
.

SIMULAZIONI : valutazione del portafoglio a rischio minimo
1) Componendo i titoli o business D ed E, che presentano correlazione positiva nei rendimenti assai
debole (vedi Tabella 4), si ha
2
σD − ρDEσEσD x1 = 2 2
σE + σD −2ρDEσEσD
2
σE − ρDEσEσD x2 = 2 2
σE + σD −2ρDEσEσD
2
185 . − 0. 07 × 107 . × 185 .
=
= 077 .
2 2
107 . + 185 . − 2 × 0. 07 × 107 . × 185 .
2
107 . − 007 . × 107 . × 185 .
=
= 023 .
2 2
107 . + 185 . − 2× 007 . × 107 . × 185 .
ovvero x2 = 1− x1
= 1− 077 , = 023 ,
Il portafoglio che minimizza il rischio é quindi composto per il 77% dal titolo E e per il 23% dal
titolo D. A questa soluzione corrispondono i seguenti rendimento e rischio di portafoglio:
= 12 × 0. 77 + 20 × 0. 23 = 1384 .
R P
σ
P
2 2 2 2
[ ]
= 107 . × 0. 77 + 185 . × 0. 23 + 2 × 0. 77 × 0. 23× 0. 07 × 107 . × 185 . = 0. 95
2) Componendo i titoli A e C, altamente correlati nei rendimenti (vedi Tabella 4), si ha:
x
1
2
σC − ρACσAσC 2
A +
2
C −2AC
A C
=
σ σ ρ σ σ
2
σA − ρACσAσC x2 = 2 2
σA + σC −2ρACσAσC
2
26
12 /
169 . − 096 . × 141 . × 169 .
=
= 211 .
2 2
141 . + 169 . − 2× 096 . × 14 . × 169 .
2
141 . − 096 . × 141 . × 169 .
=
=−111
.
2 2
141 . + 169 . − 2× 096 . × 141 . × 169 .
I risultati dimostrano come la composizione di portafoglio mantenga il vincolo di bilancio in quanto
2.11-1.11=1, ma con x1>1 e x2

2.4. L’introduzione nel portafoglio di un titolo a rendimento certo
Si supponga ora di avere un:
− titolo a rendimento certo R f e rischio σf =0;
− titolo o business a rendimento aleatorio con rendimento atteso R 1 e rischio σ1;
e quindi, coerentemente, sia: R1 > Rfe σ1>0. Il rendimento atteso di portafoglio ovvero dell’azienda che investa in BOT e un
solo prodotto a rendimento aleatorio è
RP = x1R1 + ( 1 −x1)
Rf
ed il rischio di portafoglio o dell’azienda è pari a
2 2
σP= ( x1σ1) = xσ
12 /
1 1
Dato che l’alternativa a rendimento certo ha:
− varianza nulla;
− correlazione lineare nulla con qualsiasi variabile;
se il decisore vuole, desidera, un portafoglio con rischio σP può determinare la
quantità di capitale x1 da investire nel titolo a rendimento aleatorio risolvendo
l'equazione
P x1
=
1
σ
σ
che, sostituita nell'equazione del rendimento di portafoglio ed esplicitata rispetto al
rischio di portafoglio, dà:
σ R f σ
σ P
P
R Rf R Rf R
=− 1
1 + .
1 −
1 −
Se i vincoli di bilancio e di non negatività delle xi sono operanti, la funzione
( )
σ P fRP
R f,σ f = 0 e
( R1,σ1) in Fig. 11.
Si supponga ora di poter prendere a prestito al tasso Rf una quantità aggiuntiva di
= è rappresentata da un segmento condotto tra i punti ( )
capitale per investirla nell’alternativa rischiosa, titolo o business. Risulterà, stante il
vincolo di bilancio x1 + x2
= 1,
x1 > 1 e quindi xf = (1-x1) < 0.
Allora, supponendo di poter prendere a prestito quantità “enormi” (illimitate) di
capitale “visto che l’ente finanziatore accetta le smisurate nostre garanzie ipotecarie
su beni immobili”, la frontiera efficiente diventa una semiretta, uscente dal punto
( R f,σ f = 0 ) e passante per ( R1,σ 1)
, Fig.1130. 30 Si desidera determinare il coefficiente angolare della frontiera efficiente ed il premio per unità
di rischio di un generico portafoglio P composto per il 60% dal titolo A ( R A = 15 e σA = 141 . ) e per
il 40% da un BOT con rendimento R f = 8 .
RP = xARA + ( 1−
xA ) Rf
=
= 06 . × 15+ 04 . × 8= 122
.
27

Visto il coefficiente angolare della semiretta in Fig. 11, è importante
R1−Rf evidenziare il significato del suo reciproco, R R 1 − f , che è definito "premio al
σ1
rischio" o "prezzo del rischio", valutazione rilevante per le scelte finanziarie, recepita
anche nei modelli di equilibrio del mercato dei capitali come il Capital Asset Pricing
Model31. Infatti, esplicitando la
σ R f σ
σ P
P
R Rf R Rf R
=− 1
1 +
1 −
1 −
per R P si ha
R1−Rf RP = Rf
+ σ P
σ1
ovvero che
⎛ rendimento⎞
prezzo premio per rischio
⎜ ⎟
⎜atteso
di ⎟ del unità di di
⎜ ⎟
⎝ portafoglio⎠
tempo rischio portafoglio
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
×
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
per qualsiasi portafoglio, efficiente o no.
Si supponga ora che su un mercato coesistano:
− un titolo a rendimento certo con Rf = 8 e σf = 0;
− i cinque business a rendimento aleatorio di cui alle Tab. 2, 3, 4;
e si voglia analizzare la composizione dell'alternativa non rischiosa con ognuna delle
alternative a rischio.
Si hanno allora cinque segmenti da (Rf = 8, σf = 0) ai punti A, B, C, D, E (in
Fig.12) rispettivamente. I coefficienti angolari sono rispettivamente: 0.20, 0.29, 0.19,
0.15, 0.27.
( )
2 2 12 /
σP = xAσA = xAσA
= 06 . × 141 . = 085 .
Si verifica che il calcolo del rischio di portafoglio può essere fatto usando il rendimento di
portafoglio nell'equazione:
σARf σA
σP
P
RA Rf RA Rf R
=− +
=
− −
.
141 . × 8 141 .
=− + × 12. 2 = 0. 85
15 − 8 15 − 8
Il coefficiente angolare della retta-frontiera efficiente in [ R P , σ P ] è:
σ A
=
RA − Rf
− =
141 .
020 .
15 8
Il suo reciproco è pari a 5, ovvero, in questo caso si hanno cinque punti di rendimento per unità di
rischio.
31 SHARPE W.F., 1964, op.cit.
28
σ 1

Il decisore razionale deve considerare solo portafogli componibili con il titolo a
rendimento certo e il titolo D in quanto:
− procurano il maggior premio al rischio: 1/0.15 = 6.67;
− sono portafogli efficienti.
Fig. 11: Frontiera efficiente nel caso si possa investire e prendere a prestito
allo stesso tasso certo Rf; x 1 è la quantità da investire nell'alternativa, titolo o
business, a rendimento aleatorio.
E
B
A
Fig. 12: Portafogli possibili e frontiera efficiente ottenuti componendo di volta
in volta il titolo a rendimento certo con ognuno dei business A, B, C, D, E.
La combinazione con D è quella che a parità di rischio “paga” di più: 6,67 punti
di rendimento per unità di rischio.
C
29
D

ANALISI DI PORTAFOGLIO
CON n TITOLI O BUSINESS
3.1 Rendimento e rischio di portafogli fattibili
Anche in questo caso il rendimento atteso di un portafoglio è la media aritmetica
ponderata dei rendimenti attesi dei singoli titoli o business
n
n
n
RP = E RP = E xR i i xER i ( i)
xR
⎛ ⎞
( ) ⎜∑
⎟ = ∑ = ∑
⎝ ⎠
3
i=
1 i=
1 i=
1
ovvero trasformazione lineare dei rendimenti attesi delle singole possibilità.
La varianza del rendimento di un portafoglio è
( )
2
2
σ P = ERP − RP
che nel caso di n possibilità è sempre una trasformazione quadratica:
n
∑
2 2 2
σ = x σ + 2 ∑ ∑ x x σ
P i
i=
1
n n
i
i=
1 j=
1
i j ij
Nell’equazione:
− i primi n termini contengono le varianze dei rendimenti degli n titoli;
− i successivi n(n-1)/2 termini contengono le covarianze dei rendimenti di ciascuna
possibilità con quelli delle restanti (n-1).
Forme alternative per rappresentare la varianza di portafoglio sono
n
n
∑∑
n
n
∑∑
2
σ = xxσ σ + xxσ = xxσ = xxσ
σ ρ
P i j i i i j ij i j ij i j i j ij
i=
1 j=
1
i= j
i=
1i≠j
j=
1
i=
1 j=
1
i=
1 j=
1
30
i< j
n
n
∑∑
n
i i
n
∑∑
3.2 Analisi del rischio del portafoglio all'aumentare del numero di titoli o business
rischiosi in portafoglio
Possiamo ora analizzare il comportamento del rischio di portafoglio all'aumentare del
numero di titoli o business composti nello stesso 32, pratica attuata da molti operatori con
32 ELTON E., GRUBER M., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Wiley, N.Y., 1984.

l'intento di diversificare, ovvero di "frazionare i rischi e ridurre la variabilità del
rendimento medio degli investimenti" 33 cioè del portafoglio.
3.2.1 Caso di titoli o business con rendimenti aleatori tutti linearmente indipendenti
fra di loro
L’analisi in questo paragrafo ha rilevante significato logico e formale, ma, come
osserveremo, purtroppo scarsa rilevanza operativa in quanto rappresenta un caso che è
pressochè impossibile da riscontrare nella realtà.
Riprendendo l’equazione della varianza di portafoglio, ora con tutte le covarianze
nulle:
n
P = ∑ i
i=
1
2 2
σ x σ
se si suppone di equiripartire il capitale tra le n possibilità, cioè x i=1/n per ogni x i , la
varianza di portafoglio diventa
31
2
i
n
2 2 2 ⎡
σP= ( 1/ n) σi=
1/
n ⎢
i 1
⎣
∑ ∑
= i=
1
n
2
σ i ⎤
n
⎥
⎦
Si definisce il termine entro parentesi quadrata come varianza media dei titoli o
2
business in portafoglio, σi , ed è facile verificare che al divergere di n essa (varianza
media) tende a zero
lim σ = lim ( 1/ n ) σ = 0
2 2
n→∞
P
n→∞
i
Quindi, operando con infiniti titoli o business, tutti non correlati linearmente nei
rendimenti, si riesce ad annullare il rischio di portafoglio o d’azienda.
Purtroppo, nella realtà è impossibile trovare infiniti titoli o business che risultino tutti
con rendimenti non linearmente correlati. Quindi, questo risultato è di puro riferimento
e stimolo data l’ipotesi forte dell’indipendenza dei rendimenti.
33 DE LUCA G., VERRILLI A., Dizionario Economico Finanziario e Contabile, Edizioni Simone, Napoli, 1992.

3.2.2 Caso di titoli o business con rendimenti aleatori linearmente correlati
E’ il caso di rilevante interesse operativo, in quanto rappresenta la “totalità” delle realtà
sia produttive che finanziarie.
Riprendendo l’equazione della varianza ed equiripartendo il capitale tra gli n titoli o
business si ha una varianza di portafoglio o aziendale pari a 34:
2 2 2
σ = ( 1/ n) σ + ( 1/ n)( 1/
n)
σ
P
n
∑ ∑
n
∑
1i≠j i ij
i=
1
i=
j=
1
Raccogliendo:
- 1/n nel primo addendo;
- (n-1)/n nel secondo addendo, dopo aver moltiplicato e diviso per (n-1);
si ottiene
n 2
n n
σ
σ
2 ⎡ ⎤ i n −1
⎡ ij ⎤
σ P = 1 / n⎢∑
i 1 n
⎥ + ∑∑ ⎣ ⎦ n
⎢
i 1 j n n
i j 1 ⎣ −1
⎥
= = ≠ = ( ) ⎦
Entrambi i termini entro parentesi quadre rappresentano medie:
2
- il primo, come già detto, è la varianza media dei titoli o business in portafoglio, σi ;
- il secondo è la covarianza media dei titoli in portafoglio, σij (le covarianze sono in
numero di n(n-1)).
Allora, l'equazione precedente può essere riscritta come
2 2
σ = ( 1/ n) σ + ( n −1)/
n σ
32
n
[ ]
P i ij
Essa permette di verificare che per n che tende ad infinito:
- il primo addendo tende a zero;
- il secondo addendo tende al valore asintotico σij, che non può essere annullato (vedasi la
Fig.13). Quindi
n
lim P = lim +
n→∞
n→∞
n n
−
2 ⎡1
2 1 ⎤
2
σ
⎣
⎢
σ σ
⎦
⎥
= σ = σ σ ρ = σ ρ
i ij ij i j ij i ij
34 Utilizzando i cinque titoli o business A, B, C, D, E, ed i dati in Tab. 3, matrice simmetrica delle varianze e
covarianze tra i rendimenti delle cinque possibilità, si calcoli il rischio di portafoglio nell'ipotesi di
x i = 1/ 5,
∀i
(Arrotondamenti alla seconda cifra decimale).
2
5
2 ⎛ 1 5 5
2 1 1
σP= ⎜ σi σ
⎝ 5
5 5
⎞ ⎛
∑ ⎟ + ⎜
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
∑ ∑ ⎟
⎠
i=
1
i=
1j=
1
ij
2
σ
σ
2 1 5
i 5 1 5 5
ij
σ P = ∑
5 i 1 5 5 i 1j
15(
5 1)
1 2 4 286 343 114 4 0 43 2 29 014 0 29 0 29 114 114 0 71 0 57 014
2
5
5
5
20
1
4
269 2 02 086
5
5
⎡ ⎤ −
⎢ ⎥ + ∑ ∑ =
⎣⎢
= ⎦⎥
= = −
⎛ + + . + . + . ⎞ ⎛ − . + . + . − . − . + . + . + . − . + . ⎞
= ⎜
⎟ + × ⎜
⎟ =
⎝
⎠ ⎝
⎠
= × . + × × . = .

ove σ ij è la covarianza media fra i rendimenti delle alternative considerate.
La covarianza σij così calcolata è detta anche "rischio sistematico", “rischio
ineliminabile” e può essere letta come prodotto della varianza media per il coefficiente
di correlazione lineare medio fra i rendimenti degli n business. Il coefficiente di
correlazione lineare medio fra i rendimenti degli n business è, nella realtà operativa,
mediamente positivo (ricordo che ha massimo in +1). E’ quindi “LUI” che smorza il
rischio (la varianza media) dei titoli o business trattati, rischio che ogni singolo
operatore non può influenzare.
Si riporta il risultato di Whitmore 35che ha valutato, su portafogli azionari, la percentuale di
riduzione del rischio attuabile in alcuni paesi (quindi, con il complemento a uno, il rischio
sistematico di ogni paese).
PAESE rischio %
eliminabile
33
rischio %
non eliminabile
ovvero sistematico
BELGIO 80.0 20.0
OLANDA 76.1 23.9
USA 73.0 27.0
FRANCIA 67.3 32.7
UK 65.5 34.5
ITALIA 60.0 40.0
GERMANIA 56.2 43.8
SVIZZERA 56.0 44.0
UN PORTAFOGLIO
INTERNAZIONALE
PER UN
AMERICANO
89.3 10.7
Tab. 5: Percentuale di rischio eliminabile con la
diversificazione e percentuale di rischio ineliminabile sul
mercato azionario di alcuni paesi.
(Fonte: WHITMORE G.A., “Diversification and the reduction of
Dispersion: a note”, Journal of Financial and Quantitative
Analysis, V, n. 2, May 1970, pp.263-264)
Si può verificare come Svizzera, Germania e Italia risentano dell’elevata covarianza
positiva fra i rendimenti dei titoli, ovvero del fatto che i titoli tendono a muoversi insieme,
mentre Belgio e Olanda possono avere un rischio sistematico molto basso (l’Italia ha
rischio sistematico doppio rispetto a quello del Belgio). Si rileva come la diversificazione
possibile con un portafoglio internazionale di azioni, per un americano, riduca il rischio del
90% circa.
In Fig. 13 si rappresenta, per un americano, l'andamento del rischio di portafoglio
all'aumentare del numero n di titoli azionari USA 36 in portafoglio; si rileva che già con 20
35 WHITMORE, G.A., “Diversification and the reduction of Dispersion: a note”, Journal of Financial and
Quantitative Analysis, V, n. 2, May 1970, pp.263-264
36 ELTON E.J., GRUBER M.J., 1984, op. cit., pag. 36.; SOLNIK B., "The advantages of Domestic and
International Diversification", in Elton e Gruber, International Capital Markets, Amsterdam, North Holland,
1975.

titoli, negli Stati Uniti, si può attuare una buona diversificazione. Alcune ricerche 37 hanno
dimostrato che i mercati internazionali mostrano una relativa indipendenza gli uni dagli
altri. In Tab. 6 si riporta la matrice dei coefficienti di correlazione lineare fra le variazioni
mensili, dal 1971 al 1986, degli indici azionari delle principali borse mondiali e le
fluttuazioni di alcune valute 38. Si rileva la debole o debolissima correlazione lineare,
spesso di segno negativo. Allora si può affermare
Fig. 13: Effetto dell'aumento del numero di azioni U.S.A. in portafoglio sul rischio di
portafoglio per un investitore statunitense (WHITMORE, G.A., “Diversification and the
Reduction of Dispersion: a note”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, V, n. 2,
May 1970, pp.263-264)
Fig. 14: L'effetto del numero di sole azioni U.S.A. e di quello del numero di azioni
appartenenti ad alcuni diversi mercati (senza copertura del rischio di cambio) sul rischio
di portafoglio: per un investitore statunitense la diversificazione internazionale riduce il
rischio sistematico (SOLNIK B., “Why not Diversify Internationally Rather Than
Domestically “, Financial Analysts Journal, July 1974).
37 ELTON .E., GRUBER M.J., 1984 op. cit., cap. 10.
38 SOLNIK B., 1988, op. cit., pag. 20.
34

che investire su più mercati è un'operazione vantaggiosa nell'ottica E-σ: la diversificazione
internazionale riduce il rischio sistematico 39 (Fig. 14). Per quanto sopra esposto è
importante evidenziare che portafogli realizzati con investimenti frazionati su un grande
numero di titoli, che sullo stesso mercato hanno mediamente correlazione positiva nei
rendimenti, portano sì ad avere un rischio quantificabile nella
Valute
$ USA Yen Marco Sterl F.F. $Can Cor.Ol. F.Svi F.Belg
a
Mercati
USA 0.08 0.16 0.10 0.16 0.19 0.17 0.03 0.18
Giapp. -0.06 0.02 -0 0.05 -0.02 0.01 -0.03 0.09
Germ. -0.03 0.05 0.11 0.09 -0.01 0.11 0.09 0.07
Gran. Br. -0.15 -0.07 -0.07 -0.01 -0.09 -0.07 -0.10 -0.06
Francia -0.21 -0.11 -0.15 0.05 -0.15 -0.17 -0.09 -0.18
Canada -0.33 -0.01 0.07 0.06 0.13 0.05 0.04 0.09
Olanda 0.05 0.05 -0.01 0.15 0.09 0.09 -0.02 0.05
Svizzera 0.04 0.06 0.12 0.18 0.19 0.08 0.19 0.17
Belgio -0.16 0 0.05 -0.04 0.06 -0.15 0.03 -0.02
Tab. 6: Matrice dei coefficienti di correlazione lineare fra rendimenti mensili, dal 1973 al 1982, sulle
azioni delle principali borse mondiali e le fluttuazioni dei singoli tassi di cambio, tratta da SOLNIK B.,
International Investments, Addison Wesley, 1988, pag 40.
covarianza media dei rendimenti, non annullabile, ma nulla dicono circa il rendimento
∞
∑
i=
1
atteso dello stesso. Posto R i

Tab. 7: Matrice dei coefficienti di correlazione lineare fra le variazioni degli indici azionari delle
principali borse mondiali (elaborazioni mensili in dollari USA dal 1971 al 1986), tratta da SOLNIK B.,
International Investments, Addison Wesley, 1988, pag 40.
Ger Bel Dan Fra Ita Nor Ola Reg Sve Sviz
Germania 1 .63 .42 .55 .33 .33 .66 .41 .36 .69
Belgio .63 1 .47 .62 .41 .51 .65 .51 .42 .64
Danimarca .42 .47 1 .31 .29 .32 .48 .36 .38 .43
Francia .55 .62 .31 1 .43 .44 .57 .52 .31 .59
Italia .33 .41 .29 .43 1 .24 .35 .35 .30 .32
Norvegia .33 .51 .32 .44 .24 1 .48 .34 .32 .41
Olanda .66 .65 .48 .57 .35 .48 1 .61 .42 .68
Regno Unito .41 .51 .36 .52 .35 .34 .61 1 .36 .52
Svezia .36 .42 .38 .31 .30 .32 .42 .36 1 .44
Svizzera .69 .64 .43 .59 .32 .41 .68 .52 .44 1
Spagna .34 .36 .25 .35 .37 .20 .34 .26 .29 .28
Australia .26 .28 .28 .35 .26 .36 .36 .41 .30 .36
Giappone .45 .44 .36 .40 .38 .10 .44 .32 .31 .41
Hong Kong .18 .23 .31 .21 .18 .20 .34 .29 .17 .26
Singapore .07 .14 .20 .14 .10 .15 .24 .40 .16 .21
Canada .28 .32 .31 .42 .25 .36 .52 .50 .32 .44
Stati Uniti .32 .36 .31 .40 .23 .37 .55 .47 .35 .44
Miniere d'oro .11 .23 .01 .21 .13 .25 .17 .08 .10 .22
Oro .19 .29 .11 .25 .18 .28 .22 .08 .15 .24
Indice Mondiale .55 .57 .44 .60 .44 .44 .73 .65 .45 .61
Indice EAFE .64 .62 .44 .62 .52 .35 .70 .69 .43 .61
Spa Aus Gia Hon Sin Can Sta Min Oro Mon EAFE
Germania .34 .26 .45 .18 .07 .28 .32 .11 .19 .55 .64
Belgio .36 .28 .44 .23 .14 .32 .36 .23 .29 .57 .62
Danimarca .25 .28 .36 .31 .20 .31 .31 .01 .11 .44 .44
Francia .35 .35 .40 .21 .14 .42 .40 .21 .25 .60 .62
Italia .37 .26 .38 .18 .10 .25 .23 .13 .18 .44 .52
Norvegia .20 .36 .10 .20 .15 .36 .37 .25 .28 .44 .35
Olanda .34 .36 .44 .34 .24 .52 .55 .17 .22 .73 .70
Regno Unito .26 .41 .32 .29 .40 .50 .47 .08 .08 .65 .69
Svezia .29 .30 .31 .17 .16 .32 .35 .10 .15 .45 .43
Svizzera .28 .36 .41 .26 .21 .44 .44 .22 .24 .61 .61
Spagna 1 .22 .34 .15 -.02 .19 .15 -.01 .13 .35 .43
Australia .22 1 .27 .29 .29 .56 .47 .15 .32 .56 .46
Giappone .34 .27 1 .28 .21 .25 .27 .09 .17 .60 .77
Hong Kong .15 .29 .28 1 .41 .22 .26 -.08 .07 .32 .28
Singapore -.02 .29 .21 .41 1 .29 .37 -.04 -.07 .39 .31
Canada .19 .56 .25 .22 .29 1 .66 .23 .26 .70 .48
Stati Uniti .15 .47 .27 .26 .37 .66 1 .10 .01 .87 .47
Miniere d'oro -.01 .15 .09 -.08 -.04 .23 .10 1 .58 .17 .14
Oro .13 .32 .17 .07 -.07 .26 .01 .58 1 .16 .22
Indice Mondiale .35 .56 .60 .32 .39 .70 .87 .17 .16 1 .83
Indice EAFE .43 .46 .77 .28 .31 .48 .47 .14 .22 .83 1
36

3.3. La selezione dei portafogli efficienti ovvero la valutazione della frontiera
efficiente
Dati i nostri cinque titoli o business A, B, C, D, E (si vedano le Tab. 2, 3 e 4) si ipotizzi
di voler comporre un portafoglio G suddividendo, in maniera empirica, il capitale nel
modo seguente:
35% in A, 35% in C, 10% in B, 10% in E, 10% in D
La “ragione” di questa ripartizione, proposta dal Rossi, sta nel fatto che i business A e
C hanno rendimento e rischio “centrali” nella distribuzione bivariata rendimento-rischio
(vedi Fig.1), mentre i business B, E, D risultano troppo o troppo poco redditivi e rischiosi.
Utilizzando le equazioni studiate, G ha rendimento atteso R G =15.9 e σ G=1.11.
Queste due informazioni sono sicuramente interessanti, ma, come gestori di un fondo o
direttori generali di un’impresa, ci si deve chiedere:
− qual’è la posizione di G nello spazio E−σ dei portafogli fattibili?
− esiste un portafoglio (o mix di prodotti) che ha lo stesso rischio, ma maggior
rendimento di G?
− esiste un portafoglio (o mix di prodotti) che ha lo stesso rendimento, ma minor
rischio di G?
cioè, in sintesi: G è un portafoglio (mix) dominante (efficiente)?
Se G è dominante in E-V il decisore è stato efficiente nella scelta, se non lo è il decisore
che lo ha proposto non ha pianificato le risorse in maniera efficiente.
La risposta alla domanda fatta, assai importante, si imposta adottando un modello in
cui:
− o si massimizzi il rendimento atteso di portafoglio, fissata una varianza di portafoglio
∗
VP desiderata (parametro);
− o si minimizzi la varianza di portafoglio, fissato un rendimento atteso di portafoglio
∗
R P desiderato (parametro);
e, trascurando il vincolo di non negatività sulle risorse (cioè non ponendo xi ≥ 0), allora si
hanno o l’uno o l’altro dei seguenti modelli
n
⎧
⎪max
Z1= RP = xiR x ∑
i=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n
⎨
⎪∑
xi
= 1
i=
1
⎪
n n
⎪
*
⎪∑∑
xx i jσij = VP
⎩ i=
1 j=
1
i
37
n n
⎧
⎪min
Z2= V P = xix x ∑∑
σ
i=
1 j=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n ⎨
⎪∑
xi
= 1
i=
1 ⎪
n ⎪
*
⎪∑
xR i i = RP
⎩ i=
1
Il primo modello vuole massimizzare il rendimento di portafoglio, mentre il secondo
vuole la minimizzazione del rischio di portafoglio.
Se la distribuzione dei rendimenti è simmetrica (ad esempio una distribuzione
Gaussiana) si può utilizzare la semivarianza (0.5 V P ) per semplificare i calcoli; si ottiene
comunque lo stesso vettore soluzione della minimizzazione di Z2.
j ij

n n
⎧
⎪min
Z3= 0.5 V P = 0.5 xix x ∑∑
σ
i=
1 j=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n ⎨
⎪∑
xi
= 1
i=
1 ⎪
n ⎪
*
⎪∑
xR i i = RP
⎩ i=
1
I vincoli del modello sono:
− di bilancio (quantità di risorse tutte investite)
*
− sul rendimento atteso di portafoglio R P reso parametro.
L'assenza di vincoli del tipo 0 ≤ xi ≤ 1, il cui significato economico è già stato spiegato,
facilita la ricerca della soluzione del problema di ottimo di funzioni non lineari in presenza
di vincoli di sole uguaglianze.
Il vettore soluzione annulla le derivate parziali della funzione lagrangiana41 e risolve il
problema di ottimizzazione vincolata utilizzando il modello con funzione obiettivo Z3. Il
vettore soluzione trovato dà l’ottimo globale del problema in studio perchè rispetta le
seguenti condizioni: la funzione obiettivo è una funzione convessa (e lo spazio delle
soluzioni ammissibili è convesso), la matrice di varianza-covarianza è semidefinita
positiva ed i vincoli sono lineari.
La funzione lagrangiana è:
n
n
⎛ ⎞ ⎛ * ⎞
Lx ( i, λS, λR ) = 05 . VP + λS⎜1−∑xi⎟ + λR⎜RP
−∑xR
i i⎟
⎝ i=
1 ⎠ ⎝ i=
1 ⎠
e le n+2 derivate parziali costituiscono un sistema di equazioni
⎧ ∂L
⎪ = σi1xi+ .... + σinxn −λS − λRRi
= 0 i:1,2,3...., n
⎪
∂xi
⎪ ∂L
⎨ = 1−x1−.......
−xn=0
⎪∂λS
⎪ ∂L
*
⎪ = RP −R1x1 −R2x2−... − Rnxn = 0
⎩∂λ
R
Questo sistema può essere riscritto in forma matriciale
Mx = b
dove:
M matrice dei coefficienti del sistema di derivate parziali della funzione
lagrangiana;
x vettore colonna 42 delle incognite del problema, costituito dalle n variabili e dai
due lagrangiani λS e λR
41 Vedasi il capitolo di questo volume ove trattasi problemi di ottimizzazione non lineare vincolata.
42 Il trasposto del vettore x viene indicato con x', vettore riga.
38
j ij i

M x b
⎡σ11
σ12 ... σ1
1 1 1 0
n − −R⎤⎡x
⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢
σ21σ22 ... σ2
1 2 2 0
n R x
⎥
− −
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ : : : : : : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢σ
1 σ 2 ... σ 1
0
n n nn − −R
x n⎥⎢n⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 1 ... 1 0 0 ⎥ ⎢λ
⎥ ⎢ S 1 ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∗ ⎥
⎣⎢
R λ
1 R2 ... Rn0
0 ⎦⎥
⎣ R⎦⎣RP⎦ La matrice M è invertibile se e solo se il coefficiente di correlazione ρ ij ≠±1 (se ciò
accadesse si avrebbe σij = σiσje le righe sarebbero combinazioni lineari) e se manca il
titolo a rendimento certo che ha rischio nullo (se la matrice contenesse una riga di valori
a zero non sarebbe invertibile). Se M è invertibile il vettore soluzione è dato da:
*
⎡0⎤
⎡0⎤
⎧x1
= h1 + k1RP ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
*
0 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪x2
= h2 + k2RP ⎢:
⎥ ⎢:
⎥
⎪
−1 −1 −1
* * ⎪..................
x = M b= M ⎢ ⎥ + M ⎢ ⎥R
P = h + k R P ⇒ ⎨
*
⎢0⎥
⎢0⎥
⎪xn
= hn + knRP ⎢1⎥
⎢0⎥
⎪
*
λS
= ΛS
+ lR S P
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
⎣0⎦
⎣1
*
⎦
⎩⎪
λ R = Λ R + lRRP dove i vettori colonna sono rispettivamente formati da:
h : h i, Λ S, Λ R i = 1, 2, ....., n
k : k i, l S, l R i = 1, 2, ....., n
*
Allora, il vettore soluzione dipende linearmente da R P ; la varianza può essere scritta
in forma matriciale come
VP = x'Cx
dove:
x vettore colonna (nx1) delle xi; C matrice di varianza-covarianza, {σij} di dimensione (n x n).
Se si sostituiscono le prime n righe del vettore x nella equazione della varianza, scritta
2 *
= fR ,
in forma matriciale43, si trovano i parametri della funzione di secondo grado σ P ( P)
*
per un generico R P :
*
= x'Cx = (h + k )' C(h + k ) =
2
σ P RP *
RP
*
= h'Ch+ 2k'ChRP
* 2
k'CkRP
* * 2
1 P 2 P
= a + a R + a R
0
39
+ =
Il tratto crescente di questa funzione quadratica costituisce la frontiera efficiente nel
piano [ Rp,σp] 2 . Estraendo la radice quadrata di tale polinomio si ottiene un'altra funzione
che rappresenta la frontiera efficiente nello spazio [ Rp,σ p]
.
43 Si controllino le proprietà studiate per il prodotto di vettori e matrici.

