Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA<br />
DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE<br />
SAFE CENTER<br />
CENTER FOR STUDIES IN ACTUARIAL AND FINANCIAL ENGINEERING -ECONOMICS<br />
Francesco Rossi<br />
<strong>Teoria</strong> <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
e<br />
mo<strong>del</strong>li <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali<br />
SAFE CENTER<br />
DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE<br />
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA<br />
Via Giar<strong>di</strong>no Giusti, 2 - 37129 VERONA<br />
Fax 045 8054935; http://dse.univr.it/safe
Introduzione<br />
CAPITOLO 1 - RENDIMENTO E RISCHIO DI UN’ATTIVITÀ<br />
1.1 Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo<br />
1.2 Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un prodotto o business<br />
1.3 Ren<strong>di</strong>mento atteso e rischio <strong>di</strong> un titolo o business<br />
1.4 Confronto fra più titoli o business<br />
CAPITOLO 2 - ANALISI DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA DUE TITOLI O<br />
BUSINESS<br />
2.1 Introduzione<br />
2.2 Analisi dei <strong>portafoglio</strong> possibili nel caso <strong>di</strong> due titoli o business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
2.2.1 Un’applicazione<br />
2.3 Selezione dei portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso <strong>di</strong> due titoli o business a<br />
ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
2.3.1 Caso con perfetta correlazione lineare positiva fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business<br />
2.3.2 Caso con perfetta correlazione lineare negativa fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business<br />
2.3.3 Caso con non perfetta correlazione lineare fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business (<strong>di</strong><br />
rilevante interesse operativo)<br />
2.4 L’introduzione nel <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo<br />
CAPITOLO 3 - ANALISI DI PORTAFOGLIO CON n TITOLI O BUSINESS<br />
3.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili<br />
3.2 Analisi <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> all’aumentare <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business rischiosi<br />
in <strong>portafoglio</strong><br />
3.2.1 Caso <strong>di</strong> titoli o business con ren<strong>di</strong>menti aleatori tutti linearmente in<strong>di</strong>pendenti fra loro<br />
3.2.2 Caso <strong>di</strong> titoli o business con ren<strong>di</strong>menti aleatori linearmente correlati<br />
3.3 La <strong>selezione</strong> dei portafogli efficienti ovvero la valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente<br />
3.4 Il mo<strong>del</strong>lo parametrico<br />
Appen<strong>di</strong>ce<br />
Teorema <strong>di</strong> separazione<br />
Teorema <strong>di</strong> ortogonalità<br />
CAPITOLO 4 - ANALISI DEL PORTAFOGLIO IN PRESENZA DI TITOLI O<br />
BUSINESS A RENDIMENTO ALEATORIO, INVESTIMENTI E<br />
FINANZIAMENTI A TASSO CERTO<br />
4.1 Portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso <strong>di</strong> n-1 titoli o business a ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatorio e un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo<br />
4.2 Alcune simulazioni<br />
4.3 Portafogli efficienti, (frontiera efficiente) utilizzando sia titoli o business a ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatori sia un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo sia la possibilità <strong>di</strong> indebitamento a tasso certo<br />
CAPITOLO 5 - ROI, ROE E SOSTENIBILITÀ DEI DEBITI<br />
5.1 Valore atteso e varianza <strong>di</strong> ROI e ROE<br />
5.2 Ipotesi <strong>di</strong> tasso certo <strong>di</strong> debiti e ren<strong>di</strong>mento aleatorio dei business<br />
5.2.1 Scelte efficienti<br />
5.2.2 Tasso massimo dei debiti razionalmente sostenibile dall’azienda<br />
5.2.3 Simulazioni sulla valutazione <strong>del</strong> tasso massimo razionalmente sostenibile<br />
5.2.4 L’effetto dei vincoli operativi sul tasso certo massimo sostenibile
5.2.5 Alcune simulazioni <strong><strong>del</strong>la</strong> valutazione <strong>del</strong> tasso certo massimo sostenibile in presenza <strong>di</strong><br />
vincoli operativi sulle variabile decisionali<br />
CAPITOLO 6 - MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO:<br />
IL MODELLO DIAGONALE DI SHARPE<br />
6.1 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe<br />
6.1.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> un titolo<br />
6.1.2 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili con n titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
6.1.3 La valutazione <strong>del</strong> rischio al crescere <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business in <strong>portafoglio</strong> o<br />
azienda<br />
6.1.4 La valutazione <strong>del</strong>le soluzioni efficienti<br />
CAPITOLO 7 - MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO:<br />
MODELLI A PIÙ INDICI<br />
7.1 Mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci<br />
7.2.0 Richiami su autovalori e autovettori<br />
7.2.1 La tecnica <strong>del</strong>le Componenti Principali (P.C.A.)<br />
7.2.2 Alcune esperienze<br />
CAPITOLO 8 - LA SCELTA PREFERITA<br />
8.1 Introduzione<br />
8.2 La teoria <strong>del</strong>l’utilità attesa<br />
8.3 Valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità<br />
8.4 In<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> a ren<strong>di</strong>mento aleatorio preferito<br />
8.4.1 Criterio <strong>di</strong> scelta: la funzione <strong>di</strong> utilità e le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza in E-V<br />
8.4.2 Utilizzo <strong>del</strong>l’arco <strong>di</strong> circonferenza tangente alla frontiera efficiente E-V come curva <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>fferenza<br />
CAPITOLO 9 - MODELLI DI EQUILIBRIO<br />
9.1 Equilibrio <strong>di</strong> mercato<br />
9.2 Il Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong> (C.A.P.M.)<br />
9.2.1 Le ipotesi <strong>del</strong> C.A.P.M.<br />
9.2.2 La Security Market Line (S.M.L.)<br />
9.3 L’Arbitrage Pricing Theory (A.P.T.)<br />
9.3.1 Le ipotesi <strong>del</strong>l’A.P.T.<br />
9.3.2 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong><br />
Allegato - In<strong>di</strong>catori <strong>di</strong> Performance<br />
Bibliografia
Introduzione<br />
Nel mercato finanziario o produttivo o commerciale o <strong>del</strong> lavoro, ovvero nel mercato<br />
globale dei capitali, un decisore si trova ad operare su più possibilità e deve utilizzare tutte<br />
le informazioni <strong>di</strong>sponibili per la valutazione dei ren<strong>di</strong>menti futuri <strong>del</strong>le attività che sono<br />
oggetto <strong><strong>del</strong>la</strong> sua analisi.<br />
Per molte attività, in genere la maggior parte <strong>di</strong> esse, i ren<strong>di</strong>menti futuri non sono certi,<br />
quin<strong>di</strong> la decisione si svolge in ambito incerto per mancanza, incompletezza o<br />
inatten<strong>di</strong>bilità, <strong>del</strong>le conoscenze ed informazioni a <strong>di</strong>sposizione1 .<br />
Poiché "<strong>di</strong>stinguere ciò che ad un certo momento ignoriamo da ciò che invece ci risulta<br />
essere o certo o impossibile serve a permetterci <strong>di</strong> contemplare l'ambito <strong>del</strong>le possibilità,<br />
ossia l'ambito su cui si estende la nostra incertezza. Ciò non basta tuttavia come strumento<br />
e guida per orientarci, per decidere, per agire: per tale scopo occorrerà basarsi su un<br />
ulteriore concetto: quello <strong>di</strong> probabilità" 2 , vi è allora la convenienza, opportunità a dare<br />
una valutazione probabilistica ad ogni ren<strong>di</strong>mento futuro che si ritenga possibile. Si giunge<br />
così a descrivere la variabile aleatoria ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> progetto <strong>di</strong> investimento.<br />
La Selezione <strong>del</strong> Portafoglio3 è stata proposta per affrontare il problema <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
ripartizione <strong>di</strong> risorse finanziarie tra <strong>di</strong>verse possibilità <strong>di</strong> investimento con ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatorio. Scopo primario è quello <strong>di</strong> controllare sia il ren<strong>di</strong>mento sia il rischio degli<br />
investimenti. Per risolvere tale problema il metodo analizza una sola unità temporale ed<br />
applica all'insieme <strong>del</strong>le possibili scelte il criterio E-V (Expected value-Variance).<br />
Il criterio E-V ipotizza che il decisore scelga il proprio <strong>portafoglio</strong> perseguendo non<br />
solo la massimizzazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso (E), ma anche la minimizzazione <strong>del</strong> rischio<br />
(V), approfondendo così il tema <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>versificazione e <strong><strong>del</strong>la</strong> in<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong>le scelte<br />
efficienti.<br />
Poichè le opportunità d'investimento possono assumere varie forme, azioni,<br />
obbligazioni, valute e loro derivati (in ambito strettamente finanziario), affari, servizi,<br />
prodotti (in ambito commerciale ed industriale) si propone <strong>di</strong> applicare la <strong>selezione</strong> <strong>del</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>, e quin<strong>di</strong> il criterio E-V, anche a questi ultimi, dato che è facile convenire sul<br />
fatto che un’azienda può essere vista come un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> prodotti o <strong>di</strong> servizi. Si<br />
propone quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> controllare anche il ren<strong>di</strong>mento atteso e il rischio aziendale e <strong>di</strong> dare una<br />
risposta al problema noto come sostenibilità dei debiti, ovvero la valutazione <strong>del</strong> tasso<br />
certo massimo sostenibile per un’impresa, dati i ren<strong>di</strong>menti attesi dei suoi business e i<br />
vincoli operativi.<br />
D'ora in avanti si parlerà semplicemente <strong>di</strong> titoli o business, intendendo con ciò una<br />
qualunque forma d'investimento omogenea con altre con cui viene confrontata, e si<br />
supporrà l'esistenza <strong>di</strong> un numero finito <strong>di</strong> titoli, o business, in cui poter investire<br />
qualunque frazione <strong>del</strong> capitale <strong>di</strong>sponibile, nonché, al fine <strong>di</strong> semplificare la<br />
presentazione, l'assenza <strong>di</strong> costi <strong>di</strong> transazione o altri. Preme sottolineare che la meto<strong>di</strong>ca<br />
qui esposta è la base su cui poggia la meto<strong>di</strong>ca Value at Risk (VaR) per il controllo <strong>del</strong><br />
rischio finanziario.<br />
1 DE FINETTI B., <strong>Teoria</strong> <strong>del</strong>le Probabilità, vol. 1, Einau<strong>di</strong> Ed., Torino, 1970, pag. 33.<br />
2 DE FINETTI B., 1970, op. cit., pag. 35.<br />
3 MARKOWITZ H. M., "Portfolio Selection", Journal of Finance, March 1952.<br />
1
1<br />
RENDIMENTO E RISCHIO DI UN’ATTIVITA’<br />
1.1 Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo<br />
Si definisce Ri,t il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento previsto in t <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, azionario od<br />
obbligazionario, nell'intervallo temporale (t,t+1), anno, mese, decade, settimana, giorno,<br />
ora, minuto, come<br />
Pit , + 1− Pit , + Dit<br />
, + 1<br />
Rit<br />
, =<br />
Pit<br />
,<br />
dove:<br />
Pi,t prezzo (quotazione) <strong>del</strong>l'i-esimo titolo all'istante t;<br />
Di,t+1 cedola o <strong>di</strong>videndo ed eventuali premi4 previsti all'istante t+1;<br />
Pi,t+1 prezzo (quotazione) <strong>del</strong>l'i-esimo titolo all'istante t+1.<br />
Per semplificare l'analisi non verranno considerati, in seguito, premi e <strong>di</strong>videndo.<br />
Se si considera un intervallo (t,t+1) tendente a zero, utilizzando, per esempio, serie <strong>di</strong><br />
prezzi rilevate su un mercato telematico, e si calcola il rapporto<br />
Pit<br />
, + 1 Pit , + 1 + Pit , − Pit<br />
, Pit , + 1 − Pit<br />
,<br />
=<br />
= 1+ = 1 + R$<br />
it ,<br />
Pit<br />
, Pit<br />
,<br />
Pit<br />
,<br />
posto P<br />
P it , + 1<br />
it , + Pit<br />
,<br />
> 0 allora = Rit<br />
>-1<br />
P<br />
P<br />
it ,<br />
it ,<br />
− 1 $<br />
, .<br />
Se si applica il logaritmo si ottiene:<br />
Pit<br />
, + 1<br />
log = log ( 1+ R$ $<br />
it , ) = δ i()<br />
t<br />
Pit<br />
,<br />
dove $ ()<br />
δ i t è il tasso istantaneo <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento 5 (da capital gain) <strong>del</strong>l'alternativa i in t.<br />
1.2. Ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un prodotto o business<br />
Lavorando su prodotti o business la valutazione <strong>del</strong> tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> business i<br />
per l’anno da t a t+1 è facile solo nel caso <strong>di</strong> aziende monoprodotto. Nel caso <strong>di</strong> aziende<br />
multiprodotto è possibile ed auspicabile l’analisi per cui l’azienda sia vista anche come un<br />
<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> prodotti. In questo caso i processi <strong>di</strong> valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> red<strong>di</strong>tività <strong>del</strong> capitale<br />
investito per prodotto sono complessi, basati su ipotesi forti (per esempio su chiavi <strong>di</strong><br />
ripartizione dei costi generali e comuni), costosi, ma non impossibili visto che, per<br />
esempio, nel settore assicurativo si <strong>di</strong>spone già <strong>di</strong> bilanci per ramo e che nel settore <strong>del</strong><br />
cre<strong>di</strong>to è prassi valutare, per esempio, la red<strong>di</strong>tività e il rischio <strong><strong>del</strong>la</strong> “linea” fi<strong>di</strong> per settore<br />
economico 6.<br />
4 Il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo deve essere corretto nel caso <strong>di</strong> variazioni <strong>del</strong> capitale sociale e nel caso in cui<br />
<strong>di</strong>viden<strong>di</strong> o premi o cedole fossero corrisposti in momenti <strong>di</strong>versi dall'istante finale.<br />
5 Vedasi questo testo nella parte riguardante i tassi <strong>di</strong> interesse.<br />
6 Per chi sia interessato a questo tema si rimanda a testi come: SELLERI L., Contabilità dei costi e contabilità<br />
analitica. Determinazioni quantitative e controllo <strong>di</strong> gestione, Etas Libri, Milano, 1990; BRUSA L.,<br />
ZAMPROGNA L., Pianificazione e controllo <strong>di</strong> gestione: creazione <strong>del</strong> valore, cost accounting e reporting<br />
2
Si deve comunque arrivare a valutare il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> business i intrapreso in t con<br />
PRit<br />
Rit<br />
,<br />
Cit<br />
=<br />
, + 1<br />
,<br />
dove:<br />
Pri,t+1 profitto derivante dalla produzione e ven<strong>di</strong>ta <strong>del</strong>l'i-esimo prodotto o business<br />
nel periodo (t, t+1) e riportato alla fine <strong>del</strong> periodo, cioè in t+1;<br />
Ci,t capitale investito in t, inizio <strong>del</strong> periodo, nell’i-esimo prodotto o business.<br />
Naturalmente tutto questo deve essere valutato ex-ante, anche sulla base <strong>di</strong> esperienze<br />
trascorse, ma “corrette” per il futuro, o <strong>di</strong> simulazioni sulla <strong>di</strong>stribuzione dei ren<strong>di</strong>menti<br />
(Monte Carlo, brainstorming, analisi top down) o <strong>di</strong> ipotesi, tutte tecniche che portano poi<br />
alla valutazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso e <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong>le singole possibilità <strong>di</strong><br />
investimento.<br />
1.3. Ren<strong>di</strong>mento atteso e rischio <strong>di</strong> un titolo o business<br />
D'ora in poi per ren<strong>di</strong>mento si intenderà il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento moltiplicato per 100 (per<br />
esempio, 17 sta per 17%) e si trascurerà l'in<strong>di</strong>ce temporale, dato che ci si occuperà <strong>di</strong> una<br />
sola, prossima, unità temporale rilevante per il decisore.<br />
Si utilizza quin<strong>di</strong> un mo<strong>del</strong>lo uniperiodale. Se un decisore ha scelto il mese come unità<br />
periodale, è scontato che prima <strong><strong>del</strong>la</strong> fine <strong>di</strong> ogni mese applichi, uttilizzando le<br />
informazioni <strong>di</strong>sponibili al momento, mese dopo mese, il mo<strong>del</strong>lo decisionale<br />
monoperiodale per simulare, controllare a priori, gli effetti <strong>del</strong>le nuove informazioni sul<br />
ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>del</strong> suo <strong>portafoglio</strong> o <strong><strong>del</strong>la</strong> sua azienda per il mese prossimo.<br />
A priori, il prezzo <strong>di</strong> un titolo in t=0, cioè inizio periodo, è noto, ma in t+1 non è certo e<br />
quin<strong>di</strong> il ren<strong>di</strong>mento è una variabile casuale (v.c.) e il decisore dovrà assegnarle una<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità 7. Quale sia nella realtà il tipo <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità <strong>del</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo o business, in generale, è un problema <strong>del</strong> tutto illusorio.<br />
Si sa che l'unità temporale influenza la <strong>di</strong>stribuzione; alcune verifiche empiriche hanno<br />
portato ad accettare <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong>verse anche se, ancor oggi, per convenienza <strong>di</strong>dattica<br />
od operativa, si ricorre spesso alla <strong>di</strong>stribuzione Gaussiana 8. L'utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> trasformazione<br />
logaritmica appena vista è ritenuto utile anche per verificare la normalità <strong>del</strong>le<br />
<strong>di</strong>stribuzioni dei ren<strong>di</strong>menti 9. Allora, per eludere tali problemi e semplificare l'approccio,<br />
<strong>di</strong>rezionale: tendenze evolutive, Etas Libri, Milano, 1991; CODA V., I costi standard nella programmazione e<br />
nel controllo, Giuffrè, Milano, 1975; DEAKIN E.B., MAHER M.W., Cost Accounting, Irwin, Homewood,<br />
1992; EMMANUEL C., OTLEY D., MERCHANT K., Accounting for Management Control, Chapman & Hall,<br />
London, 1990; MACIARIELLO J.A., KIRBY C.J., Management Control Systems, Prentice Hall Intl, Englewood<br />
Cliffs, 1994; BURCH J.G., Contabilità <strong>di</strong>rezionale e controllo <strong>di</strong> gestione; impatto <strong>del</strong>le nuove tecnologie,<br />
EGEA, Milano, 1997.<br />
7 LINTNER J., "The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and<br />
Capital Budgets", Review of Economics and Statistics. Feb. 1965; LEVY H., SARNAT M., Capital Investment<br />
and Financial Decisions, Prentice Hall Int., N.Y., 1986.<br />
8 BREALEY R., EDWARDS H., A Bibliography of Finance, Vol. 2, cap.10.3, The MIT Press, Cambridge,<br />
Mass., 1991; CANESTRELLI E., NARDELLI C., Criteri per la Selezione <strong>del</strong> Portafoglio, Giappichelli, Torino,<br />
1991; BOOKSTABER R.M., MCDONALD J.B., "A General Distribution for Describing Security Price Returns",<br />
Journal of Business, July 1987, vol. 60.3, pagg. 401-424; FAMA E.F., "The Behavior of Stock Market<br />
Prices", Journal of Business, Jan. 1965, vol. 38, pagg. 34-105; ALEXANDER G.J., FRANCIS J.C., Portfolio<br />
Analysis, Prentice Hall, New York 1986.<br />
9 GARBADE K., <strong>Teoria</strong> dei Mercati Finanziari, Il Mulino, Bologna, 1989, pagg. 85 e seg.<br />
3
invece <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità dei ren<strong>di</strong>menti, qualsiasi essa sia, si utilizzano<br />
degli in<strong>di</strong>ci sintetici; tipicamente i momenti10. I più usati sono il valore atteso e la varianza.<br />
Nel caso che la v.c. ren<strong>di</strong>mento sia <strong>di</strong>screta si assegna un valore <strong>di</strong> probabilità ad ogni<br />
ren<strong>di</strong>mento, quin<strong>di</strong> il valore atteso e la varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento futuro sono<br />
rispettivamente dati da<br />
M<br />
i ∑ ij ij<br />
j=<br />
1<br />
E( R ) = p R = R<br />
i<br />
M<br />
( ) ∑ ( )<br />
2 2<br />
2<br />
V( R ) = E R − R = p R − R = σ<br />
i ij i ij ij i<br />
j=<br />
1<br />
dove<br />
E( Ri )= Ri : ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, con i =1,2,...N;<br />
: j-esimo possibile ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, con j=1,2,...M;<br />
R ij<br />
pij : probabilità associata a Rij, con 0≤pij ≤ 1,<br />
∀j e ∑ pij = 1, ∀i.<br />
La varianza è il valore atteso <strong>del</strong> quadrato degli scarti dei valori <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile casuale<br />
dal suo valore atteso.<br />
La Tab.1 mostra la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo o business B per<br />
il quale sono previsti solo tre possibili <strong>di</strong>versi ren<strong>di</strong>menti per il prossimo anno.<br />
Possibili ren<strong>di</strong>menti<br />
<strong>del</strong> titolo o business B<br />
Probabilità<br />
10.8 1/6<br />
16.4 3/6<br />
15 2/6<br />
Totale 6/6= 1.00<br />
Tab. 1: Distribuzione <strong>di</strong> probabilità dei ren<strong>di</strong>menti<br />
<strong>del</strong> titolo o business B per il prossimo anno<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> B è 15, la varianza è 3.92, lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o (s.q.m.<br />
oppure σ), ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza, è 1.98. Infatti:<br />
ER ( i ) = 10. 8 × + . × + × =<br />
V( Ri)<br />
= ( . − ) × + ( . − ) × + ( − ) × = .<br />
= . = . ≅<br />
1 3 2<br />
16 4 15 15<br />
6 6 6<br />
2 1<br />
2 3<br />
2 2<br />
10 8 15 16 4 15 15 15 392<br />
6<br />
6<br />
6<br />
σ 392 198 2<br />
R i<br />
H.M. Markowitz 11 nel 1952 propose la varianza come misura <strong>del</strong> rischio d'investimento<br />
per cui: a varianza via via più elevata si associa rischio via via più elevato. Naturalmente,<br />
un titolo con varianza nulla è un titolo privo <strong>di</strong> rischio, cioè a ren<strong>di</strong>mento certo, come nel<br />
caso <strong>di</strong> obbligazioni senza cedola a scadenza fissa (per esempio i BOT e gli Zero Coupon<br />
Bond) se e solo se acquistati all'emissione e detenuti fino a scadenza. Valore atteso e<br />
varianza, ovviamente, non sintetizzano tutte le informazioni contenute nella <strong>di</strong>stribuzione<br />
10 VAJANI L., Statistica Descrittiva, Etas Libri, Milano, 1974.<br />
11 MARKOWITZ H.W., 1952, op. cit.<br />
4<br />
M<br />
j=<br />
1<br />
i
<strong><strong>del</strong>la</strong> variabile aleatoria ren<strong>di</strong>mento, salvo casi particolari come quello <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>stribuzione<br />
Gaussiana ed alcune altre 12. Di conseguenza la proposta <strong>di</strong> Markowitz è suscettibile <strong>di</strong><br />
critiche 13. Per esempio, si obietta che, razionalmente, il rischio dovrebbe considerare i<br />
ren<strong>di</strong>menti al <strong>di</strong> sotto <strong>di</strong> una certa soglia, <strong>di</strong>versa da operatore ad operatore, e che quin<strong>di</strong> si<br />
dovrebbero considerare solo gli scarti negativi e non quelli positivi da quella soglia. D'altro<br />
canto la varianza gode <strong>di</strong> vantaggi analitici che altre misure <strong>di</strong> variabilità non hanno 14.<br />
La proposta <strong>di</strong> Markowitz è comunque ancor oggi utilizzata sia nella teoria finanziaria<br />
(come nel Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong>, CAPM 15) sia nella pratica finanziaria 16, non ultima<br />
in RiskMetrics <strong><strong>del</strong>la</strong> J.P. Morgan/Reuters per il controllo <strong>del</strong> Value at Risk 17.<br />
1.4. Confronto fra più titoli o business<br />
Nella Tab. 2 sono riportati valore atteso, scarto quadratico me<strong>di</strong>o, ren<strong>di</strong>mento atteso per<br />
unità <strong>di</strong> rischio, rischio per unità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> cinque titoli o business<br />
denominati A, B, C, D, E 18.<br />
A B C D E<br />
R i 15 15 17 20 12<br />
σ i 1.4142 2.0000 1.6903 1.8516 1.0690<br />
R i /σ i 10.6067 7.5000 10.0574 10.8015 11.2254<br />
σ i/ R i 0.0943 0.1333 0.0994 0.0926 0.0891<br />
Tab. 2: Ren<strong>di</strong>mento atteso, scarto quadratico me<strong>di</strong>o, ren<strong>di</strong>mento atteso per unità <strong>di</strong> rischio,<br />
rischio per unità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>meto atteso <strong>di</strong> cinque titoli o business.<br />
Si può notare che:<br />
− D ha il ren<strong>di</strong>mento atteso più alto, ma non il rischio più alto;<br />
12 ALEXANDER G.J., FRANCIS G.C., 1986, op.cit.<br />
13 BAMBERG G., SPREMANN K., Capital Market Equilibria, Springer Verlag, N.Y., 1986, pag. 7-49<br />
14 PESARIN F. , Elementi <strong>di</strong> Calcolo <strong>del</strong>le Probabilitá, Cleup, Padova, 1985.<br />
15 CAPM: Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong>; SHARPE W.F:, "Capital Asset Prices: a Theory of Market<br />
Equilibrium under Con<strong>di</strong>tions of Risk", Journal of Finance, 19, 1964, pag, 425-442; LINTNER J., 1965, op.<br />
cit., pag 13-1; MOSSIN J., "Equilibrium in a Capital Asset Market", EM, Oct. 1966, vol. 34, pag, 768-783.<br />
16 BARRA, The Global Equity Mo<strong>del</strong> Handbook, Barra, University Avenue, Berkeley CA 94704-1058 USA,<br />
1995<br />
17 MORGAN J.P./REUTERS, Technical Document, December 1996, Morgan Guaranty Trust Company, New<br />
York;<br />
JORION P., Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk, 1997, IRWIN, Chicago.<br />
18 Per poter valutare i ren<strong>di</strong>menti attesi e gli scarti in Tab. 2 si deve procedere come già detto oppure si<br />
possono trattare dei ren<strong>di</strong>menti ex-ante forniti da più analisti:<br />
A B C D E<br />
15 17 17 19 12<br />
17 13 20 22 10<br />
... ... ... ... ...<br />
16 18 18 21 13<br />
15 12 16 18 12<br />
e quin<strong>di</strong> calcolare il valore atteso e lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o con le opportune tecniche statistiche. Talvolta<br />
un analista ha informazioni circa il valore atteso, il ren<strong>di</strong>mento massimo, xmax , e minimo, xmin , previsti per il<br />
periodo in esame e non ha lo s.q.m.. Allora, nell’ipotesi <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione gaussiana dei ren<strong>di</strong>menti,<br />
ponendo xmin = x2.5 e xmax = x97.5 valori percentili <strong><strong>del</strong>la</strong> stessa, si può valutare lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o<br />
come: σ ≅ (x97.5 - x2.5)/4.<br />
5
− E ha il ren<strong>di</strong>mento più basso ed anche il rischio più basso;<br />
− A e B hanno uguale ren<strong>di</strong>mento atteso, ma B risulta più rischioso perché ha lo s.q.m.<br />
maggiore <strong>di</strong> quello <strong>di</strong> A.<br />
Il rapporto<br />
Ri / σ i<br />
valuta il ren<strong>di</strong>mento atteso per unità <strong>di</strong> rischio ed è un in<strong>di</strong>ce utilmente impiegabile per<br />
confrontare più alternative a ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong>versi (è definito coefficiente <strong>di</strong><br />
variazione dagli statistici, mentre in finanza è detto anche "ren<strong>di</strong>mento periodale me<strong>di</strong>o<br />
aggiustato per il rischio" 19, o "ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong> rischio"). Tale rapporto Ri /σi rileva<br />
come A, C, D, E abbiano da 10.0574 a 11.2254 punti <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso per unità <strong>di</strong><br />
rischio, mentre B riporta un ren<strong>di</strong>mento aggiustato <strong>del</strong> rischio decisamente più basso: 7.5.<br />
Il reciproco <strong>di</strong> tale in<strong>di</strong>ce quantifica, naturalmente, il rischio per unità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso. B emerge, negativamente, sugli altri. In Fig. 1 il ren<strong>di</strong>mento atteso e lo scarto<br />
quadratico me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> ciascun titolo è stato rappresentato sul piano [ R,σ ] .<br />
Fig. 1: Ren<strong>di</strong>mento atteso e scarto quadratico me<strong>di</strong>o dei cinque titoli o<br />
business esaminati<br />
Si supponga <strong>di</strong> voler investire, per il prossimo anno, tutto il capitale <strong>di</strong>sponibile in uno<br />
solo dei cinque titoli o business considerati, ipotizzando che siano i soli <strong>di</strong>sponibili per il<br />
decisore. Per attuare la scelta si deve ricorrere all’in<strong>di</strong>viduazione <strong>di</strong> un criterio e a dei<br />
parametri che informino lo stesso.<br />
La <strong>selezione</strong> per or<strong>di</strong>ne alfabetico o casuale, lanciando per esempio un dado a cinque<br />
facce, sono meto<strong>di</strong> sicuramente interessanti, ma qui proponiamo un metodo che controlli<br />
sia il valore atteso sia il rischio, quest’ultimo misurato dallo scarto quadratico me<strong>di</strong>o (o<br />
varianza).<br />
19 RUOZI R., Manuale dei Fon<strong>di</strong> Comuni <strong>di</strong> Investimento, Giuffrè Ed., Milano 1987, pag, 89.<br />
6
Utilizzando il metodo <strong><strong>del</strong>la</strong> dominanza20 e come parametri decisionali il valore atteso<br />
e la varianza, metodo E-V, possiamo or<strong>di</strong>nare (scegliere, preferire) i titoli rischiosi in<br />
analisi.<br />
Tale metodo propone che si operi come segue:<br />
1) a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso viene scelta l'opportunità meno rischiosa (dominanza per<br />
rischio);<br />
2) a parità <strong>di</strong> varianza (o <strong>di</strong> σ) viene scelta l'opportunità con ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore<br />
(dominanza per ren<strong>di</strong>mento);<br />
2 2<br />
3) nel caso in cui Ri < Rj e σi < σ j il titolo j-esimo non domina il titolo i-esimo:<br />
in questo caso il metodo evidenzia che le possibilità con ren<strong>di</strong>mento maggiore hanno<br />
maggior rischio (a maggior ren<strong>di</strong>mento maggior rischio o viceversa) e niente altro.<br />
Quin<strong>di</strong>, in questo caso il metodo E-V, da solo, non aiuta a scegliere (non attua un<br />
or<strong>di</strong>namento totale, ma parziale), ovvero si ha indecisione.<br />
L’applicazione <strong>del</strong> criterio E-V alle nostre cinque possibilità porta a verificare che:<br />
1) nessun decisore razionale deve scegliere B, perché dominato da:<br />
− A per rischio;<br />
− C e D sia per ren<strong>di</strong>mento sia per rischio;<br />
2) E, A, C, D sono non dominati, quin<strong>di</strong> efficienti in quanto a maggior ren<strong>di</strong>mento<br />
corrisponde maggior rischio.<br />
Quin<strong>di</strong>, scartato B, non esiste, per ora, tra A, C, D, E, una soluzione migliore <strong>del</strong>le altre e<br />
“la scelta <strong>di</strong> uno <strong>di</strong> essi sia invece questione da lasciare al decisore sulla base <strong>del</strong> suo<br />
atteggiamento verso il rischio o, più in generale, sulla base <strong>del</strong> proprio sistema <strong>di</strong><br />
preferenze” 21.<br />
20 MARKOWITZ H.M., Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil Blackwell<br />
Inc., N.Y., 1987; CASTAGNOLI E., PECCATI L., Introduzione alla Selezione <strong>del</strong> Portafoglio, Coop. Lorenzo<br />
Milani, Milano, 1991; CANESTRELLI E., NARDELLI C., 1991, op. cit.<br />
21 CASTAGNOLI E., PECCATI L., 1991, pag. 11, op.cit.<br />
7
2<br />
ANALISI DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA<br />
DUE TITOLI O BUSINESS<br />
2.1 Introduzione<br />
L'analisi ren<strong>di</strong>mento-rischio non riguarda solo e semplicemente i singoli titoli,<br />
come quelli in<strong>di</strong>cati in Tab. 2, ma anche tutte le possibili composizioni degli stessi<br />
ovvero le varie configurazioni <strong>di</strong> mix <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, sia esso un fondo comune<br />
azionario o un mix produttivo-commerciale <strong>di</strong> una compagnia <strong>di</strong> assicurazioni<br />
operante nei rami danni o <strong>di</strong> un’impresa commerciale qualsiasi.<br />
Tali configurazioni possono essere infinite se definiamo x i la quota <strong>di</strong> capitale<br />
investita nell'i-esimo titolo, o nel i-esimo business, nel campo dei numeri reali e si<br />
pone il vincolo<br />
∑ xi = 1<br />
noto come vincolo <strong>di</strong> bilancio: tutto il capitale <strong>di</strong>sponibile viene investito.<br />
Nel caso <strong>di</strong> due titoli il vincolo <strong>di</strong> bilancio <strong>di</strong>venta: x1 + x2<br />
= 1.<br />
Trattando investimenti, la frazione <strong>di</strong> capitale xi assume tutti e solo i valori<br />
compresi tra 0 e 1 (estremi inclusi) 22 quin<strong>di</strong><br />
0 ≤ xi ≤ 1.<br />
Nel caso in cui fossero ammessi finanziamenti, o investimenti allo scoperto, la<br />
variabile xi può assumere anche valori esterni a tale intervallo, negativi o maggiori<br />
<strong>di</strong> 1.<br />
Scopo <strong><strong>del</strong>la</strong> Selezione <strong>del</strong> Portafoglio è quello <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare la migliore<br />
ripartizione, secondo il criterio E-V, <strong>del</strong> capitale tra i titoli o business, ossia stabilire<br />
i "giusti" pesi xi da attribuire ad ogni titolo o business.<br />
Tali “giusti” pesi dovranno razionalmente permettere <strong>di</strong> avere un progetto <strong>di</strong><br />
investimenti con il massimo ren<strong>di</strong>mento a parità <strong>di</strong> rischio o a minimo rischio a<br />
parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, cioè portare a comporre un progetto <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> efficiente in<br />
E-V.<br />
Il problema che si affronta è anche noto come il problema <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>versificazione,<br />
problema che nel gergo comune si esprime <strong>di</strong>cendo: “vorrei un <strong>portafoglio</strong> che mi<br />
permetta <strong>di</strong> guadagnare intorno al 10% con il minor rischio” ovvero “partendo da un<br />
rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, per esempio <strong>di</strong> due punti, vorrei sapere quale mix mi dà il<br />
massimo ren<strong>di</strong>mento”.<br />
2.2 Analisi dei portafogli possibili nel caso <strong>di</strong> due titoli o business a ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatorio<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong>, R P , è la me<strong>di</strong>a aritmetica ponderata dei<br />
ren<strong>di</strong>menti attesi dei singoli titoli o, in altre parole, trasformazione lineare dei<br />
2<br />
ren<strong>di</strong>menti attesi dei singoli titoli. La varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, σP, è data dal valore<br />
22 Tale ipotesi è da ritenersi d'ora in poi sempre presente, salvo che non venga detto <strong>di</strong>versamente.<br />
8
atteso <strong>del</strong> quadrato degli scarti <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> dal ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
<strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> stesso. Per un <strong>portafoglio</strong> composto da due titoli o business si ha:<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
RP = E( RP) = x1E( R1) + x2E( R2) = x1R1 + x2R2 varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> (meglio, dei ren<strong>di</strong>menti futuri dei titoli o business in<br />
<strong>portafoglio</strong>)<br />
dove:<br />
σ<br />
[ ]<br />
(<br />
2<br />
) 1 1 2 2 ( 1 1 2<br />
2<br />
2)<br />
[<br />
[<br />
1( 1<br />
2<br />
1 ( 1<br />
1) 2<br />
1)<br />
2( 2<br />
2<br />
2 ( 2<br />
2<br />
2)<br />
]<br />
2<br />
2)<br />
2 1 2( 1 1)( 2 2)<br />
]<br />
2<br />
1 ( 1<br />
2<br />
1)<br />
2<br />
2 ( 2<br />
2<br />
2)<br />
2 1 2 ( 1 1)( 2 2)<br />
= ER − R = ExR+ xR − xR + xR =<br />
2<br />
P P P<br />
= Ex R − R + x R − R =<br />
= Ex R − R + x R − R + xx R − R R − R =<br />
2<br />
2<br />
= x σ + x σ + 2x<br />
x σ<br />
9<br />
[ ]<br />
= x E R − R + x E R − R + x x E R −R R − R =<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 2 12<br />
[ ( )( ) ]<br />
σ12 = E R1−R1R2−R 2<br />
è la covarianza fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le due alternative <strong>di</strong>sponibili23. Da quanto sopra, si nota come la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è una trasformazione<br />
quadratica <strong>del</strong> “rischio” dei singoli titoli o business.<br />
La covarianza, σ12 , misura quanto i ren<strong>di</strong>menti dei due titoli siano legati da una<br />
relazione lineare, ed essendo il valore atteso <strong>del</strong> prodotto <strong>di</strong> due scarti, può assumere<br />
valori positivi, nulli o negativi:<br />
− positivi quando gli scarti dei ren<strong>di</strong>menti dei due titoli hanno prevalentemente lo<br />
stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi, Fig. 2);<br />
− negativi quando a scarti positivi <strong>di</strong> un investimento corrispondono<br />
prevalentemente scarti negativi nell'altro o viceversa (Fig. 3);<br />
− nullo quando si ha in<strong>di</strong>pendenza lineare tra i ren<strong>di</strong>menti dei due titoli24 (Fig. 4a e<br />
4b).<br />
Una caratteristica evidente <strong><strong>del</strong>la</strong> covarianza è la simmetria, cioè σ12 = σ21. Inoltre<br />
2<br />
2<br />
σ11 = E[ ( R1 −R1)( R1 − R1) ] = E( R1 − R 1)<br />
= σ1<br />
e, naturalmente,<br />
2<br />
2<br />
σ = E R −R R − R = E R − R = σ<br />
[ ( )( ) ] ( )<br />
22 2 2 2 2 2 2<br />
23La covarianza è data da: = ( − )( − )<br />
σ12 R1R1R2R2p 12<br />
con p 12 probabilità congiunta dei ren<strong>di</strong>menti dei due titoli (probabilità che si abbiano<br />
contemporaneamente R 1 e R 2 ).<br />
24 STEWART M.B., WALLIS K.F., Introductory Econometrics, Basil Blakwell, Oxford, 1981.<br />
2
Si può standar<strong>di</strong>zzare la covarianza <strong>di</strong>videndola per σ1σ2> 0, prodotto degli scarti<br />
quadratici me<strong>di</strong> dei ren<strong>di</strong>menti dei due titoli; in questo modo si possono confrontare<br />
le relazioni fra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business che compongono i portafogli<br />
in<strong>di</strong>pendentemente dall'unità <strong>di</strong> misura.<br />
Si ottiene così il coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare, ρ12, σ12<br />
σ 21<br />
−1≤ ρ12<br />
= = = ρ 21 ≤ + 1<br />
σσ 1 2 σσ 1 2<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare ha il medesimo significato e le medesime<br />
proprietà <strong><strong>del</strong>la</strong> covarianza (Fig. 2, Fig. 3, Fig. 4a, Fig. 4b) con il vantaggio <strong>di</strong> essere<br />
un buon in<strong>di</strong>ce, poiché possiede valore minimo (-1) e massimo (+1) noti.<br />
Inoltre se:<br />
ρ12= +1, i ren<strong>di</strong>menti dei due titoli o business sono legati da una legge<br />
deterministica lineare crescente;<br />
ρ12= -1, i ren<strong>di</strong>menti dei due business si muovono in <strong>di</strong>rezioni opposte evidenziando<br />
una legge deterministica lineare decrescente;<br />
ρ12= 0, i ren<strong>di</strong>menti dei due business sono linearmente non correlati.<br />
E' importante evidenziare la relazione<br />
σ12 = ρ12σ1σ 2<br />
che permette <strong>di</strong> trovare il valore massimo <strong><strong>del</strong>la</strong> covarianza dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due<br />
business in corrispondenza <strong>di</strong> ρ12 = 1.<br />
Quin<strong>di</strong> il valore massimo <strong><strong>del</strong>la</strong> covarianza è<br />
pari al prodotto dei due scarti quadratici me<strong>di</strong>. Essa, inoltre, mostra che il segno <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
covarianza <strong>di</strong>pende da quello <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare (σ1 e σ2 sono<br />
sempre positivi) e solo quando ρ12 = 0 la covarianza è nulla.<br />
In generale tra σij e ρij sussistono le seguenti relazioni:<br />
se i=j allora ρii = 1 e σii = ( σiσi) = σi<br />
2 (il numeratore è uguale al denominatore);<br />
se i≠j allora ρii ≤1 e σij = ρijσiσj. 2.2.1. Un'applicazione<br />
In Tab. 3 e Tab. 4 è riportata rispettivamente la matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze<br />
e la matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare tra i ren<strong>di</strong>menti futuri dei 5 titoli o<br />
business i cui ren<strong>di</strong>menti attesi e scarti sono in Tab. 2.<br />
A B C D E<br />
A 2.0000 -0.4286 2.2857 0.1429 -0.2857<br />
B 4.0000 -0.2857 1.1429 1.1429<br />
C 2.8571 0.7143 -0.5714<br />
D 3.4286 0.1429<br />
E 1.1429<br />
Tab. 3: Matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze fra i ren<strong>di</strong>menti futuri <strong>di</strong><br />
cinque titoli o business<br />
A B C D E<br />
10
A 1 -0.1515 0.9592 0.0546 -0.1890<br />
B 1 -0.0845 0.3086 0.5345<br />
C 1 0.2282 -0.3162<br />
D 1 0.0722<br />
E 1<br />
Tab. 4: Matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare fra i<br />
ren<strong>di</strong>menti futuri <strong>di</strong> cinque titoli o business<br />
Quanto in Tab. 3 e Tab. 4 può essere frutto:<br />
- <strong>del</strong>l’analisi bivariata <strong>del</strong>le rispettive variabili casuali ren<strong>di</strong>menti ex-ante;<br />
- <strong>di</strong> valutazioni a seguito <strong>di</strong> stime ex-post mo<strong>di</strong>ficate per identificare quanto vede il<br />
decisore per il periodo in analisi;<br />
- <strong>di</strong> ipotesi, <strong>di</strong> simulazioni.<br />
Si ricorda che se il decisore non ha informazioni sulle singole correlazioni può<br />
imporre a tutte le coppie il coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare me<strong>di</strong>o previsto, <strong>del</strong><br />
mercato o <strong>del</strong>l’azienda, e che le varianze e covarianze si possono calcolare anche<br />
utilizzando gli scarti quadratici me<strong>di</strong>, valutati in Tab. 2, e i coefficienti <strong>di</strong><br />
correlazione.<br />
Si ricorda che ρ ij<br />
ρij è detto coefficiente <strong>di</strong> determinazione lineare e<br />
quantifica la percentuale <strong>di</strong> casi, ren<strong>di</strong>menti, spiegati dalla relazione lineare fra i due<br />
titoli o business. Tale coefficiente permette <strong>di</strong> valutare il grado <strong>di</strong> aderenza alla<br />
funzione lineare per la descrizione <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei ren<strong>di</strong>menti.<br />
Si può osservare come:<br />
2 2<br />
, ( 0≤ ≤1)<br />
− A e C (ρ A,C = 0.96), sono i titoli o business a più elevata correlazione lineare<br />
<strong>di</strong>retta nei ren<strong>di</strong>menti, segue la coppia B ed E con ρ B,E = 0.53;<br />
− è verificata una debole correlazione lineare inversa fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> A con B, <strong>di</strong><br />
A con E, <strong>di</strong> C con E;<br />
− negli altri casi la correlazione lineare è o debole o debolissima.<br />
Si propongono alcune simulazioni <strong>di</strong> composizioni <strong>di</strong> due titoli o business, scelti fra i<br />
cinque <strong>di</strong>sponibili, per analizzare empiricamente le “proprietà nascoste” ren<strong>di</strong>mentorischio<br />
dei portafogli risultanti 25.<br />
25 Nelle simulazioni si utilizzano i valori riportati nelle tabelle 2, 3 e 4 arrotondati alla seconda cifra<br />
decimale.<br />
11
Fig. 2: Un esempio <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione congiunta dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business<br />
nel caso <strong>di</strong> covarianza e coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare positivi.<br />
Fig. 3: Un esempio <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione congiunta dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o business<br />
nel caso <strong>di</strong> covarianza e coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare negativi.<br />
12
Figure 4a e 4b: Due esempi, fra i molti, <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione congiunta dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong><br />
due titoli o business nel caso <strong>di</strong> covarianza e coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare<br />
praticamente nulli.<br />
13
A)<br />
Componendo un <strong>portafoglio</strong> F ripartendo, empiricamente, il capitale 50% in A e 50%<br />
in C:<br />
⎧R<br />
A = 15; σ A = 141 .<br />
⎪<br />
dati: ⎨R<br />
C = 17; σC<br />
= 169 .<br />
⎪<br />
⎩<br />
ρAC<br />
= 096 .<br />
si hanno ren<strong>di</strong>mento atteso R F e scarto quadratico me<strong>di</strong>o σ F (Fig. 5):<br />
R F = 15 × 0. 5 + 17 × 0. 5 = 16<br />
σ F = .<br />
2<br />
×<br />
2<br />
. + .<br />
2<br />
×<br />
2<br />
. + × . × . × . × . × .<br />
12 /<br />
= .<br />
[ ]<br />
141 0 5 169 0 5 2 0 96 141 169 0 5 0 5 153<br />
Se si compongono “<strong>di</strong>versamente” i due titoli si ha, ad esempio:<br />
a) 80% in A, 20% in C. Allora si avrà :<br />
R P = 15 × 0. 8 + 17 × 0. 2 = 15. 4<br />
σ P = 146 .<br />
b) 20% in A, 80% in C. Allora si avrà:<br />
R P = 15 × 0. 2 + 17 × 0. 8 = 16. 6<br />
σ = 162 .<br />
P<br />
Fig. 5: Ren<strong>di</strong>mento atteso e scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> F ottenuto<br />
ripartendo il capitale: 50% nel business A e 50% nel business C.<br />
14
La curva AC rappresenta in [ R,σ ] gli infiniti portafogli fattibili componendo A e C<br />
con i pesi, infiniti, da A=100% e B=0% via via fino a A=0% e B=100%.<br />
Andando a valutare tutti i possibili portafogli componibili con A e C (infiniti) si<br />
potrebbe osservare che (Fig. 5):<br />
- a maggior ren<strong>di</strong>mento corrisponde sempre maggior rischio;<br />
- nessun <strong>portafoglio</strong> è dominato (tutti sono dominanti);<br />
- non si ha mai σ P < σ A.<br />
ossia il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> non è mai minore <strong>di</strong> quello <strong>di</strong><br />
A; vedremo più avanti che ciò è causato dall’elevata correlazione lineare positiva tra<br />
i ren<strong>di</strong>menti.<br />
15
B)<br />
Componendo un <strong>portafoglio</strong> Q ripartendo, empiricamente, il capitale 50% in B e<br />
50% in D:<br />
⎧R<br />
B = 15; σ B = 2<br />
⎪<br />
dati: ⎨R<br />
D = 20; σ D = 185 .<br />
⎪<br />
⎩<br />
ρBD<br />
= 031 .<br />
si hanno ren<strong>di</strong>mento atteso R Q e scarto quadratico me<strong>di</strong>o σ Q (Fig. 6):<br />
R Q<br />
σ<br />
Q<br />
= 15 × 0. 5 + 20 × 0. 5 = 17. 5<br />
2 2 2 2<br />
( 2 0. 5 185 . 0. 5 2 0. 31 2 185 . 0. 5 0. 5)<br />
= × + × + × × × × × =<br />
( )<br />
12 /<br />
= 1+ 0. 86 + 0. 57 = 156 .<br />
Si può osservare che componendo B con D come sopra si è ottenuto un rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>, σ Q =1.56, inferiore a quello dei singoli titoli, 2 e 1.85 rispettivamente;<br />
vedremo che ciò è dovuto alla non elevata correlazione lineare positiva fra i<br />
ren<strong>di</strong>menti dei due titoli o business trattati.<br />
Andando ad analizzare altre composizioni <strong>di</strong> B con D si trova che componendo il<br />
40% in B ed il 60% in D esiste un <strong>portafoglio</strong>, che in<strong>di</strong>chiamo Q', con R Q' =18 e<br />
σ Q ′ =1.56.<br />
Quin<strong>di</strong>, Q' domina Q: ha lo stesso s.q.m., ma maggior ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> Q. La<br />
composizione, empirica, 50% <strong>di</strong> capitale in B e 50% in D ha prodotto un<br />
<strong>portafoglio</strong> Q inefficiente in E-σ, perché dominato da Q’. Si analizzi la figura alla<br />
pagina successiva.<br />
16<br />
12 /
Fig. 6: Ren<strong>di</strong>mento atteso e scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> Q e Q' ottenuti<br />
ripartendo rispettivamente il capitale: 50% in B e 50% per Q, 40% in B e 60% in D<br />
per Q'. Q' domina Q perchè a parità <strong>di</strong> rischio ha ren<strong>di</strong>mento maggiore. La curva<br />
che unisce B a D rappresenta i ren<strong>di</strong>menti-rischi degli infiniti portafogli fattibili; la<br />
parte <strong><strong>del</strong>la</strong> curva che dal minimo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione sale fino a D rappresenta l’insieme<br />
dei portafogli dominanti, efficienti.<br />
17
C)<br />
Componendo empiricamente un <strong>portafoglio</strong> S con capitale 50% in C e 50% in E:<br />
⎧R<br />
C = 17; σ C = 169 .<br />
⎪<br />
dati: ⎨R<br />
E = 12; σ E = 107 .<br />
⎪<br />
⎩<br />
ρCE<br />
=−032<br />
.<br />
si ha ren<strong>di</strong>mento atteso R S e scarto quadratico me<strong>di</strong>o σS <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>:<br />
R S = 17 × 0. 5 + 12 × 0. 5 = 14. 5<br />
σS<br />
=<br />
2<br />
×<br />
2<br />
+<br />
2<br />
×<br />
2<br />
+ × ( − ) × × × ×<br />
12 /<br />
=<br />
[ ]<br />
169 . 05 . 107 . 05 . 2 032 . 169 . 107 . 05 . 05 . 084 .<br />
Fig. 7: Ren<strong>di</strong>mento atteso e scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> S, efficiente,<br />
ottenuto ripartendo il capitale: 50% in E , 50% in C.<br />
Andando ad analizzare tutte le possibili composizioni <strong>di</strong> C con E si verifica che il<br />
<strong>portafoglio</strong> S è efficiente, Fig. 7. Esso ha, inoltre, rischio inferiore a quello <strong>di</strong> E e a<br />
quello <strong>di</strong> C, grazie alla correlazione lineare negativa esistente fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> E e<br />
quelli <strong>di</strong> C. Interessante è osservare che, pur riportando S un rischio minore <strong>di</strong> quello<br />
<strong>di</strong> E, S rende più <strong>di</strong> E.<br />
Visti i risultati <strong>di</strong> queste esperienze dovrebbe essere naturale chiedersi come si deve<br />
operare per selezionare, a basso costo, i portafogli efficienti fra gli infiniti<br />
portafogli possibili.<br />
18
2.3. Selezione dei portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso <strong>di</strong> due titoli o<br />
business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio.<br />
Nei precedenti paragrafi sono state esaminate le caratteristiche <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento e<br />
rischio <strong>di</strong> singoli titoli e <strong>di</strong> alcuni portafogli possibili composti in maniera empirica.<br />
Si è anche introdotto il concetto <strong>di</strong> dominanza e <strong>di</strong> efficienza in E-σ.<br />
Si è altresì rilevato come:<br />
− il controllo <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> obblighi la valutazione <strong>di</strong> valore<br />
atteso <strong>di</strong> ogni titolo o business, come ognuno sa;<br />
− il controllo <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> obblighi la valutazione <strong>di</strong> valore atteso,<br />
varianza e correlazione lineare dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> ogni titolo o business con tutti<br />
gli altri, fatto non a tutti noto.<br />
Ora si approfon<strong>di</strong>rà lo stu<strong>di</strong>o <strong><strong>del</strong>la</strong> teoria <strong><strong>del</strong>la</strong> Selezione <strong>del</strong> Portafoglio 26 al fine<br />
<strong>di</strong> valutare i pesi x i che, dato un ren<strong>di</strong>mento atteso, minimizzino il rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong> ovvero, trattando il problema equivalente, dato il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
massimizzino il ren<strong>di</strong>mento. Si tratta, cioè, <strong>di</strong> valutare “scientificamente” la<br />
composizione <strong>di</strong> titoli o business per progettare portafogli efficienti, dominanti, e<br />
non semplicemente portafogli possibili. L'analisi partirà dal caso <strong>di</strong> portafogli con<br />
due titoli o business e verrà estesa al caso <strong>di</strong> n titoli o business nel Capitolo 3. In<br />
particolare si illustrerà come la <strong>selezione</strong> dei portafogli efficienti (economicamente<br />
sensati) non possa esaurirsi con un approccio euristico e/o informatico e/o tecnico<br />
economico-finanziario al problema, ma debba utilizzare l'approccio quantitativo 27,<br />
basato su mo<strong>del</strong>li ed algoritmi propri <strong>del</strong>l’analisi matematica e <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
programmazione matematica 28. Si rileverà come l'insieme dei portafogli efficienti<br />
formi la frontiera efficiente e che “la scelta <strong>di</strong> uno <strong>di</strong> essi sia invece questione da<br />
lasciare al decisore sulla base <strong>del</strong> suo atteggiamento verso il rischio o, più in<br />
generale, sulla base <strong>del</strong> proprio sistema <strong>di</strong> preferenze” 29.<br />
Le caratteristiche geometriche <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente <strong>di</strong>pendono dai seguenti<br />
parametri:<br />
− ren<strong>di</strong>menti attesi dei titoli o business;<br />
− varianze dei ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business, quin<strong>di</strong> singoli “rischi”;<br />
− covarianze (correlazioni) fra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business.<br />
Per facilitare il lettore, si pone, una volta per tutte, che i due titoli o business<br />
abbiano, da qui in poi,<br />
e si debba osservare il vincolo<br />
R R<br />
1 2<br />
< ; 0 < σ1 < σ 2<br />
26 MARKOWITZ H.M., Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, Wiley, N.Y., 1959;<br />
MARKOWITZ H.M., Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil<br />
Blackwell Inc., 1987; SHARPE W.F., Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw Hill Book Co.,<br />
N.Y., 1970; SZEGO G.P., Portfolio Theory, Academic Press, N.Y., 1980; SHARPE W.F., ALEXANDER<br />
G.J., Investments, Prentice Hall, N.Y., 1990.<br />
27 BARALDI S., La Scienza <strong><strong>del</strong>la</strong> Direzione, F. Angeli Ed., Milano, 1979.<br />
28 MARKOWITZ H.M., 1987, op. cit.<br />
29 CASTAGNOLI E., PECCATI L., 1991, pag. 11, op.cit.<br />
19
x1 + x2 = 1<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è<br />
RP = x1R1 + ( 1−x1) R2<br />
da cui si può avere anche che<br />
RP − R2<br />
x1<br />
= ,<br />
R1−R2 mentre il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è<br />
ovvero, sostituendo x<br />
2 2<br />
2 2<br />
[ 1 1 ( 1 1)<br />
2 2 1( 1 1) 12 1 2]<br />
σP= x σ + − x σ + x − x ρ σ σ<br />
1<br />
R − R<br />
=<br />
R − R<br />
P 2<br />
1 2<br />
si ha<br />
2<br />
2<br />
⎡⎛<br />
R − ⎞ ⎛ − ⎞ − ⎛ − ⎞ ⎤<br />
P R2<br />
2 RP R2<br />
2 RP R2<br />
RP R2<br />
σP = ⎢⎜<br />
⎟ σ1+ ⎜1−<br />
⎟ σ2+ 2 ⎜1−⎟ρ12σ1σ2⎥<br />
⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ − ⎝ −<br />
⎣⎢<br />
R1 R2<br />
R1 R2<br />
R1 R2<br />
R1 R2<br />
⎠<br />
⎦⎥<br />
( RP −R2)( R1 −RP)<br />
( R1 − R2)<br />
⎡<br />
2<br />
2<br />
⎛ R − ⎞ ⎛ − ⎞<br />
⎤<br />
= ⎢ P R2<br />
2 R1 RP<br />
2<br />
⎜ ⎟ σ + ⎜ ⎟ σ +<br />
ρ σ σ ⎥<br />
1<br />
2 2<br />
2 12 1 2<br />
⎢⎝<br />
R1 − R2<br />
⎠ ⎝ R1 − R2⎠<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
cioè l’equazione per cui il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è funzione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>.<br />
Si nota che, rispetto a x1: − l'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è funzione lineare dei due<br />
ren<strong>di</strong>menti;<br />
− l'equazione <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è:<br />
− una funzione lineare <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong>le alternative solo se |ρ12| = 1;<br />
− la ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> un polinomio <strong>di</strong> secondo grado se -1
aumenta il ren<strong>di</strong>mento e il rischio aziendale, secondo una relazione lineare, ed è<br />
impossibilitata ad ottiene “minor rischio” dall’aumento <strong><strong>del</strong>la</strong> quota nell’alternativa 2,<br />
anzi, per minimizzare il rischio non deve che investire tutto nell’attività 1. In questo<br />
caso tutti i punti-<strong>portafoglio</strong> possibili sono anche punti-portafogli sulla frontiera<br />
efficiente rappresentata da un segmento che unisce i due punti ( R 1 , σ 1), ( R 2 , σ 2),<br />
Fig.8.<br />
Fig. 8: Portafogli possibili e portafogli efficienti ottenuti dalla composizione <strong>di</strong> due<br />
titoli o business con perfetta correlazione lineare positiva dei ren<strong>di</strong>menti, ρ 12 =+1.<br />
Sostituendo ρ12 = +1 nella equazione che definisce il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, si ha<br />
= fR , lineare, <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente (Fig. 8)<br />
l'equazione σ P ( P)<br />
σ<br />
σ σ σ σ<br />
R R R<br />
⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ R1 2 − R2<br />
1⎞<br />
= ⎜ ⎟ + ⎜<br />
⎟<br />
⎝ − ⎠ ⎝ R − R ⎠<br />
P P<br />
1 2<br />
21<br />
1 2<br />
2.3.2. Caso con perfetta correlazione lineare negativa fra ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli<br />
o business<br />
Nel caso in cui si abbia perfetta correlazione lineare negativa, ρ 12 = -1, il rischio<br />
<strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è ancora combinazione lineare <strong>del</strong> rischio dei titoli<br />
σP= 2 2<br />
2 2<br />
x1σ1+ ( 1−x1) σ2−2x1( 1−<br />
x1)<br />
σ1σ2 1<br />
2<br />
=<br />
[ ]<br />
{ [ x1σ1 ( 1<br />
1<br />
2 2<br />
x1)<br />
σ2]<br />
} .<br />
= − −<br />
quin<strong>di</strong><br />
σP= x1σ1−( 1 −x1)<br />
σ2<br />
.<br />
Si ha ora da operare la <strong>di</strong>fferenza fra due adden<strong>di</strong> comunque positivi.
