Francesco Ricciardelli - Dipartimento di Analisi e Progettazione ...
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Risposta delle torri<br />
<strong>di</strong> ponti <strong>di</strong> grande luce<br />
all’azione del vento<br />
<strong>Francesco</strong> <strong>Ricciardelli</strong>
Università degli stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Napoli Federico II<br />
Facoltà <strong>di</strong> Ingegneria<br />
<strong>Francesco</strong> <strong>Ricciardelli</strong><br />
Risposta delle torri <strong>di</strong> ponti <strong>di</strong> grande luce<br />
all’azione del vento<br />
Tesi <strong>di</strong> Dottorato<br />
VIII Ciclo<br />
1996<br />
Dottorato <strong>di</strong> Ricerca in Ingegneria delle Strutture
In<strong>di</strong>ce<br />
In<strong>di</strong>ce i<br />
Sommario iii<br />
Elenco dei simboli vi<br />
Premessa x<br />
Capitolo I Introduzione<br />
1. La nascita e lo sviluppo dell’Ingegneria del Vento 1<br />
2. Problematiche e metodologie 4<br />
3. La modellazione delle strutture 6<br />
4. La modellazione del vento 6<br />
5. L’interazione vento-struttura ed i fenomeni aeroelastici 12<br />
5.1 Distacco dei vortici e sincronizzazione 13<br />
5.2 Divergenza 14<br />
5.3 Galloping 15<br />
5.4 Flutter 16<br />
6. L’uso delle gallerie del vento a strato limite nell’analisi dell’azione del vento<br />
sulle costruzioni<br />
16<br />
7. Gli effetti del vento sui ponti <strong>di</strong> grande luce 19<br />
Capitolo II <strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita<br />
all’azione del vento<br />
1. Premessa 21<br />
2. <strong>Analisi</strong> delle forze agenti sul cilindro 22<br />
3. Equazioni linearizzate del moto 28<br />
4. <strong>Analisi</strong> della risposta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità 30<br />
5. Equazioni non lineari del moto 34<br />
6. Equazioni <strong>di</strong>saccoppiate del moto 34<br />
i
ii<br />
7. Applicazione: il cilindro a sezione quadrata 37<br />
Capitolo III <strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
1. Premessa 43<br />
2. Equazioni del moto in coor<strong>di</strong>nate modali 44<br />
2.1 Equazioni nel riferimento x 0 -y 0 -z 44<br />
2.2 Equazioni nel riferimento x-y-z 47<br />
3. Valutazione della risposta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità 51<br />
4. Valutazione del generico parametro della risposta strutturale 53<br />
5. L’uso delle linee d’influenza nella valutazione della risposta strutturale 55<br />
6. Applicazione: mensola a sezione quadrata nello strato limite atmosferico 57<br />
Capitolo IV <strong>Analisi</strong> sperimentale sul comportamento aero<strong>di</strong>namico delle<br />
sezioni delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce (modello 2-D)<br />
1. L’interferenza tra cilindri immersi in un flusso uniforme 64<br />
2. Allestimento sperimentale 67<br />
3. Caratteristiche del flusso 71<br />
4. Profilo degli esperimenti 75<br />
Capitolo V Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione<br />
quadrata<br />
1. Premessa 77<br />
2. Cilindri allineati col flusso 78<br />
3. Cilindri affiancati 86<br />
4. Configurazioni a piccoli angoli <strong>di</strong> attacco 89<br />
5. Configurazioni a gran<strong>di</strong> angoli <strong>di</strong> attacco 92<br />
Capitolo VI Coefficienti aero<strong>di</strong>namici delle sezioni delle torri dei ponti <strong>di</strong><br />
grande luce<br />
1. Premessa 95<br />
2. Vento ortogonale all’asse del ponte 96<br />
3. Vento parallelo all’asse del ponte 101<br />
4. Gli angoli d’attacco interme<strong>di</strong> 102<br />
Capitolo VII <strong>Analisi</strong> della risposta delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce<br />
all’azione del vento<br />
1. Premessa 107<br />
2. Applicazione: calcolo della risposta delle torri del Kwang Ahn Bridge 108<br />
Bibliografia 117
Sommario<br />
Nella progettazione dei ponti <strong>di</strong> grande luce un ruolo determinante è rivestito dagli effetti<br />
derivanti dall’azione del vento. Le gran<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni dei ponti sospesi e strallati, insieme alla<br />
elevata deformabilità globale e dei singoli componenti strutturali, fanno sì che l’azione del<br />
vento si esplichi in maniera estremamente forte e complessa.<br />
In particolare assume grande rilievo l’interazione che ha luogo tra il vento e la struttura<br />
stessa quando questa comincia a vibrare. Le azioni esplicate dal vento, infatti, <strong>di</strong>pendono dallo<br />
stato della struttura, e quin<strong>di</strong> non possono essere calcolate a priori, e la <strong>di</strong>pendenza è inoltre<br />
fortemente non lineare. L’analisi della risposta dei ponti <strong>di</strong> grande luce all’azione del vento è<br />
pertanto volta non solo alla stima della risposta <strong>di</strong> picco in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto stabile, ma<br />
anche alla determinazione delle con<strong>di</strong>zioni critiche che segnano l’inizio <strong>di</strong> un pronunciato<br />
comportamento aeroelastico.<br />
Lo stu<strong>di</strong>o della risposta viene condotto avvalendosi <strong>di</strong> due strumenti: la modellazione<br />
analitica e la sperimentazione in galleria del vento. Lo stu<strong>di</strong>o del comportamento globale del<br />
ponte può essere eseguito solo per via sperimentale, e con costi estremamente elevati.<br />
Viceversa i singoli elementi strutturali possono essere analizzati autonomamente sia<br />
avvalendosi <strong>di</strong> modelli fisici che <strong>di</strong> modelli analitici. In ciò la maggiore attenzione viene <strong>di</strong><br />
solito de<strong>di</strong>cata all’impalcato, che risulta senza dubbio l’elemento più prono all’azione del<br />
vento. Non vanno però trascurati gli effetti che si possono avere su altre parti della struttura,<br />
quali le torri, i cavi <strong>di</strong> sospensione o gli stralli. In particolare durante la costruzione l’assenza<br />
parziale o totale dell’impalcato rende questi ultimi meno vincolati e quin<strong>di</strong> dotati <strong>di</strong> un<br />
comportamento sostanzialmente <strong>di</strong>fferente da quello che gli compete ad opera ultimata. Per<br />
quanto concerne invece le torri, malgrado queste siano strutture <strong>di</strong> elevata rigidezza, sono state<br />
osservate in passato in fase <strong>di</strong> costruzione vibrazioni <strong>di</strong> notevole ampiezza. Tali vibrazioni<br />
sono state attribuite tanto ad un comportamento stabile, risultando pertanto solo l’effetto<br />
dell’azione della turbolenza e del <strong>di</strong>stacco dei vortici, quanto ad un comportamento instabile<br />
dovuto a sincronizzazione o a galloping.<br />
Nella presente tesi si illustra un proce<strong>di</strong>mento semi-analitico volto alla stima della risposta<br />
all’azione del vento <strong>di</strong> quelle torri <strong>di</strong> ponti sospesi o strallati composte da due colonne verticali<br />
iii
iv<br />
o leggermente inclinate, collegate me<strong>di</strong>ante traversi orizzontali. Il metodo proposto si fonda sul<br />
proce<strong>di</strong>mento che utilizza i principi dell’analisi modale per il calcolo della risposta delle<br />
strutture dei forma allungata all’azione del vento, e viene poi applicato al caso in cui la sezione<br />
trasversale delle colonne sia quadrata o rettangolare con un basso rapporto <strong>di</strong> allungamento.<br />
La tesi si compone <strong>di</strong> due parti <strong>di</strong>stinte. La prima in cui viene illustrato il modello semianalitico<br />
per il calcolo delle strutture <strong>di</strong> forma allungata; la seconda in cui vengono presentati i<br />
risultati <strong>di</strong> una serie <strong>di</strong> prove sperimentali volte alla determinazione delle statistiche e delle<br />
funzioni <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici <strong>di</strong> una tipica sezione<br />
trasversale <strong>di</strong> torre <strong>di</strong> ponte <strong>di</strong> grande luce. Il lavoro si conclude con l’applicazione della<br />
metodologia introdotta e dei risultati sperimentali al calcolo della risposta <strong>di</strong> una torre <strong>di</strong> ponte<br />
sospeso.<br />
Nel primo capitolo, dopo una breve introduzione, viene dato un inquadramento generale<br />
dei problemi riguardanti l’interazione tra vento e strutture, e vengono forniti alcune nozioni<br />
sulla modellazione del vento. Viene inoltre effettuata una breve panoramica sui fenomeni <strong>di</strong><br />
instabilità aeroelastica e vengono date alcune informazione sull’utilizzo delle gallerie del vento<br />
a strato limite nella verifica delle strutture civili.<br />
Nel secondo capitolo viene analizzato il problema della risposta <strong>di</strong> un cilindro rigido <strong>di</strong><br />
lunghezza infinita posto in un flusso turbolento. Vengono presi in considerazione i tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
libertà consistenti nelle traslazioni in <strong>di</strong>rezioni ortogonali all’asse e nella rotazione attorno a<br />
questo. Viene scritta l’espressione linearizzata della forzante, scindendo questa in una parte<br />
me<strong>di</strong>a e in parti fluttuanti a me<strong>di</strong>a nulla dovute alle componenti della turbolenza ed al <strong>di</strong>stacco<br />
dei vortici. Viene quin<strong>di</strong> scritta l’equazione linearizzata del moto, contenenti i termini<br />
aero<strong>di</strong>namici <strong>di</strong> smorzamento e rigidezza, e forniti gli strumenti per la soluzione <strong>di</strong> questa in<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità del moto. La soluzione viene perseguita per via stocastica operando nel<br />
dominio delle frequenze. Vengono dati inoltre cenni sulla struttura dell’equazione non lineare<br />
del moto e sulla risoluzione del problema lineare nel caso in cui l’equazione del moto nei tre<br />
gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà sia <strong>di</strong>saccoppiabile. Le metodologie esposte vengono applicate al calcolo della<br />
risposta <strong>di</strong> un cilindro infinito a sezione quadrata posto con le facce parallele alla <strong>di</strong>rezione<br />
me<strong>di</strong>a del flusso.<br />
Nel terzo capitolo si passa allo stu<strong>di</strong>o delle strutture <strong>di</strong> forma allungata poste nello strato<br />
limite atmosferico. L’equazione del moto viene scritta in due riferimenti: il primo orientato<br />
secondo la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del vento, ed il secondo rispetto ad una <strong>di</strong>rezione principale<br />
d’inerzia della sezione trasversale della struttura. La soluzione viene ricercata facendo ricorso<br />
all’analisi modale, ed anche in questo caso per via stocastica nel dominio delle frequenze.<br />
Viene poi illustrato come pervenire al valore me<strong>di</strong>o ed al valore <strong>di</strong> picco del generico<br />
parametro della risposta strutturale. Viene infine introdotto un metodo alternativo <strong>di</strong> soluzione<br />
che permette <strong>di</strong> calcolare <strong>di</strong>rettamente i valori me<strong>di</strong>o e <strong>di</strong> picco del generico parametro della<br />
risposta, facendo ricorso all’uso della nozione <strong>di</strong> linea d’influenza. Chiude il capitolo una<br />
applicazione al calcolo <strong>di</strong> una mensola a sezione quadrata posta verticalmente nello strato<br />
limite atmosferico.<br />
Nel quarto capitolo vengono presentati alcuni risultati ottenuti in passato da altri autori,<br />
relativi all’interferenza tra cilindri e prismi a sezione circolare e quadrata posti in un flusso<br />
laminare o turbolento. Vengono poi illustrate le modalità con cui sono state effettuate le prove<br />
in galleria del vento sui cilindri a sezione quadrata, <strong>di</strong> cui si riportano i risultati.
Nel quinto capitolo vengono presentati i risultati delle prove relativi alle modalità <strong>di</strong><br />
interferenza tra i due cilindri ed alle forze aero<strong>di</strong>namiche agenti su ciascuno <strong>di</strong> essi. Le<br />
configurazioni prese in considerazione sono quelle che si ottengono a partire da una<br />
configurazione in cui i centri delle sezioni trasversali dei cilindri sono allineati col flusso e con<br />
le facce parallele alla <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> questo, traslando un cilindro rispetto all’altro nella<br />
<strong>di</strong>rezione della congiungente i centri e ruotando i due cilindri in maniera solidale. In base a<br />
quello che è il comportamento del flusso e le caratteristiche delle forze aero<strong>di</strong>namiche, le<br />
configurazioni prese in considerazione sono state sud<strong>di</strong>vise in quattro gruppi. In<strong>di</strong>cando quale<br />
angolo d’attacco α l’angolo della congiungente i centri dei cilindri con la <strong>di</strong>rezione del flusso<br />
me<strong>di</strong>o: configurazioni in cui la coppia <strong>di</strong> cilindri è allineata col flusso (α=0°), configurazioni<br />
in cui i cilindri sono affiancati (α=90°), configurazioni a piccoli angoli d’attacco<br />
( 0°< α ≤ 30°<br />
) e configurazioni a gran<strong>di</strong> angoli d’attacco ( 45°≤ α < 90°<br />
).<br />
Nel sesto capitolo vengono invece riportati i risultati relativi alle forze aero<strong>di</strong>namiche<br />
agenti sulla coppia <strong>di</strong> cilindri. Tali risultati servono ad in<strong>di</strong>viduare le <strong>di</strong>rezioni <strong>di</strong> incidenza del<br />
vento più gravose ai fini della risposta strutturale, e a fornire i dati aero<strong>di</strong>namici per la verifica<br />
della torre.<br />
Nel settimo capitolo viene illustrato, me<strong>di</strong>ante una applicazione al calcolo della risposta<br />
della torri del Kwang Ahn Bridge, il metodo che si propone. Il metodo utilizza i proce<strong>di</strong>menti<br />
mostrati nel Capitolo III, con riferimento ad una struttura allungata con sezione trasversale<br />
compatta, ai quali vengono apportate le mo<strong>di</strong>fiche necessarie per tenere conto della particolare<br />
sezione trasversale della torre del ponte.<br />
v
vi<br />
Elenco dei simboli<br />
Caratteri latini<br />
b Dimensione caratteristica della sezione trasversale delle strutture allungate<br />
B Ampiezza della banda degli spettri delle forze indotte dal <strong>di</strong>stacco dei vortici<br />
ci Smorzamento nel grado <strong>di</strong> libertà i<br />
Ci Coefficiente <strong>di</strong> correlazione della quantità i<br />
Ci ( f ) Spettro normalizzato della quantità i<br />
CD , CL , CM Coefficienti aero<strong>di</strong>namici <strong>di</strong> resistenza, portanza e momento torcente<br />
C , C , C<br />
F F M<br />
x y<br />
Coefficienti aero<strong>di</strong>namici nel riferimento x-y-z<br />
D, L, M Resistenza, portanza e momento torcente<br />
E Modulo <strong>di</strong> Young<br />
f Frequenza<br />
f i Frequenza propria i-ma del sistema non smorzato in assenza <strong>di</strong> vento<br />
f * Frequenza ridotta<br />
Fξ, Fη<br />
Componenti <strong>di</strong> Fi lungo ξ e η<br />
F Vettore forza per unità <strong>di</strong> lunghezza<br />
F i<br />
Vettore forza per unità <strong>di</strong> lunghezza nel riferimento ξ-η-z<br />
g i Fattore <strong>di</strong> picco della quantità i<br />
G Modulo <strong>di</strong> elasticità tangenziale<br />
[ H ]<br />
Matrice <strong>di</strong> risposta in frequenza
i, j, k Versori degli assi x, y e z<br />
i r Linea d’influenza <strong>di</strong> r per forze viaggianti<br />
i0, j0, k Versori degli assi x0 , y0 e z<br />
I Momento centrale d’inerzia della massa per unità <strong>di</strong> lunghezza<br />
Iu, Iv, Iw<br />
Intensità delle componenti della turbolenza<br />
Ixx, Iyy<br />
Momenti d’inerzia della sezione trasversale rispetto agli assi y e x<br />
I * Momento torsionale primario<br />
j j<br />
Li, Li( f )<br />
Scale integrali a banda larga e a banda stretta della i-ma componente della<br />
turbolenza nella <strong>di</strong>rezione j<br />
ki Rigidezza nel grado <strong>di</strong> libertà i<br />
m Massa per unità <strong>di</strong> lunghezza<br />
[ M] , [ C] , [ K]<br />
Matrici <strong>di</strong> massa, smorzamento e rigidezza<br />
r Generica risposta strutturale<br />
R t<br />
i( ) Funzione <strong>di</strong> autocorrelazione della quantità i<br />
R 0 Dimensione caratteristica della sezione trasversale delle strutture allungate<br />
con sezione trasversale non compatta<br />
0 0 0<br />
Rx, Ry, Rϑ<br />
Termini <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore al primo nelle espressioni delle forze<br />
s Interasse tra le colonne delle torri<br />
St Numero <strong>di</strong> Strouhal<br />
Sii ( f ) Funzione densità spettrale <strong>di</strong> potenza della quantità i<br />
s Vettore spostamento<br />
s0 i<br />
Componente <strong>di</strong> spostamento nel riferimento x0-y0-z t Tempo<br />
T Periodo<br />
T u Scala integrale dei tempi della componente longitu<strong>di</strong>nale della turbolenza<br />
u, v, w Componenti del vettore velocità istantanea del vento lungo x0 , y0 e z<br />
u', v', w' Componenti della turbolenza lungo x0 , y0 e z<br />
u *<br />
Velocità <strong>di</strong> attrito<br />
U Velocità me<strong>di</strong>a del vento<br />
vii
viii<br />
Ucd Ucg Ucs Uref Uv U10 Velocità critica <strong>di</strong> <strong>di</strong>vergenza<br />
Velocità critica <strong>di</strong> galloping<br />
Velocità critica <strong>di</strong> sincronizzazione<br />
Velocità <strong>di</strong> riferimento<br />
Velocità convettiva dei vortici<br />
Velocità me<strong>di</strong>a del vento ad una quota <strong>di</strong> 10 m<br />
V Vettore velocità istantanea del vento<br />
Vr Vettore velocità relativa istantanea tra vento e struttura<br />
x-y-z Terna <strong>di</strong> riferimento orientata rispetto alla struttura<br />
x0-y0-z Terna <strong>di</strong> riferimento avente x0 orientato come la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del flusso<br />
x(t), y(t), ϑ(t) Componenti <strong>di</strong> traslazione lungo x e y e <strong>di</strong> rotazione attorno a z<br />
x0 (t), y0 (t), ϑ(t) Componenti <strong>di</strong> traslazione lungo x0 e y0 e <strong>di</strong> rotazione attorno a z<br />
z 0<br />
Caratteri greci<br />
Lunghezza caratteristica della rugosità<br />
α Esponente della legge <strong>di</strong> potenza, angolo <strong>di</strong> attacco<br />
γ Angolo d’attacco istantaneo<br />
2<br />
γ i ( f ) Funzione <strong>di</strong> coerenza della quantità i<br />
δ Angolo del vettore velocità istantanea rispetto al flusso me<strong>di</strong>o<br />
Distanza nella <strong>di</strong>rezione i<br />
∆i η0i Coor<strong>di</strong>nata modale i-ma nel riferimento x0-y0-z ηxi , ηyi , ηϑi Coor<strong>di</strong>nate modali i-me nel riferimento x-y-z<br />
η Vettore delle prime n coor<strong>di</strong>nate modali nel riferimento x-y-z<br />
µ 0i () z Modo i-mo nel riferimento x0-y0-z µ xi µ yi<br />
µ ϑi()<br />
z<br />
(), z (), z<br />
Mo<strong>di</strong> i-mi flessionali e torsionale nel riferimento x-y-z<br />
ν i Frequenza <strong>di</strong> attraversamento della quantità i<br />
ξ Rapporto <strong>di</strong> smorzamento<br />
ξ, η, z Terna <strong>di</strong> riferimento avente ξ orientato come la <strong>di</strong>rezione istantanea del flusso
ϕi Rapporto tra la i-ma frequenza propria del sistema non smorzato in presenza<br />
ed in assenza <strong>di</strong> vento<br />
ρ Densità dell’aria<br />
σ Tensione normale<br />
Apici, pe<strong>di</strong>ci e soprasegni<br />
a Termine aeroelastico<br />
s Termine dovuto al <strong>di</strong>stacco dei vortici<br />
t Termine dovuto alla turbolenza<br />
0 Quantità valutata nel riferimento x0-y0-z * Termine somma delle aliquote strutturale ed aeroelastica<br />
' Valore fluttuante a me<strong>di</strong>a nulla, derivata angolare<br />
Valore me<strong>di</strong>o<br />
~ Scarto quadratico me<strong>di</strong>o<br />
$ Valore <strong>di</strong> picco<br />
ix
x<br />
Premessa<br />
Con questa tesi si conclude un periodo della vita <strong>di</strong> chi scrive de<strong>di</strong>cato, così come è nei fini<br />
del Corso <strong>di</strong> Dottorato <strong>di</strong> Ricerca, ad apprendere a fare ricerca piuttosto che a farne.<br />
Il lavoro <strong>di</strong> cui si riportano i risultati è stato condotto in parte in Italia presso l’Istituto <strong>di</strong><br />
Costruzioni <strong>di</strong> Ponti, intanto <strong>di</strong>venuto <strong>Dipartimento</strong> <strong>di</strong> <strong>Analisi</strong> e <strong>Progettazione</strong> Strutturale,<br />
dell’Università <strong>di</strong> Napoli Federico II, ed in parte in Canada presso il Boundary Layer Wind<br />
Tunnel Laboratory della University of Western Ontario. Lo specifico argomento trattato è,<br />
come spesso accade, più il frutto <strong>di</strong> concomitanze che non <strong>di</strong> una ferma determinazione. La<br />
<strong>di</strong>sciplina in cui si inquadra deriva invece da una precisa scelta dettata dall’entusiasmo che<br />
aveva suscitato in me un breve corso in tema <strong>di</strong> Ingegneria del Vento seguito poco prima<br />
dell’inizio del Corso <strong>di</strong> Dottorato presso il CISM <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne.<br />
La tesi si compone <strong>di</strong> due ingre<strong>di</strong>enti, uno <strong>di</strong> natura teorica, l’altro <strong>di</strong> natura sperimentale.<br />
Il modo in cui è stata scritta è volto a percorrere, anche se ciò viene fatto senza rispettare<br />
l’effettiva cronologia, i passi da me compiuti nell’acquisizione delle nozioni e dei risultati in<br />
essa contenuti. Ne può risultare un ingenuo mescolamento <strong>di</strong> quelli che sono concetti noti con i<br />
risultati originali.<br />
Mi è gra<strong>di</strong>to spendere a questo punto alcune parole sulla scelta del linguaggio. La necessità<br />
<strong>di</strong> rendere la platea in grado <strong>di</strong> leggere gli scritti scientifici quanto più vasta possibile ha fatto<br />
sì che l’Inglese prendesse il sopravvento sulle altre lingue. Ciò al punto tale che spesso lo<br />
scrittore, anche nel rivolgersi ad un pubblico <strong>di</strong> stessa madrelingua, preferisce esprimersi in<br />
uno scorretto Inglese “as a second language” che non nella propria lingua. Ciò a mio giu<strong>di</strong>zio<br />
rappresenta un grosso progresso per la Scienza. Il risvolto negativo è però un progressivo<br />
impoverimento delle lingue nazionali, che risultano a volte violentate dall’uso <strong>di</strong> termini<br />
anglosassoni inseriti, magari a sproposito, nel <strong>di</strong>scorso. L’uso <strong>di</strong> termini anglosassoni si rende<br />
peraltro necessario in tutti quei casi in cui non esiste un equivalente che renda con adeguata<br />
raffinatezza il concetto che si intende esprimere. Nel rispetto <strong>di</strong> queste considerazioni ho<br />
cercato <strong>di</strong> utilizzare il più possibile vocaboli della Lingua Italiana, limitando l’uso <strong>di</strong> vocaboli<br />
inglesi solo a quei casi in cui una traduzione in Italiano sarebbe risultata una evidente<br />
forzatura. Ho utilizzato quin<strong>di</strong> termini forse un po’ polverosi quali, ad esempio, resistenza e
portanza, senza fare ricorso agli oggi più <strong>di</strong>ffusi drag e lift. Non ho osato invece la traduzione<br />
in Italiano <strong>di</strong> termini quali flutter oppure file.<br />
In questi tre anni <strong>di</strong> formazione ho ricevuto contributi da tantissime persone. Non solo da<br />
quelle con cui ho lavorato a stretto contatto, ma anche da tutti coloro con i quali un semplice e<br />
breve scambio mi ha dato lo spunto alla comprensione <strong>di</strong> cose a me nuove. Vorrei quin<strong>di</strong> qui<br />
limitarmi ad esprimere la mia infinita riconoscenza al professore Aldo Raithel, per avermi<br />
insegnato ad apprendere e guidato nell’appren<strong>di</strong>mento, ed ai professori Barry J. Vickery ed<br />
Alan G. Davenport, per avermi trasmesso la passione per quella <strong>di</strong>sciplina <strong>di</strong> cui sono Cultori<br />
illustri.<br />
xi
Capitolo I<br />
Introduzione<br />
1. La nascita e lo sviluppo dell’Ingegneria del Vento<br />
Col termine “Ingegneria del Vento” viene oggi in<strong>di</strong>cato un complesso <strong>di</strong> eterogenee<br />
<strong>di</strong>scipline aventi, spesso, come unico elemento comune l’attenzione per quei fenomeni per i<br />
quali risulta determinante l’effetto del vento e le sue caratteristiche. Col solo scopo <strong>di</strong><br />
esemplificare quanto affermato, ma senza la pretesa <strong>di</strong> esaurirne il possibile repertorio, si<br />
possono citare campi <strong>di</strong> attività quali lo stu<strong>di</strong>o della <strong>di</strong>spersione delle piume nell’atmosfera,<br />
mirante all’analisi dell’effetto delle sostanze inquinanti sull’ambiente umano; lo stu<strong>di</strong>o della<br />
formazione e dell’evoluzione del moto ondoso e dell’effetto <strong>di</strong> questo sulle navi e sulle<br />
strutture marittime, quali ad esempio le piattaforme off-shore; lo stu<strong>di</strong>o dell’effetto della<br />
pioggia e della neve sulle costruzioni; lo stu<strong>di</strong>o dell’effetto del vento sul comfort dell’ambiente<br />
urbano; lo stu<strong>di</strong>o dell’effetto degli ostacoli naturali ed artificiali sulla circolazione eolica, nella<br />
pianificazione agricola e forestale; l’analisi del rischio dovuto ad uragani e tornado; l’analisi<br />
delle prestazioni degli impianti <strong>di</strong> produzione <strong>di</strong> energia eolica, ed infine l’analisi della<br />
sollecitazione indotta dal vento sulle costruzioni. Questo ultimo campo <strong>di</strong> attività è quello<br />
dominante sia per l’impegno ricevuto sia per i risultati conseguiti, e per tale motivo viene<br />
spesso, erroneamente identificato con l’Ingegneria del Vento stessa.<br />
Analogamente eterogeneo è il complesso <strong>di</strong> <strong>di</strong>scipline <strong>di</strong> cui l’Ingegneria del Vento si<br />
avvale o con le quali ha scambi. Sono da citare, ancora senza sperare <strong>di</strong> elencarle tutte, la<br />
meteorologia, la climatologia, l’aero<strong>di</strong>namica, l’aeroelasticità, la statica e la <strong>di</strong>namica delle<br />
costruzioni, l’idraulica marittima e l’ingegneria marittima, l’ingegneria navale, l’ingegneria<br />
ambientale, nonché tutti quei rami della matematica che forniscono gli strumenti <strong>di</strong> analisi e <strong>di</strong><br />
modellazione dei fenomeni, primi tra tutti il calcolo delle probabilità e la statistica.<br />
Da quanto detto risulta evidente come l’Ingegneria del Vento rappresenti una <strong>di</strong>sciplina <strong>di</strong><br />
confine, con le <strong>di</strong>fficoltà ed il fascino che ciò comporta. La principale <strong>di</strong>fficoltà che si<br />
presenta, infatti, all’ “Ingegnere del vento” è quella <strong>di</strong> acquisire nozioni e strumenti propri <strong>di</strong><br />
1
2<br />
Capitolo I<br />
altri campi della scienza e della tecnica, e in base a questi saper creare gli opportuni<br />
collegamenti tra le varie <strong>di</strong>scipline, necessari all’analisi <strong>di</strong> problemi che spesso si presentano<br />
quali “insolubili”. L’apparente insolubilità <strong>di</strong> tali problemi risiede nell’elevatissimo numeri <strong>di</strong><br />
parametri da cui essi <strong>di</strong>pendono e dalla contemporanea impossibilità <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduarli in via<br />
deterministica. Emerge allora, e <strong>di</strong> qui il fascino, la necessità <strong>di</strong> semplificazione dei problemi,<br />
ciò che è possibile solo quando vi è una profonda comprensione dei meccanismi che regolano i<br />
fenomeni dei quali ci si occupa. E’ chiaro, quin<strong>di</strong>, come in una <strong>di</strong>sciplina altamente empirica e<br />
spesso sperimentale, l’intuito e la capacità <strong>di</strong> sintesi siano gli ingre<strong>di</strong>enti necessari al<br />
conseguimento <strong>di</strong> qualsiasi risultato.<br />
L’analisi dell’effetto del vento sulle costruzioni è non solo la parte più consistente<br />
dell’Ingegneria del Vento, ma anche la più antica. L’attenzione prestata dagli ingegneri ai<br />
carichi indotti dal vento sulle strutture risulta, purtroppo, legata ad una serie <strong>di</strong> <strong>di</strong>sastri che, a<br />
partire dai primi decenni dello scorso secolo, hanno colpito soprattutto le strutture da ponte.<br />
La tendenza che si manifestò all’inizio del IX secolo a costruire ponti sospesi <strong>di</strong> luce<br />
sempre maggiore e sempre più flessibili urtò fin dall’inizio contro l’ignoranza dei fenomeni<br />
legati all’azione del vento. Nel 1826, sei settimane dopo l’apertura al traffico, il famoso ponte<br />
<strong>di</strong> Telford sul Menai fu seriamente danneggiato dal vento; il ponte sopravvisse e, nel 1839,<br />
durante un’altra tempesta subì ulteriori danni che spinsero ad irrigi<strong>di</strong>rlo notevolmente, al punto<br />
tale che il ponte da allora in poi non ha subito altri danni ed è sopravvissuto fino ai giorni<br />
nostri.<br />
Le cause che portarono al danneggiamento del ponte e gli interventi più opportuni da<br />
effettuarsi vennero <strong>di</strong>scussi nel 1841 in una riunione della Institution of Civil Engineers<br />
britannica, il cui verbale [Provis 1841] risulta una interessantissima testimonianza <strong>di</strong> quelle che<br />
erano le conoscenze del tempo degli effetti del vento sulle strutture:<br />
... the conclusion is arrived at, that winds act strongly and preju<strong>di</strong>cially on the<br />
front as well as on the horizontal surfaces of the platforms of suspension bridges<br />
... . The force of wind was not apparently from beneath; it appeared to act<br />
altogether laterally.<br />
Sorte non altrettanto fortunata toccò ad altri ponti sia in Europa che in America. Tra i primi<br />
sono da ricordare quello <strong>di</strong> Nassau in Germania e quello <strong>di</strong> Tournon in Francia, mentre tra i<br />
secon<strong>di</strong> il Wheeling Bridge nell’Ohio ed una serie <strong>di</strong> altri ponti sul fiume Niagara. Malgrado<br />
questi insuccessi, la tendenza all’alleggerimento dei ponti non accennava a ridursi, almeno fino<br />
a quando, nel 1879, il crollo del ponte sul Firth of Tay, che provocò la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> 75 vite, pose<br />
davanti agli occhi dell’opinione pubblica la necessità <strong>di</strong> un approfon<strong>di</strong>mento, da parte degli<br />
ingegneri, dei possibili effetti del vento su queste esili strutture.<br />
La prima ed imme<strong>di</strong>ata reazione <strong>di</strong> fronte a fenomeni <strong>di</strong> cui non si riusciva a comprendere i<br />
meccanismi ne a pre<strong>di</strong>rne gli effetti, fu quella <strong>di</strong> progettare strutture notevolmente più rigide<br />
delle precedenti. Di questa tendenza un precursore era stato Sir Marc Brunel, che già nel 1821<br />
aveva progettato il ponte sospeso dell’isola <strong>di</strong> Bourbon con funi stabilizzanti in piani inclinati<br />
rispetto alla verticale, sì da ridurre sia l’innalzamento dell’impalcato sia il suo sbandamento<br />
laterale. In Inghilterra, in particolare, dopo il crollo del ponte sul Tay, per più <strong>di</strong> cinquanta anni
Introduzione 3<br />
non vennero più costruiti ponti sospesi, e quelli a travata subirono un notevole incremento nel<br />
rapporto altezza-luce:<br />
(The consequences of the Tay Bridge <strong>di</strong>saster) ... . With this inglorious swansong<br />
the suspension bridge <strong>di</strong>sappeared form the repertoire of British engineers<br />
for the next half century ... . Its place was taken by more rigid forms - the arch<br />
and the cantilever structure. [Davenport 1961a]<br />
Chiari esempi della tendenza all’irrigi<strong>di</strong>mento dei ponti sospesi sono quello realizzati da<br />
Roebling, che raggiunsero valori <strong>di</strong> 1/40 per il rapporto freccia-luce.<br />
Il problema degli effetti collegati all’azione del vento veniva contemporaneamente sentito<br />
anche per le strutture ad estensione verticale. In tale campo una pietra miliare è rappresentata<br />
dalla Torre Eiffel (1889), che più che raddoppiava il primato <strong>di</strong> altezza delle costruzioni. In<br />
quegli anni lo stesso Eiffel, così come Irminger e Stanton, aveva effettuato i primi ru<strong>di</strong>mentali<br />
esperimenti in “galleria del vento”, al fine <strong>di</strong> determinarne gli effetti su profili <strong>di</strong> uso corrente<br />
nelle carpenterie metalliche. Anche se non vi era conoscenza alcuna sul comportamento<br />
aeroelastico delle strutture, due concetti erano già stati assimilati: l’esistenza <strong>di</strong> uno strato<br />
limite atmosferico e la presenza <strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namiche maggiori <strong>di</strong> quelle che deriverebbero<br />
dall’applicazione della pressione cinetica sulle superfici esposte al vento:<br />
... . With regard to the intensity of the wind pressure we have made two<br />
assumptions: one that supposes that the wind has a constant force of 300 kg/m 2 ;<br />
the other that this pressure increases from the base where it is 200 kg/m 2 to the<br />
top where it attains 400 kg/m 2 .<br />
... . With regard to the exposed surfaces, we have not hesitated in assuming, in<br />
spite of the apparent severity of the assumption, that on the upper half of the<br />
tower, all the lattice work is replaced by solid surfaces; that in the interme<strong>di</strong>ate<br />
section, where the openings become more important, the frontal area is taken<br />
four times the actual area of iron; ... finally at the base of the tower we count<br />
the legs as solid and struck twice by the wind. [Eiffel 1885, traduzione in<br />
Inglese]<br />
Il grosso impulso agli stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> aero<strong>di</strong>namica vennero tuttavia, oltre che dal campo Civile a<br />
seguito del crollo del ponte sul Tay, soprattutto dal quello Aeronautico, allora ai suoi albori.<br />
L’aumentata conoscenza delle forze aero<strong>di</strong>namiche, i miglioramenti nella qualità dei<br />
materiali da costruzione (soprattutto dell’acciaio), insieme al desiderio <strong>di</strong> ricercare forme<br />
strutturali eleganti ed ar<strong>di</strong>te, spinse <strong>di</strong> nuovo gli Ingegneri ad aumentare la snellezza delle<br />
strutture (e come al solito soprattutto quella dei ponti), fin quando un nuovo, questa volta<br />
sensazionale per le immagini che lo documentano, <strong>di</strong>sastro colpì l’Ingegneria delle Strutture: il<br />
crollo del ponte sullo stretto <strong>di</strong> Tacoma, nel 1940. Il ponte <strong>di</strong> Tacoma, circa coetaneo del<br />
Golden Gate <strong>di</strong> San Francisco, ma notevolmente più corto (800 m contro 1280 m), venne<br />
penalizzato dalla particolare forma della sezione dell’impalcato, formato da due travi a doppio<br />
T, collegate trasversalmente. L’imme<strong>di</strong>ata reazione al <strong>di</strong>sastro, come già avvenuto nel caso del<br />
ponte sul Tay, fu quella <strong>di</strong> irrigi<strong>di</strong>re quei ponti esistenti giu<strong>di</strong>cati a rischio alla luce dell’ultimo<br />
acca<strong>di</strong>mento, e progettare nuovi ponti più rigi<strong>di</strong>.