Possiamo ora “criticare” il portafoglio G, costruito empiricamente dal Rossi:
A) IN RIFERIMENTO AL CASO IN CUI SI POSSA VENDERE A BREVE QUALSIASI QUANTITÀ
DELLE CINQUE POSSIBILITÀ SI HA:
*
A1) fissato il rischio, σ P=1.11
uguale a quello del portafoglio G e risolto il modello
n
⎧
⎪max
Z = RP = ∑ xiRi x i=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪
n ⎨
⎪∑
xi
= 1
i=
1
⎪
n n
⎪
*
xx i j ij = VP
= .
⎩⎪
∑∑
σ 12321
i=
1 j=
1
il portafoglio efficiente è Mss con
Rendimeto Scarto XA XB XC XD XE
17.325 1.11 -0.4921 -0.0159 0.7803 0.3685 0.3592
che ha rendimento superiore a quello di G. L’inefficienza di G per rendimento è di
17. 325− 15. 9 = 1425 . punti (su mille miliardi, l’inefficienza della scelta G vale 14.25
miliardi, secondo la nuova tecnica VaR (Value at Risk)).
Fig 15: Portafoglio efficiente M ss ottenuto imponendo σ p=1.11 e
massimizzando il rendimento atteso con il solo vincolo di bilancio (e
senza il vincolo 0 ≤ x i ≤ 1 ∀i).
40

*
A2) Posto R P =15.9 uguale a quello del portafoglio G e risolto il modello
il portafoglio efficiente è Nss con
n n
⎧
⎪min
Z = V P = xix x ∑∑
σ
i=
1 j=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n ⎨
⎪∑
xi
= 1
i=
1 ⎪
n ⎪
*
⎪∑
xR i i = RP
⎩ i=
1
Rendimento Scarto XA XB XC XD XE
15.9 0.8782 -0.1199 -0.0187 0.4298 0.2709 0.4379
che ha rischio inferiore a quello di G.
L’inefficienza di G per rischio è di 1.11-0.88 = 0.23 punti.
*
Fig 16: Portafoglio efficiente Nss ottento imponendo R P =15.9 e minimizzando il
rischio con il solo vincolo di bilancio (e senza i vincoli 0 ≤ xi ≤1 ∀i ).
41
j ij

B) IN RIFERIMENTO AL CASO IN CUI NON SI POSSA VENDERE A BREVE (OVVERO
OPERANDO ANCHE CON I VINCOLI SULLE Xi≥0) SI HA:
*
B1) fissato il rischio σ P =1.11 uguale a quello del portafoglio G si può costruire il modello
⎧
n
⎪max
Z = R P = xiR x ∑
⎪
i=
1
⎪con
vincoli
⎪ n
⎪
⎨∑
xi
= 1
⎪ i=
1
⎪ n n
*
⎪∑∑
xx i jσij = VP
⎪ i=
1 j=
1
⎪
⎩x
i ≥ 0
e risolverlo, ricorrendo alle condizioni di Kuhn-Tucker introdotte nel capitolo di
programmazione matematica dal Prof. Bortot. Il portafoglio trovato è Mnss con
Rendimento Scarto XA XB XC XD XE
17.25 1.11 0.00 0.0329 0.3418 0.4303 0.1950
L'inefficienza di G per rendimento si può quindi calcolare in 1.40 punti (data da: 17.3-
15.9).
Fig. 17: Portafoglio efficiente Mnss ottenuto imponendo σp=1.11 e massimizzando il
rendimento di portafoglio con il vincolo di bilancio e il vincolo 0 ≤ xi ≤1 ∀i.
42
i

*
B2) Posto R P =15.9, uguale a quello del portafoglio G, il portafoglio efficiente con lo
stesso rendimento è valutabile risolvendo, con l’utilizzo delle condizioni di Kuhn-Tucker,
il sistema
che porge il portafoglio Nnss
n n
⎧
⎪min
Z = V P = xix x ∑∑
σ
i=
1 j=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n
⎪
⎨∑
xi
= 1
⎪ i=
1
⎪ n
*
⎪∑
xR i i = RP
⎪ i=
1
⎪
⎩xi
≥ 0
Rendimento Scarto XA XB XC XD XE
15.9 0.879 0.00 0.00 0.3236 0.2853 0.3911
L'inefficienza di G per rischio si può calcolare in 0.23 punti (data da: 1.11-0.88).
*
Fig 18: Portafoglio efficiente Nnss, ottenuto imponendo R P =15.9 e minimizzando il rischio
con il vincolo di bilancio e il vincolo 0 ≤ xi ≤1 ∀i.
43
j ij

In conclusione:
G è dominato sia nel caso con “short selling” sia nel caso senza “short selling” e non
solo dai portafogli dominanti appena trovati, ma da infiniti portafogli, visto che G non è
sulla frontiera E-V.
La Fig. 19 rappresenta la sintesi delle simulazioni fatte per analizzare criticamente
l’inefficienza del portafoglio G in presenza di vincoli di non negatività dei pesi. Preme
sottolineare (Figg. 15 e 16) che nel caso con “short selling” l’area che rappresenta le
possibilità, infinite, si è allargata rispetto a quella del caso senza “short selling” (e le
infinite possibilità stanno nell’insieme convesso delimitato dalla frontiera, efficiente ed
inefficiente, non superiormente limitata).
Fig. 19: Regione di tutte le possibili soluzioni ( R P,σ P)
componendo portafogli con i
cinque titoli o business in analisi, con vincolo di bilancio 0 ≤ xi ≤1 ∀i. Soluzioni efficienti,
portafoglio Mnss e portafoglio Nnss, dominanti G rispettivamente per rendimento e rischio
(ma anche tutti gli infiniti fra M o N e G dominano G).
44

3.4. Il modello parametrico
Il problema generale per il calcolo degli infiniti portafogli efficienti che compongono la
frontiera efficiente nel caso in cui si abbiano solo alternative rischiose e con “short selling”
può anche essere espresso come:
n
n n
⎧
⎪min
Z4=− µ RP + 05 . VP =− µ xiRi 05 . xixj ij
x ∑ + ∑∑
σ
⎪
i=
1
i=
1 j=
1
⎨
n
⎪
soggetto a =
⎪ ∑ xi 1
⎩
i= 1
Questa è la forma più semplice e generale del problema in studio (valutazione delle
soluzioni efficienti, dominanti in E-V), con un unico vincolo lineare di uguaglianza.
La minimizzazione di Z4 differisce da quella di Z3 per:
− l'assenza del vincolo sul rendimento atteso di portafoglio;
− la presenza nella funzione obiettivo di due obiettivi pesati;
− la massimizzazione del rendimento (il primo addendo) con peso µ, parametro. E'
bene ricordare44 che -min (-µ R P ) è uguale a max (µ R P ) e che min(-µ R P ) ha lo
stesso vettore soluzione di max (µ R P );
− la minimizzazione del rischio (secondo addendo) con peso 0.5.
Il parametro µ è interpretato come misura sintetica del grado di propensione al rischio45 del
decisore.
Se:
µ = 0 , la Funzione Obiettivo vede annullarsi il primo addendo e il decisore opera
solo per la minimizzazione del rischio. Il modello sarà adatto ad un decisore che
vuole sopportare il minimo rischio, a prescindere dai rendimenti attesi;
µ tende a +∝ la Funzione Obiettivo è determinata soprattutto dal primo addendo, il
rendimento atteso. Il modello sarà adatto ad un decisore con propensione al rischio
tale da considerare solo i rendimenti attesi e trascurare il rischio.
Applicando i metodi analitici già visti (3.3), il sistema risolutivo del problema di
minimizzazione Z4 diventa:
M x b
⎡σ11
⎢
⎢σ21
⎢
⎢ :
⎢σn1
⎢
⎣
⎢ 1
σ12 σ22 :
σn2 1
...
...
...
...
...
σ1n
σ2n
:
σnn
1
−1⎤
⎡x
⎤ ⎡µ
R ⎤
1
1
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−1⎥
⎢x
⎥ ⎢µ
R ⎥
2
2
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
: ⎥ ⎢ : ⎥
=
⎢ : ⎥
−1⎥
⎢x
⎥ ⎢µ
R ⎥
n
n
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 ⎦
⎥
⎣
⎢λ
1
S ⎦
⎥
⎣
⎢
⎦
⎥
Il vettore soluzione, dipendente dal parametro µ, è dato da
44 Si riveda quanto esposto nella parte curata dal Professor Paolo Bortot.
45 Markowitz H.M., 1987, op. cit.
45

⎡0⎤
⎡R
1 ⎤ ⎧x1
= p1 + q1µ
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0
⎪
⎢ ⎥ ⎢
R
⎥
x = +
2
2 p2 q2µ
−1 −1 −1
⎪
x = M b= M ⎢:
⎥ + M ⎢ : ⎥ µ ⇒ ⎨.........
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪
⎢0⎥
⎢R
⎥ x = p + q
n n n nµ
⎪
⎣
⎢1⎦
⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ ⎩⎪
λ S = ΛS
+ lSµ
Per valori di µ>0 i problemi Z 3 e Z 4 sono equivalenti (µ=0 è un caso limite 46).
In Fig. 20 sono indicate le diverse composizioni di titoli o business che, sui vari archi
delimitati da punti-portafogli d'angolo, formano via via la frontiera efficiente nel caso “no
short sales”. I portafogli d'angolo sono quei punti-portafogli in cui cambia il vettore
soluzione perché almeno un titolo entra o esce dal vettore soluzione.
Fig. 20: Composizione qualitativa dei cinque titoli sui tratti della frontiera efficiente
(delimitati dai portafogli d'angolo in cui cambia la composizione qualitativa dei titoli nei
portafogli efficienti) con il vincolo di bilancio e quelli di
0 ≤ x ≤ 1 ∀i. Il portafoglio efficiente a rischio minimo presenta σ P = 0.73 ed è ottenuto
componendo: 33.83% di A, 12.31% di D, 53.85% di E. Si deve sottolineare che il titolo D
compare in ogni punto-portafoglio sulla frontiera efficiente grazie al suo elevato
rendimento atteso e al suo basso grado di correlazione lineare con tutti gli altri quattro
titoli.
46 Markowitz H.M., 1987. op. cit., pag. 152.
46

SIMULAZIONE
Determinazione del portafoglio efficiente componendo i tre business B, D, E. (I dati utilizzati si rifanno
alle tabelle 2, 3 e 4, arrotondati alla quarta cifra decimale). Si ponga di voler ottenere un rendimento
atteso di portafoglio di 15.6.
⎧ n
⎪
n n
∑ xi
= 1
⎪ i=
1
F.O. = min 0.5 VP = min 0.5 ∑∑
xixjσ ij con vincoli ⎨ n
i=
1 j=
1
⎪
*
⎪∑
xR i i = RP
⎩ i=
1
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
*
Lx ( i, λS, λR) = 05 . VP + λ ⎜ S⎜ 1−∑x⎟
i⎟
+ λ ⎜ R⎜ RP −∑xR⎟
i i⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠
i=
1
i=
1
⎛ σ σ σ ⎞⎛
x ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
Lx ( i, λS, λR)
= . ( x x x)
⎜σ
σ σ ⎟⎜
x ⎟ + λ ⎜ S − x ⎟
⎜ i⎟
+ λ ⎜ R RP − xiR ⎟
⎜
i⎟
⎜
⎟⎜
⎟
σ σ σ x
⎝
⎝
i ⎠ ⎝
⎠
i ⎠
⎝ ⎠
x
. [ ( x σ x σ x σ )( x σ x σ x σ )( x σ x σ x σ ) ] x
x
λ S
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= + + + + + + ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
11 12 13 1
3
3
∗
05 1 2 3 21 22 23 2 1 ∑ ∑
= 1
= 1
31 32 33 3
1
05 1 11 2 21 3 31 1 12 2 22 3 32 1 13 2 23 3 33 2
3
⎛ ⎞ ⎛
⎞
+ ⎜
∗
1−∑x
⎟
⎜ i ⎟
+ ⎜ R RP −∑x
R ⎟
⎜
i i⎟
⎝ i=
⎠ ⎝ i=
⎠
[ x ( x x x ) x ( x x x ) x ( x x x ) ]
∗
S ∑xi R RP ∑xiRi
i=
i=
x x x x x x x x x
=
= + + + + + + + + +
⎛ ⎞ ⎛
⎞
+ ⎜
− ⎟
+ ⎜ − ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠
=
3
3
λ
1
1
05 . 1 1σ11 2σ213σ31 2 1σ122σ223σ3231σ13 2σ233σ33 3
3
λ 1 λ
1
1
= 05 . σ + σ + σ + σ + σ + x σ + x x σ + x x σ + x σ +
=0.5
1 2 11 1 2 21 1 3 31 1 2 12 2 2
( 22 2 3 32 1 3 13 2 3 23 3 )
S x x x R RP x R x R x R
2
33
+ λ 1−
1 − 2 − 3 + λ
∗
− 1 1 − 2 2 − 3 3 =
( ) ( )
per la simmetria delle covarianze si ha:
2 ( x1σ11 2
x2σ22 2
x3σ332x1x2σ12 2x1x3σ13 2x2x3σ23)
∗
+ λS( 1−
x1 − x2 − x3) + λR(
RP − x1R1 − x2R2 − x3R3) =
+ + + + + +
L'ottimo si ha uguagliando a zero le derivate parziali:
⎧ ∂L
1
⎪ = ( 2x1σ11 + 2x2σ12 + 2x3σ13) −λS − λRR1
= 0
⎪
∂x1
2
⎪ ∂L
1
⎪ = ( 2x2σ22 + 2x1σ21 + 2x3σ23) −λS − λRR2
= 0
⎪
∂x2
2
⎪ ∂L
1
⎨ = ( 2x3σ33 + 2x1σ31 + 2x2σ32) −λS − λRR3
= 0
⎪∂x3
2
⎪ ∂L
⎪ = 1−x1 − x2 − x3 = 0⇒ x1 + x2 + x3
= 1
⎪∂λ
S
⎪ ∂L
⎪ = R − R1x1− R2x2− R3x3= 0 ⇒ R1x1+ R2x2+ R3x3= R
⎩∂λ
R
che posto in forma matriciale:
∗ ∗
P P
47

M x b
⎛ σ11 ⎜
⎜σ21
⎜σ
⎜ 31
⎜ 1
⎜
⎝ R
σ12 σ22 σ32 1
R
σ13
σ23
σ33
1
R
−1 −1 −1 0
0
−R1⎞⎛x1⎞
⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−R2⎟⎜x2⎟
⎜ 0 ⎟
−R⎟⎜
3 x ⎟
3 = ⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜ λ S ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∗⎟
0 ⎠ ⎝λ
⎠ ⎝ R ⎠
1 2 3
48
R P
Da tale relazione si vuole estrarre il vettore soluzione della composizione efficiente di portafoglio.
⎛0⎞
⎛0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
−1 −1 1
x = M b = M ⎜ ⎟ −
+ M ⎜ ⎟ ∗
0 0 RP ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0⎠
⎝1⎠
Sostituendo i dati a nostra disposizione nella matrice M questa risulta:
⎛ 4
⎜
⎜11429
.
M = ⎜11429
.
⎜
⎜ 1
⎜
⎝ 15
11429 .
34286 .
01429 .
1
20
11429 .
01429 .
11429 .
1
12
−1 −1 −1 0
0
−15⎞
⎟
−20⎟
−12⎟
⎟
0 ⎟
0 ⎠
Calcolando l'inversa della matrice M:
M − ⎛ 0. 3690
⎜
⎜ −01384 .
1
= ⎜−0.
2306
⎜
⎜ 0. 4745
⎜
⎝−0.
0280
−01384 .
0. 0519
0. 0865
13221 .
−01145 .
−0. 2306
0. 0865
01442 .
−2. 7965
01425 .
−0.
4745
−13221
.
2. 7965
131757 .
−0.
8926
0. 0280 ⎞
⎟
01145 . ⎟
−01425
. ⎟
⎟
−0.
8926 ⎟
0. 0648 ⎠
1 −
e sostituendola nell'equazione x = M b si ottiene:
⎛−0.
4745⎞
⎛ 0. 0280 ⎞ ⎛−0.
0376⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −13221
. ⎟ ⎜ 01145 . ⎟ ⎜ 0. 4641 ⎟
⎜ 2. 7966 ⎟ + ⎜ −01425
. ⎟ × 15. 6 = ⎜ 0. 5735 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 131746 . ⎟ ⎜−0.
8925⎟
⎜ −0.
7483⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ −0.
8925⎠
⎝ 0. 0648 ⎠ ⎝ 01189 . ⎠
Se si sommano i primi tre valori, percentuali di capitale investito nei tre titoli, si ottiene l'unità ed è quindi
rispettato il vincolo di bilancio.
⎧x1
=−00376
.
⎪
Il portafoglio efficiente è quindi composto da: ⎨x2
= 0. 4641
⎪
⎩x3
= 0. 5735
Si può determinare ora anche l'equazione che descrive la frontiera efficiente:
2
σ P h'Ch
∗
2k'ChRP '
2
∗
k'CkRP
= + + =
⎛−0
4745⎞
⎛ 4 11429 11429⎞
⎛−0
4745⎞
0 0280
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
2
= ⎜ −13221⎟
⎜11429
34286 01429⎟⎜
−13221⎟
2 01145 RP RP
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
⎝ 2 7966 ⎠ ⎝11429
01429 11429⎠
⎝ 2 7966 ⎠ 01425
+
′
.
. . . ⎛ . ⎞
⎜ ⎟
∗ ∗
. . . . . ⎜ . ⎟ Ch × + k'Ck =
⎜ ⎟
. . . . . ⎝−
. ⎠
2
∗ ∗
P P
= 131757 . − 17851 . R + 0. 0648R
Dall'equazione, sostituendo il rendimento atteso di portafoglio di 15.6 si ottiene il rischio di portafoglio
2
= 131757 . − 27. 8479 + 15. 7790 = 11069 .
di: σ P

Valutazione del rendimento e rischio del portafoglio con i cinque business equiripartiti
Si consideri il caso di un portafoglio formato dai cinque business A, B, C, D, E ciascuno con peso 20%. Esso
avrà rischio e rendimento rispettivamente pari a:
2
σ P
RP
=
=
xCx '
( 02 . 02 . 02 . 02 . 02 . )
= 0. 2 × 15 + 0. 2 × 15 + 0. 2 × 17
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0.
2857⎞
⎛02
. ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
⎜−0.
4286 4 −0.
2857 11429 . 11429 . ⎟⎜
02 . ⎟
⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0.
5714⎟⎜
02 . ⎟ = 08572 .
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . ⎟⎜
02 . ⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎝−0.
2857 11429 . −0.
5714 01429 . 11429 . ⎠⎝
02 . ⎠
+ 02 . × 20+ 02 . × 12= 158 .
Si vuole ora determinare la composizione efficiente di portafoglio che dia un rendimento pari a 16 e
discutere il comportamento del rischio in base ai risultati dell’esercizio precedente.
Come nell'esempio a tre titoli si determina la composizione efficiente di portafoglio con:
x M b
1 −
=
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857 −1−15⎞ ⎜
⎟
⎜−0.
4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . −1−15⎟ ⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714 −1−17⎟ ⎜
⎟
= ⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . −1−20⎟ ⎜−0.
2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . −1−12⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 1 1 1 1 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 15 15 17 20 12 0 0 ⎠
⎛ 4. 0331 ⎞ ⎛−0.
2812⎞
⎛ −01462
. ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜−0.
0500⎟
⎜ 00020 . ⎟ ⎜−0.
0185⎟
⎜ −34819
. ⎟ ⎜ 02460 . ⎟ ⎜ 0. 4545 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ −0.
8175⎟
+ ⎜ 00685 . ⎟ × 16 = ⎜ 0. 2777 ⎟
⎜ 13162 . ⎟ ⎜−0.
0552⎟
⎜ 0. 4325 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜12.
2932⎟
⎜ −0.
8438⎟
⎜ −12075
. ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ −0.
8438⎠
⎝ 00606 . ⎠ ⎝ 01252 . ⎠
49
−1
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜0⎟
+
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠
−
M 1
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜0⎟
× 16 =
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎝1⎠
Il portafoglio efficiente che dà un rendimento pari a 16 è quindi così composto:
-14.62 % di A, -1.85% di B, 45.45% di C, 27.77% di D,43.25% di E.
Si calcola ora la frontiera efficiente con la tecnica utilizzata nell'esercizio precedente di cui si omettono i
calcoli:
2
∗ ∗2
σ P = 12. 2932 − 16876 . RP + 0. 0606RP
Si sostituisce il rendimento desiderato nell'equazione della frontiera efficiente per ottenere il rischio di
portafoglio:
2
σ P = 12. 2932 − 27. 0014 + 155039 . = 0. 5977
Si nota così che, rispetto al portafoglio composto dai cinque titoli con peso 1/5, il nuovo portafoglio ha sia
maggiore rendimento, sia minor rischio.

SIMULAZIONE
Determinazione della composizione efficiente dei tre business B, D, E senza il vincolo sul rendimento
atteso di portafoglio:
⎛0⎞
⎛ R1
⎞ ⎛ 4
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
−1 −1
x = M
⎜0⎟
⎜ R2⎟
+ M
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
==
⎜11429
.
µ
0 R ⎜
3 11429 .
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜
1 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1
⎛−0.
0889⎞
⎛ 0. 4319 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=
⎜ 0. 2541 ⎟
+
⎜ 17659 . ⎟
µ
⎜ 0. 8348 ⎟ ⎜ −21978
. ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0. 8888 ⎠ ⎝−13.5678⎠
11429 .
34286 .
01429 .
1
11429 .
01429 .
11429 .
1
−1
−1⎞
⎛0⎞
⎛15⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−1⎟
⎜0⎟
−1
+ M
⎜20⎟
µ =
−1⎟
⎜0⎟
⎜12⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0⎠⎝1⎠
⎝ 0 ⎠
A questo punto si può ipotizzare il comportamento dell'investitore per quanto riguarda la propensione al
rischio. Al variare di µ si otterranno infatti diverse composizioni di portafoglio; si considereranno valori di
µ inferiori a 0.5.
⎛0.
0407 ⎞
⎜ ⎟
0. 7839
Dato µ=0.3 si avrà la seguente soluzione:
⎜ ⎟
⎜01755
. ⎟
⎜ ⎟
⎝−32410
. ⎠
cui corrisponderà un portafoglio composto per il 4.07% di B, 78.39% di D e 17.55% di E.
Applicazione come la precedente utilizzando tutti i cinque titoli disponibili:
⎛0⎞
⎛ R1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜ R2⎟
⎜ ⎟ ⎜ R ⎟
−1 0 −1
x = ⎜ ⎟ + ⎜ 3
M M ⎟ µ
⎜0⎟
⎜ R4⎟
⎜0⎟
⎜
R
⎟
⎜ ⎟ ⎜ 5⎟
⎜ ⎟
⎝1⎠
⎝ 0 ⎠
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857 −1⎞⎛⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜−0.
4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . −1⎟⎜0⎟
⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714 −1⎟⎜0⎟
= ⎜
⎟ ⎜ ⎟ + M
⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . −1⎟
⎜0⎟
⎜−0.
2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . −1⎟⎜0⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 1 1 1 1 0⎠⎝1⎠
⎛03938
. ⎞ ⎛−4.
3130 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜−00226
. ⎟ ⎜0.
0225 ⎟
⎜−00541
. ⎟ ⎜4.
0623 ⎟
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ µ .
⎜0.
01362⎟
⎜11302
. ⎟
⎜05467
. ⎟ ⎜−0.
9120 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝05369
. ⎠ ⎝−139326
. ⎠
⎛−09001
. ⎞
⎛01781
. ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜−0.
0128⎟
⎜−00209
. ⎟
⎜11646
. ⎟
⎜01490
. ⎟
Se µ = 0.3 ⇒ x = ⎜ ⎟ ; Se µ = 0.05 ⇒ x = ⎜ ⎟
⎜0.
4753 ⎟
⎜01927
. ⎟
⎜0.
2731 ⎟
⎜05011
. ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝−36429
. ⎠
⎝−01598
.
⎠
50
−1
0
−1
⎛15⎞
⎜ ⎟
⎜15⎟
⎜17⎟
⎜ ⎟ µ =
⎜20⎟
⎜12⎟
⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠

APPENDICE AL CAPITOLO 3
TEOREMA DI SEPARAZIONE (o dei due fondi)
Nel caso si possa operare con “short selling” e fissati xa ed xb due portafogli a varianza
minima con rendimento medio rispettivamente Raed Rb , con Ra ≠ Rb
si ha che:
a) qualsiasi portafoglio a varianza minima xc è una combinazione lineare dei portafogli xa
ed xb;
b) ogni portafoglio ottenuto dalla combinazione lineare di xa ed xb, αxa+(1-α)xb, è un
portafoglio a varianza minima, situato sulla frontiera;
c) in particolare, se xa ed xb sono portafogli a varianza minima efficienti, allora, per ogni
0≤α ≤1,
anche αxa+(1-α)xb è un portafoglio efficiente a varianza minima.
Dimostrazione
a)
Poniamo Rc il rendimento medio di un portafoglio a varianza minima xc. Scegliamo il
parametro α in modo tale che
R R ( )
c = α a + 1 − α Rb
ciò significa scegliere α pari a
Rc − Rb
α=
Ra − Rb
Nota che α esiste ed è unico se si ipotizzaRa ≠ Rb.
xc xa xb
Ricordimo che xc ottiene
= h+ kRc
e sostituendo a Rc la combinazione lineare di Ra ed Rb si
xc = h+ kRc
= h( α+ 1− α) + k( αR ( )
a + 1−α
Rb)
= αh+ ( 1− α) h + αkR + ( 1−α)
kR
Dimostriamo che = α + ( 1 − α)
( h kR ) ( 1 )( h kR )
= α + + − α +
= αx + ( 1−α)
x
a b
a b
a b
51
c.v.d.