Operando su due business a ren<strong>di</strong>mento variabile e con perfetta correlazione inversa<br />
degli stessi, l’operatore ha la possibilità <strong>di</strong> ottenere un <strong>portafoglio</strong> a ren<strong>di</strong>mento<br />
certo? Se si, quanto valgono le quote da investire nel business 1 e nel business 2 per<br />
avere tale ren<strong>di</strong>mento certo? La soluzione si trova uguagliando a zero l’equazione<br />
<strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
σP= x1σ1−( 1− x1)<br />
σ2<br />
= 0<br />
x1σ1−(<br />
1− x1)<br />
σ2<br />
= 0<br />
x1σ1−<br />
σ2 + x1σ2<br />
= 0<br />
x σ + σ = σ<br />
e risolvendo per i pesi<br />
x 1<br />
1 2<br />
( )<br />
1 1 2 2<br />
σ 2 =<br />
σ + σ ; x σ1<br />
2 =<br />
σ + σ ;<br />
22<br />
1 2<br />
che permettono <strong>di</strong> avere un <strong>portafoglio</strong> a rischio nullo, cioè a ren<strong>di</strong>mento certo.<br />
Poiché σ 1 e σ 2 sono strettamente positivi, come si è detto in precedenza, per<br />
ottenere un <strong>portafoglio</strong> a rischio zero è necessario investire in entrambi i titoli<br />
secondo quelle esatte proporzioni. Tale situazione corrisponde alla perfetta<br />
immunizzazione <strong>del</strong> rischio.<br />
In questa situazione è possibile ottenere altri portafogli con<br />
{ }<br />
σP < min σ , σ = σ<br />
1 2 1 e RP > R1<br />
cioè portafogli in cui si verifica l'effetto <strong>di</strong>versificazione.<br />
Ricordando che x1 RPR2 R1 R2<br />
σ P = fRP<br />
può essere<br />
scritta come:<br />
σ σ σ σ<br />
P P<br />
R R<br />
σ p<br />
σ σ σ σ<br />
P P<br />
R<br />
R R<br />
R R R<br />
R R<br />
R R R<br />
⎧⎛<br />
+ ⎞ ⎛ + ⎞<br />
1 2<br />
1 2 2 1<br />
0<br />
⎪⎜<br />
⎟ − ⎜<br />
⎟ per 1 ≤ <<br />
⎪⎝<br />
1 − 2⎠<br />
⎝ 1 − 2 ⎠<br />
= ⎨<br />
⎪ ⎛ + ⎞ ⎛ R + R ⎞<br />
1 2<br />
1 2 2 1<br />
0<br />
−⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
⎟ per R ≤ R < R<br />
⎪<br />
2<br />
⎩ ⎝ 1 − 2⎠<br />
⎝ R1 − R2<br />
⎠<br />
dove R 0 in<strong>di</strong>ca il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> a rischio nullo, <strong>portafoglio</strong> composto da<br />
due titoli rischiosi con ρ12 = -1.<br />
Il ren<strong>di</strong>mento certo <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> così composto è pari a<br />
0 R1σ2 + R2σ1<br />
R =<br />
σ1 + σ2<br />
La funzione σ P = fR ( P)<br />
, esposta in Fig. 9, è quin<strong>di</strong> formata da due segmenti: uno<br />
decrescente e l'altro crescente, con:<br />
− uguale coefficiente angolare, ma <strong>di</strong> segno opposto;<br />
− uguale intercetta, ma <strong>di</strong> segno opposto.<br />
= ( - ) / ( - ) , la funzione ( )
I due segmenti rappresentano le caratteristiche E-σ <strong>di</strong> tutti i portafogli possibili con i<br />
due titoli. Solo il segmento crescente rappresenta i portafogli efficienti, dominando<br />
quello decrescente.<br />
Fig. 9: Portafogli fattibili ed efficienti nel caso <strong>di</strong> perfetta correlazione lineare<br />
negativa tra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business 1 e 2, ρ 12 = -1. Si <strong>di</strong>stingue la frontiera<br />
efficiente combinazione <strong>di</strong> portafogli efficienti ottenuti componendo il titolo 2 con<br />
il <strong>portafoglio</strong> privo <strong>di</strong> rischio e la combinazione <strong>di</strong> portafogli non efficienti ottenuti<br />
componendo il titolo 1 con il <strong>portafoglio</strong> privo <strong>di</strong> rischio.<br />
2.3.3 Caso con non perfetta correlazione lineare fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> due titoli o<br />
business (<strong>di</strong> rilevante interesse operativo)<br />
Nella realtà economico-finanziaria la correlazione tra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o<br />
prodotti o business è “raramente” perfetta, <strong>di</strong>retta o inversa; la “normalità” <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
correlazione lineare fra i ren<strong>di</strong>menti futuri <strong>di</strong> due alternative vede -1 < ρ12 < 1. Anzi,<br />
operando nella stessa economia è molto frequente che il coefficiente <strong>di</strong> correlazione<br />
lineare fra i ren<strong>di</strong>menti sia positivo, 0 < ρ12 < 1. Allora la frontiera efficiente non è<br />
una funzione lineare. Essa risulta definita dalla funzione ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> un<br />
polinomio <strong>di</strong> secondo grado. Per verificare ciò basta stu<strong>di</strong>are il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
2 2<br />
2 2<br />
[ 1 1 ( 1 1)<br />
2 2 1( 1 1) 12 1 2]<br />
σP= x σ + − x σ + x −x<br />
ρ σ σ<br />
nella forma:<br />
⎡<br />
2<br />
2<br />
⎛ R ( )( )<br />
P − R ⎞ ⎛ R − R ⎞ R<br />
P P −R R −R<br />
⎤<br />
P<br />
σP= ⎢<br />
2 2 1<br />
2 2 1<br />
⎜ ⎟ σ + ⎜ ⎟ σ +<br />
ρ σ σ ⎥<br />
1<br />
2 2<br />
2 12 1 2<br />
⎢⎝<br />
R1−R2 ⎠ ⎝ R1−R2⎠ ⎣<br />
( R − R )<br />
⎥<br />
1 2<br />
⎦<br />
23<br />
1 2<br />
1 2
dalla quale risulta evidente che, a parità <strong>di</strong> RP , R1, R2,<br />
σ1, σ 2,<br />
il rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong>minuisce al ridursi <strong>di</strong> ρ12 nel suo dominio da +1 a -1.<br />
Tale funzione ha un minimo che può essere (Fig. 10):<br />
a) σP = min { σ1, σ2} = σ1,<br />
ovvero uguale al σi <strong>del</strong> titolo con minor rischio;<br />
b) σP < min { σ1, σ2} = σ1<br />
, ovvero σ P minore <strong>di</strong> quello in a), a partire dal quale inizia<br />
la frontiera efficiente.<br />
Fig. 10: Esempi <strong>di</strong> frontiere efficienti nel caso in cui i due titoli o business<br />
abbiano ren<strong>di</strong>menti non perfettamente correlati: − 1< ρ 12 < + 1<br />
Il caso b) illustra l'effetto <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>versificazione secondo la <strong>selezione</strong> <strong>del</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>. Si ricorda che stiamo trattando ancora il caso <strong>di</strong> soli due titoli o business<br />
e che ora si è verificato, analiticamente, come non occorra ricorrere a molti titoli o<br />
business per veder <strong>di</strong>minuito il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o d’azienda.<br />
Per calcolare il valore <strong>di</strong> x1 che minimizza il rischio, lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o<br />
<strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> titoli azionari o <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> business (in questo caso si<br />
minimizza il rischio aziendale), basta uguagliare a zero la derivata prima <strong>di</strong> σp<br />
rispetto a x1:<br />
2<br />
2 2<br />
dσP12x1σ1<br />
+ 2x1σ2 − 2σ2+ 2ρ σ σ −4x<br />
ρ σ σ<br />
=<br />
dx1<br />
2 2<br />
2<br />
12 /<br />
2<br />
2<br />
[ x1σ1+ ( 1− x1) σ2+ 2x1( 1−x1)<br />
ρ12σ1σ2] e risolverla per x1:<br />
2<br />
σ2−ρ12σ1σ2 x1 = 2 2<br />
σ + σ −2ρ<br />
σ σ<br />
1<br />
2<br />
24<br />
12 1 2 1 12 1 2<br />
12 1 2<br />
Sostituendo x1 nel vincolo <strong>di</strong> bilancio, x1+ x2<br />
= 1,<br />
si ottiene x2:<br />
= 0
x 2<br />
2<br />
σ1−ρ12σ1σ2 =<br />
σ + σ −2ρ<br />
σ σ<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
25<br />
12 1 2<br />
I valori <strong>di</strong> x1 e x2 sono le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> minimo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione<br />
σ P = fR ( P)<br />
, visto che la stessa è convessa (concava verso l'alto).<br />
Si può osservare che per ρ12 = 0, cioè l’in<strong>di</strong>pendenza lineare fra ren<strong>di</strong>menti, si ha<br />
2<br />
2<br />
σ 2<br />
σ1<br />
x1 =<br />
; x 2 2<br />
2 = ;<br />
2 2<br />
σ1+ σ2<br />
σ1+ σ2<br />
frazioni che non permettono, generalmente, l’annullamento <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
Imponendo <strong>di</strong> non investire o produrre tutto nella alternativa 1, titolo o business a<br />
minimo rischio, si ha la <strong>di</strong>sequazione<br />
2<br />
σ2−ρ12σ1σ2 x1 =<br />
< 1.<br />
2 2<br />
σ1+ σ2−2ρ12σ1σ2 Ponendo la con<strong>di</strong>zione<br />
2 2<br />
σ1+ σ2− 2ρ12σ1σ2 > 0,<br />
possiamo avere<br />
2<br />
2 2<br />
σ2− ρ12σ1σ2< σ1+ σ2−2 ρ12σ1σ2 che porta a<br />
σ1<br />
ρ12<br />
< .<br />
σ 2<br />
Cioè: il minimo rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> o il minimo rischio <strong>del</strong>l’azienda è inferiore<br />
a quello <strong>del</strong> prodotto 1 se e solo se ρ12 è inferiore al rapporto σ1<br />
(ricordando che si<br />
σ 2<br />
è imposto σ2 > σ1).<br />
In tutti gli altri casi il rischio minimo si ha investendo o<br />
investendo-producendo tutto e solo nel titolo o prodotto a minor rischio.<br />
.
SIMULAZIONI : valutazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> a rischio minimo<br />
1) Componendo i titoli o business D ed E, che presentano correlazione positiva nei ren<strong>di</strong>menti assai<br />
debole (ve<strong>di</strong> Tabella 4), si ha<br />
2<br />
σD − ρDEσEσD x1 = 2 2<br />
σE + σD −2ρDEσEσD<br />
2<br />
σE − ρDEσEσD x2 = 2 2<br />
σE + σD −2ρDEσEσD<br />
2<br />
185 . − 0. 07 × 107 . × 185 .<br />
=<br />
= 077 .<br />
2 2<br />
107 . + 185 . − 2 × 0. 07 × 107 . × 185 .<br />
2<br />
107 . − 007 . × 107 . × 185 .<br />
=<br />
= 023 .<br />
2 2<br />
107 . + 185 . − 2× 007 . × 107 . × 185 .<br />
ovvero x2 = 1− x1<br />
= 1− 077 , = 023 ,<br />
Il <strong>portafoglio</strong> che minimizza il rischio é quin<strong>di</strong> composto per il 77% dal titolo E e per il 23% dal<br />
titolo D. A questa soluzione corrispondono i seguenti ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>:<br />
= 12 × 0. 77 + 20 × 0. 23 = 1384 .<br />
R P<br />
σ<br />
P<br />
2 2 2 2<br />
[ ]<br />
= 107 . × 0. 77 + 185 . × 0. 23 + 2 × 0. 77 × 0. 23× 0. 07 × 107 . × 185 . = 0. 95<br />
2) Componendo i titoli A e C, altamente correlati nei ren<strong>di</strong>menti (ve<strong>di</strong> Tabella 4), si ha:<br />
x<br />
1<br />
2<br />
σC − ρACσAσC 2<br />
A +<br />
2<br />
C −2AC<br />
A C<br />
=<br />
σ σ ρ σ σ<br />
2<br />
σA − ρACσAσC x2 = 2 2<br />
σA + σC −2ρACσAσC<br />
2<br />
26<br />
12 /<br />
169 . − 096 . × 141 . × 169 .<br />
=<br />
= 211 .<br />
2 2<br />
141 . + 169 . − 2× 096 . × 14 . × 169 .<br />
2<br />
141 . − 096 . × 141 . × 169 .<br />
=<br />
=−111<br />
.<br />
2 2<br />
141 . + 169 . − 2× 096 . × 141 . × 169 .<br />
I risultati <strong>di</strong>mostrano come la composizione <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> mantenga il vincolo <strong>di</strong> bilancio in quanto<br />
2.11-1.11=1, ma con x1>1 e x2
2.4. L’introduzione nel <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo<br />
Si supponga ora <strong>di</strong> avere un:<br />
− titolo a ren<strong>di</strong>mento certo R f e rischio σf =0;<br />
− titolo o business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio con ren<strong>di</strong>mento atteso R 1 e rischio σ1;<br />
e quin<strong>di</strong>, coerentemente, sia: R1 > Rfe σ1>0. Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> ovvero <strong>del</strong>l’azienda che investa in BOT e un<br />
solo prodotto a ren<strong>di</strong>mento aleatorio è<br />
RP = x1R1 + ( 1 −x1)<br />
Rf<br />
ed il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o <strong>del</strong>l’azienda è pari a<br />
2 2<br />
σP= ( x1σ1) = xσ<br />
12 /<br />
1 1<br />
Dato che l’alternativa a ren<strong>di</strong>mento certo ha:<br />
− varianza nulla;<br />
− correlazione lineare nulla con qualsiasi variabile;<br />
se il decisore vuole, desidera, un <strong>portafoglio</strong> con rischio σP può determinare la<br />
quantità <strong>di</strong> capitale x1 da investire nel titolo a ren<strong>di</strong>mento aleatorio risolvendo<br />
l'equazione<br />
P x1<br />
=<br />
1<br />
σ<br />
σ<br />
che, sostituita nell'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> ed esplicitata rispetto al<br />
rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, dà:<br />
σ R f σ<br />
σ P<br />
P<br />
R Rf R Rf R<br />
=− 1<br />
1 + .<br />
1 −<br />
1 −<br />
Se i vincoli <strong>di</strong> bilancio e <strong>di</strong> non negatività <strong>del</strong>le xi sono operanti, la funzione<br />
( )<br />
σ P fRP<br />
R f,σ f = 0 e<br />
( R1,σ1) in Fig. 11.<br />
Si supponga ora <strong>di</strong> poter prendere a prestito al tasso Rf una quantità aggiuntiva <strong>di</strong><br />
= è rappresentata da un segmento condotto tra i punti ( )<br />
capitale per investirla nell’alternativa rischiosa, titolo o business. Risulterà, stante il<br />
vincolo <strong>di</strong> bilancio x1 + x2<br />
= 1,<br />
x1 > 1 e quin<strong>di</strong> xf = (1-x1) < 0.<br />
Allora, supponendo <strong>di</strong> poter prendere a prestito quantità “enormi” (illimitate) <strong>di</strong><br />
capitale “visto che l’ente finanziatore accetta le smisurate nostre garanzie ipotecarie<br />
su beni immobili”, la frontiera efficiente <strong>di</strong>venta una semiretta, uscente dal punto<br />
( R f,σ f = 0 ) e passante per ( R1,σ 1)<br />
, Fig.1130. 30 Si desidera determinare il coefficiente angolare <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente ed il premio per unità<br />
<strong>di</strong> rischio <strong>di</strong> un generico <strong>portafoglio</strong> P composto per il 60% dal titolo A ( R A = 15 e σA = 141 . ) e per<br />
il 40% da un BOT con ren<strong>di</strong>mento R f = 8 .<br />
RP = xARA + ( 1−<br />
xA ) Rf<br />
=<br />
= 06 . × 15+ 04 . × 8= 122<br />
.<br />
27
Visto il coefficiente angolare <strong><strong>del</strong>la</strong> semiretta in Fig. 11, è importante<br />
R1−Rf evidenziare il significato <strong>del</strong> suo reciproco, R R 1 − f , che è definito "premio al<br />
σ1<br />
rischio" o "prezzo <strong>del</strong> rischio", valutazione rilevante per le scelte finanziarie, recepita<br />
anche nei mo<strong>del</strong>li <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali come il Capital Asset Pricing<br />
Mo<strong>del</strong>31. Infatti, esplicitando la<br />
σ R f σ<br />
σ P<br />
P<br />
R Rf R Rf R<br />
=− 1<br />
1 +<br />
1 −<br />
1 −<br />
per R P si ha<br />
R1−Rf RP = Rf<br />
+ σ P<br />
σ1<br />
ovvero che<br />
⎛ ren<strong>di</strong>mento⎞<br />
prezzo premio per rischio<br />
⎜ ⎟<br />
⎜atteso<br />
<strong>di</strong> ⎟ <strong>del</strong> unità <strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
⎜ ⎟<br />
⎝ <strong>portafoglio</strong>⎠<br />
tempo rischio <strong>portafoglio</strong><br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
×<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
per qualsiasi <strong>portafoglio</strong>, efficiente o no.<br />
Si supponga ora che su un mercato coesistano:<br />
− un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo con Rf = 8 e σf = 0;<br />
− i cinque business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio <strong>di</strong> cui alle Tab. 2, 3, 4;<br />
e si voglia analizzare la composizione <strong>del</strong>l'alternativa non rischiosa con ognuna <strong>del</strong>le<br />
alternative a rischio.<br />
Si hanno allora cinque segmenti da (Rf = 8, σf = 0) ai punti A, B, C, D, E (in<br />
Fig.12) rispettivamente. I coefficienti angolari sono rispettivamente: 0.20, 0.29, 0.19,<br />
0.15, 0.27.<br />
( )<br />
2 2 12 /<br />
σP = xAσA = xAσA<br />
= 06 . × 141 . = 085 .<br />
Si verifica che il calcolo <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> può essere fatto usando il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong> nell'equazione:<br />
σARf σA<br />
σP<br />
P<br />
RA Rf RA Rf R<br />
=− +<br />
=<br />
− −<br />
.<br />
141 . × 8 141 .<br />
=− + × 12. 2 = 0. 85<br />
15 − 8 15 − 8<br />
Il coefficiente angolare <strong><strong>del</strong>la</strong> retta-frontiera efficiente in [ R P , σ P ] è:<br />
σ A<br />
=<br />
RA − Rf<br />
− =<br />
141 .<br />
020 .<br />
15 8<br />
Il suo reciproco è pari a 5, ovvero, in questo caso si hanno cinque punti <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong><br />
rischio.<br />
31 SHARPE W.F., 1964, op.cit.<br />
28<br />
σ 1
Il decisore razionale deve considerare solo portafogli componibili con il titolo a<br />
ren<strong>di</strong>mento certo e il titolo D in quanto:<br />
− procurano il maggior premio al rischio: 1/0.15 = 6.67;<br />
− sono portafogli efficienti.<br />
Fig. 11: Frontiera efficiente nel caso si possa investire e prendere a prestito<br />
allo stesso tasso certo Rf; x 1 è la quantità da investire nell'alternativa, titolo o<br />
business, a ren<strong>di</strong>mento aleatorio.<br />
E<br />
B<br />
A<br />
Fig. 12: Portafogli possibili e frontiera efficiente ottenuti componendo <strong>di</strong> volta<br />
in volta il titolo a ren<strong>di</strong>mento certo con ognuno dei business A, B, C, D, E.<br />
La combinazione con D è quella che a parità <strong>di</strong> rischio “paga” <strong>di</strong> più: 6,67 punti<br />
<strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong> rischio.<br />
C<br />
29<br />
D
ANALISI DI PORTAFOGLIO<br />
CON n TITOLI O BUSINESS<br />
3.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili<br />
Anche in questo caso il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> è la me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
ponderata dei ren<strong>di</strong>menti attesi dei singoli titoli o business<br />
n<br />
n<br />
n<br />
RP = E RP = E xR i i xER i ( i)<br />
xR<br />
⎛ ⎞<br />
( ) ⎜∑<br />
⎟ = ∑ = ∑<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
i=<br />
1 i=<br />
1 i=<br />
1<br />
ovvero trasformazione lineare dei ren<strong>di</strong>menti attesi <strong>del</strong>le singole possibilità.<br />
La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> è<br />
( )<br />
2<br />
2<br />
σ P = ERP − RP<br />
che nel caso <strong>di</strong> n possibilità è sempre una trasformazione quadratica:<br />
n<br />
∑<br />
2 2 2<br />
σ = x σ + 2 ∑ ∑ x x σ<br />
P i<br />
i=<br />
1<br />
n n<br />
i<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i j ij<br />
Nell’equazione:<br />
− i primi n termini contengono le varianze dei ren<strong>di</strong>menti degli n titoli;<br />
− i successivi n(n-1)/2 termini contengono le covarianze dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> ciascuna<br />
possibilità con quelli <strong>del</strong>le restanti (n-1).<br />
Forme alternative per rappresentare la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> sono<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
2<br />
σ = xxσ σ + xxσ = xxσ = xxσ<br />
σ ρ<br />
P i j i i i j ij i j ij i j i j ij<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i= j<br />
i=<br />
1i≠j<br />
j=<br />
1<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
30<br />
i< j<br />
n<br />
n<br />
∑∑<br />
n<br />
i i<br />
n<br />
∑∑<br />
3.2 Analisi <strong>del</strong> rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> all'aumentare <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business<br />
rischiosi in <strong>portafoglio</strong><br />
Possiamo ora analizzare il comportamento <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> all'aumentare <strong>del</strong><br />
numero <strong>di</strong> titoli o business composti nello stesso 32, pratica attuata da molti operatori con<br />
32 ELTON E., GRUBER M., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Wiley, N.Y., 1984.
l'intento <strong>di</strong> <strong>di</strong>versificare, ovvero <strong>di</strong> "frazionare i rischi e ridurre la variabilità <strong>del</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o degli investimenti" 33 cioè <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
3.2.1 Caso <strong>di</strong> titoli o business con ren<strong>di</strong>menti aleatori tutti linearmente in<strong>di</strong>pendenti<br />
fra <strong>di</strong> loro<br />
L’analisi in questo paragrafo ha rilevante significato logico e formale, ma, come<br />
osserveremo, purtroppo scarsa rilevanza operativa in quanto rappresenta un caso che è<br />
pressochè impossibile da riscontrare nella realtà.<br />
Riprendendo l’equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, ora con tutte le covarianze<br />
nulle:<br />
n<br />
P = ∑ i<br />
i=<br />
1<br />
2 2<br />
σ x σ<br />
se si suppone <strong>di</strong> equiripartire il capitale tra le n possibilità, cioè x i=1/n per ogni x i , la<br />
varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong>venta<br />
31<br />
2<br />
i<br />
n<br />
2 2 2 ⎡<br />
σP= ( 1/ n) σi=<br />
1/<br />
n ⎢<br />
i 1<br />
⎣<br />
∑ ∑<br />
= i=<br />
1<br />
n<br />
2<br />
σ i ⎤<br />
n<br />
⎥<br />
⎦<br />
Si definisce il termine entro parentesi quadrata come varianza me<strong>di</strong>a dei titoli o<br />
2<br />
business in <strong>portafoglio</strong>, σi , ed è facile verificare che al <strong>di</strong>vergere <strong>di</strong> n essa (varianza<br />
me<strong>di</strong>a) tende a zero<br />
lim σ = lim ( 1/ n ) σ = 0<br />
2 2<br />
n→∞<br />
P<br />
n→∞<br />
i<br />
Quin<strong>di</strong>, operando con infiniti titoli o business, tutti non correlati linearmente nei<br />
ren<strong>di</strong>menti, si riesce ad annullare il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o d’azienda.<br />
Purtroppo, nella realtà è impossibile trovare infiniti titoli o business che risultino tutti<br />
con ren<strong>di</strong>menti non linearmente correlati. Quin<strong>di</strong>, questo risultato è <strong>di</strong> puro riferimento<br />
e stimolo data l’ipotesi forte <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>pendenza dei ren<strong>di</strong>menti.<br />
33 DE LUCA G., VERRILLI A., Dizionario Economico Finanziario e Contabile, E<strong>di</strong>zioni Simone, Napoli, 1992.
3.2.2 Caso <strong>di</strong> titoli o business con ren<strong>di</strong>menti aleatori linearmente correlati<br />
E’ il caso <strong>di</strong> rilevante interesse operativo, in quanto rappresenta la “totalità” <strong>del</strong>le realtà<br />
sia produttive che finanziarie.<br />
Riprendendo l’equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza ed equiripartendo il capitale tra gli n titoli o<br />
business si ha una varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o aziendale pari a 34:<br />
2 2 2<br />
σ = ( 1/ n) σ + ( 1/ n)( 1/<br />
n)<br />
σ<br />
P<br />
n<br />
∑ ∑<br />
n<br />
∑<br />
1i≠j i ij<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
j=<br />
1<br />
Raccogliendo:<br />
- 1/n nel primo addendo;<br />
- (n-1)/n nel secondo addendo, dopo aver moltiplicato e <strong>di</strong>viso per (n-1);<br />
si ottiene<br />
n 2<br />
n n<br />
σ<br />
σ<br />
2 ⎡ ⎤ i n −1<br />
⎡ ij ⎤<br />
σ P = 1 / n⎢∑<br />
i 1 n<br />
⎥ + ∑∑ ⎣ ⎦ n<br />
⎢<br />
i 1 j n n<br />
i j 1 ⎣ −1<br />
⎥<br />
= = ≠ = ( ) ⎦<br />
Entrambi i termini entro parentesi quadre rappresentano me<strong>di</strong>e:<br />
2<br />
- il primo, come già detto, è la varianza me<strong>di</strong>a dei titoli o business in <strong>portafoglio</strong>, σi ;<br />
- il secondo è la covarianza me<strong>di</strong>a dei titoli in <strong>portafoglio</strong>, σij (le covarianze sono in<br />
numero <strong>di</strong> n(n-1)).<br />
Allora, l'equazione precedente può essere riscritta come<br />
2 2<br />
σ = ( 1/ n) σ + ( n −1)/<br />
n σ<br />
32<br />
n<br />
[ ]<br />
P i ij<br />
Essa permette <strong>di</strong> verificare che per n che tende ad infinito:<br />
- il primo addendo tende a zero;<br />
- il secondo addendo tende al valore asintotico σij, che non può essere annullato (vedasi la<br />
Fig.13). Quin<strong>di</strong><br />
n<br />
lim P = lim +<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
n n<br />
−<br />
2 ⎡1<br />
2 1 ⎤<br />
2<br />
σ<br />
⎣<br />
⎢<br />
σ σ<br />
⎦<br />
⎥<br />
= σ = σ σ ρ = σ ρ<br />
i ij ij i j ij i ij<br />
34 Utilizzando i cinque titoli o business A, B, C, D, E, ed i dati in Tab. 3, matrice simmetrica <strong>del</strong>le varianze e<br />
covarianze tra i ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le cinque possibilità, si calcoli il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> nell'ipotesi <strong>di</strong><br />
x i = 1/ 5,<br />
∀i<br />
(Arrotondamenti alla seconda cifra decimale).<br />
2<br />
5<br />
2 ⎛ 1 5 5<br />
2 1 1<br />
σP= ⎜ σi σ<br />
⎝ 5<br />
5 5<br />
⎞ ⎛<br />
∑ ⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
∑ ∑ ⎟<br />
⎠<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1j=<br />
1<br />
ij<br />
2<br />
σ<br />
σ<br />
2 1 5<br />
i 5 1 5 5<br />
ij<br />
σ P = ∑<br />
5 i 1 5 5 i 1j<br />
15(<br />
5 1)<br />
1 2 4 286 343 114 4 0 43 2 29 014 0 29 0 29 114 114 0 71 0 57 014<br />
2<br />
5<br />
5<br />
5<br />
20<br />
1<br />
4<br />
269 2 02 086<br />
5<br />
5<br />
⎡ ⎤ −<br />
⎢ ⎥ + ∑ ∑ =<br />
⎣⎢<br />
= ⎦⎥<br />
= = −<br />
⎛ + + . + . + . ⎞ ⎛ − . + . + . − . − . + . + . + . − . + . ⎞<br />
= ⎜<br />
⎟ + × ⎜<br />
⎟ =<br />
⎝<br />
⎠ ⎝<br />
⎠<br />
= × . + × × . = .
ove σ ij è la covarianza me<strong>di</strong>a fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le alternative considerate.<br />
La covarianza σij così calcolata è detta anche "rischio sistematico", “rischio<br />
ineliminabile” e può essere letta come prodotto <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza me<strong>di</strong>a per il coefficiente<br />
<strong>di</strong> correlazione lineare me<strong>di</strong>o fra i ren<strong>di</strong>menti degli n business. Il coefficiente <strong>di</strong><br />
correlazione lineare me<strong>di</strong>o fra i ren<strong>di</strong>menti degli n business è, nella realtà operativa,<br />
me<strong>di</strong>amente positivo (ricordo che ha massimo in +1). E’ quin<strong>di</strong> “LUI” che smorza il<br />
rischio (la varianza me<strong>di</strong>a) dei titoli o business trattati, rischio che ogni singolo<br />
operatore non può influenzare.<br />
Si riporta il risultato <strong>di</strong> Whitmore 35che ha valutato, su portafogli azionari, la percentuale <strong>di</strong><br />
riduzione <strong>del</strong> rischio attuabile in alcuni paesi (quin<strong>di</strong>, con il complemento a uno, il rischio<br />
sistematico <strong>di</strong> ogni paese).<br />
PAESE rischio %<br />
eliminabile<br />
33<br />
rischio %<br />
non eliminabile<br />
ovvero sistematico<br />
BELGIO 80.0 20.0<br />
OLANDA 76.1 23.9<br />
USA 73.0 27.0<br />
FRANCIA 67.3 32.7<br />
UK 65.5 34.5<br />
ITALIA 60.0 40.0<br />
GERMANIA 56.2 43.8<br />
SVIZZERA 56.0 44.0<br />
UN PORTAFOGLIO<br />
INTERNAZIONALE<br />
PER UN<br />
AMERICANO<br />
89.3 10.7<br />
Tab. 5: Percentuale <strong>di</strong> rischio eliminabile con la<br />
<strong>di</strong>versificazione e percentuale <strong>di</strong> rischio ineliminabile sul<br />
mercato azionario <strong>di</strong> alcuni paesi.<br />
(Fonte: WHITMORE G.A., “Diversification and the reduction of<br />
Dispersion: a note”, Journal of Financial and Quantitative<br />
Analysis, V, n. 2, May 1970, pp.263-264)<br />
Si può verificare come Svizzera, Germania e Italia risentano <strong>del</strong>l’elevata covarianza<br />
positiva fra i ren<strong>di</strong>menti dei titoli, ovvero <strong>del</strong> fatto che i titoli tendono a muoversi insieme,<br />
mentre Belgio e Olanda possono avere un rischio sistematico molto basso (l’Italia ha<br />
rischio sistematico doppio rispetto a quello <strong>del</strong> Belgio). Si rileva come la <strong>di</strong>versificazione<br />
possibile con un <strong>portafoglio</strong> internazionale <strong>di</strong> azioni, per un americano, riduca il rischio <strong>del</strong><br />
90% circa.<br />
In Fig. 13 si rappresenta, per un americano, l'andamento <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
all'aumentare <strong>del</strong> numero n <strong>di</strong> titoli azionari USA 36 in <strong>portafoglio</strong>; si rileva che già con 20<br />
35 WHITMORE, G.A., “Diversification and the reduction of Dispersion: a note”, Journal of Financial and<br />
Quantitative Analysis, V, n. 2, May 1970, pp.263-264<br />
36 ELTON E.J., GRUBER M.J., 1984, op. cit., pag. 36.; SOLNIK B., "The advantages of Domestic and<br />
International Diversification", in Elton e Gruber, International Capital Markets, Amsterdam, North Holland,<br />
1975.