4<br />
Capitolo I<br />
Gli stu<strong>di</strong> sull’aero<strong>di</strong>namica delle sezioni compatte intanto proseguivano, soprattutto ad<br />
opera <strong>di</strong> von Karman, ma le analisi che si conducevano e <strong>di</strong> conseguenza la conoscenza che se<br />
ne traeva, erano <strong>di</strong> carattere puramente qualitativo, e mancavano inoltre dei criteri per<br />
l’applicazione dei risultati ottenuti alla progettazione ed alla verifica delle strutture. Mancava,<br />
in definitiva, quel necessario collegamento tra <strong>di</strong>verse <strong>di</strong>scipline, la cui fondamentale<br />
importanza venne intuita solo in tempi più recenti.<br />
Una netta svolta, che si può <strong>di</strong>re segnò la nascita della moderna Ingegneria del Vento,<br />
venne data da Davenport agli inizi degli anni sessanta. In una serie <strong>di</strong> articoli [Davenport<br />
1961a, 1961b, 1961c, 1964, 1967] vennero rapidamente gettate le basi della nuova <strong>di</strong>sciplina,<br />
in maniera così incisiva che oggi, a più <strong>di</strong> trenta anni <strong>di</strong> <strong>di</strong>stanza, è con un incre<strong>di</strong>bile bagaglio<br />
<strong>di</strong> esperienza sia dal punto <strong>di</strong> vista teorico che sperimentale, ancora costituiscono le solide<br />
fondazioni si cui teorie più evolute poggiano.<br />
La consapevolezza dell’influenza della struttura del vento sugli effetti da esso provocati<br />
non era cosa nuova:<br />
... and that the effect of winds is mo<strong>di</strong>fied and varied by the nature of the<br />
country, and the local circumstances connected with each in<strong>di</strong>vidual bridge.<br />
[Provis 1841]<br />
Ciò, unitamente alla necessità <strong>di</strong> avere un riscontro sperimentale delle metodologie<br />
proposte, portò, nel 1965, alla costruzione, presso la University of Western Ontario, della<br />
prima galleria del vento a strato limite.<br />
Da allora in poi l’Ingegneria del Vento ha avuto una rapida ed ampia <strong>di</strong>ffusione in tutto il<br />
mondo, sia come <strong>di</strong>sciplina scientifica sia, soprattutto, come sussi<strong>di</strong>o alla progettazione<br />
strutturale. In particolare l’uso delle gallerie del vento a strato limite si è rivelato uno<br />
strumento spesso conveniente, a volte in<strong>di</strong>spensabile, nella progettazione <strong>di</strong> tutte quelle<br />
strutture in cui gli effetti dovuti al vento risultano determinanti, nonché in tutti gli altri campi<br />
precedentemente elencati.<br />
2. Problematiche e metodologie<br />
Limitandosi all’analisi degli effetti del vento sulle costruzioni si darà, qui <strong>di</strong> seguito e nei<br />
successivi paragrafi una panoramica sui problemi classici e sulle metodologie <strong>di</strong> analisi, e si<br />
forniranno gli strumenti <strong>di</strong> base necessari agli sviluppi successivi.<br />
I carichi che vengono <strong>di</strong> solito considerati nella progettazione delle strutture civili possono<br />
essere considerati in<strong>di</strong>pendenti dalla risposta strutturale, sia in campo statico che <strong>di</strong>namico. 1 Al<br />
1 Un caso in cui vi è <strong>di</strong>pendenza tra carico e risposta è quello dell’analisi <strong>di</strong> strutture soggette a sisma,<br />
qualora si tenga conto dell’interazione suolo-struttura. L’interazione risulta comunque molto debole se<br />
paragonata a quella che può avere luogo per le strutture soggette al vento, <strong>di</strong> cui si tratterà nel prosieguo.
Introduzione 5<br />
Risposta<br />
statica<br />
RISPOSTA DELLE STRUTTURE SOGGETTE AL VENTO<br />
Risposta lineare Comportamento aeroelastico<br />
Risposta<br />
<strong>di</strong>namica<br />
Instabilità<br />
statiche<br />
Quasistatica Dinamica propria<br />
Instabilità<br />
<strong>di</strong>namiche<br />
Figura 1.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Classificazione<br />
schematica dei problemi connessi alla risposta delle strutture soggette all’azione del<br />
contrario, e <strong>di</strong> qui la particolarità e la maggiore complessità, i carichi indotti dal vento e la<br />
risposta della struttura sono collegati l’uno all’altro, in modo tale che, non solo la risposta<br />
<strong>di</strong>pende dal carico (inteso come forze misurabili sulla struttura), ma anche quest’ultimo risulta<br />
essere fortemente <strong>di</strong>pendente dallo stato della struttura. Ciò può essere facilmente intuito<br />
pensando che le forze aero<strong>di</strong>namiche <strong>di</strong>pendono dalla velocità relativa tra fluido e struttura e<br />
dalla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> incidenza dei filetti flui<strong>di</strong>, parametri a loro volta legati allo stato della<br />
struttura stessa. Questo meccanismo, che viene in<strong>di</strong>cato col termine interazione fluidostruttura,<br />
si presenta inoltre fortemente non-lineare, sia nei parametri <strong>di</strong> stato della struttura che<br />
nelle caratteristiche del vento. E’ chiaro allora che una soluzione analitica, ossia ottenuta<br />
me<strong>di</strong>ante l’integrazione delle equazioni del moto, sia praticamente non raggiungibile se non in<br />
un limitatissimo numero <strong>di</strong> casi elementari.<br />
Da quanto detto emerge l’impossibilità <strong>di</strong> dare un approccio unitario alla soluzione dei<br />
<strong>di</strong>versi problemi, essendo necessario, al contrario, sviluppare metodologie specifiche atte ad<br />
affrontare ciascuna un particolare aspetto dei fenomeni in esame.<br />
In Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. viene riportata una classificazione<br />
schematica delle problematiche connesse alla risposta delle strutture soggette al vento. Senza<br />
voler anticipare concetti che verranno introdotti nei successivi paragrafi, si può <strong>di</strong>re che a<br />
fronte <strong>di</strong> un complesso comportamento aeroelastico delle strutture è possibile effettuare, sotto<br />
opportune ipotesi, una linearizzazione delle equazioni del moto. La soluzione delle equazioni<br />
linearizzate del moto consente <strong>di</strong> valutare la risposta (linearizzata) in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto<br />
stabile. La risposta così calcolata può essere scissa in una parte me<strong>di</strong>a (risposta statica) ed una<br />
parte fluttuante a me<strong>di</strong>a nulla (risposta <strong>di</strong>namica). A sua volta la risposta <strong>di</strong>namica può essere<br />
ulteriormente scissa in due aliquote. La prima, detta quasistatica, avente contenuto in frequenza<br />
a valori alquanto più bassi della prima frequenza propria della struttura e la seconda, detta<br />
risonante, con contenuto a frequenze corrispondenti a frequenze proprie della struttura. A<br />
monte dello stu<strong>di</strong>o del comportamento linearizzato della struttura, occorre effettuare una<br />
analisi delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità della risposta. I fenomeni <strong>di</strong> instabilità che possono
6<br />
Capitolo I<br />
verificarsi su <strong>di</strong> una struttura soggetta all’azione eolica possono essere sia <strong>di</strong> natura statica che<br />
<strong>di</strong>namica, e <strong>di</strong> ciò si <strong>di</strong>rà nel successivo paragrafo 5.<br />
Per lo stu<strong>di</strong>o del comportamento linearizzato della struttura, essendo l’azione caratterizzata<br />
in termini probabilistici, si opera usualmente per via stocastica, facendo ricorso a strumenti<br />
della <strong>di</strong>namica aleatoria. Viceversa per la ricerca delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità si opera <strong>di</strong> solito<br />
per via deterministica, facendo ricorso a strumenti del calcolo delle probabilità solo per la<br />
successiva valutazione della probabilità <strong>di</strong> occorrenza della con<strong>di</strong>zione critica.<br />
3. La modellazione delle strutture<br />
Quanto detto sinora ha vali<strong>di</strong>tà del tutto generale, non riferendosi ad una particolare<br />
tipologia strutturale. Al contrario, la varietà delle strutture soggette all’azione del vento fa sì<br />
che ciascuna <strong>di</strong> esse ne patisca in modo <strong>di</strong>fferente l’azione e, <strong>di</strong> conseguenza, che lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong><br />
ciascuna tipologia vada effettuato in maniera <strong>di</strong>fferente.<br />
Gli e<strong>di</strong>fici bassi così come alcune coperture <strong>di</strong> grande luce, ad esempio, sono strutture <strong>di</strong><br />
solito sufficientemente rigide per non risentire dei fenomeni <strong>di</strong>namici indotti dal vento; tuttavia<br />
queste mostrano <strong>di</strong> poter andare in crisi a causa delle depressioni, <strong>di</strong> natura statica, che<br />
nascono su alcune parti <strong>di</strong> esse. Per queste strutture è sufficiente operare su un modello rigido,<br />
essendo determinante, ai fini della valutazione degli effetti del vento, solo l’aspetto<br />
aero<strong>di</strong>namico e non quello aeroelastico. L’analisi che va condotta è allora quella volta alla<br />
determinazione della <strong>di</strong>stribuzione delle pressioni me<strong>di</strong>e sulla struttura, e quin<strong>di</strong> al calcolo<br />
delle forze che agiscono sui singoli elementi, strutturali e non, suscettibili <strong>di</strong> danneggiamento.<br />
Al contrario, strutture particolarmente snelle quali gli e<strong>di</strong>fici <strong>di</strong> elevata altezza, le ciminiere,<br />
le torri e gli impalcati dei ponti <strong>di</strong> grande luce oltre a patire gli effetti dovuti al carico statico<br />
indotto dal vento sono anche soggette ad un forte comportamento <strong>di</strong>namico. L’analisi che si<br />
effettua in questi casi deve tenere in conto la <strong>di</strong>namica della struttura e le modalità <strong>di</strong><br />
interazione aeroelastica col vento. La modellazione <strong>di</strong>namica delle strutture viene <strong>di</strong> solito<br />
effettuata me<strong>di</strong>ante analisi modale, ossia limitando la cinematica della struttura a quella<br />
consentita dai soli primi mo<strong>di</strong> propri, trascurando i mo<strong>di</strong> superiori. Così operando è possibile<br />
ridurre la struttura ad un sistema dotato <strong>di</strong> un esiguo numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, ben rispettando<br />
però la cinematica della struttura <strong>di</strong> partenza.<br />
4. La modellazione del vento<br />
La modellazione del vento viene effettuata a <strong>di</strong>fferenti livelli in ciascuno dei quali si fa<br />
ricorso a strumenti <strong>di</strong> altre <strong>di</strong>scipline collegate all’Ingegneria del Vento.
Introduzione 7<br />
Un primo livello è quello, proprio della macrometereologia che stu<strong>di</strong>a la circolazione<br />
atmosferica a partire dalle sue cause, ma prescindendo dall’interazione col suolo. Si perviene<br />
in questo modo ad una descrizione, in termini qualitativi, della circolazione atmosferica, e a dei<br />
modelli statistici atti a prevedere le con<strong>di</strong>zioni locali del vento geostrofico.<br />
Ad un secondo livello vengono stu<strong>di</strong>ate le mo<strong>di</strong>ficazioni indotte nel vento dall’attrito che si<br />
esplica al suolo. E’ questo lo stu<strong>di</strong>o del cosiddetto strato limite atmosferico.<br />
Ad un terzo livello viene stu<strong>di</strong>ato l’effetto degli ostacoli <strong>di</strong> piccole <strong>di</strong>mensioni posti<br />
all’interno dello strato limite, quali le costruzioni, sulle caratteristiche del vento; si è questa<br />
volta nel campo dell’aero<strong>di</strong>namica.<br />
In questo paragrafo ci si limita a dare alcune nozioni sulla modellazione dello strato limite<br />
atmosferico, ossia <strong>di</strong> quella porzione della atmosfera in cui le caratteristiche del vento sono<br />
influenzate dalla presenza del suolo.<br />
All’interno dello strato limite atmosferico il vento viene stu<strong>di</strong>ato come un processo<br />
stocastico multi<strong>di</strong>mensionale, per il quale occorre analizzare non solo la <strong>di</strong>pendenza dal tempo,<br />
ma anche quella dalla posizione nello spazio. Per semplicità <strong>di</strong> trattazione le due <strong>di</strong>pendenze<br />
vengono <strong>di</strong> solito analizzate separatamente e quin<strong>di</strong> lo stu<strong>di</strong>o ne risulta scisso in due parti: una<br />
prima <strong>di</strong>retta ad analizzare le caratteristiche puntuali del vento ed una seconda che ne analizza<br />
la <strong>di</strong>stribuzione spaziale.<br />
L’analisi delle funzioni <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza a lungo termine della velocità del<br />
vento mostra come, per perio<strong>di</strong> <strong>di</strong> circa un’ora, questa possa essere considerata un fenomeno<br />
stazionario. In Figura 1.2 viene mostrata una rappresentazione ideale <strong>di</strong> spettro a lungo termine<br />
della velocità del vento. Lo spettro presenta quattro picchi ben evidenti; due <strong>di</strong> questi sono<br />
rispettivamente a perio<strong>di</strong> pari ad un anno ed un giorno e rappresentano la perio<strong>di</strong>cità annuale e<br />
quoti<strong>di</strong>ana dei fenomeni meteorologici; un terzo picco, a banda larga, è presente a perio<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
circa quattro giorni, e in<strong>di</strong>vidua in questo lasso <strong>di</strong> tempo la durata me<strong>di</strong>a degli eventi eolici; il<br />
quarto picco è posizionato a perio<strong>di</strong> molto più bassi (nell’or<strong>di</strong>ne dei secon<strong>di</strong>), e rappresenta la<br />
turbolenza atmosferica. Per valori del periodo prossimi all’ora i valori spettrali sono molto<br />
Figura 1.2 - Rappresentazione ideale <strong>di</strong> uno spettro a lungo termine della velocità<br />
del vento (da [Davenport et al. 1987])
8<br />
Capitolo I<br />
bassi (spectral gap), in<strong>di</strong>cando una assenza <strong>di</strong> correlazione tra i fenomeni macrometereologici<br />
e la turbolenza atmosferica. Proprio in virtù <strong>di</strong> questa mancanza <strong>di</strong> correlazione è possibile<br />
considerare la turbolenza un fenomeno stazionario.<br />
Dato un punto all’interno dello strato limite atmosferico, si consideri il sistema <strong>di</strong><br />
riferimento avente l’asse x 0 orientato nella <strong>di</strong>rezione della velocità me<strong>di</strong>a del vento; questa<br />
<strong>di</strong>rezione risulta nella maggioranza dei casi orizzontale, ed in tal caso si assume l’asse z<br />
verticale e <strong>di</strong>retto verso l’alto. La velocità istantanea del vento può essere espressa me<strong>di</strong>ante le<br />
sue componenti:<br />
V() t = u() t i + v() t j + w() t k<br />
0 0 (1.1)<br />
ove con i 0 , j 0 e k si sono in<strong>di</strong>cati i versori degli assi x 0 , y 0 e z, e con u, v e w le componenti<br />
della velocità del vento lungo questi.<br />
Per la particolare scelta del sistema <strong>di</strong> riferimento risulta:<br />
ut () = U+ u'() t<br />
vt () = v'() t<br />
wt () = w'() t<br />
ove con U si è in<strong>di</strong>cato il valore me<strong>di</strong>o della velocità del vento, e con u', v'e w'le<br />
componenti<br />
fluttuanti a me<strong>di</strong>a nulla <strong>di</strong> questa, dette componenti della turbolenza.<br />
I rapporti a<strong>di</strong>mensionali tra gli scarti quadratici me<strong>di</strong> delle componenti della turbolenza e la<br />
velocità me<strong>di</strong>a del vento vengono in<strong>di</strong>cati come intensità della turbolenza:<br />
I<br />
I<br />
I<br />
u<br />
v<br />
w<br />
u<br />
~<br />
=<br />
U<br />
v<br />
~<br />
=<br />
U<br />
w<br />
~<br />
=<br />
U<br />
Le registrazioni anemometriche hanno mostrato come la turbolenza atmosferica possa<br />
essere ben modellata con una <strong>di</strong>stribuzione gaussiana, e pertanto le quantità definite dalle (1.2)<br />
e (1.3) sono sufficienti a descrivere il modello probabilistico della turbolenza.<br />
La turbolenza viene rappresentata me<strong>di</strong>ante un insieme <strong>di</strong> strutture vorticose (gli ed<strong>di</strong>es) <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>verse <strong>di</strong>mensioni, dotate <strong>di</strong> moto convettivo ad una velocità pari alla velocità me<strong>di</strong>a del<br />
flusso (ipotesi <strong>di</strong> Taylor). Le <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> tali strutture vorticose possono essere caratterizzate<br />
me<strong>di</strong>ante un’analisi del contenuto in frequenza della turbolenza; ciò ha una notevole<br />
importanza ai fini della valutazione dell’effetto del vento sulle costruzioni in quanto, come<br />
(1.2)<br />
(1.3)
Introduzione 9<br />
verrà mostrato in seguito, la risposta delle strutture <strong>di</strong>pende fortemente dagli spettri della<br />
turbolenza.<br />
Per quanto concerne la componente longitu<strong>di</strong>nale, <strong>di</strong>verse espressioni sono state proposte<br />
in passato con varie motivazioni. L’espressione della funzione <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza<br />
più <strong>di</strong>ffusa e più utilizzata per la progettazione, anche se con alcune critiche, è la seguente<br />
suggerita in [Davenport 1961c]:<br />
f ⋅ Suu( f )<br />
= 4⋅<br />
u<br />
* 2<br />
x<br />
2<br />
( 1+<br />
x )<br />
2 43<br />
1200⋅<br />
f<br />
con x =<br />
U<br />
ove con u * si in<strong>di</strong>ca la velocità <strong>di</strong> attrito, una quantità che misura gli sforzi tangenziali a<br />
contatto col suolo, e con U 10 il valore me<strong>di</strong>o della velocità ad una quota <strong>di</strong> 10 m. 2<br />
Per gli spettri delle componenti laterale e verticale dalla turbolenza vengono usualmente<br />
utilizzate espressioni rispettivamente del tipo:<br />
f ⋅ Svv ( f )<br />
= 15⋅<br />
u<br />
f<br />
* ( 1+ 95 . f )<br />
2 5 3<br />
*<br />
*<br />
2 * 5 3<br />
f ⋅ Sww( f )<br />
f<br />
= 336 . ⋅<br />
u*<br />
1+ 10f<br />
ove con f * si è in<strong>di</strong>cata una frequenza ridotta, ossia la quantità:<br />
f<br />
*<br />
f ⋅ z<br />
=<br />
U() z<br />
rispettivamente suggerite in [Kaimal et al. 1972] e [Lumley e Panofsky 1964].<br />
Le (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) e (1.6) forniscono una descrizione locale delle caratteristiche del<br />
vento; resta tuttavia da fornire una descrizione della <strong>di</strong>stribuzione spaziale <strong>di</strong> tali<br />
caratteristiche. La velocità me<strong>di</strong>a del vento (e la sua <strong>di</strong>rezione), le intensità delle componenti<br />
della turbolenza e gli spettri <strong>di</strong> queste sono, infatti, all’interno dello strato limite atmosferico,<br />
funzioni della quota 3 .<br />
2<br />
In via approssimativa la velocità <strong>di</strong> attrito può essere ricavata dagli scarti quadratici me<strong>di</strong> delle<br />
componenti della turbolenza me<strong>di</strong>ante le seguenti relazioni:<br />
u* . u v w<br />
~ . ~ . ~<br />
= 04 = 05 = 08<br />
3<br />
In particolare la (1.4) non mostra alcuna <strong>di</strong>pendenza dalla quota, fornendo cioè soltanto valori spettrali<br />
me<strong>di</strong>ati nel campo <strong>di</strong> quote occupate dalle costruzioni.<br />
*<br />
10<br />
(1.4)<br />
(1.5)<br />
(1.6)<br />
(1.7)
10<br />
Capitolo I<br />
La funzione che in<strong>di</strong>ca la variazione della velocità me<strong>di</strong>a con la quota viene in<strong>di</strong>cata come<br />
profilo delle velocità me<strong>di</strong>e. Per essa due espressioni vengono usualmente utilizzate: la legge<br />
logaritmica e la legge <strong>di</strong> potenza.<br />
La legge logaritmica viene espressa dalla:<br />
z<br />
U() z = 25 . u * ln<br />
(1.8)<br />
z<br />
ove con z 0 si è in<strong>di</strong>cata una lunghezza che caratterizza le <strong>di</strong>mensioni della rugosità del terreno.<br />
La legge <strong>di</strong> potenza assume invece la forma:<br />
U( z1)<br />
z<br />
=<br />
U( z ) z<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
con α esponente <strong>di</strong>pendente dalle caratteristiche <strong>di</strong> rugosità del terreno.<br />
Vi è poi da analizzare l’organizzazione spaziale della turbolenza, intesa come la coerenza<br />
<strong>di</strong> questa nello spazio. Una misura globale (nel senso che opera su quantità statistiche, senza<br />
dare cioè informazione alcuna sul contenuto armonico) della correlazione della turbolenza<br />
viene fornita dai coefficienti <strong>di</strong> correlazione delle componenti <strong>di</strong> turbolenza:<br />
1<br />
2<br />
u'( P1) ⋅ u'( P2)<br />
Cu( P1, P2)<br />
=<br />
u~ ( P) ⋅ u~ ( P )<br />
α<br />
0<br />
1 2<br />
(1.9)<br />
(1.10)<br />
ed analoghe in v e w.<br />
Le (1.10) esprimono delle relazioni del tutto generali; <strong>di</strong> solito, tuttavia, si opera su<br />
relazioni semplificate che, nell’ipotesi in cui la coerenza sia legata solo alla <strong>di</strong>stanza tra i punti<br />
e non alla loro posizione nello spazio, tengono conto <strong>di</strong> una sola delle componenti della<br />
<strong>di</strong>stanza tra i due punti alla volta; si ottengono così le 9 relazioni del tipo:<br />
u'( x0) u'( x0<br />
+ ∆ x )<br />
0<br />
Cu(<br />
∆ x ) =<br />
0 u<br />
~ 2<br />
(1.11)<br />
al variare della componente <strong>di</strong> turbolenza che si considera e della <strong>di</strong>rezione in cui <strong>di</strong>stano i<br />
punti. A partire dalle (1.11) è possibile definire le scale integrali a banda larga della<br />
turbolenza:<br />
x<br />
0 Lu∫ C ( ∆ ) d∆<br />
=<br />
0<br />
∞<br />
u x0 x0<br />
(1.12)<br />
ed analoghe.<br />
x y z<br />
Delle 9 relazioni del tipo (1.12) hanno particolare rilievo le Lu, Lve Lwche<br />
forniscono una<br />
misura delle tre <strong>di</strong>mensioni me<strong>di</strong>e dei vortici.