)
Consideriamo il portafoglio xc come combinazione lineare di xa ed xb.
Quindi
x = αx + ( 1−α)
x
c a b
( h kR ) ( 1 )( h kR )
= α + a + − α + b
= αh+ αkR ( ) h ( )
a + 1− α + 1−α
kRb
= h( α+ 1− α) + k( αR ( )
a + 1−α
Rb)
= h+ kRc
da cui si conclude che se xa ed xb sono portafogli a varianza minima lo è anche xc.
c)
Questo si dimostra come nel punto b) introducendo la restrizione 0≤α ≤1
la quale
implica che
se Ra ≤ Rb
allora R R ( )
a ≤ α a + 1 − α Rb ≤ Rb.
TEOREMA DI ORTOGONALITA’
Due portafogli a varianza minima xa ed xb , nel caso con “short selling”, si definiscono
ortogonali se la loro covarianza è zero, cioè, xa′ Cxb = 0. Vogliamo dimostrare che per ogni
portafoglio, eccetto quello definito nel punto di minimo della frontiera dei portafogli
fattibili, esiste un unico portafoglio ortogonale a quello dato. Inoltre, definito Rb il
rendimento del portafoglio dato, è possibile calcolare il rendimento Ra dell’unico
portafoglio ortogonale nel modo seguente:
xa′ Cxb
= 0
h′ + k′ R C h+ kR
= 0
( a) ( b)
( h kR )( Ch CkR
)
′ + ′ a + b = 0
hCh ′ + hCk ′ Rb + kCh ′ Ra + kCk ′ RaRb = 0
hCh ′ + hCk ′ Rb
Ra
=−
kCh ′ + kCk ′ R
ponendo:
a = hCh ′
b = hCk ′ = kCh ′
c = k′ Ck
risulta
a bR
Ra
=−
b cR
+
+
b
b
b
52

σp
Portafogli
inefficienti a
varianza
minima
σa
σG
R a
a
Portafogli
fattibili
R G
53
G
b
Portafogli
efficienti a
varianza
minima
Nel caso con “short selling”, considerate n possibilità a rendimento aleatorio, scelto il
portafoglio efficiente b si può valutare il portafoglio ortogonale ad esso, detto
portafoglio a , utilizzando il vertice G.
L’interpretazione geometrica della proprietà di ortogonalità è descritta nella figura
precedente. Dato il portafoglio b posizionato sul tratto di frontiera efficiente, il portafoglio
ortogonale si determina tracciando una retta passante per i portafogli b, quello scelto, e G
(portafoglio a varianza minima globale). Il punto di intersezione della retta, passante per b
e G, con l’asse dei rendimenti attesi identifica il rendimento atteso del portafoglio a.
ortogonale al portafoglio b. Una volta valutato R a si determina lo scarto associato con la
verticale su R ache individua l’unico portafoglio dominato a varianza minima.
E’ interessante notare che se il portafoglio dato si trova sul tratto di frontiera dei
portafogli efficienti a varianza minima allora il relativo portafoglio ortogonale si trova sul
tratto di frontiera inefficiente. E’ pertanto dimostrato che non possono esistere due
portafogli efficienti tra loro ortogonali.
R p

4
ANALISI DEL PORTAFOGLIO
IN PRESENZA DI TITOLI O BUSINESS
A RENDIMENTO ALEATORIO,
INVESTIMENTI E FINANZIAMENTI
A TASSO CERTO
E’ noto che ogni mercato (per esempio il mercato azionario, l’obbligazionario, il
valutario, l’assicurativo quotato e no, l’automobilistico quotato e no, l’elettronico quotato e
no) è inserito nel più grande mercato, omnicomprensivo, detto globale, nazionale o
sovranazionale.
Se ci fermiano, per comodità, al mercato nazionale, si sa che ogni mercato ha:
− più possibilità a rendimento certo (imperfezione del mercato) lucrabile in una certa
unità temporale e che fra queste si deve razionalmente scegliere solo quella a
rendimento massimo;
− molte, spesso moltissime, possibilità a rendimento-rischio diversi;
− molte possibilità di indebitarsi a tasso certo (imperfezione del mercato); fra queste
deve interessare solo quella a tasso più basso.
Quindi il mercato-portafoglio nazionale azionario, obbligazionario, valutario, assicurativo,
automobilistico, elettronico, tutti a rendimento aleatorio, non bastano a formare il mercato
globale-nazionale perchè esiste e opera, in competizione, anche l’alternativa di
investimento a rendimento certo e quella di finanziamento a tasso certo che devono essere
inserite nei modelli formali studiati perchè ogni operatore può investire ed indebitarsi a
questi tassi.
4.1. Portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso di n-1 titoli o business a
rendimento aleatorio ed un titolo a rendimento certo
Il problema di minimizzazione nella Z4 torna utile in questa nuova fase che utilizza il
teorema detto di Separazione47 .
La presenza di un titolo a rendimento certo48 accanto ad altri a rendimento aleatorio
semplifica notevolmente il calcolo della nuova frontiera efficiente.
L'investitore infatti, come già visto, sceglierà il tratto di retta che, partendo da Rf tange la frontiera efficiente del portafoglio composto dai soli titoli rischiosi. Il Teorema di
Separazione afferma che: "l'ammontare investito in ogni singolo titolo rischioso è una
quota costante dell'ammontare totale investito in titoli a rendimento aleatorio pur al
variare della propensione al rischio" 49.
Si supponga che esistano un titolo a rendimento non rischioso ed n-1 titoli a rendimento
aleatorio e sia:
R1 = Rf; σ1i = σ i1
= 0; ∀ i= 12 , ,..., n.
47 Vedasi l’appendice al Cap. 3 e SHARPE W.F., 1964, op. cit.
48 Questo caso corrisponde a quello in cui vi sia perfetta correlazione lineare negativa tra due titoli a
rendimento aleatorio (in quanto è possibile trovare almeno una combinazione di portafoglio che annulli il
rischio).
49 SHARPE.W.F., Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw Hill Book Co., N.Y., 1970.
54

A partire da queste informazioni, il sistema da risolvere è dato da:
M x b
⎡0
⎢0
⎢:
⎢
⎢0
⎣⎢
1
0
σ22 :
σn2 1
...
...
...
...
...
0
σ2n
:
σnn
1
−1⎤⎡x1⎤
⎡µ
R f ⎤
−1⎥⎢⎥
⎢
x
⎢
2⎥⎢ µ R
⎥
2⎥
: ⎥ ⎢ : ⎥ = ⎢ : ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−1⎥⎢xn⎥⎢µ
R n ⎥
0 ⎣
⎢
⎦
⎥
⎣
⎢ 1 ⎦
⎥
⎦⎥
λ S
Esso permette di trovare subito il valore dell'incognita:
che, sostituito nel sistema di equazioni, dà:
⎡
⎢
⎢
⎣
un sistema di n equazioni ed n incognite.
λ S =-µ R f
M x b
0 σ22 σ x
2 1 µ
n⎤
⎡ ⎤ ⎡ ( R2−Rf) ⎤
⎢
:
:
⎥ ⎢
⎥
:
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢
⎥
0 σ 2 σ ⎢x
1 µ
n nn n−
⎥ ⎢ ( Rn − Rf
) ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
1 1 ... 1 ⎣ x n ⎦ ⎣⎢
1 ⎦⎥
⎦
Questo sistema può essere ulteriormente semplificato trascurando la prima colonna e
l'ultima riga. Esse infatti servono solo a determinare l'incognita x 1 , che può essere calcolata
per differenza dopo aver determinato i valori delle altre x i ; essa assumerà il valore che farà
rispettare il vincolo di bilancio (di somma 1).
Ricordando che le xi possono assumere qualunque valore, positivo, negativo o nullo, il
sistema diventa
⎡σ22
⎢ :
⎢σn2
M
...
...
...
x b
σ µ
2 2 ( 2 )
n⎤
⎡x
⎤ ⎡ R − Rf⎤
⎢
: :
⎥ ⎢ ⎥
⎥
:
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
σ x µ ( )
nn⎥⎣⎢n⎦⎥⎣ ⎢ Rn − Rf
⎦
⎥
⎣
Il vettore soluzione di questo sistema di n-1 incognite ed n-1 equazioni è
x = M b= M
−1 −1
⎦
⎡R2
− Rf⎤
⎧x2
= g2µ
⎢ ⎥ ⎪
⎢
:
⎥
µ ⇒ ⎨:
⎣
⎢R
− R ⎦
⎥ ⎪
n f ⎩x
n = g nµ
Ciò porta direttamente al Teorema di Separazione, il quale afferma che se:
55

n
⎛ ⎞
1) l'unico vincolo del problema di ottimizzazione è quello di bilancio ⎜∑
xi = 1⎟
;
⎝ i=
1 ⎠
2) esiste la possibilità di investimento e indebitamento non rischioso al tasso R f ;
allora:
− la quota di investimento rischioso in un portafoglio è pari a
−
n
n
∑ xi = µ ∑ gi
i=
2 i=
2
− la quota investita in ciascun titolo a rendimento aleatorio è pari a:
che non dipende da µ..
xi
µ gi
gi
= =
n
n
n
∑xiµ ∑gi∑g i=
2 i=
2 i=
2
In altre parole: il mix del portafoglio rischioso efficiente è uguale per tutti gli
investitori e non è influenzato dal loro diverso grado di propensione al rischio.
Il parametro µ influisce invece sulla ripartizione del capitale disponibile tra
investimento rischioso e non rischioso, che sarà pari a
n
x = 1− µ g poichè x = 1−x
1
∑ ∑
i
i=
2 i=
2
Il Teorema di Separazione è a base del modello di equilibrio del mercato dei capitali
denominato Capital Asset Pricing Model (CAPM) 50.
4.2. Alcune simulazioni
Considerando:
− i cinque titoli o business A, B, C, D, E a rendimento aleatorio;
− la possibilità di investire in un'attività T con rendimento certo R f =8;
con ∑xi=1 e xi≥0;
allora:
− i rendimenti-rischi degli infiniti portafogli fattibili sono rappresentati in Fig. 21;
− i rendimenti-rischi delle scelte efficienti sono in Fig. 22 e dati dall'unione del
segmento TU con la curva UD.
50 Vedi nota 15.
56
n
i
i
1

Fig. 21: Regione rendimenti-rischi degli infiniti portafogli fattibili (0≤xi ≤1) con sei
business, di cui: cinque a rendimento aleatorio e uno a rendimento certo.
Il portafoglio U è quello individuato dalla semiretta uscente da T e tangente alla curvafrontiera
efficiente calcolata considerando solo i titoli a rendimento aleatorio, Fig. 18. Esso
ha rendimento atteso R U =15.43 e σ U=0.82 ed è così composto:
7.08% di A 0 di B 25.44% di C 24.32% di D 43.16% di E
Fig. 22: Scelte efficienti, con 0≤xi ≤1, date dall'unione del segmento TU con la curva UD
Il decisore può decidere efficientemente di investire:
− o tutto in T con un rendimento certo 8;
− o componendo T con U se è disposto ad accettare un rischio massimo di 0.82 o vuole
un rendimento fino a 15.43;
Se, ad esempio, il decisore vuole un portafoglio V con σ V =0.5 dovrà:
57

− investire x U = 0.5/0.82 = 0.61 = 61% del suo capitale in U;
− e quindi il restante 39% in T;
ottenendo R V = 15.43 × 0.61 + 8 × 0.39 = 12.53.
V è composto: 39% di T, 4.31% di A, 15.52% di C, 14.84% di D e 26.33% di E
dove i pesi di A, C, D, E sono il 61% dei rispettivi pesi con cui compaiono in U.
− o in portafogli che non contengono T e dati dalla frontiera efficiente con le sole
alternative a rendimento aleatorio, se vuole un rendimento superiore a 15.43 o un
rischio maggiore di 0.82.
4.3. Portafogli efficienti (frontiera efficiente) utilizzando sia titoli o business a
rendimento aleatorio sia un titolo a rendimento certo sia la possibilità di
indebitamento a tasso certo
Tutte le considerazioni fatte in 4.1. per il titolo a rendimento certo valgono anche per
l’indebitamento a tasso certo. Allora, nel nostro caso guida, dati:
− i cinque titoli o business a rendimento aleatorio;
− la possibilità di investire in T con rendimento certo R fc = 8 e prendere a prestito in T
a tasso certo R fd =8;
allora, la frontiera efficiente è la semiretta uscente da T e tangente in U, Fig. 23.
Fig. 23: Frontiera efficiente uscente da T, possibilità di investimento e di finanziamento a
tasso certo R fc = R fd = 8, e tangente in U. I punti sulla semiretta da U in poi identificano i
portafogli ottenuti indebitandosi e sovrainvestendo sempre nel portafoglio, mix di
business, U
Il decisore può decidere efficientemente di investire:
− o tutto in T, con un rendimento certo 8;
− o componendo T con U, se vuole un rischio maggiore di zero e inferiore a 0.82 o vuole
un rendimento atteso inferiore a 15.43 e maggiore di 8;
− o tutto in U se vuole un rischio 0.82 o un rendimento atteso di 15.43;
− o tutto, capitale proprio più capitale a debito, in U finanziandosi in T a tasso certo 8, se
vuole un rendimento atteso maggiore di 15.43 o un rischio maggiore di 0.82.
58
Fig

Si verifica l’effetto leva dell’indebitamento: indebitandosi aumenta il rendimento, ma
anche il rischio dell’investimento, secondo una relazione lineare.
Poichè il nostro sistema finanziario non opera con Rfc=Rfd , purtroppo, ma con Rfc

− rendimento lordo di lire 22.397628, costo dell'indebitamento di 2.397628, quindi un
rendimento netto di 20 e σΩ valutabile utilizzando l’equazione della semiretta uscente
da (13, 0) e tangente alla frontiera efficiente delle sole attività a rendimento aleatorio
nel punto Z:
⎧0=
a+ 13b
⎨
⎩145
. = a+ 1891 . b
145 . − 0 = a− a+ ( 18. 91−13) b
b = 0. 245347
a =−3189511
.
σ =− 1189511 . + 0. 245347R
p p
da cui si ha:
σ
p
=− 1189511 . + 0. 245347 ⋅ 20 = 1717429 . ≅172
.
È facile verificare che il titolo D ha rendimento atteso 20 e rischio 1.85 e che potendo
indebitarsi a tasso R fd =13 si può ottenere il portafoglio Ω che ha stesso rendimento di D
e rischio 1.72: Ω domina D per rischio. Quindi, lavorando con capitale a debito si riesce
a migliorare l’efficienza dell’investimento.
Fig. 25: Soluzione efficiente Ω con rendimento atteso di 20 indebitandosi a tasso certo
R fd =13 e investendo tutto nel portafoglio Z.
60

SIMULAZIONI
1) Si considera il caso di un portafoglio composto dai tre business B, D, E e si suppone inoltre la
possibilità di investire in un titolo con rendimento certo pari a 8. Si indica la quota da investire nel titolo a
rendimento certo x0
⎛0
0 0 0 −1⎞⎛x0⎞
⎛ R f ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜0
4 11429 . 11429 . −1⎟
⎜ x1
⎟ ⎜ R1
⎟
Mx = b ⇒⎜0
11429 . 3. 4286 01429 . −1⎟
⎜ x ⎟ = ⎜ ⎟
2 µ R 2
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜0
11429 . 01429 . 11429 . −1⎟
⎜ x 3 ⎟ ⎜ R 3 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝1
1 1 1 0⎠⎝λ⎠ ⎝ 1 ⎠
che diventa
x M 1
⎛ R1−Rf⎞⎛ 4 11429 . 11429 . ⎞
− ⎜ ⎟ ⎜
⎟
= ⎜ R2−Rf⎟µ = ⎜11429
. 3. 4286 01429 . ⎟
⎜
⎝ − ⎟ ⎜
⎟
R R ⎠ ⎝11429
. 01429 . 11429 . ⎠
3
f
61
−1
s
⎛15
− 8⎞
⎛−00725
. ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜20
− 8⎟
05 . = ⎜ 17071 . ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝12
− 8⎠
⎝ 16090 . ⎠
Si deve ora determinare la quota di capitale da investire o prendere a prestito al tasso certo affinchè sia
rispettato il vincolo di bilancio, data la propensione al rischio 0.5.
Dato x1 + x2 + x3
= − 0. 0725 + 17071 . + 16090 . = 3. 2436
Dovrà essere x0 = 1− 3. 2436 =−2.
2436 , quantitá da prendere a prestito al tasso certo.
2) Si consideri ora il portafoglio composto utilizzando i cinque business A, B, C, D, E e con le ipotesi
formulate nel precedente esempio:
x M 1
⎛ R1−Rf⎞⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0.
2857⎞
⎛ 7 ⎞ ⎛ 00385 . ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ R2−Rf⎟⎜−0. 4286 4 −0.
2857 11429 . 11429 . ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜−0.2168⎟
−
= ⎜ R − R ⎟ = ⎜ − − ⎟ ⎜ ⎟ =
⎜ 3 f µ 2. 2857 0. 2857 2. 8571 0. 7143 0. 5714 9 µ ⎜ 34645 . ⎟µ
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ R4−Rf⎟⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 3. 4286 01429 . ⎟ ⎜12⎟
⎜ 2. 6351 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ R − R ⎠ ⎝−0.
2857 11429 . −0.
5714 01429 . 11429 . ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 51289 . ⎠
5
⎛ 0. 0193 ⎞
⎜ ⎟
⎜−01084
. ⎟
Si avrà, dato µ = 0.5, ⎜ 17323 . ⎟
⎜ ⎟
⎜ 13175 . ⎟
⎜ ⎟
⎝ 2. 5645 ⎠
f
Per rispettare il vincolo di bilancio l'investitore dovrà prendere a prestito al tasso certo l'importo 4.5251.
−1

ROI, ROE E SOSTENIBILITA' DEI DEBITI
5.1. Valore atteso e varianza di ROI e ROE
Giunti ad una buona conoscenza del criterio E-V si ritiene interessante inserire il presente
capitolo per mostrare come tale criterio risulti utile anche nella gestione, non solo
finanziaria, di una azienda, dove la variabile casuale non è più il rendimento di un titolo
bensì il roi (return on investment) oppure il roe (return on equity) dell'azienda vista come
portafoglio di prodotti.
Il roe è definito, utilizzando parametri deterministici, cioè valori certi e costanti, da:
roe = roi + L(roi-c)
con:
L rapporto tra quota di capitale di terzi e capitale investito (leva finanziaria);
c rapporto interessi passivi/capitale di terzi;
roi>c.
Il ricorso all'indebitamento permette alle aziende di aumentare il rendimento sul capitale
proprio, roe, attraverso l'effetto leva, posto che il tasso a debito, c (media aritmetica
ponderata di più tassi certi), sia minore del tasso di rendimento degli investimenti, roi.
Nel caso in cui l'azienda non ricorra all'indebitamento si ha L=0 e, naturalmente,
roi=roe.
Viste queste premesse è lecito chiedersi ed in molte aziende ci si chiede:
− quanto e come aumenta il rischio aziendale al variare del grado di indebitamento?
− qual'è il tasso massimo a debito che l'azienda può razionalmente sostenere?
− esiste una struttura finanziaria-produttiva efficiente?
Tali quesiti rimangono spesso irrisolti poichè nella realtà operativa c'è scarsa
consapevolezza che le condizioni in cui operano le aziende si possano tradurre in termini
di distribuzioni di probabilità della variabile casuale rendimento, roe o roi, o di suoi indici
sintetici quali valore atteso, varianza ed altri momenti51 .
Poichè tutti devono ammettere che roe e roi non possono trattarsi come deterministici, si
propone l’utilizzo del criterio E-σ proposto da Markowitz per studiare le variabili aziendali
roi e roe come trasformazione di quelle di prodotto o business.
Il portafoglio che deve essere composto è quello di una generica azienda che operi con n
business (prodotti, aree d'affari). Consideriamo il generico k-esimo portafoglio così
caratterizzato:
dove:
E roi : valore atteso del roi del mix k;
( )
k
62
5
n
k = ∑ k i i
i=
1
( ) x ( )
E roi E roi
k i x : quota di capitale destinata all'i-esimo business nel mix k, dove ∑ kx
i
i=
1
= 1, con
0≤ x ≤1;
k i
51 TREGLIA B., ROSSI F.A., "Il Criterio Media-Varianza nelle Scelte Finanziarie con Costo del Capitale Certo
o Aleatorio", Il Risparmio, n 6, 1991.
n

Eroi ( i ) : valore atteso del roi dell'i-esimo business;
n n
σ( kroi ) = k xi kx jσ( roi i) σ( roi j)
ρij
i j
⎡
⎤
⎢∑∑
⎥
⎣ = 1 = 1
⎦
dove:
σ k roi scarto quadratico medio del roi del mix k;
( )
σ( roii ) scarto quadratico medio del roi dell'i-esimo business;
ρij coefficiente di correlazione lineare tra i roi dell'i-esimo e j-esimo business.
Si ricorda che σ( roii ) σ( roi j ) ρij σ(
roiij
)
= è:
−la covarianza del roi dell'i-esimo business con quello del j-esimo se i≠j
−la varianza del roi dell'i-esimo business se i=j.
5.2. Ipotesi di indebitamento a tasso certo e di rendimento aleatorio dei business:
scelte possibili
Nell'ipotesi di tasso certo dell'indebitamento, si propone di valutare il tasso massimo
che l'azienda può sostenere utilizzando la frontiera efficiente del roe aziendale ed il
Teorema di Separazione già visto in Cap. 3 e Cap. 4. In questo caso il decisore potrà
scegliere tra infiniti livelli di indebitamento senza modificare il mix efficiente di
investimenti/prodotti.
Se il tasso dei debiti c è certo, allora il valore atteso del roe del mix k E( roe)
63
12 /
( )
k è una
combinazione lineare tra una variabile aleatoria E( kroii ) ed una grandezza costante c:
E( kroe) = E( kroi) + kL[ E( kroi)
−c]
= E( kroi) + kLE( kroi) −kLc
= ( 1+
LE ) ( roi) −cL
dove:
E( k roe)
valore atteso del roe del mix k;
k k k
c tasso (medio ponderato) certo dei debiti, con c ≥0;
k L quota di indebitamento dell'azienda investita nel mix k, con kL≥0
Lo scarto quadratico medio del roe del k-esimo mix, σ( k roe ) , finanziato con un grado
di indebitamento pari k L sarà dato da:
σ( roe) = σ(
roi)( 1 + L)
= σ( roi) + Lσ( roi)
k k k
k k k
In assenza di indebitamento, L = 0 ⇒ σ( roe) = σ ( roi)
k k k
Quest'ultima relazione mostra che in tale contesto σ(roe), dato σ(roi), cresce
linearmente al crescere di L.
Il decisore è chiamato ad affrontare i seguenti due problemi:
1) in quale portafoglio rischioso investire/produrre, tra gli infiniti possibili;
2) quale grado di leva finanziaria adottare.
Con il Teorema di Separazione si dimostra che:
a) la composizione del mix rischioso è indipendente dal grado di leva finanziaria;

) l’intensità della leva finanziaria dipende dal profilo
( E( kroi) ; σ( kroi) ) = ( E( kroe) ; σ(
kroe)
) , con L = 0, del mix di business, scelto per
leverare.
σ(roe)
2.25
1.69
c = 8
17
64
Profilo
rendimento-rischio per l’azienda
che voglia ulteriormente indebitarsi
al tasso certo dell’8%
Profilo (20, 2.25) per l’azienda che
può indebitarsi a tasso certo 8%
e voglia un L= 0.3333
E(roe)
Rendimento rischio
dell’azienda non leverata
Fig. 26: L’azienda non indebitata che operi con un E(roe)=17%=E(roi) e
σ(roe)=1.69%=σ(roi), avendo la possibilità di indebitarsi a tasso certo dell’8% se vuole
un E(roe)=20% deve indebitarsi secondo: 8%(-L)+(1+L)17%=20% da cui L=0.3333.
σ(roe) sarà: σ(roe)=σ(roi)(1+L)=1.69%⋅1.3333=2.2533%.
Sostituendo (1+ k L ) con
σ
σ
( k roe)
( roi)
k
, la determinazione del valore atteso del roe diventa:
( k roe)
( roi)
E( kroe) = c+ [ E( kroi)
−c] k
σ
σ
In questa espressione del valore atteso del roe del k-esimo mix di business, mix di
prodotti, d’azienda, il leverage kL non compare e si è dimostrato l'asserto a), concordando
con quanto esposto da Modigliani-Miller52. 5.2.1 Scelte efficienti
Valutiamo ora in quale portafoglio rischioso investire/produrre in modo efficiente. Le
due determinazioni del valore atteso del roe viste sopra presuppongono di aver calcolato i
parametri della frontiera efficiente dei business aleatori dell'azienda. Tale frontiera
efficiente é ottenibile risolvendo il seguente problema di programmazione quadratica
Eroe *
, si cerca il portafoglio a
( )
parametrica in cui, fissato un roe atteso desiderato ( )
rischio minimo:
52 MODIGLIANI F., MILLER M., The cost of Capital,Corporation Finance and The Theory of Investment, in
American Economic Review, June 1958;
MODIGLIANI F., MILLER M., Dividend Policy, Growth and the Valuation of Shares, in Journal of Business,
October 1961.

⎧
n n
2
⎪min
σ ( kroe ) = ∑ ∑ kxi kxj σ( roei) σ( roe j)
ρ
x i=
1 j=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n
⎪
*
⎨∑
kxE i ( roei ) = E(
roe)
⎪ i=
1
⎪ n
⎪∑
kxi = 1
⎪ i=
1
⎩
⎪0≤kxi
≤1 ∀i:
12 , ,........, n
Il primo vincolo è in riferimento al roe atteso desiderato, il secondo è il già noto vincolo
di bilancio, mentre il terzo riguarda i vincoli economico-strutturali, interni ed esterni
all'azienda, sulle variabili decisionali che non possono essere negative.
Nello spazio E-σ la frontiera efficiente è definita (vedi paragrafo 3.3) da:
dove a 2
≥ 0 .
( 0 1 ( ) 2 ( ) )
σ( roe) = a + a E roe + a E roe
Conoscendo la frontiera valutata solo sui business rischiosi (tratto di curva U nella Fig.
27) è possibile trovare il portafoglio rischioso (punto H in Fig. 27) in cui si deve investire
una volta noto il tasso (medio ponderato) certo c dei debiti. Esso è il portafoglio che
massimizza il premio di rischio e viene identificato dal punto di tangenza tra una semiretta,
tra le infinite uscenti dal punto c, e la frontiera efficiente delle sole attività rischiose. Si
dimostra che questa semiretta ha la minima pendenza ovvero garantisce il massimo premio
di rischio: essa è la nuova frontiera efficiente (semiretta H in Fig. 27), la frontiera
efficiente del roe aziendale.
65
2
/ 12
Il modello (vedi sub b) però non spiega analiticamente la scelta del decisore della
E roe ; σ roe , informazione necessaria per determinare l'intensità della leva.
( k k )
coppia ( ) ( )
Per valutare questa si dovrebbe ricorrere anche ad altre tecniche come l’indifferenza in
E-σ associata alla utilità attesa del decisore (per cui si rimanda al Cap. 8)
ij

σ(roe)
c = 8
U
H
66
H
E(roe)
insieme efficiente dei
punti [E(roe), σ(roe)]
configurabili per
diversi gradi di leva
finanziaria
Fig. 27: La semiretta H è la frontiera efficiente del roe aziendale nel caso in cui i debiti
abbiano tasso certo c=8 ed il decisore abbia rendimenti aleatori di prodotti con portafogli
efficienti descritti dalla curva U.
5.2.2 Tasso massimo di indebitamento razionalmente sostenibile dall'azienda
Dopo aver definito la frontiera efficiente si può dare una risposta al problema,
convenzionalmente denominato della "sostenibilità" ovvero di quale sia il tasso certo
massimo che l'azienda può economicamente (razionalmente) sostenere.
Mentre nel problema precedente (5.2.1) il tasso c è noto, ora esso è preso come
incognita. Si propone di calcolarlo trovando l'intersezione con l'asse delle ascisse della
retta tangente la frontiera efficiente nel suo estremo superiore; nel nostro caso l'estremo
superiore è anche il massimo. Si ricorda infatti che la frontiera efficiente è una funzione
continua ovunque definita in un intervallo chiuso e limitato: ciò garantisce la presenza di
un minimo e di un massimo assoluti i quali sono anche unici visto che la funzione è
strettamente crescente. Nell'intervallo, quindi, la funzione della frontiera efficiente, sopra
definita, ha una tangente con pendenza massima nel suo estremo superiore. L'intersezione
di tale tangente con l'asse dei rendimenti identifica il tasso certo massimo sostenibile.
Se per un'azienda è pari a maxc , è ancora possibile trovare un mix rischioso efficiente in
cui investire (produrre, vendere); esso è caratterizzato dalla terna
( E( max roe) ; σ( max roe)
; max σ ' ) dove max σ ' è la derivata della frontiera efficiente così
calcolata:
dσ( roe)
a1 + a2E( roe)
=
dE( roe)
2 [ a0 + a1E( roe) + a2( E( roe))
]
12
2
2
e valutata nel suo punto di massimo.
Se invece l'azienda ricorre a debiti ad un tasso c con c> max c non esiste più alcun
portafoglio efficiente in cui poter investire. La semiretta uscente da un punto c scelto
maggiore di max c non può più tangere la frontiera efficiente nel suo estremo superiore.
Essa può solo secare tale funzione venendo così a determinare un insieme inefficiente.
L'intersezione con l'asse delle ascisse della semiretta tangente alla frontiera efficiente
E roe ; σ roe si ha in:
( k k )
nel punto ( ) ( )

