Relazione finale sull'attività svolta e sugli obbiettivi conseguiti nell ...

determinata differenza tra i valori grandi ed i valori piccoli. Questo indica che ci sono delle colonne
(o righe) che sono quasi combinazioni lineari delle restanti colonne (o righe).
Si può anche presentare il caso in cui i valori singolari di A decadono gradualmente quasi fino a
zero senza che ci sia un particolare gap nello spettro dei valori singolari.
In entrambe le classi di problemi il numero di condizionamento è grande e quindi piccoli errori in b
possono causare grosse variazioni nella soluzione.
La soluzione del problema mal posto, dopo la decomposizione ai valori singolari della
matrice A è espressa dalla formula:
da cui si ricava immediatamente
x =
∆x
=
n T
ui
∑
i=
1 σ i
n
∑
i=
1
T
b
v
ui
∆b
v
σ
Queste relazioni indicano chiaramente che se c’è un errore in b, il contributo dei valori singolari più
piccoli contamina pesantemente la soluzione. Al secondo membro di quest’ultima relazione, infatti,
∆b viene diviso per σ i . Un primo metodo di regolarizzazione delle soluzioni che viene suggerito
da questa constatazione è quello di trascurare i contributi associati ai valori singolari più piccoli.
Questo metodo è chiamato TSVD (Truncated Singular Value Decomposition).
Inversione e restrizioni alla soluzione con NNLS
Attraverso la procedura SVD troviamo una soluzione x che minimizza la norma del residuo
fornendoci numeri reali. Nel nostro problema il vettore x è il vettore delle concentrazioni. Dal punto
di vista fisico non si possono avere concentrazioni negative. Bisogna, quindi, imporre delle
restrizioni alle soluzioni. Per ottenere soluzioni non negative, è stato sviluppato un algoritmo
(Lawson and Hanson, 1974) che risolve problemi ai minimi quadrati con coefficienti non negativi
NNLS (Non Negative Least Square):
min
x ∈ ℜ
n
i
A⋅
x − b , con ≥ 0 ∀i
(2)
L’ NNLS è un algoritmo iterativo. E’ stato provato da Lawson ed Hanson che il numero di
iterazioni affinché l’algoritmo giunga a convergenza è un numero finito. Aspettando un tempo
sufficiente l’algoritmo giungerà ad un punto in cui le condizioni x ≥ 0 saranno soddisfatte e
terminerà. Non è richiesta un’interruzione arbitraria nel numero di iterazioni anche se il limite
superiore nel numero di iterazioni di cui l’algoritmo ha bisogno per raggiungere il punto di ottimo
può essere grande. Se interrompiamo l’algoritmo prima che esso raggiunga questo punto, non si
x i
i
i
i