Introduzione 11<br />
Relazioni analoghe alle (1.10), (1.11) e (1.12) possono essere scritte con riferimento a<br />
grandezze spettrali, in grado <strong>di</strong> fornire frequenza per frequenza informazioni sul livello <strong>di</strong><br />
correlazione spaziale delle componenti della turbolenza. In particolare si definisce lo spettro<br />
mutuo normalizzato:<br />
C ( P, P , f ) =<br />
u<br />
1 2<br />
S ( P, P , f )<br />
uu<br />
1 2<br />
[ Suu( P1, f ) ⋅ Suu( P2, f ) ]<br />
12<br />
(1.13)<br />
ove con S uu(P 1, P 2, f ) e con S uu(P 1 , f ) si sono in<strong>di</strong>cate rispettivamente la funzione <strong>di</strong> densità<br />
spettrale incrociata <strong>di</strong> potenza e la funzione <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della prima<br />
componente della turbolenza. Nel caso in cui la parte immaginaria dello spettro incrociato<br />
(spettro <strong>di</strong> quadratura) sia trascurabile rispetto alla parte reale (co-spettro), cosa che si verifica<br />
per la turbolenza atmosferica, la parte reale della (1.13) coincide con la ra<strong>di</strong>ce quadrata della<br />
funzione <strong>di</strong> coerenza, o coefficiente <strong>di</strong> correlazione a banda stretta:<br />
2<br />
γ u<br />
( , , )<br />
Suu P1 P2 f<br />
( P1, P2, f ) =<br />
S ( P, f ) ⋅ S ( P , f )<br />
2<br />
uu 1 uu 2<br />
(1.14)<br />
In analogia a quanto detto circa le (1.10) è possibile esprimere il coefficiente <strong>di</strong><br />
correlazione a banda stretta nel caso in cui la coerenza sia legata solo alla <strong>di</strong>stanza tra i punti e<br />
non alla loro posizione nello spazio, ed in cui ne venga presa in considerazione una sola alla<br />
volta; si ottengono così 9 relazioni analoghe alle (1.11):<br />
γ 2<br />
Suu( ∆ x , f )<br />
0<br />
( ∆ x , f ) =<br />
0 S ( f )<br />
Dalle (1.15) si definiscono le scale integrali della turbolenza a banda stretta:<br />
x<br />
u<br />
=<br />
0<br />
∞<br />
∫<br />
2<br />
uu<br />
0 L ( f ) γ ( ∆ , f ) d∆<br />
2<br />
u x0 x0<br />
(1.15)<br />
(1.16)<br />
ed analoghe.<br />
Nel caso in cui i due punti siano contenuti in un piano parallelo al piano y 0 -z, in [Vickery<br />
1971] viene fornita la seguente espressione per la ra<strong>di</strong>ce quadrata della funzione <strong>di</strong> coerenza<br />
della prima componente <strong>di</strong> turbolenza:<br />
γ u<br />
2<br />
2 2<br />
y 01 02 z<br />
−2f ⋅ C ( y − y ) + C ( z1−z )<br />
0<br />
2<br />
( P1, P2, f ) = exp<br />
U( z ) + U( z )<br />
1 2<br />
2<br />
(1.17)
12<br />
Capitolo I<br />
con C = 6÷ 10 e C y0<br />
z = 12 ÷ 16. Anche per la funzione <strong>di</strong> coerenza della componente<br />
trasversale della turbolenza è possibile usare [Kristiansen e Jensen 1979] l’espressione, ove i<br />
coefficienti C e C y0 z siano ridotti <strong>di</strong> 1/3 rispetto a quelli che si utilizzano per la componente<br />
longitu<strong>di</strong>nale.<br />
Per quanto concerne la componente verticale della turbolenza, per due punti posti su un<br />
asse parallelo ad y0 in [Kristiansen e Jensen 1979] e [Shiotani 1967-1971] viene fornita la<br />
seguente espressione della funzione <strong>di</strong> coerenza:<br />
con C y0<br />
= 4 .<br />
γ w<br />
−2f ⋅Cy( y1− y2)<br />
( P1, P2, f ) = exp<br />
U() z<br />
5. L’interazione vento-struttura ed i fenomeni aeroelastici<br />
(1.18)<br />
Come si accennava brevemente in precedenza, l’analisi della risposta delle strutture<br />
all’azione del vento va effettuata, in tutti quei casi in cui la struttura presenti una elevata<br />
deformabilità, tenendo in conto una interazione bilaterale tra la corrente fluida e la struttura.<br />
Risulta, infatti, in questo caso impossibile considerare quale sistema <strong>di</strong>namico quello costituito<br />
dalla sola struttura e considerare il vento quale la causa <strong>di</strong> una azione esterna. Al contrario<br />
bisogna considerare quale sistema <strong>di</strong>namico quello composto dalla struttura stessa e dal fluido<br />
in moto attorno ad essa. Il problema che così si pone è notevolmente più complesso <strong>di</strong> quello<br />
che si avrebbe qualora si potessero <strong>di</strong>saccoppiare i due fenomeni, quello relativo al moto del<br />
fluido e quello relativo al moto della struttura.<br />
La soluzione analitica del problema dell’oscillazione <strong>di</strong> un corpo deformabile all’interno<br />
del campo <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> un fluido si presenta estremamente complicata, ed è possibile pervenire a<br />
dei risultati solo in casi estremamente semplici e pertanto <strong>di</strong> poca utilità pratica. D’altro canto<br />
il recente aumento delle potenzialità del calcolo automatico ha reso possibile la soluzione per<br />
via numerica (me<strong>di</strong>ante l’uso del Metodo degli Elementi Finiti o me<strong>di</strong>ante l’integrazione delle<br />
equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes) <strong>di</strong> problemi <strong>di</strong> utilità pratica.<br />
L’inquadramento dei problemi riguardanti l’interazione tra un fluido in moto ed un corpo<br />
in esso immerso resta, quin<strong>di</strong> da effettuarsi nell’ambito <strong>di</strong> modelli fisico-matematici<br />
estremamente semplificati, incapaci <strong>di</strong> descrivere il comportamento globale, ma in grado <strong>di</strong><br />
fornire una descrizione parziale <strong>di</strong> uno o più aspetti.<br />
Nel seguente capitolo viene trattato il problema del moto <strong>di</strong> un cilindro rigido <strong>di</strong> lunghezza<br />
infinita dotato dei due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>di</strong> traslazione nel piano ortogonale all’asse e <strong>di</strong> quello <strong>di</strong><br />
rotazione attorno a questo, investito da un flusso bi<strong>di</strong>mensionale contenuto nel piano<br />
ortogonale all’asse del cilindro.
Introduzione 13<br />
Nel successivo capitolo le nozioni acquisite per il caso del cilindro rigido vengono<br />
utilizzate per lo stu<strong>di</strong>o del moto <strong>di</strong> una struttura flessibile <strong>di</strong> forma allungata, posta in un<br />
campo <strong>di</strong> moto le cui caratteristiche variano nella <strong>di</strong>rezione dell’asse della struttura. In<br />
entrambi i casi si procede alla scrittura dell’equazione linearizzata del moto, evidenziando le<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> questa; si in<strong>di</strong>viduano quin<strong>di</strong> le con<strong>di</strong>zioni che devono verificarsi<br />
affinché la soluzione sia stabile, e si illustrano i criteri <strong>di</strong> analisi della risposta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
moto stabile.<br />
Nel seguito del presente paragrafo verranno analizzati i principali fenomeni aeroelastici, in<br />
modo da introdurre e concetti e terminologia necessari nel prosieguo.<br />
5.1 Distacco dei vortici e sincronizzazione<br />
Un corpo posto all’interno <strong>di</strong> un campo <strong>di</strong> moto laminare emette perio<strong>di</strong>camente vortici<br />
che, <strong>di</strong>staccandosi dal corpo vengono poi trascinati dalla corrente. Nel caso <strong>di</strong> corpi allungati, i<br />
vortici si <strong>di</strong>staccano alternativamente dai due lati con una frequenza che, come fu mostrato da<br />
Strouhal alla fine dello scorso secolo, è pressappoco costante ed è legata alla forma ed alle<br />
<strong>di</strong>mensioni del cilindro nonché alla velocità del flusso. In particolare il corrispondente valore<br />
della frequenza ridotta <strong>di</strong>pende solo dalla forma della sezione trasversale e viene in<strong>di</strong>cato come<br />
numero <strong>di</strong> Strouhal:<br />
fs⋅b St =<br />
U<br />
(1.19)<br />
ove con f s si è in<strong>di</strong>cata la frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici e con b una <strong>di</strong>mensione<br />
caratteristica della sezione trasversale. Tale comportamento venne inoltre <strong>di</strong>mostrato da von<br />
Karman essere stabile, nel caso <strong>di</strong> flusso a potenziale.<br />
Nel caso <strong>di</strong> un flusso turbolento il <strong>di</strong>stacco dei vortici non avviene con frequenza costante;<br />
in tale caso la (1.19) continua però ad avere vali<strong>di</strong>tà, a patto <strong>di</strong> interpretare f s quale frequenza<br />
centrale <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici. Si pone quin<strong>di</strong> il problema <strong>di</strong> caratterizzare la <strong>di</strong>stribuzione<br />
della frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco.<br />
Nell’ipotesi <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà della teoria quasistatica, 4 ossia nel caso in cui la turbolenza sia<br />
concentrata a frequenze inferiori a quella <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco, è possibile [Vickery e Clark 1972]<br />
considerare il flusso turbolento quale un flusso laminare a velocità lentamente variabile nel<br />
tempo. Si può allora considerare la legge <strong>di</strong> Strouhal valida istante per istante, a patto <strong>di</strong><br />
sostituire la velocità me<strong>di</strong>a del flusso col valore istantaneo <strong>di</strong> questa. Così procedendo ad una<br />
<strong>di</strong>stribuzione gaussiana della componente longitu<strong>di</strong>nale della turbolenza corrisponderebbe una<br />
<strong>di</strong>stribuzione gaussiana della frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco.<br />
Nel caso in cui il cilindro sia non più fisso, ma libero <strong>di</strong> vibrare nella <strong>di</strong>rezione trasversale<br />
al flusso la (1.19) continua a valere, ma solo per valori della velocità del flusso per cui la<br />
frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco risulta alquanto <strong>di</strong>scosta dalla frequenza propria <strong>di</strong> vibrazione del<br />
cilindro.<br />
4 Le ipotesi ed i risultati della teoria quasistatica verranno illustrati nel Capitolo II.
14<br />
Capitolo I<br />
Per valori della velocità che, nel rispetto della (1.19), porterebbero a frequenze <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco<br />
prossime alla frequenza propria del cilindro, il <strong>di</strong>stacco dei vortici viene governato dal moto<br />
del cilindro avvenendo a frequenza costante, pari alla frequenza propria del cilindro. Tale<br />
fenomeno <strong>di</strong> sincronizzazione (lock-in) comporta un aumento dell’entità delle forze <strong>di</strong><br />
portanza ed una aumento nel livello <strong>di</strong> correlazione <strong>di</strong> queste lungo il cilindro.<br />
In Figura 1.3 viene riportato il <strong>di</strong>agramma che mostra la frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco in funzione<br />
della velocità del flusso, da cui si evince il campo <strong>di</strong> velocità per cui si ha il fenomeno <strong>di</strong><br />
sincronizzazione. In questo campo <strong>di</strong> velocità il moto avviene in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> risonanza, ma le<br />
equazioni linearizzate del moto non risultano più idonee alla valutazione della risposta,<br />
avendosi un moto ad ampiezza limitata anche nel caso <strong>di</strong> assenza <strong>di</strong> smorzamento strutturale.<br />
In con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso turbolento il fenomeno si presenta in maniera analoga, risultando<br />
però “<strong>di</strong>sturbato” dalla turbolenza; ne risulta un valore della ampiezza massima <strong>di</strong> oscillazione<br />
inferiore rispetto a quello che si avrebbe in flusso laminare<br />
Lo stu<strong>di</strong>o del moto del cilindro in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> sincronizzazione è stato affrontato da<br />
<strong>di</strong>versi autori, seguendo due <strong>di</strong>versi approcci: quello <strong>di</strong> modellare il cilindro me<strong>di</strong>ante un<br />
oscillatore non lineare e quello <strong>di</strong> introdurre uno smorzamento aero<strong>di</strong>namico variabile al<br />
variare della velocità del flusso, negativo in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> sincronizzazione. Lavori classici in<br />
tema sono: [Hartlen e Currie 1970], [Skop e Griffin 1975], [Vickery e Basu 1983] e [Basu e<br />
Vickery 1983]<br />
5.2 Divergenza<br />
Un fenomeno <strong>di</strong> instabilità aeroelastica statica può aver luogo per strutture <strong>di</strong> forma<br />
allungata, vincolate elasticamente alla torsione. L’equazione <strong>di</strong> equilibrio alla rotazione, nel<br />
caso in cui il vincolo sia ad elasticità lineare, si scrive:<br />
Figura 1.3 - Andamento della frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici in funzione della<br />
velocità me<strong>di</strong>a del flusso
Introduzione 15<br />
1 2 2<br />
ρU b CM ( α) = kαα<br />
(1.20)<br />
2<br />
ove con ρ si è in<strong>di</strong>cata la densità dell’aria, con C M (α) il coefficiente aero<strong>di</strong>namico <strong>di</strong> torsione<br />
che viene definito dalla (2.4), con α l’angolo <strong>di</strong> torsione e con k α la rigidezza torsionale del<br />
vincolo. La (1.20) definisce implicitamente il legame funzionale tra la velocità del vento e<br />
l’angolo <strong>di</strong> torsione.<br />
Se per α = 0 risulta C M = 0, come avviene nel caso <strong>di</strong> sezioni simmetriche <strong>di</strong>sposte in<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> riposo con l’asse <strong>di</strong> simmetria parallelo alla <strong>di</strong>rezione del vento, la soluzione α =<br />
0 della (1.20) è valida per ogni valore della velocità. Tale soluzione risulta però stabile solo per<br />
valori della velocità inferiori al valore critico definito come:<br />
U<br />
cd<br />
2kαα2kα1 = lim =<br />
2<br />
ρb<br />
α→0<br />
C<br />
2<br />
( α) ρb<br />
C'<br />
( 0)<br />
M M<br />
(1.21)<br />
avendosi un tipico fenomeno <strong>di</strong> instabilità improvvisa o <strong>di</strong> I specie.<br />
Viceversa, se per α = 0 risulta C M ≠ 0, può darsi che la U(α) definita dalla (1.20), crescente<br />
per bassi valori <strong>di</strong> α, attinga un massimo, per poi decrescere; si ha in tale caso un fenomeno <strong>di</strong><br />
instabilità progressiva o <strong>di</strong> II specie, rappresentando il valore massimo <strong>di</strong> U un valore limite<br />
della velocità.<br />
Nel caso generale, in cui venga analizzato un sistema a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>vergenza viene in<strong>di</strong>viduata come l’esistenza <strong>di</strong> un grado <strong>di</strong> libertà per il quale sia nulla la<br />
rigidezza totale del sistema, che come si vedrà nel Capitolo II è somma <strong>di</strong> un termine<br />
strutturale e <strong>di</strong> un termine aero<strong>di</strong>namico il cui valore è funzione della velocità del vento. Tale<br />
con<strong>di</strong>zione viene ricercata quale il valore della velocità me<strong>di</strong>a del vento che porta all’annullarsi<br />
del determinante della matrice <strong>di</strong> rigidezza totale.<br />
5.3 Galloping<br />
In analogia a quanto detto circa la <strong>di</strong>vergenza è possibile definire la con<strong>di</strong>zione critica <strong>di</strong><br />
galloping come l’esistenza <strong>di</strong> un grado <strong>di</strong> libertà del sistema nel quale sia nullo lo<br />
smorzamento totale, anch’esso somma <strong>di</strong> un termine strutturale e <strong>di</strong> un termine aero<strong>di</strong>namico<br />
legato al valore della velocità me<strong>di</strong>a del flusso. Analogamente tale con<strong>di</strong>zione viene ricercata<br />
quale il valore della velocità me<strong>di</strong>a del vento che porta all’annullarsi del determinante della<br />
matrice <strong>di</strong> smorzamento totale.<br />
Il problema del galloping fu per la prima volta affrontato da Glauert e Den Hartog (si veda<br />
a proposito [Den Hartog 1956]) per un sistema ad un grado <strong>di</strong> libertà nella <strong>di</strong>rezione<br />
ortogonale a quella del flusso me<strong>di</strong>o. Essi mostrarono come la con<strong>di</strong>zione, nota appunto come<br />
criterio <strong>di</strong> Glauert-Den Hartog:
16<br />
Capitolo I<br />
⎛⎜<br />
C<br />
'<br />
⎝ L( 0) + CD(<br />
0) ⎞⎟ ⎠<br />
< 0<br />
(1.22)<br />
sia necessaria al verificarsi <strong>di</strong> una instabilità da galloping.<br />
Lavori più recenti, con applicazioni al campo dell’Ingegneria Civile sono [Parkinson e<br />
Brooks 1961] e [Novak 1972].<br />
5.4 Flutter<br />
Col termine flutter si in<strong>di</strong>ca una instabilità aeroelastica a due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, uno <strong>di</strong><br />
traslazione in <strong>di</strong>rezione ortogonale al flusso me<strong>di</strong>o e l’altro torsionale. La possibilità <strong>di</strong><br />
verificarsi del flutter è legata all’accoppiamento delle forze d’inerzia nei due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà,<br />
che comporta la non ortogonalità dei mo<strong>di</strong> traslatorio e torsionale.<br />
L’analisi delle con<strong>di</strong>zioni critiche <strong>di</strong> flutter viene effettuata, me<strong>di</strong>ante l’approccio<br />
introdotto da Theodorsen [Theodorsen 1935] e specializzato da Scanlan [Scanlan e Tomko<br />
1971] per l’analisi degli impalcati da ponte, secondo cui la forzante nell’equazione del moto<br />
del sistema a due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà viene considerata somma <strong>di</strong> termini proporzionali alle<br />
componenti <strong>di</strong> spostamento ad alle prime due derivate <strong>di</strong> queste. La soluzione delle equazioni<br />
del moto viene perseguita per via iterativa, sì da pervenire al valore critico della velocità del<br />
vento che segna l’insorgere del comportamento instabile. La <strong>di</strong>fficoltà nell’applicazione del<br />
metodo risiede nella determinazione dei coefficienti dei termini della forzante (derivate <strong>di</strong><br />
flutter), che vanno stimati me<strong>di</strong>ante prove in galleria del vento su modelli sezionali in<br />
movimento, e che <strong>di</strong>pendono dalla frequenza <strong>di</strong> oscillazione della struttura.<br />
6. L’uso delle gallerie del vento a strato limite nell’analisi dell’azione del<br />
vento sulle costruzioni<br />
L’enorme complessità dei fenomeni in gioco fa sì che per la maggior parte dei problemi<br />
dell’Ingegneria del Vento in generale, ed in particolare per quelli connessi all’azione del vento<br />
sul costruito, sia impossibile intraprendere una analisi che prescinda da acquisizioni <strong>di</strong><br />
carattere sperimentale. Nell’ambito della sperimentazione, a fianco a quella che si effettua in<br />
situ, negli ultimi tre decenni, ha assunto un ruolo determinante quella che utilizza le gallerie<br />
del vento a strato limite.<br />
La necessità <strong>di</strong> <strong>di</strong>sporre <strong>di</strong> gallerie del vento ad uso specifico dell’Ingegneria Civile, si rese<br />
evidente quando fu chiara la forte influenza delle caratteristiche del vento sugli effetti che<br />
questo provoca. Come si accennava nei precedenti paragrafi, le caratteristiche del vento<br />
all’interno dello strato limite atmosferico sono notevolmente <strong>di</strong>verse da quelle <strong>di</strong> un flusso
Introduzione 17<br />
in<strong>di</strong>sturbato. Queste caratteristiche sono poi fortemente variabili col sito, in relazione<br />
soprattutto alle caratteristiche orografiche ed a quella che viene definita la rugosità del suolo.<br />
Lo spessore dello strato limite, i parametri del profilo delle velocità me<strong>di</strong>e, la forma dei profili<br />
delle intensità <strong>di</strong> turbolenza, gli spettri della turbolenza sono tutte grandezze fortemente<br />
<strong>di</strong>pendenti dal modo in cui si sviluppa lo strato limite e dalla eventuale presenza <strong>di</strong> ostacoli a<br />
monte del punto <strong>di</strong> osservazione.<br />
Le gallerie del vento a strato limite permettono <strong>di</strong> modellare la struttura del vento in modo<br />
da ottenere caratteristiche <strong>di</strong> flusso analoghe a quelle che si stimano essere presenti nel sito in<br />
oggetto.<br />
Le gallerie del vento a strato limite più <strong>di</strong>ffuse, nonché quelle che garantiscono la maggiore<br />
controllabilità delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso, sono le gallerie a strato limite naturalmente<br />
sviluppato. Tali gallerie fanno affidamento sulla <strong>di</strong>sponibilità <strong>di</strong> una lunga estensione (fetch) a<br />
monte della sezione <strong>di</strong> prova, lungo la quale lo strato limite possa svilupparsi in maniera<br />
naturale per attrito col suolo. Le caratteristiche dello strato limite possono essere modellate<br />
variando la rugosità del pavimento della galleria. Ciò viene <strong>di</strong> solito realizzato poggiando sul<br />
pavimento dei pannelli su cui sono incollati blocchetti <strong>di</strong> legno o <strong>di</strong> spugna. Le <strong>di</strong>mensioni e la<br />
quantità dei blocchetti utilizzati e la posizione in cui vengono collocati sono i parametri<br />
<strong>di</strong>sponibili per la modellazione dello strato limite. 5 Per facilitare la formazione dello strato<br />
limite, o in tutti quei casi in cui la lunghezza della galleria non sia sufficiente a sviluppare uno<br />
strato limite dalle caratteristiche desiderate, è possibile utilizzare tecniche che accelerino la<br />
formazione dello strato limite. Il posizionamento <strong>di</strong> ostacoli all’ingresso della galleria ben si<br />
presta a questo fine. Fra gli ostacoli più utilizzati vi sono le barriere poste al suolo e le spires,<br />
ossia degli elementi triangolari che, posti verticalmente, riducono l’area libera verso il suolo,<br />
lasciandola inalterata nella parte alta della galleria. Risulta, inoltre, spesso necessario conferire<br />
al flusso un livello <strong>di</strong> turbolenza maggiore <strong>di</strong> quello che si svilupperebbe all’interno dello<br />
strato limite. Ciò viene <strong>di</strong> solito ottenuto me<strong>di</strong>ante l’uso <strong>di</strong> griglie poste nella sezione <strong>di</strong><br />
ingresso alla galleria. Il rapporto <strong>di</strong> bloccaggio della griglia e il passo <strong>di</strong> questa sono i<br />
parametri utilizzabili per dosare l’intensità della turbolenza e la scala integrale <strong>di</strong> questa.<br />
La necessità <strong>di</strong> lavorare su modelli <strong>di</strong> gran<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni, che si verifica quando l’eccessiva<br />
riduzione in scala rischia <strong>di</strong> compromettere la qualità dei risultati, comporta la necessità <strong>di</strong><br />
sezioni <strong>di</strong> prova <strong>di</strong> gran<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni. Il caso tipico è quello delle strutture ad elevata<br />
estensione orizzontale, quali i ponti sospesi. Per ovviare alla necessità <strong>di</strong> lunghi fetch (la cui<br />
lunghezza è legata alle <strong>di</strong>mensioni della sezione <strong>di</strong> prova) che si presenta per le gallerie a strato<br />
limite naturalmente sviluppato. Sono state <strong>di</strong> recente proposte <strong>di</strong>verse soluzioni alternative a<br />
quella dello strato limite naturalmente sviluppato. Tra queste si ricorda quella che prevede una<br />
batteria <strong>di</strong> propulsori, in alternativa al singolo propulsore delle gallerie classiche, in grado <strong>di</strong><br />
creare un flusso che abbia in partenza caratteristiche più vicine a quelle desiderate. La qualità<br />
del flusso che si realizza nelle gallerie in cui lo strato limite viene sviluppato artificialmente è<br />
tuttavia inferiore a quella che si ottiene in gallerie a strato limite naturalmente sviluppato, e<br />
comunque più <strong>di</strong>fficilmente modellabile; per questo motivo i risultati che queste gallerie<br />
5 Le gallerie più recenti sono munite <strong>di</strong> <strong>di</strong>spositivi pneumatici in grado <strong>di</strong> sollevare o abbassare dei<br />
parallelepipe<strong>di</strong> posizionati nel pavimento. Questi <strong>di</strong>spositivi, controllati da un elaboratore, permettono<br />
una raffinatissima modellazione della rugosità del suolo
18<br />
Capitolo I<br />
forniscono sono <strong>di</strong> qualità inferiore rispetto a quelli ottenibili nelle tra<strong>di</strong>zionali gallerie a strato<br />
limite. 6<br />
Le tipologie <strong>di</strong> prove che possono essere condotte in galleria del vento a strato limite sono<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>versa natura in relazione ai fenomeni che si intende indagare. Una prima sud<strong>di</strong>visione può<br />
essere effettuata in base al tipo <strong>di</strong> modello che viene utilizzato: rigido, elasto-rigido oppure<br />
aeroelastico. Un’altra sud<strong>di</strong>visione può essere condotta in base alle quantità che si vanno a<br />
misurare: pressioni, spostamenti e/o accelerazioni della struttura, forze strutturali, velocità del<br />
flusso in prossimità della struttura. Esistono infine prove che forniscono esclusivamente<br />
risultati <strong>di</strong> carattere qualitativo, quali le prove <strong>di</strong> visualizzazione <strong>di</strong> flusso, volte a fornire delle<br />
in<strong>di</strong>cazioni <strong>di</strong> comportamento più che dei dati numerici.<br />
Nel caso delle strutture a prevalente estensione verticale (e<strong>di</strong>fici alti, ciminiere, torri per le<br />
trasmissioni etc.) vengono usualmente effettuati tre tipi <strong>di</strong> prove: prove su modello<br />
manometrico, prove del tipo base-balance e prove su modello aeroelastico. Nelle prime si<br />
opera su un modello rigido, <strong>di</strong> solito realizzato in Plexiglas, munito <strong>di</strong> un elevato numero <strong>di</strong><br />
prese manometriche. Vengono registrate le storie temporali della pressione a ciascuna presa, e<br />
per integrazione si risale alle storie temporali delle forze ed dei momenti agenti a <strong>di</strong>verse quote<br />
della struttura. L’elaborazione <strong>di</strong> queste storie temporali fornisce i valori me<strong>di</strong>, gli scarti<br />
quadratici me<strong>di</strong> e gli spettri <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong> tali forze, che vengono utilizzati come forzanti<br />
nell’analisi <strong>di</strong>namica della struttura. Una prova su modello manometrico risulta utile anche<br />
quando si voglia conoscere il valore del coefficiente <strong>di</strong> pressione in un particolare punto della<br />
struttura, ma non è in grado <strong>di</strong> cogliere l’interazione aeroelastica, e pertanto fornisce<br />
coefficienti aero<strong>di</strong>namici stazionari.<br />
Le prove del tipo base-balance consistono nel porre un modello rigido della struttura su<br />
una bilancia in grado <strong>di</strong> misurare le componenti delle forze e dei momenti al piede della<br />
struttura. Anche in questo caso non si tiene conto dell’interazione aeroelastica, a meno che il<br />
collegamento del modello alla bilancia non avvenga me<strong>di</strong>ante supporti elastici; con tale<br />
secondo proce<strong>di</strong>mento è possibile simulare il primo modo <strong>di</strong> vibrazione della struttura,<br />
me<strong>di</strong>ante un moto <strong>di</strong> rotazione rigida <strong>di</strong> questa rispetto alla base.<br />
Qualora si voglia cogliere a pieno l’interazione vento-struttura bisogna fare ricorso a<br />
modelli aeroelastici. L’uso <strong>di</strong> modelli aeroelastici, che hanno costi <strong>di</strong> progetto e <strong>di</strong> costruzione<br />
notevolmente superiori a quelli dei modelli rigi<strong>di</strong>, si rende necessario in tutti quei casi in cui<br />
l’elevata flessibilità della struttura faccia, da un lato, temere la possibilità dell’insorgere <strong>di</strong><br />
instabilità aeroelastiche, e dall’altro renda comunque necessaria la <strong>di</strong>retta misurazione della<br />
risposta strutturale, così da tenere conto dell’effetto del moto relativo tra il vento e la struttura<br />
stessa. I modelli aeroelastici degli e<strong>di</strong>fici, e delle strutture alte in generale, vengono realizzati<br />
me<strong>di</strong>ante un nucleo, formato <strong>di</strong> aste metalliche e masse aggiunte, che conferisca al modello le<br />
caratteristiche <strong>di</strong>namiche desiderate (frequenze e mo<strong>di</strong> propri), e da un involucro avente<br />
l’unico scopo <strong>di</strong> conferire la sagoma al modello. Questi modelli vengono strumentati me<strong>di</strong>ante<br />
accelerometri e/o trasduttori <strong>di</strong> spostamento, e pertanto le prove forniscono <strong>di</strong>rettamente la<br />
risposta strutturale, senza dare alcuna informazione sulle forze che agiscono sulla struttura.<br />
6 Va però ricordato che per lo stu<strong>di</strong>o dei ponti <strong>di</strong> grande luce non è necessaria una accurata riproduzione<br />
della variazione con la quota delle caratteristiche del flusso, in quanto strutture a prevalente estensione<br />
orizzontale. Resta però necessario che le caratteristiche puntuali del flusso siano riprodotte con<br />
sufficiente esattezza.
