Relazione finale sull'attività svolta e sugli obbiettivi conseguiti nell ...
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determinata differenza tra i valori grandi ed i valori piccoli. Questo indica che ci sono delle colonne<br />
(o righe) che sono quasi combinazioni lineari delle restanti colonne (o righe).<br />
Si può anche presentare il caso in cui i valori singolari di A decadono gradualmente quasi fino a<br />
zero senza che ci sia un particolare gap <strong>nell</strong>o spettro dei valori singolari.<br />
In entrambe le classi di problemi il numero di condizionamento è grande e quindi piccoli errori in b<br />
possono causare grosse variazioni <strong>nell</strong>a soluzione.<br />
La soluzione del problema mal posto, dopo la decomposizione ai valori singolari della<br />
matrice A è espressa dalla formula:<br />
da cui si ricava immediatamente<br />
x =<br />
∆x<br />
=<br />
n T<br />
ui<br />
∑<br />
i=<br />
1 σ i<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
T<br />
b<br />
v<br />
ui<br />
∆b<br />
v<br />
σ<br />
Queste relazioni indicano chiaramente che se c’è un errore in b, il contributo dei valori singolari più<br />
piccoli contamina pesantemente la soluzione. Al secondo membro di quest’ultima relazione, infatti,<br />
∆b viene diviso per σ i . Un primo metodo di regolarizzazione delle soluzioni che viene suggerito<br />
da questa constatazione è quello di trascurare i contributi associati ai valori singolari più piccoli.<br />
Questo metodo è chiamato TSVD (Truncated Singular Value Decomposition).<br />
Inversione e restrizioni alla soluzione con NNLS<br />
Attraverso la procedura SVD troviamo una soluzione x che minimizza la norma del residuo<br />
fornendoci numeri reali. Nel nostro problema il vettore x è il vettore delle concentrazioni. Dal punto<br />
di vista fisico non si possono avere concentrazioni negative. Bisogna, quindi, imporre delle<br />
restrizioni alle soluzioni. Per ottenere soluzioni non negative, è stato sviluppato un algoritmo<br />
(Lawson and Hanson, 1974) che risolve problemi ai minimi quadrati con coefficienti non negativi<br />
NNLS (Non Negative Least Square):<br />
min<br />
x ∈ ℜ<br />
n<br />
i<br />
A⋅<br />
x − b , con ≥ 0 ∀i<br />
(2)<br />
L’ NNLS è un algoritmo iterativo. E’ stato provato da Lawson ed Hanson che il numero di<br />
iterazioni affinché l’algoritmo giunga a convergenza è un numero finito. Aspettando un tempo<br />
sufficiente l’algoritmo giungerà ad un punto in cui le condizioni x ≥ 0 saranno soddisfatte e<br />
terminerà. Non è richiesta un’interruzione arbitraria nel numero di iterazioni anche se il limite<br />
superiore nel numero di iterazioni di cui l’algoritmo ha bisogno per raggiungere il punto di ottimo<br />
può essere grande. Se interrompiamo l’algoritmo prima che esso raggiunga questo punto, non si<br />
x i<br />
i<br />
i<br />
i