( roe)
⎛ σ k ⎞
⎜ E( k roe)
− ;0 ⎟
⎝
k σ′
⎠
Infatti, dato il coefficiente angolare della retta tangente il generico portafoglio k k σ ' e
il generico punto ( E( kroe) ; σ ( kroe)
) si può determinare l'equazione della retta attraverso
la formulazione generale di una retta dato il coefficiente angolare ed un punto (x0,y0): y− y0 = m( x−x0) che nel nostro caso, dato:
y = σ, y0= σ( kroe) , m=
kσ
'
x = R , x0= E( k roe)
diventa
σ− σ ( roe) = σ '( R − E( roe ))
k k k
σ = kσ'( R − E( kroe)) + σ ( kroe)
Si trova l'intersezione con l'asse delle ordinate per R =0 che si ha nel punto:
σ = σ ( kroe) − kσ' E( kroe
)
Da cui, ricordando l'equazione generale della retta y=mx+q, si ha l'equazione della retta
tangente:
σ = kσ' R + σ ( kroe) −kσ
' E( kroe)
In σ = 0 si trova il valore di R in cui la retta interseca l'asse delle ascisse
0 = kσ ' R + σ ( kroe) −kσ
' E( kroe)
da cui
σ(
k roe)
R = E( k roe)
−
k σ '
Se al punto di intersezione si sostituisce la terna [ E( max roe) ; σ( max roe)
; max σ′ ] si ottiene
la formulazione del tasso massimo sostenibile:
( max roe)
max c = E( max roe)
−
max '
σ
σ
Tale relazione dimostra come max c è uguale a E( max roe)
solo se max σ ' tende all'infinito
(oltre al caso banale che il numeratore sia nullo tale per cui σ( max roe ) = 0 ): cioè quando la
frontiera efficiente ha tangente all'estremo superiore praticamente verticale; in questo caso
si ha un premio al rischio nullo: non conviene indebitarsi!
5.2.3 Simulazioni sulla valutazione del tasso massimo razionalmente sostenibile
A) Si supponga l'esistenza di un'azienda che nel proprio portafoglio detenga cinque
business e, per facilitare la comprensione, si considerino i valori dei soliti cinque business
A, B, C, D, E finora utilizzati. Il roe atteso ed il rischio corrispondono ai valori in Tabella
2. Si prendano inoltre in considerazione la loro matrice di varianze e covarianze e quella
dei coefficienti di correlazione (Tab. 3 e 4).
Ipotizziamo che sia data la funzione
σ = (183.111 - 19.7778 E(roe)+ 0.539682 (E(roe)) 2 ) 1/2
67

definita fra un roe atteso di 19 e 20 e si voglia calcolare il costo massimo sopportabile
nell’ipotesi di produrre secondo un portafoglio che ha roe atteso 20 e rischio 1.85. Allora,
vista l’ultima equazione del paragrafo precedente, si ha:
185 .
c = 20 − = 16. 21
max
0. 48867
cioè, in questa azienda:
− il 16.21% è il tasso certo massimo razionalmente sostenibile come tasso di
finanziamento;
− se tale azienda si indebita per L=0.5 allora essa avrà:
− E(roe) = 20 (1 + 0.5) - 16.21⋅ 0.5 = 21.8950;
− σ(roe) = 1.851432 (1 + 0.5) = 2.777148.
B) Vediamo ora come si comporta max c al variare della correlazione tra il roe dei business
prima di introdurre vincoli operativi alla scelta degli stessi. Come già mostrato più è
correlato il rendimento dei business, minori sono le possibilità di ridurre la rischiosità del
portafoglio. Ne discende che maggiore è la correlazione media tra i rendimenti dei
business, minore è il costo certo massimo sostenibile, a parità di altre condizioni.
Ciò è chiaro anche dalla formulazione del max c che mostra come all'aumentare di σ e a
parità di altre condizioni si riduce il tasso massimo sostenibile.
In Figura 28 sono riportate le possibili frontiere efficienti ottenibili con i cinque
business al variare della correlazione tra questi:
− frontiera 1:
calcolata dopo aver posto nella matrice di correlazione tutti i ρij = 0, ∀i≠j;
(tasso massimo sostenibile 17%)
− frontiera 2:
calcolata in base alla matrice dei coefficienti di correlazione in Tab. 4;
(tasso massimo sostenibile 16.21%)
− frontiera 3:
calcolata dopo aver posto nella matrice di correlazione tutti i ρij = 05 . , ∀ i≠j;
(tasso massimo sostenibile 14.49%)
− frontiera 4:
calcolata dopo aver posto nella matrice di correlazione tutti i ρij = 07 . , ∀ i≠j;
(tasso massimo sostenibile 11.71%).
Si ricorda che in tutte queste simulazioni il roe atteso aziendale era sempre del 20% ed
il rischio dell’1.85%.
Come si può vedere in Figura 28, la frontiera 1, calcolata nell'ipotesi che tutti i business
siano non correlati linearmente, permette all'azienda di sostenere un tasso massimo certo di
17. La frontiera 4 permette di sostenere, al più, un costo di 11.71.
68

Fig. 28: Possibili tassi certi massimi coerentemente sostenibili in presenza di diversi
gradi di correlazione esistenti fra i rendimenti degli stessi cinque business.
5.2.4. L’effetto dei vincoli operativi sul tasso certo massimo sostenibile
La realtà aziendale suggerisce di inserire nel modello eventuali vincoli strutturali, di
mercato, del tipo: 0≤kαi≤kxi≤kβ i ≤1
∀i: 1, 2 ,........, n,
dove:
kα i:
estremo inferiore dei valori ammissibili per kx i;
kβ i:
estremo superiore dei valori ammissibili per kx i.
Gli effetti ottenibili dall'introduzione di tali vincoli sono sintetizzabili nei seguenti tre
punti:
− si riduce l'ampiezza sia del dominio sia del codominio della frontiera efficiente, rispetto
ad una frontiera calcolata in assenza di tali vincoli;
− la frontiera efficiente si localizza nello spazio E-σ in una posizione interna, rispetto ad
una frontiera calcolata in assenza di vincoli, cioè, a parità di rendimento atteso, aumenta
il rischio minimo che deve essere assunto (ci si sposta verso l'angolo di Nord-Ovest);
− si riduce il numero di portafogli d'angolo della frontiera efficiente;
( max ; max ; max )
Visto che max c dipende dalla terna E( roe) ( roe)
σ σ ' e, in base a quanto
detto sopra, per i nuovi portafogli componibili si ha che:
E roe
( )
σ( max roe ) aumenta;
max diminuisce;
se max σ ′ rimane invariato, come solitamente succede, allora max c sarà inferiore rispetto
a quello valutato in assenza di vincoli operativi.
69

5.2.5 Alcune simulazioni della valutazione del tasso certo massimo sostenibile in
presenza di vincoli operativi sulle variabili decisionali
Tra le frontiere efficienti viste in Fig. 28, la frontiera numero 2 è calcolata in base ai
coefficienti di correlazione riportati in Tab. 4; per la sua determinazione si sono considerati
solo i vincoli 0≤ x i ≤ 1, ∑ x i = 1.
Il punto massimo della frontiera è D in cui si hanno:
E(roe)=20, σ(roe)=1.85, σ'=0.49 (derivata sinistra). Il tasso massimo sostenibile calcolato
è in 16.21.
Considerando la stessa matrice di correlazione, ma imponendo i seguenti vincoli:
⎧005
. ≤ x A ≤015
.
⎪
030 . ≤ x B ≤035
.
⎪
⎨010
. ≤ xC
≤015
.
⎪040
. ≤ xD
≤050
.
⎪
⎩⎪
005 . ≤ x E ≤010
.
si è calcolata la frontiera numero 5, tratto di curva assai corto, che in Fig. 29 viene
confrontata con la frontiera 2 della Fig. 28. Nel punto di massimo della nuova frontiera si
hanno: E(roe)=17.55, σ(roe)=1.30, σ'=0.25. Il tasso massimo sostenibile è di 13.32,
inferiore al tasso massimo di 16.21 corrispondente alla frontiera 2.
σ(roe)
70
E(roe)
Fig. 29: Confronto fra tasso massimo coerentemente sostenibile in presenza ed assenza
di vincoli operativi nel mix dei cinque business.

6
MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO
IL MODELLO DIAGONALE DI SHARPE
Per informare il modello di selezione del portafoglio proposto da Markowitz, finora
utilizzato, si deve disporre, nel caso di n titoli, di 2n+n(n-1)/2 parametri di cui:
n rendimenti attesi;
n varianze;
n(n-1)/2 , con i≠j coefficienti di correlazione lineare ρ ij o covarianze.
È evidente l'elevato costo delle attività di informazione (di ordine n 2 ) per fornire i
parametri al modello di Markowitz.
Questo è uno dei motivi che hanno favorito la ricerca di semplificazioni del modello
stesso. Tra i modelli semplificati proposti verranno analizzati in seguito il modello
diagonale di Sharpe e modelli a più indici.
6.1 Il modello diagonale di Sharpe
Il modello diagonale di Sharpe 53 assume che i rendimenti dei titoli o business siano
influenzati solo e soltanto da un unico fattore. In pratica Sharpe propone di calcolare il
rendimento di un titolo attraverso una funzione lineare in cui la variabile esogena è data
dall’andamento, variazione, rendimento di un basic underlying factor (trattando azioni,
l'indice potrebbe essere quello del mercato azionario).
6.1.1 Rendimento e rischio di un titolo
Sharpe ha ipotizzato che il rendimento dell'i-esimo titolo, con i = 1, 2, 3,...,n, sia dato
da:
Ri = αi + βiI + εi
con:
αi, βi parametri;
componente erratica (unica) del rendimento con distribuzione Gaussiana e con
ε i
valore atteso ( ε ) = 0 e varianza ( )
E i
Var ε = Q . La varianza del rendimento
71
i i
dei titoli è supposta costante lungo tutta la retta.;
I variazione dell'indice di mercato scelto come rappresentativo dell'andamento
dei titoli.
Il valore di I viene definito da un parametro fissato e da una variabile aleatoria:
I = α n+ 1 + ε n+
1
αn+1 parametro;
εn+1 componente erratica con E( ε n+
1) = 0 e Var( ε n+ 1) = Qn+ 1 = Var( I)
Infatti Var( I) = Var( αn+ 1 + εn+ 1) = Var( αn+ 1) + Var( εn+ 1) + 2Cov(
αn+ 1, εn+
1)
; il primo ed
il terzo addendo sono nulli in quanto (vedi sopra) αn+1 é una costante.
Le informazioni necessare all'applicazione del modello diagonale sono quindi i parametri
della retta αi e βi, la varianza Qi del rendimento dei titoli, il valore atteso dell’indice
E(I)=α n+1 e la varianza Qn+1 dell’indice scelto come base di riferimento dal decisore. In
53 SHARPE W.F., "Simplifed Model for Portfolio Analysis", Management Science, Jan.1963.

Fig. 30 si illustrano le relazioni viste sinora. Gli αi e βi identificano la retta che lega i
rendimenti del titolo i-esimo ai rendimenti dell'indice I.
Fig. 30: Relazione tra la variazione dell’indice di mercato e il rendimento dell'i-esimo
titolo, con specificazione dell'andamento gaussiano della componente erratica e
dell'indice di mercato.
Sharpe assume inoltre che:
Cov( ε , ε ) = E ε − E( ε ) ε − E( ε ) = E ε −0 ε − 0 = E ε , ε = Q = 0
[ ( )( ) ] [ ( )( ) ] ( )
+ 1 + 1 [ + 1 + 1 + 1 ] ( + 1)
i j i i j j i j i j ij
( ) ( ) ( )( )
Cov ε , I = Cov ε , α + ε = E ε − 0 α + ε − α = E ε , ε = 0
i i n n i n n n i n
La prima condizione sostiene l'indipendenza di ciascuna delle n variabili casuali ε i dalle
altre n-1. Quindi, solo l'indice, e niente altro, muove i rendimenti dei titoli. La seconda
impone indipendenza tra gli n ε i ed I e quindi che gli errori valutati sul titolo i-esimo siano
indipendenti da quelli valutati sull'indice.
Il rendimento atteso dell'i-esimo titolo è
ER ( i) = E( αi + βiI+ εi) = E( αi) + E( βiI) + E( εi) = αi + βiEI ( ) = αi + βα i n+
1
La varianza del rendimento 54 dello stesso titolo risulta pari a
54Si premette che la varianza di una variabile può essere espressa anche come differenza tra valore atteso del
2
quadrato della variabile e il quadrato del valore atteso: V( ε ) = E ( ε ) −
2
E(
ε )
72
i i i

[ (
( )
2
+ 1)
]
[
2 [ (
(
+ 1)
] [ (
2
+ 1)
]
2
) ]
[ ( + 1)
]
[ ( + 1 + 1
2
+ 1)
] 2 [ ( + 1 + 1 + 1)
] [ (
2
) ]
[ (
2
+ 1)
] [ (
2
) ] 2
+ 1
2
[ ] ( )
2
σ = ER− ER = E α + β I+ ε − α + βα = Eβ I−
α + ε =
i i i i i i i i n i n i
2
= β E I − α + β E ε I − α + E ε =
i n i i n i
2
= β E α + ε − α + β E ε α + ε − α + E ε =
i n n n i i n n n i
2
= β E ε + E ε = β Q + Q
i n i i n i
La covarianza del rendimento del titolo i con il titolo j è data da:
σ = E R − R R − R =
[ ( )( ) ]
[ ( )
] ( )
[ ( ) ][ ( ) ]
2 [ ββ i jεn+ 1 εε i j βε i n+ 1εj βjεn+ 1εi]
ij i i i j
{ αi βi εi ( αi βiαn+ 1) [ α j β j ε j ( α j β jαn+ 1)
] }
{ βi αn+ 1 εi β j αn+ 1 ε j } { [ βiεn+ 1 εi][ β jεn+ 1 ε j]
}
= E + I + − + + I + − + =
= E I − + I − + = E + + =
= E + + + =
= ββ Q + Q + βQ + β Q = ββ Q
i j n+ 1 ij i j, n+ 1 j i, n+ 1 i j n+1
6.1.2 Rendimento e rischio di portafogli fattibili con n titoli a rendimento aleatorio
Secondo il modello diagonale, il rendimento di portafoglio R x R
di portafoglio investita nell'i-esimo titolo, é dato da:
n
73
( α β ε )
R = x R = x + I +
P i i
i=
1 i=
1
n
∑ ∑
che può essere scomposto nel seguente modo:
n
i i i i
∑ ( α ε ) ∑ iβi( αn+ 1 εn+
1)
R = x + + x +
P i i i
i=
1
n
i=
1
n
P = ∑ i i
i=
1
2
, con x i quota
ipotizzando quindi che il rendimento di portafoglio sia dato dal rendimento di base,
caratteristico di ogni titolo, e, un ipotetico "investimento" nell'indice.
Al variare di I il rendimento di portafoglio varierà della quantità xiβi , che è la media
ponderata dei β i dei titoli in portafoglio, e che viene definito come
n
∑
x = xβ
= β
n+ 1
i i
i=
1
Il rendimento di portafoglio si può quindi esprimere come:
n
P
n
∑
i=
1
∑ ( α ε ) n+ 1( αn+ 1 εn+ 1)
∑ i( αi εi)
R = x + + x + = x +
P i i i
i=
1
avendo tenuto conto della formulazione di I.
n+
1
i=
1

Il rendimento di portafoglio avrà valore atteso
n+
1
n+
1
⎛
⎞
RP = E⎜∑xi( αi + εi) ⎟ = ∑xα
⎝
⎠
i=
1
n+
1
n+
1
⎛ ⎞
dato che E⎜∑xiεi⎟ = ∑xiE(
εi)
= 0
⎝ ⎠
i=
1
i=
1
L'equazione evidenzia che il rendimento atteso di portafoglio è dato dalla media
aritmetica ponderata degli α i, compreso quello dell'indice.
La varianza di portafoglio è
74
i=
1
i i
2
⎡
σP = ERP − RP = E xi αi + εi − x α
⎣ i=
1
i=
1
n+
1
n+
1
2
( ) ⎢∑
( ) ∑ i( i)
2
n 1
n 1
n 1
n 1
2 2
2 2
= E xiεi E( xiεi ) xi E( εi
) x Q
i 1
i 1
i 1
i 1
⎡
+
+
+
+
⎤
⎢∑
⎥ = ∑ = ∑ = ∑
⎣ = ⎦ =
=
=
2
⎤
⎥
⎦
=
Ora dovrebbe essere chiaro il motivo per cui Sharpe ha scelto di definire che l’indice
scelto I abbia valore atteso α n+1 e varianza Q n+1 .
6.1.3 La valutazione del rischio al crescere del numero di titoli o business in
portafoglio o azienda
Se si ipotizza un portafoglio di n titoli equiripartito con:
la varianza di portafoglio è data da:
che al divergere di n:
x
x
i
1
= con i= 12 ,,..., n
n
= β
n+ 1 P
2 2 2
2
σ = 1 n Q + x Q = 1 n 1 nQ + β Q
P
n
∑ i n+ 1 n+
1
n
∑
i=
1
i=
1
2
= 1 nQ + β Q
i P n+
1
( 1)
2
i i
i P n+
1
2 2
2
lim σ = lim 1 nQ + β Q = β Q .
P
n→∞
n→∞
i P n+ P n+
1

Tale valore rappresenta il rischio sistematico ineliminabile secondo questo
modello.
Vale la pena di soffermarsi a commentare quest’ultimo risultato:
− è il prodotto di due fattori;
− uno è il quadrato della misura del legame sistematico rendimento portafogliobenchmark,
l’altro la varianza del benchmark (indice di base, di riferimento);
− se il portafoglio ha βp = 1 con il benchmark, il portafoglio avrà il rischio (varianza) del
benchmark ( lim Q
2 2
σ = β
n→∞
P P n+
1 = Qn+1 );
− se il portafoglio ha βp < 1 con il benchmark, il portafoglio avrà rischio più basso di
quello del benchmark secondo una quadratica ( lim Q
2 2
σ = β
75
n→∞
P P n+
1 < Qn+1 );
− se il portafoglio ha βp> 1 con il benchmark, il portafoglio avrà rischio più grande di
2 2
quello del benchmark secondo una quadratica ( lim σP = βPQn+
1> Qn+1 ).
Si rileva che, quindi, la scelta dell’economia di riferimento, del benchmark, è assai
importante per discutere del rendimento e del rischio di portafoglio o d’azienda perchè, in
questo modello semplificato, il rischio non è più assoluto, ma relativo al movimento del
benchmark: il rischio del portafoglio o dell’azienda è legato, riflesso, letto, attraverso il
rischio del benchmark.
Visto che ∑ xiβi = β
n
i=
1
P
n→∞
è una componente ineliminabile del rischio sistematico si è
proposta una classificazione dei titoli secondo il loro βi, che è stato eletto a indice di
rischio.
Se:
β i > 1, il titolo ha rischio maggiore di quello del benchmark (titolo aggressivo);
β i = 1, il titolo ha il rischio in linea con quello del benchmark (titolo neutro);
β i < 1, il titolo ha rischio minore di quello del benchmark (titolo difensivo).
Naturalmente, le stesse considerazioni si fanno sul portafoglio utilizzando βp.

6.1.4. La valutazione delle soluzioni efficienti
Il modello da ottimizzare è ora dato da:
⎧
n+
1
n+
1
2
2
⎪min
Z5
=− µ RP + σ P =− µ ∑xiαi + ∑x
Q
x
i=
1
i=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n
⎨ ∑xiβi
= xn+
1 = βP
⎪ i=
1
⎪ n
⎪∑
x i − 1= 0
i=
1
⎪
⎩x
≥ 0
i
La matrice delle varianze-covarianze da trattare è Q
⎡Q1
. .
⎢
. Q
⎢ 2
⎢ . ....
Q = ⎢
⎢ 0
⎢ 0 0
⎢
⎣ 0 0 0
76
0 0 0 ⎤
0 0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
Qi
.
⎥
.... . ⎥
⎥
. . Qn+
1⎦
di dimensione (n+1)(n+1), ma con solo (n+1) elementi diagonali non nulli e zero altrove,
quindi facile da trattare per valutare le soluzioni che interessano (gran parte degli sforzi dei
“matematici” è devoluto alla diagonalizzazione delle matrici proprio al fine di trovare poi a
costo molto basso le soluzioni al sistema in studio).
Consideriamo tutti i parametri da inserire nel modello. Essi sono ora 3n+2: n+1 per
gliα i, n per i β i , n per i Q i , nonché Q n+1 . La soluzione al modello è data utilizzando i
metodi esposti nel cap.3.
La proposta di Sharpe porta anche alla attribuzione di un preciso significato economico
alla trasformazione lineare delle variabili. Interessante è sopratutto x n+1 che esprime il
legame sistematico del rendimento del portafoglio alla variabile esterna di riferimento.
Tale grandezza è utile per valutare la sensibilità, il rischio sistematico che il portafoglio del
decisore ha con l'economia, la congiuntura di cui I , indice di base, benchmark, è la sintesi.
Volendo far risaltare questo concetto si ponga:
il modello si può quindi riscrivere come:
α n+ 1 , n+
1
= A x = B
i i

⎧
n
n n
⎡
⎤
2
2
⎪min
Z7
=− µ RP + σ P =− µ +
x
⎣
⎢∑xiαi
BA
⎦
⎥ + ( ∑ ∑xix
jQij
+ B Qin+
1 )
i=
1 j=
1 j=
1
⎪
⎪con
vincoli
⎪ n
⎨ ∑xiβi
= B
⎪ i=
1
⎪ n
⎪∑
x i − 1= 0
i=
1
⎪
⎩⎪
x i ≥ 0
dove risulta più chiara anche la possibilità data al decisore di scegliere, parametrizzare,
imporre B cioè quantificare a priori il legame sistematico voluto con il benchmark. Per
esempio, imporre:
− B1, se il decisore vuole un portafoglio aggressivo riguardo il benchmark.
SIMULAZIONI
A)
Con i nostri soliti cinque titoli o business si ipotizza di aver scelto, per esempio:
I = variazione percentuale Indice Azionario Generale Comit, per controllare il rendimento e rischio di un
portafoglio di titoli azionari;
oppure
I = tasso di rendimento di tutte le aziende del settore assicurativo danni, per controllare il rendimento e
rischio dell’azienda assicurativa che opera nei cinque rami danni A, B, C, D, E.
Date le informazioni in Tab.8 si può valutare il rendimento e la varianza dei titoli azionari o rami A, B,
C, D, E nonchè la covarianza dei rendimenti dei titoli o rami secondo il modello diagonale proposto da
Sharpe:
A B C D E
α i 0.9592 0.7245 4.1224 1.6939 9.1837
β i 0.9913 0.9767 1.3120 1.1370 0.1749
Q i 1.2099 3.5760 1.3654 2.5219 1.2983
Tab. 8: α i , βi , Qi dei cinque titoli o rami assicurativi con il benchmark I
Le informazioni in Tab. 8 possono essere determinate o l’analisi probabilistica bivariata o con la
regressione su serie prospettiche o su basi ipotetiche, simulative, ottenute anche modificando stime ex-post
degli stessi parametri decisionali 55 .
55 Alcune società, nazionali e internazionali, calcolano sistematicamente per i vari mercati quanto in Tab. 8
sulle serie storiche dei titoli e degli indici più trattati. Naturalmente, ogni operatore deve poi adattare tali
informazioni alla congiuntura prevista per l’unità periodale in analisi. La valutazione dei parametri αi e βi , in
Ri = αi + βiI + εi , può essere anche il frutto di ipotesi, ovvero di simulazioni, sintesi di più proiezioni ex-ante
dei rendimenti, dei titoli azionari o rami e dell'indice. Per esempio, nel nostro caso si possono proporre:
A B C D E I
15 17 17 19 12 16.3
13 15 15 19 11 14.8
... ... ... ... ... ...
16 18 18 21 13 17.5
15 12 16 18 12 14.9
77

Siano, inoltre: EI ( ) = 161 . = n+
1
α , Var( I) = 098 . = Qn+ 1 . Si sono calcolati i coefficienti di determinazione
lineare ρ 2 in: 0.4811, 0.2337, 0.5904, 0.3695 e 0.0262 rispettivamente per A, B, C, D, E con I.
Dalla Tab. 8 si può verificare che:
− sono titoli aggressivi C e D;
− sono sicuramente titoli difensivi B, E;
− A, che ha β=0.99, puó essere etichettato come "quasi neutro".
B)
Si consideri un portafoglio equiripartito tra i cinque titoli A, B, C, D, E e gli αi e βi di Tab.6. Si avrà x = 1/n
i
= 0.2.
n
∑
i=
1
xiβi = βP
= xn+
1 = 0. 2( 0. 9913 + 0. 9767 + 13120 . + 11370 . + 01749 . ) = 0. 9184
Si desidera ora determinare il valore atteso del rendimento di portafoglio e la varianza di portafoglio
tenendo conto che xn+ 1Qn+ 1 = β PVar(
I)
n+
1
R = ∑ x α
P i i
i=
1
⎧xi=
02 . con i = 12 , ,..., n
⎨
⎩xn+
1αn+ 1 = βPE(
I) i = n+
1
= 0.( 2 −0. 9592 −0. 7245 − 41224 . + 16939 . + 91837 . ) + 0. 9184 × 161 . = 1580 .
PER IL TITOLO O BUSINESS A
Dato: RA =− 0. 9592 + 0. 9913I
+ ε i
ER ( A) = E( − 0. 9592 + 0. 9913I + ε i)
= − 0. 9592 + 0. 9913EI
( ) =
=− 0. 9592 + 0. 9913α
n+
1 =
=− 0. 9592 + 0. 9913 × 161 . = 15. 0007
2 2
2
σA = βAQn+
1 + QA
= 0. 9913 × 0. 98 + 12099 . = 21729 .
σ = 14741 .
B
PER IL TITOLO O BUSINESS B
Dato: RB =− 0. 724 + 0. 977I
+ ε i
ER ( B) = E( − 0. 7245 + 0. 9767I + ε i)
= − 0. 7245 + 0. 9767EI
( ) =
=− 0. 7245 + 0. 9767α
n+
1 =
=− 0. 7245 + 0. 9767 × 161 . = 22. 37
2 2
2
σB = βBQn+
1 + QB
= 0. 9767 × 0. 98 + 35760 . = 4. 5109
σ = 21239 .
B
su cui operare con il metodo dei minimi quadrati per valutare gli αi e βi ed i valori delle varianze residue
esposti in Tab. 8.
78

PER IL TITOLO O BUSINESS C
Dato: RC =− 4122 . + 1312 . I + ε i
ER ( C) = E( − 41224 . + 13120 . I+ ε i)
= − 41224 . + 13120 . EI ( ) =
=− 41224 . + 13120 . α n+
1 =
=− 41224 . + 13120 . × 161 . = 17. 0008
2 2
2
σC = βCQn+
1 + QC
= 13120 . × 0. 98 + 13654 . = 30523 .
σ = 17471 .
C
PER IL TITOLO O BUSINESS D
Dato: RD = 1694 . + 1137 . I + ε i
ER ( D) = E( 16939 . + 11370 . I+ ε i)
= 16939 . + 11370 . EI ( ) =
= 16939 . + 11370 . α n+
1 =
= 16939 . + 11370 . × 161 . = 36. 95
2 2
2
σD = βDQn+
1 + QD
= 11370 . × 0. 98 + 2. 5219 = 37888 .
σ = 19465 .
D
PER IL TITOLO O BUSINESS E
Dato: RE = 9184 . + 0175 . I + ε i
ER ( E) = E( 91837 . + 01749 . I+ ε i)
= 91837 . + 01749 . EI ( ) =
= 91837 . + 01749 . α n+
1 =
= 91837 . + 01749 . × 161 . = 119996 .
2
σE 2
= βEQn+
1 + QE
2
= 01749 . × 0. 98 + 12983 . = 13283 .
σ = 11525 .
E
Qui sotto è riportato il calcolo delle covarianze, viste attraverso il Benchmark I, dei rendimenti dei titoli:
σAB = βAβBQn+1 = 0.9488
σAC = βAβCQn+1 = 1.2746
σAD = βAβDQn+1 = 1.1046
σAE = βAβEQn+1 = 0.1699
σBC = βBβCQn+1 = 1.2558
σBD = βBβDQn+1 = 1.0883
σBE = βBβEQn+1 = 0.1674
σCD = βCβDQn+1 = 1.4619
σCE = βCβEQn+1 = 0.2249
σDE = βDβEQn+1 = 0.1949
79

7
MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO
MODELLI A PIU’ INDICI
I modelli unifattoriali valutabili con quanto esposto nel capitolo 6 si basano sull'ipotesi che
i rendimenti dei titoli considerati siano funzione del rendimento di un unico indice di base,
che in genere è un indice di mercato. Tale ipotesi è assai forte ovvero è da tempo chiaro
che i rendimenti dei titoli non possono essere mossi da un solo “basic underlying factor”,
ma risentono di molti fattori, spesso di difficile rilevazione diretta.
Considerando il modello unifattoriale come caso particolare, si può generalizzare questa
ipotesi introducendo più variabili esplicative dell'andamento dei rendimenti dei titoli, più
indici di riferimento. Si parla in questo caso di modelli multifattoriali.
7.1. Modelli a più indici
Lo scopo di questi modelli è di spiegare meglio dei modelli unifattoriali la variabilità dei
rendimenti pur mantenendo basso il numero di informazioni necessarie all'analisi, numero
che deve essere inferiore a quello del modello generale di Markowitz56 e, possibilmente, di
ordine n.
In questi modelli il rendimento del titolo i-esimo si esprime come combinazione lineare del
valore degli indici scelti:
* * * * * * *
Ri = α i + β i1I1+ β i2I2 + ....... + β iKIK+ ui
dove:
∗ ∗
, βij parametri;
αi ui variabile erratica costante (differenza tra valore del rendimento e rendimento
2
previsto) con E(ui)=0 e V(ui)=σ . Questo valore rappresenta la misura del rischio
ui
associato all'i-esimo titolo che non dipende dalla relazione del titolo stesso con gli indici;
∗
I j variabili esplicative, j=1, 2, ..., k.
Nell'analisi multivariata non si può prescindere dal considerare la possibilità di
correlazione tra le variabili, gli indici. Operativamente ciò disturba57 sia la stima dei
parametri sia la loro gestione e si rende necessario ortogonalizzare (rendere indipendenti)
le variabili del sistema.
Se, ad esempio, si considera un modello bifattoriale (si usano due soli indici) si può
esprimere il rendimento di un titolo come:
* * * * *
R = α + β I + β I + u
*
dove gli indici I1 e I2
dall'effetto dell'altra.
i i i1 1 i2 2 i
* sono linearmente dipendenti; bisogna quindi depurare una variabile
Posto I1 I1
utilizzando la tecnica della regressione si ottiene
*
I = γ + γ I + di * = (dove la mancanza dell'asterisco indica d'ora in poi la variabile ortogonale) e
2 0 1 1
*
Si chiama I2 un nuovo indice ottenuto depurando I2 dall'effetto di I1 ossia
( γ γ )
*
I2 = I2− 0 + 1I1 = di 56 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit.
57 Si considerino le problematiche circa la correttezza, l'efficienza, la consistenza delle stime nella statistica
inferente e nell'econometria.
80