Introduzione 19<br />
Anche nel caso dei ponti <strong>di</strong> grande luce (sospesi e strallati), le prove che possono essere<br />
effettuate sono <strong>di</strong> <strong>di</strong>versa natura; tuttavia, mentre nel caso delle strutture ad estensione<br />
verticale le prove precedentemente illustrate vengono <strong>di</strong> solito effettuate l’una in alternativa<br />
all’altra, nel caso dei ponti il programma sperimentale prevede l’esecuzione <strong>di</strong> una sequenza <strong>di</strong><br />
prove su <strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> modelli. Una prima serie <strong>di</strong> prove viene effettuata sul modello sezionale<br />
dell’impalcato. Questo è un modello rigido <strong>di</strong> un concio dell’impalcato, che viene vincolato in<br />
maniera rigida oppure sospeso me<strong>di</strong>ante molle, rendendo liberi i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>di</strong> traslazione<br />
verticale e <strong>di</strong> rotazione attorno all’asse longitu<strong>di</strong>nale. Le prove vengono effettuate in flusso<br />
uniforme e con un allestimento tale da garantire che il campo <strong>di</strong> moto sia quanto più possibile<br />
bi<strong>di</strong>mensionale. Sul modello montato rigidamente è possibile, me<strong>di</strong>ante l’uso <strong>di</strong> strain-gauges,<br />
misurare i coefficienti aero<strong>di</strong>namici al variare dell’angolo <strong>di</strong> attacco. Sul modello montato<br />
elasticamente è invece possibile misurare gli spostamenti e le accelerazioni al variare della<br />
velocità del vento, al fine <strong>di</strong> determinare, sul modello bi<strong>di</strong>mensionale, le con<strong>di</strong>zioni critiche <strong>di</strong><br />
sincronizzazione e <strong>di</strong> flutter.<br />
I risultati ottenuti me<strong>di</strong>ante prove su modello sezionale possono essere utilizzati, me<strong>di</strong>ante<br />
l’uso <strong>di</strong> modelli matematici semiempirici, per stimare la risposta del ponte. In questo modo si<br />
trascurano gli effetti dovuti al comportamento tri<strong>di</strong>mensionale della struttura e del flusso,<br />
nonché l’interazione della campata <strong>di</strong> largo con le torri e con le campate <strong>di</strong> riva. L’uso <strong>di</strong> un<br />
modello aeroelastico consente <strong>di</strong> misurare <strong>di</strong>rettamente la risposta strutturale, senza bisogno <strong>di</strong><br />
fare ricorso a modelli teorici e, se il modello riproduce l’intero ponte, i risultati cui si perviene<br />
tengono conto anche dell’interazione con le torri e con le campate <strong>di</strong> riva.<br />
Alle due prove sinora citate si aggiunge talvolta la prova del modello aeroelastico della<br />
torre, volta a caratterizzare il comportamento <strong>di</strong> questa in fase <strong>di</strong> costruzione, ossia prima del<br />
varo dei cavi <strong>di</strong> sospensione o della posa in opera degli stralli.<br />
Per le altre tipologie stutturali (e<strong>di</strong>fici bassi, coperture <strong>di</strong> grande luce, torri <strong>di</strong><br />
raffreddamento etc.) vengono effettuate prove manometriche su modello rigido oppure prove<br />
su modello aeroelastico a secondo che la struttura sia sufficientemente rigida da temere solo gli<br />
effetti statici e quasistatici (principalmente quelli dovuti alle depressioni), oppure abbia una<br />
flessibilità tale da far nascere una interazione <strong>di</strong> tipo aeroelastico.<br />
7. Gli effetti del vento sui ponti <strong>di</strong> grande luce<br />
Come si è già accennato, lo sviluppo dell’Ingegneria del Vento hanno avuto in passato<br />
quale filo conduttore l’evoluzione nella costruzione dei ponti <strong>di</strong> grande luce. Le strutture da<br />
ponte si sono trovate nel passato spesso all’avanguar<strong>di</strong>a rispetto alle altre strutture. Ciò,<br />
unitamente al fatto che, comunque per loro natura sono strutture particolarmente prone<br />
all’azione del vento, ha fatto sì che fossero spesso i successi gli insuccessi nella costruzione<br />
dei ponti a fornire gli stimoli per la ricerca nel campo della Ingegneria del Vento.<br />
Nell’introduzione sono stati citati alcuni casi <strong>di</strong> collassi o <strong>di</strong> danneggiamenti <strong>di</strong> ponti<br />
sospesi, casi che appartengono ad una lunga lista. Ora, a quasi due secoli dai primi episo<strong>di</strong> <strong>di</strong>
20<br />
Capitolo I<br />
cui si ha traccia, l’Ingegneria del Vento ha fornito dei rime<strong>di</strong> affinché in futuro non si<br />
verifichino più episo<strong>di</strong> analoghi, rime<strong>di</strong> che tuttavia spesso non sono fondati su una <strong>di</strong>agnosi<br />
precisa, e soprattutto universalmente accettata, dei fenomeni con cui si ha a che fare. Alla<br />
intrinseca non-linearità della struttura si aggiunge, infatti, a causa della sua elevata<br />
deformabilità, anche un forte comportamento aeroelastico, che rende il comportamento globale<br />
della struttura estremamente complesso, e spesso oscuro.<br />
Notevoli semplificazioni nello stu<strong>di</strong>o del comportamento aeroelastico delle strutture da<br />
ponte possono essere ottenute prescindendo dall’interazione che si esplica tra i <strong>di</strong>fferenti<br />
elementi strutturali. In questa ottica l’elemento dei ponti <strong>di</strong> grande luce più soggetto all’azione<br />
del vento è sicuramente l’impalcato. Questo non solo è fortemente esposto all’azione della<br />
turbolenza, ma anche can<strong>di</strong>dato ad un comportamento in campo aeroelastico, mostrandosi<br />
prono a fenomeni <strong>di</strong> sincronizzazione, <strong>di</strong> galloping, <strong>di</strong> <strong>di</strong>vergenza torsionale e <strong>di</strong> flutter.<br />
Come si accennava nel precedente paragrafo, le prove che si effettuano in galleria del vento<br />
sono appunto mirate a in<strong>di</strong>viduare i valori critici della velocità (o almeno il più basso <strong>di</strong><br />
questo, risultando spesso impossibile continuare la prova a velocità superiori al primo valore<br />
critico), e la risposta alla turbolenza in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto stabile.<br />
La torre risulta invece una struttura notevolmente più rigida dell’impalcato e pertanto le<br />
viene <strong>di</strong> solito de<strong>di</strong>cata molta meno attenzione in fase <strong>di</strong> progettazione, e solo raramente<br />
vengono effettuate prove in galleria del vento per appurarne il comportamento. Tuttavia, in<br />
special modo durante la fase <strong>di</strong> costruzione, in cui questa si presenta come una mensola libera<br />
in testa, sono state osservati in passato parecchi casi in cui si mostrava una elevata risposta sia<br />
all’azione della turbolenza, che <strong>di</strong> tipo aeroelastico (galloping e sincronizzazione).<br />
Ugualmente proni all’azione del vento sono gli elementi costituiti da funi. Questi, per la<br />
loro forma circolare, dovrebbero mostrarsi incon<strong>di</strong>zionatamente stabili. Tuttavia esistono<br />
con<strong>di</strong>zioni in cui invece questi mostrano un comportamento instabile. Un esempio classico è<br />
quello della formazione <strong>di</strong> ghiaccio su <strong>di</strong> essi; ciò porta alla variazione della forma della<br />
sezione trasversale, che può <strong>di</strong> conseguenza <strong>di</strong>venire instabile. Un fenomeno analogo si può<br />
anche avere semplicemente a causa del rivolo d’acqua che scorre lungo <strong>di</strong> essi in caso <strong>di</strong><br />
pioggia. Un’altra causa <strong>di</strong> instabilità è rappresentata dal fatto che i cavi, benché <strong>di</strong> sezione<br />
globalmente circolare, sono formati da fili avvolti, e pertanto dotati <strong>di</strong> una certa rugosità non<br />
simmetrica rispetto ad un piano longitu<strong>di</strong>nale. La rugosità fa sì che la sezione si comporti come<br />
non simmetrica e possa quin<strong>di</strong> essere soggetta ad un comportamento instabile.<br />
Lo scopo del presente lavoro è quello <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare i fenomeni che possono causare una<br />
elevata risposta <strong>di</strong>namica delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce, e proporre una procedura semiempirica<br />
che consenta, senza effettuare prove in galleria su modello aeroelastico, ma più<br />
semplici prove volte solo a saggiare l’aero<strong>di</strong>namica della sezione trasversale, <strong>di</strong> fornirne una<br />
stima.
Capitolo II<br />
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza<br />
infinita all’azione del vento<br />
1. Premessa<br />
Un primo passo verso lo stu<strong>di</strong>o della risposta all’azione del vento delle strutture allungate<br />
poste nello strato limite atmosferico, è quello <strong>di</strong> analizzare il comportamento <strong>di</strong> un cilindro<br />
rigido, <strong>di</strong> lunghezza infinita, immerso in un flusso turbolento uniforme. Il modello<br />
bi<strong>di</strong>mensionale che così si ottiene è da un lato in grado <strong>di</strong> fornire in<strong>di</strong>cazioni <strong>di</strong> carattere<br />
qualitativo sul comportamento aero<strong>di</strong>namico ed aeroelastico <strong>di</strong> una struttura flessibile, <strong>di</strong><br />
lunghezza finita ed uguale sezione trasversale posta in un flusso non uniforme, e dall’altro<br />
permette la valutazione dei parametri aero<strong>di</strong>namici che vengono poi utilizzati per l’analisi della<br />
struttura reale.<br />
A tale scopo si farà riferimento ad un cilindro munito <strong>di</strong> vincoli esterni ad elasticità lineare<br />
e smorzamento viscoso e dotato dei tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà rappresentati dalla traslazione secondo<br />
<strong>di</strong>rezioni ortogonali all’asse e rotazioni attorno a questo. Le particolari con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> vincolo<br />
fanno sì che il moto del cilindro sia piano e quin<strong>di</strong> che punti appartenenti alla stessa<br />
generatrice abbiano uguali componenti <strong>di</strong> spostamento.<br />
Si considera quin<strong>di</strong> il cilindro immerso in un campo <strong>di</strong> moto turbolento e uniforme, anche<br />
esso contenuto in piani ortogonali all’asse del cilindro. Lo stu<strong>di</strong>o del comportamento del<br />
cilindro, nelle con<strong>di</strong>zioni descritte, può essere affrontato nelle due <strong>di</strong>mensioni, introducendo<br />
nelle equazioni del moto quantità (massa, smorzamento, rigidezza, forze esterne) relative ad un<br />
tratto <strong>di</strong> lunghezza unitaria.<br />
In questo capitolo verranno scritte le equazioni linearizzate del moto per il cilindro <strong>di</strong><br />
lunghezza infinita nei tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, nella ipotesi <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà della teoria quasistatica, e si<br />
accennerà ai criteri da seguire per la scrittura delle equazioni non lineari. Verranno quin<strong>di</strong><br />
ricavate le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità del moto e in<strong>di</strong>cate le tecniche atte a fornire, per via<br />
21
22<br />
Capitolo II<br />
stocastica, la risposta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto stabile. Si particolarizzeranno, infine, i risultati al<br />
caso in cui le equazioni del moto risultino <strong>di</strong>saccoppiabili.<br />
2. <strong>Analisi</strong> delle forze agenti sul cilindro<br />
Si consideri un cilindro rigido <strong>di</strong> lunghezza infinita e si in<strong>di</strong>chi con z l’asse del cilindro. Si<br />
vincoli il cilindro con vincoli cedevoli che ne consentano la traslazione nelle <strong>di</strong>rezioni<br />
ortogonali all’asse z e la rotazione attorno a questo, e blocchino i rimanenti tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.<br />
Si consideri il cilindro immerso in un flusso turbolento uniforme e bi<strong>di</strong>mensionale, contenuto<br />
in piani ortogonali all’asse z.<br />
Con riferimento alla Figura 2.1, siano x 0 ed y 0 una coppia <strong>di</strong> assi tali da formare con z una<br />
terna trirettangola destrorsa, e tali che x 0 sia orientato come il flusso me<strong>di</strong>o. Siano x ed y<br />
un’altra coppia <strong>di</strong> assi, anche essi tali da formare con z una terna trirettangola destrorsa,<br />
solidali col cilindro, e ruotati <strong>di</strong> α rispetto ad x 0 ed y 0 . Riprendendo le (1.1) e (1.2),<br />
l’espressione della velocità del vento all’istante t, nel caso <strong>di</strong> flusso bi<strong>di</strong>mensionale può essere<br />
scritta come:<br />
[ ]<br />
V() t = U + u'() t i + v'() t j<br />
0 0 (2.1)<br />
ove con i 0 e j 0 si sono in<strong>di</strong>cati rispettivamente i versori degli assi x 0 ed y 0 .<br />
In<strong>di</strong>cando con x 0 (t) e y 0 (t) le componenti dello spostamento del cilindro rispettivamente<br />
nelle <strong>di</strong>rezioni x 0 ed y 0 , e col punto la derivazione rispetto al tempo, l’espressione della velocità<br />
relativa tra il fluido ed il cilindro può essere scritta in maniera analoga alla (2.1):<br />
Figura 2.1 - Cilindro <strong>di</strong> lunghezza infinita
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 23<br />
[ ] [ ]<br />
' & ' &<br />
V () t = U + u () t − x () t i + v () t − y () t j<br />
r<br />
0 0 0 0 (2.2)<br />
Con riferimento al proce<strong>di</strong>mento utilizzato in [Solari 1992], la forza aero<strong>di</strong>namica per unità<br />
<strong>di</strong> lunghezza agente sul cilindro può essere caratterizzata in maniera del tutto generale<br />
me<strong>di</strong>ante un vettore a tre componenti (forze lungo x 0 e y 0 e momento torcente) variabile nel<br />
tempo:<br />
⎧ Dt () ⎫ ⎧ D + D'( t)<br />
⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
F () t = Lt () L L'( t)<br />
F F () t<br />
0 ⎨ ⎬ = ⎨ + ⎬ = + ' 0 0<br />
(2.3)<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪<br />
⎩Mt<br />
()<br />
⎪ ⎪<br />
⎭ ⎩<br />
M + M'( t)<br />
⎪<br />
⎭<br />
essendosi in<strong>di</strong>cati con la barra i valori me<strong>di</strong> nel tempo e con l’apice i valori fluttuanti a me<strong>di</strong>a<br />
nulla.<br />
I valori me<strong>di</strong> delle forze aero<strong>di</strong>namiche possono essere espressi in funzione dei coefficienti<br />
aero<strong>di</strong>namici CD, CL e CM<br />
, <strong>di</strong> cui le seguenti espressioni rappresentano la definizione:<br />
F 0<br />
⎧ C ⎫<br />
D(<br />
α)<br />
⎪ ⎪<br />
1 2 ⎪ ⎪<br />
= ρUb⎨CL(<br />
α)<br />
⎬<br />
2 ⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎩<br />
bCM<br />
( α)<br />
⎭<br />
I valori assunti dai coefficienti aero<strong>di</strong>namici sono in generale legati alla forma della sezione<br />
trasversale, all’angolo <strong>di</strong> attacco α e al numero <strong>di</strong> Reynolds.<br />
Le parti fluttuanti delle forze aero<strong>di</strong>namiche tengono conto dell’azione dovuta alla<br />
turbolenza, al <strong>di</strong>stacco dei vortici ed al moto del cilindro. Secondo l’approccio introdotto in<br />
[Davenport 1961b], le tre aliquote della forza fluttuante possono essere valutate, nell’ipotesi <strong>di</strong><br />
un comportamento quasistatico, separatamente, ossia ponendo:<br />
t s a<br />
0 0 0 0<br />
(2.4)<br />
F '( t) = F ( t) + F ( t) + F ( t)<br />
(2.5)<br />
ove gli apici t, s ed a in<strong>di</strong>viduano le forze dovute alla turbolenza, al <strong>di</strong>stacco dei vortici ed al<br />
moto del cilindro.<br />
L’ipotesi <strong>di</strong> comportamento quasistatico consiste nel supporre che le fluttuazioni nella<br />
velocità relativa tra fluido e cilindro avvengano lentamente; se ciò si verifica le forze che<br />
agiscono sul cilindro in un certo istante possono essere assimilate a quelle che si avrebbero su<br />
un cilindro fisso in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso laminare con velocità del flusso pari alla velocità<br />
relativa istantanea tra fluido e cilindro. Tale ipotesi è verificata se le componenti della
24<br />
Capitolo II<br />
turbolenza presentano contenuto energetico a frequenze prevalentemente inferiori alla<br />
frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici, e se il moto del cilindro avviene anch’esso a frequenze<br />
inferiori a quella <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco. 1<br />
Queste due con<strong>di</strong>zioni garantiscono, per la (2.2), che la velocità relativa tra fluido e<br />
cilindro abbia anch’essa contenuto energetico alle basse frequenze. Se ciò si verifica, le<br />
espressioni delle forze istantanee dovute al valore me<strong>di</strong>o della velocità del vento, alla<br />
turbolenza ed al moto del cilindro possono essere scritte in maniera analoga alla (2.4), nel<br />
generico istante t, in un riferimento orientato secondo la <strong>di</strong>rezione istantanea del flusso e<br />
quella ad essa ortogonale (riferimento ξ−η <strong>di</strong> Figura 2.1); in tali espressioni i coefficienti<br />
aero<strong>di</strong>namici vanno presi nel valore che assumono per l’angolo d’attacco istantaneo γ.<br />
Si ottiene in definitiva:<br />
⎧Fξ()<br />
t ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
⎩Mt<br />
()<br />
⎪<br />
⎭<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Fi() t = ⎨Fη()<br />
t ⎬ = ρ r<br />
( γ()<br />
)<br />
⎧ CDt ⎪<br />
⎪<br />
V () t b⎨CLt<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
bCM t<br />
( γ()<br />
)<br />
( γ()<br />
)<br />
s ⎫ ⎧ F t ⎫<br />
ξ ()<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪ s ⎪<br />
⎬ + ⎨ Fη() t ⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪ s<br />
⎭ ⎩<br />
M () t<br />
⎪<br />
⎭<br />
ove con F i si è in<strong>di</strong>cato il vettore della forza istantanea e con F ξ e F η le sue componenti lungo<br />
ξ e η . Nella (2.6) alle forze dovute al moto relativo tra fluido e cilindro sono state aggiunte<br />
quelle, in<strong>di</strong>cate con l’apice s, dovute al <strong>di</strong>stacco dei vortici. Di tali forze è necessario tenere<br />
conto separatamente, in quanto non derivanti in maniera <strong>di</strong>retta dal moto relativo tra fluido e<br />
cilindro, ma risultato della interazione tra il moto del fluido ed il cilindro stesso, ossia risultato<br />
dalla turbativa che il cilindro introduce nel moto del fluido.<br />
L’angolo d’attacco istantaneo γ(t) risulta pari alla somma dell’angolo <strong>di</strong> attacco me<strong>di</strong>o α e<br />
dell’angolo δ(t) che il vettore velocità relativa all’istante t forma con la <strong>di</strong>rezione del flusso<br />
me<strong>di</strong>o x 0 , <strong>di</strong>minuita dell’angolo <strong>di</strong> rotazione istantanea del cilindro ϑ(t):<br />
(2.6)<br />
γ() t = α + δ() t − ϑ()<br />
t<br />
(2.7)<br />
L’angolo δ(t) tra il vettore velocità relativa istantanea e la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del flusso ha la<br />
seguente espressione:<br />
ϑ<br />
δ()<br />
tan '( ) −1 v t − y&( ) &<br />
0 t −R0<br />
() t<br />
t =<br />
U + u'( t) −x&(<br />
t)<br />
1<br />
Il <strong>di</strong>scorso risulta più chiaro, ed operativamente più utile, se ci si riferisce ai valori della frequenza<br />
f ⋅b<br />
ridotta . E’ allora possibile <strong>di</strong>re che l’approccio quasistatico ha vali<strong>di</strong>tà se la turbolenza presenta la<br />
U<br />
maggior parte dell’energia a frequenze ridotte inferiori al numero <strong>di</strong> Strouhal, e se, analogamente, il moto<br />
avviene a frequenze ridotte anche loro inferiori al numero <strong>di</strong> Strouhal.<br />
0<br />
(2.8)
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 25<br />
ove con R 0 si è in<strong>di</strong>cata una <strong>di</strong>mensione caratteristica della sezione trasversale. 2<br />
Le (2.6), scritte nel riferimento ξ-η, possono essere riportate nel riferimento x 0 -y 0 ,<br />
risultando:<br />
F 0<br />
( δ ) − ( δ )<br />
( γ()<br />
)<br />
⎧Fξ(<br />
t) cos ( t) Fη( t) sen ( t)<br />
⎫<br />
⎧ CDt ⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪ 1 2 ⎪<br />
() t = ⎨Fξ()sen<br />
t ( δ() t ) + Fη()cos t ( δ() t ) ⎬ = ρVr()<br />
t b⎨CLt<br />
⎪<br />
⎪ 2 ⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
Mt ()<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎩bCM<br />
t<br />
ove C D , C L e C M si sono in<strong>di</strong>cati i coefficienti aero<strong>di</strong>namici istantanei:<br />
( γ()<br />
)<br />
( γ()<br />
)<br />
( γ() ) = ( γ()cos ) ( δ() ) − ( γ()sen ) ( δ()<br />
)<br />
C t C t t C t t<br />
D D L<br />
( γ() ) = ( γ()sen ) ( δ() ) + ( γ()cos ) ( δ()<br />
)<br />
C t C t t C t t<br />
L D L<br />
( γ() ) = ( γ()<br />
)<br />
C t C t<br />
M M<br />
s<br />
⎫ ⎧ D () t ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪ s ⎪<br />
⎬ + ⎨ L () t ⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪ s<br />
⎭ M () t<br />
⎪<br />
⎩ ⎭<br />
(2.9)<br />
(2.10)<br />
e dove con D s e L s si sono in<strong>di</strong>cate le forze <strong>di</strong> resistenza e portanza e con M s il momento<br />
torcente dovuti al <strong>di</strong>stacco dei vortici.<br />
Le (2.10) possono essere sviluppate in serie <strong>di</strong> Taylor <strong>di</strong> punto iniziale δ=ϑ=0 (ossia γ=α),<br />
fornendo le relazioni:<br />
C γ t = C α + C α −C α δ− C<br />
'<br />
( α) ϑ+ o(<br />
δ, ϑ)<br />
( () ) ( ) ( '<br />
( ) ( ) )<br />
( ( ) ) ( ) ( ( )<br />
'<br />
( ) )<br />
D D D L D<br />
C γ t = C α + C α + C α δ+ C<br />
'<br />
( α) ϑ+ o(<br />
δ, ϑ)<br />
L L D L L<br />
C γ() t = C ( α) + C<br />
'<br />
( α) δ− C<br />
'<br />
( α) ϑ+ o(<br />
δ, ϑ)<br />
( )<br />
M M M M<br />
(2.11)<br />
ove con o(.) si sono in<strong>di</strong>cati i termini <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore in δ e ϑ.<br />
Le (2.9) vengono quin<strong>di</strong> riscritte sostituendovi le (2.11), e sviluppando in serie <strong>di</strong> Mac<br />
Laurin il modulo della velocità relativa V r , fornita dalla (2.2), e l’angolo <strong>di</strong> attacco istantaneo<br />
δ(t), fornito dalla (2.8):<br />
2<br />
L’angolo d’attacco istantaneo γ(t) va inteso come l’angolo sotto il quale il flusso all’istante t vede la<br />
sezione. Il termine R ϑ & () t tiene conto, nel caso in cui la sezione sia <strong>di</strong> forma allungata, della aliquota<br />
0<br />
della velocità trasversale del bordo d’attacco, dovuta alla velocità <strong>di</strong> rotazione angolare & ϑ() t . Nel caso <strong>di</strong><br />
sezioni allungate, infatti, l’angolo <strong>di</strong> attacco istantaneo varia da punto a punto nell’ambito della sezione<br />
trasversale. Per sezioni compatte risulta R0≅0.
26<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
1 2<br />
1<br />
Dt ( ) = ρUbCD( α) + ρUbCD( α) u'( t) + ρUbC '<br />
D( α) − CL( α)<br />
v'( t)<br />
+<br />
2<br />
2<br />
1 '<br />
−ρUbCD( α)&( x t) − Ub CD( ) − CL( ) y&( 0 ρ α α 0 t)<br />
+<br />
2<br />
1<br />
Ub C<br />
' s<br />
D( ) CL( ) R & 1 2<br />
() t U bC<br />
' 0<br />
− ρ α − α 0ϑ<br />
− ρ D( α) ϑ()<br />
t + Rx() t + D () t<br />
2<br />
2<br />
( ( ) )<br />
( )<br />
( )<br />
1 2<br />
1<br />
Lt ( ) = ρUbCL( α) + ρUbCL( α) u'( t) + ρUbCD( α) + C<br />
'<br />
L(<br />
α)<br />
v'( t)<br />
+<br />
2<br />
2<br />
1<br />
'<br />
−ρUbCL( α)&( x t) − Ub CD( ) + CL( ) y&( 0 ρ α α 0 t)<br />
+<br />
2<br />
1<br />
Ub C C<br />
' s<br />
D L( ) R & 1 2<br />
() t U bC<br />
' 0<br />
− ρ α + α 0ϑ<br />
− ρ L( α) ϑ()<br />
t + Ry() t + L () t<br />
2<br />
2<br />
1 2 2 2 1 2<br />
Mt () = ρUbCM( α) + ρUbCM( α) u'() t + ρUbC '<br />
M(<br />
α)<br />
v'( t)<br />
+<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 2<br />
Ub CM( )&( x t) Ub C<br />
' 1 2<br />
−ρ α − M( )&( y t) − Ub C<br />
'<br />
M(<br />
) R &<br />
0 ρ α 0 ρ α 0ϑ()<br />
t +<br />
2<br />
2<br />
1 2 2<br />
UbC<br />
' 0 s<br />
− ρ M ( α) ϑ() t + Rϑ() t+ M() t<br />
2<br />
Capitolo II<br />
(2.12)<br />
Nelle (2.12) è possibile riconoscere il significato dei <strong>di</strong>versi termini della forzante. Il primo<br />
termine <strong>di</strong> ciascuna componente rappresenta la forza me<strong>di</strong>a, ossia la forza dovuta al valore<br />
me<strong>di</strong>o della velocità del vento; i termini lineari nelle componenti della turbolenza<br />
rappresentano la parte del primo or<strong>di</strong>ne dell’azione dovuta alle fluttuazioni nella velocità del<br />
vento; i termini nelle derivate prime delle componenti <strong>di</strong> spostamento rappresentano la parte<br />
del primo or<strong>di</strong>ne delle forze aeroelastiche dovute al moto del cilindro; i termini nella<br />
componente <strong>di</strong> spostamento ϑ rappresentano la parte del primo or<strong>di</strong>ne delle forze aeroelastiche<br />
dovute alla aliquota <strong>di</strong> variazione dell’angolo <strong>di</strong> attacco istantaneo provocata dalla rotazione<br />
0 0 0<br />
del cilindro; i termini Rx, Ry e Rϑ<br />
, infine, raggruppano le quantità <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore nelle<br />
componenti <strong>di</strong> turbolenza e nelle componenti <strong>di</strong> spostamento e <strong>di</strong> velocità; gli ultimi termini <strong>di</strong><br />
ciascuna espressione rappresentano, poi, le forze dovute al <strong>di</strong>stacco dei vortici.
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 27<br />
Le (2.12) rappresentano pertanto le espressioni delle forze totali agenti sul cilindro, valide<br />
nella ipotesi <strong>di</strong> comportamento quasistatico e possono essere linearizzate nell’ulteriore ipotesi<br />
in cui le componenti <strong>di</strong> turbolenza, le velocità e gli spostamenti siano piccoli, trascurando i<br />
0 0 0<br />
termini Rx, Ry e Rϑ<br />
. L’ipotesi <strong>di</strong> piccola turbolenza consiste nell’asserire che le componenti<br />
<strong>di</strong> turbolenza siano piccole rispetto al valor me<strong>di</strong>o della velocità del vento, ovvero che le<br />
intensità <strong>di</strong> turbolenza siano molto minori dell’unità. Analogamente l’ipotesi <strong>di</strong> piccole<br />
velocità consiste nell’asserire che le componenti <strong>di</strong> velocità del cilindro siano piccole rispetto<br />
alla velocità me<strong>di</strong>a del vento. La piccolezza degli spostamenti riguarda infine il solo angolo <strong>di</strong><br />
rotazione ϑ, essendo gli spostamenti lungo x0 ed y0 ininfluenti ai fini delle forze aeroelastiche;<br />
è pertanto verificata l’ipotesi <strong>di</strong> piccoli spostamenti nel caso in cui ϑ sia molto minore<br />
dell’unità.<br />
Le (2.12) linearizzate forniscono una espressione esplicita della aliquota della forza dovuta<br />
alla turbolenza mentre restano da caratterizzare le forze indotte dal <strong>di</strong>stacco dei vortici.<br />
Su <strong>di</strong> un cilindro fisso posto in un flusso laminare il <strong>di</strong>stacco dei vortici produce un’azione<br />
che può con buona approssimazione considerarsi ad andamento sinusoidale, con frequenza pari<br />
alla frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco per le componente trasversale e per quella torcente, e con frequenza<br />
doppia per la componente longitu<strong>di</strong>nale.<br />
L’azione dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici può essere quin<strong>di</strong> espressa in forma analoga alla<br />
(2.4):<br />
s<br />
F0 ⎧<br />
~ s<br />
CDsen( 4πfst)<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
1 2 ⎪ ~ s ⎪<br />
t = ρU<br />
b⎨CLsen(<br />
2πfst)<br />
⎬<br />
2 ⎪<br />
⎪<br />
⎪ ~ s<br />
bCM sen(<br />
2πf<br />
st<br />
⎪<br />
⎩<br />
) ⎭<br />
( )<br />
(2.13)<br />
essendosi in<strong>di</strong>cati con ~ s ~ s ~ s<br />
CD, CLe CMi<br />
coefficienti aero<strong>di</strong>namici (fluttuanti) connessi col<br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici, definiti quali valori a<strong>di</strong>mensionalizzati degli scarti quadratici me<strong>di</strong> delle<br />
forze indotte dal <strong>di</strong>stacco.<br />
Nel caso in cui il cilindro sia libero <strong>di</strong> muoversi ed il flusso sia turbolento, il <strong>di</strong>stacco dei<br />
vortici non avviene con frequenza costante. Si pone allora il problema <strong>di</strong> caratterizzare la<br />
<strong>di</strong>stribuzione temporale della forza indotta dal <strong>di</strong>stacco. Il problema verrà affrontato nel<br />
Capitolo II, mentre ci si limita qui a dare alle forze dovute al <strong>di</strong>stacco dei vortici nel caso <strong>di</strong><br />
regime turbolento e cilindro in movimento una espressione analoga alla (2.13):<br />
s<br />
F0 ( )<br />
( )<br />
⎧ s<br />
CDt ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
1 2 ⎪ s ⎪<br />
t = ρ U b⎨CL(<br />
t)<br />
⎬<br />
(2.14)<br />
2 ⎪ ⎪<br />
⎪ s<br />
bCM ( t<br />
⎩ ) ⎪<br />
⎭
28<br />
s<br />
s<br />
s<br />
Capitolo II<br />
ove con CD(), t CL(t) e CM() t si sono in<strong>di</strong>cati i coefficienti aero<strong>di</strong>namici istantanei connessi<br />
col <strong>di</strong>stacco.<br />
3. Equazioni linearizzate del moto<br />
Si prenda <strong>di</strong> nuovo in considerazione il cilindro per il quale nel paragrafo precedente sono<br />
state ricavate le espressioni delle forze aero<strong>di</strong>namiche. Nel caso in cui i vincoli siano ad<br />
elasticità lineare e smorzamento viscoso l’equazione del moto del cilindro dotato <strong>di</strong> tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
libertà assume nel riferimento x 0 -y 0 la forma:<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
M s&( t) + C s& 0 () t + K s () t = F () t<br />
(2.15)<br />
0 0 0 0 0 0<br />
ove con s0 (t) si è in<strong>di</strong>cato il vettore spostamento, <strong>di</strong> componenti x0 (t), y0 (t) e ϑ(t), e con<br />
[ M0] , [ C0] e [ K0]<br />
rispettivamente le matrici <strong>di</strong> massa, <strong>di</strong> smorzamento e <strong>di</strong> rigidezza relative<br />
alla struttura in assenza <strong>di</strong> vento.<br />
Nella ipotesi <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà della teoria quasistatica, il termine forzante risulta avere<br />
l’espressione data dalle (2.3) e (2.5); nell’ipotesi <strong>di</strong> piccola turbolenza, piccole velocità e<br />
piccoli spostamenti, la (2.15) può essere riscritta in forma linearizzata, introducendovi i termini<br />
lineari della forzante espressi dalle (2.12). Di questi termini quelli proporzionali alle<br />
componenti <strong>di</strong> spostamento e <strong>di</strong> velocità della struttura vanno a costituire la rigidezza e lo<br />
smorzamento aeroelastici, e pertanto possono esssre sommati ai corrispondenti termini <strong>di</strong><br />
natura strutturale.<br />
Così operando la (2.15) assume la forma:<br />
* *<br />
ove con [ C0] [ K0]<br />
* *<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
t s<br />
0 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
M s&( t) + C s& () t + K s () t = F + F () t + F () t<br />
(2.16)<br />
e si sono in<strong>di</strong>cate le matrici <strong>di</strong> smorzamento e rigidezza in presenza <strong>di</strong><br />
vento, somma dei termini strutturali e <strong>di</strong> quelli aeroelastici:<br />
*<br />
a<br />
[ C0] = [ C0] + [ C0]<br />
*<br />
a<br />
[ K0] = [ K0] + [ K0]<br />
(2.17)<br />
Le matrici <strong>di</strong> smorzamento e rigidezza aeroelastiche assumono, in base alla (2.12), le<br />
seguenti espressioni:
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 29<br />
a [ C0<br />
]<br />
a [ K0<br />
]<br />
⎡0<br />
0<br />
⎢<br />
1 ⎢<br />
2<br />
= ρUb⎢0<br />
0<br />
2 ⎢<br />
⎢<br />
0 0<br />
⎣⎢<br />
( )<br />
( )<br />
⎡ ' '<br />
2CD<br />
CD −CL R0CD −C<br />
⎤<br />
⎢<br />
L ⎥<br />
1 ⎢<br />
⎥<br />
= ρUb⎢<br />
2CL<br />
CD + C<br />
'<br />
L R0CD + C<br />
'<br />
⎥ L<br />
2 ⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
' ' ⎥<br />
2bCM<br />
bCM bR0CM ⎣<br />
⎢<br />
⎦<br />
⎥<br />
C<br />
' ⎤<br />
D ⎥<br />
C<br />
'<br />
⎥<br />
L ⎥<br />
⎥<br />
' ⎥<br />
bCM<br />
⎦⎥<br />
(2.18)<br />
L’equazione (2.16) consente la determinazione delle con<strong>di</strong>zioni critiche del moto e l’analisi<br />
della risposta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto stabile.<br />
Le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità del moto vengono ricercate me<strong>di</strong>ante lo stu<strong>di</strong>o del segno del<br />
determinante delle matrici <strong>di</strong> smorzamento e <strong>di</strong> rigidezza al variare della velocità me<strong>di</strong>a del<br />
flusso, da cui queste <strong>di</strong>pendono tramite le (2.18). Valori negativi del determinante <strong>di</strong> una <strong>di</strong><br />
queste due matrici in<strong>di</strong>viduano con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> instabilità; in particolare valori negativi del<br />
determinante della matrice <strong>di</strong> smorzamento in<strong>di</strong>viduano con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto instabile per<br />
galloping, mentre valori negativi del determinante della matrice <strong>di</strong> rigidezza comportano<br />
l’assenza <strong>di</strong> rigidezza in uno dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà del sistema e pertanto con<strong>di</strong>zioni critiche sotto<br />
carichi statici. 3<br />
I tre valori della velocità me<strong>di</strong>a del vento che portano all’annullarsi del determinante della<br />
matrice <strong>di</strong> smorzamento rappresentano il passaggio da con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto stabile a con<strong>di</strong>zioni<br />
<strong>di</strong> moto instabile e viceversa. Per bassi valori della velocità del vento, i termini dello<br />
smorzamento strutturale, sempre positivi, sono preponderanti rispetto a quelli dello<br />
smorzamento aeroelastico, e pertanto il moto è stabile. Al crescere della velocità si può<br />
passare, a secondo dei segni dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici e delle loro derivate, ad una fase <strong>di</strong><br />
moto instabile, poi ad una ulteriore fase <strong>di</strong> moto stabile, per poi tornare definitivamente ad un<br />
moto instabile per valori della velocità maggiori <strong>di</strong> quello a cui corrisponde il terzo zero del<br />
determinante della matrice <strong>di</strong> smorzamento. Il minore dei tre valori della velocità me<strong>di</strong>a del<br />
flusso che annullano il determinante della matrice <strong>di</strong> smorzamento è detto velocità critica <strong>di</strong><br />
galloping.<br />
Per la particolare struttura della matrice <strong>di</strong> rigidezza aeroelastica, la sua equazione<br />
caratteristica risulta lineare nella velocità me<strong>di</strong>a del flusso. Il valore della velocità del flusso<br />
che annulla il determinante della matrice <strong>di</strong> rigidezza rappresenta la con<strong>di</strong>zione critica <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>vergenza torsionale. Se per α = 0 risulta C M = 0 , si è in presenza <strong>di</strong> una instabilità<br />
3 Va notato che le matrici <strong>di</strong> smorzamento e rigidezza contenenti i termini aero<strong>di</strong>namici non godono delle<br />
proprietà <strong>di</strong> simmetria e <strong>di</strong> positività, caratterizzanti le analoghe matrici che contengano i soli termini <strong>di</strong><br />
carattere strutturale.