titoli, negli Stati Uniti, si può attuare una buona <strong>di</strong>versificazione. Alcune ricerche 37 hanno<br />
<strong>di</strong>mostrato che i mercati internazionali mostrano una relativa in<strong>di</strong>pendenza gli uni dagli<br />
altri. In Tab. 6 si riporta la matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare fra le variazioni<br />
mensili, dal 1971 al 1986, degli in<strong>di</strong>ci azionari <strong>del</strong>le principali borse mon<strong>di</strong>ali e le<br />
fluttuazioni <strong>di</strong> alcune valute 38. Si rileva la debole o debolissima correlazione lineare,<br />
spesso <strong>di</strong> segno negativo. Allora si può affermare<br />
Fig. 13: Effetto <strong>del</strong>l'aumento <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> azioni U.S.A. in <strong>portafoglio</strong> sul rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong> per un investitore statunitense (WHITMORE, G.A., “Diversification and the<br />
Reduction of Dispersion: a note”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, V, n. 2,<br />
May 1970, pp.263-264)<br />
Fig. 14: L'effetto <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> sole azioni U.S.A. e <strong>di</strong> quello <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> azioni<br />
appartenenti ad alcuni <strong>di</strong>versi mercati (senza copertura <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> cambio) sul rischio<br />
<strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>: per un investitore statunitense la <strong>di</strong>versificazione internazionale riduce il<br />
rischio sistematico (SOLNIK B., “Why not Diversify Internationally Rather Than<br />
Domestically “, Financial Analysts Journal, July 1974).<br />
37 ELTON .E., GRUBER M.J., 1984 op. cit., cap. 10.<br />
38 SOLNIK B., 1988, op. cit., pag. 20.<br />
34
che investire su più mercati è un'operazione vantaggiosa nell'ottica E-σ: la <strong>di</strong>versificazione<br />
internazionale riduce il rischio sistematico 39 (Fig. 14). Per quanto sopra esposto è<br />
importante evidenziare che portafogli realizzati con investimenti frazionati su un grande<br />
numero <strong>di</strong> titoli, che sullo stesso mercato hanno me<strong>di</strong>amente correlazione positiva nei<br />
ren<strong>di</strong>menti, portano sì ad avere un rischio quantificabile nella<br />
Valute<br />
$ USA Yen Marco Sterl F.F. $Can Cor.Ol. F.Svi F.Belg<br />
a<br />
Mercati<br />
USA 0.08 0.16 0.10 0.16 0.19 0.17 0.03 0.18<br />
Giapp. -0.06 0.02 -0 0.05 -0.02 0.01 -0.03 0.09<br />
Germ. -0.03 0.05 0.11 0.09 -0.01 0.11 0.09 0.07<br />
Gran. Br. -0.15 -0.07 -0.07 -0.01 -0.09 -0.07 -0.10 -0.06<br />
Francia -0.21 -0.11 -0.15 0.05 -0.15 -0.17 -0.09 -0.18<br />
Canada -0.33 -0.01 0.07 0.06 0.13 0.05 0.04 0.09<br />
Olanda 0.05 0.05 -0.01 0.15 0.09 0.09 -0.02 0.05<br />
Svizzera 0.04 0.06 0.12 0.18 0.19 0.08 0.19 0.17<br />
Belgio -0.16 0 0.05 -0.04 0.06 -0.15 0.03 -0.02<br />
Tab. 6: Matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare fra ren<strong>di</strong>menti mensili, dal 1973 al 1982, sulle<br />
azioni <strong>del</strong>le principali borse mon<strong>di</strong>ali e le fluttuazioni dei singoli tassi <strong>di</strong> cambio, tratta da SOLNIK B.,<br />
International Investments, Ad<strong>di</strong>son Wesley, 1988, pag 40.<br />
covarianza me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti, non annullabile, ma nulla <strong>di</strong>cono circa il ren<strong>di</strong>mento<br />
∞<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
atteso <strong>del</strong>lo stesso. Posto R i
Tab. 7: Matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare fra le variazioni degli in<strong>di</strong>ci azionari <strong>del</strong>le<br />
principali borse mon<strong>di</strong>ali (elaborazioni mensili in dollari USA dal 1971 al 1986), tratta da SOLNIK B.,<br />
International Investments, Ad<strong>di</strong>son Wesley, 1988, pag 40.<br />
Ger Bel Dan Fra Ita Nor Ola Reg Sve Sviz<br />
Germania 1 .63 .42 .55 .33 .33 .66 .41 .36 .69<br />
Belgio .63 1 .47 .62 .41 .51 .65 .51 .42 .64<br />
Danimarca .42 .47 1 .31 .29 .32 .48 .36 .38 .43<br />
Francia .55 .62 .31 1 .43 .44 .57 .52 .31 .59<br />
Italia .33 .41 .29 .43 1 .24 .35 .35 .30 .32<br />
Norvegia .33 .51 .32 .44 .24 1 .48 .34 .32 .41<br />
Olanda .66 .65 .48 .57 .35 .48 1 .61 .42 .68<br />
Regno Unito .41 .51 .36 .52 .35 .34 .61 1 .36 .52<br />
Svezia .36 .42 .38 .31 .30 .32 .42 .36 1 .44<br />
Svizzera .69 .64 .43 .59 .32 .41 .68 .52 .44 1<br />
Spagna .34 .36 .25 .35 .37 .20 .34 .26 .29 .28<br />
Australia .26 .28 .28 .35 .26 .36 .36 .41 .30 .36<br />
Giappone .45 .44 .36 .40 .38 .10 .44 .32 .31 .41<br />
Hong Kong .18 .23 .31 .21 .18 .20 .34 .29 .17 .26<br />
Singapore .07 .14 .20 .14 .10 .15 .24 .40 .16 .21<br />
Canada .28 .32 .31 .42 .25 .36 .52 .50 .32 .44<br />
Stati Uniti .32 .36 .31 .40 .23 .37 .55 .47 .35 .44<br />
Miniere d'oro .11 .23 .01 .21 .13 .25 .17 .08 .10 .22<br />
Oro .19 .29 .11 .25 .18 .28 .22 .08 .15 .24<br />
In<strong>di</strong>ce Mon<strong>di</strong>ale .55 .57 .44 .60 .44 .44 .73 .65 .45 .61<br />
In<strong>di</strong>ce EAFE .64 .62 .44 .62 .52 .35 .70 .69 .43 .61<br />
Spa Aus Gia Hon Sin Can Sta Min Oro Mon EAFE<br />
Germania .34 .26 .45 .18 .07 .28 .32 .11 .19 .55 .64<br />
Belgio .36 .28 .44 .23 .14 .32 .36 .23 .29 .57 .62<br />
Danimarca .25 .28 .36 .31 .20 .31 .31 .01 .11 .44 .44<br />
Francia .35 .35 .40 .21 .14 .42 .40 .21 .25 .60 .62<br />
Italia .37 .26 .38 .18 .10 .25 .23 .13 .18 .44 .52<br />
Norvegia .20 .36 .10 .20 .15 .36 .37 .25 .28 .44 .35<br />
Olanda .34 .36 .44 .34 .24 .52 .55 .17 .22 .73 .70<br />
Regno Unito .26 .41 .32 .29 .40 .50 .47 .08 .08 .65 .69<br />
Svezia .29 .30 .31 .17 .16 .32 .35 .10 .15 .45 .43<br />
Svizzera .28 .36 .41 .26 .21 .44 .44 .22 .24 .61 .61<br />
Spagna 1 .22 .34 .15 -.02 .19 .15 -.01 .13 .35 .43<br />
Australia .22 1 .27 .29 .29 .56 .47 .15 .32 .56 .46<br />
Giappone .34 .27 1 .28 .21 .25 .27 .09 .17 .60 .77<br />
Hong Kong .15 .29 .28 1 .41 .22 .26 -.08 .07 .32 .28<br />
Singapore -.02 .29 .21 .41 1 .29 .37 -.04 -.07 .39 .31<br />
Canada .19 .56 .25 .22 .29 1 .66 .23 .26 .70 .48<br />
Stati Uniti .15 .47 .27 .26 .37 .66 1 .10 .01 .87 .47<br />
Miniere d'oro -.01 .15 .09 -.08 -.04 .23 .10 1 .58 .17 .14<br />
Oro .13 .32 .17 .07 -.07 .26 .01 .58 1 .16 .22<br />
In<strong>di</strong>ce Mon<strong>di</strong>ale .35 .56 .60 .32 .39 .70 .87 .17 .16 1 .83<br />
In<strong>di</strong>ce EAFE .43 .46 .77 .28 .31 .48 .47 .14 .22 .83 1<br />
36
3.3. La <strong>selezione</strong> dei portafogli efficienti ovvero la valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera<br />
efficiente<br />
Dati i nostri cinque titoli o business A, B, C, D, E (si vedano le Tab. 2, 3 e 4) si ipotizzi<br />
<strong>di</strong> voler comporre un <strong>portafoglio</strong> G sud<strong>di</strong>videndo, in maniera empirica, il capitale nel<br />
modo seguente:<br />
35% in A, 35% in C, 10% in B, 10% in E, 10% in D<br />
La “ragione” <strong>di</strong> questa ripartizione, proposta dal Rossi, sta nel fatto che i business A e<br />
C hanno ren<strong>di</strong>mento e rischio “centrali” nella <strong>di</strong>stribuzione bivariata ren<strong>di</strong>mento-rischio<br />
(ve<strong>di</strong> Fig.1), mentre i business B, E, D risultano troppo o troppo poco red<strong>di</strong>tivi e rischiosi.<br />
Utilizzando le equazioni stu<strong>di</strong>ate, G ha ren<strong>di</strong>mento atteso R G =15.9 e σ G=1.11.<br />
Queste due informazioni sono sicuramente interessanti, ma, come gestori <strong>di</strong> un fondo o<br />
<strong>di</strong>rettori generali <strong>di</strong> un’impresa, ci si deve chiedere:<br />
− qual’è la posizione <strong>di</strong> G nello spazio E−σ dei portafogli fattibili?<br />
− esiste un <strong>portafoglio</strong> (o mix <strong>di</strong> prodotti) che ha lo stesso rischio, ma maggior<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> G?<br />
− esiste un <strong>portafoglio</strong> (o mix <strong>di</strong> prodotti) che ha lo stesso ren<strong>di</strong>mento, ma minor<br />
rischio <strong>di</strong> G?<br />
cioè, in sintesi: G è un <strong>portafoglio</strong> (mix) dominante (efficiente)?<br />
Se G è dominante in E-V il decisore è stato efficiente nella scelta, se non lo è il decisore<br />
che lo ha proposto non ha pianificato le risorse in maniera efficiente.<br />
La risposta alla domanda fatta, assai importante, si imposta adottando un mo<strong>del</strong>lo in<br />
cui:<br />
− o si massimizzi il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, fissata una varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
∗<br />
VP desiderata (parametro);<br />
− o si minimizzi la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, fissato un ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
∗<br />
R P desiderato (parametro);<br />
e, trascurando il vincolo <strong>di</strong> non negatività sulle risorse (cioè non ponendo xi ≥ 0), allora si<br />
hanno o l’uno o l’altro dei seguenti mo<strong>del</strong>li<br />
n<br />
⎧<br />
⎪max<br />
Z1= RP = xiR x ∑<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
n n<br />
⎪<br />
*<br />
⎪∑∑<br />
xx i jσij = VP<br />
⎩ i=<br />
1 j=<br />
1<br />
i<br />
37<br />
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z2= V P = xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1 ⎪<br />
n ⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
Il primo mo<strong>del</strong>lo vuole massimizzare il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, mentre il secondo<br />
vuole la minimizzazione <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
Se la <strong>di</strong>stribuzione dei ren<strong>di</strong>menti è simmetrica (ad esempio una <strong>di</strong>stribuzione<br />
Gaussiana) si può utilizzare la semivarianza (0.5 V P ) per semplificare i calcoli; si ottiene<br />
comunque lo stesso vettore soluzione <strong><strong>del</strong>la</strong> minimizzazione <strong>di</strong> Z2.<br />
j ij
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z3= 0.5 V P = 0.5 xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1 ⎪<br />
n ⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
I vincoli <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo sono:<br />
− <strong>di</strong> bilancio (quantità <strong>di</strong> risorse tutte investite)<br />
*<br />
− sul ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> R P reso parametro.<br />
L'assenza <strong>di</strong> vincoli <strong>del</strong> tipo 0 ≤ xi ≤ 1, il cui significato economico è già stato spiegato,<br />
facilita la ricerca <strong><strong>del</strong>la</strong> soluzione <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> ottimo <strong>di</strong> funzioni non lineari in presenza<br />
<strong>di</strong> vincoli <strong>di</strong> sole uguaglianze.<br />
Il vettore soluzione annulla le derivate parziali <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione lagrangiana41 e risolve il<br />
problema <strong>di</strong> ottimizzazione vincolata utilizzando il mo<strong>del</strong>lo con funzione obiettivo Z3. Il<br />
vettore soluzione trovato dà l’ottimo globale <strong>del</strong> problema in stu<strong>di</strong>o perchè rispetta le<br />
seguenti con<strong>di</strong>zioni: la funzione obiettivo è una funzione convessa (e lo spazio <strong>del</strong>le<br />
soluzioni ammissibili è convesso), la matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza è semidefinita<br />
positiva ed i vincoli sono lineari.<br />
La funzione lagrangiana è:<br />
n<br />
n<br />
⎛ ⎞ ⎛ * ⎞<br />
Lx ( i, λS, λR ) = 05 . VP + λS⎜1−∑xi⎟ + λR⎜RP<br />
−∑xR<br />
i i⎟<br />
⎝ i=<br />
1 ⎠ ⎝ i=<br />
1 ⎠<br />
e le n+2 derivate parziali costituiscono un sistema <strong>di</strong> equazioni<br />
⎧ ∂L<br />
⎪ = σi1xi+ .... + σinxn −λS − λRRi<br />
= 0 i:1,2,3...., n<br />
⎪<br />
∂xi<br />
⎪ ∂L<br />
⎨ = 1−x1−.......<br />
−xn=0<br />
⎪∂λS<br />
⎪ ∂L<br />
*<br />
⎪ = RP −R1x1 −R2x2−... − Rnxn = 0<br />
⎩∂λ<br />
R<br />
Questo sistema può essere riscritto in forma matriciale<br />
Mx = b<br />
dove:<br />
M matrice dei coefficienti <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> derivate parziali <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione<br />
lagrangiana;<br />
x vettore colonna 42 <strong>del</strong>le incognite <strong>del</strong> problema, costituito dalle n variabili e dai<br />
due lagrangiani λS e λR<br />
41 Vedasi il capitolo <strong>di</strong> questo volume ove trattasi problemi <strong>di</strong> ottimizzazione non lineare vincolata.<br />
42 Il trasposto <strong>del</strong> vettore x viene in<strong>di</strong>cato con x', vettore riga.<br />
38<br />
j ij i
M x b<br />
⎡σ11<br />
σ12 ... σ1<br />
1 1 1 0<br />
n − −R⎤⎡x<br />
⎤ ⎡ ⎤<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
σ21σ22 ... σ2<br />
1 2 2 0<br />
n R x<br />
⎥<br />
− −<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ : : : : : : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥<br />
⎢σ<br />
1 σ 2 ... σ 1<br />
0<br />
n n nn − −R<br />
x n⎥⎢n⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ 1 1 ... 1 0 0 ⎥ ⎢λ<br />
⎥ ⎢ S 1 ⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∗ ⎥<br />
⎣⎢<br />
R λ<br />
1 R2 ... Rn0<br />
0 ⎦⎥<br />
⎣ R⎦⎣RP⎦ La matrice M è invertibile se e solo se il coefficiente <strong>di</strong> correlazione ρ ij ≠±1 (se ciò<br />
accadesse si avrebbe σij = σiσje le righe sarebbero combinazioni lineari) e se manca il<br />
titolo a ren<strong>di</strong>mento certo che ha rischio nullo (se la matrice contenesse una riga <strong>di</strong> valori<br />
a zero non sarebbe invertibile). Se M è invertibile il vettore soluzione è dato da:<br />
*<br />
⎡0⎤<br />
⎡0⎤<br />
⎧x1<br />
= h1 + k1RP ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪<br />
*<br />
0 0<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪x2<br />
= h2 + k2RP ⎢:<br />
⎥ ⎢:<br />
⎥<br />
⎪<br />
−1 −1 −1<br />
* * ⎪..................<br />
x = M b= M ⎢ ⎥ + M ⎢ ⎥R<br />
P = h + k R P ⇒ ⎨<br />
*<br />
⎢0⎥<br />
⎢0⎥<br />
⎪xn<br />
= hn + knRP ⎢1⎥<br />
⎢0⎥<br />
⎪<br />
*<br />
λS<br />
= ΛS<br />
+ lR S P<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪<br />
⎣0⎦<br />
⎣1<br />
*<br />
⎦<br />
⎩⎪<br />
λ R = Λ R + lRRP dove i vettori colonna sono rispettivamente formati da:<br />
h : h i, Λ S, Λ R i = 1, 2, ....., n<br />
k : k i, l S, l R i = 1, 2, ....., n<br />
*<br />
Allora, il vettore soluzione <strong>di</strong>pende linearmente da R P ; la varianza può essere scritta<br />
in forma matriciale come<br />
VP = x'Cx<br />
dove:<br />
x vettore colonna (nx1) <strong>del</strong>le xi; C matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza, {σij} <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione (n x n).<br />
Se si sostituiscono le prime n righe <strong>del</strong> vettore x nella equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza, scritta<br />
2 *<br />
= fR ,<br />
in forma matriciale43, si trovano i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> secondo grado σ P ( P)<br />
*<br />
per un generico R P :<br />
*<br />
= x'Cx = (h + k )' C(h + k ) =<br />
2<br />
σ P RP *<br />
RP<br />
*<br />
= h'Ch+ 2k'ChRP<br />
* 2<br />
k'CkRP<br />
* * 2<br />
1 P 2 P<br />
= a + a R + a R<br />
0<br />
39<br />
+ =<br />
Il tratto crescente <strong>di</strong> questa funzione quadratica costituisce la frontiera efficiente nel<br />
piano [ Rp,σp] 2 . Estraendo la ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> tale polinomio si ottiene un'altra funzione<br />
che rappresenta la frontiera efficiente nello spazio [ Rp,σ p]<br />
.<br />
43 Si controllino le proprietà stu<strong>di</strong>ate per il prodotto <strong>di</strong> vettori e matrici.
Possiamo ora “criticare” il <strong>portafoglio</strong> G, costruito empiricamente dal Rossi:<br />
A) IN RIFERIMENTO AL CASO IN CUI SI POSSA VENDERE A BREVE QUALSIASI QUANTITÀ<br />
DELLE CINQUE POSSIBILITÀ SI HA:<br />
*<br />
A1) fissato il rischio, σ P=1.11<br />
uguale a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G e risolto il mo<strong>del</strong>lo<br />
n<br />
⎧<br />
⎪max<br />
Z = RP = ∑ xiRi x i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪<br />
n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
n n<br />
⎪<br />
*<br />
xx i j ij = VP<br />
= .<br />
⎩⎪<br />
∑∑<br />
σ 12321<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
il <strong>portafoglio</strong> efficiente è Mss con<br />
Ren<strong>di</strong>meto Scarto XA XB XC XD XE<br />
17.325 1.11 -0.4921 -0.0159 0.7803 0.3685 0.3592<br />
che ha ren<strong>di</strong>mento superiore a quello <strong>di</strong> G. L’inefficienza <strong>di</strong> G per ren<strong>di</strong>mento è <strong>di</strong><br />
17. 325− 15. 9 = 1425 . punti (su mille miliar<strong>di</strong>, l’inefficienza <strong><strong>del</strong>la</strong> scelta G vale 14.25<br />
miliar<strong>di</strong>, secondo la nuova tecnica VaR (Value at Risk)).<br />
Fig 15: Portafoglio efficiente M ss ottenuto imponendo σ p=1.11 e<br />
massimizzando il ren<strong>di</strong>mento atteso con il solo vincolo <strong>di</strong> bilancio (e<br />
senza il vincolo 0 ≤ x i ≤ 1 ∀i).<br />
40
*<br />
A2) Posto R P =15.9 uguale a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G e risolto il mo<strong>del</strong>lo<br />
il <strong>portafoglio</strong> efficiente è Nss con<br />
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z = V P = xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n ⎨<br />
⎪∑<br />
xi<br />
= 1<br />
i=<br />
1 ⎪<br />
n ⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
Ren<strong>di</strong>mento Scarto XA XB XC XD XE<br />
15.9 0.8782 -0.1199 -0.0187 0.4298 0.2709 0.4379<br />
che ha rischio inferiore a quello <strong>di</strong> G.<br />
L’inefficienza <strong>di</strong> G per rischio è <strong>di</strong> 1.11-0.88 = 0.23 punti.<br />
*<br />
Fig 16: Portafoglio efficiente Nss ottento imponendo R P =15.9 e minimizzando il<br />
rischio con il solo vincolo <strong>di</strong> bilancio (e senza i vincoli 0 ≤ xi ≤1 ∀i ).<br />
41<br />
j ij
B) IN RIFERIMENTO AL CASO IN CUI NON SI POSSA VENDERE A BREVE (OVVERO<br />
OPERANDO ANCHE CON I VINCOLI SULLE Xi≥0) SI HA:<br />
*<br />
B1) fissato il rischio σ P =1.11 uguale a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G si può costruire il mo<strong>del</strong>lo<br />
⎧<br />
n<br />
⎪max<br />
Z = R P = xiR x ∑<br />
⎪<br />
i=<br />
1<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎪<br />
⎨∑<br />
xi<br />
= 1<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n n<br />
*<br />
⎪∑∑<br />
xx i jσij = VP<br />
⎪ i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩x<br />
i ≥ 0<br />
e risolverlo, ricorrendo alle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Kuhn-Tucker introdotte nel capitolo <strong>di</strong><br />
programmazione matematica dal Prof. Bortot. Il <strong>portafoglio</strong> trovato è Mnss con<br />
Ren<strong>di</strong>mento Scarto XA XB XC XD XE<br />
17.25 1.11 0.00 0.0329 0.3418 0.4303 0.1950<br />
L'inefficienza <strong>di</strong> G per ren<strong>di</strong>mento si può quin<strong>di</strong> calcolare in 1.40 punti (data da: 17.3-<br />
15.9).<br />
Fig. 17: Portafoglio efficiente Mnss ottenuto imponendo σp=1.11 e massimizzando il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> con il vincolo <strong>di</strong> bilancio e il vincolo 0 ≤ xi ≤1 ∀i.<br />
42<br />
i
*<br />
B2) Posto R P =15.9, uguale a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G, il <strong>portafoglio</strong> efficiente con lo<br />
stesso ren<strong>di</strong>mento è valutabile risolvendo, con l’utilizzo <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Kuhn-Tucker,<br />
il sistema<br />
che porge il <strong>portafoglio</strong> Nnss<br />
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z = V P = xix x ∑∑<br />
σ<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎪<br />
⎨∑<br />
xi<br />
= 1<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩xi<br />
≥ 0<br />
Ren<strong>di</strong>mento Scarto XA XB XC XD XE<br />
15.9 0.879 0.00 0.00 0.3236 0.2853 0.3911<br />
L'inefficienza <strong>di</strong> G per rischio si può calcolare in 0.23 punti (data da: 1.11-0.88).<br />
*<br />
Fig 18: Portafoglio efficiente Nnss, ottenuto imponendo R P =15.9 e minimizzando il rischio<br />
con il vincolo <strong>di</strong> bilancio e il vincolo 0 ≤ xi ≤1 ∀i.<br />
43<br />
j ij
In conclusione:<br />
G è dominato sia nel caso con “short selling” sia nel caso senza “short selling” e non<br />
solo dai portafogli dominanti appena trovati, ma da infiniti portafogli, visto che G non è<br />
sulla frontiera E-V.<br />
La Fig. 19 rappresenta la sintesi <strong>del</strong>le simulazioni fatte per analizzare criticamente<br />
l’inefficienza <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> G in presenza <strong>di</strong> vincoli <strong>di</strong> non negatività dei pesi. Preme<br />
sottolineare (Figg. 15 e 16) che nel caso con “short selling” l’area che rappresenta le<br />
possibilità, infinite, si è allargata rispetto a quella <strong>del</strong> caso senza “short selling” (e le<br />
infinite possibilità stanno nell’insieme convesso <strong>del</strong>imitato dalla frontiera, efficiente ed<br />
inefficiente, non superiormente limitata).<br />
Fig. 19: Regione <strong>di</strong> tutte le possibili soluzioni ( R P,σ P)<br />
componendo portafogli con i<br />
cinque titoli o business in analisi, con vincolo <strong>di</strong> bilancio 0 ≤ xi ≤1 ∀i. Soluzioni efficienti,<br />
<strong>portafoglio</strong> Mnss e <strong>portafoglio</strong> Nnss, dominanti G rispettivamente per ren<strong>di</strong>mento e rischio<br />
(ma anche tutti gli infiniti fra M o N e G dominano G).<br />
44
3.4. Il mo<strong>del</strong>lo parametrico<br />
Il problema generale per il calcolo degli infiniti portafogli efficienti che compongono la<br />
frontiera efficiente nel caso in cui si abbiano solo alternative rischiose e con “short selling”<br />
può anche essere espresso come:<br />
n<br />
n n<br />
⎧<br />
⎪min<br />
Z4=− µ RP + 05 . VP =− µ xiRi 05 . xixj ij<br />
x ∑ + ∑∑<br />
σ<br />
⎪<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎨<br />
n<br />
⎪<br />
soggetto a =<br />
⎪ ∑ xi 1<br />
⎩<br />
i= 1<br />
Questa è la forma più semplice e generale <strong>del</strong> problema in stu<strong>di</strong>o (valutazione <strong>del</strong>le<br />
soluzioni efficienti, dominanti in E-V), con un unico vincolo lineare <strong>di</strong> uguaglianza.<br />
La minimizzazione <strong>di</strong> Z4 <strong>di</strong>fferisce da quella <strong>di</strong> Z3 per:<br />
− l'assenza <strong>del</strong> vincolo sul ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>;<br />
− la presenza nella funzione obiettivo <strong>di</strong> due obiettivi pesati;<br />
− la massimizzazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento (il primo addendo) con peso µ, parametro. E'<br />
bene ricordare44 che -min (-µ R P ) è uguale a max (µ R P ) e che min(-µ R P ) ha lo<br />
stesso vettore soluzione <strong>di</strong> max (µ R P );<br />
− la minimizzazione <strong>del</strong> rischio (secondo addendo) con peso 0.5.<br />
Il parametro µ è interpretato come misura sintetica <strong>del</strong> grado <strong>di</strong> propensione al rischio45 <strong>del</strong><br />
decisore.<br />
Se:<br />
µ = 0 , la Funzione Obiettivo vede annullarsi il primo addendo e il decisore opera<br />
solo per la minimizzazione <strong>del</strong> rischio. Il mo<strong>del</strong>lo sarà adatto ad un decisore che<br />
vuole sopportare il minimo rischio, a prescindere dai ren<strong>di</strong>menti attesi;<br />
µ tende a +∝ la Funzione Obiettivo è determinata soprattutto dal primo addendo, il<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso. Il mo<strong>del</strong>lo sarà adatto ad un decisore con propensione al rischio<br />
tale da considerare solo i ren<strong>di</strong>menti attesi e trascurare il rischio.<br />
Applicando i meto<strong>di</strong> analitici già visti (3.3), il sistema risolutivo <strong>del</strong> problema <strong>di</strong><br />
minimizzazione Z4 <strong>di</strong>venta:<br />
M x b<br />
⎡σ11<br />
⎢<br />
⎢σ21<br />
⎢<br />
⎢ :<br />
⎢σn1<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎢ 1<br />
σ12 σ22 :<br />
σn2 1<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
σ1n<br />
σ2n<br />
:<br />
σnn<br />
1<br />
−1⎤<br />
⎡x<br />
⎤ ⎡µ<br />
R ⎤<br />
1<br />
1<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
−1⎥<br />
⎢x<br />
⎥ ⎢µ<br />
R ⎥<br />
2<br />
2<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
: ⎥ ⎢ : ⎥<br />
=<br />
⎢ : ⎥<br />
−1⎥<br />
⎢x<br />
⎥ ⎢µ<br />
R ⎥<br />
n<br />
n<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
0 ⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢λ<br />
1<br />
S ⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢<br />
⎦<br />
⎥<br />
Il vettore soluzione, <strong>di</strong>pendente dal parametro µ, è dato da<br />
44 Si riveda quanto esposto nella parte curata dal Professor Paolo Bortot.<br />
45 Markowitz H.M., 1987, op. cit.<br />
45
⎡0⎤<br />
⎡R<br />
1 ⎤ ⎧x1<br />
= p1 + q1µ<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
0<br />
⎪<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
R<br />
⎥<br />
x = +<br />
2<br />
2 p2 q2µ<br />
−1 −1 −1<br />
⎪<br />
x = M b= M ⎢:<br />
⎥ + M ⎢ : ⎥ µ ⇒ ⎨.........<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪<br />
⎢0⎥<br />
⎢R<br />
⎥ x = p + q<br />
n n n nµ<br />
⎪<br />
⎣<br />
⎢1⎦<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣ 0 ⎦ ⎩⎪<br />
λ S = ΛS<br />
+ lSµ<br />
Per valori <strong>di</strong> µ>0 i problemi Z 3 e Z 4 sono equivalenti (µ=0 è un caso limite 46).<br />
In Fig. 20 sono in<strong>di</strong>cate le <strong>di</strong>verse composizioni <strong>di</strong> titoli o business che, sui vari archi<br />
<strong>del</strong>imitati da punti-portafogli d'angolo, formano via via la frontiera efficiente nel caso “no<br />
short sales”. I portafogli d'angolo sono quei punti-portafogli in cui cambia il vettore<br />
soluzione perché almeno un titolo entra o esce dal vettore soluzione.<br />
Fig. 20: Composizione qualitativa dei cinque titoli sui tratti <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente<br />
(<strong>del</strong>imitati dai portafogli d'angolo in cui cambia la composizione qualitativa dei titoli nei<br />
portafogli efficienti) con il vincolo <strong>di</strong> bilancio e quelli <strong>di</strong><br />
0 ≤ x ≤ 1 ∀i. Il <strong>portafoglio</strong> efficiente a rischio minimo presenta σ P = 0.73 ed è ottenuto<br />
componendo: 33.83% <strong>di</strong> A, 12.31% <strong>di</strong> D, 53.85% <strong>di</strong> E. Si deve sottolineare che il titolo D<br />
compare in ogni punto-<strong>portafoglio</strong> sulla frontiera efficiente grazie al suo elevato<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso e al suo basso grado <strong>di</strong> correlazione lineare con tutti gli altri quattro<br />
titoli.<br />
46 Markowitz H.M., 1987. op. cit., pag. 152.<br />
46
SIMULAZIONE<br />
Determinazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> efficiente componendo i tre business B, D, E. (I dati utilizzati si rifanno<br />
alle tabelle 2, 3 e 4, arrotondati alla quarta cifra decimale). Si ponga <strong>di</strong> voler ottenere un ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> 15.6.<br />
⎧ n<br />
⎪<br />
n n<br />
∑ xi<br />
= 1<br />
⎪ i=<br />
1<br />
F.O. = min 0.5 VP = min 0.5 ∑∑<br />
xixjσ ij con vincoli ⎨ n<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
*<br />
⎪∑<br />
xR i i = RP<br />
⎩ i=<br />
1<br />
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞<br />
*<br />
Lx ( i, λS, λR) = 05 . VP + λ ⎜ S⎜ 1−∑x⎟<br />
i⎟<br />
+ λ ⎜ R⎜ RP −∑xR⎟<br />
i i⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
⎛ σ σ σ ⎞⎛<br />
x ⎞<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
Lx ( i, λS, λR)<br />
= . ( x x x)<br />
⎜σ<br />
σ σ ⎟⎜<br />
x ⎟ + λ ⎜ S − x ⎟<br />
⎜ i⎟<br />
+ λ ⎜ R RP − xiR ⎟<br />
⎜<br />
i⎟<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
σ σ σ x<br />
⎝<br />
⎝<br />
i ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
i ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
x<br />
. [ ( x σ x σ x σ )( x σ x σ x σ )( x σ x σ x σ ) ] x<br />
x<br />
λ S<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
= + + + + + + ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
11 12 13 1<br />
3<br />
3<br />
∗<br />
05 1 2 3 21 22 23 2 1 ∑ ∑<br />
= 1<br />
= 1<br />
31 32 33 3<br />
1<br />
05 1 11 2 21 3 31 1 12 2 22 3 32 1 13 2 23 3 33 2<br />
3<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
+ ⎜<br />
∗<br />
1−∑x<br />
⎟<br />
⎜ i ⎟<br />
+ ⎜ R RP −∑x<br />
R ⎟<br />
⎜<br />
i i⎟<br />
⎝ i=<br />
⎠ ⎝ i=<br />
⎠<br />
[ x ( x x x ) x ( x x x ) x ( x x x ) ]<br />
∗<br />
S ∑xi R RP ∑xiRi<br />
i=<br />
i=<br />
x x x x x x x x x<br />
=<br />
= + + + + + + + + +<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
+ ⎜<br />
− ⎟<br />
+ ⎜ − ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
=<br />
3<br />
3<br />
λ<br />
1<br />
1<br />
05 . 1 1σ11 2σ213σ31 2 1σ122σ223σ3231σ13 2σ233σ33 3<br />
3<br />
λ 1 λ<br />
1<br />
1<br />
= 05 . σ + σ + σ + σ + σ + x σ + x x σ + x x σ + x σ +<br />
=0.5<br />
1 2 11 1 2 21 1 3 31 1 2 12 2 2<br />
( 22 2 3 32 1 3 13 2 3 23 3 )<br />
S x x x R RP x R x R x R<br />
2<br />
33<br />
+ λ 1−<br />
1 − 2 − 3 + λ<br />
∗<br />
− 1 1 − 2 2 − 3 3 =<br />
( ) ( )<br />
per la simmetria <strong>del</strong>le covarianze si ha:<br />
2 ( x1σ11 2<br />
x2σ22 2<br />
x3σ332x1x2σ12 2x1x3σ13 2x2x3σ23)<br />
∗<br />
+ λS( 1−<br />
x1 − x2 − x3) + λR(<br />
RP − x1R1 − x2R2 − x3R3) =<br />
+ + + + + +<br />
L'ottimo si ha uguagliando a zero le derivate parziali:<br />
⎧ ∂L<br />
1<br />
⎪ = ( 2x1σ11 + 2x2σ12 + 2x3σ13) −λS − λRR1<br />
= 0<br />
⎪<br />
∂x1<br />
2<br />
⎪ ∂L<br />
1<br />
⎪ = ( 2x2σ22 + 2x1σ21 + 2x3σ23) −λS − λRR2<br />
= 0<br />
⎪<br />
∂x2<br />
2<br />
⎪ ∂L<br />
1<br />
⎨ = ( 2x3σ33 + 2x1σ31 + 2x2σ32) −λS − λRR3<br />
= 0<br />
⎪∂x3<br />
2<br />
⎪ ∂L<br />
⎪ = 1−x1 − x2 − x3 = 0⇒ x1 + x2 + x3<br />
= 1<br />
⎪∂λ<br />
S<br />
⎪ ∂L<br />
⎪ = R − R1x1− R2x2− R3x3= 0 ⇒ R1x1+ R2x2+ R3x3= R<br />
⎩∂λ<br />
R<br />
che posto in forma matriciale:<br />
∗ ∗<br />
P P<br />
47
M x b<br />
⎛ σ11 ⎜<br />
⎜σ21<br />
⎜σ<br />
⎜ 31<br />
⎜ 1<br />
⎜<br />
⎝ R<br />
σ12 σ22 σ32 1<br />
R<br />
σ13<br />
σ23<br />
σ33<br />
1<br />
R<br />
−1 −1 −1 0<br />
0<br />
−R1⎞⎛x1⎞<br />
⎛ 0 ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−R2⎟⎜x2⎟<br />
⎜ 0 ⎟<br />
−R⎟⎜<br />
3 x ⎟<br />
3 = ⎜ 0 ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0 ⎟ ⎜ λ S ⎟ ⎜ 1 ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∗⎟<br />
0 ⎠ ⎝λ<br />
⎠ ⎝ R ⎠<br />
1 2 3<br />
48<br />
R P<br />
Da tale relazione si vuole estrarre il vettore soluzione <strong><strong>del</strong>la</strong> composizione efficiente <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
⎛0⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
−1 −1 1<br />
x = M b = M ⎜ ⎟ −<br />
+ M ⎜ ⎟ ∗<br />
0 0 RP ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0⎠<br />
⎝1⎠<br />
Sostituendo i dati a nostra <strong>di</strong>sposizione nella matrice M questa risulta:<br />
⎛ 4<br />
⎜<br />
⎜11429<br />
.<br />
M = ⎜11429<br />
.<br />
⎜<br />
⎜ 1<br />
⎜<br />
⎝ 15<br />
11429 .<br />
34286 .<br />
01429 .<br />
1<br />
20<br />
11429 .<br />
01429 .<br />
11429 .<br />
1<br />
12<br />
−1 −1 −1 0<br />
0<br />
−15⎞<br />
⎟<br />
−20⎟<br />
−12⎟<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎠<br />
Calcolando l'inversa <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice M:<br />
M − ⎛ 0. 3690<br />
⎜<br />
⎜ −01384 .<br />
1<br />
= ⎜−0.<br />
2306<br />
⎜<br />
⎜ 0. 4745<br />
⎜<br />
⎝−0.<br />
0280<br />
−01384 .<br />
0. 0519<br />
0. 0865<br />
13221 .<br />
−01145 .<br />
−0. 2306<br />
0. 0865<br />
01442 .<br />
−2. 7965<br />
01425 .<br />
−0.<br />
4745<br />
−13221<br />
.<br />
2. 7965<br />
131757 .<br />
−0.<br />
8926<br />
0. 0280 ⎞<br />
⎟<br />
01145 . ⎟<br />
−01425<br />
. ⎟<br />
⎟<br />
−0.<br />
8926 ⎟<br />
0. 0648 ⎠<br />
1 −<br />
e sostituendola nell'equazione x = M b si ottiene:<br />
⎛−0.<br />
4745⎞<br />
⎛ 0. 0280 ⎞ ⎛−0.<br />
0376⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ −13221<br />
. ⎟ ⎜ 01145 . ⎟ ⎜ 0. 4641 ⎟<br />
⎜ 2. 7966 ⎟ + ⎜ −01425<br />
. ⎟ × 15. 6 = ⎜ 0. 5735 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ 131746 . ⎟ ⎜−0.<br />
8925⎟<br />
⎜ −0.<br />
7483⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ −0.<br />
8925⎠<br />
⎝ 0. 0648 ⎠ ⎝ 01189 . ⎠<br />
Se si sommano i primi tre valori, percentuali <strong>di</strong> capitale investito nei tre titoli, si ottiene l'unità ed è quin<strong>di</strong><br />
rispettato il vincolo <strong>di</strong> bilancio.<br />
⎧x1<br />
=−00376<br />
.<br />
⎪<br />
Il <strong>portafoglio</strong> efficiente è quin<strong>di</strong> composto da: ⎨x2<br />
= 0. 4641<br />
⎪<br />
⎩x3<br />
= 0. 5735<br />
Si può determinare ora anche l'equazione che descrive la frontiera efficiente:<br />
2<br />
σ P h'Ch<br />
∗<br />
2k'ChRP '<br />
2<br />
∗<br />
k'CkRP<br />
= + + =<br />
⎛−0<br />
4745⎞<br />
⎛ 4 11429 11429⎞<br />
⎛−0<br />
4745⎞<br />
0 0280<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
2<br />
= ⎜ −13221⎟<br />
⎜11429<br />
34286 01429⎟⎜<br />
−13221⎟<br />
2 01145 RP RP<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 7966 ⎠ ⎝11429<br />
01429 11429⎠<br />
⎝ 2 7966 ⎠ 01425<br />
+<br />
′<br />
.<br />
. . . ⎛ . ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
∗ ∗<br />
. . . . . ⎜ . ⎟ Ch × + k'Ck =<br />
⎜ ⎟<br />
. . . . . ⎝−<br />
. ⎠<br />
2<br />
∗ ∗<br />
P P<br />
= 131757 . − 17851 . R + 0. 0648R<br />
Dall'equazione, sostituendo il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> 15.6 si ottiene il rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
2<br />
= 131757 . − 27. 8479 + 15. 7790 = 11069 .<br />
<strong>di</strong>: σ P
Valutazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> con i cinque business equiripartiti<br />
Si consideri il caso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> formato dai cinque business A, B, C, D, E ciascuno con peso 20%. Esso<br />
avrà rischio e ren<strong>di</strong>mento rispettivamente pari a:<br />
2<br />
σ P<br />
RP<br />
=<br />
=<br />
xCx '<br />
( 02 . 02 . 02 . 02 . 02 . )<br />
= 0. 2 × 15 + 0. 2 × 15 + 0. 2 × 17<br />
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0.<br />
2857⎞<br />
⎛02<br />
. ⎞<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎜−0.<br />
4286 4 −0.<br />
2857 11429 . 11429 . ⎟⎜<br />
02 . ⎟<br />
⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0.<br />
5714⎟⎜<br />
02 . ⎟ = 08572 .<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . ⎟⎜<br />
02 . ⎟<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎝−0.<br />
2857 11429 . −0.<br />
5714 01429 . 11429 . ⎠⎝<br />
02 . ⎠<br />
+ 02 . × 20+ 02 . × 12= 158 .<br />
Si vuole ora determinare la composizione efficiente <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> che <strong>di</strong>a un ren<strong>di</strong>mento pari a 16 e<br />
<strong>di</strong>scutere il comportamento <strong>del</strong> rischio in base ai risultati <strong>del</strong>l’esercizio precedente.<br />
Come nell'esempio a tre titoli si determina la composizione efficiente <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> con:<br />
x M b<br />
1 −<br />
=<br />
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857 −1−15⎞ ⎜<br />
⎟<br />
⎜−0.<br />
4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . −1−15⎟ ⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714 −1−17⎟ ⎜<br />
⎟<br />
= ⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . −1−20⎟ ⎜−0.<br />
2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . −1−12⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 1 1 1 1 1 0 0 ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 15 15 17 20 12 0 0 ⎠<br />
⎛ 4. 0331 ⎞ ⎛−0.<br />
2812⎞<br />
⎛ −01462<br />
. ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜−0.<br />
0500⎟<br />
⎜ 00020 . ⎟ ⎜−0.<br />
0185⎟<br />
⎜ −34819<br />
. ⎟ ⎜ 02460 . ⎟ ⎜ 0. 4545 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
= ⎜ −0.<br />
8175⎟<br />
+ ⎜ 00685 . ⎟ × 16 = ⎜ 0. 2777 ⎟<br />
⎜ 13162 . ⎟ ⎜−0.<br />
0552⎟<br />
⎜ 0. 4325 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜12.<br />
2932⎟<br />
⎜ −0.<br />
8438⎟<br />
⎜ −12075<br />
. ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ −0.<br />
8438⎠<br />
⎝ 00606 . ⎠ ⎝ 01252 . ⎠<br />
49<br />
−1<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
+<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝0⎠<br />
−<br />
M 1<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
× 16 =<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1⎠<br />
Il <strong>portafoglio</strong> efficiente che dà un ren<strong>di</strong>mento pari a 16 è quin<strong>di</strong> così composto:<br />
-14.62 % <strong>di</strong> A, -1.85% <strong>di</strong> B, 45.45% <strong>di</strong> C, 27.77% <strong>di</strong> D,43.25% <strong>di</strong> E.<br />
Si calcola ora la frontiera efficiente con la tecnica utilizzata nell'esercizio precedente <strong>di</strong> cui si omettono i<br />
calcoli:<br />
2<br />
∗ ∗2<br />
σ P = 12. 2932 − 16876 . RP + 0. 0606RP<br />
Si sostituisce il ren<strong>di</strong>mento desiderato nell'equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente per ottenere il rischio <strong>di</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>:<br />
2<br />
σ P = 12. 2932 − 27. 0014 + 155039 . = 0. 5977<br />
Si nota così che, rispetto al <strong>portafoglio</strong> composto dai cinque titoli con peso 1/5, il nuovo <strong>portafoglio</strong> ha sia<br />
maggiore ren<strong>di</strong>mento, sia minor rischio.
SIMULAZIONE<br />
Determinazione <strong><strong>del</strong>la</strong> composizione efficiente dei tre business B, D, E senza il vincolo sul ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>:<br />
⎛0⎞<br />
⎛ R1<br />
⎞ ⎛ 4<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
−1 −1<br />
x = M<br />
⎜0⎟<br />
⎜ R2⎟<br />
+ M<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
==<br />
⎜11429<br />
.<br />
µ<br />
0 R ⎜<br />
3 11429 .<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
1 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1<br />
⎛−0.<br />
0889⎞<br />
⎛ 0. 4319 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ 0. 2541 ⎟<br />
+<br />
⎜ 17659 . ⎟<br />
µ<br />
⎜ 0. 8348 ⎟ ⎜ −21978<br />
. ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 0. 8888 ⎠ ⎝−13.5678⎠<br />
11429 .<br />
34286 .<br />
01429 .<br />
1<br />
11429 .<br />
01429 .<br />
11429 .<br />
1<br />
−1<br />
−1⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎛15⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−1⎟<br />
⎜0⎟<br />
−1<br />
+ M<br />
⎜20⎟<br />
µ =<br />
−1⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜12⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0⎠⎝1⎠<br />
⎝ 0 ⎠<br />
A questo punto si può ipotizzare il comportamento <strong>del</strong>l'investitore per quanto riguarda la propensione al<br />
rischio. Al variare <strong>di</strong> µ si otterranno infatti <strong>di</strong>verse composizioni <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>; si considereranno valori <strong>di</strong><br />
µ inferiori a 0.5.<br />
⎛0.<br />
0407 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
0. 7839<br />
Dato µ=0.3 si avrà la seguente soluzione:<br />
⎜ ⎟<br />
⎜01755<br />
. ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−32410<br />
. ⎠<br />
cui corrisponderà un <strong>portafoglio</strong> composto per il 4.07% <strong>di</strong> B, 78.39% <strong>di</strong> D e 17.55% <strong>di</strong> E.<br />
Applicazione come la precedente utilizzando tutti i cinque titoli <strong>di</strong>sponibili:<br />
⎛0⎞<br />
⎛ R1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ R2⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ R ⎟<br />
−1 0 −1<br />
x = ⎜ ⎟ + ⎜ 3<br />
M M ⎟ µ<br />
⎜0⎟<br />
⎜ R4⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜<br />
R<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ 5⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1⎠<br />
⎝ 0 ⎠<br />
⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0. 2857 −1⎞⎛⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜−0.<br />
4286 4 −0. 2857 11429 . 11429 . −1⎟⎜0⎟<br />
⎜ 2. 2857 −0. 2857 2. 8571 0. 7143 −0. 5714 −1⎟⎜0⎟<br />
= ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ + M<br />
⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 34286 . 01429 . −1⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜−0.<br />
2857 11429 . −0. 5714 01429 . 11429 . −1⎟⎜0⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 1 1 1 1 1 0⎠⎝1⎠<br />
⎛03938<br />
. ⎞ ⎛−4.<br />
3130 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜−00226<br />
. ⎟ ⎜0.<br />
0225 ⎟<br />
⎜−00541<br />
. ⎟ ⎜4.<br />
0623 ⎟<br />
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ µ .<br />
⎜0.<br />
01362⎟<br />
⎜11302<br />
. ⎟<br />
⎜05467<br />
. ⎟ ⎜−0.<br />
9120 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝05369<br />
. ⎠ ⎝−139326<br />
. ⎠<br />
⎛−09001<br />
. ⎞<br />
⎛01781<br />
. ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜−0.<br />
0128⎟<br />
⎜−00209<br />
. ⎟<br />
⎜11646<br />
. ⎟<br />
⎜01490<br />
. ⎟<br />
Se µ = 0.3 ⇒ x = ⎜ ⎟ ; Se µ = 0.05 ⇒ x = ⎜ ⎟<br />
⎜0.<br />
4753 ⎟<br />
⎜01927<br />
. ⎟<br />
⎜0.<br />
2731 ⎟<br />
⎜05011<br />
. ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−36429<br />
. ⎠<br />
⎝−01598<br />
.<br />
⎠<br />
50<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
⎛15⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜15⎟<br />
⎜17⎟<br />
⎜ ⎟ µ =<br />
⎜20⎟<br />
⎜12⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎠
APPENDICE AL CAPITOLO 3<br />
TEOREMA DI SEPARAZIONE (o dei due fon<strong>di</strong>)<br />
Nel caso si possa operare con “short selling” e fissati xa ed xb due portafogli a varianza<br />
minima con ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o rispettivamente Raed Rb , con Ra ≠ Rb<br />
si ha che:<br />
a) qualsiasi <strong>portafoglio</strong> a varianza minima xc è una combinazione lineare dei portafogli xa<br />
ed xb;<br />
b) ogni <strong>portafoglio</strong> ottenuto dalla combinazione lineare <strong>di</strong> xa ed xb, αxa+(1-α)xb, è un<br />
<strong>portafoglio</strong> a varianza minima, situato sulla frontiera;<br />
c) in particolare, se xa ed xb sono portafogli a varianza minima efficienti, allora, per ogni<br />
0≤α ≤1,<br />
anche αxa+(1-α)xb è un <strong>portafoglio</strong> efficiente a varianza minima.<br />
Dimostrazione<br />
a)<br />
Poniamo Rc il ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> a varianza minima xc. Scegliamo il<br />
parametro α in modo tale che<br />
R R ( )<br />
c = α a + 1 − α Rb<br />
ciò significa scegliere α pari a<br />
Rc − Rb<br />
α=<br />
Ra − Rb<br />
Nota che α esiste ed è unico se si ipotizzaRa ≠ Rb.<br />
xc xa xb<br />
Ricor<strong>di</strong>mo che xc ottiene<br />
= h+ kRc<br />
e sostituendo a Rc la combinazione lineare <strong>di</strong> Ra ed Rb si<br />
xc = h+ kRc<br />
= h( α+ 1− α) + k( αR ( )<br />
a + 1−α<br />
Rb)<br />
= αh+ ( 1− α) h + αkR + ( 1−α)<br />
kR<br />
Dimostriamo che = α + ( 1 − α)<br />
( h kR ) ( 1 )( h kR )<br />
= α + + − α +<br />
= αx + ( 1−α)<br />
x<br />
a b<br />
a b<br />
a b<br />
51<br />
c.v.d.