Si sostituiscono tali risultati nell'equazione del rendimento
* * * *
Ri = αi + βi1I1+ βi2( γ0+ γ1I1
+ I2) + ui
=
* * * *
= α + β I + β γ
*
+ β γ I
*
+ β I + u =
i i1 1 i2 0 i2 1 1 i2 2 i
( ) ( )
=
* *
αi + βi2γ0 +
* *
βi1 + βi2γ1 *
I1 + βi2I2
+ ui
e si ottiene un’equazione con variabili esplicative ortogonali.
Posto poi:
* *
αi + βi2γ 0 = αi
, valore costante;
* *
β + β γ = β , l'effetto delle variazioni di I1 sul rendimento del titolo i-esimo.
i1 i2 1 i1
*
In esso sono compresi sia l'effetto di I1 (β i1 ), sia l'effetto indiretto attraverso I2
81
* *
(β γ );
*
βi2 = βi2
, l'effetto della differenza dell'indice I2 dalla sua relazione prevista con I2 *
di stima I2 con I2 ) sul rendimento del titolo i-esimo;
l'equazione del rendimento del titolo i-esimo diventa:
Ri = α i + β i1I1 + β i2I2 + ui
Supponendo di applicare questo procedimento all'equazione generale si ottiene
Ri = αi + βi1I1 + βi2 I2+ ..... + βiKIK
+ ui
dove I j sono variabili esplicative non correlate con:
[ ]
( j) j; ( j) σ Ij; ( j j)( m m)
2
i2 1
*
(errore
EI = I VarI= E I − I I − I = 0 ∀j≠ m.
Viene ovviamente mantenuta anche l'ipotesi di indipendenza tra le variabili esplicative ed i
residui ui , cioè:
E I − I , u = 0
[ ( j j) i]
affinchè il valore effettivo assunto dalla variabile esplicativa non distorca la stima di Ri .
La semplificazione del modello è dovuta soprattutto all'ipotesi di indipendenza dei residui,
cioè Euu [ i j ] = 0 . Essa permette di escludere altri fattori quali cause della variabilità dei
rendimenti dei titoli oltre gli indici previsti, che sono in numero di K.
Considerando queste ipotesi si ottiene:
− il rendimento atteso di un titolo
ER ( i) = E( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK
+ ui)
=
= E( αi) + E( βi1I1) + E( βi2I2) + ... + E( βiKIK)
+ E( ui)
=
= αi + βi1I1+ βi2I2+ ... + βiKIK
− la varianza del rendimento di un titolo (considerando che tutti i termini incrociati sono
pari a zero) è
2
σi = E[ ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK 2
+ ui) − ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK)
]
2
⎡ K
⎤ K
2
2
2
= E⎢∑βij ( I j − I j ) + ui⎥ = ∑βij
E( I j − I j ) + σui
⎣ j=
1
⎦ j=
1
=
2 2
=
βσ
2 2
+ βσ
2 2
+ .... + β σ
2
+ σ
i1I1 i2I2 iK IK ui

− la covarianza del rendimento del titolo i-esimo con quello del titolo j-esimo,
considerando che tutti i termini incrociati sono nulli per ipotesi, è:
σ = E R − R R − R =
[ ( )( ) ]
{ [ ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK K i) ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK
K)
]
( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK uj) ( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK) ij i i j j
= E + I + I + + I + u − + I + I + + I ⋅
[ ]}
⋅ + + + + + − + + + + =
K
K
⎧⎡
⎤⎡
⎤⎫
= E⎨⎢∑βik ( Ik− Ik) + ui⎥⎢∑β jk( Ik − Ik) + uj⎥⎬=
⎩⎣
k=
1 ⎦⎣
k=
1
⎦⎭
2
= ββ σ + ββ
2
σ + .......... + β β
2
σ
i1 j1 I1 i2 j2 I2 iK jK IK
Si è verificato che i modelli a più indici operano meglio dei modelli ad un solo indice nel
riprodurre la matrice storica delle correlazioni, ma non sempre migliorano la capacità
previsiva degli stessi. Quest'ultima migliora se si procede ad una classificazione dei titoli
per pseudo-industrie o comunque per raggruppamenti omogenei 58.
Tali raggruppamenti equivalgono alla trasformazione del sistema iniziale dei rendimenti,
che spesso nella realtà sono altamente correlati, in un sistema semplificato, composto da un
numero inferiore di nuove variabili fra di loro indipendenti che esprimano la maggior parte
della variabilità iniziale del sistema. Si desidera quindi trovare un insieme di nuove
variabili che riassumano l'insieme delle informazioni dei rendimenti osservati. La tecnica
per determinare queste nuove variabili è detta tecnica delle componenti principali (PCA),
che, applicata alla matrice delle varianze-covarianze o delle correlazioni fra rendimenti,
spiega l'analisi della variabilità dei rendimenti con uno o più componenti, indici, fattori,
ortogonali 59.
Prima di procedere all'esposizione della tecnica delle componenti principali è utile aprire
una parentesi per richiamare come si calcolano gli autovalori e gli autovettori di una
matrice.
58 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit., pag. 147.
59 LEBART L., MORINEAU A., WARWICK K.M., Multivariate Descriptive Statistical Analysis, Wiley, N.Y.,
1984.
82

7.2.0. Richiami su autovalori ed autovettori
Dovendo descrivere il comportamento di sistemi reali di grandi dimensioni può essere utile
ricercare sottoinsiemi di definizione i cui elementi siano trasformati dall'applicazione
lineare f in elementi del sottoinsieme stesso; ovvero sottoinsiemi W tali che f( W) ⊂ W .
Ricordando che:
n m
− le applicazioni lineari f :ℜ → ℜ si possono esprimere come
83
n ( )
f ( a) = Ta a ∈ℜ
con T(nxm) matrice associata all'applicazione f. Essa è unica data la base scelta per ℜ n e
ℜ m ;
− dato lo scalare λ l'applicazione f ( a) = λ a trasforma ogni elemento di a in
multipli di se stesso.
n n
Data la matrice quadrata T di ordine n associata a f :ℜ → ℜ , lo scalare λ ed il vettore
a ∈ℜ n con a ≠ 0 , che soddisfano l'equazione
Ta = λ a
sono detti rispettivamente λ autovalore ed a autovettore (associato all'autovalore λ) della
matrice T.
Il calcolo degli autovalori della matrice T segue dalla definizione. Infatti dato Ta = λ a si
ricava il sistema omogeneo
che si può scrivere come
con I matrice identità in ℜ n .
Ta − λa = 0
( T− λI) a = 0
Supponendo λ noto si ricercano i vettori a soluzione del sistema omogeneo ( T− λI) a = 0
che ha n equazioni ed n incognite.
Affinchè il sistema abbia soluzione non banale (a≠0) dovrà essere
det( T− λI) = 0
Il primo membro dell'equazione è un polinomio in λ di grado n detto polinomio
caratteristico della matrice T. L'equazione è detta equazione caratteristica. Le sue n radici
sono gli autovalori della matrice T. Per il Teorema Fondamentale dell'algebra ogni
polinomio di grado n ha n radici complesse. Per ogni autovalore (si possono avere anche
autovalori uguali) esiste un autovettore a che soddisfa l'equazione
Ta = λ
a

ESEMPIO
Data l'applicazione lineare
⎡ 2 3 ⎤
f ( a) = Ta = ⎢ a
⎣−1
−2
⎥
⎦
si determinano gli autovalori (due). Data l'equazione caratteristica
⎡ − ⎤
det( T− I)
= ⇒ det⎢
⎣ − − −
⎥
⎦
=
λ
2 λ 3
0
0
1 2 λ
si avrà:
( 2−λ)( −2− λ)
+ 3= 0
2
−4− 2λ+ 2λ+ λ + 3= 0
2
− 4+ λ + 3= 0
2
λ − 1= 0 ⇒ λ = − 1; λ = 1
1 2
L'autovettore a associato a λ1 =− 1 è tale che f(a)=-a mentre l'autovettore associato a λ 2
f(b)=b.
Gli autovettori si ottengono risolvendo il sistema Ta = λ a :
⎧2a1
+ 3a2
= −a1
dato λ1 = − 1 Þ ⎨
da cui
⎩−a1
− 2a2
= −a2
l'autovettore associato è dato da a = − ⎡ 1⎤
⎢ ⎥k
con k ∈ℜ .
⎣ 1 ⎦
⎧2b1
+ 3b2
= b1
Dato λ 2 = 1 Þ ⎨
da cui b1 =−3b2
⎩−b1
− 2b2
= b2
l'autovettore associato è dato da b = − ⎡ 3⎤
⎢ ⎥h
con h∈ℜ
.
⎣ 1 ⎦
84
a =−a
1 2
= 1 è tale che
Come visto anche dall'esempio, gli autovettori hanno lunghezza arbitraria e quindi se a
soddisfa l'equazione Ta =λ a per qualche λ, anche ca risulta una soluzione, per c scalare
arbitrario. E' convenzione utilizzare, tra gli infiniti autovettori generati dall’autovalore
associato, l’autovettore che risponde a:
a'a = 1
ovvero che ha norma unitaria.
Si citano ora, senza dimostrarli, alcuni teoremi e proprietà degli autovalori:
− ogni matrice quadrata T di ordine n ha n autovalori (conseguenza del teorema
fondamentale dell'algebra);
− λ =0 è un autovalore di T se e solo se det(T)=0;
− gli autovalori di una matrice diagonale sono gli elementi della diagonale principale;
− se λ è un autovalore di T allora 1/λ è un autovalore dell'inversa T -1 ;
− λ p è autovalore di T p
.
Nel nostro ambito di studio (selezione del portafoglio) la matrice T è simmetrica
semidefinita positiva essendo la matrice di varianze e covarianze (o delle correlazioni
lineari) tra rendimenti di n titoli. Per le matrici simmetriche valgono queste ulteriori
proprietà:
− gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali;
− gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali fra di loro (cioè
aa i j = 0) per ogni i≠j; T é quindi diagonalizzabile;

− gli autovalori associati ad una matrice semidefinita positiva sono positivi o, al piú,
nulli.
− la matrice A ottenuta accostando gli autovettori normalizzati è tale che ′ = −
A A 1
,λ , con i= 1 ,....., n,
si può riassumere in forma
matriciale l'insieme di relazioni:
Ta i = λ iai con i= 1,....., n come TA = AΛ
con A = ( a1,....., an)
matrice ottenuta accostando gli n autovettori e Λ matrice diagonale
degli autovalori di T
⎡λ1
0 .. 0 ⎤
⎢
0 λ
⎥
Λ= ⎢ 2 ..
⎥
⎢ .. .. .. .. ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 .. λ n ⎦
Da questa relazione, ricordando che trattando matrici di varianze-covarianze o di
correlazione si ha ′ = −
A A 1 la diagonalizzazione di T:
ATA ′ = Λ
Determinate a questo punto le coppie ( )
a i i
7.2.1. La tecnica delle Componenti Principali (PCA).
L'analisi fattoriale 60 permette di trovare un insieme di fattori latenti, fra di loro
stocasticamente indipendenti, esplicativi delle variabili iniziali per noi diversi indici di
mercato. Per determinare tali fattori si può applicare la Tecnica delle Componenti
Principali.
La tecnica delle Componenti Principali si propone di rappresentare, con la minor perdita
possibile di informazioni, un insieme di variabili attraverso un numero relativamente
piccolo di relazioni lineari.
Dal punto di vista matematico la PCA ha lo scopo di trasformare p variabili non tutte
indipendenti in un insieme m

Per semplificazione si tratterà la determinazione delle componenti principali con il solo
utilizzo della matrice di varianza-covarianza, specificando le differenze effettive che si
riscontrano nell'utilizzo della matrice di correlazione solo alla fine della trattazione.
′
Dato il vettore x = ( x1, x2, x3,......., xp) di variabili casuali con media nulla61 e matrice di
varianza e covarianza C={ σ ij }, data la matrice A ottenuta dall'accostamento degli
autovettori normalizzati di C, si considera la seguente trasformazione lineare:
z1 = a11x1 + a21x2+ ........... + ap1xp = a'1 x
z2 = a12x1 + a22x2+ ........... + ap2xp = a'2 x
................
z = a x + a x + ........... + a x = a' x
dove z i è la i-esima componente principale.
p 1p 1 2p 2
pp p p
La generica componente principale zi = a'i x avrà:
− valore atteso: Ez ( i) = ai' Ex ( ) = 0
− varianza pari a:
Var( zi) = E[ ( a' x − E( zi))( a' x − E( zi)) ′ ] = E[ ( a' x)( a' x) '] = a'
i=1, 2, ......p, e con E(xx')=C.
E(
xx') a = a' Ca
i i i i i i i icon
La covarianza tra due componenti è data da
Cov z , z = E z ⋅ z = E a' x a' x ' = a' E xx' a =
[ ] ( )
( i j) ( i j)
( )( )
= a'iCa j = a'i λ jaj = λ ja'i
a j = 0 essendo a'i a j = 0
con i≠j , vista l’ortogonalità degli autovettori.
86
i j i j
In forma matriciale si avrà z= A′ x con:
− z = ( z1, z2, z3 ,... zp)' vettore delle nuove variabili casuali, le componenti principali;
− A matrice (p x p) ottenuta dall'accostamento degli autovettori normalizzati.
Si definisce forma quadratica associata a T la funzione scalare di a
Q( a) = a'Ta
considerando T matrice simmetrica. Ad esempio nel caso di T(2x2) e di un generico
vettore a di due elementi, la forma quadratica avrà la seguente espressione:
2
2
a' Ta = t11a1+ 2 t12a1a2+ t22a2 e nel caso generale di matrice di ordine n
2
a' Ta = t11a1+ 2t12a1a2+ 2t13a1a3+ ...... + 2t1na1an
2
+ t22a2 + 2t23a2a3+ ...... + 2t2na2an
2
+ t33a3 + ....... + 2t3na3an
...........
2
+ tnnan Si osserva che la varianza di zi = aCa 1′ 1 è una forma quadratica semidefinita positiva.
61 Questa condizione non risulta gravosa perchè, se y ha media E(y), allora x=y-E(y) ha media nulla.

PRIMO PASSO: l'obiettivo è quello di determinare il vettore a che massimizza la
varianza del sistema in analisi, con il vincolo che tale vettore abbia norma unitaria. Il
problema di programmazione matematica diventa quindi:
⎧⎪
max φ= a'Ca
a
⎨
⎩⎪ soggetta al vincolo a' a = 1
Esso si risolve definendo la funzione Lagrangiana
L ( a, λ) = a'Ca−λ( a'a−1
)
e imponendo le condizioni necessarie: ∂L
∂L
= 0 e = 0.
∂a
∂λ
Se si deriva la Lagrangiana rispetto ad a si ha:
∂ L ∂[ a'Ca −λ( a'a −1)
]
=
= 0
∂a
∂a
= 2Ca − 2λa= 0
= C− λI
a = 0
dove I è la matrice identità in ℜ p .
( )
Il sistema da risolvere risulta quindi:
⎧(
C− λI) a = 0
⎨
⎩aa
' = 1
Si tratta in pratica di trovare il massimo autovalore e il corrispondente autovettore della
matrice C, con il vincolo che l'autovettore abbia norma unitaria.
Come visto, gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico
det( C− λI) = 0 .
Se gli autovalori che si ottengono da tale equazione sono posti in ordine decrescente
( λ1 ≥λ2 ≥... ≥λ
p ) , essendo non negativi, dato che C è una matrice simmetrica semidefinita
positiva, il problema è risolto prendendo λmax = λ1. Sostituendo λ1 nella relazione
( C− I) a = 0 si determina l'autovettore amax = a1 ad esso corrispondente soluzione del
λ1 problema di massimo. La prima componente principale è data da:
z1 = a'1x .
λ1 rappresenta la varianza della prima componente principale, cioè la quantitá di
informazione del sistema iniziale che entra nel nuovo insieme dato dalla prima
componente principale. Infatti dalle equazioni Ca1 = λ 1a1 e a1′ a1
= 1 si ricava che
λ = a 'Ca = a ' λa
= Var( z ) .
1 1 1 1 1 1
SECONDO PASSO: per trovare la seconda componente z 2 2
⎧max
φ = a'Ca
⎪
a
⎪soggetta
ai vincoli
⎨
⎪ a'a = 1
⎩⎪
a'a=
0
1
87
= a' x si risolve il problema

determinando λ2 e a2. Dopo p iterazioni si deve risolvere il problema
⎧max
φ = a'Ca
⎪
a
⎪soggetta
ai vincoli
⎨
⎪ a'a = 1
⎩⎪
a'a i = 0, per i = 1,....., p−1
che determina la coppia (λp, ap). Tale procedura corrisponde, più semplicemente, alla determinazione degli autovalori della
matrice C, ordinandoli come visto sopra e calcolando i rispettivi autovettori.
Si nota come si possano determinare tante componenti principali quante sono le variabili di
partenza, ma nelle applicazioni non si eseguono tutte le p iterazioni; se ne considera in
genere un numero m

3) limitazione dell'analisi alle componenti con autovalore uguale o superiore al valore
considerato "punto di gomito" del diagramma ottenuto dopo aver rappresentato in [i,
λ i], con i=1, 2, ...,p, gli autovalori (Fig. 31) 63.
Fig. 31: Autovalori estratti da una matrice di varianze-covarianze con specificazione del
punto di "gomito". Si consiglia di estrarre soltanto i primi tre autovalori e autovettori
associati.
Dopo aver determinato le componenti principali si desidera esprimere una stima delle
variabili casuali iniziali come combinazione lineare delle componenti principali stesse.
Infatti, da z= A′ x si ha x= Az poichè ′ = −
A A 1 . Se si desidera ora esprimere le variabili
iniziali in funzione delle sole m < p componenti principali si otterrà un nuovo sistema:
$x= Bz dove B è la matrice (p x m), ottenuta eliminando le ultime ( p− m)
colonne della
matrice A; $x esprime la stima di x mediante z. Se si considerano realmente le sole m < p
colonne della matrice dei coefficienti della PCA non si parlerà più di componenti
principali, ma di fattori.
La nuova matrice B è quindi detta matrice dei factor loadings (coefficienti di saturazione)
rappresentanti l'analisi fattoriale, che se letta per riga analizza la stima delle variabili
iniziali in funzione dei fattori, mentre se letta per colonna esprime i coefficienti della
combinazione lineare delle variabili per la determinazione delle componenti principali.
Inoltre, se si elevano al quadrato i singoli coefficienti di saturazione si ottiene la variabilità
spiegata da ogni fattore su ogni variabile, mentre la variabilità spiegata dai fattori comuni
per le singole variabili è detta comunalità.
Se si dispone della matrice di correlazione R invece della matrice di varianza-covarianza,
lo svolgimento per la determinazione delle componenti principali e quindi dei fattori si
mantiene. Unica distinzione effettiva da considerare è che in questo caso si ha:
63 KOUTSOYIANNIS A., 1993, op. cit., pag. 424.
89

p
∑ λi =
i=
1
poichè tale somma equivale al calcolo della traccia della matrice presa in considerazione
che nel caso della matrice di correlazione, con diagonale principale unitaria, risulta uguale
alla dimensione della matrice stessa. Si deve inoltre sottolineare che, in seguito alla
normalizzazione con cui si passa da C ad
⎧⎪
σ ij ⎫⎪
R = ⎨ρ
ij = ⎬ ,
⎩⎪ σσ i j ⎭⎪
gli autovalori e autovettori di R sono, in generale, diversi da quelli di C.
Prima di passare agli esempi sull'applicazione della PCA risulta utile determinare i
coefficienti di correlazione fra i fattori e le variabili iniziali. Si definisce coefficiente di
correlazione fra la k-esima variabile iniziale e l'i-esimo fattore il seguente rapporto:
Cov( xk, zi)
ρxz = k i Var( xk) Var( zi)
.
Si osserva che la k-esima variabile può essere indicata come:
xk = lkx con lk
= ( 0,..., 1,.... 0 ) . La covarianza Cov( xk , zi
) può ora essere scritta nel
seguente modo:
Cov( xk, zi) = E ( lkx)( ax i ) ′ = lkCa
i
valendo l'uguaglianza Cai = λi ai
Cov( xk, zi) = lkλiai = λiaik.
Se Var( xk )= σk 2 , essendo la varianza di zi uguale all'i-esimo autovalore λi, si ha:
Cov( x λ λ
k, zi)
ia a
ik ik i
ρxkz=
= =
i
2
Var ( xk) Var ( zi)
σ λ σ
k i k
Il coefficiente di correlazione ρxz descrive quanto la variabile casuale k-esima sia legata
k i
linearmente all'i-esimo fattore.
Se la matrice utilizzata è quella di correlazione R tale coefficiente risulta uguale a
ρxz= aik
λ
k i
i ,
essendo in questo caso le variabili x standardizzate e quindi con varianza unitaria.
Inoltre, se i fattori stimati sono fra loro ortogonali, i factor loadings rappresentano anche la
correlazione fra i fattori e le variabili; di conseguenza la somma per riga dei quadrati dei
factor loadings risulterà uguale a λi
2
σ k
se la matrice iniziale è C, oppure a λi se la matrice
originaria è R.
Spesso, purtroppo, da una prima analisi i fattori determinati rappresentano
significativamente più di una variabile alla volta risultando così di difficile interpretazione.
Per risolvere questo problema si può applicare una rotazione dei fattori, per esempio
utilizzando il metodo VARIMAX 64, che cerca di minimizzare il numero di variabili che
64 HARMANN H.H., Modern factor analysis, The University of Chicago Press, Chicago, 1967, 2nd Edition;
CHILD D., The essentials of Factor Analysis, Holt, Rineart and Winstone, London, 1970;
MORRISON D.F., Metodi di analisi statistica multivariata, Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 1976;
90
p,

hanno alti legami con un fattore per ottenere un sistema finale di fattori indipendenti
esplicativi di insiemi distinti di variabili. Con questa rotazione la matrice iniziale dei factor
loadings cambia mantenendo però costante la comunalità di ogni variabile.
Nel paragrafo successivo verranno mostrate applicazioni economiche dell'analisi fattoriale,
con la tecnica delle componenti principali, in cui si cercherà di interpretare la matrice dei
coefficienti di saturazione per poter dare significato ai fattori estratti.
SIMULAZIONI
1) Date due variabili, cui corrisponde la seguente matrice di varianza-covarianza
C = ⎡ 4
⎢
⎣⎢
2
si propone di trovarne le componenti principali
2⎤
⎥
3 ⎦⎥
Si devono calcolare dapprima gli autovalori di C, trovando i valori che annullano il determinante del
sistema
⎧⎪
⎡ 4
det⎨⎢ ⎩⎪ ⎣⎢
2
2⎤⎡1
⎥ − ⎢
3 ⎦⎥
⎣0
0⎤⎫⎪
4
det
1
⎥⎬
⎦⎭⎪
2
2
( 5 )( 2 ) 0
3
=
⎡ −
⎢
⎣⎢
⎤
⎥ = = − − =
− ⎦⎥
λ
λ
........ λ λ
λ
Si hanno soluzioni per λ1 = 5 e λ2 = 2.
La prima componente principale sarà quella corrispondente all'autovalore più grande, λ1 = 5. Il
corrispondente autovettore si ottiene sostituendo l1 e risolvendo il sistema
⎡4−5
2 ⎤⎡
11 ⎤ ⎡0
⎢ ⎥⎢
⎥ = ⎢
⎣⎢
2 3−5⎦⎥⎣21 ⎦ ⎣0
⎤ a
a
⎥
⎦
cioè
⎧⎪
− a11 + 2 a21
= 0
⎨
⎩⎪ 2 a11 − 2a21 = 0
l'autovettore corrispondente è: a = ⎡ 2 ⎤
⎢ ⎥k
k ∈R
⎣⎢
1 ⎦⎥
,
⎡ 2
Tenendo presente il vincolo aa 1′ 1= 1, si ottiene l'autovettore: a= ⎢
⎣⎢
1
principale
3⎤
⎥ da cui la prima componente
3 ⎦⎥
z1 = ax 1 = a11x1+ a21x2 =
2
x1+ 3
1
x2
3
'
La variabilità spiegata dalla prima componente è pari a 5/(5+2) cioè il 71,4% della variabilità totale.
Si determina il secondo autovettore in modo analogo:
z2 = ax 2 = a12x1+ a22x2 =
1
x1+ 3
2
x2
3
'
Allora si può calcolare x attraverso
x1
x = Az
x2
⎡ ⎤ ⎡ + ⎤
⎢ ⎥ = = ⎢
⎣ ⎦ ⎣ +
⎥
⎦
=
⎡ 2
⎢ z1+ a11z1 a12z2 ⎢ 3
a ⎢
21z1 a22z2 1
⎢ z1+ ⎣⎢
3
1 ⎤
z2⎥
3 ⎥
2
⎥
z ⎥ 2
3 ⎦⎥
Se si vuole approssimare x tramite l'utilizzo della sola prima componente principale si ha:
KAISER H.F., Computer Program for varimax rotation in factor analysis, in Journal of Educatiorn and
Psycological Measurement, 1959, Vol.19, Pagg 413-420
91

a
$x = z
a
⎛ 11⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2) Determinare le componenti principali utilizzando la matrice delle varianze e covarianze fra i rendimenti
⎛ 196 .
dei titoli A e C : ⎜
⎝229
.
229 . ⎞
⎟
285 . ⎠
⎛196
. − λ
det( C− λI)
= det⎜
⎝ 229 .
229 . ⎞
⎟ = 0
285 . − λ⎠
2 2 2
(. 1 96 −λ)( 2. 85−λ) − 2. 29 = 5. 586 −1. 96λ − 2. 85λ + λ − 5. 2441 = λ − 4. 81λ + 0. 3419 = 0
Gli autovalori sono:
4. 81± λ =
23. 1361− 4 × 0. 3419 4. 81± 4. 666
=
=
2
2
λ1 4 738 = .
4. 738
La variabilità spiegata da λ1 è pari a
= 0. 985
4. 738 + 0. 072
21
= . e λ 2 0 072
Si determina l'autovettore associato al primo autovalore risolvendo il sistema
⎛196
. − 4. 738
⎜
⎝ 229 .
2. 29 ⎞ 11
⎟ 0
285 . − 4738 . ⎠ 21
⎛a
⎞
⎜ ⎟ =
⎝a
⎠
2
soggetto al vincolo di normalizzazione a
2
+ a = 1 ovvero il sistema:
11
21
⎧−
2. 778a11 + 2. 29a21 = 0
⎪
⎨229
. a11 − 1888 . a21
= 0
⎪ 2 2
⎩a11
+ a21
= 1
229 .
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21 = 0. 824a21
⇒
2. 778
⎡0.
824⎤
⎢ ⎥k
;
⎣ 1 ⎦
imponendo il vincolo di norma unitaria si ottiene l'autovettore corrispondente al primo autovalore
a = ⎡06358
. ⎤
⎢ ⎥
⎣07716
. ⎦
La prima componente principale è data:
z1 = 0. 6358x1+ 0. 7716x2
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente
z2 = − 0. 7716x1+ 0. 6361x2
Se si vogliono esprimere le variabili x in funzione di z si avrà:
x1 = 0. 6358z1−0. 7716z2
x2 = 0. 7716z1+ 0. 6361z2
Si vuole ora illustrare lo stesso esempio utilizzando però la matrice di correlazione R:
R = ⎡ 1 096 . ⎤
⎢ ⎥
⎣096
. 1 ⎦
Data la funzione caratteristica si ha
⎛1−λ096
. ⎞
det( R− λI)
= det⎜
⎟ = 0
⎝ 096 . 1−
λ⎠
( )( )
2
1−λ 1−λ − 0. 96
con i seguenti autovalori:
2 2
= 1+ λ −2λ− 0. 9216 = λ − 2λ+ 0. 0784 = 0
1
λ12
, =
1 0. 0784
λ1
196 .
1 096 .
1
λ 2 004 .
± −
⎧ =
196 .
= ± ⇒ ⎨ dove la variabilità spiegata da l1 è pari a
=
098 .
⎩ =
196 . + 004 .
92
1

Si determina ora l'autovettore associato a questo primo autovalore risolvendo il seguente sistema
⎛1−196
⎜
⎝ 096
096 ⎞ 11
⎟ 0
1−196⎠ 21
⎛
.
.
. a ⎞
⎜ ⎟ =
. ⎝a
⎠
2 2
soggetto al vincolo a11 + a21
= 1,
ovvero il sistema:
⎧−
096 . a11 + 096 . a21
= 0
⎪
⎨096
. a11 − 096 . a21
= 0
⎪ 2 2
⎩a11
+ a21
= 1
⎡
⎢
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21
⇒ a = ⎢
⎢
⎢
⎣
La prima componente principale è data:
1 ⎤
2
⎥
⎥ ;
1 ⎥
2
⎥
⎦
z1 =
1
x1+ 2
1
x2
2
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente
z2 =−
1
x1+ 2
1
x2
2
3) Si ipotizzi di applicare la PCA sulla matrice delle varianze e covarianze dei rendimenti dei tre titoli A, C,
E:
⎛ 196 .
⎜
C = ⎜ 229 .
⎜
⎝−028
.
229 .
285 .
−057
.
−028
. ⎞
⎟
−057
. ⎟
114 . ⎠
da cui
⎛196
. −
⎜
det⎜
229 .
⎜
⎝ −028 .
229 .
285 . −
−057 .
−028
. ⎞
⎟
−057
. ⎟ 0
⎟
114 . − ⎠
=
λ
λ
λ
si ottengono gli autovalori l1=4.8411, l2=1.058, l3=0.0509 la cui somma è pari a 5.95.
La variabilità spiegata dai singoli autovalori è la seguente:
λ1
λ2
λ3
= 0. 81; = 0. 178; = 0. 008
λ
λ
λ
∑ ∑ ∑
i i i
Per le fasi successive si sceglie solo il primo autovalore poiché esprime l'81% della variabilità dei
rendimenti. Per il calcolo del corrispondente autovettore si deve risolvere il sistema omogeneo:
⎛196
. −4. 8411
⎜
⎜ 2. 29
⎜
⎝ −0. 28
2. 29
2. 85 −4. 8411
−0. 57
−0.
28 ⎞⎛
11⎞
⎟⎜
⎟
−0.
57 ⎟⎜
21⎟
0
⎟⎜
⎟
114 . −4.
8411⎠
⎝ 31⎠
=
2 2 2
con vincolo a11 + a21 + a31
= 1 cioè:
a
a
a
⎧−
2. 8811a11 + 2. 29a21 − 0. 28a31 = 0
⎪
⎪229
. a11 −19811 . a21 − 057 . a31
= 0
⎨
⎪
−0. 28a11 −0. 57a21 − 3. 701a31 = 0
⎪ 2 2 2
⎩a11
+ a21 + a31
= 1
L' autovettore risulta così composto: a11=0.623, a21=0.764, a31=-0.165.
La prima componente principale quindi è data da:
z1= 0623 . A+ 0764 . C−0165 .
E
93