30<br />
Capitolo II<br />
improvvisa. Per valori della velocità me<strong>di</strong>a minori del valore critico, infatti, la vibrazione del<br />
cilindro avviene attorno ad un valore me<strong>di</strong>o della rotazione pari a zero. Viceversa, per valori<br />
della velocità me<strong>di</strong>a maggiori del valore critico, la configurazione statica a rotazione nulla è<br />
instabile e nulla può <strong>di</strong>rsi, con l’uso <strong>di</strong> una teoria linearizzata, circa il post-critico. Se, al<br />
contrario, per α = 0 risulta CM ≠ 0 si è in presenza <strong>di</strong> una instabilità progressiva, con un angolo<br />
<strong>di</strong> rotazione me<strong>di</strong>a crescente in maniera più che lineare al crescere della velocità me<strong>di</strong>a. In tale<br />
secondo caso il valore della velocità me<strong>di</strong>a che porta all’annullarsi del determinante della<br />
matrice <strong>di</strong> rigidezza rappresenta un maggiorante per il valore limite della velocità me<strong>di</strong>a, ossia<br />
per quel valore della velocità per il quale si ha l’inizio <strong>di</strong> un ramo instabile della curva ϑ−U .<br />
Nel campo <strong>di</strong> valori della velocità me<strong>di</strong>a in cui il moto risulta stabile, ossia per valori della<br />
velocità me<strong>di</strong>a alquanto inferiori alle velocità critiche <strong>di</strong> galloping e <strong>di</strong> <strong>di</strong>vergenza torsionale,<br />
l’equazione linearizzata del moto (2.16) può essere utilizzata per calcolare la risposta<br />
strutturale.<br />
4. <strong>Analisi</strong> della risposta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità<br />
L’integrazione della (2.16) può essere effettuata sia nel dominio del tempo che nel dominio<br />
delle frequenze. In entrambi i casi i termini della forzante vanno caratterizzati in via statistica,<br />
in base alle conoscenze che si hanno circa la struttura della turbolenza del flusso. La soluzione<br />
nel dominio del tempo viene perseguita me<strong>di</strong>ante la generazione <strong>di</strong> storie temporali delle<br />
componenti <strong>di</strong> turbolenza che rispettino i parametri statistici e <strong>di</strong> correlazione temporale fissati;<br />
l’equazione (2.16) viene poi integrata con l’introduzione delle forzanti che risultano dalle<br />
storie temporali generate, ottenendo per ciascuna integrazione una storia temporale della<br />
risposta. Da queste ultime è infine possibile caratterizzare la risposta in termini probabilistici e<br />
<strong>di</strong> contenuto armonico. Nel prosieguo verrà, invece, seguita la seconda via, ossia quella della<br />
integrazione nel dominio delle frequenze.<br />
L’ipotesi che l’aliquota della forzante dovuta alla turbolenza sia lineare nelle componenti <strong>di</strong><br />
questa, consente <strong>di</strong> far <strong>di</strong>scendere dalla normalità della funzione <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> probabilità delle<br />
componenti <strong>di</strong> turbolenza la normalità della forzante corrispondete.<br />
Come mostrato in [Vickery e Clark 1972], nella ipotesi <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà della teoria quasistatica,<br />
dalla normalità delle componenti <strong>di</strong> turbolenza <strong>di</strong>scende la normalità dello spettro della<br />
forzante dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici. La linearità delle equazioni del moto comporta, inoltre,<br />
che dalla normalità della forzante <strong>di</strong>scenda la normalità della risposta, che sarebbe quin<strong>di</strong><br />
completamente definita in termini probabilistici, nel caso <strong>di</strong> turbolenza gaussiana 4 , quando <strong>di</strong><br />
questa siano noti il vettore dei valori me<strong>di</strong> della risposta e la matrice <strong>di</strong> covarianza.<br />
4 Si noti che affinché ciò sia possibile devono essere gaussiane tutte le aliquote che compongono la<br />
forzante; per quanto detto risulta gaussiana l’aliquota dovuta alla turbolenza, mentre quella dovuta al<br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici presenta spettro <strong>di</strong> potenza gaussiano, ma nulla è stato detto circa la sua funzione <strong>di</strong><br />
densità <strong>di</strong> probabilità. Nel caso <strong>di</strong> un flusso laminare, ad esempio, per il quale si ipotizza che le forze
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 31<br />
La parte me<strong>di</strong>a della risposta viene calcolata dalla (2.16), in cui si introduca la sola parte<br />
me<strong>di</strong>a della forzante. Risulta:<br />
* [ ]<br />
−1<br />
0 0 0<br />
s = K F<br />
La matrice <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della risposta [ Sss f<br />
0 0 ]<br />
dalla matrice <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della forzante [ SFF( f )<br />
0 0 ] :<br />
* *<br />
[ Sss( f ) ] = [ H f ] [ SFFf ] [ H f<br />
0 0 0( ) ( )<br />
0 0 0(<br />
) ]<br />
(2.19)<br />
( ) viene calcolata a partire<br />
T<br />
(2.20)<br />
*<br />
ove con [ H0 ( f ) ] si è in<strong>di</strong>cata la matrice <strong>di</strong> risposta in frequenza del sistema in presenza <strong>di</strong><br />
vento.<br />
Dalla (2.20) è poi possibile ottenere la matrice <strong>di</strong> covarianza della risposta:<br />
[ cov s0] = [ S ( )<br />
0 0 0 ]<br />
∞<br />
∫ ss f df (2.21)<br />
L’espressione della matrice <strong>di</strong> risposta in frequenza viene ottenuta effettuando la<br />
trasformazione <strong>di</strong> Fourier della (2.16):<br />
* 2<br />
* *<br />
[ H0( f ) ] = { -( 2πf ) [ M0] + i2πf[ C0] + [ K0]<br />
}<br />
−1<br />
(2.22)<br />
La matrice <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della forzante viene ricavata dalla (2.12) ed<br />
espressa, nell’ipotesi in cui siano scorrelate le forze dovute al <strong>di</strong>stacco dei vortici da quelle<br />
dovute alla turbolenza, e tra loro le componenti <strong>di</strong> turbolenza, quale somma <strong>di</strong> tre aliquote:<br />
u<br />
v<br />
s<br />
[ SFF( f ) ] [ SFF( f ) ] [ SFF( f ) ] [ SFF(<br />
f )<br />
0 0 0 0 0 0 0 0 ]<br />
= + + (2.23)<br />
le prime due rappresentanti il contributo delle due componenti della turbolenza u′ e v′ e la terza<br />
il contributo del <strong>di</strong>stacco dei vortici.<br />
Le aliquote dovute alla turbolenza possono essere calcolate <strong>di</strong>rettamente dalla (2.12), ed<br />
assumono le espressioni:<br />
indotte dal <strong>di</strong>stacco dei vortici abbiano andamento sinusoidale, la funzione <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> probabilità è ben<br />
lontana dall’essere gaussiana. All’aumentare dell’intensità della turbolenza, tuttavia, si può assumere che<br />
questa si avvicini ad una forma <strong>di</strong> tipo gaussiano.
32<br />
u [ SFF<br />
f ] = ( ρUb)<br />
0 0<br />
v [ SFF(<br />
)<br />
0 0 ]<br />
Capitolo II<br />
( )<br />
⎡ 2<br />
CD ⎢<br />
2 ⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
sym<br />
CDCL 2<br />
CL bCDC ⎤<br />
M<br />
⎥<br />
⎥<br />
bCLCM⎥Suu( f )<br />
⎥<br />
2<br />
bC<br />
⎥<br />
M ⎦<br />
f<br />
2<br />
( C<br />
'<br />
D CL) 2<br />
1<br />
= Ub<br />
2<br />
sym<br />
( C<br />
'<br />
D CL)( CD C<br />
'<br />
L) 2<br />
( CD C<br />
'<br />
L) b( C<br />
'<br />
D CL) C<br />
'<br />
M<br />
b( CD C<br />
'<br />
L) C<br />
'<br />
M Svv( f )<br />
2 '2<br />
b CM<br />
⎛<br />
⎡<br />
⎢ −<br />
⎢<br />
⎞<br />
⎜ ρ ⎟<br />
⎢<br />
⎝ ⎠ ⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
− +<br />
+<br />
(2.24)<br />
⎤<br />
− ⎥<br />
⎥<br />
+ ⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦⎥<br />
Le forze dovute al <strong>di</strong>stacco dei vortici sono state espresse me<strong>di</strong>ante la (2.14) che risulta,<br />
tuttavia, una relazione puramente formale in quanto non fornisce nessuna informazione circa<br />
l’andamento delle forze dovute al <strong>di</strong>stacco.<br />
Seguendo l’approccio <strong>di</strong> [Vickery e Clark 1972] è possibile vedere come le forze dovute al<br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici che agiscono in un generico istante su un cilindro fisso posto in un flusso<br />
turbolento uni<strong>di</strong>rezionale possano essere considerate, in regime quasistatico, uguali a quelle<br />
che si avrebbero in regime laminare con velocità pari alla velocità istantanea del flusso<br />
turbolento. In tale caso una funzione <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> probabilità gaussiana della turbolenza<br />
comporterebbe una funzione <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della forza anch’essa gaussiana.<br />
Nel caso in cui sia presente anche una componente trasversale <strong>di</strong> turbolenza ed il cilindro sia in<br />
movimento, ciò non è più a rigore vero. In questo ultimo caso, infatti, dovrebbe essere la<br />
velocità relativa tra fluido e cilindro ad avere funzione <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> probabilità gaussiana, e<br />
sarebbe inoltre necessario fare l’ipotesi che gli angoli <strong>di</strong> attacco istantanei siano piccoli.<br />
Per via sperimentale è però possibile mostrare come, anche nel caso più completo in cui<br />
siano presenti due componenti <strong>di</strong> turbolenza ed in cui il cilindro sia in movimento, una<br />
espressione <strong>di</strong> tipo gaussiano ben descrive gli spettri <strong>di</strong> potenza delle forze indotte dal <strong>di</strong>stacco.<br />
A parziale prova <strong>di</strong> quanto asserito, in Figura 2.2 viene mostrato la funzione <strong>di</strong> densità<br />
spettrale <strong>di</strong> potenza del coefficiente <strong>di</strong> portanza relativo ad un cilindro rigido a sezione<br />
quadrata posto fisso in un flusso avente in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> turbolenza longitu<strong>di</strong>nale e trasversale<br />
rispettivamente pari a 0.10 e 0.08. Il picco dello spettro, che rappresenta l’aliquota della<br />
portanza dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici, viene ben descritto da una espressione <strong>di</strong> tipo<br />
gaussiano.<br />
Trascurando le forze nella <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del flusso, in quanto <strong>di</strong> entità notevolmente<br />
inferiore a quelle <strong>di</strong> portanza ed ai momenti, la matrice <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza delle<br />
forze indotte dal <strong>di</strong>stacco può essere scritta con espressione analoga a quella usata nelle (2.24):
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 33<br />
0.06<br />
0.05<br />
0.04<br />
0.03<br />
0.02<br />
0.01<br />
S ( f)<br />
CC<br />
L L<br />
0.00<br />
0.0 0.5 1.0 1.5 f / fs 2.0<br />
Figura 2.2 - Spettro del coefficiente delle forze <strong>di</strong> portanza su un cilindro a<br />
sezione quadrata<br />
s [ SFF 0 0 ]<br />
0 0 0<br />
2<br />
1 2<br />
s<br />
s<br />
( f ) = U b 0 SCC ( f ) SCC ( f )<br />
L L L M<br />
2<br />
s<br />
s<br />
0 SCC ( f ) SC C ( f )<br />
L M M M<br />
⎛<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎞<br />
⎜ ρ ⎟ ⎢<br />
⎥<br />
(2.25)<br />
⎝ ⎠ ⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
ove si sono introdotti gli spettri dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici relativi al <strong>di</strong>stacco del vortici,<br />
introdotti nella (2.14).<br />
Nella (2.25) gli spettri mutui vengono <strong>di</strong> solito trascurati, mentre per gli spettri propri, in<br />
virtù delle considerazioni fatte in precedente, si hanno espressioni del tipo:<br />
( )<br />
S f<br />
C C<br />
L L<br />
CL<br />
f f<br />
Bf<br />
B<br />
s<br />
= −<br />
s<br />
− ⎡<br />
~ ⎧⎪<br />
1<br />
exp⎨<br />
⎢<br />
π ⎩⎪ ⎣<br />
2 2<br />
s ⎤<br />
⎫⎪<br />
⎥ ⎬<br />
⎦ ⎭⎪<br />
(2.26)<br />
ove con B si è in<strong>di</strong>cata una misura dell’ampiezza della banda dello spettro, legata all’intensità<br />
della turbolenza.<br />
Per cilindri a sezione circolare Vickery e Clark suggeriscono per B un valore pari a 2<br />
volte l’intensità della componente longitu<strong>di</strong>nale della turbolenza, mentre per cilindri a sezione<br />
quadrata, posti con una faccia parallela al flusso me<strong>di</strong>o, lo scrivente ha in<strong>di</strong>viduato un valore <strong>di</strong><br />
B pari proprio all’intensità <strong>di</strong> questa.
34<br />
5. Equazioni non lineari del moto<br />
Capitolo II<br />
Nel paragrafo precedente è stata introdotta l’equazione linearizzata del moto per un cilindro<br />
rigido posto in un flusso turbolento. L’equazione può essere utilizzata per determinare le<br />
con<strong>di</strong>zioni critiche <strong>di</strong> galloping e <strong>di</strong>vergenza torsionale e, nel caso <strong>di</strong> moto stabile, utilizzata<br />
per il calcolo, per via probabilistica, della risposta.<br />
I risultati che così si ottengono sono subor<strong>di</strong>nati alle quattro ipotesi, che sono state<br />
necessarie per la deduzione dell’equazione linearizzata del moto, e cioè:<br />
• Contenuto energetico della turbolenza concentrato a frequenze inferiori a quella <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici<br />
• Moto del cilindro con componenti a frequenze inferiori a quella <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco<br />
• Piccola turbolenza<br />
• Piccole velocità e piccoli spostamenti<br />
Le prime due ipotesi sono quelle che consentono un approccio <strong>di</strong> tipo quasistatico, che<br />
consentono cioè l’uso della (2.6) per calcolare il valore istantaneo della forzante. Le seconde<br />
due ipotesi consentono <strong>di</strong> pervenire ad espressioni lineari (nelle componenti <strong>di</strong> turbolenza) per<br />
la forzante e lineari (nello spostamento e nella velocità) per la rigidezza e lo smorzamento<br />
aeroelastici. Ne risulta un’equazione del moto lineare, con termine forzante lineare nelle<br />
componenti <strong>di</strong> turbolenza.<br />
Qualora le componenti <strong>di</strong> turbolenza siano non piccole ma le altre ipotesi ancora<br />
sod<strong>di</strong>sfatte, pur rimanendo lineare il primo membro dell’equazione del moto, la forzante<br />
risulterebbe non lineare nelle componenti <strong>di</strong> turbolenza. In tale evenienza, pur rimanendo<br />
possibile una indagine sulle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità del moto con i meto<strong>di</strong> esposti, sarebbe<br />
impossibile la soluzione dell’equazione del moto me<strong>di</strong>ante il passaggio <strong>di</strong>retto dalle matrici <strong>di</strong><br />
densità spettrale <strong>di</strong> potenza delle componenti <strong>di</strong> turbolenza e della forza indotta dal <strong>di</strong>stacco a<br />
quelle della risposta strutturale, rendendosi così necessaria una analisi nel dominio del tempo.<br />
Se invece la turbolenza, malgrado piccola, ha energia a frequenze prossime a quella <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stacco, risulta impossibile separare i termini della forzante dovuti alla turbolenza da quelli<br />
dovuti al <strong>di</strong>stacco dei vortici, ossia fare ricorso ad una teoria quasistatica. L’analisi può ancora<br />
essere condotta per via probabilistica nel dominio delle frequenze, ma non è più possibile<br />
ricavare gli spettri della forzante da quelli della turbolenza e da quelli semiempirici delle forze<br />
dovute al <strong>di</strong>stacco, ma è necessario <strong>di</strong>sporre degli spettri delle forze totali agenti sul cilindro.<br />
Se gli spostamenti o le velocità del cilindro sono non piccoli, risulta non lineare<br />
l’equazione del moto, rendendo anche in questo caso necessaria una analisi nel dominio del<br />
tempo, me<strong>di</strong>ante integrazione al passo della equazione del moto. Si pone, in questo caso, il<br />
problema della caratterizzazione della forzante nel dominio del tempo.<br />
Se, infine, il moto del cilindro avviene a frequenze prossime a quella <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici,<br />
ne risulta che le matrici <strong>di</strong> smorzamento e <strong>di</strong> rigidezza contenenti i termini aeroelastici sono<br />
non costanti, ma <strong>di</strong>pendenti, nel caso in cui il moto sia armonico, dalla frequenza <strong>di</strong><br />
oscillazione.
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 35<br />
6. Equazioni <strong>di</strong>saccoppiate del moto<br />
Nei precedenti paragrafi si sono trattate le equazioni del moto <strong>di</strong> un sistema a tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
libertà nel caso, del tutto generale, in cui queste siano tra <strong>di</strong> loro accoppiate. Esistono, tuttavia,<br />
casi in cui il sistema sia dotato <strong>di</strong> un solo grado <strong>di</strong> libertà, oppure sussistano con<strong>di</strong>zioni che<br />
rendono le equazioni del moto del sistema a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>di</strong>saccoppiabili. In tali casi la<br />
soluzione del problema, intesa quale ricerca delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità e stima della risposta<br />
in con<strong>di</strong>zioni stabili, risulta alquanto più agevole.<br />
L’esistenza <strong>di</strong> un solo grado <strong>di</strong> libertà, e la coincidenza <strong>di</strong> questo con una delle componenti<br />
<strong>di</strong> s, <strong>di</strong>pende esclusivamente dalle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> vincolo del cilindro. Viceversa la<br />
<strong>di</strong>saccoppiabilità delle equazioni del moto, nel caso in cui siano presenti più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, è<br />
legata non solo alle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> vincolo, ma anche alla geometria della sezione trasversale del<br />
cilindro.<br />
Affinché siano <strong>di</strong>saccoppiabili le equazioni del moto devono essere <strong>di</strong>agonali le matrici <strong>di</strong><br />
massa, smorzamento e rigidezza che compaiono a primo membro della (2.16). Affinché sia<br />
<strong>di</strong>agonale la matrice delle masse, essendo questa priva <strong>di</strong> termini <strong>di</strong> natura aeroelastica, è<br />
sufficiente che il cilindro sia vincolato nel baricentro; ciò garantisce che una accelerazione in<br />
uno dei tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà non provochi forze <strong>di</strong> inerzia negli altri due. Affinché siano<br />
<strong>di</strong>agonali le matrici <strong>di</strong> smorzamento e <strong>di</strong> rigidezza, e che ciò si verifichi per qualsiasi valore<br />
della velocità me<strong>di</strong>a del vento, devono essere entrambe <strong>di</strong>agonali le corrispondenti matrici <strong>di</strong><br />
natura strutturale e aeroelastica <strong>di</strong> cui sono somma.<br />
Matrici <strong>di</strong> smorzamento e <strong>di</strong> rigidezza strutturali <strong>di</strong>agonali si ottengono nel caso in cui<br />
siano nulli i lavori mutui delle forze esplicate dai vincoli elastici dagli elementi <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione<br />
viscosa.<br />
In definitiva, affinché sia possibile <strong>di</strong>saccoppiare le equazioni del moto, deve essere:<br />
⎡m<br />
⎤<br />
⎡cD<br />
⎤<br />
⎡k<br />
=<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢ L ⎥<br />
=<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
I ⎦⎥<br />
⎣<br />
⎢ c ⎦<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎢<br />
[ M] m<br />
[ C] c<br />
[ K]<br />
D<br />
k<br />
L<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
k ⎦<br />
⎥<br />
ϑ ϑ<br />
(2.27)<br />
ove con m e I si sono in<strong>di</strong>cati rispettivamente la massa strutturale e il suo momento centrale<br />
d’inerzia, per unità <strong>di</strong> lunghezza, con c D , c L e c ϑ rispettivamente gli smorzamenti strutturali,<br />
per unità <strong>di</strong> lunghezza, relativi alle traslazioni lungo x 0 ed y 0 e alla rotazione attorno a z, e con<br />
k D , k L e k ϑ le rigidezze strutturali, per unità <strong>di</strong> lunghezza, relative alle traslazioni lungo x 0 ed y 0<br />
e alla rotazione attorno a z.<br />
Le con<strong>di</strong>zioni da imporre alla sezione trasversale del cilindro affinché siano <strong>di</strong>agonali le<br />
matrici <strong>di</strong> smorzamento e rigidezza aeroelastiche possono, invece, essere dedotte dalle (2.18),<br />
in base ai gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà attivi.<br />
In questo modo la (2.16) si trasforma in una o più equazioni aventi ciascuna quale<br />
incognita una delle tre componenti dello spostamento del cilindro:
36<br />
* *<br />
[ ] i [ ] i [ ]<br />
t s<br />
0<br />
ii<br />
0 0<br />
ii<br />
0 0<br />
ii<br />
0i 0i 0i 0i<br />
Capitolo II<br />
M s&( t) + C s& () t + K s () t = F + F () t + F () t<br />
(2.28)<br />
essendosi in<strong>di</strong>cata con s 0i la generica componente <strong>di</strong> spostamento nel riferimento x 0 -y 0 , con<br />
* *<br />
[ M0] , [ C0] e [ K0]<br />
ii ii ii<br />
t s<br />
0i 0i 0i<br />
* *<br />
gli elementi delle <strong>di</strong>agonali delle matrici [ M0] , [ C0] e [ K0]<br />
, e con<br />
F , F e F le forze duali <strong>di</strong> s0i .<br />
Per quanto concerne la soluzione della (2.28) valgono le stesse considerazioni fatte nel<br />
paragrafo precedente circa la soluzione delle equazioni accoppiate. In particolare le (2.19),<br />
(2.20) e (2.21) si trasformano nelle seguenti:<br />
* [ ]<br />
0i0 −1<br />
ii<br />
0i<br />
s = K F<br />
(2.29)<br />
S ( f ) = H ( f ) S ( f )<br />
(2.30)<br />
s s<br />
*<br />
0<br />
ii<br />
FF<br />
0i 0i 0 0<br />
2<br />
~ 2<br />
s0i = Ss s ( f ) df<br />
∞<br />
∫ (2.31)<br />
0 0i 0i<br />
*<br />
dove con H ( f ) si è in<strong>di</strong>cato il modulo della funzione <strong>di</strong> risposta in frequenza relativa alla i-<br />
0<br />
ii<br />
ma componente <strong>di</strong> spostamento, definita dalla relazione:<br />
*<br />
2 1 1<br />
H0( f ) =<br />
ii<br />
2<br />
2<br />
k 2<br />
i ⎛ f ⎞<br />
⎜<br />
⎜ϕi−⎟4<br />
2<br />
⎝ f<br />
⎟ + ξ + ξ<br />
⎠<br />
i<br />
( )<br />
si ai<br />
2<br />
f<br />
f<br />
2<br />
2<br />
i<br />
(2.32)<br />
dove, con riferimento al grado <strong>di</strong> libertà i-mo, si è in<strong>di</strong>cato con k i la rigidezza del sistema in<br />
assenza <strong>di</strong> vento, ossia un elemento della terza (2.27); con f i la frequenza propria del sistema<br />
non smorzato in assenza <strong>di</strong> vento; con ξ si e ξ ai i rapporti <strong>di</strong> smorzamento strutturale ed<br />
aero<strong>di</strong>namico e con ϕ i infine il rapporto tra le frequenza del sistema non smorzato in presenza<br />
ed in assenza <strong>di</strong> vento.<br />
Lo spettro della forzante che compare nella (2.30) è anche qui somma dei due termini<br />
dovuti alla turbolenza e a quello dovuto al <strong>di</strong>stacco dei vortici. Questi spettri risultano essere<br />
gli elementi delle <strong>di</strong>agonali delle matrici (2.24) e (2.25).<br />
In aggiunta alla conoscenza della <strong>di</strong>stribuzione dei valori assunti dallo spostamento s 0i ,<br />
risulta anche utile conoscere come si <strong>di</strong>stribuiscono i massimi <strong>di</strong> tale spostamento in un dato<br />
periodo <strong>di</strong> tempo T. In [Davenport 1961b] viene mostrato come al crescere del periodo la
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 37<br />
<strong>di</strong>stribuzione dei massimi veda crescere il suo valor me<strong>di</strong>o e ridursi la varianza. Se come<br />
periodo T viene preso proprio il periodo sul quale è stato calcolato il valore me<strong>di</strong>o della<br />
velocità del vento (usualmente 10 minuti), la varianza della <strong>di</strong>stribuzione dei massimi è già<br />
sufficientemente piccola da far si che il valor me<strong>di</strong>o sia da solo significativo nella descrizione<br />
probabilistica dei massimi <strong>di</strong> s 0i .<br />
Al valore me<strong>di</strong>o dei massimi <strong>di</strong> s 0i viene dato il nome <strong>di</strong> valore <strong>di</strong> picco <strong>di</strong> s 0i , e per esso è<br />
valida la seguente espressione:<br />
ove con gs0i s$ = s + g<br />
~<br />
s<br />
(2.33)<br />
0i 0i s 0i<br />
si è in<strong>di</strong>cato il fattore <strong>di</strong> picco, per il quale è valida la seguente espressione:<br />
g ≅ 2ln(<br />
ν T)<br />
+<br />
s0i s0i<br />
0i<br />
05772 .<br />
2ln(<br />
ν T)<br />
essendosi in<strong>di</strong>cata con νs la frequenza <strong>di</strong> attraversamento <strong>di</strong> s<br />
0i<br />
0i , ossia la quantità:<br />
νs0i 7. Applicazione: il cilindro a sezione quadrata<br />
=<br />
∞<br />
0i<br />
s0i<br />
(2.34)<br />
2<br />
∫ f Ss is( f ) df<br />
0 0 0i<br />
~ (2.35)<br />
s<br />
A titolo esemplificativo viene <strong>di</strong> seguito ripotato lo stu<strong>di</strong>o della risposta <strong>di</strong> un cilindro<br />
rigido a sezione quadrata posto in un flusso turbolento con una faccia ortogonale alla <strong>di</strong>rezione<br />
del flusso me<strong>di</strong>o (Figura 2.3). La <strong>di</strong>sposizione dei vincoli è tale che le matrici <strong>di</strong> massa,<br />
smorzamento e rigidezza strutturali risultino <strong>di</strong>agonali.<br />
Per la simmetria della sezione rispetto all’asse x, risulta:<br />
Inoltre per una sezione compatta è:<br />
C = C = C<br />
'<br />
= 0<br />
L M D<br />
R 0<br />
=<br />
0
38<br />
Capitolo II<br />
Si consideri il cilindro immerso in un flusso turbolento, con intensità della turbolenza<br />
longitu<strong>di</strong>nale e trasversale rispettivamente pari a 0.10 e 0.08. I coefficienti aero<strong>di</strong>namici non<br />
nulli assumono [<strong>Ricciardelli</strong> 1994a] i seguenti valori:<br />
'<br />
'<br />
C = 179 . C = − 417 . C = 064 .<br />
D L M<br />
Le matrici <strong>di</strong> smorzamento e rigidezza aeroelastica (2.18) <strong>di</strong>ventano quin<strong>di</strong>:<br />
358 0 0<br />
0 0 0<br />
2<br />
= Ub0<br />
0 417<br />
2<br />
0 064b0 0 0 064b<br />
1<br />
⎡ .<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎤<br />
ρ ρ<br />
⎢<br />
− .<br />
⎥<br />
2 ⎢<br />
⎥<br />
⎣⎢<br />
. ⎦⎥<br />
⎣⎢<br />
. ⎦⎥<br />
a a<br />
[ C0] = Ub 0 238 0 [ K0]<br />
1 ⎢<br />
⎢<br />
− .<br />
⎥<br />
⎥<br />
Il moto nella <strong>di</strong>rezione del flusso me<strong>di</strong>o è <strong>di</strong>saccoppiato da quelli nella <strong>di</strong>rezione<br />
trasversale e <strong>di</strong> rotazione.<br />
La presenza <strong>di</strong> smorzamento aeroelastico positivo fa sì che nella <strong>di</strong>rezione x 0 il moto risulta<br />
incon<strong>di</strong>zionatamente stabile. Viceversa il moto <strong>di</strong> traslazione lungo y 0 e <strong>di</strong> rotazione attorno a z<br />
risulta stabile solo per valori della velocità me<strong>di</strong>a inferiori al valore critico <strong>di</strong> galloping,<br />
ricavato imponendo l’annullarsi dello smorzamento totale:<br />
U<br />
cg<br />
= 819 .<br />
ξsLm<br />
b<br />
ove con f L e ξ sL si è sono in<strong>di</strong>cati rispettivamente la frequenza propria non smorzata in assenza<br />
<strong>di</strong> vento ed il rapporto <strong>di</strong> smorzamento strutturale relativi al moto nella <strong>di</strong>rezione y 0 e dove si è<br />
considerato il valore della densità dell’aria pari a 1.29 Kg/m 3 .<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista della <strong>di</strong>vergenza torsionale, invece, la sezione risulta stabile per qualsiasi<br />
Figura 2.3 - Cilindro <strong>di</strong> lunghezza infinita a sezione quadrata
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 39<br />
valore della velocità me<strong>di</strong>a del vento.<br />
Dalle (2.19) e (2.4) è possibile calcolare il valore me<strong>di</strong>o della risposta:<br />
x<br />
0<br />
2<br />
Ub<br />
= 116 . y0<br />
= 0<br />
ϑ = 0<br />
k<br />
D<br />
dove con kD si è in<strong>di</strong>cata la rigidezza nella <strong>di</strong>rezione x0 .<br />
Per il calcolo della aliquota fluttuante della risposta è necessario <strong>di</strong>sporre <strong>di</strong> una<br />
espressione degli spettri <strong>di</strong> potenza della turbolenza. Per quanto concerne la componente<br />
longitu<strong>di</strong>nale si utilizza l’espressione (1.4), con u* . u<br />
~<br />
= 04 , mentre per la componente della<br />
turbolenza trasversale al cilindro si usa lo spettro, fornito dalla (1.6), valido per la componente<br />
verticale della turbolenza atmosferica. 5 Nei calcoli si farà riferimento ad una quota z = 10 m.<br />
Alla risposta fluttuante nella <strong>di</strong>rezione x0 contribuisce solo la componente longitu<strong>di</strong>nale<br />
della turbolenza, mentre le componenti nella <strong>di</strong>rezione y0 e <strong>di</strong> rotazione attorno a z della<br />
risposta <strong>di</strong>pendono dalla componente trasversale della turbolenza e dall’azione dovuta al<br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici.<br />
La funzione <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della risposta nella <strong>di</strong>rezione x0 viene calcolata<br />
me<strong>di</strong>ante le (2.30), (2.32) e (2.24), e da questa, me<strong>di</strong>ante la (2.31), viene calcolato lo scarto<br />
quadratico me<strong>di</strong>o della risposta. Per quanto concerne la risposta <strong>di</strong> traslazione lungo y0 e <strong>di</strong><br />
rotazione, trascurando quest’ultima ed i termini incrociati, si calcola solo lo spettro <strong>di</strong> potenza<br />
della risposta nella <strong>di</strong>rezione y0 .<br />
L’integrazione della (2.31) viene effettuata per via numerica, con i seguenti dati <strong>di</strong><br />
ingresso:<br />
b= 1.00 m m=<br />
100 Kg / m<br />
3 -1<br />
D D sD<br />
k = 101 . ⋅10Kg⋅ m / m f = 16 . Hz ξ = 0. 02<br />
3 -1<br />
L L sL<br />
k = 57 . ⋅10Kg⋅ m / m f = 12 . Hz ξ = 006 .<br />
La velocità critica <strong>di</strong> galloping risulta allora pari a:<br />
Ucg = 24. 6 m/s<br />
Vengono presi in considerazione due valori della velocità me<strong>di</strong>a del vento, rispettivamente<br />
pari a 20 m/s e 40 m/s. Le frequenze centrali <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici nei due casi sono<br />
rispettivamente pari a 2.32 Hz e 4.64 Hz, il che consente l’uso della teoria quasistatica.<br />
Lo spostamento me<strong>di</strong>o nella <strong>di</strong>rezione x 0 risulta essere nei due casi rispettivamente:<br />
5 Ciò equivale ad immaginare che il cilindro sia <strong>di</strong>sposto orizzontalmente in un flusso con caratteristiche<br />
puntuali simili a quelle dello strato limite atmosferico, ma perfettamente coerente.