)<br />
Consideriamo il <strong>portafoglio</strong> xc come combinazione lineare <strong>di</strong> xa ed xb.<br />
Quin<strong>di</strong><br />
x = αx + ( 1−α)<br />
x<br />
c a b<br />
( h kR ) ( 1 )( h kR )<br />
= α + a + − α + b<br />
= αh+ αkR ( ) h ( )<br />
a + 1− α + 1−α<br />
kRb<br />
= h( α+ 1− α) + k( αR ( )<br />
a + 1−α<br />
Rb)<br />
= h+ kRc<br />
da cui si conclude che se xa ed xb sono portafogli a varianza minima lo è anche xc.<br />
c)<br />
Questo si <strong>di</strong>mostra come nel punto b) introducendo la restrizione 0≤α ≤1<br />
la quale<br />
implica che<br />
se Ra ≤ Rb<br />
allora R R ( )<br />
a ≤ α a + 1 − α Rb ≤ Rb.<br />
TEOREMA DI ORTOGONALITA’<br />
Due portafogli a varianza minima xa ed xb , nel caso con “short selling”, si definiscono<br />
ortogonali se la loro covarianza è zero, cioè, xa′ Cxb = 0. Vogliamo <strong>di</strong>mostrare che per ogni<br />
<strong>portafoglio</strong>, eccetto quello definito nel punto <strong>di</strong> minimo <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera dei portafogli<br />
fattibili, esiste un unico <strong>portafoglio</strong> ortogonale a quello dato. Inoltre, definito Rb il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> dato, è possibile calcolare il ren<strong>di</strong>mento Ra <strong>del</strong>l’unico<br />
<strong>portafoglio</strong> ortogonale nel modo seguente:<br />
xa′ Cxb<br />
= 0<br />
h′ + k′ R C h+ kR<br />
= 0<br />
( a) ( b)<br />
( h kR )( Ch CkR<br />
)<br />
′ + ′ a + b = 0<br />
hCh ′ + hCk ′ Rb + kCh ′ Ra + kCk ′ RaRb = 0<br />
hCh ′ + hCk ′ Rb<br />
Ra<br />
=−<br />
kCh ′ + kCk ′ R<br />
ponendo:<br />
a = hCh ′<br />
b = hCk ′ = kCh ′<br />
c = k′ Ck<br />
risulta<br />
a bR<br />
Ra<br />
=−<br />
b cR<br />
+<br />
+<br />
b<br />
b<br />
b<br />
52
σp<br />
Portafogli<br />
inefficienti a<br />
varianza<br />
minima<br />
σa<br />
σG<br />
R a<br />
a<br />
Portafogli<br />
fattibili<br />
R G<br />
53<br />
G<br />
b<br />
Portafogli<br />
efficienti a<br />
varianza<br />
minima<br />
Nel caso con “short selling”, considerate n possibilità a ren<strong>di</strong>mento aleatorio, scelto il<br />
<strong>portafoglio</strong> efficiente b si può valutare il <strong>portafoglio</strong> ortogonale ad esso, detto<br />
<strong>portafoglio</strong> a , utilizzando il vertice G.<br />
L’interpretazione geometrica <strong><strong>del</strong>la</strong> proprietà <strong>di</strong> ortogonalità è descritta nella figura<br />
precedente. Dato il <strong>portafoglio</strong> b posizionato sul tratto <strong>di</strong> frontiera efficiente, il <strong>portafoglio</strong><br />
ortogonale si determina tracciando una retta passante per i portafogli b, quello scelto, e G<br />
(<strong>portafoglio</strong> a varianza minima globale). Il punto <strong>di</strong> intersezione <strong><strong>del</strong>la</strong> retta, passante per b<br />
e G, con l’asse dei ren<strong>di</strong>menti attesi identifica il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> a.<br />
ortogonale al <strong>portafoglio</strong> b. Una volta valutato R a si determina lo scarto associato con la<br />
verticale su R ache in<strong>di</strong>vidua l’unico <strong>portafoglio</strong> dominato a varianza minima.<br />
E’ interessante notare che se il <strong>portafoglio</strong> dato si trova sul tratto <strong>di</strong> frontiera dei<br />
portafogli efficienti a varianza minima allora il relativo <strong>portafoglio</strong> ortogonale si trova sul<br />
tratto <strong>di</strong> frontiera inefficiente. E’ pertanto <strong>di</strong>mostrato che non possono esistere due<br />
portafogli efficienti tra loro ortogonali.<br />
R p
4<br />
ANALISI DEL PORTAFOGLIO<br />
IN PRESENZA DI TITOLI O BUSINESS<br />
A RENDIMENTO ALEATORIO,<br />
INVESTIMENTI E FINANZIAMENTI<br />
A TASSO CERTO<br />
E’ noto che ogni mercato (per esempio il mercato azionario, l’obbligazionario, il<br />
valutario, l’assicurativo quotato e no, l’automobilistico quotato e no, l’elettronico quotato e<br />
no) è inserito nel più grande mercato, omnicomprensivo, detto globale, nazionale o<br />
sovranazionale.<br />
Se ci fermiano, per como<strong>di</strong>tà, al mercato nazionale, si sa che ogni mercato ha:<br />
− più possibilità a ren<strong>di</strong>mento certo (imperfezione <strong>del</strong> mercato) lucrabile in una certa<br />
unità temporale e che fra queste si deve razionalmente scegliere solo quella a<br />
ren<strong>di</strong>mento massimo;<br />
− molte, spesso moltissime, possibilità a ren<strong>di</strong>mento-rischio <strong>di</strong>versi;<br />
− molte possibilità <strong>di</strong> indebitarsi a tasso certo (imperfezione <strong>del</strong> mercato); fra queste<br />
deve interessare solo quella a tasso più basso.<br />
Quin<strong>di</strong> il mercato-<strong>portafoglio</strong> nazionale azionario, obbligazionario, valutario, assicurativo,<br />
automobilistico, elettronico, tutti a ren<strong>di</strong>mento aleatorio, non bastano a formare il mercato<br />
globale-nazionale perchè esiste e opera, in competizione, anche l’alternativa <strong>di</strong><br />
investimento a ren<strong>di</strong>mento certo e quella <strong>di</strong> finanziamento a tasso certo che devono essere<br />
inserite nei mo<strong>del</strong>li formali stu<strong>di</strong>ati perchè ogni operatore può investire ed indebitarsi a<br />
questi tassi.<br />
4.1. Portafogli efficienti (frontiera efficiente) nel caso <strong>di</strong> n-1 titoli o business a<br />
ren<strong>di</strong>mento aleatorio ed un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo<br />
Il problema <strong>di</strong> minimizzazione nella Z4 torna utile in questa nuova fase che utilizza il<br />
teorema detto <strong>di</strong> Separazione47 .<br />
La presenza <strong>di</strong> un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo48 accanto ad altri a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
semplifica notevolmente il calcolo <strong><strong>del</strong>la</strong> nuova frontiera efficiente.<br />
L'investitore infatti, come già visto, sceglierà il tratto <strong>di</strong> retta che, partendo da Rf tange la frontiera efficiente <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> composto dai soli titoli rischiosi. Il Teorema <strong>di</strong><br />
Separazione afferma che: "l'ammontare investito in ogni singolo titolo rischioso è una<br />
quota costante <strong>del</strong>l'ammontare totale investito in titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio pur al<br />
variare <strong><strong>del</strong>la</strong> propensione al rischio" 49.<br />
Si supponga che esistano un titolo a ren<strong>di</strong>mento non rischioso ed n-1 titoli a ren<strong>di</strong>mento<br />
aleatorio e sia:<br />
R1 = Rf; σ1i = σ i1<br />
= 0; ∀ i= 12 , ,..., n.<br />
47 Vedasi l’appen<strong>di</strong>ce al Cap. 3 e SHARPE W.F., 1964, op. cit.<br />
48 Questo caso corrisponde a quello in cui vi sia perfetta correlazione lineare negativa tra due titoli a<br />
ren<strong>di</strong>mento aleatorio (in quanto è possibile trovare almeno una combinazione <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> che annulli il<br />
rischio).<br />
49 SHARPE.W.F., Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw Hill Book Co., N.Y., 1970.<br />
54
A partire da queste informazioni, il sistema da risolvere è dato da:<br />
M x b<br />
⎡0<br />
⎢0<br />
⎢:<br />
⎢<br />
⎢0<br />
⎣⎢<br />
1<br />
0<br />
σ22 :<br />
σn2 1<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
0<br />
σ2n<br />
:<br />
σnn<br />
1<br />
−1⎤⎡x1⎤<br />
⎡µ<br />
R f ⎤<br />
−1⎥⎢⎥<br />
⎢<br />
x<br />
⎢<br />
2⎥⎢ µ R<br />
⎥<br />
2⎥<br />
: ⎥ ⎢ : ⎥ = ⎢ : ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
−1⎥⎢xn⎥⎢µ<br />
R n ⎥<br />
0 ⎣<br />
⎢<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢ 1 ⎦<br />
⎥<br />
⎦⎥<br />
λ S<br />
Esso permette <strong>di</strong> trovare subito il valore <strong>del</strong>l'incognita:<br />
che, sostituito nel sistema <strong>di</strong> equazioni, dà:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
un sistema <strong>di</strong> n equazioni ed n incognite.<br />
λ S =-µ R f<br />
M x b<br />
0 σ22 σ x<br />
2 1 µ<br />
n⎤<br />
⎡ ⎤ ⎡ ( R2−Rf) ⎤<br />
⎢<br />
:<br />
:<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
:<br />
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎥<br />
0 σ 2 σ ⎢x<br />
1 µ<br />
n nn n−<br />
⎥ ⎢ ( Rn − Rf<br />
) ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢<br />
⎥<br />
1 1 ... 1 ⎣ x n ⎦ ⎣⎢<br />
1 ⎦⎥<br />
⎦<br />
Questo sistema può essere ulteriormente semplificato trascurando la prima colonna e<br />
l'ultima riga. Esse infatti servono solo a determinare l'incognita x 1 , che può essere calcolata<br />
per <strong>di</strong>fferenza dopo aver determinato i valori <strong>del</strong>le altre x i ; essa assumerà il valore che farà<br />
rispettare il vincolo <strong>di</strong> bilancio (<strong>di</strong> somma 1).<br />
Ricordando che le xi possono assumere qualunque valore, positivo, negativo o nullo, il<br />
sistema <strong>di</strong>venta<br />
⎡σ22<br />
⎢ :<br />
⎢σn2<br />
M<br />
...<br />
...<br />
...<br />
x b<br />
σ µ<br />
2 2 ( 2 )<br />
n⎤<br />
⎡x<br />
⎤ ⎡ R − Rf⎤<br />
⎢<br />
: :<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥<br />
:<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢ ⎥<br />
σ x µ ( )<br />
nn⎥⎣⎢n⎦⎥⎣ ⎢ Rn − Rf<br />
⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
Il vettore soluzione <strong>di</strong> questo sistema <strong>di</strong> n-1 incognite ed n-1 equazioni è<br />
x = M b= M<br />
−1 −1<br />
⎦<br />
⎡R2<br />
− Rf⎤<br />
⎧x2<br />
= g2µ<br />
⎢ ⎥ ⎪<br />
⎢<br />
:<br />
⎥<br />
µ ⇒ ⎨:<br />
⎣<br />
⎢R<br />
− R ⎦<br />
⎥ ⎪<br />
n f ⎩x<br />
n = g nµ<br />
Ciò porta <strong>di</strong>rettamente al Teorema <strong>di</strong> Separazione, il quale afferma che se:<br />
55
n<br />
⎛ ⎞<br />
1) l'unico vincolo <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> ottimizzazione è quello <strong>di</strong> bilancio ⎜∑<br />
xi = 1⎟<br />
;<br />
⎝ i=<br />
1 ⎠<br />
2) esiste la possibilità <strong>di</strong> investimento e indebitamento non rischioso al tasso R f ;<br />
allora:<br />
− la quota <strong>di</strong> investimento rischioso in un <strong>portafoglio</strong> è pari a<br />
−<br />
n<br />
n<br />
∑ xi = µ ∑ gi<br />
i=<br />
2 i=<br />
2<br />
− la quota investita in ciascun titolo a ren<strong>di</strong>mento aleatorio è pari a:<br />
che non <strong>di</strong>pende da µ..<br />
xi<br />
µ gi<br />
gi<br />
= =<br />
n<br />
n<br />
n<br />
∑xiµ ∑gi∑g i=<br />
2 i=<br />
2 i=<br />
2<br />
In altre parole: il mix <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> rischioso efficiente è uguale per tutti gli<br />
investitori e non è influenzato dal loro <strong>di</strong>verso grado <strong>di</strong> propensione al rischio.<br />
Il parametro µ influisce invece sulla ripartizione <strong>del</strong> capitale <strong>di</strong>sponibile tra<br />
investimento rischioso e non rischioso, che sarà pari a<br />
n<br />
x = 1− µ g poichè x = 1−x<br />
1<br />
∑ ∑<br />
i<br />
i=<br />
2 i=<br />
2<br />
Il Teorema <strong>di</strong> Separazione è a base <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali<br />
denominato Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong> (CAPM) 50.<br />
4.2. Alcune simulazioni<br />
Considerando:<br />
− i cinque titoli o business A, B, C, D, E a ren<strong>di</strong>mento aleatorio;<br />
− la possibilità <strong>di</strong> investire in un'attività T con ren<strong>di</strong>mento certo R f =8;<br />
con ∑xi=1 e xi≥0;<br />
allora:<br />
− i ren<strong>di</strong>menti-rischi degli infiniti portafogli fattibili sono rappresentati in Fig. 21;<br />
− i ren<strong>di</strong>menti-rischi <strong>del</strong>le scelte efficienti sono in Fig. 22 e dati dall'unione <strong>del</strong><br />
segmento TU con la curva UD.<br />
50 Ve<strong>di</strong> nota 15.<br />
56<br />
n<br />
i<br />
i<br />
1
Fig. 21: Regione ren<strong>di</strong>menti-rischi degli infiniti portafogli fattibili (0≤xi ≤1) con sei<br />
business, <strong>di</strong> cui: cinque a ren<strong>di</strong>mento aleatorio e uno a ren<strong>di</strong>mento certo.<br />
Il <strong>portafoglio</strong> U è quello in<strong>di</strong>viduato dalla semiretta uscente da T e tangente alla curvafrontiera<br />
efficiente calcolata considerando solo i titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio, Fig. 18. Esso<br />
ha ren<strong>di</strong>mento atteso R U =15.43 e σ U=0.82 ed è così composto:<br />
7.08% <strong>di</strong> A 0 <strong>di</strong> B 25.44% <strong>di</strong> C 24.32% <strong>di</strong> D 43.16% <strong>di</strong> E<br />
Fig. 22: Scelte efficienti, con 0≤xi ≤1, date dall'unione <strong>del</strong> segmento TU con la curva UD<br />
Il decisore può decidere efficientemente <strong>di</strong> investire:<br />
− o tutto in T con un ren<strong>di</strong>mento certo 8;<br />
− o componendo T con U se è <strong>di</strong>sposto ad accettare un rischio massimo <strong>di</strong> 0.82 o vuole<br />
un ren<strong>di</strong>mento fino a 15.43;<br />
Se, ad esempio, il decisore vuole un <strong>portafoglio</strong> V con σ V =0.5 dovrà:<br />
57
− investire x U = 0.5/0.82 = 0.61 = 61% <strong>del</strong> suo capitale in U;<br />
− e quin<strong>di</strong> il restante 39% in T;<br />
ottenendo R V = 15.43 × 0.61 + 8 × 0.39 = 12.53.<br />
V è composto: 39% <strong>di</strong> T, 4.31% <strong>di</strong> A, 15.52% <strong>di</strong> C, 14.84% <strong>di</strong> D e 26.33% <strong>di</strong> E<br />
dove i pesi <strong>di</strong> A, C, D, E sono il 61% dei rispettivi pesi con cui compaiono in U.<br />
− o in portafogli che non contengono T e dati dalla frontiera efficiente con le sole<br />
alternative a ren<strong>di</strong>mento aleatorio, se vuole un ren<strong>di</strong>mento superiore a 15.43 o un<br />
rischio maggiore <strong>di</strong> 0.82.<br />
4.3. Portafogli efficienti (frontiera efficiente) utilizzando sia titoli o business a<br />
ren<strong>di</strong>mento aleatorio sia un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo sia la possibilità <strong>di</strong><br />
indebitamento a tasso certo<br />
Tutte le considerazioni fatte in 4.1. per il titolo a ren<strong>di</strong>mento certo valgono anche per<br />
l’indebitamento a tasso certo. Allora, nel nostro caso guida, dati:<br />
− i cinque titoli o business a ren<strong>di</strong>mento aleatorio;<br />
− la possibilità <strong>di</strong> investire in T con ren<strong>di</strong>mento certo R fc = 8 e prendere a prestito in T<br />
a tasso certo R fd =8;<br />
allora, la frontiera efficiente è la semiretta uscente da T e tangente in U, Fig. 23.<br />
Fig. 23: Frontiera efficiente uscente da T, possibilità <strong>di</strong> investimento e <strong>di</strong> finanziamento a<br />
tasso certo R fc = R fd = 8, e tangente in U. I punti sulla semiretta da U in poi identificano i<br />
portafogli ottenuti indebitandosi e sovrainvestendo sempre nel <strong>portafoglio</strong>, mix <strong>di</strong><br />
business, U<br />
Il decisore può decidere efficientemente <strong>di</strong> investire:<br />
− o tutto in T, con un ren<strong>di</strong>mento certo 8;<br />
− o componendo T con U, se vuole un rischio maggiore <strong>di</strong> zero e inferiore a 0.82 o vuole<br />
un ren<strong>di</strong>mento atteso inferiore a 15.43 e maggiore <strong>di</strong> 8;<br />
− o tutto in U se vuole un rischio 0.82 o un ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> 15.43;<br />
− o tutto, capitale proprio più capitale a debito, in U finanziandosi in T a tasso certo 8, se<br />
vuole un ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore <strong>di</strong> 15.43 o un rischio maggiore <strong>di</strong> 0.82.<br />
58<br />
Fig
Si verifica l’effetto leva <strong>del</strong>l’indebitamento: indebitandosi aumenta il ren<strong>di</strong>mento, ma<br />
anche il rischio <strong>del</strong>l’investimento, secondo una relazione lineare.<br />
Poichè il nostro sistema finanziario non opera con Rfc=Rfd , purtroppo, ma con Rfc
− ren<strong>di</strong>mento lordo <strong>di</strong> lire 22.397628, costo <strong>del</strong>l'indebitamento <strong>di</strong> 2.397628, quin<strong>di</strong> un<br />
ren<strong>di</strong>mento netto <strong>di</strong> 20 e σΩ valutabile utilizzando l’equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> semiretta uscente<br />
da (13, 0) e tangente alla frontiera efficiente <strong>del</strong>le sole attività a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
nel punto Z:<br />
⎧0=<br />
a+ 13b<br />
⎨<br />
⎩145<br />
. = a+ 1891 . b<br />
145 . − 0 = a− a+ ( 18. 91−13) b<br />
b = 0. 245347<br />
a =−3189511<br />
.<br />
σ =− 1189511 . + 0. 245347R<br />
p p<br />
da cui si ha:<br />
σ<br />
p<br />
=− 1189511 . + 0. 245347 ⋅ 20 = 1717429 . ≅172<br />
.<br />
È facile verificare che il titolo D ha ren<strong>di</strong>mento atteso 20 e rischio 1.85 e che potendo<br />
indebitarsi a tasso R fd =13 si può ottenere il <strong>portafoglio</strong> Ω che ha stesso ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> D<br />
e rischio 1.72: Ω domina D per rischio. Quin<strong>di</strong>, lavorando con capitale a debito si riesce<br />
a migliorare l’efficienza <strong>del</strong>l’investimento.<br />
Fig. 25: Soluzione efficiente Ω con ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> 20 indebitandosi a tasso certo<br />
R fd =13 e investendo tutto nel <strong>portafoglio</strong> Z.<br />
60
SIMULAZIONI<br />
1) Si considera il caso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> composto dai tre business B, D, E e si suppone inoltre la<br />
possibilità <strong>di</strong> investire in un titolo con ren<strong>di</strong>mento certo pari a 8. Si in<strong>di</strong>ca la quota da investire nel titolo a<br />
ren<strong>di</strong>mento certo x0<br />
⎛0<br />
0 0 0 −1⎞⎛x0⎞<br />
⎛ R f ⎞<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0<br />
4 11429 . 11429 . −1⎟<br />
⎜ x1<br />
⎟ ⎜ R1<br />
⎟<br />
Mx = b ⇒⎜0<br />
11429 . 3. 4286 01429 . −1⎟<br />
⎜ x ⎟ = ⎜ ⎟<br />
2 µ R 2<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0<br />
11429 . 01429 . 11429 . −1⎟<br />
⎜ x 3 ⎟ ⎜ R 3 ⎟<br />
⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝1<br />
1 1 1 0⎠⎝λ⎠ ⎝ 1 ⎠<br />
che <strong>di</strong>venta<br />
x M 1<br />
⎛ R1−Rf⎞⎛ 4 11429 . 11429 . ⎞<br />
− ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
= ⎜ R2−Rf⎟µ = ⎜11429<br />
. 3. 4286 01429 . ⎟<br />
⎜<br />
⎝ − ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
R R ⎠ ⎝11429<br />
. 01429 . 11429 . ⎠<br />
3<br />
f<br />
61<br />
−1<br />
s<br />
⎛15<br />
− 8⎞<br />
⎛−00725<br />
. ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜20<br />
− 8⎟<br />
05 . = ⎜ 17071 . ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝12<br />
− 8⎠<br />
⎝ 16090 . ⎠<br />
Si deve ora determinare la quota <strong>di</strong> capitale da investire o prendere a prestito al tasso certo affinchè sia<br />
rispettato il vincolo <strong>di</strong> bilancio, data la propensione al rischio 0.5.<br />
Dato x1 + x2 + x3<br />
= − 0. 0725 + 17071 . + 16090 . = 3. 2436<br />
Dovrà essere x0 = 1− 3. 2436 =−2.<br />
2436 , quantitá da prendere a prestito al tasso certo.<br />
2) Si consideri ora il <strong>portafoglio</strong> composto utilizzando i cinque business A, B, C, D, E e con le ipotesi<br />
formulate nel precedente esempio:<br />
x M 1<br />
⎛ R1−Rf⎞⎛ 2 −0. 4286 2. 2857 01429 . −0.<br />
2857⎞<br />
⎛ 7 ⎞ ⎛ 00385 . ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ R2−Rf⎟⎜−0. 4286 4 −0.<br />
2857 11429 . 11429 . ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜−0.2168⎟<br />
−<br />
= ⎜ R − R ⎟ = ⎜ − − ⎟ ⎜ ⎟ =<br />
⎜ 3 f µ 2. 2857 0. 2857 2. 8571 0. 7143 0. 5714 9 µ ⎜ 34645 . ⎟µ<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ R4−Rf⎟⎜ 01429 . 11429 . 0. 7143 3. 4286 01429 . ⎟ ⎜12⎟<br />
⎜ 2. 6351 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ R − R ⎠ ⎝−0.<br />
2857 11429 . −0.<br />
5714 01429 . 11429 . ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 51289 . ⎠<br />
5<br />
⎛ 0. 0193 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜−01084<br />
. ⎟<br />
Si avrà, dato µ = 0.5, ⎜ 17323 . ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 13175 . ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2. 5645 ⎠<br />
f<br />
Per rispettare il vincolo <strong>di</strong> bilancio l'investitore dovrà prendere a prestito al tasso certo l'importo 4.5251.<br />
−1
ROI, ROE E SOSTENIBILITA' DEI DEBITI<br />
5.1. Valore atteso e varianza <strong>di</strong> ROI e ROE<br />
Giunti ad una buona conoscenza <strong>del</strong> criterio E-V si ritiene interessante inserire il presente<br />
capitolo per mostrare come tale criterio risulti utile anche nella gestione, non solo<br />
finanziaria, <strong>di</strong> una azienda, dove la variabile casuale non è più il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo<br />
bensì il roi (return on investment) oppure il roe (return on equity) <strong>del</strong>l'azienda vista come<br />
<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> prodotti.<br />
Il roe è definito, utilizzando parametri deterministici, cioè valori certi e costanti, da:<br />
roe = roi + L(roi-c)<br />
con:<br />
L rapporto tra quota <strong>di</strong> capitale <strong>di</strong> terzi e capitale investito (leva finanziaria);<br />
c rapporto interessi passivi/capitale <strong>di</strong> terzi;<br />
roi>c.<br />
Il ricorso all'indebitamento permette alle aziende <strong>di</strong> aumentare il ren<strong>di</strong>mento sul capitale<br />
proprio, roe, attraverso l'effetto leva, posto che il tasso a debito, c (me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
ponderata <strong>di</strong> più tassi certi), sia minore <strong>del</strong> tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento degli investimenti, roi.<br />
Nel caso in cui l'azienda non ricorra all'indebitamento si ha L=0 e, naturalmente,<br />
roi=roe.<br />
Viste queste premesse è lecito chiedersi ed in molte aziende ci si chiede:<br />
− quanto e come aumenta il rischio aziendale al variare <strong>del</strong> grado <strong>di</strong> indebitamento?<br />
− qual'è il tasso massimo a debito che l'azienda può razionalmente sostenere?<br />
− esiste una struttura finanziaria-produttiva efficiente?<br />
Tali quesiti rimangono spesso irrisolti poichè nella realtà operativa c'è scarsa<br />
consapevolezza che le con<strong>di</strong>zioni in cui operano le aziende si possano tradurre in termini<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> probabilità <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile casuale ren<strong>di</strong>mento, roe o roi, o <strong>di</strong> suoi in<strong>di</strong>ci<br />
sintetici quali valore atteso, varianza ed altri momenti51 .<br />
Poichè tutti devono ammettere che roe e roi non possono trattarsi come deterministici, si<br />
propone l’utilizzo <strong>del</strong> criterio E-σ proposto da Markowitz per stu<strong>di</strong>are le variabili aziendali<br />
roi e roe come trasformazione <strong>di</strong> quelle <strong>di</strong> prodotto o business.<br />
Il <strong>portafoglio</strong> che deve essere composto è quello <strong>di</strong> una generica azienda che operi con n<br />
business (prodotti, aree d'affari). Consideriamo il generico k-esimo <strong>portafoglio</strong> così<br />
caratterizzato:<br />
dove:<br />
E roi : valore atteso <strong>del</strong> roi <strong>del</strong> mix k;<br />
( )<br />
k<br />
62<br />
5<br />
n<br />
k = ∑ k i i<br />
i=<br />
1<br />
( ) x ( )<br />
E roi E roi<br />
k i x : quota <strong>di</strong> capitale destinata all'i-esimo business nel mix k, dove ∑ kx<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
= 1, con<br />
0≤ x ≤1;<br />
k i<br />
51 TREGLIA B., ROSSI F.A., "Il Criterio Me<strong>di</strong>a-Varianza nelle Scelte Finanziarie con Costo <strong>del</strong> Capitale Certo<br />
o Aleatorio", Il Risparmio, n 6, 1991.<br />
n
Eroi ( i ) : valore atteso <strong>del</strong> roi <strong>del</strong>l'i-esimo business;<br />
n n<br />
σ( kroi ) = k xi kx jσ( roi i) σ( roi j)<br />
ρij<br />
i j<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢∑∑<br />
⎥<br />
⎣ = 1 = 1<br />
⎦<br />
dove:<br />
σ k roi scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> roi <strong>del</strong> mix k;<br />
( )<br />
σ( roii ) scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> roi <strong>del</strong>l'i-esimo business;<br />
ρij coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare tra i roi <strong>del</strong>l'i-esimo e j-esimo business.<br />
Si ricorda che σ( roii ) σ( roi j ) ρij σ(<br />
roiij<br />
)<br />
= è:<br />
−la covarianza <strong>del</strong> roi <strong>del</strong>l'i-esimo business con quello <strong>del</strong> j-esimo se i≠j<br />
−la varianza <strong>del</strong> roi <strong>del</strong>l'i-esimo business se i=j.<br />
5.2. Ipotesi <strong>di</strong> indebitamento a tasso certo e <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento aleatorio dei business:<br />
scelte possibili<br />
Nell'ipotesi <strong>di</strong> tasso certo <strong>del</strong>l'indebitamento, si propone <strong>di</strong> valutare il tasso massimo<br />
che l'azienda può sostenere utilizzando la frontiera efficiente <strong>del</strong> roe aziendale ed il<br />
Teorema <strong>di</strong> Separazione già visto in Cap. 3 e Cap. 4. In questo caso il decisore potrà<br />
scegliere tra infiniti livelli <strong>di</strong> indebitamento senza mo<strong>di</strong>ficare il mix efficiente <strong>di</strong><br />
investimenti/prodotti.<br />
Se il tasso dei debiti c è certo, allora il valore atteso <strong>del</strong> roe <strong>del</strong> mix k E( roe)<br />
63<br />
12 /<br />
( )<br />
k è una<br />
combinazione lineare tra una variabile aleatoria E( kroii ) ed una grandezza costante c:<br />
E( kroe) = E( kroi) + kL[ E( kroi)<br />
−c]<br />
= E( kroi) + kLE( kroi) −kLc<br />
= ( 1+<br />
LE ) ( roi) −cL<br />
dove:<br />
E( k roe)<br />
valore atteso <strong>del</strong> roe <strong>del</strong> mix k;<br />
k k k<br />
c tasso (me<strong>di</strong>o ponderato) certo dei debiti, con c ≥0;<br />
k L quota <strong>di</strong> indebitamento <strong>del</strong>l'azienda investita nel mix k, con kL≥0<br />
Lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> roe <strong>del</strong> k-esimo mix, σ( k roe ) , finanziato con un grado<br />
<strong>di</strong> indebitamento pari k L sarà dato da:<br />
σ( roe) = σ(<br />
roi)( 1 + L)<br />
= σ( roi) + Lσ( roi)<br />
k k k<br />
k k k<br />
In assenza <strong>di</strong> indebitamento, L = 0 ⇒ σ( roe) = σ ( roi)<br />
k k k<br />
Quest'ultima relazione mostra che in tale contesto σ(roe), dato σ(roi), cresce<br />
linearmente al crescere <strong>di</strong> L.<br />
Il decisore è chiamato ad affrontare i seguenti due problemi:<br />
1) in quale <strong>portafoglio</strong> rischioso investire/produrre, tra gli infiniti possibili;<br />
2) quale grado <strong>di</strong> leva finanziaria adottare.<br />
Con il Teorema <strong>di</strong> Separazione si <strong>di</strong>mostra che:<br />
a) la composizione <strong>del</strong> mix rischioso è in<strong>di</strong>pendente dal grado <strong>di</strong> leva finanziaria;
) l’intensità <strong><strong>del</strong>la</strong> leva finanziaria <strong>di</strong>pende dal profilo<br />
( E( kroi) ; σ( kroi) ) = ( E( kroe) ; σ(<br />
kroe)<br />
) , con L = 0, <strong>del</strong> mix <strong>di</strong> business, scelto per<br />
leverare.<br />
σ(roe)<br />
2.25<br />
1.69<br />
c = 8<br />
17<br />
64<br />
Profilo<br />
ren<strong>di</strong>mento-rischio per l’azienda<br />
che voglia ulteriormente indebitarsi<br />
al tasso certo <strong>del</strong>l’8%<br />
Profilo (20, 2.25) per l’azienda che<br />
può indebitarsi a tasso certo 8%<br />
e voglia un L= 0.3333<br />
E(roe)<br />
Ren<strong>di</strong>mento rischio<br />
<strong>del</strong>l’azienda non leverata<br />
Fig. 26: L’azienda non indebitata che operi con un E(roe)=17%=E(roi) e<br />
σ(roe)=1.69%=σ(roi), avendo la possibilità <strong>di</strong> indebitarsi a tasso certo <strong>del</strong>l’8% se vuole<br />
un E(roe)=20% deve indebitarsi secondo: 8%(-L)+(1+L)17%=20% da cui L=0.3333.<br />
σ(roe) sarà: σ(roe)=σ(roi)(1+L)=1.69%⋅1.3333=2.2533%.<br />
Sostituendo (1+ k L ) con<br />
σ<br />
σ<br />
( k roe)<br />
( roi)<br />
k<br />
, la determinazione <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong> roe <strong>di</strong>venta:<br />
( k roe)<br />
( roi)<br />
E( kroe) = c+ [ E( kroi)<br />
−c] k<br />
σ<br />
σ<br />
In questa espressione <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong> roe <strong>del</strong> k-esimo mix <strong>di</strong> business, mix <strong>di</strong><br />
prodotti, d’azienda, il leverage kL non compare e si è <strong>di</strong>mostrato l'asserto a), concordando<br />
con quanto esposto da Mo<strong>di</strong>gliani-Miller52. 5.2.1 Scelte efficienti<br />
Valutiamo ora in quale <strong>portafoglio</strong> rischioso investire/produrre in modo efficiente. Le<br />
due determinazioni <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong> roe viste sopra presuppongono <strong>di</strong> aver calcolato i<br />
parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente dei business aleatori <strong>del</strong>l'azienda. Tale frontiera<br />
efficiente é ottenibile risolvendo il seguente problema <strong>di</strong> programmazione quadratica<br />
Eroe *<br />
, si cerca il <strong>portafoglio</strong> a<br />
( )<br />
parametrica in cui, fissato un roe atteso desiderato ( )<br />
rischio minimo:<br />
52 MODIGLIANI F., MILLER M., The cost of Capital,Corporation Finance and The Theory of Investment, in<br />
American Economic Review, June 1958;<br />
MODIGLIANI F., MILLER M., Dividend Policy, Growth and the Valuation of Shares, in Journal of Business,<br />
October 1961.
⎧<br />
n n<br />
2<br />
⎪min<br />
σ ( kroe ) = ∑ ∑ kxi kxj σ( roei) σ( roe j)<br />
ρ<br />
x i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎪<br />
*<br />
⎨∑<br />
kxE i ( roei ) = E(<br />
roe)<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
⎪∑<br />
kxi = 1<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎩<br />
⎪0≤kxi<br />
≤1 ∀i:<br />
12 , ,........, n<br />
Il primo vincolo è in riferimento al roe atteso desiderato, il secondo è il già noto vincolo<br />
<strong>di</strong> bilancio, mentre il terzo riguarda i vincoli economico-strutturali, interni ed esterni<br />
all'azienda, sulle variabili decisionali che non possono essere negative.<br />
Nello spazio E-σ la frontiera efficiente è definita (ve<strong>di</strong> paragrafo 3.3) da:<br />
dove a 2<br />
≥ 0 .<br />
( 0 1 ( ) 2 ( ) )<br />
σ( roe) = a + a E roe + a E roe<br />
Conoscendo la frontiera valutata solo sui business rischiosi (tratto <strong>di</strong> curva U nella Fig.<br />
27) è possibile trovare il <strong>portafoglio</strong> rischioso (punto H in Fig. 27) in cui si deve investire<br />
una volta noto il tasso (me<strong>di</strong>o ponderato) certo c dei debiti. Esso è il <strong>portafoglio</strong> che<br />
massimizza il premio <strong>di</strong> rischio e viene identificato dal punto <strong>di</strong> tangenza tra una semiretta,<br />
tra le infinite uscenti dal punto c, e la frontiera efficiente <strong>del</strong>le sole attività rischiose. Si<br />
<strong>di</strong>mostra che questa semiretta ha la minima pendenza ovvero garantisce il massimo premio<br />
<strong>di</strong> rischio: essa è la nuova frontiera efficiente (semiretta H in Fig. 27), la frontiera<br />
efficiente <strong>del</strong> roe aziendale.<br />
65<br />
2<br />
/ 12<br />
Il mo<strong>del</strong>lo (ve<strong>di</strong> sub b) però non spiega analiticamente la scelta <strong>del</strong> decisore <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
E roe ; σ roe , informazione necessaria per determinare l'intensità <strong><strong>del</strong>la</strong> leva.<br />
( k k )<br />
coppia ( ) ( )<br />
Per valutare questa si dovrebbe ricorrere anche ad altre tecniche come l’in<strong>di</strong>fferenza in<br />
E-σ associata alla utilità attesa <strong>del</strong> decisore (per cui si rimanda al Cap. 8)<br />
ij
σ(roe)<br />
c = 8<br />
U<br />
H<br />
66<br />
H<br />
E(roe)<br />
insieme efficiente dei<br />
punti [E(roe), σ(roe)]<br />
configurabili per<br />
<strong>di</strong>versi gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> leva<br />
finanziaria<br />
Fig. 27: La semiretta H è la frontiera efficiente <strong>del</strong> roe aziendale nel caso in cui i debiti<br />
abbiano tasso certo c=8 ed il decisore abbia ren<strong>di</strong>menti aleatori <strong>di</strong> prodotti con portafogli<br />
efficienti descritti dalla curva U.<br />
5.2.2 Tasso massimo <strong>di</strong> indebitamento razionalmente sostenibile dall'azienda<br />
Dopo aver definito la frontiera efficiente si può dare una risposta al problema,<br />
convenzionalmente denominato <strong><strong>del</strong>la</strong> "sostenibilità" ovvero <strong>di</strong> quale sia il tasso certo<br />
massimo che l'azienda può economicamente (razionalmente) sostenere.<br />
Mentre nel problema precedente (5.2.1) il tasso c è noto, ora esso è preso come<br />
incognita. Si propone <strong>di</strong> calcolarlo trovando l'intersezione con l'asse <strong>del</strong>le ascisse <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
retta tangente la frontiera efficiente nel suo estremo superiore; nel nostro caso l'estremo<br />
superiore è anche il massimo. Si ricorda infatti che la frontiera efficiente è una funzione<br />
continua ovunque definita in un intervallo chiuso e limitato: ciò garantisce la presenza <strong>di</strong><br />
un minimo e <strong>di</strong> un massimo assoluti i quali sono anche unici visto che la funzione è<br />
strettamente crescente. Nell'intervallo, quin<strong>di</strong>, la funzione <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente, sopra<br />
definita, ha una tangente con pendenza massima nel suo estremo superiore. L'intersezione<br />
<strong>di</strong> tale tangente con l'asse dei ren<strong>di</strong>menti identifica il tasso certo massimo sostenibile.<br />
Se per un'azienda è pari a maxc , è ancora possibile trovare un mix rischioso efficiente in<br />
cui investire (produrre, vendere); esso è caratterizzato dalla terna<br />
( E( max roe) ; σ( max roe)<br />
; max σ ' ) dove max σ ' è la derivata <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente così<br />
calcolata:<br />
dσ( roe)<br />
a1 + a2E( roe)<br />
=<br />
dE( roe)<br />
2 [ a0 + a1E( roe) + a2( E( roe))<br />
]<br />
12<br />
2<br />
2<br />
e valutata nel suo punto <strong>di</strong> massimo.<br />
Se invece l'azienda ricorre a debiti ad un tasso c con c> max c non esiste più alcun<br />
<strong>portafoglio</strong> efficiente in cui poter investire. La semiretta uscente da un punto c scelto<br />
maggiore <strong>di</strong> max c non può più tangere la frontiera efficiente nel suo estremo superiore.<br />
Essa può solo secare tale funzione venendo così a determinare un insieme inefficiente.<br />
L'intersezione con l'asse <strong>del</strong>le ascisse <strong><strong>del</strong>la</strong> semiretta tangente alla frontiera efficiente<br />
E roe ; σ roe si ha in:<br />
( k k )<br />
nel punto ( ) ( )
( roe)<br />
⎛ σ k ⎞<br />
⎜ E( k roe)<br />
− ;0 ⎟<br />
⎝<br />
k σ′<br />
⎠<br />
Infatti, dato il coefficiente angolare <strong><strong>del</strong>la</strong> retta tangente il generico <strong>portafoglio</strong> k k σ ' e<br />
il generico punto ( E( kroe) ; σ ( kroe)<br />
) si può determinare l'equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> retta attraverso<br />
la formulazione generale <strong>di</strong> una retta dato il coefficiente angolare ed un punto (x0,y0): y− y0 = m( x−x0) che nel nostro caso, dato:<br />
y = σ, y0= σ( kroe) , m=<br />
kσ<br />
'<br />
x = R , x0= E( k roe)<br />
<strong>di</strong>venta<br />
σ− σ ( roe) = σ '( R − E( roe ))<br />
k k k<br />
σ = kσ'( R − E( kroe)) + σ ( kroe)<br />
Si trova l'intersezione con l'asse <strong>del</strong>le or<strong>di</strong>nate per R =0 che si ha nel punto:<br />
σ = σ ( kroe) − kσ' E( kroe<br />
)<br />
Da cui, ricordando l'equazione generale <strong><strong>del</strong>la</strong> retta y=mx+q, si ha l'equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> retta<br />
tangente:<br />
σ = kσ' R + σ ( kroe) −kσ<br />
' E( kroe)<br />
In σ = 0 si trova il valore <strong>di</strong> R in cui la retta interseca l'asse <strong>del</strong>le ascisse<br />
0 = kσ ' R + σ ( kroe) −kσ<br />
' E( kroe)<br />
da cui<br />
σ(<br />
k roe)<br />
R = E( k roe)<br />
−<br />
k σ '<br />
Se al punto <strong>di</strong> intersezione si sostituisce la terna [ E( max roe) ; σ( max roe)<br />
; max σ′ ] si ottiene<br />
la formulazione <strong>del</strong> tasso massimo sostenibile:<br />
( max roe)<br />
max c = E( max roe)<br />
−<br />
max '<br />
σ<br />
σ<br />
Tale relazione <strong>di</strong>mostra come max c è uguale a E( max roe)<br />
solo se max σ ' tende all'infinito<br />
(oltre al caso banale che il numeratore sia nullo tale per cui σ( max roe ) = 0 ): cioè quando la<br />
frontiera efficiente ha tangente all'estremo superiore praticamente verticale; in questo caso<br />
si ha un premio al rischio nullo: non conviene indebitarsi!<br />
5.2.3 Simulazioni sulla valutazione <strong>del</strong> tasso massimo razionalmente sostenibile<br />
A) Si supponga l'esistenza <strong>di</strong> un'azienda che nel proprio <strong>portafoglio</strong> detenga cinque<br />
business e, per facilitare la comprensione, si considerino i valori dei soliti cinque business<br />
A, B, C, D, E finora utilizzati. Il roe atteso ed il rischio corrispondono ai valori in Tabella<br />
2. Si prendano inoltre in considerazione la loro matrice <strong>di</strong> varianze e covarianze e quella<br />
dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione (Tab. 3 e 4).<br />
Ipotizziamo che sia data la funzione<br />
σ = (183.111 - 19.7778 E(roe)+ 0.539682 (E(roe)) 2 ) 1/2<br />
67
definita fra un roe atteso <strong>di</strong> 19 e 20 e si voglia calcolare il costo massimo sopportabile<br />
nell’ipotesi <strong>di</strong> produrre secondo un <strong>portafoglio</strong> che ha roe atteso 20 e rischio 1.85. Allora,<br />
vista l’ultima equazione <strong>del</strong> paragrafo precedente, si ha:<br />
185 .<br />
c = 20 − = 16. 21<br />
max<br />
0. 48867<br />
cioè, in questa azienda:<br />
− il 16.21% è il tasso certo massimo razionalmente sostenibile come tasso <strong>di</strong><br />
finanziamento;<br />
− se tale azienda si indebita per L=0.5 allora essa avrà:<br />
− E(roe) = 20 (1 + 0.5) - 16.21⋅ 0.5 = 21.8950;<br />
− σ(roe) = 1.851432 (1 + 0.5) = 2.777148.<br />
B) Ve<strong>di</strong>amo ora come si comporta max c al variare <strong><strong>del</strong>la</strong> correlazione tra il roe dei business<br />
prima <strong>di</strong> introdurre vincoli operativi alla scelta degli stessi. Come già mostrato più è<br />
correlato il ren<strong>di</strong>mento dei business, minori sono le possibilità <strong>di</strong> ridurre la rischiosità <strong>del</strong><br />
<strong>portafoglio</strong>. Ne <strong>di</strong>scende che maggiore è la correlazione me<strong>di</strong>a tra i ren<strong>di</strong>menti dei<br />
business, minore è il costo certo massimo sostenibile, a parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni.<br />
Ciò è chiaro anche dalla formulazione <strong>del</strong> max c che mostra come all'aumentare <strong>di</strong> σ e a<br />
parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni si riduce il tasso massimo sostenibile.<br />
In Figura 28 sono riportate le possibili frontiere efficienti ottenibili con i cinque<br />
business al variare <strong><strong>del</strong>la</strong> correlazione tra questi:<br />
− frontiera 1:<br />
calcolata dopo aver posto nella matrice <strong>di</strong> correlazione tutti i ρij = 0, ∀i≠j;<br />
(tasso massimo sostenibile 17%)<br />
− frontiera 2:<br />
calcolata in base alla matrice dei coefficienti <strong>di</strong> correlazione in Tab. 4;<br />
(tasso massimo sostenibile 16.21%)<br />
− frontiera 3:<br />
calcolata dopo aver posto nella matrice <strong>di</strong> correlazione tutti i ρij = 05 . , ∀ i≠j;<br />
(tasso massimo sostenibile 14.49%)<br />
− frontiera 4:<br />
calcolata dopo aver posto nella matrice <strong>di</strong> correlazione tutti i ρij = 07 . , ∀ i≠j;<br />
(tasso massimo sostenibile 11.71%).<br />
Si ricorda che in tutte queste simulazioni il roe atteso aziendale era sempre <strong>del</strong> 20% ed<br />
il rischio <strong>del</strong>l’1.85%.<br />
Come si può vedere in Figura 28, la frontiera 1, calcolata nell'ipotesi che tutti i business<br />
siano non correlati linearmente, permette all'azienda <strong>di</strong> sostenere un tasso massimo certo <strong>di</strong><br />
17. La frontiera 4 permette <strong>di</strong> sostenere, al più, un costo <strong>di</strong> 11.71.<br />
68
Fig. 28: Possibili tassi certi massimi coerentemente sostenibili in presenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>versi<br />
gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> correlazione esistenti fra i ren<strong>di</strong>menti degli stessi cinque business.<br />
5.2.4. L’effetto dei vincoli operativi sul tasso certo massimo sostenibile<br />
La realtà aziendale suggerisce <strong>di</strong> inserire nel mo<strong>del</strong>lo eventuali vincoli strutturali, <strong>di</strong><br />
mercato, <strong>del</strong> tipo: 0≤kαi≤kxi≤kβ i ≤1<br />
∀i: 1, 2 ,........, n,<br />
dove:<br />
kα i:<br />
estremo inferiore dei valori ammissibili per kx i;<br />
kβ i:<br />
estremo superiore dei valori ammissibili per kx i.<br />
Gli effetti ottenibili dall'introduzione <strong>di</strong> tali vincoli sono sintetizzabili nei seguenti tre<br />
punti:<br />
− si riduce l'ampiezza sia <strong>del</strong> dominio sia <strong>del</strong> codominio <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente, rispetto<br />
ad una frontiera calcolata in assenza <strong>di</strong> tali vincoli;<br />
− la frontiera efficiente si localizza nello spazio E-σ in una posizione interna, rispetto ad<br />
una frontiera calcolata in assenza <strong>di</strong> vincoli, cioè, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso, aumenta<br />
il rischio minimo che deve essere assunto (ci si sposta verso l'angolo <strong>di</strong> Nord-Ovest);<br />
− si riduce il numero <strong>di</strong> portafogli d'angolo <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente;<br />
( max ; max ; max )<br />
Visto che max c <strong>di</strong>pende dalla terna E( roe) ( roe)<br />
σ σ ' e, in base a quanto<br />
detto sopra, per i nuovi portafogli componibili si ha che:<br />
E roe<br />
( )<br />
σ( max roe ) aumenta;<br />
max <strong>di</strong>minuisce;<br />
se max σ ′ rimane invariato, come solitamente succede, allora max c sarà inferiore rispetto<br />
a quello valutato in assenza <strong>di</strong> vincoli operativi.<br />
69
5.2.5 Alcune simulazioni <strong><strong>del</strong>la</strong> valutazione <strong>del</strong> tasso certo massimo sostenibile in<br />
presenza <strong>di</strong> vincoli operativi sulle variabili decisionali<br />
Tra le frontiere efficienti viste in Fig. 28, la frontiera numero 2 è calcolata in base ai<br />
coefficienti <strong>di</strong> correlazione riportati in Tab. 4; per la sua determinazione si sono considerati<br />
solo i vincoli 0≤ x i ≤ 1, ∑ x i = 1.<br />
Il punto massimo <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera è D in cui si hanno:<br />
E(roe)=20, σ(roe)=1.85, σ'=0.49 (derivata sinistra). Il tasso massimo sostenibile calcolato<br />
è in 16.21.<br />
Considerando la stessa matrice <strong>di</strong> correlazione, ma imponendo i seguenti vincoli:<br />
⎧005<br />
. ≤ x A ≤015<br />
.<br />
⎪<br />
030 . ≤ x B ≤035<br />
.<br />
⎪<br />
⎨010<br />
. ≤ xC<br />
≤015<br />
.<br />
⎪040<br />
. ≤ xD<br />
≤050<br />
.<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
005 . ≤ x E ≤010<br />
.<br />
si è calcolata la frontiera numero 5, tratto <strong>di</strong> curva assai corto, che in Fig. 29 viene<br />
confrontata con la frontiera 2 <strong><strong>del</strong>la</strong> Fig. 28. Nel punto <strong>di</strong> massimo <strong><strong>del</strong>la</strong> nuova frontiera si<br />
hanno: E(roe)=17.55, σ(roe)=1.30, σ'=0.25. Il tasso massimo sostenibile è <strong>di</strong> 13.32,<br />
inferiore al tasso massimo <strong>di</strong> 16.21 corrispondente alla frontiera 2.<br />
σ(roe)<br />
70<br />
E(roe)<br />
Fig. 29: Confronto fra tasso massimo coerentemente sostenibile in presenza ed assenza<br />
<strong>di</strong> vincoli operativi nel mix dei cinque business.
