Relazione finale sull'attività svolta e sugli obbiettivi conseguiti nell ...

ciascun vettore colonna bi della matrice di dati B e la sua approssimazione i Axi
questa grandezza, la funzione da minimizzare sarà espressa nella seguente forma:
g
n
( A,
X ) = ∑
i=
1
b − Ax
i
i
2
=
B − AX
2
b ≈ . Utilizzando
Noi vogliamo trovare i fattori A ed X che minimizzino questa funzione. Il limite inferiore di
questa funzione è lo zero può essere ottenuto solo quando B è strettamente uguale a AX. Ci sono
diversi modi per minimizzare questa funzione, tuttavia il meglio che ci possiamo aspettare è quello
di raggiungere un minimo locale.
Per trovare un compromesso tra la complessità dell’algoritmo e la velocità di convergenza si può
utilizzare la seguente procedura di aggiornamento delle variabili:
X ← X
aj
A ← A
ia
aj
ia
T [ A B]
aj
T [ A AX ] aj
T [ BX ] ia
T [ AXX ] ia
Scrivendole in questo modo,è evidente che l’aggiornamento consiste nel moltiplicare i fattori
correnti per una misura della qualità della corrente approssimazione.
Inizializzazione
L’algoritmo NMF per un set di dati B m x n richiede necessariamente tre input:
(1) Il numero di specie s, ovvero il rango di A
(2) Una matrice m x r di inizializzazione per le cross section A (0)
(3) Una matrice r x n di inizializzazione per i coefficienti X (0)
Scegliere il numero di specie s equivale a fissare il rango della matrice A. Esistono delle procedure
per valutare il numero minimo di specie s da utilizzare per avere un’inversione ottimale. Nel nostro
caso questo non è strettamente necessario utilizzare procedure visto che la nostra conoscenza dei
mezzi che andiamo ad analizzare ci permette di stabilire quali specie possono essere presenti e
quindi determinarne il numero s.
Anche per l’inizializzazione della matrice A sono state studiate delle opportune procedure. Anche in
questo caso però noi ne possiamo fare a meno perché conoscendo il mezzo possiamo inizializzare la
matrice A con le cross section note da letteratura. Quest’ultimo punto è strettamente vero solo nel
caso dei gas per i quali le cross section sono perfettamente note. Per gli aerosol il problema è
differente in quanto non conosciamo quali sono le loro effettive proprietà ottiche. Quello che
facciamo quindi è ipotizzare un modello, per esempio di miscele interne, valutarci le cross section
di estinzione che corrispondono a questo modello e fornirle in ingresso all’NMF, lasciando a