40<br />
5E+4<br />
4E+4<br />
3E+4<br />
2E+4<br />
1E+4<br />
0E+0<br />
6E-6<br />
5E-6<br />
4E-6<br />
3E-6<br />
2E-6<br />
1E-6<br />
0E+0<br />
2.0E-3<br />
1.5E-3<br />
1.0E-3<br />
5.0E-4<br />
0.0E+0<br />
U = 20 m/s U = 40 m/s<br />
0 1 2 3 4 5 Hz 6<br />
x = 46⋅ 10 m x = 184⋅10 m<br />
0<br />
−3−3 0<br />
Capitolo II<br />
La parte fluttuante della risposta nelle due <strong>di</strong>rezioni x 0 e y 0 è, nei due casi, rispettivamente:<br />
~<br />
−3 x .<br />
~<br />
−3<br />
= 10 6⋅ 10 m x = 412 . ⋅10m<br />
0<br />
~<br />
−3 y .<br />
~<br />
−3<br />
= 16 9 ⋅ 10 m y = 102⋅10 m<br />
0<br />
SLL ( f )<br />
*<br />
H ( f )<br />
0 1 2 3 4 5 Hz 6<br />
0<br />
2<br />
S ( f)<br />
yy 0 0<br />
0 1 2 3 4 5 Hz 6<br />
In Figura 2.4 sono riportati gli spettri <strong>di</strong> potenza della risposta nella <strong>di</strong>rezione y 0 . I primi<br />
due <strong>di</strong>agrammi rappresentano lo spettro <strong>di</strong> potenza delle forze <strong>di</strong> portanza; in entrambi è<br />
possibile <strong>di</strong>stinguere i due ben separati contributi della turbolenza e del <strong>di</strong>stacco dei vortici, il<br />
5E+5<br />
4E+5<br />
3E+5<br />
2E+5<br />
1E+5<br />
0E+0<br />
6E-5<br />
5E-5<br />
4E-5<br />
3E-5<br />
2E-5<br />
1E-5<br />
0E+0<br />
2.0E-1<br />
1.5E-1<br />
1.0E-1<br />
5.0E-2<br />
0.0E+0<br />
0 1 2 3 4 5 Hz 6<br />
0<br />
0<br />
SLL ( f )<br />
*<br />
H ( f )<br />
0 1 2 3 4 5 Hz 6<br />
0 1 2 3 4 5 Hz 6<br />
0<br />
2<br />
S ( f)<br />
Figura 2.4 - Risposta del cilindro a sezione quadrata nella <strong>di</strong>rezione trasversale al<br />
flusso me<strong>di</strong>o<br />
yy 0 0
<strong>Analisi</strong> della risposta dei cilindri rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinita all’azione del vento 41<br />
primo <strong>di</strong> piccola entità e concentrato alle basse frequenza ed il secondo <strong>di</strong> notevole entità e<br />
concentrato a frequenze più elevate. E’ inoltre possibile osservare come al crescere della<br />
velocità i valori spettrali aumentino e come il picco dovuto al <strong>di</strong>stacco dei vortici trasli, nel<br />
rispetto della relazione <strong>di</strong> Strouhal, verso le alte frequenze e la sua banda aumenti.<br />
Al <strong>di</strong> sotto degli spettri della forzante è riportato il quadrato del modulo della funzione <strong>di</strong><br />
trasferimento in presenza <strong>di</strong> vento. Al crescere della velocità del vento aumenta lo<br />
smorzamento aeroelastico negativo e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>minuisce lo smorzamento totale; ne risulta un<br />
aumento dei valori <strong>di</strong> picco della funzione <strong>di</strong> trasferimento e una riduzione della banda <strong>di</strong><br />
questo.<br />
Gli ultimi due <strong>di</strong>agrammi rappresentano le funzioni <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della<br />
risposta; per una velocità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> 20 m/s si notano, ben <strong>di</strong>stinti, i tre <strong>di</strong>versi contributi dovuti,<br />
rispettivamente all’azione quasistatica della turbolenza alle basse frequenze, alla risonanza del<br />
sistema ed al <strong>di</strong>stacco dei vortici. Al crescere della velocità i contributi dovuti alla turbolenza<br />
(parte quasistatica e parte risonante) aumentano la loro entità, mentre scompare del tutto<br />
l’effetto dovuto al <strong>di</strong>stacco dei vortici; questo secondo fenomeno è dovuto al fatto che l’azione<br />
indotta dal <strong>di</strong>stacco ha contenuto energetico a frequenze alle quali la funzione <strong>di</strong> trasferimento<br />
presenta valori bassissimi.<br />
La risposta <strong>di</strong> picco viene calcolata me<strong>di</strong>ante le (2.33), (2.34) e (2.35), con T=3600 s; per le<br />
due velocità me<strong>di</strong>e prese in considerazione si ottiene rispettivamente:<br />
−3−3 g = 4. 0 ⇒ x$ = 88. 9 ⋅ 10 m g = 3. 9 ⇒ x$<br />
= 346⋅10m x 0<br />
x<br />
−3−3 g = 4. 3 ⇒ y$ = 72. 6⋅ 10 m g = 4. 2 ⇒ y$<br />
= 432⋅10 m<br />
y 0<br />
y<br />
0<br />
0
Capitolo III<br />
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle<br />
all’azione del vento<br />
1. Premessa<br />
I risultati ottenuti nel precedente capitolo possono essere utilizzati, insieme alle nozioni<br />
sulla struttura del vento fornite nel Capitolo I, per analizzare il comportamento delle strutture<br />
<strong>di</strong> forma allungata poste nello strato limite atmosferico.<br />
L’ipotesi alla base del metodo che si va ad esporre è quella che sezione per sezione il<br />
campo <strong>di</strong> moto del vento sia piano, e che le forze aero<strong>di</strong>namiche agenti sulla generica sezione<br />
siano quelle che si misurerebbero su un cilindro <strong>di</strong> lunghezza infinita ed uguale sezione<br />
trasversale, immerso in un campo <strong>di</strong> moto uguale a quello in cui si trova la sezione in<br />
questione. Un tale approccio consente <strong>di</strong> analizzare il comportamento della struttura<br />
tri<strong>di</strong>mensionale me<strong>di</strong>ante “l’integrazione” <strong>di</strong> un comportamento bi<strong>di</strong>mensionale, trascurando,<br />
però, gli effetti dovuti al comportamento tri<strong>di</strong>mensionale del flusso alle estremità della<br />
struttura. Il proce<strong>di</strong>mento, fondandosi sui principi dell’analisi modale, riduce la struttura ed un<br />
sistema ad un numero finito <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, che viene analizzato con gli stessi criteri esposti<br />
nel precedente capitolo con riferimento al cilindro <strong>di</strong> lunghezza infinita. L’elemento <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>fferenza consiste nel non poter in questo caso considerare l’azione del vento perfettamente<br />
coerente lungo l’asse della struttura, il che comporta la necessità <strong>di</strong> utilizzare delle funzioni <strong>di</strong><br />
coerenza dell’azione.<br />
Si farà inoltre riferimento al metodo introdotto in [Davenport 1987] per le strutture dotate<br />
<strong>di</strong> sezione trasversale circolare, anche se con <strong>di</strong>ametro variabile lungo l’asse. Il metodo verrà<br />
qui esteso alle strutture con sezione trasversale <strong>di</strong>versa da quella circolare, purché compatta,<br />
doppiamente simmetrica e tale da variare omoteticamente lungo l’asse. La procedura si basa<br />
anche in questo caso sui principi dell’analisi modale, ma fa uso del concetto <strong>di</strong> linea<br />
d’influenza per il calcolo <strong>di</strong>retto della generica risposta, senza dover pertanto passare per il<br />
calcolo della risposta modale .<br />
43
44<br />
2. Equazioni linearizzate del moto in coor<strong>di</strong>nate modali<br />
2.1 Equazioni nel riferimento x 0 -y 0 -z<br />
Capitolo III<br />
Si consideri una struttura cilindrica allungata, dotata <strong>di</strong> sezione trasversale compatta e tale<br />
da variare omoteticamente lungo la struttura stessa. Si consideri inoltre la struttura dotata <strong>di</strong><br />
comportamento elastico lineare e smorzamento viscoso ed immersa in un flusso turbolento<br />
(Figura 3.1). 1 Sia poi la sezione trasversale sufficientemente piccola rispetto alle <strong>di</strong>mensioni<br />
caratteristiche della turbolenza affinché l’azione <strong>di</strong> questa possa essere considerata<br />
perfettamente coerente nell’ambito della sezione trasversale stessa. Si in<strong>di</strong>chi con z l’asse della<br />
struttura, e con x 0 ed y 0 una coppia <strong>di</strong> assi tali da formare con z una terna trirettangola<br />
destrorsa, e tali che x 0 sia <strong>di</strong>retto come il vettore velocità me<strong>di</strong>a del flusso.<br />
Il moto della struttura può essere descritto, me<strong>di</strong>ante l’uso delle coor<strong>di</strong>nate modali, come<br />
combinazione lineare dei moti nei singoli mo<strong>di</strong> propri:<br />
∞<br />
s0 = 0i 0i<br />
i=<br />
1<br />
(,) zt ∑ η () tµ () z<br />
(3.1)<br />
ove con η 0i (t) si è in<strong>di</strong>cata la i-ma coor<strong>di</strong>nata modale, e con µ 0i (z) il modo i-mo modo della<br />
struttura. Va notato che ciascun modo, così come lo spostamento totale della struttura, è<br />
descritto da un vettore a tre componenti; ciascuna componente è una funzione <strong>di</strong> z<br />
rappresentante uno dei parametri <strong>di</strong> spostamento (traslazioni lungo x 0 ed y 0 e rotazione attorno<br />
a z) della sezione a quota z.<br />
In virtù della (3.1) è possibile scrivere, nelle consuete ipotesi <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà della teoria<br />
quasistatica <strong>di</strong> piccolezza della turbolenza, delle velocità e degli spostamenti, l’equazione<br />
linearizzata del moto della struttura in coor<strong>di</strong>nate modali.<br />
Limitando la cinematica ai soli primi n mo<strong>di</strong> del sistema l’equazione del moto assume la<br />
forma:<br />
* *<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
t s<br />
M η& () t + C η& () t + K η () t = F + F () t + F () t<br />
(3.2)<br />
0 0 0 0 0 0 0n 0n 0n<br />
n n n<br />
ove il pe<strong>di</strong>ce n sta a ricordare che l’equazione è relativa ad un sistema <strong>di</strong>scretizzato e che la<br />
soluzione che si ottiene dalle (3.2) e (3.1) rappresenta la proiezione della soluzione esatta nel<br />
sottospazio generato dai primi n mo<strong>di</strong>. Nella (3.2) con η0 (t) si è in<strong>di</strong>cato il vettore delle prime<br />
n coor<strong>di</strong>nate modali e con F0n F0n F0<br />
t s<br />
, ( t) e n(<br />
t)<br />
i vettori che rappresentano le tre aliquote delle<br />
forze modali: forza me<strong>di</strong>a, forza dovuta alla turbolenza e forza dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici;<br />
1 In vista <strong>di</strong> quelli che saranno gli sviluppi del proce<strong>di</strong>mento che si espone, si fa sin d’ora esplicito<br />
riferimento ad una struttura ad estensione verticale, posta nello strato limite atmosferico. Si precisa,<br />
tuttavia, che i risultati che si conseguono nel presente capitolo sono del tutto generali, ed in particolare<br />
vali<strong>di</strong> anche per strutture ad estensione orizzontale e per con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso <strong>di</strong>verse da quelle che<br />
caratterizzano lo strato limite atmosferico.
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
Figura 3.1 - Struttura allungata ad asse verticale nello strato limite atmosferico<br />
* *<br />
con [ M0] , [ C0] [ K0]<br />
n n n<br />
e si sono in<strong>di</strong>cate le matrici modali <strong>di</strong> massa smorzamento e<br />
rigidezza, comprensive dei termini <strong>di</strong> natura aeroelastica.<br />
I termini delle matrici modali e della forzante che compaiono nella (3.2) possono essere<br />
calcolati me<strong>di</strong>ante l’uso del Principio dei Lavori Virtuali. La i-ma forza modale risulta quin<strong>di</strong><br />
essere pari al lavoro che le forze esterne compiono per lo spostamento modale i-mo. Con<br />
riferimento alle tre aliquote in cui è stata scissa la forzante si ottiene:<br />
t s<br />
l T<br />
0i ∫0<br />
0i<br />
0<br />
F = µ () z F () z dz<br />
t l T t<br />
0i∫00i0 F ()= t µ () z F (,) z t dz<br />
s l T s<br />
0i∫00i0 F ()= t µ () z F (,) z t dz<br />
ove con F (), z F (,) z t e F (,) z t si sono in<strong>di</strong>cati i valori che le tre aliquote della forzante<br />
0 0 0<br />
assumono alla generica quota z, così come ricavati nel Capitolo II, e ove con l’apice T si è<br />
in<strong>di</strong>cata l’operazione <strong>di</strong> trasposizione.<br />
Analogamente i termini delle matrici <strong>di</strong> massa e smorzamento e le aliquote aeroelastiche<br />
dei termini della matrice <strong>di</strong> rigidezza che compaiono al primo membro della (3.2) possono<br />
essere calcolati come il lavoro che le forze d’inerzia, le forze viscose e le forze aero<strong>di</strong>namiche<br />
che agiscono sulla struttura che vibra nel j-mo modo compiono per gli spostamenti del modo imo:<br />
45<br />
(3.3)
46<br />
l T<br />
[ ] ∫0<br />
[ M ]<br />
M = µ () z () z µ () z dz<br />
0 0i 0 0j<br />
ij<br />
* l T *<br />
[ ] ∫0<br />
[ C ]<br />
C = µ () z () z µ () z dz<br />
0 0i 0 0j<br />
ij<br />
a l T a<br />
[ ] ∫0<br />
i [ K ]<br />
K = µ () z () z µ () z dz<br />
0 0 0 0j<br />
ij<br />
Capitolo III<br />
*<br />
dove con [ M0() z ] e [ C0()<br />
z ] sono in<strong>di</strong>cate le matrici <strong>di</strong> massa e smorzamento, definite nel<br />
a<br />
paragrafo 2.3, contenenti i termini <strong>di</strong> natura aeroelastica, e con [ K 0 ()la z ] parte aeroelastica<br />
della matrice <strong>di</strong> rigidezza, anch’essa definita nel paragrafo 2.3; tali matrici, per strutture a<br />
sezione non costante quali quelle prese in considerazione sono delle funzioni della ascissa z.<br />
In pratica le (3.4) vengono utilizzate per il calcolo dei termini della matrice <strong>di</strong> massa e per<br />
le aliquote aeroelastiche dei termini delle matrici <strong>di</strong> smorzamento e rigidezza; viceversa le<br />
aliquote strutturali dei termini della matrice <strong>di</strong> smorzamento vengono calcolati a partire dai<br />
rapporti <strong>di</strong> smorzamento modale. Nel caso in cui lo smorzamento sia proporzionale, infatti, la<br />
matrice <strong>di</strong> smorzamento strutturale risulta <strong>di</strong>agonale, e il generico termine è dato dalla<br />
relazione:<br />
[ C0] 0if0i[ M0]<br />
ii<br />
ii<br />
(3.4)<br />
=4πξ (3.5)<br />
ove con f 0i e con ξ 0si si sono in<strong>di</strong>cati rispettivamente la i-ma frequenza propria del sistema non<br />
smorzato in assenza <strong>di</strong> vento e l’ i-mo rapporto <strong>di</strong> smorzamento modale.<br />
I termini della matrice <strong>di</strong> rigidezza possono essere calcolati come il lavoro che le forze<br />
elastiche interne presenti nella struttura che vibra nel j-mo modo compiono per la<br />
deformazione del modo i-mo:<br />
l<br />
[ ] 0 [ K ]<br />
T<br />
K0 = ∫ D µ 0i() z 0() z D µ 0j()<br />
z dz<br />
(3.6)<br />
ij<br />
ove con D si è in<strong>di</strong>cato l’operatore <strong>di</strong> deformazione, definito come:<br />
D<br />
µ 0i<br />
⎧µ<br />
''0ix<br />
() z ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
() z = ⎨µ<br />
''0iy<br />
() z ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
µ '0i<br />
() z<br />
⎪<br />
⎩ ϑ ⎭<br />
(3.7)
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
e con [ K 0() z ] la matrice delle rigidezze strutturali:<br />
[ K0() z ]<br />
⎡EI<br />
EI<br />
⎢<br />
⎢<br />
= ⎢EI<br />
EI<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎢ 0 0<br />
xx 0 0 xy 0 0<br />
xy 0 0 yy 0 0<br />
0 ⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
*<br />
GI ⎦<br />
⎥<br />
La matrice [ K 0] , essendo relativa ad un riferimento modale, risulta anch’essa <strong>di</strong>agonale<br />
n<br />
ed i suoi termini possono più agevolmente calcolati, qualora si conoscano le frequenze proprie<br />
della struttura non smorzata ed in assenza <strong>di</strong> vento, come:<br />
2.2 Equazioni nel riferimento x-y-z<br />
2<br />
[ K0] ( 2 f0 ) [ M0]<br />
ii i ii<br />
47<br />
(3.8)<br />
= π (3.9)<br />
In alternativa all’utilizzo del riferimento x 0 -y 0 -z legato alla <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del vento,<br />
risulta spesso utile riferirsi ad un sistema <strong>di</strong> assi x-y-z in cui x e y siano principali d’inerzia per<br />
la sezione trasversale. Il riferimento x-y-z, anch’esso destrorso, risulta ruotato rispetto al<br />
riferimento x 0 -y 0 -z <strong>di</strong> un angolo a attorno all’asse z.<br />
Nel nuovo riferimento i mo<strong>di</strong> della struttura possono essere sud<strong>di</strong>visi in mo<strong>di</strong> flessionali<br />
nel piano x-z, mo<strong>di</strong> flessionali nel piano y-z e mo<strong>di</strong> torsionali. Il moto della struttura può in<br />
questo caso essere espresso agevolmente me<strong>di</strong>ante le sue componenti:<br />
∞<br />
∑<br />
xzt (,) = η () tµ () z<br />
i=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
xi xi<br />
yzt (,) = η () tµ () z<br />
i=<br />
1<br />
∞<br />
∑<br />
yi yi<br />
ϑ(,) zt = η () tµ () z<br />
i=<br />
1<br />
ϑi ϑi<br />
(3.10)<br />
essendosi in<strong>di</strong>cati con µ xi(), z µ yi() z e µ ϑi<br />
() z rispettivamente i generici mo<strong>di</strong> flessionali nel<br />
piano x-z, flessionali nel piano y-z e torsionali, e con ηxi(), t ηyi () t e ηϑi () t le corrispondenti<br />
coor<strong>di</strong>nate modali.<br />
L’equazione del moto (3.2), nel riferimento x-y-z, assume l’espressione:
48<br />
* *<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
Capitolo III<br />
t s<br />
M η&( t) + C η&( t) + K η()<br />
t = F + F () t + F () t<br />
(3.11)<br />
n n n<br />
n n<br />
dove con η(t) si è in<strong>di</strong>cato il vettore delle prime n coor<strong>di</strong>nate modali:<br />
{ x1 ... xnx y1 ... yny ϑ1... ϑnϑ} η( t) = η () t η () t η () t η () t η () t η () t<br />
n<br />
T<br />
(3.12)<br />
essendo n x +n y +n ϑ =n. Le componenti delle tre aliquote della forzante nel riferimento x-y-z sono<br />
espresse dalle seguenti relazioni analoghe alle (3.3):<br />
t s<br />
l T<br />
i ∫0<br />
i<br />
F = µ () z F()<br />
z dz<br />
t<br />
i<br />
T<br />
i<br />
F ()= t µ () z F (,) z t dz<br />
s<br />
i<br />
∫<br />
∫<br />
l<br />
0<br />
l<br />
T<br />
i<br />
F ()= t µ () z F (,) z t dz<br />
0<br />
t<br />
s<br />
(3.13)<br />
I termini F(), z F (,) z t e F (,) z t che compaiono nella (3.13) rappresentano, nel riferimento<br />
x-y-z, le aliquote delle forze aero<strong>di</strong>namiche che agiscono, per unità <strong>di</strong> lunghezza, su un cilindro<br />
<strong>di</strong> lunghezza infinita. Operando il cambiamento <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate si ottiene che la forza totale<br />
istantanea nel riferimento x-y-z è data dall’espressione:<br />
⎧ Dzt (,)cos α+ Lzt (,)senα<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
F( zt ,) = ⎨−<br />
Dzt (,)sen α+ Lzt (,)cosα<br />
(3.14)<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩ Mzt (,) ⎭<br />
Sostituendo nella (3.14) le espressioni delle forze aero<strong>di</strong>namiche nel riferimento x 0 -y 0 -z<br />
fornite dalle (2.12), è possibile ricavare i termini della forzante della (3.11). L’aliquota me<strong>di</strong>a<br />
della forzante è data da:<br />
⎧ CD( α)cos α+ CL(<br />
α)senα ⎫<br />
⎧ CF<br />
( α)<br />
⎫<br />
x<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪ ⎪<br />
1 2 ⎪<br />
⎪ 1 2 ⎪ ⎪<br />
F( z) = ρU<br />
()() z b z ⎨−<br />
CD( α)sen α+ CL(<br />
α)cosα⎬= ρU<br />
()() z b z ⎨ CF<br />
( α)<br />
⎬<br />
y<br />
2 ⎪<br />
⎪ 2 ⎪ ⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
bzC () M(<br />
α)<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎩<br />
bzC () M(<br />
α)<br />
⎪<br />
⎭<br />
(3.15)
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
dove con CF ( α) e C<br />
x F ( α)<br />
si sono in<strong>di</strong>cati i primi due coefficienti aero<strong>di</strong>namici nel riferimento<br />
y<br />
x-y-z, in base alla definizione dei quali è possibile esprimere l’aliquota della forzante dovuta<br />
alla turbolenza:<br />
F t<br />
⎧<br />
CF ( ) u'( z, t) +<br />
⎛⎜<br />
C<br />
'<br />
F ( ) −CF<br />
( )<br />
⎞⎟ ⎫<br />
⎪<br />
2 α α α v'( z, t)<br />
x ⎝ x y ⎠ ⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
1 ⎪<br />
(,) zt U()() zbz CF ( ) u'( z, t) ( CF ( ) C<br />
' ⎪<br />
= ρ ⎨ 2 α + α + F ( α)<br />
) v'( z, t)<br />
⎬<br />
y x y<br />
2 ⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
bzC () M( )'(,) u zt + bzC ()<br />
'<br />
⎪<br />
⎪ 2 α M(<br />
α)<br />
v'( zt , ) ⎪<br />
⎩<br />
⎭<br />
49<br />
(3.16)<br />
Per l’aliquota della forzante dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici si fornisce una espressione<br />
analoga alla (2.14):<br />
F s<br />
F s<br />
F s<br />
M s<br />
⎧ C (,) z t ⎫<br />
x<br />
⎪ ⎪<br />
1 2 ⎪ ⎪<br />
(,) zt = ρ U ()() zbz⎨<br />
C (,) z t ⎬<br />
(3.17)<br />
y<br />
2 ⎪ ⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
bC (,) z t<br />
⎪<br />
⎭<br />
Per quanto concerne il calcolo dei termini delle matrici <strong>di</strong> massa, smorzamento e rigidezza<br />
che compaiono a primo membro della (3.11) valgono le stesse considerazioni fatte per i termini<br />
analoghi relativi alla (3.2). Si ottiene quin<strong>di</strong>, con simbologia analoga a quella usata per le (3.4)<br />
e (3.6):<br />
l T<br />
[ ] ∫0<br />
[ M ]<br />
M = µ () z () z µ () z dz<br />
ij<br />
i j<br />
* l T *<br />
[ ] ∫0<br />
[ C ]<br />
C = µ () z () z µ () z dz<br />
ij<br />
i j<br />
a l T a<br />
[ ] ∫0<br />
i [ K ]<br />
K = µ () z () z µ () z dz<br />
ij<br />
l<br />
[ ] 0 [ K ]<br />
j<br />
(3.18)<br />
T<br />
K = ∫ D µ i () z () z D µ j()<br />
z dz<br />
(3.19)<br />
ij<br />
Le aliquote strutturali delle matrici che compaiono a secondo membro delle (3.18) e (3.19)<br />
sono fornite, in virtù della particolare scelta del sistema <strong>di</strong> riferimento, dalle seguenti matrici<br />
<strong>di</strong>agonali:
50<br />
[ M() z ] ⎢ mz () ⎥ [ C() z ] ⎢ c () z ⎥ [ K()<br />
z ]<br />
Capitolo III<br />
⎡mz<br />
() ⎤ ⎡cx()<br />
z ⎤ ⎡EIxx()<br />
z<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
= = y<br />
= ⎢ EI yy()<br />
z ⎥ (3.20)<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
*<br />
⎣<br />
⎢ I() z ⎦<br />
⎥ ⎢<br />
⎣ c () z ⎥<br />
⎦ ⎣<br />
⎢<br />
GI () z ⎦<br />
⎥<br />
ϑ<br />
ove con m(z) e I(z) si sono in<strong>di</strong>cati rispettivamente la massa strutturale e il momento centrale<br />
d’inerzia <strong>di</strong> questa per unità <strong>di</strong> lunghezza e con c x (z), c y (z) e c ϑ (z) rispettivamente gli<br />
smorzamenti strutturali, per unità <strong>di</strong> lunghezza, relativi alle traslazioni lungo x e y e alla<br />
rotazione attorno a z.<br />
Per il calcolo delle aliquote strutturali delle matrici <strong>di</strong> smorzamento e <strong>di</strong> rigidezza possono<br />
essere utilizzate relazioni analoghe alle (3.5) e (3.9):<br />
2<br />
[ K ] = ( 2 fi) [ M ]<br />
ii<br />
[ C ] ifi[ M ]<br />
* *<br />
Le aliquote aero<strong>di</strong>namiche delle matrici [ C () z ] [ K () z ]<br />
ii<br />
π (3.22)<br />
ii<br />
=4πξ (3.21)<br />
e vengono ricavate con lo stesso<br />
proce<strong>di</strong>mento utilizzato per determinare l’aliquota della forzante dovuta alla turbolenza, ossia<br />
sostituendo le (2.12) nella (3.14) e applicando le definizioni dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici nel<br />
riferimento x-y-z fornite dalla (3.15). In definitiva si ottiene:<br />
⎡<br />
CF C<br />
'<br />
F −CF R () z<br />
⎛⎜<br />
C<br />
'<br />
F −C<br />
⎞<br />
F ⎟<br />
⎤<br />
⎢<br />
2<br />
x x y 0 ⎝ x y⎠⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
1 ⎢<br />
() z = U()() z b z CF CF + C<br />
'<br />
F R () z<br />
⎛⎜<br />
CF + C<br />
' ⎞⎥ ρ ⎢ 2<br />
y x y 0 ⎝ x F ⎟<br />
y<br />
2<br />
⎠⎥ ⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
'<br />
' ⎥<br />
⎢2bzC<br />
() M bzC () M bzR () 0()<br />
zCM<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
a [ C ]<br />
⎡<br />
⎢<br />
0 0<br />
⎢<br />
1 2 ⎢<br />
() z = ρU<br />
()() z b z 0 0<br />
2 ⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢0<br />
0<br />
⎣<br />
a [ K ]<br />
ii<br />
⎛⎜<br />
'<br />
CF − C<br />
⎞<br />
F ⎟<br />
⎤<br />
⎝ x y⎠⎥<br />
⎥<br />
⎛⎜<br />
CF C<br />
'<br />
+<br />
⎞⎥ ⎝ x F ⎟<br />
y⎠⎥<br />
⎥<br />
bzC<br />
' ⎥<br />
() M ⎥<br />
⎦<br />
(3.23)
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
3. Valutazione della risposta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità<br />
Per l’integrazione della (3.11) si può procedere, come già illustrato nel caso del cilindro<br />
rigido, sia nel dominio del tempo che nel dominio delle frequenze, operando in entrambi i casi<br />
per via probabilistica. Di seguito si opererà, come già fatto nel Capitolo II per il cilindro rigido,<br />
nel dominio delle frequenze.<br />
La parte me<strong>di</strong>a e la matrice <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della risposta si ottengono da<br />
relazioni analoghe alle (2.19) e (2.20):<br />
ove con [ f ]<br />
[ H ] * ( f )<br />
n<br />
S FF n<br />
η =<br />
* [ ]<br />
−1<br />
K F<br />
* *<br />
[ Sηη ( f) ] = [ H ( f) ] [ SFF( f) ] [ H ( f)<br />
]<br />
n<br />
n<br />
n<br />
T<br />
n n<br />
51<br />
(3.24)<br />
(3.25)<br />
( ) si è in<strong>di</strong>cata la matrice <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della forzante e con<br />
la matrice <strong>di</strong> risposta in frequenza del sistema descritto dalla (3.11), la cui<br />
espressione è analoga a quella fornita dalla (2.22):<br />
{ }<br />
* 2<br />
* *<br />
[ H ( f ) ] = − ( 2 f ) [ M ] + i2 f[<br />
C ] + [ K ]<br />
π π (3.26)<br />
n n n n<br />
Dalla (3.25), con una relazione analoga alla (2.21), viene calcolata la matrice <strong>di</strong> covarianza<br />
della risposta:<br />
∫ S ηη<br />
[ cov η ] = [ ( ) ]<br />
∞<br />
0<br />
f df<br />
−1<br />
(3.27)<br />
In analogia a quanto esposto nel paragrafo 2.5, è possibile esprimere la matrice <strong>di</strong> densità<br />
spettrale <strong>di</strong> potenza della forzante quale somma <strong>di</strong> tre aliquote, due dovute alle componenti<br />
longitu<strong>di</strong>nale e trasversale della turbolenza e la terza dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici, ottenendosi<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
u<br />
v<br />
s<br />
[ SFF ( f ) ] [ SFF ( f ) ] [ SFF ( f ) ] [ SFF<br />
( f ) ]<br />
n<br />
= + + (3.28)<br />
n<br />
Le aliquote dello spettro della forzante dovute alla turbolenza vengono ricavate<br />
<strong>di</strong>rettamente dagli spettri delle componenti <strong>di</strong> turbolenza, ed assumono le espressioni:<br />