A questo punto, pur avendo determinato una sola componente principale, si può calcolare il vettore dei
coefficienti di correlazione fra la componente principale e le variabili iniziali:
a11
λ1
0. 623 4. 8411 0623 . ⋅ 22 .
ρ Az = = = = 0979 .
1 σ A 196 .
14 .
a21
λ1
0. 764 4. 8411 0764 . ⋅ 22 .
ρBz
= = = = 0996 .
1 σ
285 . 1688 .
ρ
Cz1
B
( . ) . ( )
a31
λ1
0165 4 8411
= =
σ
114
−
= − ⋅
.
C
Si otterrà così il seguente vettore correlazione:
0165 . 22 .
=−034
.
1067 .
z1
A ⎡0979
. ⎤
B
⎢
0996 .
⎥
⎢ ⎥
C ⎣⎢
−034
. ⎦⎥
Analizzando tale vettore si vede come la componente principale sia altamente correlata positivamente con i
titoli A e B.
94

7.2.2. Alcune esperienze
Molti studiosi hanno analizzato i mercati finanziari con la tecnica della componenti
principali. Meric I. e Meric G. 65 hanno applicato la tecnica delle componenti principali alla
matrice di varianza e covarianza delle serie storiche dei rendimenti mensili, dal 1973 al
1987, degli indici azionari di 17 paesi e delle serie storiche dei rendimenti di 17 settori
industriali internazionali.
Data l'estrazione di quattro componenti, nell'analisi di 17 indici di borsa, e l'estrazione
di due componenti, nell'analisi dei rendimenti di 17 settori industriali, si sono calcolate le
due matrici delle correlazioni indici-componenti (Tab.9 e Tab. 10).
In grassetto si sono segnati i coefficienti massimi per riga.
In Tab. 10 si nota come l'estrazione di due soli fattori spiega che i rendimenti dei settori
industriali sono più correlati tra loro dei rendimenti dei mercati azionari nazionali (Tab.9).
Portafogli diversificati per nazione permettono quindi risultati migliori, in termini di
rendimento-rischio, di portafogli diversificati per settore industriale.
In Tabella 9 si può notare, analizzando la varianza spiegata cumulata, come i primi
quattro fattori spiegano insieme il 62% della variabilità dei rendimenti delle 17 nazioni. Il
primo fattore è altamente correlato con i rendimenti di mercato dell'area del marco e quindi
riassume la variabilità degli indicatori di tale area. Il secondo invece riassume la variabilità
dei rendimenti dei paesi dell'area del dollaro. Il terzo considera i rendimenti di Spagna,
Italia e Giappone. Il quarto riassume la variabilità dei paesi del sud-est asiatico. La Francia
ha rendimenti legati con tutti i primi tre fattori. Si possono così utilizzare solo quattro
variabili (le quattro componenti) per spiegare la variabilità dei rendimenti di ben 17
nazioni.
Analizzando la Tab.10 é evidente che i settori industriali internazionali sono molto
correlati nei rendimenti; bastano infatti due componenti per spiegare il 67.6% della
variabilità totale, inoltre si hanno settori con rendimenti correlati sia con la prima sia con la
seconda componente.
Elton e Gruber 66 hanno applicato la PCA alla matrice delle correlazioni dei prezzi di 76
società di sette comparti industriali. Essi hanno trovato che la variabilità totale è stata
spiegata:
− dalla prima componente per il 36%;
− dalle prime tre componenti per il 45%;
− dalle prime otto per il 61%;
− dalle prime diciassette per il 75%.
65MERIC I. e MERIC G., "Potential Gains from International Portfolio Diversification and Intertemporal
Stability and Seasonality in International Market Relationship", Journal of Banking and Finance, 13, 1989.
66ELTON J.E., GRUBER J.M., “Estimating the Dependence Structure of Share Price”, Journal of Finance,
Dec., 1973.
95

Anche in Italia si è utilizzato più volte tale tecnica sia nella selezione del portafoglio nel
caso in cui le osservazioni siano in numero inferiore rispetto alle possibilità 67 , sia per
l'analisi delle performance dei fondi comuni di diritto italiano 68 .
Tab. 9: Correlazioni fra i rendimenti dei mercati azionari di 17 paesi e le
quattro componenti estratte da Meric I. e Meric G.:"Potential Gains from
International Portfolio Diversification and Intertemporal Stability and
Seasonality in International Market Relationship", Journal of Banking and
Finance, 13, 1989 (in grassetto il coefficiente di correlazione massimo per riga).
COMPONENTI PRINCIPALI
Mercati Prima Seconda Terza Quarta
azionari I1 I2 I3 I4
Germania 0.837 0.133 0.151 0.154
Austria 0.767 -0.008 0.181 0.063
Svizzera 0.720 0.371 0.167 0.203
Paesi Bassi 0.683 0.457 0.134 0.183
Belgio 0.651 0.373 0.331 0.036
Canada 0.076 0.784 0.173 0.203
U.S.A. 0.186 0.719 -0.026 0.322
Norvegia 0.374 0.658 0.092 -0.003
Gran Bretagna 0.273 0.591 0.307 0.122
Italia 0.160 0.223 0.674 0.034
Spagna 0.188 0.086 0.656 0.001
Giappone 0.386 -0.077 0.610 0.404
Hong Kong 0.195 0.114 0.098 0.796
Singapore 0.108 0.339 0.019 0.716
Svezia 0.392 0.347 0.166 0.225
Francia 0.420 0.458 0.451 -0.043
Australia
% varianza
-0.059 0.493 0.466 0.373
spiegata
% var. spiegata
cumulata
40.1
40.1
67 ROSSI F.A., "La Selezione del Portafoglio nel caso di Alternative in Numero Maggiore delle Osservazioni
e in Presenza di Strutture di Dipendenza Lineare", Il Risparmio, n.3, Marzo 1981.
68 ROSSI F.A., ERLACHER E., "Efficienza ed Equilibrio Finanziario dei Fondi Comuni di Diritto Italiano", Atti
del XII convegno A:M.A.S.E.S., Palermo, Settembre, 1988.
96
9.2
49.4
6.4
55.8
6.3
62.0

Tab. 10: Correlazioni fra i rendimenti di 17 settori
internazionali e le due componenti estratte da Meric I. e Meric
G.: "Potential Gains from International Portfolio Diversification
and Intertemporal Stability and Seasonality in International
Market Relationship", Journal of Banking and Finance, 13,
1989 (in grassetto i coefficienti massimi per riga).
Componenti Principali
Settori Prima Seconda
Internazionali I1 I2
Distribuzione 0.852 0.254
Alimentari 0.837 0.366
Sanità 0.832 0.328
Assicurazioni 0.745 0.444
Tessile 0.680 0.505
Energia 0.679 0.115
Edilizia 0.665 0.589
Chimica 0.648 0.604
Legno 0.644 0.487
Acciaio 0.097 0.861
Metalmeccanica 0.454 0.785
Elettronica 0.503 0.705
Aviotrasporti 0.168 0.678
Automobili 0.413 0.610
Banche 0.491 0.584
Metalli non ferrosi 0.381 0.567
Altri 0.445 0.547
% varianza spiegata
% varianza spiegata
cumulata
97
60.7
60.7
6.9
67.6

8
LA SCELTA PREFERITA
8.1 Introduzione
Credo che se si chiedesse a un decisore qualsiasi “Avendo due possibilità, l’investimento A
con rendimento certo 8 milioni e l’investimento B con rendimento certo 12 milioni, quale
sceglieresti a parità di capitale da investire e di orizzonte temporale?” , la risposta, coerente,
deve essere “scelgo B, perchè è l’alternativa che garantisce il maggior rendimento e quindi il
maggior capitale finale (capitale iniziale + rendimento)”. Il rischio è nullo in entrambi i casi,
quindi si parla di decisioni in ambito certo. Il decisore che utilizza il comune buon senso
commenta che 12 milioni “è meglio” di 8 milioni e poggiando sull’adagio che più è meglio di
meno non va a scomodare l’utilità derivante da tali possibilità: applica direttamente l’utilità
della moneta. Ma se dovessimo chiedere allo stesso decisore “Avendo due possibilità, a parità
di capitale investito e di orizzonte temporale: l’investimento A con rendimento certo 6 milioni
e l’investimento B con rendimento 0 milioni con probabilità 0.5 e 20 milioni con probabilità
0.5, quale seglieresti?”, credo che il decisore in questione avrà:
- prima, qualche momento di riflessione;
- poi, l’accenno di una risposta che:
- nel caso più frequente è “non saprei” o “dovrei vedere” o “le alternative non sono a
pari condizioni, quindi non confrontabili” (una dà un rendimento certo, l’altra aleatorio);
- talvolta è “scelgo B perchè i 6 milioni di A sono inferiori ai 10 milioni (= 0×0.5 +
20×0.5) di B” e costui potrebbe passare per persona istruita, competente ed in grado di
gestire il rischio avendo evidenziato che il valore atteso di B è maggiore del valore certo di A.
Taluno potrebbe forse spingersi a classificare tale decisore come propenso al rischio;
- tal’altra “scelgo A, perchè mi garantisce 6 milioni certi, non accettando 0 milioni con
probabilità 0.5, anche se ho la possibilità di 20 milioni con probabilità 0.5”, e costui
passerebbe per persona avversa al rischio.
In questo capitolo si studieranno questi problemi. L’approcio alle scelte in condizioni di
incertezza sarà attuato utilizzando la metodologia dell’utilità attesa che sarà poi applicata alle
scelte di portafoglio per la individuazione del portafoglio ottimo (la scelta migliore).
8.2 La teoria dell’utilità attesa
Definiti con
Xa={xa,1,...,xa,n}; Xb={xb,1,...,xb,n} ; ......
gli insiemi delle possibili realizzazioni di variabili casuali rappresentanti, nell’ordine, gli esiti
degli eventi finanziari a,b,..., al fine di ottenere un ordinamento di preferenza nell’insieme X è
necessario introdurre una funzione di valutazione
y=g(Xj), j=a,b,... , con y∈ℜ ; g:X→ℜ.
98

Il valore di utilità è, pertanto, un numero reale associato ad una determinata situazione, tale da
rappresentarne il grado di desiderabilità 69 .
Ad ogni alternativa, predeterminata e caratterizzata da diversi gradi di convincimento, risulta
possibile assegnare un valore di probabilitá 70 dato dalle considerazioni coerenti che
l'individuo soggettivamente compie. Inoltre, per poter utilizzare tale approccio è necessario
che la scelta tra le diverse alternative permetta al decisore di massimizzare la propria funzione
di utilitá (o soddisfacimento).
Il criterio di scelta, in tal caso, è espresso dalla massimizzazione dell’utilità attesa.
Scegliere l'utilitá attesa come criterio per la selezione fra diverse attivitá vuol dire associare
ad ognuna di esse, indipendenti fra di loro, una coppia di valori: l'utilitá dell’evento e la
probabilità associata all’evento.
I problemi decisionali attinenti a conseguenze di carattere monetario richiedono, al fine di una
soluzione razionale, la definizione di una funzione, detta funzione di utilità della moneta ed
espressa da u(x), con x variabile aleatoria a carattere monetario come la ricchezza, il reddito,
il Valore Attuale di flussi netti futuri.
Si passa quindi da una teoria dell'utilitá in ambito certo dove 71
( ) ( )
U x ≥U x ⇔ x f x
1 2 1 2
cioè l'utilità della situazione x1 è maggiore o uguale all'utilità della situazione x2 se e solo se
x1 è preferito a x2 , alla teoria dell'utilità in ambito probabilistico ove il decisore associa ad
ogni possibile ammontare aleatorio il valore dell’utilità che lo stesso decisore ne trae, quindi
l'utilità di un insieme di possibilità è data dal valore atteso della funzione di utilità u( x):
∞
U( X) = ∫ u( x) f ( x) dx con x definito nel continuo
−∞
n
= ∑
i=
1
U ( X) u( x ) p
i i
con x carattere discreto
X, insieme delle possibilità;
f ( x) , pi , rispettivamente la funzione di densità di probabilità e le probabilità assegnate alle
varie possibilità (eventi).
Generalizzando, la relazione può essere scritta come:
U( X) = E u x .
99
[ ( ) ]
69 VARIAN H., Microeconomia, Cafoscarina, Venezia, 1987.
70 VON NEUMANN J., MORGESTERN O., Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press,
1944; FAMA E. F. E MILLER M. H., The Theory of Finance, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1972, cap. 5;
COPELAND T. E. e WESTON J. F., Financial Theory and Corporate Policy, Addison Wesley, Reading Mass.,
1988; HUANG C., LITZENBERGER R.H., Foudations for Financial Economics, North-Holland, New York, 1988;
INGERSOLL J.E., Theory of Financial Decision Making, Rowman and Littlefield, Savage, 1987; ZIEMBA W.T.,
VICKSON R.G., Stochastic Optimisation Models in Finance, Academic Press, New York, 1975.
71 In termini formali con il simbolo f si indica la relazione “essere preferito a”, mentre la relazione di
indifferenza si indica con ≈.

Come in ambito certo, anche per l'utilità attesa esiste un ordinamento delle preferenze
(dominanza stocastica di primo ordine) tale per cui:
Eux > Eux ⇔ x f x;
[ ( ) ] ( )
( )
[ ]
[ ] [ ( ) ]
1 2 1 2
Eux1 = Eux2 ⇔ x1 ≈ x2.
Tale approccio deriva dall'impostazione che Von Neumann-Morgenstern (VN-M) proposero
nel 194472 in riferimento a possibili preferenze fra diverse lotterie affermando che:
se L è una lotteria con poste x1, x2,..., xnassociate agli eventi E1, E2,..., Encon probabilità
p1, p2,..., pnprefissate dal giocatore, la sua utilità è data dalla media ponderata delle
funzioni di utilità delle singole poste con pesi le corrispondenti probabilità:
n
= ∑
i=
1
U( L) u( x ) p .
VN-M hanno introdotto un insieme di postulati, o assiomi, su come si formano le preferenze,
che permettono di creare una funzione di utilità che abbia la proprietà di stabilire non solo
l’ordine di preferenza delle azioni, ma anche la misura delle differenze nell’utilità di azioni
diverse. I postulati sono73: 1) comparabilità o completezza: un investitore ordina tutti i possibili risultati stabilendo se un
risultato x è preferito, indifferente o non preferito ad un risultato y, cioè per ogni coppia x, y
vale una ed una sola fra le seguenti alternative: x f y, x ≈ y, x p y;
2) transitività o consistenza: se un investitore preferisce x a y e y a z allora preferisce x a z:
x f y, y f z ⇒ x f z;
tale postulato sottolinea quindi che l'attrattiva di un'alternativa è
valutata indipendentemente dalle altre alternative;
3) indipendenza o assioma di sostituzione: se un investitore è indifferente fra due alternative x
e y, medie dei possibili risultati ponderati con le rispettive probabilità, e se viene data
un'alternativa incerta z allora l'investitore risulta indifferente tra le seguenti altre due
alternative:
x con probabilità p e z con probabilità 1-p
y con probabilità p e z con probabilità 1-p:
x ≈ y ⇒ [ px + ( 1−p) z] ≈ [ py + ( 1 − p) z]
.
L'elemento fondamentale di questo assioma è che impone alla funzione di utilità una forma
lineare nelle probabilità; inoltre, va osservato che la formulazione dell’assioma di
indipendenza, come ne suggerisce la denominazione, comporta una distribuzione di
probabilità di più alternative tra loro indipendenti.
4) misurabilità: se un investitore preferisce x a y e y a z allora esiste un’unica probabilità p
tale che y sia indifferente a x con probabilità p e z con probabilità 1-p:
x f y f z ⇒∃! p∈( 01 , ) y ≈ [ px+ ( 1 −p)
z]
5) ordinabilità: se x e y sono preferiti ad a e non preferiti a b e si possono determinare due
sitazioni tali per cui x è indifferente ad a con probabilità p1 e b con probabilità (1-p1) e y è
72VON NEUMANN J., MORGESTERN O., 1944, op. cit.; MORICONI F., Matematica Finanziaria, il Mulino, Milano,
1994.
73 L’approccio assiomatico presentato rispecchia la formulazione sviluppata in FAMA E. F. E MILLER M. H.,
1972, op. cit.
100
i i

indifferente ad a con probabilità p2 e b con probabilità (1-p2), allora se p1 è maggiore di p2 ne
deriva che x è preferito ad y:
Se a p x pbe a p y pb
ed inoltre
x ≈ [ pa 1 + ( 1− p1) b] e y ≈ [ p2a+ ( 1−
p2) b]
allora se:
p1 > p2 ⇒ x f y
p1 = p2 ⇒ x ≈ y
p1 < p2 ⇒ x p y
A questi assiomi va affiancato il postulato di non sazietà, espresso dal “preferire il più al
meno”. In tal caso l’utilità marginale della ricchezza è sempre positiva.
Questi postulati permettono la costruzione dell'ipotesi fondamentale di una funzione di utilità
crescente e continua su tutto il suo insieme di definizione che rappresenta le scelte razionali
dell'operatore.
Al fine di ottenere una funzione di utilità, per un determinato soggetto e in relazione ad un
insieme di alternative aleatorie, è necessario indagare l’atteggiamento del decisore verso il
rischio.
Si possono verificare tre atteggiamenti diversi da parte del decisore nei confronti del rischio
consistenti con gli assiomi di VN-M (vedi Fig. 32):
a) investitore avverso al rischio (risk averter) dotato di una curva di utilità concava in
quanto ad incrementi uguali di capitale corrispondono incrementi di utilità via via
decrescenti;
b) investitore indifferente al rischio (risk neutral) denota interesse esclusivo per il
rendimento atteso senza considerare il livello di rischio associato all’investimento: la
scelta ricadrebbe sull’alternativa con rendimento atteso più elevato;
c) investitore propenso al rischio (risk lover) dotato di una funzione di utilità convessa in
quanto l’utilità marginale è in relazione crescente con la ricchezza: il decisore si
orienterebbe sull’alternativa con rischio più elevato (anche se non con redditività attesa
più alta).
u(x)
avverso indifferente propenso
u(x)
u(x)
x
(a) (b) (c)
Fig. 32 Esempi di funzioni di utilità di decisiori avversi, neutrali, propensi al rischio.
101
x
x

In sintesi, mentre il postulato di non sazietà consente di suffragare la monotonicità della
funzione di utilità, l’atteggiamento del soggetto di fronte al rischio (avverso, neutrale o
propenso) permette di circoscrivere la famiglia di funzioni di utilità (concava, lineare o
convessa), caratterizzata in termini di derivata seconda (rispettivamente negativa, nulla o
positiva).
Come anticipato, un individuo chiamato a scegliere razionalmente tra più possibilità aleatorie
(il caso di alternativa certa può essere assunta ad alternativa aleatoria degenere) deve attuare
un confronto non già tra i valori attesi delle grandezze, ma tra i valori attesi delle
corrispondenti utilità e, dalla formulazione assiomatica precedente, è possibile definire il
certo equivalente. Per ogni alternativa casuale esiste sempre un ammontare certo che produce
un'utilità pari all'utilità attesa della somma aleatoria, rendendo per l'investitore indifferente la
scelta tra esso, certo, e l'alternativa casuale. Tale ammontare è detto certo equivalente 74.
Allora, se si considera m il certo equivalente e x l'importo aleatorio si ha:
[ ( ) ]
um ( )= Eux .
Se la funzione di utilità è continua e strettamente monotona sull'intervallo considerato, essa è
invertibile e si può calcolare come
vedi grafico in Fig. 33.
{ [ ( ) ] }
m= u E u x
−1
Poichè si è detto che l'utilità del certo equivalente vale l'utilità del valore atteso dell'importo
aleatorio allora
E[u(x)]= u(m)=u[E(x)]
vale se e solo se il soggetto è indifferente al rischio, cioè ha funzione di utilità lineare.
Se ciò non accade si può dimostrare che 75:
• l'utilità del certo equivalente risulta minore dell’utilità del valore atteso
E[u(x)]=u(m)

allorquando il decisore sia propenso al rischio, cioè abbia funzione di utilità convessa.
Con questo si vuole confermare il fatto che ogni ammontare aleatorio possiede il suo certo
equivalente e che non sempre esso vale il valore atteso della variabile aleatoria.
u(x)
u[E(X)]
E[u(X)]
x 1
P1
A
m
E(X)
103
P 2
x 2
x
Posto x l’importo monetario
aleatorio
con
x
X =
x
⎧ 1 con probabilità p
⎨
⎩ 2 con probabilità p
u(x), utilità della moneta
Fig. 33 Determinazione del certo equivalente m per un individuo avverso al rischio di fronte ad una
somma incerta con due possibili determinazioni: x1 e x 2 con probabilità rispettivamente p 1 e p 2.
La Figura 33 presenta la curva di utilità di un individuo avverso al rischio il quale si trova in
una situazione aleatoria X definita da due possibili determinazioni x1 ed x2 rispettivamente
con probabilità p1 e p2. Il valore atteso della variabile aleatoria è indicato con E(X)=p1x1+p2x2
la cui utilità è pari a u[E(X)].
Per determinare l’equivalente certo di questa situazione aleatoria si deve calcolare l’utilità
attesa data da E[u(X)]=u(x1)p1+u(x2)p2. In base all’assioma 4), l’utilità dell’equivalente certo
deve essere uguale all’utilità attesa della situazione aleatoria, cioè E[u(X)]=u(m). Accettando
gli assiomi, esposti in precedenza, è possibile giustificare la determinazione del certo
equivalente per mezzo del calcolo della funzione inversa di utilità calcolata nel punto
E[u(X)].
Graficamente, proiettando l’utilità attesa sulla funzione di utilità si determina il punto A la cui
ascissa è il certo equivalente m.
Risulta chiaro che l’utilità del valore atteso è minore (per un soggetto avverso al rischio)
dell’utilità attesa dell’importo aleatorio e quindi il certo equivalente è minore del valore
atteso. Soltanto se il soggetto è indifferente al rischio e quindi la sua funzione di utilità è data
dalla retta passante per i punti P1 e P2, il certo equivalente è pari al valore atteso della
situazione aleatoria: l’utilità attesa è pari all’utilità del valore atteso.
Per mezzo dell’analisi sopra esposta il decisore è in grado di scegliere razionalmente tra più
alternative aleatorie confrontando i relativi equivalenti certi.
1
2

Ritornando alla Fig. 33, se il soggetto avesse a disposizione un ammontare certo k > m
(oppure una seconda situazione aleatoria con equivalente certo k > m ) egli coerentemente
sceglierebbe la situazione certa k (o la situazione aleatoria ad esso collegata) in quanto gli
procurerebbe una utilità maggiore.
Un’interessante osservazione è data dalla differenza tra il valore atteso e il certo equivalente
π = Ex ( ) − m
che viene definita premio per il rischio.
Un premio positivo, π>0 (si pensi al premio di assicurazione), può essere interpretato come
l’importo massimo che un soggetto avverso al rischio è disposto a pagare per sottrarsi alla
situazione aleatoria.
Al contrario, un premio negativo, π

Al fine di una migliore interpretazione di questa quantità, assunta a misura dell’atteggiamento
del decisore di fronte al rischio, risulta interessante e necessaria una semplice osservazione:
considerati due decisori, caratterizzati dalle proprie funzioni di utilità u1 e u2, si calcolano m1
e m2, rispettivamente, gli equivalenti certi ad una stessa situazione aleatoria X. Se:
u1( x)
u2( x)
r1( x)
=− r2( x) x D
u1( x)
u2( x)
′′
>−
′
′′
= ∀ ∈ allora m1 < m2
′
ossia un decisore più avverso al rischio di un altro valuterà la medesima situazione aleatoria
attribuendole un equivalente certo minore, o allo stesso modo sarà disposto a sostenere un
maggiore premio per il rischio.
Si riportano in Tabella 11 le funzioni di utilità più diffuse in letteratura, il dominio dei
parametri e della variabile, il coefficiente assoluto e relativo di avversione al rischio.
Funzioni di
utilità
Dominio dei
parametri e della
variabile
Coefficiente assoluto
di avversione al
rischio
105
Coefficiente relativo
di avversione al
rischio
Lineare
ux = ax a > 0 zero zero
( )
Quadratica
ux = ax−ax ( )
1 2
Esponenziale
ux = −e − 1
1
( )
a x
Potenza
a
x
ux ( ) =
a
Logaritmica
ux ( ) = alog( x+ d)
a
2
1 x <
2a2
; a2 >0
2a2
a − 2a
x
1 2
a > 0 1
a
x > 0
a > 0
x > 0
a > 0
d > 0
1− a
x
1
x + d
Tab. 11: Alcune funzioni di utilità
2a2
x
a − 2a
x
1 2
x
a
1− a
x
x + d
Scelta una funzione di utilità, qualsiasi trasformazione lineare crescente di questa la
modifica, ma non muta il sistema di preferenze lì sintetizzato. Quindi, ad esempio, invece di
considerare la funzione di utilità quadratica u(x)=a1x-a2x 2 si può considerare u(x+k)=b0+b1xb2x
2 , trasformazione lineare della prima, ma il sistema di preferenze non cambia.
E’ interessante notare come le funzioni di utilità in Tab. 9 (ad esclusione della funzione
lineare) sono di tipo HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) 78 in quanto hanno un r(x)
di tipo iperbolico:
78 MORICONI F., op. cit.
rx ( )
1
=
a + a x
1 2

con i parametri a1 ed a2 costanti tali da garantire un r(x) sempre positivo.
Uno tra i possibili metodi utilizzati per costruire la curva di utilità consiste nel determinare
per più situazioni aleatorie, della forma {x1, p1 = 0.5; x2, p2 = 0.5} i corrispondenti certi
equivalenti. Questo metodo, definito Equally Likely Certainty Equivalent (ELCE) 79, consente
di approntare la costruzione della curva di utilità per un decisore senza incorrere nei paradossi
e nelle difficoltà evidenziate da altre tecniche 80.
8.3 Valutazione della funzione di utilità
Al fine di determinare la funzione di utilità del Rossi lo si sottopone ad una serie di domande.
In primo luogo si chiede a Rossi per quale importo certo è disposto a scambiare un gioco
(scommessa, lotteria, investimento, business) che gli procura un guadagno di 0 milioni con
probabilità 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5. La risposta “6 milioni”, fornita da Rossi,
rappresenta la situazione per cui gli è indifferente avere un guadagno certo di 6 milioni
oppure 0 milioni con probabiltà 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5.
Per costruire la funzione di utilità si fissano, arbitrariamente, a priori le utilità corrispondenti
al valore minimo e massimo delle somme aleatorie (0 e 20 milioni). Il Rossi afferma di dare
utilità zero al guadagno zero e utilità 100 al guadagno 20. Allora, possiamo scrivere
x 0 20
ug(x) 0 100
e calcolare l’utilità attesa della situazione aleatoria
1 1 1 1
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( )
g = g 0 + g 20 = 0+ 100 = 50
2 2 2 2
Poichè l’utilità derivante dalla situazione aleatoria deve essere uguale all’utilità associata alla
situazione certa si ha
u ( ) [ ( )
g 6 = Eug x ] = 50
utilità dei sei utilità attesa della
milioni certi situazione aleatoria
In tal caso, sul piano [x, ug(x)], si sono già individuati, con le valutazioni di cui sopra, 3 punti
della funzione di utilità del Rossi in relazione alle quantità monetarie:
x 0 6 20
ug(x) 0 50 100
Si ripete ora la medesima procedura sottoponendo il Rossi alla determinazione del valore
equivalente alle due lotterie ottenute suddividendo la lotteria iniziale in:
• 0 milioni con probabilità 0.5 e 6 milioni con probabiltà 0.5
• 6 milioni con probabilità 0.5 e 20 milioni con probabiltà 0.5
Il Rossi risponde, rispettivamente, i valori certi equivalenti 2 milioni e 11 milioni, da cui si
ricavano le utilità attese nel modo precedentemente descritto
79 ANDERSON J., DILLON J., HARDAKER B., Agricultural Decision Analysis, Iowa State University Press, Ames,
Iowa, 1977.
80 Vedi (tra gli altri) QUIGGIN J., Generalized Expected Utility Theory-The Rank Dependent Model, Kluwer
Academic Publishers, Boston, 1993.
106