6<br />
MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO<br />
IL MODELLO DIAGONALE DI SHARPE<br />
Per informare il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> proposto da Markowitz, finora<br />
utilizzato, si deve <strong>di</strong>sporre, nel caso <strong>di</strong> n titoli, <strong>di</strong> 2n+n(n-1)/2 parametri <strong>di</strong> cui:<br />
n ren<strong>di</strong>menti attesi;<br />
n varianze;<br />
n(n-1)/2 , con i≠j coefficienti <strong>di</strong> correlazione lineare ρ ij o covarianze.<br />
È evidente l'elevato costo <strong>del</strong>le attività <strong>di</strong> informazione (<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n 2 ) per fornire i<br />
parametri al mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Markowitz.<br />
Questo è uno dei motivi che hanno favorito la ricerca <strong>di</strong> semplificazioni <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo<br />
stesso. Tra i mo<strong>del</strong>li semplificati proposti verranno analizzati in seguito il mo<strong>del</strong>lo<br />
<strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe e mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci.<br />
6.1 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe<br />
Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe 53 assume che i ren<strong>di</strong>menti dei titoli o business siano<br />
influenzati solo e soltanto da un unico fattore. In pratica Sharpe propone <strong>di</strong> calcolare il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo attraverso una funzione lineare in cui la variabile esogena è data<br />
dall’andamento, variazione, ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un basic underlying factor (trattando azioni,<br />
l'in<strong>di</strong>ce potrebbe essere quello <strong>del</strong> mercato azionario).<br />
6.1.1 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> un titolo<br />
Sharpe ha ipotizzato che il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, con i = 1, 2, 3,...,n, sia dato<br />
da:<br />
Ri = αi + βiI + εi<br />
con:<br />
αi, βi parametri;<br />
componente erratica (unica) <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento con <strong>di</strong>stribuzione Gaussiana e con<br />
ε i<br />
valore atteso ( ε ) = 0 e varianza ( )<br />
E i<br />
Var ε = Q . La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
71<br />
i i<br />
dei titoli è supposta costante lungo tutta la retta.;<br />
I variazione <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato scelto come rappresentativo <strong>del</strong>l'andamento<br />
dei titoli.<br />
Il valore <strong>di</strong> I viene definito da un parametro fissato e da una variabile aleatoria:<br />
I = α n+ 1 + ε n+<br />
1<br />
αn+1 parametro;<br />
εn+1 componente erratica con E( ε n+<br />
1) = 0 e Var( ε n+ 1) = Qn+ 1 = Var( I)<br />
Infatti Var( I) = Var( αn+ 1 + εn+ 1) = Var( αn+ 1) + Var( εn+ 1) + 2Cov(<br />
αn+ 1, εn+<br />
1)<br />
; il primo ed<br />
il terzo addendo sono nulli in quanto (ve<strong>di</strong> sopra) αn+1 é una costante.<br />
Le informazioni necessare all'applicazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale sono quin<strong>di</strong> i parametri<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> retta αi e βi, la varianza Qi <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento dei titoli, il valore atteso <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce<br />
E(I)=α n+1 e la varianza Qn+1 <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce scelto come base <strong>di</strong> riferimento dal decisore. In<br />
53 SHARPE W.F., "Simplifed Mo<strong>del</strong> for Portfolio Analysis", Management Science, Jan.1963.
Fig. 30 si illustrano le relazioni viste sinora. Gli αi e βi identificano la retta che lega i<br />
ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong> titolo i-esimo ai ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce I.<br />
Fig. 30: Relazione tra la variazione <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato e il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo<br />
titolo, con specificazione <strong>del</strong>l'andamento gaussiano <strong><strong>del</strong>la</strong> componente erratica e<br />
<strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato.<br />
Sharpe assume inoltre che:<br />
Cov( ε , ε ) = E ε − E( ε ) ε − E( ε ) = E ε −0 ε − 0 = E ε , ε = Q = 0<br />
[ ( )( ) ] [ ( )( ) ] ( )<br />
+ 1 + 1 [ + 1 + 1 + 1 ] ( + 1)<br />
i j i i j j i j i j ij<br />
( ) ( ) ( )( )<br />
Cov ε , I = Cov ε , α + ε = E ε − 0 α + ε − α = E ε , ε = 0<br />
i i n n i n n n i n<br />
La prima con<strong>di</strong>zione sostiene l'in<strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> ciascuna <strong>del</strong>le n variabili casuali ε i dalle<br />
altre n-1. Quin<strong>di</strong>, solo l'in<strong>di</strong>ce, e niente altro, muove i ren<strong>di</strong>menti dei titoli. La seconda<br />
impone in<strong>di</strong>pendenza tra gli n ε i ed I e quin<strong>di</strong> che gli errori valutati sul titolo i-esimo siano<br />
in<strong>di</strong>pendenti da quelli valutati sull'in<strong>di</strong>ce.<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong>l'i-esimo titolo è<br />
ER ( i) = E( αi + βiI+ εi) = E( αi) + E( βiI) + E( εi) = αi + βiEI ( ) = αi + βα i n+<br />
1<br />
La varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento 54 <strong>del</strong>lo stesso titolo risulta pari a<br />
54Si premette che la varianza <strong>di</strong> una variabile può essere espressa anche come <strong>di</strong>fferenza tra valore atteso <strong>del</strong><br />
2<br />
quadrato <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile e il quadrato <strong>del</strong> valore atteso: V( ε ) = E ( ε ) −<br />
2<br />
E(<br />
ε )<br />
72<br />
i i i
[ (<br />
( )<br />
2<br />
+ 1)<br />
]<br />
[<br />
2 [ (<br />
(<br />
+ 1)<br />
] [ (<br />
2<br />
+ 1)<br />
]<br />
2<br />
) ]<br />
[ ( + 1)<br />
]<br />
[ ( + 1 + 1<br />
2<br />
+ 1)<br />
] 2 [ ( + 1 + 1 + 1)<br />
] [ (<br />
2<br />
) ]<br />
[ (<br />
2<br />
+ 1)<br />
] [ (<br />
2<br />
) ] 2<br />
+ 1<br />
2<br />
[ ] ( )<br />
2<br />
σ = ER− ER = E α + β I+ ε − α + βα = Eβ I−<br />
α + ε =<br />
i i i i i i i i n i n i<br />
2<br />
= β E I − α + β E ε I − α + E ε =<br />
i n i i n i<br />
2<br />
= β E α + ε − α + β E ε α + ε − α + E ε =<br />
i n n n i i n n n i<br />
2<br />
= β E ε + E ε = β Q + Q<br />
i n i i n i<br />
La covarianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i con il titolo j è data da:<br />
σ = E R − R R − R =<br />
[ ( )( ) ]<br />
[ ( )<br />
] ( )<br />
[ ( ) ][ ( ) ]<br />
2 [ ββ i jεn+ 1 εε i j βε i n+ 1εj βjεn+ 1εi]<br />
ij i i i j<br />
{ αi βi εi ( αi βiαn+ 1) [ α j β j ε j ( α j β jαn+ 1)<br />
] }<br />
{ βi αn+ 1 εi β j αn+ 1 ε j } { [ βiεn+ 1 εi][ β jεn+ 1 ε j]<br />
}<br />
= E + I + − + + I + − + =<br />
= E I − + I − + = E + + =<br />
= E + + + =<br />
= ββ Q + Q + βQ + β Q = ββ Q<br />
i j n+ 1 ij i j, n+ 1 j i, n+ 1 i j n+1<br />
6.1.2 Ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> portafogli fattibili con n titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio<br />
Secondo il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale, il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> R x R<br />
<strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> investita nell'i-esimo titolo, é dato da:<br />
n<br />
73<br />
( α β ε )<br />
R = x R = x + I +<br />
P i i<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
n<br />
∑ ∑<br />
che può essere scomposto nel seguente modo:<br />
n<br />
i i i i<br />
∑ ( α ε ) ∑ iβi( αn+ 1 εn+<br />
1)<br />
R = x + + x +<br />
P i i i<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
P = ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
2<br />
, con x i quota<br />
ipotizzando quin<strong>di</strong> che il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> sia dato dal ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> base,<br />
caratteristico <strong>di</strong> ogni titolo, e, un ipotetico "investimento" nell'in<strong>di</strong>ce.<br />
Al variare <strong>di</strong> I il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> varierà <strong><strong>del</strong>la</strong> quantità xiβi , che è la me<strong>di</strong>a<br />
ponderata dei β i dei titoli in <strong>portafoglio</strong>, e che viene definito come<br />
n<br />
∑<br />
x = xβ<br />
= β<br />
n+ 1<br />
i i<br />
i=<br />
1<br />
Il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> si può quin<strong>di</strong> esprimere come:<br />
n<br />
P<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
∑ ( α ε ) n+ 1( αn+ 1 εn+ 1)<br />
∑ i( αi εi)<br />
R = x + + x + = x +<br />
P i i i<br />
i=<br />
1<br />
avendo tenuto conto <strong><strong>del</strong>la</strong> formulazione <strong>di</strong> I.<br />
n+<br />
1<br />
i=<br />
1
Il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> avrà valore atteso<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
⎛<br />
⎞<br />
RP = E⎜∑xi( αi + εi) ⎟ = ∑xα<br />
⎝<br />
⎠<br />
i=<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
dato che E⎜∑xiεi⎟ = ∑xiE(<br />
εi)<br />
= 0<br />
⎝ ⎠<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
L'equazione evidenzia che il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è dato dalla me<strong>di</strong>a<br />
aritmetica ponderata degli α i, compreso quello <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce.<br />
La varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è<br />
74<br />
i=<br />
1<br />
i i<br />
2<br />
⎡<br />
σP = ERP − RP = E xi αi + εi − x α<br />
⎣ i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
( ) ⎢∑<br />
( ) ∑ i( i)<br />
2<br />
n 1<br />
n 1<br />
n 1<br />
n 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
= E xiεi E( xiεi ) xi E( εi<br />
) x Q<br />
i 1<br />
i 1<br />
i 1<br />
i 1<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
⎤<br />
⎢∑<br />
⎥ = ∑ = ∑ = ∑<br />
⎣ = ⎦ =<br />
=<br />
=<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
Ora dovrebbe essere chiaro il motivo per cui Sharpe ha scelto <strong>di</strong> definire che l’in<strong>di</strong>ce<br />
scelto I abbia valore atteso α n+1 e varianza Q n+1 .<br />
6.1.3 La valutazione <strong>del</strong> rischio al crescere <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> titoli o business in<br />
<strong>portafoglio</strong> o azienda<br />
Se si ipotizza un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> n titoli equiripartito con:<br />
la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> è data da:<br />
che al <strong>di</strong>vergere <strong>di</strong> n:<br />
x<br />
x<br />
i<br />
1<br />
= con i= 12 ,,..., n<br />
n<br />
= β<br />
n+ 1 P<br />
2 2 2<br />
2<br />
σ = 1 n Q + x Q = 1 n 1 nQ + β Q<br />
P<br />
n<br />
∑ i n+ 1 n+<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
2<br />
= 1 nQ + β Q<br />
i P n+<br />
1<br />
( 1)<br />
2<br />
i i<br />
i P n+<br />
1<br />
2 2<br />
2<br />
lim σ = lim 1 nQ + β Q = β Q .<br />
P<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
i P n+ P n+<br />
1
Tale valore rappresenta il rischio sistematico ineliminabile secondo questo<br />
mo<strong>del</strong>lo.<br />
Vale la pena <strong>di</strong> soffermarsi a commentare quest’ultimo risultato:<br />
− è il prodotto <strong>di</strong> due fattori;<br />
− uno è il quadrato <strong><strong>del</strong>la</strong> misura <strong>del</strong> legame sistematico ren<strong>di</strong>mento <strong>portafoglio</strong>benchmark,<br />
l’altro la varianza <strong>del</strong> benchmark (in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> base, <strong>di</strong> riferimento);<br />
− se il <strong>portafoglio</strong> ha βp = 1 con il benchmark, il <strong>portafoglio</strong> avrà il rischio (varianza) <strong>del</strong><br />
benchmark ( lim Q<br />
2 2<br />
σ = β<br />
n→∞<br />
P P n+<br />
1 = Qn+1 );<br />
− se il <strong>portafoglio</strong> ha βp < 1 con il benchmark, il <strong>portafoglio</strong> avrà rischio più basso <strong>di</strong><br />
quello <strong>del</strong> benchmark secondo una quadratica ( lim Q<br />
2 2<br />
σ = β<br />
75<br />
n→∞<br />
P P n+<br />
1 < Qn+1 );<br />
− se il <strong>portafoglio</strong> ha βp> 1 con il benchmark, il <strong>portafoglio</strong> avrà rischio più grande <strong>di</strong><br />
2 2<br />
quello <strong>del</strong> benchmark secondo una quadratica ( lim σP = βPQn+<br />
1> Qn+1 ).<br />
Si rileva che, quin<strong>di</strong>, la scelta <strong>del</strong>l’economia <strong>di</strong> riferimento, <strong>del</strong> benchmark, è assai<br />
importante per <strong>di</strong>scutere <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento e <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> o d’azienda perchè, in<br />
questo mo<strong>del</strong>lo semplificato, il rischio non è più assoluto, ma relativo al movimento <strong>del</strong><br />
benchmark: il rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> o <strong>del</strong>l’azienda è legato, riflesso, letto, attraverso il<br />
rischio <strong>del</strong> benchmark.<br />
Visto che ∑ xiβi = β<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
P<br />
n→∞<br />
è una componente ineliminabile <strong>del</strong> rischio sistematico si è<br />
proposta una classificazione dei titoli secondo il loro βi, che è stato eletto a in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong><br />
rischio.<br />
Se:<br />
β i > 1, il titolo ha rischio maggiore <strong>di</strong> quello <strong>del</strong> benchmark (titolo aggressivo);<br />
β i = 1, il titolo ha il rischio in linea con quello <strong>del</strong> benchmark (titolo neutro);<br />
β i < 1, il titolo ha rischio minore <strong>di</strong> quello <strong>del</strong> benchmark (titolo <strong>di</strong>fensivo).<br />
Naturalmente, le stesse considerazioni si fanno sul <strong>portafoglio</strong> utilizzando βp.
6.1.4. La valutazione <strong>del</strong>le soluzioni efficienti<br />
Il mo<strong>del</strong>lo da ottimizzare è ora dato da:<br />
⎧<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎪min<br />
Z5<br />
=− µ RP + σ P =− µ ∑xiαi + ∑x<br />
Q<br />
x<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎨ ∑xiβi<br />
= xn+<br />
1 = βP<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
⎪∑<br />
x i − 1= 0<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩x<br />
≥ 0<br />
i<br />
La matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze da trattare è Q<br />
⎡Q1<br />
. .<br />
⎢<br />
. Q<br />
⎢ 2<br />
⎢ . ....<br />
Q = ⎢<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0 0<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 0<br />
76<br />
0 0 0 ⎤<br />
0 0<br />
⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
Qi<br />
.<br />
⎥<br />
.... . ⎥<br />
⎥<br />
. . Qn+<br />
1⎦<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione (n+1)(n+1), ma con solo (n+1) elementi <strong>di</strong>agonali non nulli e zero altrove,<br />
quin<strong>di</strong> facile da trattare per valutare le soluzioni che interessano (gran parte degli sforzi dei<br />
“matematici” è devoluto alla <strong>di</strong>agonalizzazione <strong>del</strong>le matrici proprio al fine <strong>di</strong> trovare poi a<br />
costo molto basso le soluzioni al sistema in stu<strong>di</strong>o).<br />
Consideriamo tutti i parametri da inserire nel mo<strong>del</strong>lo. Essi sono ora 3n+2: n+1 per<br />
gliα i, n per i β i , n per i Q i , nonché Q n+1 . La soluzione al mo<strong>del</strong>lo è data utilizzando i<br />
meto<strong>di</strong> esposti nel cap.3.<br />
La proposta <strong>di</strong> Sharpe porta anche alla attribuzione <strong>di</strong> un preciso significato economico<br />
alla trasformazione lineare <strong>del</strong>le variabili. Interessante è sopratutto x n+1 che esprime il<br />
legame sistematico <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> alla variabile esterna <strong>di</strong> riferimento.<br />
Tale grandezza è utile per valutare la sensibilità, il rischio sistematico che il <strong>portafoglio</strong> <strong>del</strong><br />
decisore ha con l'economia, la congiuntura <strong>di</strong> cui I , in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> base, benchmark, è la sintesi.<br />
Volendo far risaltare questo concetto si ponga:<br />
il mo<strong>del</strong>lo si può quin<strong>di</strong> riscrivere come:<br />
α n+ 1 , n+<br />
1<br />
= A x = B<br />
i i
⎧<br />
n<br />
n n<br />
⎡<br />
⎤<br />
2<br />
2<br />
⎪min<br />
Z7<br />
=− µ RP + σ P =− µ +<br />
x<br />
⎣<br />
⎢∑xiαi<br />
BA<br />
⎦<br />
⎥ + ( ∑ ∑xix<br />
jQij<br />
+ B Qin+<br />
1 )<br />
i=<br />
1 j=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎪<br />
⎪con<br />
vincoli<br />
⎪ n<br />
⎨ ∑xiβi<br />
= B<br />
⎪ i=<br />
1<br />
⎪ n<br />
⎪∑<br />
x i − 1= 0<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
x i ≥ 0<br />
dove risulta più chiara anche la possibilità data al decisore <strong>di</strong> scegliere, parametrizzare,<br />
imporre B cioè quantificare a priori il legame sistematico voluto con il benchmark. Per<br />
esempio, imporre:<br />
− B1, se il decisore vuole un <strong>portafoglio</strong> aggressivo riguardo il benchmark.<br />
SIMULAZIONI<br />
A)<br />
Con i nostri soliti cinque titoli o business si ipotizza <strong>di</strong> aver scelto, per esempio:<br />
I = variazione percentuale In<strong>di</strong>ce Azionario Generale Comit, per controllare il ren<strong>di</strong>mento e rischio <strong>di</strong> un<br />
<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> titoli azionari;<br />
oppure<br />
I = tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> tutte le aziende <strong>del</strong> settore assicurativo danni, per controllare il ren<strong>di</strong>mento e<br />
rischio <strong>del</strong>l’azienda assicurativa che opera nei cinque rami danni A, B, C, D, E.<br />
Date le informazioni in Tab.8 si può valutare il ren<strong>di</strong>mento e la varianza dei titoli azionari o rami A, B,<br />
C, D, E nonchè la covarianza dei ren<strong>di</strong>menti dei titoli o rami secondo il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale proposto da<br />
Sharpe:<br />
A B C D E<br />
α i 0.9592 0.7245 4.1224 1.6939 9.1837<br />
β i 0.9913 0.9767 1.3120 1.1370 0.1749<br />
Q i 1.2099 3.5760 1.3654 2.5219 1.2983<br />
Tab. 8: α i , βi , Qi dei cinque titoli o rami assicurativi con il benchmark I<br />
Le informazioni in Tab. 8 possono essere determinate o l’analisi probabilistica bivariata o con la<br />
regressione su serie prospettiche o su basi ipotetiche, simulative, ottenute anche mo<strong>di</strong>ficando stime ex-post<br />
degli stessi parametri decisionali 55 .<br />
55 Alcune società, nazionali e internazionali, calcolano sistematicamente per i vari mercati quanto in Tab. 8<br />
sulle serie storiche dei titoli e degli in<strong>di</strong>ci più trattati. Naturalmente, ogni operatore deve poi adattare tali<br />
informazioni alla congiuntura prevista per l’unità periodale in analisi. La valutazione dei parametri αi e βi , in<br />
Ri = αi + βiI + εi , può essere anche il frutto <strong>di</strong> ipotesi, ovvero <strong>di</strong> simulazioni, sintesi <strong>di</strong> più proiezioni ex-ante<br />
dei ren<strong>di</strong>menti, dei titoli azionari o rami e <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce. Per esempio, nel nostro caso si possono proporre:<br />
A B C D E I<br />
15 17 17 19 12 16.3<br />
13 15 15 19 11 14.8<br />
... ... ... ... ... ...<br />
16 18 18 21 13 17.5<br />
15 12 16 18 12 14.9<br />
77
Siano, inoltre: EI ( ) = 161 . = n+<br />
1<br />
α , Var( I) = 098 . = Qn+ 1 . Si sono calcolati i coefficienti <strong>di</strong> determinazione<br />
lineare ρ 2 in: 0.4811, 0.2337, 0.5904, 0.3695 e 0.0262 rispettivamente per A, B, C, D, E con I.<br />
Dalla Tab. 8 si può verificare che:<br />
− sono titoli aggressivi C e D;<br />
− sono sicuramente titoli <strong>di</strong>fensivi B, E;<br />
− A, che ha β=0.99, puó essere etichettato come "quasi neutro".<br />
B)<br />
Si consideri un <strong>portafoglio</strong> equiripartito tra i cinque titoli A, B, C, D, E e gli αi e βi <strong>di</strong> Tab.6. Si avrà x = 1/n<br />
i<br />
= 0.2.<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
xiβi = βP<br />
= xn+<br />
1 = 0. 2( 0. 9913 + 0. 9767 + 13120 . + 11370 . + 01749 . ) = 0. 9184<br />
Si desidera ora determinare il valore atteso <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> e la varianza <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
tenendo conto che xn+ 1Qn+ 1 = β PVar(<br />
I)<br />
n+<br />
1<br />
R = ∑ x α<br />
P i i<br />
i=<br />
1<br />
⎧xi=<br />
02 . con i = 12 , ,..., n<br />
⎨<br />
⎩xn+<br />
1αn+ 1 = βPE(<br />
I) i = n+<br />
1<br />
= 0.( 2 −0. 9592 −0. 7245 − 41224 . + 16939 . + 91837 . ) + 0. 9184 × 161 . = 1580 .<br />
PER IL TITOLO O BUSINESS A<br />
Dato: RA =− 0. 9592 + 0. 9913I<br />
+ ε i<br />
ER ( A) = E( − 0. 9592 + 0. 9913I + ε i)<br />
= − 0. 9592 + 0. 9913EI<br />
( ) =<br />
=− 0. 9592 + 0. 9913α<br />
n+<br />
1 =<br />
=− 0. 9592 + 0. 9913 × 161 . = 15. 0007<br />
2 2<br />
2<br />
σA = βAQn+<br />
1 + QA<br />
= 0. 9913 × 0. 98 + 12099 . = 21729 .<br />
σ = 14741 .<br />
B<br />
PER IL TITOLO O BUSINESS B<br />
Dato: RB =− 0. 724 + 0. 977I<br />
+ ε i<br />
ER ( B) = E( − 0. 7245 + 0. 9767I + ε i)<br />
= − 0. 7245 + 0. 9767EI<br />
( ) =<br />
=− 0. 7245 + 0. 9767α<br />
n+<br />
1 =<br />
=− 0. 7245 + 0. 9767 × 161 . = 22. 37<br />
2 2<br />
2<br />
σB = βBQn+<br />
1 + QB<br />
= 0. 9767 × 0. 98 + 35760 . = 4. 5109<br />
σ = 21239 .<br />
B<br />
su cui operare con il metodo dei minimi quadrati per valutare gli αi e βi ed i valori <strong>del</strong>le varianze residue<br />
esposti in Tab. 8.<br />
78
PER IL TITOLO O BUSINESS C<br />
Dato: RC =− 4122 . + 1312 . I + ε i<br />
ER ( C) = E( − 41224 . + 13120 . I+ ε i)<br />
= − 41224 . + 13120 . EI ( ) =<br />
=− 41224 . + 13120 . α n+<br />
1 =<br />
=− 41224 . + 13120 . × 161 . = 17. 0008<br />
2 2<br />
2<br />
σC = βCQn+<br />
1 + QC<br />
= 13120 . × 0. 98 + 13654 . = 30523 .<br />
σ = 17471 .<br />
C<br />
PER IL TITOLO O BUSINESS D<br />
Dato: RD = 1694 . + 1137 . I + ε i<br />
ER ( D) = E( 16939 . + 11370 . I+ ε i)<br />
= 16939 . + 11370 . EI ( ) =<br />
= 16939 . + 11370 . α n+<br />
1 =<br />
= 16939 . + 11370 . × 161 . = 36. 95<br />
2 2<br />
2<br />
σD = βDQn+<br />
1 + QD<br />
= 11370 . × 0. 98 + 2. 5219 = 37888 .<br />
σ = 19465 .<br />
D<br />
PER IL TITOLO O BUSINESS E<br />
Dato: RE = 9184 . + 0175 . I + ε i<br />
ER ( E) = E( 91837 . + 01749 . I+ ε i)<br />
= 91837 . + 01749 . EI ( ) =<br />
= 91837 . + 01749 . α n+<br />
1 =<br />
= 91837 . + 01749 . × 161 . = 119996 .<br />
2<br />
σE 2<br />
= βEQn+<br />
1 + QE<br />
2<br />
= 01749 . × 0. 98 + 12983 . = 13283 .<br />
σ = 11525 .<br />
E<br />
Qui sotto è riportato il calcolo <strong>del</strong>le covarianze, viste attraverso il Benchmark I, dei ren<strong>di</strong>menti dei titoli:<br />
σAB = βAβBQn+1 = 0.9488<br />
σAC = βAβCQn+1 = 1.2746<br />
σAD = βAβDQn+1 = 1.1046<br />
σAE = βAβEQn+1 = 0.1699<br />
σBC = βBβCQn+1 = 1.2558<br />
σBD = βBβDQn+1 = 1.0883<br />
σBE = βBβEQn+1 = 0.1674<br />
σCD = βCβDQn+1 = 1.4619<br />
σCE = βCβEQn+1 = 0.2249<br />
σDE = βDβEQn+1 = 0.1949<br />
79
7<br />
MODELLI SEMPLIFICATI DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO<br />
MODELLI A PIU’ INDICI<br />
I mo<strong>del</strong>li unifattoriali valutabili con quanto esposto nel capitolo 6 si basano sull'ipotesi che<br />
i ren<strong>di</strong>menti dei titoli considerati siano funzione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un unico in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> base,<br />
che in genere è un in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato. Tale ipotesi è assai forte ovvero è da tempo chiaro<br />
che i ren<strong>di</strong>menti dei titoli non possono essere mossi da un solo “basic underlying factor”,<br />
ma risentono <strong>di</strong> molti fattori, spesso <strong>di</strong> <strong>di</strong>fficile rilevazione <strong>di</strong>retta.<br />
Considerando il mo<strong>del</strong>lo unifattoriale come caso particolare, si può generalizzare questa<br />
ipotesi introducendo più variabili esplicative <strong>del</strong>l'andamento dei ren<strong>di</strong>menti dei titoli, più<br />
in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> riferimento. Si parla in questo caso <strong>di</strong> mo<strong>del</strong>li multifattoriali.<br />
7.1. Mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci<br />
Lo scopo <strong>di</strong> questi mo<strong>del</strong>li è <strong>di</strong> spiegare meglio dei mo<strong>del</strong>li unifattoriali la variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti pur mantenendo basso il numero <strong>di</strong> informazioni necessarie all'analisi, numero<br />
che deve essere inferiore a quello <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo generale <strong>di</strong> Markowitz56 e, possibilmente, <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne n.<br />
In questi mo<strong>del</strong>li il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo si esprime come combinazione lineare <strong>del</strong><br />
valore degli in<strong>di</strong>ci scelti:<br />
* * * * * * *<br />
Ri = α i + β i1I1+ β i2I2 + ....... + β iKIK+ ui<br />
dove:<br />
∗ ∗<br />
, βij parametri;<br />
αi ui variabile erratica costante (<strong>di</strong>fferenza tra valore <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento e ren<strong>di</strong>mento<br />
2<br />
previsto) con E(ui)=0 e V(ui)=σ . Questo valore rappresenta la misura <strong>del</strong> rischio<br />
ui<br />
associato all'i-esimo titolo che non <strong>di</strong>pende dalla relazione <strong>del</strong> titolo stesso con gli in<strong>di</strong>ci;<br />
∗<br />
I j variabili esplicative, j=1, 2, ..., k.<br />
Nell'analisi multivariata non si può prescindere dal considerare la possibilità <strong>di</strong><br />
correlazione tra le variabili, gli in<strong>di</strong>ci. Operativamente ciò <strong>di</strong>sturba57 sia la stima dei<br />
parametri sia la loro gestione e si rende necessario ortogonalizzare (rendere in<strong>di</strong>pendenti)<br />
le variabili <strong>del</strong> sistema.<br />
Se, ad esempio, si considera un mo<strong>del</strong>lo bifattoriale (si usano due soli in<strong>di</strong>ci) si può<br />
esprimere il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo come:<br />
* * * * *<br />
R = α + β I + β I + u<br />
*<br />
dove gli in<strong>di</strong>ci I1 e I2<br />
dall'effetto <strong>del</strong>l'altra.<br />
i i i1 1 i2 2 i<br />
* sono linearmente <strong>di</strong>pendenti; bisogna quin<strong>di</strong> depurare una variabile<br />
Posto I1 I1<br />
utilizzando la tecnica <strong><strong>del</strong>la</strong> regressione si ottiene<br />
*<br />
I = γ + γ I + <strong>di</strong> * = (dove la mancanza <strong>del</strong>l'asterisco in<strong>di</strong>ca d'ora in poi la variabile ortogonale) e<br />
2 0 1 1<br />
*<br />
Si chiama I2 un nuovo in<strong>di</strong>ce ottenuto depurando I2 dall'effetto <strong>di</strong> I1 ossia<br />
( γ γ )<br />
*<br />
I2 = I2− 0 + 1I1 = <strong>di</strong> 56 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit.<br />
57 Si considerino le problematiche circa la correttezza, l'efficienza, la consistenza <strong>del</strong>le stime nella statistica<br />
inferente e nell'econometria.<br />
80
Si sostituiscono tali risultati nell'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
* * * *<br />
Ri = αi + βi1I1+ βi2( γ0+ γ1I1<br />
+ I2) + ui<br />
=<br />
* * * *<br />
= α + β I + β γ<br />
*<br />
+ β γ I<br />
*<br />
+ β I + u =<br />
i i1 1 i2 0 i2 1 1 i2 2 i<br />
( ) ( )<br />
=<br />
* *<br />
αi + βi2γ0 +<br />
* *<br />
βi1 + βi2γ1 *<br />
I1 + βi2I2<br />
+ ui<br />
e si ottiene un’equazione con variabili esplicative ortogonali.<br />
Posto poi:<br />
* *<br />
αi + βi2γ 0 = αi<br />
, valore costante;<br />
* *<br />
β + β γ = β , l'effetto <strong>del</strong>le variazioni <strong>di</strong> I1 sul ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo.<br />
i1 i2 1 i1<br />
*<br />
In esso sono compresi sia l'effetto <strong>di</strong> I1 (β i1 ), sia l'effetto in<strong>di</strong>retto attraverso I2<br />
81<br />
* *<br />
(β γ );<br />
*<br />
βi2 = βi2<br />
, l'effetto <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>fferenza <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce I2 dalla sua relazione prevista con I2 *<br />
<strong>di</strong> stima I2 con I2 ) sul ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo;<br />
l'equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo <strong>di</strong>venta:<br />
Ri = α i + β i1I1 + β i2I2 + ui<br />
Supponendo <strong>di</strong> applicare questo proce<strong>di</strong>mento all'equazione generale si ottiene<br />
Ri = αi + βi1I1 + βi2 I2+ ..... + βiKIK<br />
+ ui<br />
dove I j sono variabili esplicative non correlate con:<br />
[ ]<br />
( j) j; ( j) σ Ij; ( j j)( m m)<br />
2<br />
i2 1<br />
*<br />
(errore<br />
EI = I VarI= E I − I I − I = 0 ∀j≠ m.<br />
Viene ovviamente mantenuta anche l'ipotesi <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza tra le variabili esplicative ed i<br />
residui ui , cioè:<br />
E I − I , u = 0<br />
[ ( j j) i]<br />
affinchè il valore effettivo assunto dalla variabile esplicativa non <strong>di</strong>storca la stima <strong>di</strong> Ri .<br />
La semplificazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo è dovuta soprattutto all'ipotesi <strong>di</strong> in<strong>di</strong>pendenza dei residui,<br />
cioè Euu [ i j ] = 0 . Essa permette <strong>di</strong> escludere altri fattori quali cause <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti dei titoli oltre gli in<strong>di</strong>ci previsti, che sono in numero <strong>di</strong> K.<br />
Considerando queste ipotesi si ottiene:<br />
− il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un titolo<br />
ER ( i) = E( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK<br />
+ ui)<br />
=<br />
= E( αi) + E( βi1I1) + E( βi2I2) + ... + E( βiKIK)<br />
+ E( ui)<br />
=<br />
= αi + βi1I1+ βi2I2+ ... + βiKIK<br />
− la varianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo (considerando che tutti i termini incrociati sono<br />
pari a zero) è<br />
2<br />
σi = E[ ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK 2<br />
+ ui) − ( αi + βi1I1+ βi2I2+ ..... + βiKIK)<br />
]<br />
2<br />
⎡ K<br />
⎤ K<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= E⎢∑βij ( I j − I j ) + ui⎥ = ∑βij<br />
E( I j − I j ) + σui<br />
⎣ j=<br />
1<br />
⎦ j=<br />
1<br />
=<br />
2 2<br />
=<br />
βσ<br />
2 2<br />
+ βσ<br />
2 2<br />
+ .... + β σ<br />
2<br />
+ σ<br />
i1I1 i2I2 iK IK ui
− la covarianza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo con quello <strong>del</strong> titolo j-esimo,<br />
considerando che tutti i termini incrociati sono nulli per ipotesi, è:<br />
σ = E R − R R − R =<br />
[ ( )( ) ]<br />
{ [ ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK K i) ( αi βi1 1 βi2 2 ..... βiK<br />
K)<br />
]<br />
( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK uj) ( α j β j1I1β j2I2..... β jKIK) ij i i j j<br />
= E + I + I + + I + u − + I + I + + I ⋅<br />
[ ]}<br />
⋅ + + + + + − + + + + =<br />
K<br />
K<br />
⎧⎡<br />
⎤⎡<br />
⎤⎫<br />
= E⎨⎢∑βik ( Ik− Ik) + ui⎥⎢∑β jk( Ik − Ik) + uj⎥⎬=<br />
⎩⎣<br />
k=<br />
1 ⎦⎣<br />
k=<br />
1<br />
⎦⎭<br />
2<br />
= ββ σ + ββ<br />
2<br />
σ + .......... + β β<br />
2<br />
σ<br />
i1 j1 I1 i2 j2 I2 iK jK IK<br />
Si è verificato che i mo<strong>del</strong>li a più in<strong>di</strong>ci operano meglio dei mo<strong>del</strong>li ad un solo in<strong>di</strong>ce nel<br />
riprodurre la matrice storica <strong>del</strong>le correlazioni, ma non sempre migliorano la capacità<br />
previsiva degli stessi. Quest'ultima migliora se si procede ad una classificazione dei titoli<br />
per pseudo-industrie o comunque per raggruppamenti omogenei 58.<br />
Tali raggruppamenti equivalgono alla trasformazione <strong>del</strong> sistema iniziale dei ren<strong>di</strong>menti,<br />
che spesso nella realtà sono altamente correlati, in un sistema semplificato, composto da un<br />
numero inferiore <strong>di</strong> nuove variabili fra <strong>di</strong> loro in<strong>di</strong>pendenti che esprimano la maggior parte<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità iniziale <strong>del</strong> sistema. Si desidera quin<strong>di</strong> trovare un insieme <strong>di</strong> nuove<br />
variabili che riassumano l'insieme <strong>del</strong>le informazioni dei ren<strong>di</strong>menti osservati. La tecnica<br />
per determinare queste nuove variabili è detta tecnica <strong>del</strong>le componenti principali (PCA),<br />
che, applicata alla matrice <strong>del</strong>le varianze-covarianze o <strong>del</strong>le correlazioni fra ren<strong>di</strong>menti,<br />
spiega l'analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei ren<strong>di</strong>menti con uno o più componenti, in<strong>di</strong>ci, fattori,<br />
ortogonali 59.<br />
Prima <strong>di</strong> procedere all'esposizione <strong><strong>del</strong>la</strong> tecnica <strong>del</strong>le componenti principali è utile aprire<br />
una parentesi per richiamare come si calcolano gli autovalori e gli autovettori <strong>di</strong> una<br />
matrice.<br />
58 ELTON E., GRUBER M.J., 1984, op. cit., pag. 147.<br />
59 LEBART L., MORINEAU A., WARWICK K.M., Multivariate Descriptive Statistical Analysis, Wiley, N.Y.,<br />
1984.<br />
82
7.2.0. Richiami su autovalori ed autovettori<br />
Dovendo descrivere il comportamento <strong>di</strong> sistemi reali <strong>di</strong> gran<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni può essere utile<br />
ricercare sottoinsiemi <strong>di</strong> definizione i cui elementi siano trasformati dall'applicazione<br />
lineare f in elementi <strong>del</strong> sottoinsieme stesso; ovvero sottoinsiemi W tali che f( W) ⊂ W .<br />
Ricordando che:<br />
n m<br />
− le applicazioni lineari f :ℜ → ℜ si possono esprimere come<br />
83<br />
n ( )<br />
f ( a) = Ta a ∈ℜ<br />
con T(nxm) matrice associata all'applicazione f. Essa è unica data la base scelta per ℜ n e<br />
ℜ m ;<br />
− dato lo scalare λ l'applicazione f ( a) = λ a trasforma ogni elemento <strong>di</strong> a in<br />
multipli <strong>di</strong> se stesso.<br />
n n<br />
Data la matrice quadrata T <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n associata a f :ℜ → ℜ , lo scalare λ ed il vettore<br />
a ∈ℜ n con a ≠ 0 , che sod<strong>di</strong>sfano l'equazione<br />
Ta = λ a<br />
sono detti rispettivamente λ autovalore ed a autovettore (associato all'autovalore λ) <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice T.<br />
Il calcolo degli autovalori <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice T segue dalla definizione. Infatti dato Ta = λ a si<br />
ricava il sistema omogeneo<br />
che si può scrivere come<br />
con I matrice identità in ℜ n .<br />
Ta − λa = 0<br />
( T− λI) a = 0<br />
Supponendo λ noto si ricercano i vettori a soluzione <strong>del</strong> sistema omogeneo ( T− λI) a = 0<br />
che ha n equazioni ed n incognite.<br />
Affinchè il sistema abbia soluzione non banale (a≠0) dovrà essere<br />
det( T− λI) = 0<br />
Il primo membro <strong>del</strong>l'equazione è un polinomio in λ <strong>di</strong> grado n detto polinomio<br />
caratteristico <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice T. L'equazione è detta equazione caratteristica. Le sue n ra<strong>di</strong>ci<br />
sono gli autovalori <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice T. Per il Teorema Fondamentale <strong>del</strong>l'algebra ogni<br />
polinomio <strong>di</strong> grado n ha n ra<strong>di</strong>ci complesse. Per ogni autovalore (si possono avere anche<br />
autovalori uguali) esiste un autovettore a che sod<strong>di</strong>sfa l'equazione<br />
Ta = λ<br />
a
ESEMPIO<br />
Data l'applicazione lineare<br />
⎡ 2 3 ⎤<br />
f ( a) = Ta = ⎢ a<br />
⎣−1<br />
−2<br />
⎥<br />
⎦<br />
si determinano gli autovalori (due). Data l'equazione caratteristica<br />
⎡ − ⎤<br />
det( T− I)<br />
= ⇒ det⎢<br />
⎣ − − −<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
λ<br />
2 λ 3<br />
0<br />
0<br />
1 2 λ<br />
si avrà:<br />
( 2−λ)( −2− λ)<br />
+ 3= 0<br />
2<br />
−4− 2λ+ 2λ+ λ + 3= 0<br />
2<br />
− 4+ λ + 3= 0<br />
2<br />
λ − 1= 0 ⇒ λ = − 1; λ = 1<br />
1 2<br />
L'autovettore a associato a λ1 =− 1 è tale che f(a)=-a mentre l'autovettore associato a λ 2<br />
f(b)=b.<br />
Gli autovettori si ottengono risolvendo il sistema Ta = λ a :<br />
⎧2a1<br />
+ 3a2<br />
= −a1<br />
dato λ1 = − 1 Þ ⎨<br />
da cui<br />
⎩−a1<br />
− 2a2<br />
= −a2<br />
l'autovettore associato è dato da a = − ⎡ 1⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
con k ∈ℜ .<br />
⎣ 1 ⎦<br />
⎧2b1<br />
+ 3b2<br />
= b1<br />
Dato λ 2 = 1 Þ ⎨<br />
da cui b1 =−3b2<br />
⎩−b1<br />
− 2b2<br />
= b2<br />
l'autovettore associato è dato da b = − ⎡ 3⎤<br />
⎢ ⎥h<br />
con h∈ℜ<br />
.<br />
⎣ 1 ⎦<br />
84<br />
a =−a<br />
1 2<br />
= 1 è tale che<br />
Come visto anche dall'esempio, gli autovettori hanno lunghezza arbitraria e quin<strong>di</strong> se a<br />
sod<strong>di</strong>sfa l'equazione Ta =λ a per qualche λ, anche ca risulta una soluzione, per c scalare<br />
arbitrario. E' convenzione utilizzare, tra gli infiniti autovettori generati dall’autovalore<br />
associato, l’autovettore che risponde a:<br />
a'a = 1<br />
ovvero che ha norma unitaria.<br />
Si citano ora, senza <strong>di</strong>mostrarli, alcuni teoremi e proprietà degli autovalori:<br />
− ogni matrice quadrata T <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n ha n autovalori (conseguenza <strong>del</strong> teorema<br />
fondamentale <strong>del</strong>l'algebra);<br />
− λ =0 è un autovalore <strong>di</strong> T se e solo se det(T)=0;<br />
− gli autovalori <strong>di</strong> una matrice <strong>di</strong>agonale sono gli elementi <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>di</strong>agonale principale;<br />
− se λ è un autovalore <strong>di</strong> T allora 1/λ è un autovalore <strong>del</strong>l'inversa T -1 ;<br />
− λ p è autovalore <strong>di</strong> T p<br />
.<br />
Nel nostro ambito <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o (<strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>) la matrice T è simmetrica<br />
semidefinita positiva essendo la matrice <strong>di</strong> varianze e covarianze (o <strong>del</strong>le correlazioni<br />
lineari) tra ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> n titoli. Per le matrici simmetriche valgono queste ulteriori<br />
proprietà:<br />
− gli autovalori <strong>di</strong> una matrice simmetrica sono reali;<br />
− gli autovettori associati ad autovalori <strong>di</strong>stinti sono ortogonali fra <strong>di</strong> loro (cioè<br />
aa i j = 0) per ogni i≠j; T é quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>agonalizzabile;
− gli autovalori associati ad una matrice semidefinita positiva sono positivi o, al piú,<br />
nulli.<br />
− la matrice A ottenuta accostando gli autovettori normalizzati è tale che ′ = −<br />
A A 1<br />
,λ , con i= 1 ,....., n,<br />
si può riassumere in forma<br />
matriciale l'insieme <strong>di</strong> relazioni:<br />
Ta i = λ iai con i= 1,....., n come TA = AΛ<br />
con A = ( a1,....., an)<br />
matrice ottenuta accostando gli n autovettori e Λ matrice <strong>di</strong>agonale<br />
degli autovalori <strong>di</strong> T<br />
⎡λ1<br />
0 .. 0 ⎤<br />
⎢<br />
0 λ<br />
⎥<br />
Λ= ⎢ 2 ..<br />
⎥<br />
⎢ .. .. .. .. ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 .. λ n ⎦<br />
Da questa relazione, ricordando che trattando matrici <strong>di</strong> varianze-covarianze o <strong>di</strong><br />
correlazione si ha ′ = −<br />
A A 1 la <strong>di</strong>agonalizzazione <strong>di</strong> T:<br />
ATA ′ = Λ<br />
Determinate a questo punto le coppie ( )<br />
a i i<br />
7.2.1. La tecnica <strong>del</strong>le Componenti Principali (PCA).<br />
L'analisi fattoriale 60 permette <strong>di</strong> trovare un insieme <strong>di</strong> fattori latenti, fra <strong>di</strong> loro<br />
stocasticamente in<strong>di</strong>pendenti, esplicativi <strong>del</strong>le variabili iniziali per noi <strong>di</strong>versi in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong><br />
mercato. Per determinare tali fattori si può applicare la Tecnica <strong>del</strong>le Componenti<br />
Principali.<br />
La tecnica <strong>del</strong>le Componenti Principali si propone <strong>di</strong> rappresentare, con la minor per<strong>di</strong>ta<br />
possibile <strong>di</strong> informazioni, un insieme <strong>di</strong> variabili attraverso un numero relativamente<br />
piccolo <strong>di</strong> relazioni lineari.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista matematico la PCA ha lo scopo <strong>di</strong> trasformare p variabili non tutte<br />
in<strong>di</strong>pendenti in un insieme m
Per semplificazione si tratterà la determinazione <strong>del</strong>le componenti principali con il solo<br />
utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza, specificando le <strong>di</strong>fferenze effettive che si<br />
riscontrano nell'utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> correlazione solo alla fine <strong><strong>del</strong>la</strong> trattazione.<br />
′<br />
Dato il vettore x = ( x1, x2, x3,......., xp) <strong>di</strong> variabili casuali con me<strong>di</strong>a nulla61 e matrice <strong>di</strong><br />
varianza e covarianza C={ σ ij }, data la matrice A ottenuta dall'accostamento degli<br />
autovettori normalizzati <strong>di</strong> C, si considera la seguente trasformazione lineare:<br />
z1 = a11x1 + a21x2+ ........... + ap1xp = a'1 x<br />
z2 = a12x1 + a22x2+ ........... + ap2xp = a'2 x<br />
................<br />
z = a x + a x + ........... + a x = a' x<br />
dove z i è la i-esima componente principale.<br />
p 1p 1 2p 2<br />
pp p p<br />
La generica componente principale zi = a'i x avrà:<br />
− valore atteso: Ez ( i) = ai' Ex ( ) = 0<br />
− varianza pari a:<br />
Var( zi) = E[ ( a' x − E( zi))( a' x − E( zi)) ′ ] = E[ ( a' x)( a' x) '] = a'<br />
i=1, 2, ......p, e con E(xx')=C.<br />
E(<br />
xx') a = a' Ca<br />
i i i i i i i icon<br />
La covarianza tra due componenti è data da<br />
Cov z , z = E z ⋅ z = E a' x a' x ' = a' E xx' a =<br />
[ ] ( )<br />
( i j) ( i j)<br />
( )( )<br />
= a'iCa j = a'i λ jaj = λ ja'i<br />
a j = 0 essendo a'i a j = 0<br />
con i≠j , vista l’ortogonalità degli autovettori.<br />
86<br />
i j i j<br />
In forma matriciale si avrà z= A′ x con:<br />
− z = ( z1, z2, z3 ,... zp)' vettore <strong>del</strong>le nuove variabili casuali, le componenti principali;<br />
− A matrice (p x p) ottenuta dall'accostamento degli autovettori normalizzati.<br />
Si definisce forma quadratica associata a T la funzione scalare <strong>di</strong> a<br />
Q( a) = a'Ta<br />
considerando T matrice simmetrica. Ad esempio nel caso <strong>di</strong> T(2x2) e <strong>di</strong> un generico<br />
vettore a <strong>di</strong> due elementi, la forma quadratica avrà la seguente espressione:<br />
2<br />
2<br />
a' Ta = t11a1+ 2 t12a1a2+ t22a2 e nel caso generale <strong>di</strong> matrice <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n<br />
2<br />
a' Ta = t11a1+ 2t12a1a2+ 2t13a1a3+ ...... + 2t1na1an<br />
2<br />
+ t22a2 + 2t23a2a3+ ...... + 2t2na2an<br />
2<br />
+ t33a3 + ....... + 2t3na3an<br />
...........<br />
2<br />
+ tnnan Si osserva che la varianza <strong>di</strong> zi = aCa 1′ 1 è una forma quadratica semidefinita positiva.<br />
61 Questa con<strong>di</strong>zione non risulta gravosa perchè, se y ha me<strong>di</strong>a E(y), allora x=y-E(y) ha me<strong>di</strong>a nulla.