n<br />
n
52<br />
ove si è posto:<br />
con:<br />
u [ SFF<br />
]<br />
ij<br />
v [ SFF<br />
]<br />
2 l<br />
l<br />
∫0<br />
1 1 ∫0<br />
1 1 iju 1 2 uu 1 2 1 2<br />
( f ) = ρ U ( z ) b( z ) U ( z ) b( z ) C ( z , z ) S ( z , z , f ) dz dz<br />
1<br />
( f ) = ρ U( z ) b( z ) U( z ) b( z ) C ( z , z ) S ( z , z , f ) dz dz<br />
ij 4<br />
2 l<br />
l<br />
∫0<br />
1 1 ∫0<br />
1 1 ijv 1 2 vv 1 2 1 2<br />
⎡ 2<br />
CFCFCFb( z C C<br />
x x y 2 ) ⎤<br />
F M<br />
⎢<br />
x ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
T 2<br />
Ciju( z1, z2) = µ i ( z1)<br />
⎢<br />
CFCF CF b( z CFCM µ j z<br />
x y y 2 )<br />
⎥<br />
(<br />
y<br />
2 )<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
2 ⎥<br />
bz ( 1) CFCM bz ( CFCM bz bz C<br />
x 1) (<br />
y<br />
1) ( 2)<br />
M<br />
⎣⎢<br />
⎦⎥<br />
C ( z , z ) =<br />
ijv<br />
1 2<br />
⎡<br />
2<br />
⎛⎜<br />
C<br />
'<br />
F − C<br />
⎞<br />
F ⎟ ⎛⎜<br />
C<br />
'<br />
F − C<br />
⎞<br />
F ⎟ ⎛⎜<br />
CF + C<br />
' ⎞<br />
F ⎟ b( z CF CF C<br />
x y x y x y 2)<br />
⎛⎜<br />
'<br />
−<br />
⎞ ' ⎤<br />
⎢<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ x y⎠M⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
2<br />
T<br />
µ i ( z1)<br />
⎢⎛⎜<br />
C<br />
'<br />
F − C<br />
⎞<br />
F ⎟ ⎛⎜<br />
CF + C<br />
' ⎞<br />
F ⎟ ⎛⎜<br />
CF + C<br />
' ⎞<br />
F ⎟ b( z CF CF C<br />
x y x y x y 2)<br />
⎛⎜<br />
+<br />
' ⎞⎟ ' ⎥<br />
⎢⎝<br />
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x y⎠M⎥<br />
µ j(<br />
z2)<br />
⎢<br />
2 ⎥<br />
⎢ bz ( 1) ⎛⎜<br />
C<br />
'<br />
F − C<br />
⎞<br />
F ⎟ C<br />
'<br />
M bz ( CF C<br />
x y 1)<br />
⎛⎜<br />
+<br />
' ⎞ '<br />
⎝ ⎠ x F ⎟C<br />
b( z ) b( z ) C<br />
' ⎥<br />
⎝<br />
y⎠M<br />
1 2 M<br />
⎣⎢<br />
⎦⎥<br />
Capitolo III<br />
Relazioni analoghe sussistono per gli spettri delle forze indotte dal <strong>di</strong>stacco dei vortici:<br />
s [ S FF ]<br />
1<br />
( f ) = ρ U ( z ) b( z ) ∫ U ( z ) b( z ) C ( z , z , f ) dz dz<br />
ij 4<br />
2 l 2<br />
l 2<br />
∫0<br />
1 1 0 1 1 ijs 1 2 1 2<br />
⎡0<br />
0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
T s<br />
s<br />
Cijs( z1, z2) = µ i ( z1) ⎢0<br />
SCC( z z f SC C z z f j z<br />
L L 1, 2, ) ( µ<br />
L M 1, 2,<br />
) ⎥ ( 2)<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ s<br />
s<br />
⎣<br />
0 SCC ( z z f SC C z z f<br />
L M 1, 2, ) (<br />
M M 1, 2,<br />
)<br />
⎥<br />
⎦<br />
(3.29)<br />
(3.30)<br />
(3.31)<br />
(3.32)
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
Gli spettri mutui delle forze indotte dal <strong>di</strong>stacco dei vortici possono essere espressi come il<br />
prodotto <strong>di</strong> uno spettro locale ed una funzione <strong>di</strong> coerenza, così come si è fatto nel caso degli<br />
spettri della turbolenza. Per quanto riguarda le forze nella <strong>di</strong>rezione trasversale a quella del<br />
flusso me<strong>di</strong>o può essere utilizzata una espressione dello spettro locale del tipo (2.26), e come<br />
funzione <strong>di</strong> coerenza una espressione del tipo:<br />
γ 2 2<br />
⎛ 4 z1−z ⎞ ⎡ ⎛<br />
2<br />
2 z1−z ⎞ ⎤<br />
2<br />
( z1, z2)<br />
= cos ⎜<br />
⋅<br />
⎟ exp<br />
⎝ 3 bz ( 1) + bz ( 2)<br />
⎟<br />
⋅ ⎢−<br />
⎜<br />
⋅<br />
⎟ ⎥<br />
⎠ ⎢ ⎝ 3 bz ( 1) + bz ( 2)<br />
⎟<br />
⎠ ⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
proposta in [Vickery e Clark 1972].<br />
4. Valutazione del generico parametro della risposta strutturale<br />
53<br />
(3.33)<br />
Il generico parametro r della risposta strutturale può essere espresso come combinazione<br />
lineare delle forze esterne e dei parametri <strong>di</strong> stato (spostamento, velocità ed accelerazione) del<br />
sistema:<br />
T T<br />
rt () () t () t & T<br />
= r F + r + r () t + r & T<br />
η η η () t<br />
(3.34)<br />
F n s v a<br />
dove con r s , r v ed r a si sono in<strong>di</strong>cati i vettori i cui elementi r si , r vi ed r ai rappresentano le<br />
aliquote della risposta che nasce quando la struttura vibra nel modo i-mo, rispettivamente<br />
proporzionali allo spostamento, alla velocità e all’accelerazione del sistema, e r F il vettore i cui<br />
elementi rappresentano l’aliquota della risposta dovuta alle forze modali.<br />
Il valore me<strong>di</strong>o delle generica risposta <strong>di</strong>scende <strong>di</strong>rettamente dalla (3.34), effettuando<br />
l’operazione <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a a primo e secondo membro:<br />
T T<br />
r = rF Fn + rs<br />
η<br />
e tenendo conto che per la stazionarietà del sistema risulta:<br />
η= & 0 η= & 0<br />
(3.35)<br />
(3.36)<br />
Analogamente la funzione <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della generica risposta r viene<br />
fornita dalla relazione:
54<br />
[ n n ]<br />
rr<br />
T<br />
F F F F<br />
S ( f ) = r S ( f ) r +<br />
2 2<br />
T<br />
* *<br />
T<br />
2 2<br />
( rs + 2πf rv + 4π f ra) [ H ( f ) ] [ SFF( f ) ][ H ( f ) ] ( rs + 2πfrv + 4π<br />
f ra)<br />
n n<br />
ove si è tenuto conto del fatto che:<br />
n<br />
2<br />
[ Sηη &&(<br />
f ) ] = ( 2πf<br />
) [ Sηη(<br />
f ) ]<br />
4<br />
[ S &&(<br />
f ) ] = ( 2πf<br />
) [ S ( )<br />
ηη ηη f ]<br />
n<br />
Capitolo III<br />
(3.37)<br />
(3.38)<br />
Nelle ipotesi, peraltro spesso sod<strong>di</strong>sfatte, in cui le frequenze proprie del sistema siano ben<br />
separate, e lo smorzamento e la rigidezza aero<strong>di</strong>namica siano entrambe <strong>di</strong> piccola entità, gli<br />
spettri mutui della risposta, ossia i termini fuori <strong>di</strong>agonale della matrice [ Sηη ( f ) ]<br />
n<br />
, sono<br />
trascurabili rispetto ai termini della <strong>di</strong>agonale principale. In tale caso la (3.37) può essere<br />
semplificata e posta nella forma:<br />
n<br />
2<br />
rr ∑ Fi FiFi i=<br />
1<br />
S ( f ) = r ⋅ S ( f ) +<br />
n<br />
2 2 2 4 2<br />
∑(<br />
( 2π ) ( 2π<br />
) )<br />
i=<br />
1<br />
*<br />
2<br />
si vi ai ii F F<br />
La varianza della risposta r è allora fornita dalla:<br />
r + f r + f r ⋅ H ( f ) ⋅S<br />
( f )<br />
i i<br />
(3.39)<br />
~ 2<br />
r ∫ Srr ( f ) df<br />
(3.40)<br />
=<br />
0<br />
∞<br />
Si è detto in precedenza (paragrafo 2.5) che, nell’ipotesi che le componenti della turbolenza<br />
e le forze indotte dal <strong>di</strong>stacco dei vortici abbiano funzioni <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> probabilità gaussiane,<br />
la risposta del sistema (intesa lì come spostamento del cilindro rigido) risulta anch’essa<br />
normalmente <strong>di</strong>stribuita. Un <strong>di</strong>scorso analogo è chiaramente valido anche per una struttura<br />
flessibile. E’ pertanto possibile asserire che nelle consuete ipotesi <strong>di</strong> turbolenza e forze indotte<br />
dal <strong>di</strong>stacco gaussiane, le coor<strong>di</strong>nate modali η i (t) abbiano funzione <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> probabilità<br />
gaussiana. A ciò si aggiunge che, per la linearità delle (3.10) (od equivalentemente della (3.1))<br />
e della (3.34), la generica componente <strong>di</strong> spostamento, così come una qualsiasi risposta r<br />
abbiano anche loro densità <strong>di</strong> probabilità gaussiana. La (3.35) e la (3.40) forniscono il valor<br />
me<strong>di</strong>o e la varianza <strong>di</strong> tale <strong>di</strong>stribuzione, che rimane pertanto completamente definita.
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
Il valore <strong>di</strong> picco della risposta è calcolabile con relazioni analoghe alle (2.33), (2.34) e<br />
(2.35):<br />
55<br />
r$ = r + g r<br />
~<br />
(3.41)<br />
g ≅ 2ln(<br />
ν T)<br />
+<br />
r r<br />
ν r<br />
=<br />
∫<br />
0<br />
∞<br />
2<br />
r<br />
05772 .<br />
2ln(<br />
ν T)<br />
f Srr ( f ) df<br />
r~<br />
5. L’uso delle linee d’influenza nella valutazione della risposta strutturale<br />
r<br />
(3.42)<br />
(3.43)<br />
Dalle (3.24) e (3.25) è possibile calcolare il vettore dei valori me<strong>di</strong> e la matrice <strong>di</strong><br />
covarianza della risposta modale. Per il calcolo della matrice <strong>di</strong> covarianza della risposta,<br />
nell’ipotesi fatta nel Capitolo II sulla mancanza <strong>di</strong> correlazione tra le due componenti della<br />
turbolenza, è necessaria la conoscenza delle funzioni <strong>di</strong> densità spettrale mutua <strong>di</strong> potenza del<br />
componenti <strong>di</strong> turbolenza Suu( z1, z2, f) e Svv( z1, z2, f)<br />
in punti <strong>di</strong>fferenti lungo l’asse della<br />
struttura, nonché della conoscenza degli spettri mutui dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici relativi al<br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici.<br />
Un approccio alquanto <strong>di</strong>fferente, volto al calcolo della generica risposta r della struttura è<br />
quello introdotto in [Davenport 1987]. Il metodo proposto, applicabile nelle solite ipotesi <strong>di</strong><br />
vali<strong>di</strong>tà della teoria quasistatica nonché nelle ipotesi <strong>di</strong> piccolezza delle componenti <strong>di</strong><br />
turbolenza, delle velocità e degli spostamenti, fa uso del concetto <strong>di</strong> linea <strong>di</strong> influenza per il<br />
calcolo del valor me<strong>di</strong>o e della varianza della risposta.<br />
La varianza della risposta viene calcolata quale somma <strong>di</strong> tre contributi: un’aliquota<br />
quasistatica, un’aliquota risonante ed una aliquota dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici:<br />
n<br />
~ 2 ~ 2<br />
r r r<br />
~ 2<br />
r<br />
~ 2<br />
= b + ∑ i +<br />
(3.44)<br />
s<br />
i=<br />
1<br />
Nella (3.44) la parte risonante della risposta è stata scissa ulteriormente nei contributi<br />
dovuti agli n mo<strong>di</strong> <strong>di</strong> vibrare della struttura che vengono presi in considerazione.
56<br />
Capitolo III<br />
Per frequenze <strong>di</strong> oscillazione alquanto più basse della prima frequenza propria della<br />
struttura, il calcolo della risposta può essere effettuato trascurando le forze d’inerzia; sotto tale<br />
ipotesi la risposta all’istante generico viene fornita dalla relazione:<br />
l<br />
T<br />
rt () = ∫ ir() z F(,)<br />
zt dz<br />
0<br />
(3.45)<br />
ove con i r (z) si è in<strong>di</strong>cata la linea d’influenza della risposta r. 2<br />
La (3.45) può essere utilizzata per il calcolo del valor me<strong>di</strong>o e dell’aliquota quasistatica<br />
della varianza della risposta. Il valore me<strong>di</strong>o della risposta viene fornito dalla relazione:<br />
l<br />
T<br />
r = ∫ ir() z F()<br />
z dz<br />
0<br />
In maniera analoga si ricava l’espressione della parte quasistatica della risposta:<br />
[ ]<br />
~ 2 l l T<br />
rB = ∫ ∫ ir ( z1) cov F( z1, z2) ir(<br />
z ) dz dz<br />
0 0 2 1<br />
2<br />
(3.46)<br />
(3.47)<br />
La (3.47) può essere calcolata in maniera piuttosto agevole nel caso in cui la linea<br />
d’influenza <strong>di</strong> r presenti una sola componente non nulla. In questo caso la (3.47) può essere<br />
riscritta come:<br />
~ 2 l<br />
l −∆<br />
z ~ ~<br />
r = 2∫<br />
C ( ∆ ) ∫ F() z F( z+ ∆ ) i (z) i (z + ∆z) dzd∆<br />
B 0 F z 0<br />
z r r z<br />
(3.48)<br />
essendosi in<strong>di</strong>cato con C F il coefficiente <strong>di</strong> correlazione della forzante, definito da una<br />
relazione analoga alla (1.11). L’integrale del coefficiente <strong>di</strong> correlazione della forzante<br />
fornisce la scala integrale <strong>di</strong> questa (si confronti con la (1.12)).<br />
Il calcolo della (3.48) può essere effettuato per interpolazione tra i due casi limite i cui la<br />
correlazione della forzante sia globale ovvero locale. Nel primo caso la scala integrale della<br />
forzante risulta maggiore della lunghezza della struttura in esame, mentre nel secondo caso<br />
risulta molto più piccola. Nei due casi limite citati la (3.48) viene riscritta rispettivamente:<br />
~ 2 ~<br />
rB0= F() z ir dz<br />
0<br />
⎡ l<br />
⎤<br />
⎣⎢ ∫ (z)<br />
⎦⎥<br />
r<br />
~<br />
2<br />
B∞<br />
L<br />
= 2<br />
l<br />
F<br />
l<br />
0<br />
∫<br />
2<br />
~<br />
[ () r (z) ]<br />
2<br />
Fz i dz<br />
(3.49)<br />
2 Si noti che la linea d’influenza è in questo caso un vettore a tre componenti, così come lo è il carico. Le<br />
prime due componenti del vettore rappresentano rispettivamente le linee d’influenza <strong>di</strong> r per forze <strong>di</strong>rette<br />
lungo x e lungo y, mentre la terza componente rappresenta la linea d’influenza per coppie torcenti.
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
L’aliquota della risposta fluttuante dovuta alla vibrazione della struttura nel i-mo modo<br />
viene calcolata quale effetto delle forze d’inerzia che nascono quando la struttura vibra in tale<br />
modo:<br />
( 2 ) ⎡ l<br />
∫ [ ]<br />
~ 2 ~ 2 4<br />
ri = ηi π fi µ i () z () z r()<br />
z dz⎤<br />
⎣⎢ 0<br />
⎦⎥<br />
T<br />
M i<br />
La varianza della i-ma coor<strong>di</strong>nata modale è fornita dalla:<br />
~ π S ( f ) f<br />
2<br />
ηi<br />
=<br />
2<br />
FF i i<br />
i i<br />
*<br />
( ζsi + ζai<br />
) [ K ]<br />
2<br />
ii<br />
2<br />
57<br />
(3.50)<br />
(3.51)<br />
in cui SFF( f ) è lo spettro della i-ma forza modale, ossia un elemento della <strong>di</strong>agonale della<br />
i i<br />
(3.28), dato quin<strong>di</strong> dalla somma dei termini dovuti alla turbolenza espressi me<strong>di</strong>ante le (3.29) e<br />
<strong>di</strong> quelli dovuti al <strong>di</strong>stacco dei vortici espressi me<strong>di</strong>ante la (3.31).<br />
Lo smorzamento aero<strong>di</strong>namico ha l’espressione:<br />
ζ<br />
ai<br />
∫<br />
l<br />
a [ C ]<br />
µ i () z () z µ i()<br />
z dz<br />
0<br />
=<br />
(3.52)<br />
l T<br />
4πf<br />
µ () z () z µ () z dz<br />
∫<br />
T<br />
[ M ]<br />
i 0 i i<br />
6. Applicazione: mensola a sezione quadrata nello strato limite<br />
atmosferico<br />
Al fine <strong>di</strong> esemplificare le procedure sinora esposte si procede ora al calcolo della risposta<br />
<strong>di</strong> una mensola a sezione quadrata posta verticalmente nello strato limite atmosferico (Figura<br />
3.2).<br />
Le caratteristiche della struttura siano quelle <strong>di</strong> seguito riportate:<br />
h = 140 m b = 4 m<br />
m = 22000 Kg/m I = 2300 Kg m 2 / m<br />
E = 2.1 ⋅ 10 11 Pa G = 8.1 ⋅ 10 10 Pa
58<br />
I xx = 2.08 m 4 I yy = 2.08 m 4 I * = 6.4 m 4<br />
Capitolo III<br />
Si consideri la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del vento perpen<strong>di</strong>colare ad una delle facce della struttura; i<br />
coefficienti aero<strong>di</strong>namici sono pertanto quelli utilizzati per l’esempio contenuto nel Capitolo<br />
II.<br />
La struttura presenta caratteristiche flessionali uguali nei piani x-z e y-z, e risultando:<br />
con:<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
2 2<br />
λ xi EIx<br />
λϑi<br />
fxi = fyi<br />
= ⋅ fϑi<br />
= ⋅<br />
2πm2π λ h = 1875 . λ h = 4. 694 λ h = 7. 855<br />
x1 x2 x3<br />
λ<br />
π<br />
3π<br />
1h= λ 2h<br />
=<br />
2<br />
2<br />
ϑ ϑ<br />
f = 013 . Hz f = 080 . Hz f = 223 . Hz<br />
x1 x2 x3<br />
f = 030 . Hz f = 090 . Hz<br />
ϑ1 ϑ2<br />
Il profilo delle velocità me<strong>di</strong>e viene espresso me<strong>di</strong>ante la legge <strong>di</strong> potenza (1.9) con un<br />
esponente α = 0.25:<br />
Figura 3.2 - Mensola a sezione quadrata nello strato limite atmosferico<br />
GI<br />
I<br />
*
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
z<br />
U() z = U ⋅ ⎛ ⎞<br />
10 ⎜ ⎟<br />
⎝ 10⎠<br />
Per semplicità <strong>di</strong> calcolo si considera il valore dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> turbolenza longitu<strong>di</strong>nale<br />
costante con la quota e pari a 0.10, mentre per quanto concerne gli spettri della turbolenza<br />
vengono utilizzate le espressioni (1.4) e (1.5) con u* . u~<br />
= 04 .<br />
Per una sezione quadrata investita ortogonalmente ad una delle facce risulta St = 0.116.<br />
Seguendo quanto osservato in [Vickery e Clark 1972] si considera determinante, ai fini della<br />
sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici, la velocità del vento alla sommità della struttura:<br />
Uh ( ) = 193 . U10<br />
025 .<br />
Ne risultano velocità critiche <strong>di</strong> sincronizzazione pari a:<br />
-1 -1 -1<br />
csy1 csy2 csy3<br />
U = 23 . m s U = 14.3 m s U = 398 . m s<br />
-1 -1<br />
csϑ1 csϑ2<br />
U = 113 . m s U = 338 . m s<br />
ove con U csy si sono in<strong>di</strong>cate le velocità critiche per sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici<br />
con una frequenza flessionale propria del sistema e con U csϑ le velocità critiche per<br />
sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici con una frequenza torsionale propria del sistema.<br />
L’analisi della risposta viene effettuata limitando la cinematica della struttura ai primi due<br />
mo<strong>di</strong> flessionali nelle <strong>di</strong>rezioni x ed y ed al primo modo torsionale. Vengono presi in<br />
considerazione due valori della velocità me<strong>di</strong>a del vento rispettivamente <strong>di</strong> 10 m/s e 30 m/s.<br />
Ad una velocità <strong>di</strong> 30 m/s la frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici è alquanto superiore alle<br />
frequenze proprie del sistema e pertanto la teoria quasistatica risulta pienamente applicabile. Al<br />
contrario, per una velocità <strong>di</strong> 10 m/s la frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici è inferiore alla seconda<br />
frequenza flessionale del sistema; affinché sia applicabile la teoria quasistatica è allora<br />
necessario verificare che non vi sia sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici col secondo modo<br />
<strong>di</strong> vibrare della struttura, e che il contributo <strong>di</strong> questo alla risposta totale sia piccolo.<br />
Per avere un quadro completo della risposta andrebbe poi analizzata la risposta in<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici con ciascuno dei due mo<strong>di</strong> flessionali<br />
presi in considerazione.<br />
I mo<strong>di</strong> flessionali e torsionali della struttura sono rispettivamente espressi come:<br />
⎛<br />
cosλxiH+ cosh λxiH<br />
µ xi = µ yi = Ai⎜cosλxiz−cosh λxiz−<br />
⎝<br />
sen λ H+ senh λ H<br />
µ = B sen<br />
λ z<br />
ϑi i ϑi<br />
xi xi<br />
( sen λ z−senh λ z)<br />
xi xi<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
59
60<br />
con:<br />
A =− 05 . A = 05 . B = 1<br />
1 2 1<br />
Capitolo III<br />
Dalla prima delle (3.18) e dalle (3.22) è possibile calcolare le matrici <strong>di</strong> massa e inerzia<br />
strutturali:<br />
[ M]<br />
[ K]<br />
⎡792<br />
0 0 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 792 0 0 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
= ⎢ 0 0 792 0 0 ⎥ ⋅10<br />
Kg m<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 0 792 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 0 0 163⎦<br />
3 2<br />
⎡0.510<br />
0 0 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 19.9 0 0 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
= ⎢ 0 0 0.510 0 0 ⎥ ⋅10<br />
Kg m s<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 0 19.9 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 0 0 0583 . ⎦<br />
6 2 -2<br />
mentre dalla (3.21), ipotizzando i seguenti valori dei coefficienti <strong>di</strong> smorzamento strutturale:<br />
ξx = ξy = 004 . ξx = ξy = 0018 . ξϑ= 001 .<br />
1 1 2 2 1<br />
è possibile ricavare la matrice <strong>di</strong> smorzamento strutturale:<br />
[ C ] =<br />
⎡506<br />
. 0 0 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 143 0 0 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 506 . 0 0 ⎥ ⋅<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 0 143 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 0 0 617 . ⎦<br />
10 3<br />
2 -1<br />
Kg m s<br />
Dalla seconda e terza (3.18) e dalle (3.23) vengono ricavati i valori dei termini delle matrici<br />
<strong>di</strong> smorzamento e rigidezza aero<strong>di</strong>namica:
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
a [ C ]<br />
a [ K ]<br />
⎡18.<br />
2 151 . 0 0 0⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢151<br />
. 167 . 0 0 0⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
= U ⋅⎢ − − ⎥<br />
10 0 0 121 . 100 . 0 ⋅10<br />
Kg m s<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 −100 . −111<br />
. 0⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 173 . −307<br />
. 0⎥<br />
⎦<br />
⎡0000<br />
0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢0000<br />
0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
= U ⋅⎢ − ⎥<br />
10 0000 153 . ⋅10<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢00000160<br />
. ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣0000<br />
131 . ⎦<br />
2 6<br />
3 2 -1<br />
2 -2<br />
Kg m s<br />
L’analisi delle matrici del sistema porta a concludere che il sistema può essere scisso in due<br />
sottosistemi, il primo che tiene conto dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà nella <strong>di</strong>rezione del flusso me<strong>di</strong>o e<br />
l’altro che tiene conto dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà trasversali alla <strong>di</strong>rezione del flusso me<strong>di</strong>o e<br />
torsionale.<br />
Le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità del moto vengono in<strong>di</strong>viduate, come accennato nel paragrafo 1.5,<br />
me<strong>di</strong>ante la ricerca dei valori della velocità me<strong>di</strong>a del vento che portano all’annullarsi del<br />
determinante delle matrici <strong>di</strong> rigidezza e smorzamento.<br />
Il moto nella <strong>di</strong>rezione del flusso me<strong>di</strong>o risulta stabile nei confronti della <strong>di</strong>vergenza per<br />
l’essere nulla la rigidezza aero<strong>di</strong>namica ad esso associata. Per quanto riguarda invece il<br />
galloping, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> annullamento del determinante della matrice <strong>di</strong> smorzamento totale<br />
porta a valori negativi della velocità critica:<br />
U cgx =<br />
-1<br />
−259<br />
m s<br />
N<br />
O<br />
-1<br />
-83 m s<br />
che in<strong>di</strong>cano stabilità incon<strong>di</strong>zionata del moto.<br />
Analogamente si ha stabilità incon<strong>di</strong>zionata, dal punto <strong>di</strong> vista della <strong>di</strong>vergenza, nei gra<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> libertà trasversali e torsionale, risultando:<br />
U cdy =−20 m s -1<br />
61
62<br />
Capitolo III<br />
Per quanto riguarda invece la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> stabilità per galloping, si ottengono i due<br />
seguenti valori positivi della velocità critica:<br />
Ucgy = N<br />
125 m s<br />
O<br />
389 m s<br />
-1<br />
-1<br />
Per valori della velocità me<strong>di</strong>a inferiori al primo valore critico il moto risulta stabile,<br />
mentre per valori <strong>di</strong> questa compresi tra i due valori il moto risulta instabile; per valori della<br />
velocità superiori al secondo valore critico il moto, apparentemente stabile quando si<br />
considerano solo due mo<strong>di</strong>, alterna al variare della velocità comportamenti stabili a<br />
comportamenti instabili.<br />
La risposta me<strong>di</strong>a viene ricavata dalla (3.24):<br />
η=<br />
η=<br />
[ . .<br />
]<br />
0161 − 0 0012 0 0 0 m U = 10 m s<br />
[ . .<br />
]<br />
T -1<br />
10<br />
T -1<br />
10<br />
145 − 0 0112 0 0 0 m U = 30 m s<br />
La matrice <strong>di</strong> covarianza della risposta viene invece ricavata tramite le (3.25) e (3.26).<br />
L’aliquota <strong>di</strong> questa dovuta all’effetto della turbolenza risulta:<br />
t<br />
[ cov ]<br />
⎡207<br />
160 . 0 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢160<br />
. 0. 000 0 0 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
η = ⎢ 0 0 311 . 0. 024 5. 24 ⎥ ⋅ 10 m U10<br />
= 10 m s<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 0. 024 0. 001 0. 062⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 524 . 0062 . 108 . ⎥<br />
⎦<br />
t<br />
[ cov ]<br />
-6 2 -1<br />
⎡16100<br />
100 0 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 100 0.0 0 0 0 ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
η = ⎢ 0 0 81.9 3.62 79.9⎥<br />
⋅ 10 m U10<br />
= 30 m s<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 3.62 0.291 11.7⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 79.9 11.7 985⎥<br />
⎦<br />
-6 2 -1<br />
L’aliquota della matrice <strong>di</strong> covarianza dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici, nell’ipotesi che<br />
l’effetto torcente sia trascurabile risulta:
<strong>Analisi</strong> della risposta delle strutture snelle all’azione del vento<br />
⎡00<br />
0 0 0⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢00<br />
0 0 0⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
s<br />
cov η = ⎢00<br />
108 . 01540 . ⎥ ⋅ 10 m U10<br />
= 10 m s<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢00015404370<br />
. . ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣00<br />
0 0 0⎥<br />
⎦<br />
[ ]<br />
⎡00<br />
0 0 0⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢00<br />
0 0 0⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
s<br />
cov η = ⎢00096600330<br />
. . ⎥ ⋅ 10 m U10<br />
= 30 m s<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢000033<br />
. 236 . 0⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣00<br />
0 0 0⎥<br />
⎦<br />
[ ]<br />
-6 2 -1<br />
-6 2 -1<br />
Dalle matrici <strong>di</strong> covarianza della risposta è possibile trarre le seguenti conclusioni:<br />
• Ai fini della flessione nel piano del vento me<strong>di</strong>o il contributo del secondo modo è<br />
trascurabile<br />
• Ai fini della risposta nel piano trasversale alla <strong>di</strong>rezione del vento il secondo modo,<br />