1 1 1 1
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( ) u ( )
g = g 0 + g 6 = 0+ 50 = 25 = g 2
2 2 2 2
Eu ( x) g
1 1
= ug 6 + ug 20
2 2
1 1
= 50+ 100 = 75 = ug
2 2
11
[ ] ( ) ( ) ( )
Procedendo ulteriormente, come sopra, sul Rossi, si ottiene:
x1 p(x1) ug(x1) x2 p(x2) ug(x2) mu ug(mu)=
E[ug(x)]
0 0.5 0 20 0.5 100 6 50
0 0.5 0 6 0.5 50 2 25
6 0.5 50 20 0.5 100 11 75
0 0.5 0 2 0.5 25 1 12.5
2 0.5 25 6 0.5 50 5 37.5
6 0.5 50 11 0.5 75 8 62.5
11 0.5 75 20 0.5 100 15 87.5
L’insieme dei punti osservati nel piano [x, ug(x)] è dato da
x 0 1 2 5 6 8 11 15 20
ug(x) 0 12.5 25 37.5 50 62.5 75 87.5 100
Adottando una funzione di utilità quadratica del tipo ( )
2
ux = a0 + ax 1 + ax 2 si devono ora
calcolare valori dei parametri della stessa. Applicando le regole d’interpolazione secondo il
principio dei minimi quadrati ordinari e volendo far passare la funzione per i punti (0,0) e
(20,100) si ha un problema di ottimizzazione quadratica vincolata:
⎧
⎪ min
a , a , a
⎪ 0 1 2 i
⎪
⎨c.v.
⎪u
( ) g 0 = 0
⎪
⎩⎪
u ( ) g 20 = 100
2
∑[
ug( xi) − ( a0+ a1xi + a2xi ) ]
risolto il quale, con la Lagrangiana, si ottengono i parametri della quadratica, funzione di
utilità del guadagno del Rossi
2
u ( x) g = − 0. 21492x + 9. 29836x
per il business in esame.
107
2

ug(x)
100
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
Fig. 34: Funzione di utilità del decisore Rossi, al quale, circa un certo business
basato sui rendimenti, sono state prospettate diverse situazioni aleatorie per
le quali egli ha fornito i rispetttivi certi equivalenti. La funzione di utilità
quadratica del tipo ug(x)=a 1x+a 2x 2 è stata ottenuta per mezzo di interpolazione
statistica vincolata a passare per i punti (0,0) e (20,100).
E’ interessante evidenziare che il sistema di preferenze del Rossi, espresso dalla funzione
soggettiva di utilità, non muta allorquando si attua sulla funzione in oggetto una
trasformazione lineare crescente. In termini economici ciò vale a sostenere che risulta
indifferente stimare la funzione di utilità del decisore Rossi in termini di guadagno o di
dotazione di capitale.
Nel procedere alla stima della funzione di utilità in termini di capitale disponibile è sufficiente
impostare la scelta, per la determinazione del certo equivalente, tra l’ottenere un capitale di
170 milioni (dotazione iniziale di capitale del Rossi) con probabilità 0.5 e di 190 milioni con
probabilità 0.5. Si procede poi come descritto in precedenza. Assegnati arbitrariamente i
valori di utilità 10 e 20 corrispondenti a 170 e a 190, si ottiene la seguente serie di
osservazioni
x 170 171 172 175 176 178 181 185 190
uc(x) 10 11.25 12.5 13.75 15 16.25 17.5 18.75 20
dalla quale si stima la seguente funzione di utilità del Rossi, valutata ora sul capitale,
utilizzando:
che fornisce la
⎧
⎪ min
bbb 0, 1, 2 i
⎪
⎨c.v.
⎪
u ( ) c 170 = 10
⎪
⎩⎪
u ( 190) = 20
c
12
108
14
16
18
2
∑[
uc( xi) − ( b0+ b1xi + b2xi ) ]
2
u ( x) c = − 0. 02149x + 8. 23704x−769185 .
2
20
x

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
u c(x)
170
172
174
176
178
180
Fig. 35: Funzione di utilità del decisore Rossi, al quale, circa un certo business
basato sulla dotazione di capitale, sono state prospettate diverse situazioni
aleatorie per le quali egli ha fornito i rispetttivi certi equivalenti. La funzione di
utilità quadratica del tipo uc(x)=b 0+b 1x+b 2x 2 è stata ottenuta per mezzo di
interpolazione statistica vincolata a passare per i punti (170,10) e (190,20).
Definite le funzioni di utilità del Rossi, sia in termini di guadagno sia in termini di capitale,
possiamo ora procedere a determinare i parametri a e b della funzione di trasformazione
lineare del tipo u ( x k) au ( x) c + = g + b (ove uc(x) e ug(x) sono rispettivamente le funzioni
precedentemente stimate di utilità in termini di capitale e di guadagno).
1
I parametri risultano rispettivamente: a = ; b= 10; k = 170 da cui
10
uc(x+170)=1/10 ug(x) + 10 ; ∀x∈D, D = {0 ≤ x ≤ 20}
Ribadiamo che il sistema di preferenze del Rossi non viene alterato dalla definizione della
curva di utilità in termini di guadagno o di capitale. Ne deriva che la trasformazione lineare
della funzione risulta valida se definita sull’appropriato dominio, cioè D { x }
g = 0≤ ≤ 20 o
D { x }
c = 170 ≤ ≤190
, il che spiega la scrittura 1/10 ug(x) + 10 quale trasformazione lineare
della ug.
Valutiamo ora l’avversione al rischio del Rossi, quale misura sintetica del suo comportamento
di fronte al business aleatorio in discussione:
u ( x)
r ( ) c x =−
u ( x)
( )
( ) x
′′
′
2 ⋅−0.
02149
=−
> 0
2 ⋅− 0. 02149 + 8. 23704
109
182
∀x∈ D, D= { 170 ≤ x ≤190}
Osserviamo che rc(x) risulta maggiore di zero su tutto l’intervallo di definizione della
funzione di utilità; a significare che il Rossi è avverso al rischio con un grado di avversione
crescente al crescere del capitale (vedi Fig. 36).
Alcuni studiosi ed operatori non condividono l’utilizzo della funzione quadratica quale
funzione di utilità, in quanto un indice di avversione al rischio che cresce all’aumentare del
184
x
186
188
190

capitale (ricchezza) disponibile sembra non corrispondere al comportamento effettivo di molti
di noi. Per questo sono state proposte diverse famiglie di funzioni di utilità come quelle
esposte in Tab. 11 alcune delle quali hanno caratteristiche apprezzate come l’indice assoluto
di avversione al rischio costante o decrescente.
r(x)
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
170
172
174
176
178
180
110
182
184
186
188
Fig. 36: Funzione di avversione al rischio del decisore al variare del
capitale
Anche la funzione di avversione al rischio nella formulazione proposta da Arrow-Pratt risulta
invariante per trasformazioni lineari della funzione di utilità, quindi l’atteggiamento del
decisore di fronte al rischio risulta unicamente determinato sia in relazione a situazioni
rischiose in termini di capitale che in termini di guadagno.
8.4 Individuazione del portafoglio a rendimento aleatorio preferito
E' utile specificare i casi in cui l'utilità attesa non smentisce il principio E-V. Ciò accade se81: 1) per qualsiasi funzione di utilità u( x),
la variabile aleatoria x è Normalmente distribuita
con media µ e varianza σ 2 2
: x → N(
µσ , ) ; nella selezione del portafoglio, utilizzando la
simbologia adottata in precedenza: R → N R
⎛ _ ⎞
⎜ ,σ ⎟
⎝ ⎠
2
2) per qualsiasi distribuzione dell’importo aleatorio x, u( x)
è una funzione di utilità
quadratica.
Nel primo caso si dimostra come l'utilità attesa sia funzione della media e della varianza,
poichè per calcolare il valore atteso dell'utilità si deve risolvere il seguente integrale:
∞
Eux [ ( ) ] ∫ ux ( ) f( xdx ) .
Da questa relazione si capisce come essa sia funzione della media (per noi valore atteso) degli
importi aleatori e della varianza degli stessi.
81 COPELAND T. E. e WESTON J. F., 1988, op. cit.; ELTON E. J. E GRUBER M. J., 1995, op. cit.; CASTAGNOLI E.,
PECCATI L., 1991, op. cit..
= −∞
190 x

Per dimostrare che anche nel secondo caso l'utilità attesa è funzione della media e della
2
varianza si utilizza la funzione quadratica ux ( )= ax 1 −ax
2 con a2 parametro positivo e
quindi si attuano i seguenti passaggi:
2
2
2 2 2
Eux = Eax− ax = aE x − aE x = aE x − a E x + σ = f E x,
σ
[ ( ) ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( )
che con la legenda della selezione del portafoglio diventa:
EuR ( )
2
= EaR− aR
2
= aE R − aE R =
111
( [ ] ) ( ( ) )
[ ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( )
= aE( R) − a
2 2 [ E( R) ] + σ
2
= f( E R,
σ )
1 2
( ) ( )
Nella selezione di portafoglio secondo il metodo E-V si deve, per individuare il portafoglio
ottimo, o adottare come ipotesi di base una funzione di utilità quadratica o ipotizzare una
distribuzione Gaussiana dei rendimenti futuri.
Ritornando all'analisi di portafoglio tramite l'utilizzo delle frontiere efficienti, si può
considerare l'utilità attesa funzione del rendimento atteso e del rischio di portafoglio e
massimizzarla per individuare il portafoglio ottimo.
Ciò può avvenire riportando i valori della funzione dell'utilità, funzione di E e V, associando
ad ognuno di essi una curva di indifferenza quadratica in E-V (nel caso, circonferenza con
centro sull'asse dei rendimenti).
8.4.1 Critero di scelta: la funzione di utilità e le curve di indifferenza in E-V
La funzione di utilità che si associa a curve di indifferenza descritte da circonferenze nel
piano E-V deve risultare quadratica e concava a rappresentare l'avversione al rischio del
decisore:
2
U( x)= a0 + a1x+ a2x ; a1≥ 0 e a2
< 0
e dove il capitale x è costituito da due variabili: la ricchezza non nulla W a disposizione, che è
nota, ed il profitto π =∆W , cioè l'incremento di ricchezza, che è una variabile aleatoria. Si ha
quindi che U( x) = U( W +π ) , con W > 0, inoltre moltiplicando e dividendo π per W la
funzione di utilità risulta
⎛ π ⎞
U( x) = U⎜W + W ⎟
⎝ W ⎠
e, se si considera la nuova variabile R =
W
π intesa come profitto percentuale, ossia tasso di
rendimento, la relazione diventa:
U( x) = U( W + WR)
La funzione di utilità assunta per l'investitore dipende pertanto da una sola variabile casuale R
, tasso di rendimento, tale per cui si ha:
*
con R appartenente all'insieme [ R1, R ] con:
- R1, rendimento minimo;
- R * =− β
2 γ
.
U( R)= α+ βR+ γR 2

Se si considerano la variabile aleatoria rendimento e l'importo certo ricchezza, la funzione di
utilità diventa:
2
U( x) = U( W + WR) = a0 + a1( W + WR) + a2( W + WR)
=
2
2
2 2
= a0 + aW 1 + aWR 1 + aW 2 + 2aW
2 R+ aW 2 R =
2
2
2 2
= a0 + aW 1 + aW 2 + ( aW 1 + 2aW
2 ) R+ aW 2 R =
2
= α+ βR+ γR
con:
⎧α
= a0 + aW 1 + aW 2
⎪
2
⎨β
= aW 1 + 2aW 2
⎪
2
⎩γ
= aW 2
2
dove W è la ricchezza nota. Poichè si è supposto W > 0, a1 ≥ 0, a2<
0 , allora γ

[ p(
) ]
Eu R
2 β 2
( Rp) + Rp
+ σ p =
γ
γ
[ p(
) ]
113
[ p(
) ]
2 Eu R
2
2 β 2 β
− α β
( Rp) + Rp
+ σ p + =
+
2
γ 4γγ4γ ⎡
⎢R
⎣
2
Eu R
2
β ⎤
− α
2
β
+ ⎥ + σ =
+
2γ⎦γ4γ p p
Tale relazione rappresenta una generica circonferenza sul piano [ Rp, σ p]
con
centro in −
⎛
1
2 2
β ⎞
⎡ Eu ( p)
−α
β ⎤
⎜ ,0 ⎟ , raggio rc
= +
⎝ 2 γ ⎠
⎢
2 ⎥ .
⎣ γ 4γ
⎦
Questa circonferenza descrive la generica curva di indifferenza associata all'utilità attesa, da
massimizzare, con il vincolo che il portafoglio appartenga alla frontiera efficiente
2
σ P = [ a0 + a1RP + a2 RP
]
12 /
( ) .
* β
Se la variabile casuale R assume valore R = R = − allora l'utilità attesa risulta
2 γ
e quindi
Eu p
− α
−
( )= α − + + ⋅ = − = −
β
γ
γ
β
β β
γ α
α
γ
γ
β
2 2
2 2 2
2
0
2
2 4
4 4 γ
⎡
⎤
⎢α
− − ⎥
⎡
rc = ⎢ + ⎥ = ⎢−
+
⎢
⎥ ⎣
⎢
⎥
⎣
⎦
β
γ α
2
2
2
2
4 β β β
2
2
γ 4γ4γ4γ 1
2
2
2
1
2
⎤
⎥
⎦
=
2
0
cioè qualora il rendimento, quindi l'utilità, fosse massimo, il raggio della circonferenza, con
centro sull’asse dei rendimenti, è nullo, quindi si ha una circonferenza degenere e la scelta
ottima massimizza l’utilità del decisore. Questo avviene solo se la frontiera efficiente tange
l'asse dei rendimenti nel centro.
Determinata l'utilità attesa da massimizzare e la sua rispettiva curva di indifferenza si
valutano i parametri della funzione di utilità sopra spiegati.
Il decisore analizza e discute le informazioni ( Rp, σp, σ′ p)
dei punti-portafogli sulla frontiera
efficiente e con queste informazioni per ogni portafoglio rischioso efficiente può calcolare:.
- le coordinate del centro, ( Rct ,0 ) , della circonferenza tangente la frontiera efficiente, quindi
il tasso di rendimento certo corrispondente alla sua massima utilità;
- il raggio della stessa r c. calcolato come distanza euclidea tra ( )
Rct ,0 e ( Rp,σ p)
,
- il rendimento certo indifferente, ( Rfq,0 ) , a quello del portafoglio rischioso tangente e ottimo
selezionato sulla frontiera ( Rp,σ p)
.

2 2 2
Allora, data l'equazione della circonferenza generale ( x−a) −( y− a) = c = r si ha :
2
2
( Rp− Rct) + p = ( Rct −Rfq)
σ .
Dimostrato che la circonferenza è utilizzabile per sintetizzare l’indifferenza secondo una
funzione di utilità quadratica si propone, operando su portafogli efficienti secondo il criterio
media-varianza, di utilizzare le informazioni contenute nella frontiera efficiente per valutare i
parametri della curva di indifferenza e della funzione di utilità del decisore che scegliesse
uno di questi punti-portafoglio 82. Con questa analisi si possono inoltre valutare l'avversione
al rischio e il grado di soddisfazione del decisore.
8.4.2 Utilizzo dell’arco di circonferenza tangente alla frontiera efficiente E-V come
curva di indifferenza
In E-V l'insieme degli infiniti portafogli efficienti è definito dall'equazione σ P = f( RP)
di cui
al paragrafo 3.3. Essa può essere riscritta come
2
σP = [ b0 + bR 1 P + b2 RP
]
12 /
( )
con derivata prima
dσP
b1+ b2RP σ′
P = =
dR
2
P [ b0 + bR 1 P + b2 RP
]
12
2
/
2 ( )
che rappresenta la pendenza della tangente alla frontiera efficiente in uno qualsiasi dei punti
del dominio ed il cui reciproco rappresenta il premio di rischio della frontiera efficiente in
quel punto.
Individuato dal decisore un punto-portafoglio sulla frontiera, per tale punto-portafoglio
rischioso sono noti:
- il rendimento atteso;
- lo s.q.m. (e quindi il rendimento per unità di rischio);
- la derivata prima σ′ P ;
Per determinare la curva di indifferenza che massimizza l'utilità attesa dall'investitore si
determina prima la retta perpendicolare alla tangente nel punto portafoglio scelto. Il punto in
cui questa retta interseca l'asse dei rendimenti è il centro della circonferenza che tange la
frontiera efficiente nel punto portafoglio scelto. E l’arco di Nord-Ovest della circonferenza,
fino al punto di tangenza, è la curva di indifferenza che massimizza l'utilità attesa
dell'investitore.
Si determinano innanzitutto i parametri della retta perpendicolare alla tangente nel punto
portafoglio scelto ( RP, σ P)
. La retta ha equazione generica
σ= q+ mR
82 ROSSI F.A.,"Valutazione dell'Avversione al Rischio del Decisore dall'Analisi dell'Insieme delle Alternative
Non Dominate" Atti del XII convegno A.M.A.S.E.S, Palermo, Settembre 1988;
ROSSI F.A. GIACOMELLO B., "Valutazione della Funzione di Utilità Quadratica dall'Analisi delle Scelte E-V
Efficienti" Atti del XVI convegno A.M.A.S.E.S, Trieste, Settembre 1992.
114
2

1
Il coefficiente angolare sarà allora m =−
σ ′ P
e con esso si determina q
σ = mR + q
p p
q= σ p −mRp
La retta avrà allora equazione σ = mR + σp
−mRp.
p mRp
q
Essa interseca l'asse dei rendimenti in R =
m m
− + σ
=−
Il centro della circonferenza tangente alla frontiera efficiente nel punto-portafoglio cui il
decisore è interessato, Rct , è individuato dalle coordinate
q
Rct
= −
m
⎛ ⎞
⎜ ,0 ⎟
⎝ ⎠
La circonferenza con centro come sopra e tangente il punto-portafoglio interessato seca l'asse
dei rendimenti nel punto:
q
R
m r
fq =− − c
rc è il raggio della curva di indifferenza e viene determinato attraverso la formula per
calcolare la distanza tra due punti: nel nostro caso il centro ed il punto portofoglio selezionato
2
12 /
⎡⎛
q ⎞ ⎤ 2
rc = ⎢⎜
RP
+ ⎟ + σ P⎥
⎣⎢
⎝ m⎠
⎦⎥
Rfq è il rendimento a rischio zero indifferente a quello del portafoglio rischioso individuato
dal decisore sulla frontiera.
In presenza di un titolo a rendimento certo R f ed n-1 titoli a rendimento aleatorio la frontiera
efficiente é descritta dalla semiretta uscente da ( R f ,0 ) e tangente alla frontiera efficiente nel
caso di soli titoli rischiosi con coefficiente angolare σ′ P . Allora si può operare come sopra.
Fig. 37, 38: Frontiere efficienti e curve di indifferenza in assenza e in presenza del rendimento
del titolo privo di rischio.
115

SIMULAZIONI
Si consideri la frontiera efficiente e i parametri della curva di indifferenza utilizzando i cinque titoli aleatori e il
titolo privo di rischio già utilizzati nei capitoli precendenti.
La frontiera sia definita da:
( 12. 2932 16876 . R 0. 0606 R )
2
12 /
σ= − +
e il decisore sia interessato al punto-portafoglio (19, 1.4510) sulla frontiera efficiente con rendimento atteso 19,
e rischio σ =1.4510.
Per tale punto-portafoglio efficiente si ha:
- σ′ P = 02120 .
- Rct = (19.3076, 0)
- R fq = (17.8244, 0)
Quindi il decisore che scegliesse il portafoglio efficiente rischioso (19, 1.4510) deve considerare l'alternativa a
rendimento certo 17.8244 come indifferente. Inoltre, si verifica che la massimizzazione della sua funzione di
utilità si avrebbe con alternativa a rendimento certo 19.3076 che, nel caso in esame, non é disponibile, vedi Fig.
39.
Siano dati i cinque titoli a rendimento aleatorio A,B,C,D,E, e un'alternativa a rendimento certo R f = 8 . La
frontiera efficiente valutata con i titoli a rendimento aleatorio è così determinata:
( 12. 2932 16876 . R 0. 0606 R )
σ= − +
2
12 /
La retta uscente dal punto (8, 0) tange la curva-frontiera efficiente nel punto-portafoglio di coordinate (15.43,
0.82).
La semiretta uscente da (8, 0) e tangente in (15.43, 0.82) ha equazione
( 0. 1111R 0. 8888)
σ= −
ed è la nuova frontiera efficiente nel tratto considerato.
Si supponga un investitore interessato ad un portafoglio con rendimento aleatorio pari a 15. In questo caso si
avrà (Fig.40):
- Rct = (15.0872, 0)
- R fq =(14.3039, 0)
116

2
12 /
Fig. 39: Data la funzione σ= ( 12. 2932 − 16876 . R + 0. 0606 R ) , e individuato su di
essa il portafoglio efficiente con rendimento atteso 19 e rischio 1.4510 si valuta in
17.8244 il rendimento certo indifferente associato e in 19.3076 quello che
massimizzerebbe l'utilità del decisore
Fig.
40: Data la funzione σ= ( 0. 1111R −0.
8888)
, e individuato su di essa il portafoglio
efficiente con rendimento atteso 15 e rischio 0.82 si valuta in 14.3039 il rendimento
certo indifferente associato e in 15.0872 quello che massimizzerebbe l'utilità del
decisore.
117

118
9
MODELLI DI EQUILIBRIO
9.1. Equilibrio di mercato
Si definisce mercato di capitali in equilibrio quel mercato in cui la domanda e l'offerta
totali di ciascun titolo sono uguali; in esso si creano prezzi di equilibrio che permettano a
ciascun investitore di soddisfare le proprie esigenze 83 .
Per descrivere le ipotesi di un mercato finanziario in equilibrio si devono considerare tre
concetti base che successivamente verranno strutturati come ipotesi per i singoli modelli.
Principalmente si devono specificare le regole che i partecipanti al mercato devono
rispettare nelle decisioni di investimento, quindi strutturare il processo per attuare tali
scelte ed infine creare una procedura che renda compatibili le scelte di tutti i partecipanti.
9.2. Il Capital Asset Pricing Model (C.A.P.M.)
Il CAPM é un modello di equilibrio del mercato dei capitali, sviluppato indipendentemente
da Sharpe, Lintner e Mossin 84 e che ha come proposta finale:
- la misura di rischio per qualunque tipo di investimento;
- la relazione tra rendimento atteso e rischio di ogni attività quando il mercato é in
equilibrio.
Questi risultati sono ottenuti introducendo alcune ipotesi comportamentali ed aggregando i
risultati validi per ciascun investitore.
9.2.1. Le ipotesi del C.A.P.M.
Per poter formalizzare un modello di equilibrio del mercato é necessario introdurre delle
ipotesi semplificatrici sul funzionamento del mercato e sul comportamento degli
investitori 85 :
1) assenza di costi di transazione, altrimenti il rendimento atteso di un titolo sarebbe legato
al fatto di essere o meno posseduto dall'investitore prima del periodo di decisione, questo
infatti impedirebbe il verificarsi dell'ipotesi n.9;
2) infinita divisibilità delle attività, necessaria per rendere irrilevante nella scelta la
dimensione della ricchezza disponibile;
3) assenza di imposte sui redditi, necessaria per rendere irrilevante la forma nella quale il
rendimento del titolo si materializza, sia esso dividendo o capital gain;
4) concorrenza perfetta nel mercato dei capitali, per poter supporre che tutti abbiano le
stesse informazioni, il mercato non sia protetto da barriere all'entrata e all'uscita e che
nessuno riesca individualmente ad influenzare il prezzo del titolo;
5) possibilità di vendite illimitate allo scoperto (ovvero possibilità di indebitarsi),
necessaria per non dover porre alcun vincolo sul valore che possono assumere le xi;
83 GARBADE K., 1989,.op. cit.
84 LINTNER J., 1965, op. cit., "The Aggregation of Investors Diverse Judgments and Preferences in Purely
Competitive Security Markets", Journal of Financial and Quantitative Analysis, Dicembre, 1969, "The
Market Price of Risk, Size of Market and Investor's Risk Aversion", Review of Economics and Statistics,
1970; MOSSIN J., 1966, op. cit.; SHARPE W.F., 1964, op.cit.
85 ELTON E.J. GRUBER M.J., 1995, op. cit.

6) illimitata possibilità di investimento o indebitamento allo stesso tasso di rendimento o
costo certo Rf con Var(Rf )=0;
7) vendita e acquisto liberi di qualsiasi bene sul mercato;
8) decisione degli operatori, per il medesimo ed unico periodo di tempo, solo in base al
rendimento atteso e allo scarto quadratico medio dei rendimenti dei loro portafogli;
9) aspettative omogenee degli operatori sui valori di input ( ER ( i) , σ i, ρ ij)
, necessari a
formulare e a risolvere il problema di selezione del portafoglio.
Con le precedenti ipotesi il problema di programmazione quadratica può essere risolto in
modo tale da arrivare alla definizione della Security Market Line 86.
9. 2. La Security Market Line (S.M.L.)
Il problema decisionale che tutti gli operatori, in base all'ipotesi 8), devono affrontare é il
seguente:
⎧
N
N N
min Z =− µ Rp + 05 . Vp =− µ ∑xiRi + 05 . ∑∑xixjσij
⎪ x i=
1 i=
1 j=
1
⎨
N
⎪
xi
=
⎩⎪
con ∑ 1,
vincolo di bilancio
i=
1
L'ipotesi 6) suppone inoltre che esista un titolo (o un insieme di titoli) privo di rischio il cui
rendimento atteso R1 = Rfcon σ1i = σ i1 = 0...... ∀ i = 1,.....,
N.
Il sistema risolutivo,
valendosi del Teorema di Separazione (vedi cap.3), per la parte rischiosa del portafoglio é:
ovvero:
⎡ σ22 . . σ2
⎢
. .
⎢
⎢ . .
⎢
⎣σ
2 . . σ
Mx = b
N NN N
N
119
⎤⎡
x ⎤ ⎡µ
⎥⎢
.
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥ =
⎢
⎥⎢
. ⎥ ⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎦⎣x
⎦ ⎣⎢
µ
2 2
( R − Rf)
.
.
( RN − Rf
)
Se gli investitori hanno aspettative omogenee, come l'ipotesi 9) assicura, essi formuleranno
il problema con i medesimi parametri di input arrivando quindi tutti alla medesima
soluzione del problema di selezione del portafoglio. Ne discende che, se tutti gli operatori
scelgono lo stesso portafoglio rischioso, allora, in equilibrio, la composizione di quel
portafoglio deve essere tale per cui tutte le attività sono presenti nella medesima
percentuale w i con cui sono presenti sul mercato, ove
w i =
Valore di mercato dell'attività i - esima
Valore di mercato di tutte le attività
86 ELTON E.J. GRUBER M.J., 1995, op. cit; CANDIA B., "Teoria e Tecnica della Gestione Quantitativa", XI
Corso di Formazione per Analisti Finanziari, Milano, Settembre 1994.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥

Una supposizione iniziale per formulare la S.M.L. é quella di conoscere la proporzione w i
con la quale una attività é presente sul mercato. Il rendimento atteso del portafoglio di
mercato é allora
N
M = ∑ i i
i=
2
R wR
Risulta utile introdurre, prima di procedere ulteriormente all’esposizione del C.A.P.M., il
seguente TEOREMA 87:
per un dato portafoglio P il vettore delle covarianze delle singole attività rispetto al
portafoglio dato è linearmente dipendente dal vettore dei rendimenti se e solo se il
portafoglio P è un portafoglio a varianza minima.
Dimostrazione:
la covarianza del titolo k-esimo rispetto al rendimento del portafoglio di mercato risulta
N
N
⎡ ⎛
⎞ ⎤
CovR ( k; RM) = E⎢( Rk −Rk) ⎜∑wR
i i −∑wR
i i⎟⎥
=
⎣ ⎝ i=
2 i=
2 ⎠ ⎦
⎡ ⎛
⎞ ⎤ ⎡
= E⎢R −R w R −R
E w R R R R
⎣ ⎝ i=
2 ⎠ ⎦ ⎣ i=
2
N
N
( k k) ⎜∑
i( i i) ⎟ ⎥ = ⎢∑
i( i − i) ( k − k)
N
N
∑ i [ ( i i) ( k k)
] ∑
= wE R −RR− R = wσ
i=
2 i=
2
espresso dalla combinazione lineare delle covarianze del titolo k-esimo con gli altri N −1
titoli rischiosi (compreso il titolo k stesso) con pesi wi, proporzione di equilibrio
dell’attività i-esima nel portafoglio di mercato. Se e solo se il portafoglio di mercato M
risulta efficiente in E-V, allora il vettore x, soluzione del problema decisionale, è uguale al
vettore, w, delle attività negoziabili detenute proporzionalmente al loro valore:
⎡ σ22 . . . σ2N⎤⎡w2⎤⎡µ
( R2−R ) ⎤ f
⎢
. . . . .
⎥⎢
.
⎥ ⎢ ⎥
.
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ σi2. . . σiN
⎥⎢
wi
⎥ = ⎢ µ ( Ri − Rf)
⎥
⎢
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ . . . . . ⎥⎢
. ⎥ ⎢ . ⎥
⎣⎢
σN2. . . σNN⎦⎥⎣⎢wN⎦⎥⎢
⎣
µ ( RN − R ⎥
f ) ⎦
La covarianza del titolo k-esimo con il portafoglio di mercato si ottiene moltiplicando la iesima
riga del sistema solutorio per il vettore w.
87 vedi (tra gli altri):
CONSTANTINIDES G.M., MALLIARIS A.G., Portfolio Theory, in JARROW R. ET. AL., Handbooks in OR &MS,
Vol. 9, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 1995.
120
i ik
⎤
⎥
⎦
=

da cui risulta
⎡ w2
⎤
⎢
.
⎥
N
⎢ ⎥
∑ σik wk
= σi2σ iN µ
k = 2
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎣w
⎦
[ . . . ] ⎢ . ⎥ = ( R − R ) = Cov( R , R )
N
( k, M) = µ ( k − f )
121
k f k M
Cov R R R R
dimostrando che la covarianza del titolo k-esimo con il portafoglio di mercato è
linearmente dipendente dal rendimento del titolo k-esimo, indipendentemente dalla matrice
varianza-covarianza.
Dato che questa equazione deve valere per qualunque titolo e per qualunque portafoglio
efficiente la si può applicare al portafoglio di mercato, e visto che Cov( R M, R M) = σ M
2 , si
ottiene
e
( R R )
2
σ = µ −
M M f
µ =
2
σ
M
( RM − Rf
)
µ viene considerato misura sintetica del grado di propensione al rischio del decisore (vedi
paragrafo 3.4) e ora è leggibile anche come rischio sistematico di mercato per unità di
premio.
Se si sostituisce il valore trovato di µ nell'equazione precedente si ha:
( )
Cov R , R =
i M
σ 2
M ( Ri − Rf
)
( RM − Rf
)
Isolando R i si ottiene la Security Market Line (Fig. 41) 88:
R = R +
i f
( )
( M − f )
R R Cov R R R R R
σ
,
2
M
( i M) = f + β i( M − f )
Cov R
88 i, RM
Il coefficiente β i =
è dato dal rapporto tra la covarianza, del rendimento del titolo i-esimo
2
σ M
con il rendimento di mercato, ed il rischio di mercato.

