Relazione finale sull'attività svolta e sugli obbiettivi conseguiti nell ...

Il moltiplicatore di Lagrange l è il parametro di regolarizzazione che controlla il peso dato alla
regolarizzazione. Viene definito fattore di filtro caratteristico del metodo di Tikhonov la quantità:
2
σ i
2
i +
f i =
per L=In per i=1,…,n
2
σ λ
In corrispondenza dei più piccoli valori singolari σ i , un valore grande di λ ( equivalente ad una
forte regolarizzazione) favorisce una piccola norma della soluzione, pagandola in termini di una
larga norma del residuo; mentre un valore piccolo di λ (ossia una debole regolarizzazione) ha
l’effetto opposto.
Il parametro di regolarizzazione λ è molto importante in quanto controlla le proprietà della
soluzione regolarizzata; per questo deve essere scelto con molta cura. Dalla scelta del parametro di
regolarizzazione, inoltre, dipendono i limiti di perturbazione per il metodo di Tikhonov. Più grande
è, infatti, il valore di λ, più piccolo è il numero di condizionamento del metodo, e perciò la
soluzione regolarizzata è meno sensibile alle perturbazioni; ma è anche vero che l’aumento di λ
causa la crescita dell’errore di regolarizzazione.
Il metodo di regolarizzazione di Tikhonov e l’NNLS possono essere accoppiati, per avere
una soluzione regolarizzata a coefficienti non negativi, ed eseguiti insieme in due passaggi.
Il problema di minimizzazione (3) è equivalente a risolvere la seguente equazione (Twomey 1997):
T T
T
( A A L L)
x = A b
+λ (4)
Il primo passo sarà quindi porre il problema (1) nella forma (5). Il secondo passo sarà
applicare l’NNLS all’equazione (5) costruendo così una soluzione regolarizzata a coefficienti non
negativi. L’algoritmo così costruito viene detto SCNNLS (Smoothing-Constrained NNLS).
La restrizione sui coefficienti non negativi è fisicamente realistica visto che le concentrazioni
non possono essere negative. Tuttavia la regolarizzazione va utilizzata con attenzione. Le
distribuzioni di dimensioni di particelle che si trovano in atmosfera sono differenti a secondo dei
processi fisici e delle scale coinvolte. Quindi trovare un moltiplicatore di Lagrange ottimale è tanto
importante quanto tutto l’algoritmo nel suo complesso. Un moltiplicatore troppo grande può farci
perdere informazioni presenti nelle misure, mentre un moltiplicatore troppo piccolo ci può dare una
soluzione contaminata da errori in maniera importante.
Un metodo per la scelta del parametro di regolarizzazione è il criterio basato sulla
definizione della curva L.
Il metodo della curva L
La curva L è costituita da una curva parametrica le cui coordinate sono la norma della
soluzione regolarizzata Lx reg e la corrispondente norma del residuo Axreg − b , con λ parametro