PRIMO PASSO: l'obiettivo è quello <strong>di</strong> determinare il vettore a che massimizza la<br />
varianza <strong>del</strong> sistema in analisi, con il vincolo che tale vettore abbia norma unitaria. Il<br />
problema <strong>di</strong> programmazione matematica <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong>:<br />
⎧⎪<br />
max φ= a'Ca<br />
a<br />
⎨<br />
⎩⎪ soggetta al vincolo a' a = 1<br />
Esso si risolve definendo la funzione Lagrangiana<br />
L ( a, λ) = a'Ca−λ( a'a−1<br />
)<br />
e imponendo le con<strong>di</strong>zioni necessarie: ∂L<br />
∂L<br />
= 0 e = 0.<br />
∂a<br />
∂λ<br />
Se si deriva la Lagrangiana rispetto ad a si ha:<br />
∂ L ∂[ a'Ca −λ( a'a −1)<br />
]<br />
=<br />
= 0<br />
∂a<br />
∂a<br />
= 2Ca − 2λa= 0<br />
= C− λI<br />
a = 0<br />
dove I è la matrice identità in ℜ p .<br />
( )<br />
Il sistema da risolvere risulta quin<strong>di</strong>:<br />
⎧(<br />
C− λI) a = 0<br />
⎨<br />
⎩aa<br />
' = 1<br />
Si tratta in pratica <strong>di</strong> trovare il massimo autovalore e il corrispondente autovettore <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice C, con il vincolo che l'autovettore abbia norma unitaria.<br />
Come visto, gli autovalori sono gli zeri <strong>del</strong> polinomio caratteristico<br />
det( C− λI) = 0 .<br />
Se gli autovalori che si ottengono da tale equazione sono posti in or<strong>di</strong>ne decrescente<br />
( λ1 ≥λ2 ≥... ≥λ<br />
p ) , essendo non negativi, dato che C è una matrice simmetrica semidefinita<br />
positiva, il problema è risolto prendendo λmax = λ1. Sostituendo λ1 nella relazione<br />
( C− I) a = 0 si determina l'autovettore amax = a1 ad esso corrispondente soluzione <strong>del</strong><br />
λ1 problema <strong>di</strong> massimo. La prima componente principale è data da:<br />
z1 = a'1x .<br />
λ1 rappresenta la varianza <strong><strong>del</strong>la</strong> prima componente principale, cioè la quantitá <strong>di</strong><br />
informazione <strong>del</strong> sistema iniziale che entra nel nuovo insieme dato dalla prima<br />
componente principale. Infatti dalle equazioni Ca1 = λ 1a1 e a1′ a1<br />
= 1 si ricava che<br />
λ = a 'Ca = a ' λa<br />
= Var( z ) .<br />
1 1 1 1 1 1<br />
SECONDO PASSO: per trovare la seconda componente z 2 2<br />
⎧max<br />
φ = a'Ca<br />
⎪<br />
a<br />
⎪soggetta<br />
ai vincoli<br />
⎨<br />
⎪ a'a = 1<br />
⎩⎪<br />
a'a=<br />
0<br />
1<br />
87<br />
= a' x si risolve il problema
determinando λ2 e a2. Dopo p iterazioni si deve risolvere il problema<br />
⎧max<br />
φ = a'Ca<br />
⎪<br />
a<br />
⎪soggetta<br />
ai vincoli<br />
⎨<br />
⎪ a'a = 1<br />
⎩⎪<br />
a'a i = 0, per i = 1,....., p−1<br />
che determina la coppia (λp, ap). Tale procedura corrisponde, più semplicemente, alla determinazione degli autovalori <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice C, or<strong>di</strong>nandoli come visto sopra e calcolando i rispettivi autovettori.<br />
Si nota come si possano determinare tante componenti principali quante sono le variabili <strong>di</strong><br />
partenza, ma nelle applicazioni non si eseguono tutte le p iterazioni; se ne considera in<br />
genere un numero m
3) limitazione <strong>del</strong>l'analisi alle componenti con autovalore uguale o superiore al valore<br />
considerato "punto <strong>di</strong> gomito" <strong>del</strong> <strong>di</strong>agramma ottenuto dopo aver rappresentato in [i,<br />
λ i], con i=1, 2, ...,p, gli autovalori (Fig. 31) 63.<br />
Fig. 31: Autovalori estratti da una matrice <strong>di</strong> varianze-covarianze con specificazione <strong>del</strong><br />
punto <strong>di</strong> "gomito". Si consiglia <strong>di</strong> estrarre soltanto i primi tre autovalori e autovettori<br />
associati.<br />
Dopo aver determinato le componenti principali si desidera esprimere una stima <strong>del</strong>le<br />
variabili casuali iniziali come combinazione lineare <strong>del</strong>le componenti principali stesse.<br />
Infatti, da z= A′ x si ha x= Az poichè ′ = −<br />
A A 1 . Se si desidera ora esprimere le variabili<br />
iniziali in funzione <strong>del</strong>le sole m < p componenti principali si otterrà un nuovo sistema:<br />
$x= Bz dove B è la matrice (p x m), ottenuta eliminando le ultime ( p− m)<br />
colonne <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice A; $x esprime la stima <strong>di</strong> x me<strong>di</strong>ante z. Se si considerano realmente le sole m < p<br />
colonne <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice dei coefficienti <strong><strong>del</strong>la</strong> PCA non si parlerà più <strong>di</strong> componenti<br />
principali, ma <strong>di</strong> fattori.<br />
La nuova matrice B è quin<strong>di</strong> detta matrice dei factor loa<strong>di</strong>ngs (coefficienti <strong>di</strong> saturazione)<br />
rappresentanti l'analisi fattoriale, che se letta per riga analizza la stima <strong>del</strong>le variabili<br />
iniziali in funzione dei fattori, mentre se letta per colonna esprime i coefficienti <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
combinazione lineare <strong>del</strong>le variabili per la determinazione <strong>del</strong>le componenti principali.<br />
Inoltre, se si elevano al quadrato i singoli coefficienti <strong>di</strong> saturazione si ottiene la variabilità<br />
spiegata da ogni fattore su ogni variabile, mentre la variabilità spiegata dai fattori comuni<br />
per le singole variabili è detta comunalità.<br />
Se si <strong>di</strong>spone <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> correlazione R invece <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza,<br />
lo svolgimento per la determinazione <strong>del</strong>le componenti principali e quin<strong>di</strong> dei fattori si<br />
mantiene. Unica <strong>di</strong>stinzione effettiva da considerare è che in questo caso si ha:<br />
63 KOUTSOYIANNIS A., 1993, op. cit., pag. 424.<br />
89
p<br />
∑ λi =<br />
i=<br />
1<br />
poichè tale somma equivale al calcolo <strong><strong>del</strong>la</strong> traccia <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice presa in considerazione<br />
che nel caso <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> correlazione, con <strong>di</strong>agonale principale unitaria, risulta uguale<br />
alla <strong>di</strong>mensione <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice stessa. Si deve inoltre sottolineare che, in seguito alla<br />
normalizzazione con cui si passa da C ad<br />
⎧⎪<br />
σ ij ⎫⎪<br />
R = ⎨ρ<br />
ij = ⎬ ,<br />
⎩⎪ σσ i j ⎭⎪<br />
gli autovalori e autovettori <strong>di</strong> R sono, in generale, <strong>di</strong>versi da quelli <strong>di</strong> C.<br />
Prima <strong>di</strong> passare agli esempi sull'applicazione <strong><strong>del</strong>la</strong> PCA risulta utile determinare i<br />
coefficienti <strong>di</strong> correlazione fra i fattori e le variabili iniziali. Si definisce coefficiente <strong>di</strong><br />
correlazione fra la k-esima variabile iniziale e l'i-esimo fattore il seguente rapporto:<br />
Cov( xk, zi)<br />
ρxz = k i Var( xk) Var( zi)<br />
.<br />
Si osserva che la k-esima variabile può essere in<strong>di</strong>cata come:<br />
xk = lkx con lk<br />
= ( 0,..., 1,.... 0 ) . La covarianza Cov( xk , zi<br />
) può ora essere scritta nel<br />
seguente modo:<br />
Cov( xk, zi) = E ( lkx)( ax i ) ′ = lkCa<br />
i<br />
valendo l'uguaglianza Cai = λi ai<br />
Cov( xk, zi) = lkλiai = λiaik.<br />
Se Var( xk )= σk 2 , essendo la varianza <strong>di</strong> zi uguale all'i-esimo autovalore λi, si ha:<br />
Cov( x λ λ<br />
k, zi)<br />
ia a<br />
ik ik i<br />
ρxkz=<br />
= =<br />
i<br />
2<br />
Var ( xk) Var ( zi)<br />
σ λ σ<br />
k i k<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> correlazione ρxz descrive quanto la variabile casuale k-esima sia legata<br />
k i<br />
linearmente all'i-esimo fattore.<br />
Se la matrice utilizzata è quella <strong>di</strong> correlazione R tale coefficiente risulta uguale a<br />
ρxz= aik<br />
λ<br />
k i<br />
i ,<br />
essendo in questo caso le variabili x standar<strong>di</strong>zzate e quin<strong>di</strong> con varianza unitaria.<br />
Inoltre, se i fattori stimati sono fra loro ortogonali, i factor loa<strong>di</strong>ngs rappresentano anche la<br />
correlazione fra i fattori e le variabili; <strong>di</strong> conseguenza la somma per riga dei quadrati dei<br />
factor loa<strong>di</strong>ngs risulterà uguale a λi<br />
2<br />
σ k<br />
se la matrice iniziale è C, oppure a λi se la matrice<br />
originaria è R.<br />
Spesso, purtroppo, da una prima analisi i fattori determinati rappresentano<br />
significativamente più <strong>di</strong> una variabile alla volta risultando così <strong>di</strong> <strong>di</strong>fficile interpretazione.<br />
Per risolvere questo problema si può applicare una rotazione dei fattori, per esempio<br />
utilizzando il metodo VARIMAX 64, che cerca <strong>di</strong> minimizzare il numero <strong>di</strong> variabili che<br />
64 HARMANN H.H., Modern factor analysis, The University of Chicago Press, Chicago, 1967, 2nd E<strong>di</strong>tion;<br />
CHILD D., The essentials of Factor Analysis, Holt, Rineart and Winstone, London, 1970;<br />
MORRISON D.F., Meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> analisi statistica multivariata, Casa E<strong>di</strong>trice Ambrosiana, Milano, 1976;<br />
90<br />
p,
hanno alti legami con un fattore per ottenere un sistema finale <strong>di</strong> fattori in<strong>di</strong>pendenti<br />
esplicativi <strong>di</strong> insiemi <strong>di</strong>stinti <strong>di</strong> variabili. Con questa rotazione la matrice iniziale dei factor<br />
loa<strong>di</strong>ngs cambia mantenendo però costante la comunalità <strong>di</strong> ogni variabile.<br />
Nel paragrafo successivo verranno mostrate applicazioni economiche <strong>del</strong>l'analisi fattoriale,<br />
con la tecnica <strong>del</strong>le componenti principali, in cui si cercherà <strong>di</strong> interpretare la matrice dei<br />
coefficienti <strong>di</strong> saturazione per poter dare significato ai fattori estratti.<br />
SIMULAZIONI<br />
1) Date due variabili, cui corrisponde la seguente matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza<br />
C = ⎡ 4<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
2<br />
si propone <strong>di</strong> trovarne le componenti principali<br />
2⎤<br />
⎥<br />
3 ⎦⎥<br />
Si devono calcolare dapprima gli autovalori <strong>di</strong> C, trovando i valori che annullano il determinante <strong>del</strong><br />
sistema<br />
⎧⎪<br />
⎡ 4<br />
det⎨⎢ ⎩⎪ ⎣⎢<br />
2<br />
2⎤⎡1<br />
⎥ − ⎢<br />
3 ⎦⎥<br />
⎣0<br />
0⎤⎫⎪<br />
4<br />
det<br />
1<br />
⎥⎬<br />
⎦⎭⎪<br />
2<br />
2<br />
( 5 )( 2 ) 0<br />
3<br />
=<br />
⎡ −<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
⎤<br />
⎥ = = − − =<br />
− ⎦⎥<br />
λ<br />
λ<br />
........ λ λ<br />
λ<br />
Si hanno soluzioni per λ1 = 5 e λ2 = 2.<br />
La prima componente principale sarà quella corrispondente all'autovalore più grande, λ1 = 5. Il<br />
corrispondente autovettore si ottiene sostituendo l1 e risolvendo il sistema<br />
⎡4−5<br />
2 ⎤⎡<br />
11 ⎤ ⎡0<br />
⎢ ⎥⎢<br />
⎥ = ⎢<br />
⎣⎢<br />
2 3−5⎦⎥⎣21 ⎦ ⎣0<br />
⎤ a<br />
a<br />
⎥<br />
⎦<br />
cioè<br />
⎧⎪<br />
− a11 + 2 a21<br />
= 0<br />
⎨<br />
⎩⎪ 2 a11 − 2a21 = 0<br />
l'autovettore corrispondente è: a = ⎡ 2 ⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
k ∈R<br />
⎣⎢<br />
1 ⎦⎥<br />
,<br />
⎡ 2<br />
Tenendo presente il vincolo aa 1′ 1= 1, si ottiene l'autovettore: a= ⎢<br />
⎣⎢<br />
1<br />
principale<br />
3⎤<br />
⎥ da cui la prima componente<br />
3 ⎦⎥<br />
z1 = ax 1 = a11x1+ a21x2 =<br />
2<br />
x1+ 3<br />
1<br />
x2<br />
3<br />
'<br />
La variabilità spiegata dalla prima componente è pari a 5/(5+2) cioè il 71,4% <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità totale.<br />
Si determina il secondo autovettore in modo analogo:<br />
z2 = ax 2 = a12x1+ a22x2 =<br />
1<br />
x1+ 3<br />
2<br />
x2<br />
3<br />
'<br />
Allora si può calcolare x attraverso<br />
x1<br />
x = Az<br />
x2<br />
⎡ ⎤ ⎡ + ⎤<br />
⎢ ⎥ = = ⎢<br />
⎣ ⎦ ⎣ +<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
⎡ 2<br />
⎢ z1+ a11z1 a12z2 ⎢ 3<br />
a ⎢<br />
21z1 a22z2 1<br />
⎢ z1+ ⎣⎢<br />
3<br />
1 ⎤<br />
z2⎥<br />
3 ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
z ⎥ 2<br />
3 ⎦⎥<br />
Se si vuole approssimare x tramite l'utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> sola prima componente principale si ha:<br />
KAISER H.F., Computer Program for varimax rotation in factor analysis, in Journal of Educatiorn and<br />
Psycological Measurement, 1959, Vol.19, Pagg 413-420<br />
91
a<br />
$x = z<br />
a<br />
⎛ 11⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2) Determinare le componenti principali utilizzando la matrice <strong>del</strong>le varianze e covarianze fra i ren<strong>di</strong>menti<br />
⎛ 196 .<br />
dei titoli A e C : ⎜<br />
⎝229<br />
.<br />
229 . ⎞<br />
⎟<br />
285 . ⎠<br />
⎛196<br />
. − λ<br />
det( C− λI)<br />
= det⎜<br />
⎝ 229 .<br />
229 . ⎞<br />
⎟ = 0<br />
285 . − λ⎠<br />
2 2 2<br />
(. 1 96 −λ)( 2. 85−λ) − 2. 29 = 5. 586 −1. 96λ − 2. 85λ + λ − 5. 2441 = λ − 4. 81λ + 0. 3419 = 0<br />
Gli autovalori sono:<br />
4. 81± λ =<br />
23. 1361− 4 × 0. 3419 4. 81± 4. 666<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
λ1 4 738 = .<br />
4. 738<br />
La variabilità spiegata da λ1 è pari a<br />
= 0. 985<br />
4. 738 + 0. 072<br />
21<br />
= . e λ 2 0 072<br />
Si determina l'autovettore associato al primo autovalore risolvendo il sistema<br />
⎛196<br />
. − 4. 738<br />
⎜<br />
⎝ 229 .<br />
2. 29 ⎞ 11<br />
⎟ 0<br />
285 . − 4738 . ⎠ 21<br />
⎛a<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝a<br />
⎠<br />
2<br />
soggetto al vincolo <strong>di</strong> normalizzazione a<br />
2<br />
+ a = 1 ovvero il sistema:<br />
11<br />
21<br />
⎧−<br />
2. 778a11 + 2. 29a21 = 0<br />
⎪<br />
⎨229<br />
. a11 − 1888 . a21<br />
= 0<br />
⎪ 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21<br />
= 1<br />
229 .<br />
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21 = 0. 824a21<br />
⇒<br />
2. 778<br />
⎡0.<br />
824⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
;<br />
⎣ 1 ⎦<br />
imponendo il vincolo <strong>di</strong> norma unitaria si ottiene l'autovettore corrispondente al primo autovalore<br />
a = ⎡06358<br />
. ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣07716<br />
. ⎦<br />
La prima componente principale è data:<br />
z1 = 0. 6358x1+ 0. 7716x2<br />
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente<br />
z2 = − 0. 7716x1+ 0. 6361x2<br />
Se si vogliono esprimere le variabili x in funzione <strong>di</strong> z si avrà:<br />
x1 = 0. 6358z1−0. 7716z2<br />
x2 = 0. 7716z1+ 0. 6361z2<br />
Si vuole ora illustrare lo stesso esempio utilizzando però la matrice <strong>di</strong> correlazione R:<br />
R = ⎡ 1 096 . ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣096<br />
. 1 ⎦<br />
Data la funzione caratteristica si ha<br />
⎛1−λ096<br />
. ⎞<br />
det( R− λI)<br />
= det⎜<br />
⎟ = 0<br />
⎝ 096 . 1−<br />
λ⎠<br />
( )( )<br />
2<br />
1−λ 1−λ − 0. 96<br />
con i seguenti autovalori:<br />
2 2<br />
= 1+ λ −2λ− 0. 9216 = λ − 2λ+ 0. 0784 = 0<br />
1<br />
λ12<br />
, =<br />
1 0. 0784<br />
λ1<br />
196 .<br />
1 096 .<br />
1<br />
λ 2 004 .<br />
± −<br />
⎧ =<br />
196 .<br />
= ± ⇒ ⎨ dove la variabilità spiegata da l1 è pari a<br />
=<br />
098 .<br />
⎩ =<br />
196 . + 004 .<br />
92<br />
1
Si determina ora l'autovettore associato a questo primo autovalore risolvendo il seguente sistema<br />
⎛1−196<br />
⎜<br />
⎝ 096<br />
096 ⎞ 11<br />
⎟ 0<br />
1−196⎠ 21<br />
⎛<br />
.<br />
.<br />
. a ⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
. ⎝a<br />
⎠<br />
2 2<br />
soggetto al vincolo a11 + a21<br />
= 1,<br />
ovvero il sistema:<br />
⎧−<br />
096 . a11 + 096 . a21<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎨096<br />
. a11 − 096 . a21<br />
= 0<br />
⎪ 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21<br />
= 1<br />
⎡<br />
⎢<br />
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21<br />
⇒ a = ⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
La prima componente principale è data:<br />
1 ⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎥ ;<br />
1 ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
⎦<br />
z1 =<br />
1<br />
x1+ 2<br />
1<br />
x2<br />
2<br />
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente<br />
z2 =−<br />
1<br />
x1+ 2<br />
1<br />
x2<br />
2<br />
3) Si ipotizzi <strong>di</strong> applicare la PCA sulla matrice <strong>del</strong>le varianze e covarianze dei ren<strong>di</strong>menti dei tre titoli A, C,<br />
E:<br />
⎛ 196 .<br />
⎜<br />
C = ⎜ 229 .<br />
⎜<br />
⎝−028<br />
.<br />
229 .<br />
285 .<br />
−057<br />
.<br />
−028<br />
. ⎞<br />
⎟<br />
−057<br />
. ⎟<br />
114 . ⎠<br />
da cui<br />
⎛196<br />
. −<br />
⎜<br />
det⎜<br />
229 .<br />
⎜<br />
⎝ −028 .<br />
229 .<br />
285 . −<br />
−057 .<br />
−028<br />
. ⎞<br />
⎟<br />
−057<br />
. ⎟ 0<br />
⎟<br />
114 . − ⎠<br />
=<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
si ottengono gli autovalori l1=4.8411, l2=1.058, l3=0.0509 la cui somma è pari a 5.95.<br />
La variabilità spiegata dai singoli autovalori è la seguente:<br />
λ1<br />
λ2<br />
λ3<br />
= 0. 81; = 0. 178; = 0. 008<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
∑ ∑ ∑<br />
i i i<br />
Per le fasi successive si sceglie solo il primo autovalore poiché esprime l'81% <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti. Per il calcolo <strong>del</strong> corrispondente autovettore si deve risolvere il sistema omogeneo:<br />
⎛196<br />
. −4. 8411<br />
⎜<br />
⎜ 2. 29<br />
⎜<br />
⎝ −0. 28<br />
2. 29<br />
2. 85 −4. 8411<br />
−0. 57<br />
−0.<br />
28 ⎞⎛<br />
11⎞<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
−0.<br />
57 ⎟⎜<br />
21⎟<br />
0<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
114 . −4.<br />
8411⎠<br />
⎝ 31⎠<br />
=<br />
2 2 2<br />
con vincolo a11 + a21 + a31<br />
= 1 cioè:<br />
a<br />
a<br />
a<br />
⎧−<br />
2. 8811a11 + 2. 29a21 − 0. 28a31 = 0<br />
⎪<br />
⎪229<br />
. a11 −19811 . a21 − 057 . a31<br />
= 0<br />
⎨<br />
⎪<br />
−0. 28a11 −0. 57a21 − 3. 701a31 = 0<br />
⎪ 2 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21 + a31<br />
= 1<br />
L' autovettore risulta così composto: a11=0.623, a21=0.764, a31=-0.165.<br />
La prima componente principale quin<strong>di</strong> è data da:<br />
z1= 0623 . A+ 0764 . C−0165 .<br />
E<br />
93
A questo punto, pur avendo determinato una sola componente principale, si può calcolare il vettore dei<br />
coefficienti <strong>di</strong> correlazione fra la componente principale e le variabili iniziali:<br />
a11<br />
λ1<br />
0. 623 4. 8411 0623 . ⋅ 22 .<br />
ρ Az = = = = 0979 .<br />
1 σ A 196 .<br />
14 .<br />
a21<br />
λ1<br />
0. 764 4. 8411 0764 . ⋅ 22 .<br />
ρBz<br />
= = = = 0996 .<br />
1 σ<br />
285 . 1688 .<br />
ρ<br />
Cz1<br />
B<br />
( . ) . ( )<br />
a31<br />
λ1<br />
0165 4 8411<br />
= =<br />
σ<br />
114<br />
−<br />
= − ⋅<br />
.<br />
C<br />
Si otterrà così il seguente vettore correlazione:<br />
0165 . 22 .<br />
=−034<br />
.<br />
1067 .<br />
z1<br />
A ⎡0979<br />
. ⎤<br />
B<br />
⎢<br />
0996 .<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
C ⎣⎢<br />
−034<br />
. ⎦⎥<br />
Analizzando tale vettore si vede come la componente principale sia altamente correlata positivamente con i<br />
titoli A e B.<br />
94
7.2.2. Alcune esperienze<br />
Molti stu<strong>di</strong>osi hanno analizzato i mercati finanziari con la tecnica <strong><strong>del</strong>la</strong> componenti<br />
principali. Meric I. e Meric G. 65 hanno applicato la tecnica <strong>del</strong>le componenti principali alla<br />
matrice <strong>di</strong> varianza e covarianza <strong>del</strong>le serie storiche dei ren<strong>di</strong>menti mensili, dal 1973 al<br />
1987, degli in<strong>di</strong>ci azionari <strong>di</strong> 17 paesi e <strong>del</strong>le serie storiche dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> 17 settori<br />
industriali internazionali.<br />
Data l'estrazione <strong>di</strong> quattro componenti, nell'analisi <strong>di</strong> 17 in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> borsa, e l'estrazione<br />
<strong>di</strong> due componenti, nell'analisi dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> 17 settori industriali, si sono calcolate le<br />
due matrici <strong>del</strong>le correlazioni in<strong>di</strong>ci-componenti (Tab.9 e Tab. 10).<br />
In grassetto si sono segnati i coefficienti massimi per riga.<br />
In Tab. 10 si nota come l'estrazione <strong>di</strong> due soli fattori spiega che i ren<strong>di</strong>menti dei settori<br />
industriali sono più correlati tra loro dei ren<strong>di</strong>menti dei mercati azionari nazionali (Tab.9).<br />
Portafogli <strong>di</strong>versificati per nazione permettono quin<strong>di</strong> risultati migliori, in termini <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento-rischio, <strong>di</strong> portafogli <strong>di</strong>versificati per settore industriale.<br />
In Tabella 9 si può notare, analizzando la varianza spiegata cumulata, come i primi<br />
quattro fattori spiegano insieme il 62% <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le 17 nazioni. Il<br />
primo fattore è altamente correlato con i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> mercato <strong>del</strong>l'area <strong>del</strong> marco e quin<strong>di</strong><br />
riassume la variabilità degli in<strong>di</strong>catori <strong>di</strong> tale area. Il secondo invece riassume la variabilità<br />
dei ren<strong>di</strong>menti dei paesi <strong>del</strong>l'area <strong>del</strong> dollaro. Il terzo considera i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> Spagna,<br />
Italia e Giappone. Il quarto riassume la variabilità dei paesi <strong>del</strong> sud-est asiatico. La Francia<br />
ha ren<strong>di</strong>menti legati con tutti i primi tre fattori. Si possono così utilizzare solo quattro<br />
variabili (le quattro componenti) per spiegare la variabilità dei ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> ben 17<br />
nazioni.<br />
Analizzando la Tab.10 é evidente che i settori industriali internazionali sono molto<br />
correlati nei ren<strong>di</strong>menti; bastano infatti due componenti per spiegare il 67.6% <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
variabilità totale, inoltre si hanno settori con ren<strong>di</strong>menti correlati sia con la prima sia con la<br />
seconda componente.<br />
Elton e Gruber 66 hanno applicato la PCA alla matrice <strong>del</strong>le correlazioni dei prezzi <strong>di</strong> 76<br />
società <strong>di</strong> sette comparti industriali. Essi hanno trovato che la variabilità totale è stata<br />
spiegata:<br />
− dalla prima componente per il 36%;<br />
− dalle prime tre componenti per il 45%;<br />
− dalle prime otto per il 61%;<br />
− dalle prime <strong>di</strong>ciassette per il 75%.<br />
65MERIC I. e MERIC G., "Potential Gains from International Portfolio Diversification and Intertemporal<br />
Stability and Seasonality in International Market Relationship", Journal of Banking and Finance, 13, 1989.<br />
66ELTON J.E., GRUBER J.M., “Estimating the Dependence Structure of Share Price”, Journal of Finance,<br />
Dec., 1973.<br />
95
Anche in Italia si è utilizzato più volte tale tecnica sia nella <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> nel<br />
caso in cui le osservazioni siano in numero inferiore rispetto alle possibilità 67 , sia per<br />
l'analisi <strong>del</strong>le performance dei fon<strong>di</strong> comuni <strong>di</strong> <strong>di</strong>ritto italiano 68 .<br />
Tab. 9: Correlazioni fra i ren<strong>di</strong>menti dei mercati azionari <strong>di</strong> 17 paesi e le<br />
quattro componenti estratte da Meric I. e Meric G.:"Potential Gains from<br />
International Portfolio Diversification and Intertemporal Stability and<br />
Seasonality in International Market Relationship", Journal of Banking and<br />
Finance, 13, 1989 (in grassetto il coefficiente <strong>di</strong> correlazione massimo per riga).<br />
COMPONENTI PRINCIPALI<br />
Mercati Prima Seconda Terza Quarta<br />
azionari I1 I2 I3 I4<br />
Germania 0.837 0.133 0.151 0.154<br />
Austria 0.767 -0.008 0.181 0.063<br />
Svizzera 0.720 0.371 0.167 0.203<br />
Paesi Bassi 0.683 0.457 0.134 0.183<br />
Belgio 0.651 0.373 0.331 0.036<br />
Canada 0.076 0.784 0.173 0.203<br />
U.S.A. 0.186 0.719 -0.026 0.322<br />
Norvegia 0.374 0.658 0.092 -0.003<br />
Gran Bretagna 0.273 0.591 0.307 0.122<br />
Italia 0.160 0.223 0.674 0.034<br />
Spagna 0.188 0.086 0.656 0.001<br />
Giappone 0.386 -0.077 0.610 0.404<br />
Hong Kong 0.195 0.114 0.098 0.796<br />
Singapore 0.108 0.339 0.019 0.716<br />
Svezia 0.392 0.347 0.166 0.225<br />
Francia 0.420 0.458 0.451 -0.043<br />
Australia<br />
% varianza<br />
-0.059 0.493 0.466 0.373<br />
spiegata<br />
% var. spiegata<br />
cumulata<br />
40.1<br />
40.1<br />
67 ROSSI F.A., "La Selezione <strong>del</strong> Portafoglio nel caso <strong>di</strong> Alternative in Numero Maggiore <strong>del</strong>le Osservazioni<br />
e in Presenza <strong>di</strong> Strutture <strong>di</strong> Dipendenza Lineare", Il Risparmio, n.3, Marzo 1981.<br />
68 ROSSI F.A., ERLACHER E., "Efficienza ed Equilibrio Finanziario dei Fon<strong>di</strong> Comuni <strong>di</strong> Diritto Italiano", Atti<br />
<strong>del</strong> XII convegno A:M.A.S.E.S., Palermo, Settembre, 1988.<br />
96<br />
9.2<br />
49.4<br />
6.4<br />
55.8<br />
6.3<br />
62.0
Tab. 10: Correlazioni fra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> 17 settori<br />
internazionali e le due componenti estratte da Meric I. e Meric<br />
G.: "Potential Gains from International Portfolio Diversification<br />
and Intertemporal Stability and Seasonality in International<br />
Market Relationship", Journal of Banking and Finance, 13,<br />
1989 (in grassetto i coefficienti massimi per riga).<br />
Componenti Principali<br />
Settori Prima Seconda<br />
Internazionali I1 I2<br />
Distribuzione 0.852 0.254<br />
Alimentari 0.837 0.366<br />
Sanità 0.832 0.328<br />
Assicurazioni 0.745 0.444<br />
Tessile 0.680 0.505<br />
Energia 0.679 0.115<br />
E<strong>di</strong>lizia 0.665 0.589<br />
Chimica 0.648 0.604<br />
Legno 0.644 0.487<br />
Acciaio 0.097 0.861<br />
Metalmeccanica 0.454 0.785<br />
Elettronica 0.503 0.705<br />
Aviotrasporti 0.168 0.678<br />
Automobili 0.413 0.610<br />
Banche 0.491 0.584<br />
Metalli non ferrosi 0.381 0.567<br />
Altri 0.445 0.547<br />
% varianza spiegata<br />
% varianza spiegata<br />
cumulata<br />
97<br />
60.7<br />
60.7<br />
6.9<br />
67.6
8<br />
LA SCELTA PREFERITA<br />
8.1 Introduzione<br />
Credo che se si chiedesse a un decisore qualsiasi “Avendo due possibilità, l’investimento A<br />
con ren<strong>di</strong>mento certo 8 milioni e l’investimento B con ren<strong>di</strong>mento certo 12 milioni, quale<br />
sceglieresti a parità <strong>di</strong> capitale da investire e <strong>di</strong> orizzonte temporale?” , la risposta, coerente,<br />
deve essere “scelgo B, perchè è l’alternativa che garantisce il maggior ren<strong>di</strong>mento e quin<strong>di</strong> il<br />
maggior capitale finale (capitale iniziale + ren<strong>di</strong>mento)”. Il rischio è nullo in entrambi i casi,<br />
quin<strong>di</strong> si parla <strong>di</strong> decisioni in ambito certo. Il decisore che utilizza il comune buon senso<br />
commenta che 12 milioni “è meglio” <strong>di</strong> 8 milioni e poggiando sull’adagio che più è meglio <strong>di</strong><br />
meno non va a scomodare l’utilità derivante da tali possibilità: applica <strong>di</strong>rettamente l’utilità<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> moneta. Ma se dovessimo chiedere allo stesso decisore “Avendo due possibilità, a parità<br />
<strong>di</strong> capitale investito e <strong>di</strong> orizzonte temporale: l’investimento A con ren<strong>di</strong>mento certo 6 milioni<br />
e l’investimento B con ren<strong>di</strong>mento 0 milioni con probabilità 0.5 e 20 milioni con probabilità<br />
0.5, quale seglieresti?”, credo che il decisore in questione avrà:<br />
- prima, qualche momento <strong>di</strong> riflessione;<br />
- poi, l’accenno <strong>di</strong> una risposta che:<br />
- nel caso più frequente è “non saprei” o “dovrei vedere” o “le alternative non sono a<br />
pari con<strong>di</strong>zioni, quin<strong>di</strong> non confrontabili” (una dà un ren<strong>di</strong>mento certo, l’altra aleatorio);<br />
- talvolta è “scelgo B perchè i 6 milioni <strong>di</strong> A sono inferiori ai 10 milioni (= 0×0.5 +<br />
20×0.5) <strong>di</strong> B” e costui potrebbe passare per persona istruita, competente ed in grado <strong>di</strong><br />
gestire il rischio avendo evidenziato che il valore atteso <strong>di</strong> B è maggiore <strong>del</strong> valore certo <strong>di</strong> A.<br />
Taluno potrebbe forse spingersi a classificare tale decisore come propenso al rischio;<br />
- tal’altra “scelgo A, perchè mi garantisce 6 milioni certi, non accettando 0 milioni con<br />
probabilità 0.5, anche se ho la possibilità <strong>di</strong> 20 milioni con probabilità 0.5”, e costui<br />
passerebbe per persona avversa al rischio.<br />
In questo capitolo si stu<strong>di</strong>eranno questi problemi. L’approcio alle scelte in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
incertezza sarà attuato utilizzando la metodologia <strong>del</strong>l’utilità attesa che sarà poi applicata alle<br />
scelte <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> per la in<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> ottimo (la scelta migliore).<br />
8.2 La teoria <strong>del</strong>l’utilità attesa<br />
Definiti con<br />
Xa={xa,1,...,xa,n}; Xb={xb,1,...,xb,n} ; ......<br />
gli insiemi <strong>del</strong>le possibili realizzazioni <strong>di</strong> variabili casuali rappresentanti, nell’or<strong>di</strong>ne, gli esiti<br />
degli eventi finanziari a,b,..., al fine <strong>di</strong> ottenere un or<strong>di</strong>namento <strong>di</strong> preferenza nell’insieme X è<br />
necessario introdurre una funzione <strong>di</strong> valutazione<br />
y=g(Xj), j=a,b,... , con y∈ℜ ; g:X→ℜ.<br />
98
Il valore <strong>di</strong> utilità è, pertanto, un numero reale associato ad una determinata situazione, tale da<br />
rappresentarne il grado <strong>di</strong> desiderabilità 69 .<br />
Ad ogni alternativa, predeterminata e caratterizzata da <strong>di</strong>versi gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> convincimento, risulta<br />
possibile assegnare un valore <strong>di</strong> probabilitá 70 dato dalle considerazioni coerenti che<br />
l'in<strong>di</strong>viduo soggettivamente compie. Inoltre, per poter utilizzare tale approccio è necessario<br />
che la scelta tra le <strong>di</strong>verse alternative permetta al decisore <strong>di</strong> massimizzare la propria funzione<br />
<strong>di</strong> utilitá (o sod<strong>di</strong>sfacimento).<br />
Il criterio <strong>di</strong> scelta, in tal caso, è espresso dalla massimizzazione <strong>del</strong>l’utilità attesa.<br />
Scegliere l'utilitá attesa come criterio per la <strong>selezione</strong> fra <strong>di</strong>verse attivitá vuol <strong>di</strong>re associare<br />
ad ognuna <strong>di</strong> esse, in<strong>di</strong>pendenti fra <strong>di</strong> loro, una coppia <strong>di</strong> valori: l'utilitá <strong>del</strong>l’evento e la<br />
probabilità associata all’evento.<br />
I problemi decisionali attinenti a conseguenze <strong>di</strong> carattere monetario richiedono, al fine <strong>di</strong> una<br />
soluzione razionale, la definizione <strong>di</strong> una funzione, detta funzione <strong>di</strong> utilità <strong><strong>del</strong>la</strong> moneta ed<br />
espressa da u(x), con x variabile aleatoria a carattere monetario come la ricchezza, il red<strong>di</strong>to,<br />
il Valore Attuale <strong>di</strong> flussi netti futuri.<br />
Si passa quin<strong>di</strong> da una teoria <strong>del</strong>l'utilitá in ambito certo dove 71<br />
( ) ( )<br />
U x ≥U x ⇔ x f x<br />
1 2 1 2<br />
cioè l'utilità <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione x1 è maggiore o uguale all'utilità <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione x2 se e solo se<br />
x1 è preferito a x2 , alla teoria <strong>del</strong>l'utilità in ambito probabilistico ove il decisore associa ad<br />
ogni possibile ammontare aleatorio il valore <strong>del</strong>l’utilità che lo stesso decisore ne trae, quin<strong>di</strong><br />
l'utilità <strong>di</strong> un insieme <strong>di</strong> possibilità è data dal valore atteso <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità u( x):<br />
∞<br />
U( X) = ∫ u( x) f ( x) dx con x definito nel continuo<br />
−∞<br />
n<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
U ( X) u( x ) p<br />
i i<br />
con x carattere <strong>di</strong>screto<br />
X, insieme <strong>del</strong>le possibilità;<br />
f ( x) , pi , rispettivamente la funzione <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> probabilità e le probabilità assegnate alle<br />
varie possibilità (eventi).<br />
Generalizzando, la relazione può essere scritta come:<br />
U( X) = E u x .<br />
99<br />
[ ( ) ]<br />
69 VARIAN H., Microeconomia, Cafoscarina, Venezia, 1987.<br />
70 VON NEUMANN J., MORGESTERN O., Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press,<br />
1944; FAMA E. F. E MILLER M. H., The Theory of Finance, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1972, cap. 5;<br />
COPELAND T. E. e WESTON J. F., Financial Theory and Corporate Policy, Ad<strong>di</strong>son Wesley, Rea<strong>di</strong>ng Mass.,<br />
1988; HUANG C., LITZENBERGER R.H., Foudations for Financial Economics, North-Holland, New York, 1988;<br />
INGERSOLL J.E., Theory of Financial Decision Making, Rowman and Littlefield, Savage, 1987; ZIEMBA W.T.,<br />
VICKSON R.G., Stochastic Optimisation Mo<strong>del</strong>s in Finance, Academic Press, New York, 1975.<br />
71 In termini formali con il simbolo f si in<strong>di</strong>ca la relazione “essere preferito a”, mentre la relazione <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>fferenza si in<strong>di</strong>ca con ≈.