Fig. 41: Security Market Line con specificazione delle possibili interpretazioni di β i
Un'analisi della S.M.L. permette di evidenziare alcune sue caratteristiche:
- R f ed R M non sono funzioni della singola attività, visto che sono parametri del problema;
- la misura adeguata del rischio sistematico dell'attività con il mercato é rappresentata dal
suo β i, variazione media del rendimento di un titolo a seguito della variazione del
rendimento dell'indice di mercato;
- per β i = 0 si ha Ri= Rf:
attività non rischiose hanno rendimento uguale al solo prezzo
del tempo, essendo nulla la covarianza con il rendimento di mercato;
- per βi = 1 si ha Ri= RM:
l’attività deve avere rendimenti uguali a quelli del portafoglio di
mercato;
- per β i >1 l'attività i-esima comporta un rischio maggiore di quello del mercato e quindi
da essa si attendono profitti maggiori di quelli del portafoglio di mercato e perdite
maggiori di quelle del mercato, venendo così definita attività aggressiva;
- per 0

acquisto e di vendita, con rendimento a rischio nullo, che riportano il titolo in questione
sui valori definiti dalla S.M.L. .
Si supponga, ad esempio, che la S.M.L. di un mercato sia la seguente:
( β 10 15) 10 β ( 15 10)
Ri = f i Rf = ; RM
= = + i − .
Il rendimento atteso del mercato in corrispondenza di un titolo T1 con β1=2 sarà
R1 = 10 + 2 × 5 = 20 .
Se però sul mercato fosse presente un titolo T2 con β2=2 che presenta un rendimento atteso
di 30 risulta conveniente acquistarlo, finanziandosi con la vendita (anche allo scoperto) o
indebitandosi nel titolo T1. Infatti vendendo allo scoperto il titolo T1 si riceve nel momento
del perfezionamento dell’atto un controvalore, ipotizziamo pari a 100, da investire
integralmente nell’acquisto del titolo T2. In un contesto uniperiodale, al termine
dell’investimento il montante maturato sul titolo T2 pari a 130, di cui 100 di quota capitale
e 30 di rendimento, consente di chiudere la posizione aperta sul titolo T1 versando 120
complessive (100 rimborso del capitale e 20 rimborso del rendimento) ottenendo un
guadagno di 10. Il rischio dell’operazione è nullo in quanto i due titoli hanno lo stesso
valore β.
Gli importanti risultati ottenuti dipendono evidentemente dalla presenza delle nove ipotesi
sottostanti il C.A.P.M.. Si deve notare però che il venir meno di una o piú ipotesi, fuorchè
per la 4 e la 9 che sono ipotesi fondamentali, rende il modello piú complesso, ma
comunque in grado di ritornare a delle condizioni di equilibrio. Inoltre, si riesce a
mantenere la maggior parte delle conclusioni anche in assenza di una o piú delle ipotesi
sottostanti.
Il limite dato dalla presenza, spesso obbligata, delle nove ipotesi si contrappone
comunque alle molte caratteristiche positive del modello C.A.P.M. che lo portano ad
essere scelto per l'analisi di portafoglio, avendo utilizzato il “single index model”, in
alternativa al modello di Markowitz. Come è stato precedentemente detto per valutare il
rischio di portafoglio secondo il modello di Markowitz si deve calcolare la varianza di ogni
attività e le loro rispettive covarianze, mentre con il C.A.P.M. si devono calcolare le
singole varianze e le sole covarianze con l'indice preso in considerazione come media
ponderata di tutti gli investimenti. Di conseguenza, i costi di rilevazione e calcolo vengono
notevolmente diminuiti senza però perdere informazioni utili per la determinazione del
rischio e del rendimento dell'attività analizzata. Infatti tale modello tiene in
considerazione:
a) un indice, l'indice di mercato che riassume le informazioni disponibili sulle attività
rischiose che entrano a far parte del portafoglio di attività finanziarie dell'investitore;
b) un'attività priva di rischio;
tutti elementi che ci permettono di conoscere il mercato finanziario nella sua globalità.
Infine, risulta utile sottolineare che l'unica stima che deve essere effettuata per ogni
titolo nel modello C.A.P.M. è quella del rischio dei singoli titoli, misurato dal coefficiente
β, poichè nella relazione entrano le sole stime del rendimento dall'attività priva di rischio
e dell'indice di mercato, stime che poi verranno utilizzate per tutto l'insieme delle attività
considerate.
123

9.3. L'Arbitrage Pricing Theory (A.P.T.)
Tale modello di equilibrio del mercato dei capitali é una generalizzazione dei modelli
multifattoriali di selezione del portafoglio 89. In questa luce, il modello diagonale di Sharpe
rappresenta un modello unifattoriale. Il contributo dato da Ross, infatti, consiste nell’aver
trovato le condizioni sufficienti di equilibrio del mercato di cui si conosce, per ipotesi, il
processo che genera i rendimenti dei titoli (un modello multifattoriale appunto).
9.3.1 Le ipotesi dell'A.P.T.
Il modello A.P.T. è derivato sotto la consueta ipotesi di mercati perfettamente competitivi
e privi di attriti.
Come nel precedente modello anche in questo si devono introdurre le ipotesi base che ne
permettono la sua formulazione:
1) tutti gli operatori sono consapevoli che i rendimenti dei titoli sul mercato sono
linearmente collegati ad un insieme di più indici:
Ri = ai + bi1I1+ bi2I2+ ..... + bikIk + ei
con
i= 1,...,
N
j = 1,...,
k
dove:
ai costante, del rendimento dell'i-esimo titolo, indipendente dai fattori esplicativi;
I j fattore esplicativo;
bij sensitivitá del rendimento del titolo i-esimo a variazioni del valore del j-esimo
fattore esplicativo;
2
ei errore casuale con Ee ( i) = 0;
Vare ( i) = σe che rappresenta il rischio non
i
sistematico dell’i-esima attività.
Questa ipotesi sostituisce il criterio E-V come modello decisionale del C.A.P.M.;
2) aspettative omogenee per tutti gli operatori che:
-adoperano il modello di cui all'ipotesi 1) come unico criterio decisionale;
-conoscono tutti i fattori esplicativi I j ;
-stimano ai, bij ed ei di tutti i titoli nello stesso modo;
3) ipotesi sulle covarianze:
Cov e , e = 0 , ∀i≠ k , cioè gli errori relativi a due titoli diversi non sono correlati fra
( )
i k
[ ]
loro, Cov ei ( I j I j)
, − = 0 , cioè non c'è correlazione tra l'errore relativo al titolo i-esimo e
l'indice j-esimo, ∀ i e j;
4) il numero dei titoli N deve essere grande a tal punto da poter applicare la legge dei
grandi numeri;
5) illimitata possibilitá di vendite allo scoperto.
9.3.2 Il modello di equilibrio
89 ROLL R.: "A Critique of the Asset Pricing Theory's Tests", Journal of Financial Economics, Marzo 1978;
ROSS S. A. "The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing", Journal of Economic Theory, Dicembre 1976;
"Return Risk and Arbitrage", Risk and Return in Finance, I.Friend & J.L. Bicksler Edition, Cambridge,
Mass., 1977.
124

Secondo il modello esplicativo della determinazione dei rendimenti tramite l'insieme di
indici, il valore atteso del rendimento di ogni titolo é dato da:
Ri = ai + bi1I1+ bi2I2 + ..... + bikIk Il rendimento di qualunque portafoglio P é dato da:
N
P = ∑ i i
i=
1
R x R
ove xi è il valore dell'investimento nel titolo i-esimo e non le quote, come era invece
considerato nei capitoli precedenti.
Il rischio del rendimento del portafoglio P é formato da tante componenti quanti sono i
fattori esplicativi:
N
N
∑ ∑ ∑
b = xb ; b = xb ; .........; b = xb
P1 i i1
P2 i i2
Pk i ik
i=
1
i=
1 i=
1
ed inoltre dal rischio inserito dalla componente erratica:
N
P = ∑ i i
i=
1
e x e
La condizione sufficiente affinché sia valido il modello A.P.T. é che sul mercato ci sia un
numero sufficiente di alternative d'investimento in modo tale che non possano esistere
portafogli d'arbitraggio, cioé portafogli con rendimento positivo ma rischio ed
investimento netto nullo. In termini matematici un portafoglio di arbitraggio è
caratterizzato dalle seguenti equazioni:
1. il vincolo di bilancio é nullo: la quantitá di capitale impiegata deve essere nulla. Gli
acquisti e le vendite di titoli devono cioé compensarsi esattamente.
N
∑ xi = 0
i=
1
2. il portafoglio d'arbitraggio deve permettere guadagni a rischio nullo, quindi tutte le
componenti di rischio del portafoglio (cioè rischio diversificabile o non sistematico e
rischio sistematico) devono essere nulle:
e
N
N
∑ ∑ ∑
b = x b = 0 ; b = x b = 0 ;.........; b = x b = 0
P1 i i1
P2 i i2
Pk i ik
i=
1
i=
1 i=
1
N
P ∑ i i
i=
1
e = xe ≅0,
cioè eP tende asintoticamente a 0 secondo le ipotesi 3 e 4
3. il rendimento atteso del portafoglio di arbitraggio deve risultare strettamente maggiore
di zero:
N
P ∑ i i
i=
1
R = x R > 0
In un mercato in equilibrio non possono esistere opportunitá di arbitraggio non rischiose.
Ovvero qualunque portafoglio di arbitraggio a rischio nullo non puó che dare un
rendimento nullo. Quindi le precedenti equazioni in una situazione di equilibrio implicano:
N
P ∑ i i
i=
1
R = x R = 0
125
N
N

Per poter raggiungere la specificazione del modello si deve introdurre il seguente teorema
(Minkowski-Farkas) 90:
PROPOSIZIONE: siano w1, w2,..., wm e z vettori non nulli in ℜ n . Posto wx ′ = 0 per tutti
gli x tali che wx ′ i = 0 con i = 1, ..., m, con x ∈ ℜ n . Esistono allora m numeri reali non
negativi λ1 , λ2, ... λm, non tutti nulli, tali che
m
= ∑ λi i=
1
z wi. Nel caso in esame, le suddette condizioni 1. e 2. per la determinazione di un portafoglio di
arbitraggio implicano che il vettore x sia ortogonale ad altri k+1 vettori: un vettore unitario
1 (che rappresenta il vincolo di bilancio) e k vettori bj con j=1, ..., k (che esprimono la
sensibilità del vettore dei rendimenti al fattore j-esimo). Se il mercato è in equilibrio non
sono possibili portafogli di arbitraggio e quindi il vettore x è ortogonale anche al vettore
dei rendimenti attesi R . In base al teorema di Minkowski-Farkas, poichè il vettore x è
ortogonale sia al vettore R , Rx = 0, sia a k+1 vettori, 1x = 0 e bx ′ j = 0 , con j = 1, .., k
allora esistono k+1 coefficienti non negativi λ0 , λ2, ... λk tali che
ovvero
R = λ0⋅ 1+ λibj
=
126
k
∑
i 1
Ri = λ0 + λ1bi1+ λ2bi2 + ..... + λkbik.
In questo modo il rendimento atteso del titolo i-esimo può essere espresso come
combinazione lineare di un vettore di 1 e di k vettori bj con j=1, ..., k.
Se consideriamo un’attività priva di rischio con rendimento Rf (risk-free), essa avrà tutti i
bij pari a zero in quanto non è sensibile alle variazioni dei k fattori esplicativi Ij.
L’equazione precedente risulta quindi:
R f =λ 0
dalla quale risulta che il coefficiente λ0 è pari al tasso di rendimento dell’attività senza
rischio.
Se consideriamo ora un portafoglio di attività rischiose con rendimento atteso δ 1 e con
sensibilità unitaria al fattore di rischio I1 (quindi con bi1 = 1 e bij = 0 con j=2,...,k)
possiamo riscrivere l’equazione precedente come
δ1 λ11
= + R f
da cui si ricava λ1 = δ1−
Rf .
Procedendo in modo analogo si può considerare l’equazione del rendimento atteso
nell’ipotesi di assenza di arbitraggio come:
R = R + δ − R b + δ − R b + + δ − R b
( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ..... ( )
i f f i f i k f ik
In generale, il coefficiente λj (j=1,...,k) può essere interpretato come premio per il rischio,
in condizioni di equilibrio, per il j-esimo fattore. Il premio per il rischio λj risulta pari alla
differenza fra:
90 Per la dimostrazione del teorema e per maggiori approfondimenti in merito si vedano, tra gli altri,
CASTAGNOLI E. PECCATI L., Matematica per l’analisi economica - Ottimizzazione statica e dinamica,
ETASLIBRI, Milano, 1979;
TAKAYAMA A., Mathematical Economics, Cambridge University Press, London, 1985.

• il rendimento atteso di un portafoglio con sensibilità unitaria al j-esimo fattore e
sensibilità nulla rispetto agli altri k-1 fattori
• il tasso risk-free, Rf.
Se si stima l’equazione precedente a minimi quadrati ordinari91 i coefficienti bij saranno
dati da:
Cov( Ri,δj)
bij
=
Var(
δ j )
in tal caso i bij vengono definiti nello stesso modo dei βi del CAPM. In quest’ottica il
CAPM può essere interpretato come un modello APT in cui il rendimento del portafoglio
di mercato risulta essere l’unico fattore esplicativo del rendimento delle singole attività
rischiose.
L’APT si rivela quindi un modello caratterizzato da una generalità maggiore rispetto al
CAPM ed inoltre si basa su ipotesi meno stringenti in quanto92: • non formula alcuna ipotesi sulla distribuzione dei rendimenti delle singole attività;
• permette ai rendimenti di equilibrio delle attività di essere dipendenti da più fattori e
non solo dal rendimento del portafoglio di mercato, come fa, riduttivamente, il CAPM;
• consente di determinare il prezzo relativo di equilibrio di un qualsiasi sottoinsieme di
attività senza dover necessariamente considerare l’intero mercato;
• non richiede che il portafoglio di mercato sia efficiente;
• non impone ipotesi circa la funzione di utilità degli individui.
Nell’ambito delle scelte di investimento il decisore deve costantemente valutarne il
rendimento ed il rischio. In questo contesto il CAPM si rivela uno strumento più
approssimativo dell’APT ai fini decisionali. Il CAPM misura il rischio in una sola
dimensione mentre l’APT consente di identificare più portafogli con uguale rendimento e
con diverse combinazioni dei coefficienti di sensibilità ai fattori di rischio sottostanti.
Infatti non è indifferente scegliere tra due portafogli che presentano lo stesso grado di
rendimento, ma con rischio complessivo distribuito su più fattori che lo generano. Se
ipotizziamo che il rischio sia generato da inflazione e produzione industriale un soggetto
potrebbe preferire un portafoglio il cui rischio dipende per il 70% dall’inflazione e per il
30% dalla produzione industriale mentre un altro soggetto, a parità di rendimento e rischio
complessivo, potrebbe preferire un portafoglio con il 25% del rischio dipendente
dall’inflazione ed il 75% dipendente dalla produzione industriale.
Allo scopo di applicare il modello APT è necessario determinare i fattori esplicativi dei
rendimenti. A tal fine sono stati proposti due differenti approcci.
Un primo approccio identifica le variabili esplicative Ij sulla base delle teorie economiche.
Un modello a quattro fattori proposto da Chen, Roll e Ross 93 ha specificato quattro
variabili economiche quali fattori generatori dei rendimenti in quanto influenzano o la
91si considerano valide implicitamente le ipotesi sottostanti al generale problema di minimizzazione a minimi
quadrati ordinari.
92COPELAND T. E. e WESTON J. F., Financial Theory and Corporate Policy, Addison Wesley, Reading
Mass., 1988.
127

dimensione dei futuri flussi di cassa derivanti dalla detenzione del titolo o il valore dei
futuri flussi di cassa:
1. il tasso di crescita della produzione industriale, in quanto influenza le opportunità di
investimento e quindi il valore reale dei flussi di cassa;
2. il tasso di inflazione non anticipato, che manifesta un impatto sia sul tasso di sconto che
sul valore dei flussi;
3. la struttura a termine dei tassi di interesse, espressa dal differenziale tra tasso di
interesse a lungo e a breve che influenza il valore dei pagamenti in relazione all’epoca
di scadenza;
4. il premio al rischio, stimato come differenza nel rendimento di titoli con rating (Aaa) e
(Baa), cioè tra titoli con diverso grado di rischio per misurare la reazione del mercato al
rischio.
Altri autori hanno suggerito di inserire tra i fattori esplicativi anche l’andamento
dell’economia mondiale in relazione alla correlazione positiva esistente tra gli andamenti
dei prezzi dei titoli azionari nelle varie borse mondiali e i movimenti valutari in relazione
alla struttura e alla valuta di denominazione degli investimenti delle società quotate.
Un secondo approccio per identificare i fattori generanti i rendimenti delle attività
rischiose studiate consiste nell’utilizzo dell’analisi fattoriale, un corpo di tecniche che
consente di spiegare o di rappresentare determinate relazioni osservate per mezzo di
variabili indipendenti (fattori). Consiste nell’estrarre un numero limitato di fattori
indipendenti sulla base delle correlazioni tra le variabili osservate. Uno dei metodi
fondamentali per l’analisi fattoriale è dato dall’analisi delle componenti principali. In tal
caso è possibile identificare degli indici che non hanno una specificazione economica, ma
che derivano dalle prime componenti principali estratte dalle stesse variabili osservate,
come visto nel capitolo 7.
93CHEN N., ROLL R. E ROSS S., Economic Forces and the Stock Market, Journal of Business, 59, 1986, pagg.
386-403.
128

Misure di Performance
Performance assoluta
Rendimento Medio
Rendimento Medio Geometrico
Mean Excess Return
Misure di Rischio
Volatilità (Standard Deviation)
Volatilità attesa (EWMA volatility)
Downside Deviation
Tracking Error
Var
Misure di Rischio/Rendimento
Indice di Sharpe
Indice di Sortino
Indice di Modigliani
Information Ratio
Analisi della correlazione
Coefficiente di correlazione
Alfa
Beta
Alfa di Jensen
Allegato
Indicatori di Performance
Granularità:
se tutti gli indicatori sono espressi su base giornaliera il fattore di annualizzazione = 252
Misure di Performance
Performance assoluta
Rappresenta l’incremento di valore percentuale dell’asset considerato.
V F
V I
= Valore finale dell’asset
= Valore inziale dell’asset
⎛V
F ⎞
Total Return =
⎜ −1 ⎟
⎝ VI
⎠
129

Rendimento Medio
E’ la semplice media dei rendimenti giornalieri, calcolata sommando i risultati di ciascun
periodo e dividendo il totale per il numero dei periodi.
N = Numero dei periodi
R i = Rendimento periodo i
N
∑
I =1
Rendimento Medio = N
R
i
= R
Dato annualizzato
Rendimento medio annualizzato = R * 252 = R a
Rendimento Medio Geometrico
E’ la media geometrica dei rendimenti giornalieri. Rappresenta il rendimento giornaliero
da attribuire ad ogni periodo per arrivare ad ottenere a fine periodo il rendimento composto
di periodo corrispondente.
N = Numero dei periodi
V F = Valore finale dell’asset
V I = Valore inziale dell’asset
VF
Rendimento medio geometrico = N −1
= R G
V
Dato annualizzato
Rendimento medio geometrico annualizzato = ( 1 ) −1
I
130
+ G
252
R G
R = a

Mean Excess Return
Rappresenta la media della performance relativa rispetto ad un Benchmark definito.
N = numero di periodi
R i = Rendimento periodo i
RD i = Rendimento Benchmark periodo i
Mean Excess Return = ER =
N
∑
i=
1
( R −RD)
Dato annualizzato
Se per il rendimento annualizzato utilizziamo il rendimento composto allora
RG a = rendimento medio geometrico annualizzato
RD G a
= rendimento medio geometrico annualizzato del Benchmark
Mean Excess Return annualizzato = RGa - RD G a = ER a
Se invece si usa il rendimento non composto
Mean Excess Return annualizzato = ER * 252
Misure di Rischio
Volatilità (Standard Deviation)
Serve a misurare la dispersione media dei rendimenti. Misura il grado di variabilità dei
rendimenti intorno alla media. E’ spesso utilizzata come misura del rischio
dell’investimento.
R i = Rendimento periodo i
R = Media dei rendimenti R
N = Numero dei periodi
Standard Deviation = σ R =
N
∑
I = 1
i
N
( R − R )
i
N −1
Dato annualizzato
Standard Deviation Annualizzata = σ R * 252 = σ Ra
Volatilità attesa (EWMA volatility)
(Exponentially Weighted Moving Average Standard Deviation )
E’ uno stimatore delle volatilità, che permette di catturare la dinamicità dei rendimenti
delle attività finanziarie dando maggior enfasi alle osservazioni più recenti. In particolare
2
131
i

il suo utilizzo permette di considerare gli shock più recenti cui è stato soggetto il mercato e
di mantenere memoria (effetto di persistenza tipico delle serie finanziarie) per periodi più o
meno lunghi, in funzione del valore attribuito al fattore di decadimento (decay factor), e
quindi al sistema di pesi esponenziali.
R i = Rendimento periodo i
R = Media dei rendimenti R
N = Numero dei periodi
λ = Decay Factor =0.94 (cfr. Risk Metrics® J.P.Morgan per dati giornalieri)
Standard Deviation = σ ewR
= ( 1−
λ ) * ∑ λ * ( R −
132
N
i=
1
i−1
Dato annualizzato
Standard Deviation Annualizzata = σ ewR
* 252 = σ ewRa Nota
Per avere valori “attendibili” si consiglia di considerare almeno 3 mesi di dati giornalieri
(circa 70 osservazioni). Con una numerosità dei dati bassa possono esserci alcuni
problemi:
T
i−1
1
Utilizzando lo stimatore Ewma, si applica l’approssimazione : ∑ λ ≅
j=
1 ( 1−
λ)
Le due espressioni sono equivalenti per T → ∞ .
Per valori di T bassi i valori così ottenuti non sono confrontabili con il modello della
volatilità non esponenziale. Il numero di osservazioni è inoltre collegato al livello di
confidenza del risultato: con il fattore di decay scelto (0.94) per avere un grado di
confidenza dell’1% occorre avere almeno 74 osservazioni (Cfr. Riskmetrics Technical
Document pag. 79)
Downside Deviation
Rappresenta la deviazione standard in cui vengono considerati però solo i rendimenti
inferiori ad un certo livello minimo (solitamente il livello minimo è 0)
N = Numero dei periodi
R i = Rendimento periodo i
Li = R i se R i< 0; 0 se R i≥ 0
Downside Deviation =
N
∑
I =1
( L)
N
2
= R D σ
Dato annualizzato
Downside Deviation annualizzata = R D σ * 252 = σ
DRa i
R)
2

Tracking Error (Volatility)
Indica la variabilità delle differenze di rendimento tra l’asset considerato e il benchmark.
Fornisce indicazioni sulla rischiosità che si sopporta investendo nel fondo anziché detenere
direttamente il benchmark. Quindi, indica quanto rischio corre il gestore per avere un
determinato differenziale di rendimento. Da tale analisi possiamo valutare se un gestore
adotta una strategia attiva o passiva.
R i = Rendimento periodo i
RD i = Rendimento Benchmark periodo i
Tracking Error Volatility =
N
∑
I = 1
( R − RD )
i
N −1
i
2
133
=TEV
Dato annualizzato = Daily Tracking Error* 252 = TEVa
VaR (Value at Risk)
Il VaR è una stima, con un adeguato intervallo di confidenza, delle massime perdite di un
determinato portafoglio, in un determinato intervallo di tempo.
σ R = Standard Deviation giornaliera
α = grado di confidenza
p = intervallo di tempo
c = valore associato nella tavola di distribuzione, al grado di confidenza scelto (α)
VAR = c* σ R * p
Misure di Rischio/Rendimento
Indice di Sharpe
E’ la più utilizzata misura di Risk Adjusted Performance, cioè misure che considerano
congiuntamente rischio e rendimento. Rappresenta una misura del premio al rischio
calcolato su basi unitarie, cioè su ogni unità di rischio.
RG a = Rendimento medio geometrico annualizzato
N = Numero dei periodi
σ = Standard Deviation annualizzata
a
R
RRF a = Rendimento annuo dell’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )

⎛ RG
a − R ⎞
Indice di Sharpe = ⎜
RF a
⎟
⎜
⎟
⎝ σ Ra
⎠
Molto diffusa è la versione con il rendimento medio annuo invece che quello geometrico;
si ritiene più corretta questa indicazione del rendimento.
Indice di Sortino
Un’altra misura di rischio/rendimento, rappresenta il sovra-rendimento per unità di
volatilità negativa (la volatilità dei soli rendimenti negativi). Il sovra-rendimento può
essere calcolato rispetto al benchmark o rispetto all’attività priva di rischio.
RG a = Rendimento medio geometrico annualizzato
RRF a = Rendimento annuo dell’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )
σ DRa = Downside Deviation
⎛ R
Indice di Sortino = ⎜ Ga
− R
⎜
⎝ σDRa
RF
a ⎞
⎟
⎠
Indice di Modigliani
E’ un indice che permette di confrontare asset con lo stesso obiettivo d’investimento
(medesimo benchmark) portandoli ad un uguale livello di rischio, cioè variando la loro
rischiosità fino a farla coincidere con quella del benchmark e in seguito calcolando il
rendimento dell’asset modificato.
In pratica, per ciascun asset con un dato rischio e rendimento, la misura di Modigliani
determina il rendimento che l’asset avrebbe avuto se avesse assunto lo stesso livello del
rischio del Benchmark. E’ analogo all’indice di Sharpe, ma mentre il primo rappresenta un
“coefficiente”, l’indice di Modigliani è espresso con un valore percentuale, è cioè un “
rendimento”.
RG a = Rendimento medio geometrico annualizzato
σ Ra
= Standard Deviation annualizzata
a
RD
σ = Standard Deviation del Benchmark annualizzata
RRF a = Rendimento annuo dell’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )
σ RDa
* RRF a
σ a
Indice di Modigliani = ( R a − R a)
+
G
RF
R
Information Ratio
E’ una misura che mostra quanto rischio aggiuntivo, rispetto al benchmark, il gestore ha
assunto al fine di produrre un determinato differenziale di rendimento.
ER a = Mean Excess Return annualizzato
TEVa =Tracking Error Volatility annualized
ERa
Information Ratio =
TEVa
134

Analisi della correlazione
Coefficiente di correlazione lineare
Misura il grado di correlazione lineare tra due variabili. Il valore è compreso tra –1
(perfetta relazione lineare inversa) e +1 (perfetta relazione lineare diretta). Il coefficiente di
determinazione lineare, il quadrato del coefficiente di correlazione lineare ovvero ρ 2 , R 2 su
valori campionari, misura quanto buona sia l’aderenza dei valori osservati intorno ad
un’interpolante lineare (rappresenta la percentuale di varianza “spiegata” dalla regressione
lineare).
N = numero di periodi
R i = Rendimento periodo i
RD i = Rendimento Benchmark periodo i
R = Media dei rendimenti R
RD = Media dei rendimenti del Benchmark
coefficiente di correlazione = ρ =
Dove:
ρ =
N
∑
i=
1
N
∑
i=
1
RD
N
∑
i=
1
( R − R)
* ( RD − RD)
( ) ( ) 2
N
2
R − R * RD − RD
i
i
135
∑
i=
1
( R − R)
* ( RD − RD)
i
cov R,
RD
σ
* σ
R
i
i
i
= Covarianza
Beta
Il Beta misura il rischio di un particolare asset relativamente al mercato nel suo complesso.
Descrive la sensibilità dell’investimento all’andamento del mercato. Un portafoglio
aggressivo ha un beta maggiore dell’unità. Beta rappresenta, geometricamente, la pendenza
della retta di regressione.
N = Numero dei periodi
R i = Rendimento periodo i
RD i = Rendimento Benchmark periodo i

β =
N
∑
i=
1
Dove:
cov
β =
σ
( R − R)
* ( RD − RD)
N
i
∑
i=
1
N
∑
i=
1
R,
RD
2
RD
( ) 2
RD − RD
i
i
( R − R)
* ( RD − RD)
i
i
= Covarianza
Alfa
E’ la misura del valore aggiunto dall’attività di gestione.
L’alfa indica in che misura l’andamento del portafoglio è stato migliore o peggiore delle
previsioni basate sulla sua rischiosità intrinseca: è la differenza tra la performance effettiva
del portafoglio e la performance prevista alla luce del suo fattore beta e dall’andamento del
mercato.
Geometricamente, rappresenta l’intercetta della retta di regressione.
R = Media dei rendimenti R
RD = Media dei rendimenti del Benchmark
Alfa = α = R − β * RD
252 −
Alfa annualizzato = ( 1 ) 1
+α = α a
Alfa di Jensen
E’ un indicatore dell’abilità di selezione dell’asset manager.
Analiticamente l’Alfa di Jensen è misurata dalla differenza tra il sovrarendimento rispetto
al free risk effettivamente realizzato e quello atteso di equilibrio (secondo la Security
Market Line), per un portafoglio avente lo stesso rischio sistematico cioè lo stesso beta.
RD = Rendimento medio del Benchmark
R = Rendimento dell’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )
RF
Alfa di Jensen = ( R RF ) − ( RD − R )
− β * RF = α j
252
1+
α j − = α
ja
Alfa di Jensen annualizzato = ( ) 1
136

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