Relazione finale sull'attività svolta e sugli obbiettivi conseguiti nell ...
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Il moltiplicatore di Lagrange l è il parametro di regolarizzazione che controlla il peso dato alla<br />
regolarizzazione. Viene definito fattore di filtro caratteristico del metodo di Tikhonov la quantità:<br />
2<br />
σ i<br />
2<br />
i +<br />
f i =<br />
per L=In per i=1,…,n<br />
2<br />
σ λ<br />
In corrispondenza dei più piccoli valori singolari σ i , un valore grande di λ ( equivalente ad una<br />
forte regolarizzazione) favorisce una piccola norma della soluzione, pagandola in termini di una<br />
larga norma del residuo; mentre un valore piccolo di λ (ossia una debole regolarizzazione) ha<br />
l’effetto opposto.<br />
Il parametro di regolarizzazione λ è molto importante in quanto controlla le proprietà della<br />
soluzione regolarizzata; per questo deve essere scelto con molta cura. Dalla scelta del parametro di<br />
regolarizzazione, inoltre, dipendono i limiti di perturbazione per il metodo di Tikhonov. Più grande<br />
è, infatti, il valore di λ, più piccolo è il numero di condizionamento del metodo, e perciò la<br />
soluzione regolarizzata è meno sensibile alle perturbazioni; ma è anche vero che l’aumento di λ<br />
causa la crescita dell’errore di regolarizzazione.<br />
Il metodo di regolarizzazione di Tikhonov e l’NNLS possono essere accoppiati, per avere<br />
una soluzione regolarizzata a coefficienti non negativi, ed eseguiti insieme in due passaggi.<br />
Il problema di minimizzazione (3) è equivalente a risolvere la seguente equazione (Twomey 1997):<br />
T T<br />
T<br />
( A A L L)<br />
x = A b<br />
+λ (4)<br />
Il primo passo sarà quindi porre il problema (1) <strong>nell</strong>a forma (5). Il secondo passo sarà<br />
applicare l’NNLS all’equazione (5) costruendo così una soluzione regolarizzata a coefficienti non<br />
negativi. L’algoritmo così costruito viene detto SCNNLS (Smoothing-Constrained NNLS).<br />
La restrizione sui coefficienti non negativi è fisicamente realistica visto che le concentrazioni<br />
non possono essere negative. Tuttavia la regolarizzazione va utilizzata con attenzione. Le<br />
distribuzioni di dimensioni di particelle che si trovano in atmosfera sono differenti a secondo dei<br />
processi fisici e delle scale coinvolte. Quindi trovare un moltiplicatore di Lagrange ottimale è tanto<br />
importante quanto tutto l’algoritmo nel suo complesso. Un moltiplicatore troppo grande può farci<br />
perdere informazioni presenti <strong>nell</strong>e misure, mentre un moltiplicatore troppo piccolo ci può dare una<br />
soluzione contaminata da errori in maniera importante.<br />
Un metodo per la scelta del parametro di regolarizzazione è il criterio basato sulla<br />
definizione della curva L.<br />
Il metodo della curva L<br />
La curva L è costituita da una curva parametrica le cui coordinate sono la norma della<br />
soluzione regolarizzata Lx reg e la corrispondente norma del residuo Axreg − b , con λ parametro