Come in ambito certo, anche per l'utilità attesa esiste un or<strong>di</strong>namento <strong>del</strong>le preferenze<br />
(dominanza stocastica <strong>di</strong> primo or<strong>di</strong>ne) tale per cui:<br />
Eux > Eux ⇔ x f x;<br />
[ ( ) ] ( )<br />
( )<br />
[ ]<br />
[ ] [ ( ) ]<br />
1 2 1 2<br />
Eux1 = Eux2 ⇔ x1 ≈ x2.<br />
Tale approccio deriva dall'impostazione che Von Neumann-Morgenstern (VN-M) proposero<br />
nel 194472 in riferimento a possibili preferenze fra <strong>di</strong>verse lotterie affermando che:<br />
se L è una lotteria con poste x1, x2,..., xnassociate agli eventi E1, E2,..., Encon probabilità<br />
p1, p2,..., pnprefissate dal giocatore, la sua utilità è data dalla me<strong>di</strong>a ponderata <strong>del</strong>le<br />
funzioni <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong>le singole poste con pesi le corrispondenti probabilità:<br />
n<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
U( L) u( x ) p .<br />
VN-M hanno introdotto un insieme <strong>di</strong> postulati, o assiomi, su come si formano le preferenze,<br />
che permettono <strong>di</strong> creare una funzione <strong>di</strong> utilità che abbia la proprietà <strong>di</strong> stabilire non solo<br />
l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> preferenza <strong>del</strong>le azioni, ma anche la misura <strong>del</strong>le <strong>di</strong>fferenze nell’utilità <strong>di</strong> azioni<br />
<strong>di</strong>verse. I postulati sono73: 1) comparabilità o completezza: un investitore or<strong>di</strong>na tutti i possibili risultati stabilendo se un<br />
risultato x è preferito, in<strong>di</strong>fferente o non preferito ad un risultato y, cioè per ogni coppia x, y<br />
vale una ed una sola fra le seguenti alternative: x f y, x ≈ y, x p y;<br />
2) transitività o consistenza: se un investitore preferisce x a y e y a z allora preferisce x a z:<br />
x f y, y f z ⇒ x f z;<br />
tale postulato sottolinea quin<strong>di</strong> che l'attrattiva <strong>di</strong> un'alternativa è<br />
valutata in<strong>di</strong>pendentemente dalle altre alternative;<br />
3) in<strong>di</strong>pendenza o assioma <strong>di</strong> sostituzione: se un investitore è in<strong>di</strong>fferente fra due alternative x<br />
e y, me<strong>di</strong>e dei possibili risultati ponderati con le rispettive probabilità, e se viene data<br />
un'alternativa incerta z allora l'investitore risulta in<strong>di</strong>fferente tra le seguenti altre due<br />
alternative:<br />
x con probabilità p e z con probabilità 1-p<br />
y con probabilità p e z con probabilità 1-p:<br />
x ≈ y ⇒ [ px + ( 1−p) z] ≈ [ py + ( 1 − p) z]<br />
.<br />
L'elemento fondamentale <strong>di</strong> questo assioma è che impone alla funzione <strong>di</strong> utilità una forma<br />
lineare nelle probabilità; inoltre, va osservato che la formulazione <strong>del</strong>l’assioma <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>pendenza, come ne suggerisce la denominazione, comporta una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
probabilità <strong>di</strong> più alternative tra loro in<strong>di</strong>pendenti.<br />
4) misurabilità: se un investitore preferisce x a y e y a z allora esiste un’unica probabilità p<br />
tale che y sia in<strong>di</strong>fferente a x con probabilità p e z con probabilità 1-p:<br />
x f y f z ⇒∃! p∈( 01 , ) y ≈ [ px+ ( 1 −p)<br />
z]<br />
5) or<strong>di</strong>nabilità: se x e y sono preferiti ad a e non preferiti a b e si possono determinare due<br />
sitazioni tali per cui x è in<strong>di</strong>fferente ad a con probabilità p1 e b con probabilità (1-p1) e y è<br />
72VON NEUMANN J., MORGESTERN O., 1944, op. cit.; MORICONI F., Matematica Finanziaria, il Mulino, Milano,<br />
1994.<br />
73 L’approccio assiomatico presentato rispecchia la formulazione sviluppata in FAMA E. F. E MILLER M. H.,<br />
1972, op. cit.<br />
100<br />
i i
in<strong>di</strong>fferente ad a con probabilità p2 e b con probabilità (1-p2), allora se p1 è maggiore <strong>di</strong> p2 ne<br />
deriva che x è preferito ad y:<br />
Se a p x pbe a p y pb<br />
ed inoltre<br />
x ≈ [ pa 1 + ( 1− p1) b] e y ≈ [ p2a+ ( 1−<br />
p2) b]<br />
allora se:<br />
p1 > p2 ⇒ x f y<br />
p1 = p2 ⇒ x ≈ y<br />
p1 < p2 ⇒ x p y<br />
A questi assiomi va affiancato il postulato <strong>di</strong> non sazietà, espresso dal “preferire il più al<br />
meno”. In tal caso l’utilità marginale <strong><strong>del</strong>la</strong> ricchezza è sempre positiva.<br />
Questi postulati permettono la costruzione <strong>del</strong>l'ipotesi fondamentale <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong> utilità<br />
crescente e continua su tutto il suo insieme <strong>di</strong> definizione che rappresenta le scelte razionali<br />
<strong>del</strong>l'operatore.<br />
Al fine <strong>di</strong> ottenere una funzione <strong>di</strong> utilità, per un determinato soggetto e in relazione ad un<br />
insieme <strong>di</strong> alternative aleatorie, è necessario indagare l’atteggiamento <strong>del</strong> decisore verso il<br />
rischio.<br />
Si possono verificare tre atteggiamenti <strong>di</strong>versi da parte <strong>del</strong> decisore nei confronti <strong>del</strong> rischio<br />
consistenti con gli assiomi <strong>di</strong> VN-M (ve<strong>di</strong> Fig. 32):<br />
a) investitore avverso al rischio (risk averter) dotato <strong>di</strong> una curva <strong>di</strong> utilità concava in<br />
quanto ad incrementi uguali <strong>di</strong> capitale corrispondono incrementi <strong>di</strong> utilità via via<br />
decrescenti;<br />
b) investitore in<strong>di</strong>fferente al rischio (risk neutral) denota interesse esclusivo per il<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso senza considerare il livello <strong>di</strong> rischio associato all’investimento: la<br />
scelta ricadrebbe sull’alternativa con ren<strong>di</strong>mento atteso più elevato;<br />
c) investitore propenso al rischio (risk lover) dotato <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong> utilità convessa in<br />
quanto l’utilità marginale è in relazione crescente con la ricchezza: il decisore si<br />
orienterebbe sull’alternativa con rischio più elevato (anche se non con red<strong>di</strong>tività attesa<br />
più alta).<br />
u(x)<br />
avverso in<strong>di</strong>fferente propenso<br />
u(x)<br />
u(x)<br />
x<br />
(a) (b) (c)<br />
Fig. 32 Esempi <strong>di</strong> funzioni <strong>di</strong> utilità <strong>di</strong> decisiori avversi, neutrali, propensi al rischio.<br />
101<br />
x<br />
x
In sintesi, mentre il postulato <strong>di</strong> non sazietà consente <strong>di</strong> suffragare la monotonicità <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
funzione <strong>di</strong> utilità, l’atteggiamento <strong>del</strong> soggetto <strong>di</strong> fronte al rischio (avverso, neutrale o<br />
propenso) permette <strong>di</strong> circoscrivere la famiglia <strong>di</strong> funzioni <strong>di</strong> utilità (concava, lineare o<br />
convessa), caratterizzata in termini <strong>di</strong> derivata seconda (rispettivamente negativa, nulla o<br />
positiva).<br />
Come anticipato, un in<strong>di</strong>viduo chiamato a scegliere razionalmente tra più possibilità aleatorie<br />
(il caso <strong>di</strong> alternativa certa può essere assunta ad alternativa aleatoria degenere) deve attuare<br />
un confronto non già tra i valori attesi <strong>del</strong>le grandezze, ma tra i valori attesi <strong>del</strong>le<br />
corrispondenti utilità e, dalla formulazione assiomatica precedente, è possibile definire il<br />
certo equivalente. Per ogni alternativa casuale esiste sempre un ammontare certo che produce<br />
un'utilità pari all'utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong> somma aleatoria, rendendo per l'investitore in<strong>di</strong>fferente la<br />
scelta tra esso, certo, e l'alternativa casuale. Tale ammontare è detto certo equivalente 74.<br />
Allora, se si considera m il certo equivalente e x l'importo aleatorio si ha:<br />
[ ( ) ]<br />
um ( )= Eux .<br />
Se la funzione <strong>di</strong> utilità è continua e strettamente monotona sull'intervallo considerato, essa è<br />
invertibile e si può calcolare come<br />
ve<strong>di</strong> grafico in Fig. 33.<br />
{ [ ( ) ] }<br />
m= u E u x<br />
−1<br />
Poichè si è detto che l'utilità <strong>del</strong> certo equivalente vale l'utilità <strong>del</strong> valore atteso <strong>del</strong>l'importo<br />
aleatorio allora<br />
E[u(x)]= u(m)=u[E(x)]<br />
vale se e solo se il soggetto è in<strong>di</strong>fferente al rischio, cioè ha funzione <strong>di</strong> utilità lineare.<br />
Se ciò non accade si può <strong>di</strong>mostrare che 75:<br />
• l'utilità <strong>del</strong> certo equivalente risulta minore <strong>del</strong>l’utilità <strong>del</strong> valore atteso<br />
E[u(x)]=u(m)
allorquando il decisore sia propenso al rischio, cioè abbia funzione <strong>di</strong> utilità convessa.<br />
Con questo si vuole confermare il fatto che ogni ammontare aleatorio possiede il suo certo<br />
equivalente e che non sempre esso vale il valore atteso <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile aleatoria.<br />
u(x)<br />
u[E(X)]<br />
E[u(X)]<br />
x 1<br />
P1<br />
A<br />
m<br />
E(X)<br />
103<br />
P 2<br />
x 2<br />
x<br />
Posto x l’importo monetario<br />
aleatorio<br />
con<br />
x<br />
X =<br />
x<br />
⎧ 1 con probabilità p<br />
⎨<br />
⎩ 2 con probabilità p<br />
u(x), utilità <strong><strong>del</strong>la</strong> moneta<br />
Fig. 33 Determinazione <strong>del</strong> certo equivalente m per un in<strong>di</strong>viduo avverso al rischio <strong>di</strong> fronte ad una<br />
somma incerta con due possibili determinazioni: x1 e x 2 con probabilità rispettivamente p 1 e p 2.<br />
La Figura 33 presenta la curva <strong>di</strong> utilità <strong>di</strong> un in<strong>di</strong>viduo avverso al rischio il quale si trova in<br />
una situazione aleatoria X definita da due possibili determinazioni x1 ed x2 rispettivamente<br />
con probabilità p1 e p2. Il valore atteso <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile aleatoria è in<strong>di</strong>cato con E(X)=p1x1+p2x2<br />
la cui utilità è pari a u[E(X)].<br />
Per determinare l’equivalente certo <strong>di</strong> questa situazione aleatoria si deve calcolare l’utilità<br />
attesa data da E[u(X)]=u(x1)p1+u(x2)p2. In base all’assioma 4), l’utilità <strong>del</strong>l’equivalente certo<br />
deve essere uguale all’utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione aleatoria, cioè E[u(X)]=u(m). Accettando<br />
gli assiomi, esposti in precedenza, è possibile giustificare la determinazione <strong>del</strong> certo<br />
equivalente per mezzo <strong>del</strong> calcolo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione inversa <strong>di</strong> utilità calcolata nel punto<br />
E[u(X)].<br />
Graficamente, proiettando l’utilità attesa sulla funzione <strong>di</strong> utilità si determina il punto A la cui<br />
ascissa è il certo equivalente m.<br />
Risulta chiaro che l’utilità <strong>del</strong> valore atteso è minore (per un soggetto avverso al rischio)<br />
<strong>del</strong>l’utilità attesa <strong>del</strong>l’importo aleatorio e quin<strong>di</strong> il certo equivalente è minore <strong>del</strong> valore<br />
atteso. Soltanto se il soggetto è in<strong>di</strong>fferente al rischio e quin<strong>di</strong> la sua funzione <strong>di</strong> utilità è data<br />
dalla retta passante per i punti P1 e P2, il certo equivalente è pari al valore atteso <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
situazione aleatoria: l’utilità attesa è pari all’utilità <strong>del</strong> valore atteso.<br />
Per mezzo <strong>del</strong>l’analisi sopra esposta il decisore è in grado <strong>di</strong> scegliere razionalmente tra più<br />
alternative aleatorie confrontando i relativi equivalenti certi.<br />
1<br />
2
Ritornando alla Fig. 33, se il soggetto avesse a <strong>di</strong>sposizione un ammontare certo k > m<br />
(oppure una seconda situazione aleatoria con equivalente certo k > m ) egli coerentemente<br />
sceglierebbe la situazione certa k (o la situazione aleatoria ad esso collegata) in quanto gli<br />
procurerebbe una utilità maggiore.<br />
Un’interessante osservazione è data dalla <strong>di</strong>fferenza tra il valore atteso e il certo equivalente<br />
π = Ex ( ) − m<br />
che viene definita premio per il rischio.<br />
Un premio positivo, π>0 (si pensi al premio <strong>di</strong> assicurazione), può essere interpretato come<br />
l’importo massimo che un soggetto avverso al rischio è <strong>di</strong>sposto a pagare per sottrarsi alla<br />
situazione aleatoria.<br />
Al contrario, un premio negativo, π
Al fine <strong>di</strong> una migliore interpretazione <strong>di</strong> questa quantità, assunta a misura <strong>del</strong>l’atteggiamento<br />
<strong>del</strong> decisore <strong>di</strong> fronte al rischio, risulta interessante e necessaria una semplice osservazione:<br />
considerati due decisori, caratterizzati dalle proprie funzioni <strong>di</strong> utilità u1 e u2, si calcolano m1<br />
e m2, rispettivamente, gli equivalenti certi ad una stessa situazione aleatoria X. Se:<br />
u1( x)<br />
u2( x)<br />
r1( x)<br />
=− r2( x) x D<br />
u1( x)<br />
u2( x)<br />
′′<br />
>−<br />
′<br />
′′<br />
= ∀ ∈ allora m1 < m2<br />
′<br />
ossia un decisore più avverso al rischio <strong>di</strong> un altro valuterà la medesima situazione aleatoria<br />
attribuendole un equivalente certo minore, o allo stesso modo sarà <strong>di</strong>sposto a sostenere un<br />
maggiore premio per il rischio.<br />
Si riportano in Tabella 11 le funzioni <strong>di</strong> utilità più <strong>di</strong>ffuse in letteratura, il dominio dei<br />
parametri e <strong><strong>del</strong>la</strong> variabile, il coefficiente assoluto e relativo <strong>di</strong> avversione al rischio.<br />
Funzioni <strong>di</strong><br />
utilità<br />
Dominio dei<br />
parametri e <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
variabile<br />
Coefficiente assoluto<br />
<strong>di</strong> avversione al<br />
rischio<br />
105<br />
Coefficiente relativo<br />
<strong>di</strong> avversione al<br />
rischio<br />
Lineare<br />
ux = ax a > 0 zero zero<br />
( )<br />
Quadratica<br />
ux = ax−ax ( )<br />
1 2<br />
Esponenziale<br />
ux = −e − 1<br />
1<br />
( )<br />
a x<br />
Potenza<br />
a<br />
x<br />
ux ( ) =<br />
a<br />
Logaritmica<br />
ux ( ) = alog( x+ d)<br />
a<br />
2<br />
1 x <<br />
2a2<br />
; a2 >0<br />
2a2<br />
a − 2a<br />
x<br />
1 2<br />
a > 0 1<br />
a<br />
x > 0<br />
a > 0<br />
x > 0<br />
a > 0<br />
d > 0<br />
1− a<br />
x<br />
1<br />
x + d<br />
Tab. 11: Alcune funzioni <strong>di</strong> utilità<br />
2a2<br />
x<br />
a − 2a<br />
x<br />
1 2<br />
x<br />
a<br />
1− a<br />
x<br />
x + d<br />
Scelta una funzione <strong>di</strong> utilità, qualsiasi trasformazione lineare crescente <strong>di</strong> questa la<br />
mo<strong>di</strong>fica, ma non muta il sistema <strong>di</strong> preferenze lì sintetizzato. Quin<strong>di</strong>, ad esempio, invece <strong>di</strong><br />
considerare la funzione <strong>di</strong> utilità quadratica u(x)=a1x-a2x 2 si può considerare u(x+k)=b0+b1xb2x<br />
2 , trasformazione lineare <strong><strong>del</strong>la</strong> prima, ma il sistema <strong>di</strong> preferenze non cambia.<br />
E’ interessante notare come le funzioni <strong>di</strong> utilità in Tab. 9 (ad esclusione <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione<br />
lineare) sono <strong>di</strong> tipo HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) 78 in quanto hanno un r(x)<br />
<strong>di</strong> tipo iperbolico:<br />
78 MORICONI F., op. cit.<br />
rx ( )<br />
1<br />
=<br />
a + a x<br />
1 2
con i parametri a1 ed a2 costanti tali da garantire un r(x) sempre positivo.<br />
Uno tra i possibili meto<strong>di</strong> utilizzati per costruire la curva <strong>di</strong> utilità consiste nel determinare<br />
per più situazioni aleatorie, <strong><strong>del</strong>la</strong> forma {x1, p1 = 0.5; x2, p2 = 0.5} i corrispondenti certi<br />
equivalenti. Questo metodo, definito Equally Likely Certainty Equivalent (ELCE) 79, consente<br />
<strong>di</strong> approntare la costruzione <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> utilità per un decisore senza incorrere nei paradossi<br />
e nelle <strong>di</strong>fficoltà evidenziate da altre tecniche 80.<br />
8.3 Valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità<br />
Al fine <strong>di</strong> determinare la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi lo si sottopone ad una serie <strong>di</strong> domande.<br />
In primo luogo si chiede a Rossi per quale importo certo è <strong>di</strong>sposto a scambiare un gioco<br />
(scommessa, lotteria, investimento, business) che gli procura un guadagno <strong>di</strong> 0 milioni con<br />
probabilità 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5. La risposta “6 milioni”, fornita da Rossi,<br />
rappresenta la situazione per cui gli è in<strong>di</strong>fferente avere un guadagno certo <strong>di</strong> 6 milioni<br />
oppure 0 milioni con probabiltà 0.5 e 20 milioni con probabilità 0.5.<br />
Per costruire la funzione <strong>di</strong> utilità si fissano, arbitrariamente, a priori le utilità corrispondenti<br />
al valore minimo e massimo <strong>del</strong>le somme aleatorie (0 e 20 milioni). Il Rossi afferma <strong>di</strong> dare<br />
utilità zero al guadagno zero e utilità 100 al guadagno 20. Allora, possiamo scrivere<br />
x 0 20<br />
ug(x) 0 100<br />
e calcolare l’utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong> situazione aleatoria<br />
1 1 1 1<br />
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( )<br />
g = g 0 + g 20 = 0+ 100 = 50<br />
2 2 2 2<br />
Poichè l’utilità derivante dalla situazione aleatoria deve essere uguale all’utilità associata alla<br />
situazione certa si ha<br />
u ( ) [ ( )<br />
g 6 = Eug x ] = 50<br />
utilità dei sei utilità attesa <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
milioni certi situazione aleatoria<br />
In tal caso, sul piano [x, ug(x)], si sono già in<strong>di</strong>viduati, con le valutazioni <strong>di</strong> cui sopra, 3 punti<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi in relazione alle quantità monetarie:<br />
x 0 6 20<br />
ug(x) 0 50 100<br />
Si ripete ora la medesima procedura sottoponendo il Rossi alla determinazione <strong>del</strong> valore<br />
equivalente alle due lotterie ottenute sud<strong>di</strong>videndo la lotteria iniziale in:<br />
• 0 milioni con probabilità 0.5 e 6 milioni con probabiltà 0.5<br />
• 6 milioni con probabilità 0.5 e 20 milioni con probabiltà 0.5<br />
Il Rossi risponde, rispettivamente, i valori certi equivalenti 2 milioni e 11 milioni, da cui si<br />
ricavano le utilità attese nel modo precedentemente descritto<br />
79 ANDERSON J., DILLON J., HARDAKER B., Agricultural Decision Analysis, Iowa State University Press, Ames,<br />
Iowa, 1977.<br />
80 Ve<strong>di</strong> (tra gli altri) QUIGGIN J., Generalized Expected Utility Theory-The Rank Dependent Mo<strong>del</strong>, Kluwer<br />
Academic Publishers, Boston, 1993.<br />
106
1 1 1 1<br />
Eu [ ( x) ] u ( ) u ( ) u ( )<br />
g = g 0 + g 6 = 0+ 50 = 25 = g 2<br />
2 2 2 2<br />
Eu ( x) g<br />
1 1<br />
= ug 6 + ug 20<br />
2 2<br />
1 1<br />
= 50+ 100 = 75 = ug<br />
2 2<br />
11<br />
[ ] ( ) ( ) ( )<br />
Procedendo ulteriormente, come sopra, sul Rossi, si ottiene:<br />
x1 p(x1) ug(x1) x2 p(x2) ug(x2) mu ug(mu)=<br />
E[ug(x)]<br />
0 0.5 0 20 0.5 100 6 50<br />
0 0.5 0 6 0.5 50 2 25<br />
6 0.5 50 20 0.5 100 11 75<br />
0 0.5 0 2 0.5 25 1 12.5<br />
2 0.5 25 6 0.5 50 5 37.5<br />
6 0.5 50 11 0.5 75 8 62.5<br />
11 0.5 75 20 0.5 100 15 87.5<br />
L’insieme dei punti osservati nel piano [x, ug(x)] è dato da<br />
x 0 1 2 5 6 8 11 15 20<br />
ug(x) 0 12.5 25 37.5 50 62.5 75 87.5 100<br />
Adottando una funzione <strong>di</strong> utilità quadratica <strong>del</strong> tipo ( )<br />
2<br />
ux = a0 + ax 1 + ax 2 si devono ora<br />
calcolare valori dei parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> stessa. Applicando le regole d’interpolazione secondo il<br />
principio dei minimi quadrati or<strong>di</strong>nari e volendo far passare la funzione per i punti (0,0) e<br />
(20,100) si ha un problema <strong>di</strong> ottimizzazione quadratica vincolata:<br />
⎧<br />
⎪ min<br />
a , a , a<br />
⎪ 0 1 2 i<br />
⎪<br />
⎨c.v.<br />
⎪u<br />
( ) g 0 = 0<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
u ( ) g 20 = 100<br />
2<br />
∑[<br />
ug( xi) − ( a0+ a1xi + a2xi ) ]<br />
risolto il quale, con la Lagrangiana, si ottengono i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> quadratica, funzione <strong>di</strong><br />
utilità <strong>del</strong> guadagno <strong>del</strong> Rossi<br />
2<br />
u ( x) g = − 0. 21492x + 9. 29836x<br />
per il business in esame.<br />
107<br />
2
ug(x)<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
Fig. 34: Funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore Rossi, al quale, circa un certo business<br />
basato sui ren<strong>di</strong>menti, sono state prospettate <strong>di</strong>verse situazioni aleatorie per<br />
le quali egli ha fornito i rispetttivi certi equivalenti. La funzione <strong>di</strong> utilità<br />
quadratica <strong>del</strong> tipo ug(x)=a 1x+a 2x 2 è stata ottenuta per mezzo <strong>di</strong> interpolazione<br />
statistica vincolata a passare per i punti (0,0) e (20,100).<br />
E’ interessante evidenziare che il sistema <strong>di</strong> preferenze <strong>del</strong> Rossi, espresso dalla funzione<br />
soggettiva <strong>di</strong> utilità, non muta allorquando si attua sulla funzione in oggetto una<br />
trasformazione lineare crescente. In termini economici ciò vale a sostenere che risulta<br />
in<strong>di</strong>fferente stimare la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore Rossi in termini <strong>di</strong> guadagno o <strong>di</strong><br />
dotazione <strong>di</strong> capitale.<br />
Nel procedere alla stima <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità in termini <strong>di</strong> capitale <strong>di</strong>sponibile è sufficiente<br />
impostare la scelta, per la determinazione <strong>del</strong> certo equivalente, tra l’ottenere un capitale <strong>di</strong><br />
170 milioni (dotazione iniziale <strong>di</strong> capitale <strong>del</strong> Rossi) con probabilità 0.5 e <strong>di</strong> 190 milioni con<br />
probabilità 0.5. Si procede poi come descritto in precedenza. Assegnati arbitrariamente i<br />
valori <strong>di</strong> utilità 10 e 20 corrispondenti a 170 e a 190, si ottiene la seguente serie <strong>di</strong><br />
osservazioni<br />
x 170 171 172 175 176 178 181 185 190<br />
uc(x) 10 11.25 12.5 13.75 15 16.25 17.5 18.75 20<br />
dalla quale si stima la seguente funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi, valutata ora sul capitale,<br />
utilizzando:<br />
che fornisce la<br />
⎧<br />
⎪ min<br />
bbb 0, 1, 2 i<br />
⎪<br />
⎨c.v.<br />
⎪<br />
u ( ) c 170 = 10<br />
⎪<br />
⎩⎪<br />
u ( 190) = 20<br />
c<br />
12<br />
108<br />
14<br />
16<br />
18<br />
2<br />
∑[<br />
uc( xi) − ( b0+ b1xi + b2xi ) ]<br />
2<br />
u ( x) c = − 0. 02149x + 8. 23704x−769185 .<br />
2<br />
20<br />
x
20<br />
19<br />
18<br />
17<br />
16<br />
15<br />
14<br />
13<br />
12<br />
11<br />
10<br />
u c(x)<br />
170<br />
172<br />
174<br />
176<br />
178<br />
180<br />
Fig. 35: Funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore Rossi, al quale, circa un certo business<br />
basato sulla dotazione <strong>di</strong> capitale, sono state prospettate <strong>di</strong>verse situazioni<br />
aleatorie per le quali egli ha fornito i rispetttivi certi equivalenti. La funzione <strong>di</strong><br />
utilità quadratica <strong>del</strong> tipo uc(x)=b 0+b 1x+b 2x 2 è stata ottenuta per mezzo <strong>di</strong><br />
interpolazione statistica vincolata a passare per i punti (170,10) e (190,20).<br />
Definite le funzioni <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> Rossi, sia in termini <strong>di</strong> guadagno sia in termini <strong>di</strong> capitale,<br />
possiamo ora procedere a determinare i parametri a e b <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> trasformazione<br />
lineare <strong>del</strong> tipo u ( x k) au ( x) c + = g + b (ove uc(x) e ug(x) sono rispettivamente le funzioni<br />
precedentemente stimate <strong>di</strong> utilità in termini <strong>di</strong> capitale e <strong>di</strong> guadagno).<br />
1<br />
I parametri risultano rispettivamente: a = ; b= 10; k = 170 da cui<br />
10<br />
uc(x+170)=1/10 ug(x) + 10 ; ∀x∈D, D = {0 ≤ x ≤ 20}<br />
Riba<strong>di</strong>amo che il sistema <strong>di</strong> preferenze <strong>del</strong> Rossi non viene alterato dalla definizione <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
curva <strong>di</strong> utilità in termini <strong>di</strong> guadagno o <strong>di</strong> capitale. Ne deriva che la trasformazione lineare<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> funzione risulta valida se definita sull’appropriato dominio, cioè D { x }<br />
g = 0≤ ≤ 20 o<br />
D { x }<br />
c = 170 ≤ ≤190<br />
, il che spiega la scrittura 1/10 ug(x) + 10 quale trasformazione lineare<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> ug.<br />
Valutiamo ora l’avversione al rischio <strong>del</strong> Rossi, quale misura sintetica <strong>del</strong> suo comportamento<br />
<strong>di</strong> fronte al business aleatorio in <strong>di</strong>scussione:<br />
u ( x)<br />
r ( ) c x =−<br />
u ( x)<br />
( )<br />
( ) x<br />
′′<br />
′<br />
2 ⋅−0.<br />
02149<br />
=−<br />
> 0<br />
2 ⋅− 0. 02149 + 8. 23704<br />
109<br />
182<br />
∀x∈ D, D= { 170 ≤ x ≤190}<br />
Osserviamo che rc(x) risulta maggiore <strong>di</strong> zero su tutto l’intervallo <strong>di</strong> definizione <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
funzione <strong>di</strong> utilità; a significare che il Rossi è avverso al rischio con un grado <strong>di</strong> avversione<br />
crescente al crescere <strong>del</strong> capitale (ve<strong>di</strong> Fig. 36).<br />
Alcuni stu<strong>di</strong>osi ed operatori non con<strong>di</strong>vidono l’utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione quadratica quale<br />
funzione <strong>di</strong> utilità, in quanto un in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> avversione al rischio che cresce all’aumentare <strong>del</strong><br />
184<br />
x<br />
186<br />
188<br />
190
capitale (ricchezza) <strong>di</strong>sponibile sembra non corrispondere al comportamento effettivo <strong>di</strong> molti<br />
<strong>di</strong> noi. Per questo sono state proposte <strong>di</strong>verse famiglie <strong>di</strong> funzioni <strong>di</strong> utilità come quelle<br />
esposte in Tab. 11 alcune <strong>del</strong>le quali hanno caratteristiche apprezzate come l’in<strong>di</strong>ce assoluto<br />
<strong>di</strong> avversione al rischio costante o decrescente.<br />
r(x)<br />
0,7<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
170<br />
172<br />
174<br />
176<br />
178<br />
180<br />
110<br />
182<br />
184<br />
186<br />
188<br />
Fig. 36: Funzione <strong>di</strong> avversione al rischio <strong>del</strong> decisore al variare <strong>del</strong><br />
capitale<br />
Anche la funzione <strong>di</strong> avversione al rischio nella formulazione proposta da Arrow-Pratt risulta<br />
invariante per trasformazioni lineari <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità, quin<strong>di</strong> l’atteggiamento <strong>del</strong><br />
decisore <strong>di</strong> fronte al rischio risulta unicamente determinato sia in relazione a situazioni<br />
rischiose in termini <strong>di</strong> capitale che in termini <strong>di</strong> guadagno.<br />
8.4 In<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> a ren<strong>di</strong>mento aleatorio preferito<br />
E' utile specificare i casi in cui l'utilità attesa non smentisce il principio E-V. Ciò accade se81: 1) per qualsiasi funzione <strong>di</strong> utilità u( x),<br />
la variabile aleatoria x è Normalmente <strong>di</strong>stribuita<br />
con me<strong>di</strong>a µ e varianza σ 2 2<br />
: x → N(<br />
µσ , ) ; nella <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>, utilizzando la<br />
simbologia adottata in precedenza: R → N R<br />
⎛ _ ⎞<br />
⎜ ,σ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
2) per qualsiasi <strong>di</strong>stribuzione <strong>del</strong>l’importo aleatorio x, u( x)<br />
è una funzione <strong>di</strong> utilità<br />
quadratica.<br />
Nel primo caso si <strong>di</strong>mostra come l'utilità attesa sia funzione <strong><strong>del</strong>la</strong> me<strong>di</strong>a e <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza,<br />
poichè per calcolare il valore atteso <strong>del</strong>l'utilità si deve risolvere il seguente integrale:<br />
∞<br />
Eux [ ( ) ] ∫ ux ( ) f( xdx ) .<br />
Da questa relazione si capisce come essa sia funzione <strong><strong>del</strong>la</strong> me<strong>di</strong>a (per noi valore atteso) degli<br />
importi aleatori e <strong><strong>del</strong>la</strong> varianza degli stessi.<br />
81 COPELAND T. E. e WESTON J. F., 1988, op. cit.; ELTON E. J. E GRUBER M. J., 1995, op. cit.; CASTAGNOLI E.,<br />
PECCATI L., 1991, op. cit..<br />
= −∞<br />
190 x
Per <strong>di</strong>mostrare che anche nel secondo caso l'utilità attesa è funzione <strong><strong>del</strong>la</strong> me<strong>di</strong>a e <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
2<br />
varianza si utilizza la funzione quadratica ux ( )= ax 1 −ax<br />
2 con a2 parametro positivo e<br />
quin<strong>di</strong> si attuano i seguenti passaggi:<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
Eux = Eax− ax = aE x − aE x = aE x − a E x + σ = f E x,<br />
σ<br />
[ ( ) ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( )<br />
che con la legenda <strong><strong>del</strong>la</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong>venta:<br />
EuR ( )<br />
2<br />
= EaR− aR<br />
2<br />
= aE R − aE R =<br />
111<br />
( [ ] ) ( ( ) )<br />
[ ] [ 1 2 ] 1 ( ) 2 ( )<br />
= aE( R) − a<br />
2 2 [ E( R) ] + σ<br />
2<br />
= f( E R,<br />
σ )<br />
1 2<br />
( ) ( )<br />
Nella <strong>selezione</strong> <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> secondo il metodo E-V si deve, per in<strong>di</strong>viduare il <strong>portafoglio</strong><br />
ottimo, o adottare come ipotesi <strong>di</strong> base una funzione <strong>di</strong> utilità quadratica o ipotizzare una<br />
<strong>di</strong>stribuzione Gaussiana dei ren<strong>di</strong>menti futuri.<br />
Ritornando all'analisi <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> tramite l'utilizzo <strong>del</strong>le frontiere efficienti, si può<br />
considerare l'utilità attesa funzione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso e <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> e<br />
massimizzarla per in<strong>di</strong>viduare il <strong>portafoglio</strong> ottimo.<br />
Ciò può avvenire riportando i valori <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>del</strong>l'utilità, funzione <strong>di</strong> E e V, associando<br />
ad ognuno <strong>di</strong> essi una curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza quadratica in E-V (nel caso, circonferenza con<br />
centro sull'asse dei ren<strong>di</strong>menti).<br />
8.4.1 Critero <strong>di</strong> scelta: la funzione <strong>di</strong> utilità e le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza in E-V<br />
La funzione <strong>di</strong> utilità che si associa a curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza descritte da circonferenze nel<br />
piano E-V deve risultare quadratica e concava a rappresentare l'avversione al rischio <strong>del</strong><br />
decisore:<br />
2<br />
U( x)= a0 + a1x+ a2x ; a1≥ 0 e a2<br />
< 0<br />
e dove il capitale x è costituito da due variabili: la ricchezza non nulla W a <strong>di</strong>sposizione, che è<br />
nota, ed il profitto π =∆W , cioè l'incremento <strong>di</strong> ricchezza, che è una variabile aleatoria. Si ha<br />
quin<strong>di</strong> che U( x) = U( W +π ) , con W > 0, inoltre moltiplicando e <strong>di</strong>videndo π per W la<br />
funzione <strong>di</strong> utilità risulta<br />
⎛ π ⎞<br />
U( x) = U⎜W + W ⎟<br />
⎝ W ⎠<br />
e, se si considera la nuova variabile R =<br />
W<br />
π intesa come profitto percentuale, ossia tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento, la relazione <strong>di</strong>venta:<br />
U( x) = U( W + WR)<br />
La funzione <strong>di</strong> utilità assunta per l'investitore <strong>di</strong>pende pertanto da una sola variabile casuale R<br />
, tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, tale per cui si ha:<br />
*<br />
con R appartenente all'insieme [ R1, R ] con:<br />
- R1, ren<strong>di</strong>mento minimo;<br />
- R * =− β<br />
2 γ<br />
.<br />
U( R)= α+ βR+ γR 2
Se si considerano la variabile aleatoria ren<strong>di</strong>mento e l'importo certo ricchezza, la funzione <strong>di</strong><br />
utilità <strong>di</strong>venta:<br />
2<br />
U( x) = U( W + WR) = a0 + a1( W + WR) + a2( W + WR)<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
= a0 + aW 1 + aWR 1 + aW 2 + 2aW<br />
2 R+ aW 2 R =<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
= a0 + aW 1 + aW 2 + ( aW 1 + 2aW<br />
2 ) R+ aW 2 R =<br />
2<br />
= α+ βR+ γR<br />
con:<br />
⎧α<br />
= a0 + aW 1 + aW 2<br />
⎪<br />
2<br />
⎨β<br />
= aW 1 + 2aW 2<br />
⎪<br />
2<br />
⎩γ<br />
= aW 2<br />
2<br />
dove W è la ricchezza nota. Poichè si è supposto W > 0, a1 ≥ 0, a2<<br />
0 , allora γ
[ p(<br />
) ]<br />
Eu R<br />
2 β 2<br />
( Rp) + Rp<br />
+ σ p =<br />
γ<br />
γ<br />
[ p(<br />
) ]<br />
113<br />
[ p(<br />
) ]<br />
2 Eu R<br />
2<br />
2 β 2 β<br />
− α β<br />
( Rp) + Rp<br />
+ σ p + =<br />
+<br />
2<br />
γ 4γγ4γ ⎡<br />
⎢R<br />
⎣<br />
2<br />
Eu R<br />
2<br />
β ⎤<br />
− α<br />
2<br />
β<br />
+ ⎥ + σ =<br />
+<br />
2γ⎦γ4γ p p<br />
Tale relazione rappresenta una generica circonferenza sul piano [ Rp, σ p]<br />
con<br />
centro in −<br />
⎛<br />
1<br />
2 2<br />
β ⎞<br />
⎡ Eu ( p)<br />
−α<br />
β ⎤<br />
⎜ ,0 ⎟ , raggio rc<br />
= +<br />
⎝ 2 γ ⎠<br />
⎢<br />
2 ⎥ .<br />
⎣ γ 4γ<br />
⎦<br />
Questa circonferenza descrive la generica curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza associata all'utilità attesa, da<br />
massimizzare, con il vincolo che il <strong>portafoglio</strong> appartenga alla frontiera efficiente<br />
2<br />
σ P = [ a0 + a1RP + a2 RP<br />
]<br />
12 /<br />
( ) .<br />
* β<br />
Se la variabile casuale R assume valore R = R = − allora l'utilità attesa risulta<br />
2 γ<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Eu p<br />
− α<br />
−<br />
( )= α − + + ⋅ = − = −<br />
β<br />
γ<br />
γ<br />
β<br />
β β<br />
γ α<br />
α<br />
γ<br />
γ<br />
β<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2 4<br />
4 4 γ<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢α<br />
− − ⎥<br />
⎡<br />
rc = ⎢ + ⎥ = ⎢−<br />
+<br />
⎢<br />
⎥ ⎣<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
β<br />
γ α<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4 β β β<br />
2<br />
2<br />
γ 4γ4γ4γ 1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
2<br />
0<br />
cioè qualora il ren<strong>di</strong>mento, quin<strong>di</strong> l'utilità, fosse massimo, il raggio <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza, con<br />
centro sull’asse dei ren<strong>di</strong>menti, è nullo, quin<strong>di</strong> si ha una circonferenza degenere e la scelta<br />
ottima massimizza l’utilità <strong>del</strong> decisore. Questo avviene solo se la frontiera efficiente tange<br />
l'asse dei ren<strong>di</strong>menti nel centro.<br />
Determinata l'utilità attesa da massimizzare e la sua rispettiva curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza si<br />
valutano i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità sopra spiegati.<br />
Il decisore analizza e <strong>di</strong>scute le informazioni ( Rp, σp, σ′ p)<br />
dei punti-portafogli sulla frontiera<br />
efficiente e con queste informazioni per ogni <strong>portafoglio</strong> rischioso efficiente può calcolare:.<br />
- le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> centro, ( Rct ,0 ) , <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza tangente la frontiera efficiente, quin<strong>di</strong><br />
il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento certo corrispondente alla sua massima utilità;<br />
- il raggio <strong><strong>del</strong>la</strong> stessa r c. calcolato come <strong>di</strong>stanza euclidea tra ( )<br />
Rct ,0 e ( Rp,σ p)<br />
,<br />
- il ren<strong>di</strong>mento certo in<strong>di</strong>fferente, ( Rfq,0 ) , a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> rischioso tangente e ottimo<br />
selezionato sulla frontiera ( Rp,σ p)<br />
.
2 2 2<br />
Allora, data l'equazione <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza generale ( x−a) −( y− a) = c = r si ha :<br />
2<br />
2<br />
( Rp− Rct) + p = ( Rct −Rfq)<br />
σ .<br />
Dimostrato che la circonferenza è utilizzabile per sintetizzare l’in<strong>di</strong>fferenza secondo una<br />
funzione <strong>di</strong> utilità quadratica si propone, operando su portafogli efficienti secondo il criterio<br />
me<strong>di</strong>a-varianza, <strong>di</strong> utilizzare le informazioni contenute nella frontiera efficiente per valutare i<br />
parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza e <strong><strong>del</strong>la</strong> funzione <strong>di</strong> utilità <strong>del</strong> decisore che scegliesse<br />
uno <strong>di</strong> questi punti-<strong>portafoglio</strong> 82. Con questa analisi si possono inoltre valutare l'avversione<br />
al rischio e il grado <strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfazione <strong>del</strong> decisore.<br />
8.4.2 Utilizzo <strong>del</strong>l’arco <strong>di</strong> circonferenza tangente alla frontiera efficiente E-V come<br />
curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza<br />
In E-V l'insieme degli infiniti portafogli efficienti è definito dall'equazione σ P = f( RP)<br />
<strong>di</strong> cui<br />
al paragrafo 3.3. Essa può essere riscritta come<br />
2<br />
σP = [ b0 + bR 1 P + b2 RP<br />
]<br />
12 /<br />
( )<br />
con derivata prima<br />
dσP<br />
b1+ b2RP σ′<br />
P = =<br />
dR<br />
2<br />
P [ b0 + bR 1 P + b2 RP<br />
]<br />
12<br />
2<br />
/<br />
2 ( )<br />
che rappresenta la pendenza <strong><strong>del</strong>la</strong> tangente alla frontiera efficiente in uno qualsiasi dei punti<br />
<strong>del</strong> dominio ed il cui reciproco rappresenta il premio <strong>di</strong> rischio <strong><strong>del</strong>la</strong> frontiera efficiente in<br />
quel punto.<br />
In<strong>di</strong>viduato dal decisore un punto-<strong>portafoglio</strong> sulla frontiera, per tale punto-<strong>portafoglio</strong><br />
rischioso sono noti:<br />
- il ren<strong>di</strong>mento atteso;<br />
- lo s.q.m. (e quin<strong>di</strong> il ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong> rischio);<br />
- la derivata prima σ′ P ;<br />
Per determinare la curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza che massimizza l'utilità attesa dall'investitore si<br />
determina prima la retta perpen<strong>di</strong>colare alla tangente nel punto <strong>portafoglio</strong> scelto. Il punto in<br />
cui questa retta interseca l'asse dei ren<strong>di</strong>menti è il centro <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza che tange la<br />
frontiera efficiente nel punto <strong>portafoglio</strong> scelto. E l’arco <strong>di</strong> Nord-Ovest <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza,<br />
fino al punto <strong>di</strong> tangenza, è la curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza che massimizza l'utilità attesa<br />
<strong>del</strong>l'investitore.<br />
Si determinano innanzitutto i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> retta perpen<strong>di</strong>colare alla tangente nel punto<br />
<strong>portafoglio</strong> scelto ( RP, σ P)<br />
. La retta ha equazione generica<br />
σ= q+ mR<br />
82 ROSSI F.A.,"Valutazione <strong>del</strong>l'Avversione al Rischio <strong>del</strong> Decisore dall'Analisi <strong>del</strong>l'Insieme <strong>del</strong>le Alternative<br />
Non Dominate" Atti <strong>del</strong> XII convegno A.M.A.S.E.S, Palermo, Settembre 1988;<br />
ROSSI F.A. GIACOMELLO B., "Valutazione <strong><strong>del</strong>la</strong> Funzione <strong>di</strong> Utilità Quadratica dall'Analisi <strong>del</strong>le Scelte E-V<br />
Efficienti" Atti <strong>del</strong> XVI convegno A.M.A.S.E.S, Trieste, Settembre 1992.<br />
114<br />
2
1<br />
Il coefficiente angolare sarà allora m =−<br />
σ ′ P<br />
e con esso si determina q<br />
σ = mR + q<br />
p p<br />
q= σ p −mRp<br />
La retta avrà allora equazione σ = mR + σp<br />
−mRp.<br />
p mRp<br />
q<br />
Essa interseca l'asse dei ren<strong>di</strong>menti in R =<br />
m m<br />
− + σ<br />
=−<br />
Il centro <strong><strong>del</strong>la</strong> circonferenza tangente alla frontiera efficiente nel punto-<strong>portafoglio</strong> cui il<br />
decisore è interessato, Rct , è in<strong>di</strong>viduato dalle coor<strong>di</strong>nate<br />
q<br />
Rct<br />
= −<br />
m<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ,0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
La circonferenza con centro come sopra e tangente il punto-<strong>portafoglio</strong> interessato seca l'asse<br />
dei ren<strong>di</strong>menti nel punto:<br />
q<br />
R<br />
m r<br />
fq =− − c<br />
rc è il raggio <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza e viene determinato attraverso la formula per<br />
calcolare la <strong>di</strong>stanza tra due punti: nel nostro caso il centro ed il punto portofoglio selezionato<br />
2<br />
12 /<br />
⎡⎛<br />
q ⎞ ⎤ 2<br />
rc = ⎢⎜<br />
RP<br />
+ ⎟ + σ P⎥<br />
⎣⎢<br />
⎝ m⎠<br />
⎦⎥<br />
Rfq è il ren<strong>di</strong>mento a rischio zero in<strong>di</strong>fferente a quello <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> rischioso in<strong>di</strong>viduato<br />
dal decisore sulla frontiera.<br />
In presenza <strong>di</strong> un titolo a ren<strong>di</strong>mento certo R f ed n-1 titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio la frontiera<br />
efficiente é descritta dalla semiretta uscente da ( R f ,0 ) e tangente alla frontiera efficiente nel<br />
caso <strong>di</strong> soli titoli rischiosi con coefficiente angolare σ′ P . Allora si può operare come sopra.<br />
Fig. 37, 38: Frontiere efficienti e curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza in assenza e in presenza <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
<strong>del</strong> titolo privo <strong>di</strong> rischio.<br />
115
SIMULAZIONI<br />
Si consideri la frontiera efficiente e i parametri <strong><strong>del</strong>la</strong> curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza utilizzando i cinque titoli aleatori e il<br />
titolo privo <strong>di</strong> rischio già utilizzati nei capitoli precendenti.<br />
La frontiera sia definita da:<br />
( 12. 2932 16876 . R 0. 0606 R )<br />
2<br />
12 /<br />
σ= − +<br />
e il decisore sia interessato al punto-<strong>portafoglio</strong> (19, 1.4510) sulla frontiera efficiente con ren<strong>di</strong>mento atteso 19,<br />
e rischio σ =1.4510.<br />
Per tale punto-<strong>portafoglio</strong> efficiente si ha:<br />
- σ′ P = 02120 .<br />
- Rct = (19.3076, 0)<br />
- R fq = (17.8244, 0)<br />
Quin<strong>di</strong> il decisore che scegliesse il <strong>portafoglio</strong> efficiente rischioso (19, 1.4510) deve considerare l'alternativa a<br />
ren<strong>di</strong>mento certo 17.8244 come in<strong>di</strong>fferente. Inoltre, si verifica che la massimizzazione <strong><strong>del</strong>la</strong> sua funzione <strong>di</strong><br />
utilità si avrebbe con alternativa a ren<strong>di</strong>mento certo 19.3076 che, nel caso in esame, non é <strong>di</strong>sponibile, ve<strong>di</strong> Fig.<br />
39.<br />
Siano dati i cinque titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio A,B,C,D,E, e un'alternativa a ren<strong>di</strong>mento certo R f = 8 . La<br />
frontiera efficiente valutata con i titoli a ren<strong>di</strong>mento aleatorio è così determinata:<br />
( 12. 2932 16876 . R 0. 0606 R )<br />
σ= − +<br />
2<br />
12 /<br />
La retta uscente dal punto (8, 0) tange la curva-frontiera efficiente nel punto-<strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate (15.43,<br />
0.82).<br />
La semiretta uscente da (8, 0) e tangente in (15.43, 0.82) ha equazione<br />
( 0. 1111R 0. 8888)<br />
σ= −<br />
ed è la nuova frontiera efficiente nel tratto considerato.<br />
Si supponga un investitore interessato ad un <strong>portafoglio</strong> con ren<strong>di</strong>mento aleatorio pari a 15. In questo caso si<br />
avrà (Fig.40):<br />
- Rct = (15.0872, 0)<br />
- R fq =(14.3039, 0)<br />
116
2<br />
12 /<br />
Fig. 39: Data la funzione σ= ( 12. 2932 − 16876 . R + 0. 0606 R ) , e in<strong>di</strong>viduato su <strong>di</strong><br />
essa il <strong>portafoglio</strong> efficiente con ren<strong>di</strong>mento atteso 19 e rischio 1.4510 si valuta in<br />
17.8244 il ren<strong>di</strong>mento certo in<strong>di</strong>fferente associato e in 19.3076 quello che<br />
massimizzerebbe l'utilità <strong>del</strong> decisore<br />
Fig.<br />
40: Data la funzione σ= ( 0. 1111R −0.<br />
8888)<br />
, e in<strong>di</strong>viduato su <strong>di</strong> essa il <strong>portafoglio</strong><br />
efficiente con ren<strong>di</strong>mento atteso 15 e rischio 0.82 si valuta in 14.3039 il ren<strong>di</strong>mento<br />
certo in<strong>di</strong>fferente associato e in 15.0872 quello che massimizzerebbe l'utilità <strong>del</strong><br />
decisore.<br />
117
118<br />
9<br />
MODELLI DI EQUILIBRIO<br />
9.1. Equilibrio <strong>di</strong> mercato<br />
Si definisce mercato <strong>di</strong> capitali in <strong>equilibrio</strong> quel mercato in cui la domanda e l'offerta<br />
totali <strong>di</strong> ciascun titolo sono uguali; in esso si creano prezzi <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> che permettano a<br />
ciascun investitore <strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfare le proprie esigenze 83 .<br />
Per descrivere le ipotesi <strong>di</strong> un mercato finanziario in <strong>equilibrio</strong> si devono considerare tre<br />
concetti base che successivamente verranno strutturati come ipotesi per i singoli mo<strong>del</strong>li.<br />
Principalmente si devono specificare le regole che i partecipanti al mercato devono<br />
rispettare nelle decisioni <strong>di</strong> investimento, quin<strong>di</strong> strutturare il processo per attuare tali<br />
scelte ed infine creare una procedura che renda compatibili le scelte <strong>di</strong> tutti i partecipanti.<br />
9.2. Il Capital Asset Pricing Mo<strong>del</strong> (C.A.P.M.)<br />
Il CAPM é un mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali, sviluppato in<strong>di</strong>pendentemente<br />
da Sharpe, Lintner e Mossin 84 e che ha come proposta finale:<br />
- la misura <strong>di</strong> rischio per qualunque tipo <strong>di</strong> investimento;<br />
- la relazione tra ren<strong>di</strong>mento atteso e rischio <strong>di</strong> ogni attività quando il mercato é in<br />
<strong>equilibrio</strong>.<br />
Questi risultati sono ottenuti introducendo alcune ipotesi comportamentali ed aggregando i<br />
risultati vali<strong>di</strong> per ciascun investitore.<br />
9.2.1. Le ipotesi <strong>del</strong> C.A.P.M.<br />
Per poter formalizzare un mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato é necessario introdurre <strong>del</strong>le<br />
ipotesi semplificatrici sul funzionamento <strong>del</strong> mercato e sul comportamento degli<br />
investitori 85 :<br />
1) assenza <strong>di</strong> costi <strong>di</strong> transazione, altrimenti il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un titolo sarebbe legato<br />
al fatto <strong>di</strong> essere o meno posseduto dall'investitore prima <strong>del</strong> periodo <strong>di</strong> decisione, questo<br />
infatti impe<strong>di</strong>rebbe il verificarsi <strong>del</strong>l'ipotesi n.9;<br />
2) infinita <strong>di</strong>visibilità <strong>del</strong>le attività, necessaria per rendere irrilevante nella scelta la<br />
<strong>di</strong>mensione <strong><strong>del</strong>la</strong> ricchezza <strong>di</strong>sponibile;<br />
3) assenza <strong>di</strong> imposte sui red<strong>di</strong>ti, necessaria per rendere irrilevante la forma nella quale il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo si materializza, sia esso <strong>di</strong>videndo o capital gain;<br />
4) concorrenza perfetta nel mercato dei capitali, per poter supporre che tutti abbiano le<br />
stesse informazioni, il mercato non sia protetto da barriere all'entrata e all'uscita e che<br />
nessuno riesca in<strong>di</strong>vidualmente ad influenzare il prezzo <strong>del</strong> titolo;<br />
5) possibilità <strong>di</strong> ven<strong>di</strong>te illimitate allo scoperto (ovvero possibilità <strong>di</strong> indebitarsi),<br />
necessaria per non dover porre alcun vincolo sul valore che possono assumere le xi;<br />
83 GARBADE K., 1989,.op. cit.<br />
84 LINTNER J., 1965, op. cit., "The Aggregation of Investors Diverse Judgments and Preferences in Purely<br />
Competitive Security Markets", Journal of Financial and Quantitative Analysis, Dicembre, 1969, "The<br />
Market Price of Risk, Size of Market and Investor's Risk Aversion", Review of Economics and Statistics,<br />
