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Corso IFTS “Tecnico Superiore in sicurezza e qualità nelle scienze della vita” Statistica Mediana È una media di posizione e corrisponde al valore centrale della distribuzione quando i dati sono ordinati (in ordine crescente o decrescente). Siano x1, x2,..., x n i valori ordinati in senso non decrescente, si dice mediana (Me) il valore che bipartisce la successione, ossia il valore non inferiore a metà dei dati e non superiore all’altra metà. In caso di serie si ordinano i valori e se il numero dei termini è dispari la mediana è proprio il valore centrale, se il numero dei termini è pari si assume come mediana la semisomma dei due valori centrali. Esempio Calcolare la mediana di una serie di valori MEDIANA VALORI PUNTUALI FREQUENZA DISCRETA xi xi xi yi cumyi 1 28 15 0 5 5 2 19 19 1 12 17 3 30 21 2 32 49 4 23 23 3 21 70 5 24 24 4 12 82 6 27 25 5 8 90 7 26 26 6 6 96 8 25 27 7 3 99 9 27 27 8 1 100 10 15 28 SOMMA 100 11 29 29 12 30 30 13 31 30 14 21 31 15 32 32 MEDIA 26 In presenza di valori puntuali è sufficiente ordinare la serie di valori e prendere il valore che corrisponde alla posizione centrale (nel caso 27 che occupa l’ottavo posto). Facciamo notare che il valore ottenuto per la mediana non è identico al valore che si ottiene calcolando la media aritmetica. Per le seriazioni con i valori nel discreto i dati in generale sono già ordinati. Occorre calcolare le frequenze assolute cumulate che si ottengono sommando ogni frequenza con quella precedente. Calcolata la somma N delle frequenze la mediana è il valore che corrisponde alla metà di N + 1 se N è dispari, alla semisomma fra la metà di N e il numero successivo se N è pari . Per le seriazioni con i dati raggruppati in classi si determina la classe mediana con le frequenze cumulate come detto sopra. Nel caso esemplificativo, essendo 100 la somma delle frequenze, il termine centrale è 100 : 2 = 50 pertanto si deve cercare il 50-esimo termine che bipartisce la successione e lo si trova per x = 3. Moda (o valore modale) La moda è un valore di sintesi che riguarda le distribuzioni di frequenza. Si definisce moda (o valore modale) di una distribuzione di frequenze la modalità, o il valore della variabile, se esiste, che ha la frequenza maggiore nella distribuzione. Esempio Calcolare la moda delle serie di valori precedenti Nel primo esempio la moda corrisponde a x=5.2 con frequenza 6. Nel secondo esempio la moda potrebbe essere indifferentemente 27 oppure 30 (frequenza 2). Nel terzo esempio la moda è 2 con frequenza 32. Bruna Consolini Pagina 8 di 12
Corso IFTS “Tecnico Superiore in sicurezza e qualità nelle scienze della vita” Statistica Media geometrica Si definisce media geometrica semplice di n numeri positivi 1 2 esima del loro prodotto: G = n x ⋅x ⋅ ⋅ x 1 2 ... n x , x , ,..., x n il valore ottenuto come radice n- Se i dati hanno frequenze diverse si determina la media geometrica ponderata con una formula simile alla precedente. La media geometrica si utilizza quando ha significato moltiplicare fra loro i dati statistici. Ad esempio la media geometrica trova applicazione per il calcolo del tasso medio di incremento o di decremento di prezzi e, in matematica finanziaria, per il calcolo del tasso medio di rendimento di un capitale impiegato a vari tassi. Media quadratica Si definisce media quadratica semplice dei numeri x1, x2, ,..., x n la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei dati: 2 2 2 x1 + x2 + ... + xn Q = n Se i dati x1, x2, ,..., x n hanno pesi y1, y2,..., y n , la media quadratica ponderata è la radice quadrata della media ponderata dei quadrati dei dati, ossia: 2 2 2 x1 y1 + x2y2 + ... + xnyn Q = y + y + ... + y 1 2 n La media quadratica (semplice o ponderata) si utilizza con serie o seriazioni aventi dati positivi e negativi e serve per evidenziare l’esistenza di dati il cui valore assoluto si discosta molto dagli altri. Inoltre è applicata per la determinazione di un importante indice di variabilità: lo scarto quadratico medio. Media armonica Questo valore medio viene utilizzato quando ha significato calcolare il reciproco dei dati. Si definisce media armonica semplice di n valori positivi 1 2 dei reciproci dei dati: n A = 1 1 1 + + ... + x x x 1 2 n x , x , ,..., x n il reciproco della media aritmetica Analogamente per la media armonica ponderata se i dati hanno pesi diversi. Si utilizza la media armonica in fisica per il calcolo della velocità media, essendo noti gli spazi e i tempi di percorrenza, in economia per calcolare il potere di acquisto della moneta, noti i prezzi di una merce, ecc.
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