1970; MOSSIN J., 1966, op. cit.; SHARPE W.F., 1964, op.cit.<br />
85 ELTON E.J. GRUBER M.J., 1995, op. cit.
6) illimitata possibilità <strong>di</strong> investimento o indebitamento allo stesso tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento o<br />
costo certo Rf con Var(Rf )=0;<br />
7) ven<strong>di</strong>ta e acquisto liberi <strong>di</strong> qualsiasi bene sul mercato;<br />
8) decisione degli operatori, per il medesimo ed unico periodo <strong>di</strong> tempo, solo in base al<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso e allo scarto quadratico me<strong>di</strong>o dei ren<strong>di</strong>menti dei loro portafogli;<br />
9) aspettative omogenee degli operatori sui valori <strong>di</strong> input ( ER ( i) , σ i, ρ ij)<br />
, necessari a<br />
formulare e a risolvere il problema <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>.<br />
Con le precedenti ipotesi il problema <strong>di</strong> programmazione quadratica può essere risolto in<br />
modo tale da arrivare alla definizione <strong><strong>del</strong>la</strong> Security Market Line 86.<br />
9. 2. La Security Market Line (S.M.L.)<br />
Il problema decisionale che tutti gli operatori, in base all'ipotesi 8), devono affrontare é il<br />
seguente:<br />
⎧<br />
N<br />
N N<br />
min Z =− µ Rp + 05 . Vp =− µ ∑xiRi + 05 . ∑∑xixjσij<br />
⎪ x i=<br />
1 i=<br />
1 j=<br />
1<br />
⎨<br />
N<br />
⎪<br />
xi<br />
=<br />
⎩⎪<br />
con ∑ 1,<br />
vincolo <strong>di</strong> bilancio<br />
i=<br />
1<br />
L'ipotesi 6) suppone inoltre che esista un titolo (o un insieme <strong>di</strong> titoli) privo <strong>di</strong> rischio il cui<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso R1 = Rfcon σ1i = σ i1 = 0...... ∀ i = 1,.....,<br />
N.<br />
Il sistema risolutivo,<br />
valendosi <strong>del</strong> Teorema <strong>di</strong> Separazione (ve<strong>di</strong> cap.3), per la parte rischiosa <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> é:<br />
ovvero:<br />
⎡ σ22 . . σ2<br />
⎢<br />
. .<br />
⎢<br />
⎢ . .<br />
⎢<br />
⎣σ<br />
2 . . σ<br />
Mx = b<br />
N NN N<br />
N<br />
119<br />
⎤⎡<br />
x ⎤ ⎡µ<br />
⎥⎢<br />
.<br />
⎥ ⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ =<br />
⎢<br />
⎥⎢<br />
. ⎥ ⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎦⎣x<br />
⎦ ⎣⎢<br />
µ<br />
2 2<br />
( R − Rf)<br />
.<br />
.<br />
( RN − Rf<br />
)<br />
Se gli investitori hanno aspettative omogenee, come l'ipotesi 9) assicura, essi formuleranno<br />
il problema con i medesimi parametri <strong>di</strong> input arrivando quin<strong>di</strong> tutti alla medesima<br />
soluzione <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong>. Ne <strong>di</strong>scende che, se tutti gli operatori<br />
scelgono lo stesso <strong>portafoglio</strong> rischioso, allora, in <strong>equilibrio</strong>, la composizione <strong>di</strong> quel<br />
<strong>portafoglio</strong> deve essere tale per cui tutte le attività sono presenti nella medesima<br />
percentuale w i con cui sono presenti sul mercato, ove<br />
w i =<br />
Valore <strong>di</strong> mercato <strong>del</strong>l'attività i - esima<br />
Valore <strong>di</strong> mercato <strong>di</strong> tutte le attività<br />
86 ELTON E.J. GRUBER M.J., 1995, op. cit; CANDIA B., "<strong>Teoria</strong> e Tecnica <strong><strong>del</strong>la</strong> Gestione Quantitativa", XI<br />
Corso <strong>di</strong> Formazione per Analisti Finanziari, Milano, Settembre 1994.<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦⎥
Una supposizione iniziale per formulare la S.M.L. é quella <strong>di</strong> conoscere la proporzione w i<br />
con la quale una attività é presente sul mercato. Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong><br />
mercato é allora<br />
N<br />
M = ∑ i i<br />
i=<br />
2<br />
R wR<br />
Risulta utile introdurre, prima <strong>di</strong> procedere ulteriormente all’esposizione <strong>del</strong> C.A.P.M., il<br />
seguente TEOREMA 87:<br />
per un dato <strong>portafoglio</strong> P il vettore <strong>del</strong>le covarianze <strong>del</strong>le singole attività rispetto al<br />
<strong>portafoglio</strong> dato è linearmente <strong>di</strong>pendente dal vettore dei ren<strong>di</strong>menti se e solo se il<br />
<strong>portafoglio</strong> P è un <strong>portafoglio</strong> a varianza minima.<br />
Dimostrazione:<br />
la covarianza <strong>del</strong> titolo k-esimo rispetto al ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato risulta<br />
N<br />
N<br />
⎡ ⎛<br />
⎞ ⎤<br />
CovR ( k; RM) = E⎢( Rk −Rk) ⎜∑wR<br />
i i −∑wR<br />
i i⎟⎥<br />
=<br />
⎣ ⎝ i=<br />
2 i=<br />
2 ⎠ ⎦<br />
⎡ ⎛<br />
⎞ ⎤ ⎡<br />
= E⎢R −R w R −R<br />
E w R R R R<br />
⎣ ⎝ i=<br />
2 ⎠ ⎦ ⎣ i=<br />
2<br />
N<br />
N<br />
( k k) ⎜∑<br />
i( i i) ⎟ ⎥ = ⎢∑<br />
i( i − i) ( k − k)<br />
N<br />
N<br />
∑ i [ ( i i) ( k k)<br />
] ∑<br />
= wE R −RR− R = wσ<br />
i=<br />
2 i=<br />
2<br />
espresso dalla combinazione lineare <strong>del</strong>le covarianze <strong>del</strong> titolo k-esimo con gli altri N −1<br />
titoli rischiosi (compreso il titolo k stesso) con pesi wi, proporzione <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong><br />
<strong>del</strong>l’attività i-esima nel <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato. Se e solo se il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato M<br />
risulta efficiente in E-V, allora il vettore x, soluzione <strong>del</strong> problema decisionale, è uguale al<br />
vettore, w, <strong>del</strong>le attività negoziabili detenute proporzionalmente al loro valore:<br />
⎡ σ22 . . . σ2N⎤⎡w2⎤⎡µ<br />
( R2−R ) ⎤ f<br />
⎢<br />
. . . . .<br />
⎥⎢<br />
.<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
.<br />
⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ σi2. . . σiN<br />
⎥⎢<br />
wi<br />
⎥ = ⎢ µ ( Ri − Rf)<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ . . . . . ⎥⎢<br />
. ⎥ ⎢ . ⎥<br />
⎣⎢<br />
σN2. . . σNN⎦⎥⎣⎢wN⎦⎥⎢<br />
⎣<br />
µ ( RN − R ⎥<br />
f ) ⎦<br />
La covarianza <strong>del</strong> titolo k-esimo con il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato si ottiene moltiplicando la iesima<br />
riga <strong>del</strong> sistema solutorio per il vettore w.<br />
87 ve<strong>di</strong> (tra gli altri):<br />
CONSTANTINIDES G.M., MALLIARIS A.G., Portfolio Theory, in JARROW R. ET. AL., Handbooks in OR &MS,<br />
Vol. 9, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 1995.<br />
120<br />
i ik<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=
da cui risulta<br />
⎡ w2<br />
⎤<br />
⎢<br />
.<br />
⎥<br />
N<br />
⎢ ⎥<br />
∑ σik wk<br />
= σi2σ iN µ<br />
k = 2<br />
⎢ . ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣w<br />
⎦<br />
[ . . . ] ⎢ . ⎥ = ( R − R ) = Cov( R , R )<br />
N<br />
( k, M) = µ ( k − f )<br />
121<br />
k f k M<br />
Cov R R R R<br />
<strong>di</strong>mostrando che la covarianza <strong>del</strong> titolo k-esimo con il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato è<br />
linearmente <strong>di</strong>pendente dal ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo k-esimo, in<strong>di</strong>pendentemente dalla matrice<br />
varianza-covarianza.<br />
Dato che questa equazione deve valere per qualunque titolo e per qualunque <strong>portafoglio</strong><br />
efficiente la si può applicare al <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato, e visto che Cov( R M, R M) = σ M<br />
2 , si<br />
ottiene<br />
e<br />
( R R )<br />
2<br />
σ = µ −<br />
M M f<br />
µ =<br />
2<br />
σ<br />
M<br />
( RM − Rf<br />
)<br />
µ viene considerato misura sintetica <strong>del</strong> grado <strong>di</strong> propensione al rischio <strong>del</strong> decisore (ve<strong>di</strong><br />
paragrafo 3.4) e ora è leggibile anche come rischio sistematico <strong>di</strong> mercato per unità <strong>di</strong><br />
premio.<br />
Se si sostituisce il valore trovato <strong>di</strong> µ nell'equazione precedente si ha:<br />
( )<br />
Cov R , R =<br />
i M<br />
σ 2<br />
M ( Ri − Rf<br />
)<br />
( RM − Rf<br />
)<br />
Isolando R i si ottiene la Security Market Line (Fig. 41) 88:<br />
R = R +<br />
i f<br />
( )<br />
( M − f )<br />
R R Cov R R R R R<br />
σ<br />
,<br />
2<br />
M<br />
( i M) = f + β i( M − f )<br />
Cov R<br />
88 i, RM<br />
Il coefficiente β i =<br />
è dato dal rapporto tra la covarianza, <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo<br />
2<br />
σ M<br />
con il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> mercato, ed il rischio <strong>di</strong> mercato.
Fig. 41: Security Market Line con specificazione <strong>del</strong>le possibili interpretazioni <strong>di</strong> β i<br />
Un'analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> S.M.L. permette <strong>di</strong> evidenziare alcune sue caratteristiche:<br />
- R f ed R M non sono funzioni <strong><strong>del</strong>la</strong> singola attività, visto che sono parametri <strong>del</strong> problema;<br />
- la misura adeguata <strong>del</strong> rischio sistematico <strong>del</strong>l'attività con il mercato é rappresentata dal<br />
suo β i, variazione me<strong>di</strong>a <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo a seguito <strong><strong>del</strong>la</strong> variazione <strong>del</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato;<br />
- per β i = 0 si ha Ri= Rf:<br />
attività non rischiose hanno ren<strong>di</strong>mento uguale al solo prezzo<br />
<strong>del</strong> tempo, essendo nulla la covarianza con il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> mercato;<br />
- per βi = 1 si ha Ri= RM:<br />
l’attività deve avere ren<strong>di</strong>menti uguali a quelli <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong><br />
mercato;<br />
- per β i >1 l'attività i-esima comporta un rischio maggiore <strong>di</strong> quello <strong>del</strong> mercato e quin<strong>di</strong><br />
da essa si attendono profitti maggiori <strong>di</strong> quelli <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato e per<strong>di</strong>te<br />
maggiori <strong>di</strong> quelle <strong>del</strong> mercato, venendo così definita attività aggressiva;<br />
- per 0
acquisto e <strong>di</strong> ven<strong>di</strong>ta, con ren<strong>di</strong>mento a rischio nullo, che riportano il titolo in questione<br />
sui valori definiti dalla S.M.L. .<br />
Si supponga, ad esempio, che la S.M.L. <strong>di</strong> un mercato sia la seguente:<br />
( β 10 15) 10 β ( 15 10)<br />
Ri = f i Rf = ; RM<br />
= = + i − .<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> mercato in corrispondenza <strong>di</strong> un titolo T1 con β1=2 sarà<br />
R1 = 10 + 2 × 5 = 20 .<br />
Se però sul mercato fosse presente un titolo T2 con β2=2 che presenta un ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
<strong>di</strong> 30 risulta conveniente acquistarlo, finanziandosi con la ven<strong>di</strong>ta (anche allo scoperto) o<br />
indebitandosi nel titolo T1. Infatti vendendo allo scoperto il titolo T1 si riceve nel momento<br />
<strong>del</strong> perfezionamento <strong>del</strong>l’atto un controvalore, ipotizziamo pari a 100, da investire<br />
integralmente nell’acquisto <strong>del</strong> titolo T2. In un contesto uniperiodale, al termine<br />
<strong>del</strong>l’investimento il montante maturato sul titolo T2 pari a 130, <strong>di</strong> cui 100 <strong>di</strong> quota capitale<br />
e 30 <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, consente <strong>di</strong> chiudere la posizione aperta sul titolo T1 versando 120<br />
complessive (100 rimborso <strong>del</strong> capitale e 20 rimborso <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento) ottenendo un<br />
guadagno <strong>di</strong> 10. Il rischio <strong>del</strong>l’operazione è nullo in quanto i due titoli hanno lo stesso<br />
valore β.<br />
Gli importanti risultati ottenuti <strong>di</strong>pendono evidentemente dalla presenza <strong>del</strong>le nove ipotesi<br />
sottostanti il C.A.P.M.. Si deve notare però che il venir meno <strong>di</strong> una o piú ipotesi, fuorchè<br />
per la 4 e la 9 che sono ipotesi fondamentali, rende il mo<strong>del</strong>lo piú complesso, ma<br />
comunque in grado <strong>di</strong> ritornare a <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong>. Inoltre, si riesce a<br />
mantenere la maggior parte <strong>del</strong>le conclusioni anche in assenza <strong>di</strong> una o piú <strong>del</strong>le ipotesi<br />
sottostanti.<br />
Il limite dato dalla presenza, spesso obbligata, <strong>del</strong>le nove ipotesi si contrappone<br />
comunque alle molte caratteristiche positive <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo C.A.P.M. che lo portano ad<br />
essere scelto per l'analisi <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong>, avendo utilizzato il “single index mo<strong>del</strong>”, in<br />
alternativa al mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Markowitz. Come è stato precedentemente detto per valutare il<br />
rischio <strong>di</strong> <strong>portafoglio</strong> secondo il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Markowitz si deve calcolare la varianza <strong>di</strong> ogni<br />
attività e le loro rispettive covarianze, mentre con il C.A.P.M. si devono calcolare le<br />
singole varianze e le sole covarianze con l'in<strong>di</strong>ce preso in considerazione come me<strong>di</strong>a<br />
ponderata <strong>di</strong> tutti gli investimenti. Di conseguenza, i costi <strong>di</strong> rilevazione e calcolo vengono<br />
notevolmente <strong>di</strong>minuiti senza però perdere informazioni utili per la determinazione <strong>del</strong><br />
rischio e <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'attività analizzata. Infatti tale mo<strong>del</strong>lo tiene in<br />
considerazione:<br />
a) un in<strong>di</strong>ce, l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato che riassume le informazioni <strong>di</strong>sponibili sulle attività<br />
rischiose che entrano a far parte <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> attività finanziarie <strong>del</strong>l'investitore;<br />
b) un'attività priva <strong>di</strong> rischio;<br />
tutti elementi che ci permettono <strong>di</strong> conoscere il mercato finanziario nella sua globalità.<br />
Infine, risulta utile sottolineare che l'unica stima che deve essere effettuata per ogni<br />
titolo nel mo<strong>del</strong>lo C.A.P.M. è quella <strong>del</strong> rischio dei singoli titoli, misurato dal coefficiente<br />
β, poichè nella relazione entrano le sole stime <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento dall'attività priva <strong>di</strong> rischio<br />
e <strong>del</strong>l'in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> mercato, stime che poi verranno utilizzate per tutto l'insieme <strong>del</strong>le attività<br />
considerate.<br />
123
9.3. L'Arbitrage Pricing Theory (A.P.T.)<br />
Tale mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato dei capitali é una generalizzazione dei mo<strong>del</strong>li<br />
multifattoriali <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> 89. In questa luce, il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> Sharpe<br />
rappresenta un mo<strong>del</strong>lo unifattoriale. Il contributo dato da Ross, infatti, consiste nell’aver<br />
trovato le con<strong>di</strong>zioni sufficienti <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong> mercato <strong>di</strong> cui si conosce, per ipotesi, il<br />
processo che genera i ren<strong>di</strong>menti dei titoli (un mo<strong>del</strong>lo multifattoriale appunto).<br />
9.3.1 Le ipotesi <strong>del</strong>l'A.P.T.<br />
Il mo<strong>del</strong>lo A.P.T. è derivato sotto la consueta ipotesi <strong>di</strong> mercati perfettamente competitivi<br />
e privi <strong>di</strong> attriti.<br />
Come nel precedente mo<strong>del</strong>lo anche in questo si devono introdurre le ipotesi base che ne<br />
permettono la sua formulazione:<br />
1) tutti gli operatori sono consapevoli che i ren<strong>di</strong>menti dei titoli sul mercato sono<br />
linearmente collegati ad un insieme <strong>di</strong> più in<strong>di</strong>ci:<br />
Ri = ai + bi1I1+ bi2I2+ ..... + bikIk + ei<br />
con<br />
i= 1,...,<br />
N<br />
j = 1,...,<br />
k<br />
dove:<br />
ai costante, <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l'i-esimo titolo, in<strong>di</strong>pendente dai fattori esplicativi;<br />
I j fattore esplicativo;<br />
bij sensitivitá <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> titolo i-esimo a variazioni <strong>del</strong> valore <strong>del</strong> j-esimo<br />
fattore esplicativo;<br />
2<br />
ei errore casuale con Ee ( i) = 0;<br />
Vare ( i) = σe che rappresenta il rischio non<br />
i<br />
sistematico <strong>del</strong>l’i-esima attività.<br />
Questa ipotesi sostituisce il criterio E-V come mo<strong>del</strong>lo decisionale <strong>del</strong> C.A.P.M.;<br />
2) aspettative omogenee per tutti gli operatori che:<br />
-adoperano il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> cui all'ipotesi 1) come unico criterio decisionale;<br />
-conoscono tutti i fattori esplicativi I j ;<br />
-stimano ai, bij ed ei <strong>di</strong> tutti i titoli nello stesso modo;<br />
3) ipotesi sulle covarianze:<br />
Cov e , e = 0 , ∀i≠ k , cioè gli errori relativi a due titoli <strong>di</strong>versi non sono correlati fra<br />
( )<br />
i k<br />
[ ]<br />
loro, Cov ei ( I j I j)<br />
, − = 0 , cioè non c'è correlazione tra l'errore relativo al titolo i-esimo e<br />
l'in<strong>di</strong>ce j-esimo, ∀ i e j;<br />
4) il numero dei titoli N deve essere grande a tal punto da poter applicare la legge dei<br />
gran<strong>di</strong> numeri;<br />
5) illimitata possibilitá <strong>di</strong> ven<strong>di</strong>te allo scoperto.<br />
9.3.2 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong><br />
89 ROLL R.: "A Critique of the Asset Pricing Theory's Tests", Journal of Financial Economics, Marzo 1978;<br />
ROSS S. A. "The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing", Journal of Economic Theory, Dicembre 1976;<br />
"Return Risk and Arbitrage", Risk and Return in Finance, I.Friend & J.L. Bicksler E<strong>di</strong>tion, Cambridge,<br />
Mass., 1977.<br />
124
Secondo il mo<strong>del</strong>lo esplicativo <strong><strong>del</strong>la</strong> determinazione dei ren<strong>di</strong>menti tramite l'insieme <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>ci, il valore atteso <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> ogni titolo é dato da:<br />
Ri = ai + bi1I1+ bi2I2 + ..... + bikIk Il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> qualunque <strong>portafoglio</strong> P é dato da:<br />
N<br />
P = ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
R x R<br />
ove xi è il valore <strong>del</strong>l'investimento nel titolo i-esimo e non le quote, come era invece<br />
considerato nei capitoli precedenti.<br />
Il rischio <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> P é formato da tante componenti quanti sono i<br />
fattori esplicativi:<br />
N<br />
N<br />
∑ ∑ ∑<br />
b = xb ; b = xb ; .........; b = xb<br />
P1 i i1<br />
P2 i i2<br />
Pk i ik<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
ed inoltre dal rischio inserito dalla componente erratica:<br />
N<br />
P = ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
e x e<br />
La con<strong>di</strong>zione sufficiente affinché sia valido il mo<strong>del</strong>lo A.P.T. é che sul mercato ci sia un<br />
numero sufficiente <strong>di</strong> alternative d'investimento in modo tale che non possano esistere<br />
portafogli d'arbitraggio, cioé portafogli con ren<strong>di</strong>mento positivo ma rischio ed<br />
investimento netto nullo. In termini matematici un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> arbitraggio è<br />
caratterizzato dalle seguenti equazioni:<br />
1. il vincolo <strong>di</strong> bilancio é nullo: la quantitá <strong>di</strong> capitale impiegata deve essere nulla. Gli<br />
acquisti e le ven<strong>di</strong>te <strong>di</strong> titoli devono cioé compensarsi esattamente.<br />
N<br />
∑ xi = 0<br />
i=<br />
1<br />
2. il <strong>portafoglio</strong> d'arbitraggio deve permettere guadagni a rischio nullo, quin<strong>di</strong> tutte le<br />
componenti <strong>di</strong> rischio <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> (cioè rischio <strong>di</strong>versificabile o non sistematico e<br />
rischio sistematico) devono essere nulle:<br />
e<br />
N<br />
N<br />
∑ ∑ ∑<br />
b = x b = 0 ; b = x b = 0 ;.........; b = x b = 0<br />
P1 i i1<br />
P2 i i2<br />
Pk i ik<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
N<br />
P ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
e = xe ≅0,<br />
cioè eP tende asintoticamente a 0 secondo le ipotesi 3 e 4<br />
3. il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> arbitraggio deve risultare strettamente maggiore<br />
<strong>di</strong> zero:<br />
N<br />
P ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
R = x R > 0<br />
In un mercato in <strong>equilibrio</strong> non possono esistere opportunitá <strong>di</strong> arbitraggio non rischiose.<br />
Ovvero qualunque <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> arbitraggio a rischio nullo non puó che dare un<br />
ren<strong>di</strong>mento nullo. Quin<strong>di</strong> le precedenti equazioni in una situazione <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> implicano:<br />
N<br />
P ∑ i i<br />
i=<br />
1<br />
R = x R = 0<br />
125<br />
N<br />
N
Per poter raggiungere la specificazione <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo si deve introdurre il seguente teorema<br />
(Minkowski-Farkas) 90:<br />
PROPOSIZIONE: siano w1, w2,..., wm e z vettori non nulli in ℜ n . Posto wx ′ = 0 per tutti<br />
gli x tali che wx ′ i = 0 con i = 1, ..., m, con x ∈ ℜ n . Esistono allora m numeri reali non<br />
negativi λ1 , λ2, ... λm, non tutti nulli, tali che<br />
m<br />
= ∑ λi i=<br />
1<br />
z wi. Nel caso in esame, le suddette con<strong>di</strong>zioni 1. e 2. per la determinazione <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong><br />
arbitraggio implicano che il vettore x sia ortogonale ad altri k+1 vettori: un vettore unitario<br />
1 (che rappresenta il vincolo <strong>di</strong> bilancio) e k vettori bj con j=1, ..., k (che esprimono la<br />
sensibilità <strong>del</strong> vettore dei ren<strong>di</strong>menti al fattore j-esimo). Se il mercato è in <strong>equilibrio</strong> non<br />
sono possibili portafogli <strong>di</strong> arbitraggio e quin<strong>di</strong> il vettore x è ortogonale anche al vettore<br />
dei ren<strong>di</strong>menti attesi R . In base al teorema <strong>di</strong> Minkowski-Farkas, poichè il vettore x è<br />
ortogonale sia al vettore R , Rx = 0, sia a k+1 vettori, 1x = 0 e bx ′ j = 0 , con j = 1, .., k<br />
allora esistono k+1 coefficienti non negativi λ0 , λ2, ... λk tali che<br />
ovvero<br />
R = λ0⋅ 1+ λibj<br />
=<br />
126<br />
k<br />
∑<br />
i 1<br />
Ri = λ0 + λ1bi1+ λ2bi2 + ..... + λkbik.<br />
In questo modo il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>del</strong> titolo i-esimo può essere espresso come<br />
combinazione lineare <strong>di</strong> un vettore <strong>di</strong> 1 e <strong>di</strong> k vettori bj con j=1, ..., k.<br />
Se consideriamo un’attività priva <strong>di</strong> rischio con ren<strong>di</strong>mento Rf (risk-free), essa avrà tutti i<br />
bij pari a zero in quanto non è sensibile alle variazioni dei k fattori esplicativi Ij.<br />
L’equazione precedente risulta quin<strong>di</strong>:<br />
R f =λ 0<br />
dalla quale risulta che il coefficiente λ0 è pari al tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’attività senza<br />
rischio.<br />
Se consideriamo ora un <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> attività rischiose con ren<strong>di</strong>mento atteso δ 1 e con<br />
sensibilità unitaria al fattore <strong>di</strong> rischio I1 (quin<strong>di</strong> con bi1 = 1 e bij = 0 con j=2,...,k)<br />
possiamo riscrivere l’equazione precedente come<br />
δ1 λ11<br />
= + R f<br />
da cui si ricava λ1 = δ1−<br />
Rf .<br />
Procedendo in modo analogo si può considerare l’equazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
nell’ipotesi <strong>di</strong> assenza <strong>di</strong> arbitraggio come:<br />
R = R + δ − R b + δ − R b + + δ − R b<br />
( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ..... ( )<br />
i f f i f i k f ik<br />
In generale, il coefficiente λj (j=1,...,k) può essere interpretato come premio per il rischio,<br />
in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong>, per il j-esimo fattore. Il premio per il rischio λj risulta pari alla<br />
<strong>di</strong>fferenza fra:<br />
90 Per la <strong>di</strong>mostrazione <strong>del</strong> teorema e per maggiori approfon<strong>di</strong>menti in merito si vedano, tra gli altri,<br />
CASTAGNOLI E. PECCATI L., Matematica per l’analisi economica - Ottimizzazione statica e <strong>di</strong>namica,<br />
ETASLIBRI, Milano, 1979;<br />
TAKAYAMA A., Mathematical Economics, Cambridge University Press, London, 1985.
• il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un <strong>portafoglio</strong> con sensibilità unitaria al j-esimo fattore e<br />
sensibilità nulla rispetto agli altri k-1 fattori<br />
• il tasso risk-free, Rf.<br />
Se si stima l’equazione precedente a minimi quadrati or<strong>di</strong>nari91 i coefficienti bij saranno<br />
dati da:<br />
Cov( Ri,δj)<br />
bij<br />
=<br />
Var(<br />
δ j )<br />
in tal caso i bij vengono definiti nello stesso modo dei βi <strong>del</strong> CAPM. In quest’ottica il<br />
CAPM può essere interpretato come un mo<strong>del</strong>lo APT in cui il ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong><br />
<strong>di</strong> mercato risulta essere l’unico fattore esplicativo <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>le singole attività<br />
rischiose.<br />
L’APT si rivela quin<strong>di</strong> un mo<strong>del</strong>lo caratterizzato da una generalità maggiore rispetto al<br />
CAPM ed inoltre si basa su ipotesi meno stringenti in quanto92: • non formula alcuna ipotesi sulla <strong>di</strong>stribuzione dei ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le singole attività;<br />
• permette ai ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>del</strong>le attività <strong>di</strong> essere <strong>di</strong>pendenti da più fattori e<br />
non solo dal ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato, come fa, riduttivamente, il CAPM;<br />
• consente <strong>di</strong> determinare il prezzo relativo <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> <strong>di</strong> un qualsiasi sottoinsieme <strong>di</strong><br />
attività senza dover necessariamente considerare l’intero mercato;<br />
• non richiede che il <strong>portafoglio</strong> <strong>di</strong> mercato sia efficiente;<br />
• non impone ipotesi circa la funzione <strong>di</strong> utilità degli in<strong>di</strong>vidui.<br />
Nell’ambito <strong>del</strong>le scelte <strong>di</strong> investimento il decisore deve costantemente valutarne il<br />
ren<strong>di</strong>mento ed il rischio. In questo contesto il CAPM si rivela uno strumento più<br />
approssimativo <strong>del</strong>l’APT ai fini decisionali. Il CAPM misura il rischio in una sola<br />
<strong>di</strong>mensione mentre l’APT consente <strong>di</strong> identificare più portafogli con uguale ren<strong>di</strong>mento e<br />
con <strong>di</strong>verse combinazioni dei coefficienti <strong>di</strong> sensibilità ai fattori <strong>di</strong> rischio sottostanti.<br />
Infatti non è in<strong>di</strong>fferente scegliere tra due portafogli che presentano lo stesso grado <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento, ma con rischio complessivo <strong>di</strong>stribuito su più fattori che lo generano. Se<br />
ipotizziamo che il rischio sia generato da inflazione e produzione industriale un soggetto<br />
potrebbe preferire un <strong>portafoglio</strong> il cui rischio <strong>di</strong>pende per il 70% dall’inflazione e per il<br />
30% dalla produzione industriale mentre un altro soggetto, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento e rischio<br />
complessivo, potrebbe preferire un <strong>portafoglio</strong> con il 25% <strong>del</strong> rischio <strong>di</strong>pendente<br />
dall’inflazione ed il 75% <strong>di</strong>pendente dalla produzione industriale.<br />
Allo scopo <strong>di</strong> applicare il mo<strong>del</strong>lo APT è necessario determinare i fattori esplicativi dei<br />
ren<strong>di</strong>menti. A tal fine sono stati proposti due <strong>di</strong>fferenti approcci.<br />
Un primo approccio identifica le variabili esplicative Ij sulla base <strong>del</strong>le teorie economiche.<br />
Un mo<strong>del</strong>lo a quattro fattori proposto da Chen, Roll e Ross 93 ha specificato quattro<br />
variabili economiche quali fattori generatori dei ren<strong>di</strong>menti in quanto influenzano o la<br />
91si considerano valide implicitamente le ipotesi sottostanti al generale problema <strong>di</strong> minimizzazione a minimi<br />
quadrati or<strong>di</strong>nari.<br />
92COPELAND T. E. e WESTON J. F., Financial Theory and Corporate Policy, Ad<strong>di</strong>son Wesley, Rea<strong>di</strong>ng<br />
Mass., 1988.<br />
127
<strong>di</strong>mensione dei futuri flussi <strong>di</strong> cassa derivanti dalla detenzione <strong>del</strong> titolo o il valore dei<br />
futuri flussi <strong>di</strong> cassa:<br />
1. il tasso <strong>di</strong> crescita <strong><strong>del</strong>la</strong> produzione industriale, in quanto influenza le opportunità <strong>di</strong><br />
investimento e quin<strong>di</strong> il valore reale dei flussi <strong>di</strong> cassa;<br />
2. il tasso <strong>di</strong> inflazione non anticipato, che manifesta un impatto sia sul tasso <strong>di</strong> sconto che<br />
sul valore dei flussi;<br />
3. la struttura a termine dei tassi <strong>di</strong> interesse, espressa dal <strong>di</strong>fferenziale tra tasso <strong>di</strong><br />
interesse a lungo e a breve che influenza il valore dei pagamenti in relazione all’epoca<br />
<strong>di</strong> scadenza;<br />
4. il premio al rischio, stimato come <strong>di</strong>fferenza nel ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> titoli con rating (Aaa) e<br />
(Baa), cioè tra titoli con <strong>di</strong>verso grado <strong>di</strong> rischio per misurare la reazione <strong>del</strong> mercato al<br />
rischio.<br />
Altri autori hanno suggerito <strong>di</strong> inserire tra i fattori esplicativi anche l’andamento<br />
<strong>del</strong>l’economia mon<strong>di</strong>ale in relazione alla correlazione positiva esistente tra gli andamenti<br />
dei prezzi dei titoli azionari nelle varie borse mon<strong>di</strong>ali e i movimenti valutari in relazione<br />
alla struttura e alla valuta <strong>di</strong> denominazione degli investimenti <strong>del</strong>le società quotate.<br />
Un secondo approccio per identificare i fattori generanti i ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong>le attività<br />
rischiose stu<strong>di</strong>ate consiste nell’utilizzo <strong>del</strong>l’analisi fattoriale, un corpo <strong>di</strong> tecniche che<br />
consente <strong>di</strong> spiegare o <strong>di</strong> rappresentare determinate relazioni osservate per mezzo <strong>di</strong><br />
variabili in<strong>di</strong>pendenti (fattori). Consiste nell’estrarre un numero limitato <strong>di</strong> fattori<br />
in<strong>di</strong>pendenti sulla base <strong>del</strong>le correlazioni tra le variabili osservate. Uno dei meto<strong>di</strong><br />
fondamentali per l’analisi fattoriale è dato dall’analisi <strong>del</strong>le componenti principali. In tal<br />
caso è possibile identificare degli in<strong>di</strong>ci che non hanno una specificazione economica, ma<br />
che derivano dalle prime componenti principali estratte dalle stesse variabili osservate,<br />
come visto nel capitolo 7.<br />
93CHEN N., ROLL R. E ROSS S., Economic Forces and the Stock Market, Journal of Business, 59, 1986, pagg.<br />
386-403.<br />
128
Misure <strong>di</strong> Performance<br />
Performance assoluta<br />
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o<br />
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o Geometrico<br />
Mean Excess Return<br />
Misure <strong>di</strong> Rischio<br />
Volatilità (Standard Deviation)<br />
Volatilità attesa (EWMA volatility)<br />
Downside Deviation<br />
Tracking Error<br />
Var<br />
Misure <strong>di</strong> Rischio/Ren<strong>di</strong>mento<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sortino<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani<br />
Information Ratio<br />
Analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> correlazione<br />
Coefficiente <strong>di</strong> correlazione<br />
Alfa<br />
Beta<br />
Alfa <strong>di</strong> Jensen<br />
Allegato<br />
In<strong>di</strong>catori <strong>di</strong> Performance<br />
Granularità:<br />
se tutti gli in<strong>di</strong>catori sono espressi su base giornaliera il fattore <strong>di</strong> annualizzazione = 252<br />
Misure <strong>di</strong> Performance<br />
Performance assoluta<br />
Rappresenta l’incremento <strong>di</strong> valore percentuale <strong>del</strong>l’asset considerato.<br />
V F<br />
V I<br />
= Valore finale <strong>del</strong>l’asset<br />
= Valore inziale <strong>del</strong>l’asset<br />
⎛V<br />
F ⎞<br />
Total Return =<br />
⎜ −1 ⎟<br />
⎝ VI<br />
⎠<br />
129
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o<br />
E’ la semplice me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti giornalieri, calcolata sommando i risultati <strong>di</strong> ciascun<br />
periodo e <strong>di</strong>videndo il totale per il numero dei perio<strong>di</strong>.<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
N<br />
∑<br />
I =1<br />
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o = N<br />
R<br />
i<br />
= R<br />
Dato annualizzato<br />
Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o annualizzato = R * 252 = R a<br />
Ren<strong>di</strong>mento Me<strong>di</strong>o Geometrico<br />
E’ la me<strong>di</strong>a geometrica dei ren<strong>di</strong>menti giornalieri. Rappresenta il ren<strong>di</strong>mento giornaliero<br />
da attribuire ad ogni periodo per arrivare ad ottenere a fine periodo il ren<strong>di</strong>mento composto<br />
<strong>di</strong> periodo corrispondente.<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
V F = Valore finale <strong>del</strong>l’asset<br />
V I = Valore inziale <strong>del</strong>l’asset<br />
VF<br />
Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico = N −1<br />
= R G<br />
V<br />
Dato annualizzato<br />
Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato = ( 1 ) −1<br />
I<br />
130<br />
+ G<br />
252<br />
R G<br />
R = a
Mean Excess Return<br />
Rappresenta la me<strong>di</strong>a <strong><strong>del</strong>la</strong> performance relativa rispetto ad un Benchmark definito.<br />
N = numero <strong>di</strong> perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
RD i = Ren<strong>di</strong>mento Benchmark periodo i<br />
Mean Excess Return = ER =<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( R −RD)<br />
Dato annualizzato<br />
Se per il ren<strong>di</strong>mento annualizzato utilizziamo il ren<strong>di</strong>mento composto allora<br />
RG a = ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato<br />
RD G a<br />
= ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato <strong>del</strong> Benchmark<br />
Mean Excess Return annualizzato = RGa - RD G a = ER a<br />
Se invece si usa il ren<strong>di</strong>mento non composto<br />
Mean Excess Return annualizzato = ER * 252<br />
Misure <strong>di</strong> Rischio<br />
Volatilità (Standard Deviation)<br />
Serve a misurare la <strong>di</strong>spersione me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti. Misura il grado <strong>di</strong> variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti intorno alla me<strong>di</strong>a. E’ spesso utilizzata come misura <strong>del</strong> rischio<br />
<strong>del</strong>l’investimento.<br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
R = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti R<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
Standard Deviation = σ R =<br />
N<br />
∑<br />
I = 1<br />
i<br />
N<br />
( R − R )<br />
i<br />
N −1<br />
Dato annualizzato<br />
Standard Deviation Annualizzata = σ R * 252 = σ Ra<br />
Volatilità attesa (EWMA volatility)<br />
(Exponentially Weighted Moving Average Standard Deviation )<br />
E’ uno stimatore <strong>del</strong>le volatilità, che permette <strong>di</strong> catturare la <strong>di</strong>namicità dei ren<strong>di</strong>menti<br />
<strong>del</strong>le attività finanziarie dando maggior enfasi alle osservazioni più recenti. In particolare<br />
2<br />
131<br />
i
il suo utilizzo permette <strong>di</strong> considerare gli shock più recenti cui è stato soggetto il mercato e<br />
<strong>di</strong> mantenere memoria (effetto <strong>di</strong> persistenza tipico <strong>del</strong>le serie finanziarie) per perio<strong>di</strong> più o<br />
meno lunghi, in funzione <strong>del</strong> valore attribuito al fattore <strong>di</strong> deca<strong>di</strong>mento (decay factor), e<br />
quin<strong>di</strong> al sistema <strong>di</strong> pesi esponenziali.<br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
R = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti R<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
λ = Decay Factor =0.94 (cfr. Risk Metrics® J.P.Morgan per dati giornalieri)<br />
Standard Deviation = σ ewR<br />
= ( 1−<br />
λ ) * ∑ λ * ( R −<br />
132<br />
N<br />
i=<br />
1<br />
i−1<br />
Dato annualizzato<br />
Standard Deviation Annualizzata = σ ewR<br />
* 252 = σ ewRa Nota<br />
Per avere valori “atten<strong>di</strong>bili” si consiglia <strong>di</strong> considerare almeno 3 mesi <strong>di</strong> dati giornalieri<br />
(circa 70 osservazioni). Con una numerosità dei dati bassa possono esserci alcuni<br />
problemi:<br />
T<br />
i−1<br />
1<br />
Utilizzando lo stimatore Ewma, si applica l’approssimazione : ∑ λ ≅<br />
j=<br />
1 ( 1−<br />
λ)<br />
Le due espressioni sono equivalenti per T → ∞ .<br />
Per valori <strong>di</strong> T bassi i valori così ottenuti non sono confrontabili con il mo<strong>del</strong>lo <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
volatilità non esponenziale. Il numero <strong>di</strong> osservazioni è inoltre collegato al livello <strong>di</strong><br />
confidenza <strong>del</strong> risultato: con il fattore <strong>di</strong> decay scelto (0.94) per avere un grado <strong>di</strong><br />
confidenza <strong>del</strong>l’1% occorre avere almeno 74 osservazioni (Cfr. Riskmetrics Technical<br />
Document pag. 79)<br />
Downside Deviation<br />
Rappresenta la deviazione standard in cui vengono considerati però solo i ren<strong>di</strong>menti<br />
inferiori ad un certo livello minimo (solitamente il livello minimo è 0)<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
Li = R i se R i< 0; 0 se R i≥ 0<br />
Downside Deviation =<br />
N<br />
∑<br />
I =1<br />
( L)<br />
N<br />
2<br />
= R D σ<br />
Dato annualizzato<br />
Downside Deviation annualizzata = R D σ * 252 = σ<br />
DRa i<br />
R)<br />
2
Tracking Error (Volatility)<br />
In<strong>di</strong>ca la variabilità <strong>del</strong>le <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento tra l’asset considerato e il benchmark.<br />
Fornisce in<strong>di</strong>cazioni sulla rischiosità che si sopporta investendo nel fondo anziché detenere<br />
<strong>di</strong>rettamente il benchmark. Quin<strong>di</strong>, in<strong>di</strong>ca quanto rischio corre il gestore per avere un<br />
determinato <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento. Da tale analisi possiamo valutare se un gestore<br />
adotta una strategia attiva o passiva.<br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
RD i = Ren<strong>di</strong>mento Benchmark periodo i<br />
Tracking Error Volatility =<br />
N<br />
∑<br />
I = 1<br />
( R − RD )<br />
i<br />
N −1<br />
i<br />
2<br />
133<br />
=TEV<br />
Dato annualizzato = Daily Tracking Error* 252 = TEVa<br />
VaR (Value at Risk)<br />
Il VaR è una stima, con un adeguato intervallo <strong>di</strong> confidenza, <strong>del</strong>le massime per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> un<br />
determinato <strong>portafoglio</strong>, in un determinato intervallo <strong>di</strong> tempo.<br />
σ R = Standard Deviation giornaliera<br />
α = grado <strong>di</strong> confidenza<br />
p = intervallo <strong>di</strong> tempo<br />
c = valore associato nella tavola <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione, al grado <strong>di</strong> confidenza scelto (α)<br />
VAR = c* σ R * p<br />
Misure <strong>di</strong> Rischio/Ren<strong>di</strong>mento<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe<br />
E’ la più utilizzata misura <strong>di</strong> Risk Adjusted Performance, cioè misure che considerano<br />
congiuntamente rischio e ren<strong>di</strong>mento. Rappresenta una misura <strong>del</strong> premio al rischio<br />
calcolato su basi unitarie, cioè su ogni unità <strong>di</strong> rischio.<br />
RG a = Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
σ = Standard Deviation annualizzata<br />
a<br />
R<br />
RRF a = Ren<strong>di</strong>mento annuo <strong>del</strong>l’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )
⎛ RG<br />
a − R ⎞<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe = ⎜<br />
RF a<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ σ Ra<br />
⎠<br />
Molto <strong>di</strong>ffusa è la versione con il ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o annuo invece che quello geometrico;<br />
si ritiene più corretta questa in<strong>di</strong>cazione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento.<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sortino<br />
Un’altra misura <strong>di</strong> rischio/ren<strong>di</strong>mento, rappresenta il sovra-ren<strong>di</strong>mento per unità <strong>di</strong><br />
volatilità negativa (la volatilità dei soli ren<strong>di</strong>menti negativi). Il sovra-ren<strong>di</strong>mento può<br />
essere calcolato rispetto al benchmark o rispetto all’attività priva <strong>di</strong> rischio.<br />
RG a = Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato<br />
RRF a = Ren<strong>di</strong>mento annuo <strong>del</strong>l’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )<br />
σ DRa = Downside Deviation<br />
⎛ R<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sortino = ⎜ Ga<br />
− R<br />
⎜<br />
⎝ σDRa<br />
RF<br />
a ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani<br />
E’ un in<strong>di</strong>ce che permette <strong>di</strong> confrontare asset con lo stesso obiettivo d’investimento<br />
(medesimo benchmark) portandoli ad un uguale livello <strong>di</strong> rischio, cioè variando la loro<br />
rischiosità fino a farla coincidere con quella <strong>del</strong> benchmark e in seguito calcolando il<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’asset mo<strong>di</strong>ficato.<br />
In pratica, per ciascun asset con un dato rischio e ren<strong>di</strong>mento, la misura <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani<br />
determina il ren<strong>di</strong>mento che l’asset avrebbe avuto se avesse assunto lo stesso livello <strong>del</strong><br />
rischio <strong>del</strong> Benchmark. E’ analogo all’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe, ma mentre il primo rappresenta un<br />
“coefficiente”, l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani è espresso con un valore percentuale, è cioè un “<br />
ren<strong>di</strong>mento”.<br />
RG a = Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o geometrico annualizzato<br />
σ Ra<br />
= Standard Deviation annualizzata<br />
a<br />
RD<br />
σ = Standard Deviation <strong>del</strong> Benchmark annualizzata<br />
RRF a = Ren<strong>di</strong>mento annuo <strong>del</strong>l’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )<br />
σ RDa<br />
* RRF a<br />
σ a<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Mo<strong>di</strong>gliani = ( R a − R a)<br />
+<br />
G<br />
RF<br />
R<br />
Information Ratio<br />
E’ una misura che mostra quanto rischio aggiuntivo, rispetto al benchmark, il gestore ha<br />
assunto al fine <strong>di</strong> produrre un determinato <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento.<br />
ER a = Mean Excess Return annualizzato<br />
TEVa =Tracking Error Volatility annualized<br />
ERa<br />
Information Ratio =<br />
TEVa<br />
134
Analisi <strong><strong>del</strong>la</strong> correlazione<br />
Coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare<br />
Misura il grado <strong>di</strong> correlazione lineare tra due variabili. Il valore è compreso tra –1<br />
(perfetta relazione lineare inversa) e +1 (perfetta relazione lineare <strong>di</strong>retta). Il coefficiente <strong>di</strong><br />
determinazione lineare, il quadrato <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> correlazione lineare ovvero ρ 2 , R 2 su<br />
valori campionari, misura quanto buona sia l’aderenza dei valori osservati intorno ad<br />
un’interpolante lineare (rappresenta la percentuale <strong>di</strong> varianza “spiegata” dalla regressione<br />
lineare).<br />
N = numero <strong>di</strong> perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
RD i = Ren<strong>di</strong>mento Benchmark periodo i<br />
R = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti R<br />
RD = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong> Benchmark<br />
coefficiente <strong>di</strong> correlazione = ρ =<br />
Dove:<br />
ρ =<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
RD<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( R − R)<br />
* ( RD − RD)<br />
( ) ( ) 2<br />
N<br />
2<br />
R − R * RD − RD<br />
i<br />
i<br />
135<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( R − R)<br />
* ( RD − RD)<br />
i<br />
cov R,<br />
RD<br />
σ<br />
* σ<br />
R<br />
i<br />
i<br />
i<br />
= Covarianza<br />
Beta<br />
Il Beta misura il rischio <strong>di</strong> un particolare asset relativamente al mercato nel suo complesso.<br />
Descrive la sensibilità <strong>del</strong>l’investimento all’andamento <strong>del</strong> mercato. Un <strong>portafoglio</strong><br />
aggressivo ha un beta maggiore <strong>del</strong>l’unità. Beta rappresenta, geometricamente, la pendenza<br />
<strong><strong>del</strong>la</strong> retta <strong>di</strong> regressione.<br />
N = Numero dei perio<strong>di</strong><br />
R i = Ren<strong>di</strong>mento periodo i<br />
RD i = Ren<strong>di</strong>mento Benchmark periodo i
β =<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
Dove:<br />
cov<br />
β =<br />
σ<br />
( R − R)<br />
* ( RD − RD)<br />
N<br />
i<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
R,<br />
RD<br />
2<br />
RD<br />
( ) 2<br />
RD − RD<br />
i<br />
i<br />
( R − R)<br />
* ( RD − RD)<br />
i<br />
i<br />
= Covarianza<br />
Alfa<br />
E’ la misura <strong>del</strong> valore aggiunto dall’attività <strong>di</strong> gestione.<br />
L’alfa in<strong>di</strong>ca in che misura l’andamento <strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> è stato migliore o peggiore <strong>del</strong>le<br />
previsioni basate sulla sua rischiosità intrinseca: è la <strong>di</strong>fferenza tra la performance effettiva<br />
<strong>del</strong> <strong>portafoglio</strong> e la performance prevista alla luce <strong>del</strong> suo fattore beta e dall’andamento <strong>del</strong><br />
mercato.<br />
Geometricamente, rappresenta l’intercetta <strong><strong>del</strong>la</strong> retta <strong>di</strong> regressione.<br />
R = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti R<br />
RD = Me<strong>di</strong>a dei ren<strong>di</strong>menti <strong>del</strong> Benchmark<br />
Alfa = α = R − β * RD<br />
252 −<br />
Alfa annualizzato = ( 1 ) 1<br />
+α = α a<br />
Alfa <strong>di</strong> Jensen<br />
E’ un in<strong>di</strong>catore <strong>del</strong>l’abilità <strong>di</strong> <strong>selezione</strong> <strong>del</strong>l’asset manager.<br />
Analiticamente l’Alfa <strong>di</strong> Jensen è misurata dalla <strong>di</strong>fferenza tra il sovraren<strong>di</strong>mento rispetto<br />
al free risk effettivamente realizzato e quello atteso <strong>di</strong> <strong>equilibrio</strong> (secondo la Security<br />
Market Line), per un <strong>portafoglio</strong> avente lo stesso rischio sistematico cioè lo stesso beta.<br />
RD = Ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> Benchmark<br />
R = Ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>l’attività “Risk Free” (Euribor a 3 mesi )<br />
RF<br />
Alfa <strong>di</strong> Jensen = ( R RF ) − ( RD − R )<br />
− β * RF = α j<br />
252<br />
1+<br />
α j − = α<br />
ja<br />
Alfa <strong>di</strong> Jensen annualizzato = ( ) 1<br />
136
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