sebbene poco eccitato dalla turbolenza, risulta notevolmente eccitato dal <strong>di</strong>stacco dei<br />
vortici, in particolare quando la velocità e <strong>di</strong> 30 m/s.<br />
Le frequenze centrali delle forze dovute al <strong>di</strong>stacco dei vortici sono rispettivamente 0.52<br />
Hz e 1.57 Hz per i due valori della velocità me<strong>di</strong>a del vento presi in considerazione; tali valori<br />
sono da confrontare con i valori delle frequenze <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco in sommità alla struttura, pari a<br />
0.56 Hz e 1.68 Hz rispettivamente.<br />
Dalla risposta me<strong>di</strong>a e dalla covarianza <strong>di</strong> questa vengono calcolati i valori me<strong>di</strong> e le<br />
varianze della tensione normale dovuta ai momenti flettenti longitu<strong>di</strong>nale e trasversale nei<br />
vertici della sezione <strong>di</strong> base e delle accelerazioni trasversali dei vertici della sezione <strong>di</strong><br />
sommità.<br />
I coefficienti <strong>di</strong> combinazione lineare relativi alle tensioni normali alla base hanno le<br />
seguenti espressioni:<br />
⎧0⎫<br />
⎧ ''<br />
µ x 0 ⎫ ⎧ 37 7 ⎫<br />
⎧0⎫<br />
⎧0<br />
1(<br />
) .<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
0<br />
'' ⎪<br />
x<br />
⎪<br />
⎪ bE<br />
⎪ ⎪ −<br />
⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
µ 0<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
236<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
0<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
0<br />
2(<br />
)<br />
⎪<br />
⎪<br />
rF = ⎨0<br />
''<br />
6<br />
⎬ rs = ⎨µ<br />
y1(<br />
0)<br />
⎬ = ⎨ 37. 7 ⎬⋅<br />
10 Pa rv = ⎨0⎬<br />
ra<br />
= ⎨0⎬<br />
⎪ ⎪ 2<br />
0<br />
⎪ '' ⎪ ⎪−<br />
⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
µ y 0 236<br />
0 0<br />
2(<br />
)<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩⎪<br />
0⎭⎪<br />
⎩⎪<br />
0 ⎭⎪<br />
⎩⎪<br />
0 ⎭⎪<br />
⎩⎪<br />
0⎭⎪<br />
⎩⎪<br />
0⎭⎪<br />
mentre quelli relativi all’accelerazione in sommità sono pari a:<br />
63
64<br />
⎧0⎫<br />
⎧0⎫<br />
⎧0⎫<br />
⎧ 0 ⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
0<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
0<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
0<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
0<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
rF = ⎨0⎬<br />
rs = ⎨0⎬<br />
rv = ⎨0⎬<br />
ra<br />
= ⎨ 1 ⎬<br />
⎪0⎪<br />
⎪0⎪<br />
⎪0⎪<br />
⎪ 1 ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎩⎪<br />
0⎭⎪<br />
⎩⎪<br />
0⎭⎪<br />
⎩⎪<br />
0⎭⎪<br />
⎩⎪<br />
b 2⎭⎪<br />
Capitolo III<br />
Me<strong>di</strong>ante la (3.35) vengono calcolati i valori me<strong>di</strong> della risposta. Per quanto riguarda la<br />
sollecitazione alla base i ottengono i valori:<br />
6<br />
σ(<br />
0) = 6. 38⋅ 10 Pa U = 10 m s<br />
6<br />
σ(<br />
0) = 575 . ⋅ 10 Pa U = 30 m s<br />
mentre risultano nulli i valore me<strong>di</strong> dell’accelerazione.<br />
Dalle (3.39) e (3.40) vengono poi ricavati i valori degli scarti quadratici me<strong>di</strong> della<br />
sollecitazione alla base:<br />
e dell’accelerazione in testa alla struttura:<br />
~ 3<br />
σ(<br />
0) = 9. 06⋅ 10 Pa U10<br />
= 10 m s<br />
σ<br />
~ 6<br />
( 0) = 180⋅ 10 Pa U = 30 m s<br />
~<br />
yh &(<br />
) = 0. 0212 m s U10<br />
= 10 m s<br />
~<br />
yh &(<br />
) = 0. 636 m s U = 30 m s<br />
10<br />
10<br />
10<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
-1<br />
-2 -1<br />
-2 -1<br />
10<br />
Me<strong>di</strong>ante le (3.42) e (3.43) possono inoltre essere calcolati i coefficienti <strong>di</strong> picco, e da<br />
questi, tramite la (3.41) i valori <strong>di</strong> picco della risposta. Si ottiene in definitiva:<br />
g = 389 . ⇒ σ$(<br />
0) = 642 . ⋅ 10 Pa U = 10 m s<br />
σ<br />
g = 389 . ⇒ σ$(<br />
0) = 582 . ⋅ 10 Pa U = 30 m s<br />
σ<br />
g = 395 . ⇒ y& h = 0 0838 U = 10<br />
$ ( ) . m s m s<br />
y&<br />
g = 409 . ⇒ y& h = 260 U = 30<br />
$ ( ) . m s m s<br />
y&<br />
6<br />
6<br />
-1<br />
10<br />
-1<br />
10<br />
-2 -1<br />
10<br />
-2 -1<br />
10
Capitolo IV<br />
<strong>Analisi</strong> sperimentale sul comportamento<br />
aero<strong>di</strong>namico delle sezioni delle torri dei ponti <strong>di</strong><br />
grande luce (modello 2-D)<br />
1. L’interferenza tra cilindri immersi in un flusso uniforme<br />
Lo stu<strong>di</strong>o del comportamento aero<strong>di</strong>namico e aeroelastico delle strutture <strong>di</strong> forma allungata<br />
richiede, come dati <strong>di</strong> partenza, oltre la caratterizzazione della struttura del vento e la<br />
conoscenza delle proprietà meccaniche della struttura, la conoscenza del comportamento<br />
aero<strong>di</strong>namico delle sezioni correnti, ossia la conoscenza dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici e delle<br />
funzioni <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong> questo, quali funzioni dell’angolo <strong>di</strong> attacco. Tali<br />
informazioni devono essere ricavate da prove in galleria del vento, e sono <strong>di</strong>sponibili in<br />
letteratura per un vasto repertorio <strong>di</strong> sezioni, tutte quelle <strong>di</strong> interesse scientifico e tecnico.<br />
Le prove vengono <strong>di</strong> solito effettuate ponendo in galleria del vento un elemento cilindrico<br />
fortemente allungato. Le caratteristiche che si intendono indagare sono relative a con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
flusso bi<strong>di</strong>mensionale uniforme, <strong>di</strong>retto ortogonalmente all’asse del cilindro, pertanto questo<br />
viene posto tra due pannelli, atti a limitare gli effetti <strong>di</strong> estremità. Le misurazioni che possono<br />
essere effettuate sono <strong>di</strong> due tipi. Da un lato è possibile, montando il cilindro su bilance,<br />
misurare le storie temporali delle forze aero<strong>di</strong>namiche, e da queste risalire ai valori me<strong>di</strong> e<br />
fluttuanti dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici degli spettri me<strong>di</strong>ati lungo il cilindro. Tale tecnica,<br />
tuttavia, fa sì che alla formazione dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici contribuiscano anche le<br />
porzioni <strong>di</strong> cilindro prossime alle estremità che, per quanti accorgimenti possano essere stati<br />
presi, sono comunque investite da un flusso non perfettamente bi<strong>di</strong>mensionale e comunque<br />
<strong>di</strong>verso da quello in<strong>di</strong>sturbato. D’altro canto è possibile sconnettere un concio centrale del<br />
cilindro dal resto e montare questo su bilance, in modo da me<strong>di</strong>are le caratteristiche<br />
aero<strong>di</strong>namiche solo su una piccola porzione del cilindro, sufficientemente lontano dalle<br />
estremità, e quin<strong>di</strong> non influenzato dagli effetti del flusso tri<strong>di</strong>mensionale. Un approccio<br />
65
66<br />
Capitolo IV<br />
alquanto <strong>di</strong>fferente è quello <strong>di</strong> munire il cilindro, nel piano della sezione <strong>di</strong> mezzeria, <strong>di</strong> prese<br />
manometriche; se queste sono in numero elevato, è allora possibile ricostruire la storia<br />
temporale della <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> pressioni su tale sezione e, per integrazione, la storia dei<br />
coefficienti aero<strong>di</strong>namici. Tale metodo, che ha l’innegabile pregio <strong>di</strong> considerare la sola<br />
sezione <strong>di</strong> mezzeria (ossia quella per cui il flusso più si avvicina alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
bi<strong>di</strong>mensionalità), richiede tuttavia l’utilizzo <strong>di</strong> analizzatori <strong>di</strong> pressioni ad alta frequenza <strong>di</strong><br />
campionamento.<br />
Nel caso in cui vengano affiancati due cilindri, lo schema <strong>di</strong> flusso, e <strong>di</strong> conseguenza il<br />
comportamento aero<strong>di</strong>namico dei cilindri, è dettato dalla interferenza che ha luogo tra i due<br />
elementi. Tale interferenza è legata alla posizione relativa dei cilindri, ed in generale<br />
<strong>di</strong>minuisce al crescere della <strong>di</strong>stanza tra questi.<br />
Lo stu<strong>di</strong>o dell’interferenza tra due (o più) cilindri ha una storia molto più limitata rispetto a<br />
quella dello stu<strong>di</strong>o dei singoli cilindri e la maggior parte dei lavori è de<strong>di</strong>cata all’interferenza<br />
tra cilindri circolari. Nel caso in cui la sezione trasversale sia polarsimmetrica due parametri<br />
sono sufficienti a definire la configurazione dei cilindri: questi possono essere le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong><br />
uno dei due cilindri rispetto all’altro, considerato fisso, oppure la <strong>di</strong>stanza tra i due cilindri e<br />
l’angolo tra la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del vento e la congiungente i centri. I risultati sono<br />
notevolmente <strong>di</strong>pendenti dal numero <strong>di</strong> Reynolds a cui viene svolto l’esperimento, e si pone<br />
quin<strong>di</strong> il problema della estrapolazione dei risultati sperimentali ai casi reali in cui il numero <strong>di</strong><br />
Reynolds può essere sostanzialmente superiore a quelli ottenibili in galleria. Il campo <strong>di</strong><br />
applicazione resta tuttavia molto vasto; si pensi ad esempio alle ciminiere, accoppiate od in<br />
schiera, o agli stralli accoppiati.<br />
In [Zdravkovich e Pridden 1977] viene data una ampia panoramica sul problema e vengono<br />
presentati risultati per <strong>di</strong>verse configurazioni e <strong>di</strong>versi numeri <strong>di</strong> Reynolds.<br />
Sia nella configurazione allineata (quella in cui i centri dei cilindri sono allineati con la<br />
<strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a dl flusso), che in quella affiancata (quando i cilindri sono posti<br />
simmetricamente rispetto alla <strong>di</strong>rezione del flusso me<strong>di</strong>o), venne in<strong>di</strong>viduato un<br />
comportamento <strong>di</strong>scontinuo, al variare della <strong>di</strong>stanza. Nella configurazione allineata, per<br />
piccoli valori della <strong>di</strong>stanza (o, meglio, della separazione) 1 , le forze <strong>di</strong> resistenza sono inferiori<br />
a quelle che si misurano sul singolo cilindro, ed ad<strong>di</strong>rittura negative sul cilindro posto<br />
sottovento; ciò è in<strong>di</strong>ce del fatto che il flusso che si <strong>di</strong>stacca dal cilindro sopravvento si<br />
riattacca su quello sottovento, portando come conseguenza lo stabilirsi <strong>di</strong> una zona <strong>di</strong> ristagno<br />
tra i due cilindri, ipotesi confermata dai bassi valori della pressione <strong>di</strong> stagnazione del cilindro<br />
sottovento. Nella configurazione affiancata, sempre per piccoli valori della separazione, lo<br />
schema <strong>di</strong> flusso simmetrico risulta instabile, e si verifica un’alternanza tra due schemi <strong>di</strong><br />
flusso asimmetrici (flusso bistabile); ne risultano valori dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici e del<br />
numero <strong>di</strong> Strouhal fortemente <strong>di</strong>versi da quelli relativi al singolo cilindro.<br />
Per cilindri aventi sezione trasversale <strong>di</strong> forma <strong>di</strong>fferente da quella circolare, due parametri<br />
non sono sufficienti ad in<strong>di</strong>viduare la configurazione; restano infatti da definire gli angoli <strong>di</strong><br />
attacco dei singoli cilindri.<br />
Si riporteranno <strong>di</strong> seguito i risultati <strong>di</strong> una indagine sperimentale sul comportamento<br />
aero<strong>di</strong>namico <strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata. Tale indagine è stata svolta col fine<br />
1 Nel seguito si farà riferimento al rapporto <strong>di</strong> separazione, o più brevemente separazione, inteso come il<br />
rapporto tra la <strong>di</strong>stanza tra i centri dei cilindri e la <strong>di</strong>mensione caratteristica della sezione trasversale.
<strong>Analisi</strong> sperimentale sul comportamento aero<strong>di</strong>namico delle sezioni delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce 67<br />
<strong>di</strong> fornire gli elementi <strong>di</strong> partenza (statistiche e spettri <strong>di</strong> potenza dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici,<br />
oltre alle informazioni relative al comportamento del flusso d’aria) per il calcolo delle forze<br />
aero<strong>di</strong>namiche che agiscono sulle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce. Queste torri sono spesso<br />
composte da due elementi verticali (colonne), collegati orizzontalmente da uno o più traversi.<br />
La sezione trasversale delle colonne è, salvo casi eccezionali, quadrata o rettangolare con<br />
rapporto <strong>di</strong> allungamento prossimo all’unità; le colonne possono inoltre presentare scanalature<br />
in corrispondenza degli spigoli, atte a migliorarne il comportamento aero<strong>di</strong>namico.<br />
Limitandosi al caso della sezione quadrata, si è quin<strong>di</strong> stu<strong>di</strong>ato il comportamento<br />
aero<strong>di</strong>namico <strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> cilindri, al variare della <strong>di</strong>stanza tra questi e dell’angolo della<br />
congiungente i centri con la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del flusso, conservando tuttavia le facce dei<br />
cilindri parallele tra loro ed alla congiungente i centri. Più semplicemente le configurazioni<br />
considerate sono tutte quelle che si ottengono me<strong>di</strong>ante la traslazione <strong>di</strong> uno dei due cilindri<br />
rispetto all’altro, nella <strong>di</strong>rezione della congiungente i centri, ed una rotazione rigida della<br />
coppia <strong>di</strong> cilindri attorno ad un asse parallelo agli assi dei cilindri.<br />
Per quanto concerne i cilindri a sezione quadrata, pochi lavori sono stati pubblicati in<br />
passato. In [Reinhold et al. 1977] si riportano i risultati <strong>di</strong> una indagine sui coefficienti<br />
aero<strong>di</strong>namici relativi ad un cilindro posto sottovento rispetto ad un alto uguale ma non<br />
strumentato; la configurazione veniva descritta da tre parametri: due definiscono la posizione<br />
del cilindro sottovento rispetto a quello sopravento e un terzo la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> incidenza del<br />
vento. Anche in questo caso nella configurazione allineata i coefficienti aero<strong>di</strong>namici risultano<br />
essere fortemente <strong>di</strong>pendenti dalla configurazione, con valori negativi del coefficiente <strong>di</strong><br />
resistenza del cilindri sottovento, per piccole separazioni. In [Blessman e Riera 1979] vengono<br />
riportati i risultati <strong>di</strong> esperimenti effettuati, nelle stesse configurazioni citate precedentemente,<br />
su prismi <strong>di</strong> altezza finita sia in flusso uniforme che in strato limite.<br />
2. Allestimento sperimentale<br />
Gli esperimenti <strong>di</strong> cui si riportano i risultati sono stati eseguiti nel Tunnel I del Boundary<br />
Layer Wind Tunnel Laboratory presso la University of Western Ontario. La galleria è del tipo<br />
a strato limite naturalmente sviluppato, a circuito aperto, e presenta una lunghezza totale <strong>di</strong> 33<br />
m ed una sezione trasversale <strong>di</strong> 2.44 m <strong>di</strong> larghezza ed una altezza variabile tra 1.50 m e 2.10<br />
m, grazie ad un tetto mobile; la presenza del tetto mobile consente <strong>di</strong> fissare la <strong>di</strong>stribuzione<br />
longitu<strong>di</strong>nale della pressione statica me<strong>di</strong>a, ed in particolare <strong>di</strong> ottenere una pressione statica<br />
me<strong>di</strong>a costante lungo la galleria.<br />
La presa è costituita da un restrittore troncoconico con raccor<strong>di</strong> semicircolari sul lato<br />
esterno; sui due lati, esterno ed interno, del restrittore sono poste griglie a nido d’ape, atte a<br />
migliorare le caratteristiche <strong>di</strong> uniformità del flusso. Un <strong>di</strong>ffusore orizzontale aperto ad alette<br />
garantisce un buon raccordo del flusso interno con quello esterno. La galleria (Figura 4.1) è<br />
dotata <strong>di</strong> due sezioni <strong>di</strong> prova. La prima è quella posta subito a valle del restrittore che si trova<br />
in corrispondenza della presa e viene usata per esperimenti in flusso uniforme. La seconda è
68<br />
Capitolo IV<br />
quella subito a monte del raccordo che si trova tra la sezione rettangolare corrente della<br />
galleria e quella circolare ove è posto il propulsore e viene usata nei casi in cui si voglia<br />
beneficiare della presenza <strong>di</strong> uno strato limite. La seconda sezione <strong>di</strong> prova è munita <strong>di</strong> un<br />
piatto girevole, che consente <strong>di</strong> ruotare i modelli rispetto alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> incidenza del vento.<br />
Sia il motore della galleria che il piatto girevole possono essere controllati tramite calcolatore,<br />
consentendo <strong>di</strong> programmare una serie <strong>di</strong> esperimenti in cui si facciano variare la velocità del<br />
vento e l’angolo <strong>di</strong> incidenza da eseguirsi automaticamente senza necessità <strong>di</strong> controllo da<br />
parte del personale. La velocità del motore della galleria viene regolata in base alla<br />
misurazione della velocità del flusso in un punto <strong>di</strong> riferimento, effettuata in tempo reale<br />
me<strong>di</strong>ante un tubo <strong>di</strong> Pitot.<br />
Lo strato limite viene ottenuto me<strong>di</strong>ante il posizionamento, sul pavimento della galleria, <strong>di</strong><br />
tappeti ruvi<strong>di</strong> oppure <strong>di</strong> pannelli su cui sono fissati elementi prismatici <strong>di</strong> spugna o <strong>di</strong><br />
polistirolo <strong>di</strong> vare <strong>di</strong>mensioni. Dosando oppurtunamente la <strong>di</strong>mensione <strong>di</strong> tali elementi è<br />
possibile modellare a piacimento le caratteristiche dello strato limite. Inoltre, per accelerare la<br />
formazione dello strato limite, possono essere <strong>di</strong>sposti, a valle della sezione <strong>di</strong> presa, delle<br />
spires o delle barriere.<br />
Il flusso turbolento viene ottenuto me<strong>di</strong>ante delle griglie poste nella sezione <strong>di</strong> presa.<br />
La massima velocità del vento consentita dal propulsore, in assenza <strong>di</strong> elementi per la<br />
creazione dello strato limite e <strong>di</strong> griglie, è <strong>di</strong> 15 m/s, il che vuol <strong>di</strong>re, considerando una<br />
<strong>di</strong>mensione massima della struttura da provare che non <strong>di</strong>a luogo a fenomeni <strong>di</strong> bloccaggio <strong>di</strong><br />
0.30 m, un limite sul numero <strong>di</strong> Reynolds <strong>di</strong> circa 3###10 5 .<br />
I modelli utilizzati negli esperimenti consistevano in una coppia <strong>di</strong> profilati <strong>di</strong> alluminio a<br />
sezione quadrata con lato <strong>di</strong> 3 cm e della lunghezza <strong>di</strong> 1.20 m. I profilati presentavano in<br />
mezzeria un concio <strong>di</strong> Plexiglas della lunghezza <strong>di</strong> circa 2 cm, collegato in modo da ripristinate<br />
la continuità dei cilindri. Il concio <strong>di</strong> Plexiglas conteneva 8 fori su ciascun lato, <strong>di</strong>sposti sul<br />
contorno <strong>di</strong> una sezione trasversale. Tali fori, del <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong> 0.89 mm, servivano da prese<br />
manometriche. L’utilizzo <strong>di</strong> un elemento <strong>di</strong> Plexiglas per l’alloggiamento dei fori si rende<br />
33.00<br />
1.80 3.80 1.80<br />
fan models pitot tube grid honeycomb grid<br />
Figura 4.1 - Pianta schematica della galleria del vento
<strong>Analisi</strong> sperimentale sul comportamento aero<strong>di</strong>namico delle sezioni delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce 69<br />
necessario attesa la <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> giuntare, senza il rischio <strong>di</strong> per<strong>di</strong>te, i tubi <strong>di</strong> collegamento<br />
<strong>di</strong>rettamente sull’alluminio.<br />
I cilindri erano montati su due piatti circolari, posti alle loro estremità. Questi a loro volta<br />
erano sorretti da due pannelli <strong>di</strong> legno montati verticalmente nella galleria. La rotazione dei<br />
piatti nei pannelli consentiva la variazione dell’angolo d’attacco, mentre la <strong>di</strong>stanza tra i<br />
cilindri veniva fatta variare me<strong>di</strong>ante la traslazione <strong>di</strong> uno dei due cilindri all’interno <strong>di</strong> una<br />
slitta posta nei piatti. I pannelli erano poi assicurati alle pareti della galleria me<strong>di</strong>ante un<br />
controvento.<br />
Le prese manometriche erano collegate ai trasduttori <strong>di</strong> pressione me<strong>di</strong>ante tubi <strong>di</strong> PVC <strong>di</strong><br />
una lunghezza totale <strong>di</strong> 0.81 m. I tubi erano muniti <strong>di</strong> due restrittori, atti a introdurre<br />
smorzamento nel sistema <strong>di</strong>namico costituito dai tubi stessi e dall’aria in essi contenuta. Il<br />
sistema <strong>di</strong> collegamento costituito dai tubi ha, infatti, un suo comportamento <strong>di</strong>namico,<br />
caratterizzabile me<strong>di</strong>ante una funzione <strong>di</strong> trasferimento. E’ allora necessario, affinché le<br />
misurazioni non siano influenzate dalla <strong>di</strong>namica del sistema <strong>di</strong> trasferimento, che questo abbia<br />
una funzione <strong>di</strong> trasferimento a modulo unitario nel campo <strong>di</strong> frequenze <strong>di</strong> interesse. 2 Tale<br />
obiettivo viene raggiunto, come si accennava, me<strong>di</strong>ante l’inserimento <strong>di</strong> strozzature nei tubi. Il<br />
collegamento in definitiva veniva realizzato me<strong>di</strong>ante un primo tubo, della lunghezza <strong>di</strong> 0.787<br />
m e del <strong>di</strong>ametro interno <strong>di</strong> 1.35 mm, <strong>di</strong>rettamente collegato alla presa manometrica, e<br />
me<strong>di</strong>ante un tubo, della lunghezza <strong>di</strong> 0.025 m e del <strong>di</strong>ametro interno <strong>di</strong> 0.86 mm, al trasduttore<br />
<strong>di</strong> pressione. Inoltre, ad una <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> 0.457 m dalla presa manometrica era posto un<br />
restrittore metallico. Una tale struttura del collegamento forniva (Figura 4.2) una funzione <strong>di</strong><br />
trasferimento pressappoco unitaria fino ad una frequenza <strong>di</strong> 105 Hz. I tubi correvano<br />
all’interno dei cilindri fino all’estremità <strong>di</strong> questi, ove erano posti i trasduttori.<br />
Ciascun trasduttore (modello ESP_16 della Pressure Systems Inc.) è munito <strong>di</strong> 16 entrate<br />
manometriche e <strong>di</strong> una uscita elettrica. Il segnale analogo elettrico relativo ai 16 canali in<br />
ingresso viene inviato all’analizzatore <strong>di</strong> pressioni tramite un unico canale, il che comporta la<br />
lettura delle pressione alle <strong>di</strong>fferenti prese manometriche in istanti <strong>di</strong>versi 3 . E’ allora<br />
necessario, in fase <strong>di</strong> analisi delle serie temporali, operare una interpolazione atta a ricondurre<br />
tutti i segnali (relativi alle 16 prese manometriche) ad un unico istante <strong>di</strong> lettura; ciò è stato<br />
fatto me<strong>di</strong>ante interpolazione lineare.<br />
Il segnale analogo elettrico proveniente dai trasduttori <strong>di</strong> pressione veniva ricevuto da un<br />
analizzatore <strong>di</strong> pressione; tale componente del sistema <strong>di</strong> acquisizione, oltre ad operare<br />
l’interpolazione a cui si accennava, trasformava il segnale analogico in segnale <strong>di</strong>gitale, e lo<br />
memorizzava, nella forma <strong>di</strong> serie temporali <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> potenziale, sul <strong>di</strong>sco <strong>di</strong> un<br />
Personal Computer. All’interno <strong>di</strong> ciascun file venivano inoltre inseriti i dati relativi alla<br />
calibrazione dei trasduttori, necessari in fase <strong>di</strong> elaborazione al calcolo dei coefficienti <strong>di</strong><br />
pressione dalle <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> potenziale. Lo stesso calcolatore utilizzato per la memorizzazione<br />
delle serie temporali veniva usato per il controllo dell’acquisizione. Un apposito programma<br />
consentiva l’immissione dei dati relativi all’acquisizione (durata, frequenza <strong>di</strong> campionamento<br />
etc.) nonché i parametri <strong>di</strong> calibrazione del sistema <strong>di</strong> acquisizione .<br />
2<br />
A rigore, oltre l’unitarietà del modulo della funzione <strong>di</strong> trasferimento bisognerebbe anche verificare la<br />
nullità della sua fase, ma tale aspetto viene <strong>di</strong> solito trascurato.<br />
3<br />
Tale proce<strong>di</strong>mento comporta uno sfasamento pari ad 1/16 del periodo <strong>di</strong> campionamento, tra ciascuna<br />
presa e la successiva.
70<br />
Figura 4.2 - Funzione <strong>di</strong> trasferimento del collegamento presa-trasduttore<br />
Capitolo IV<br />
La calibrazione veniva effettuata me<strong>di</strong>ante l’invio <strong>di</strong> aria in pressione agli elementi<br />
piezoelettrici che costituiscono i trasduttori, messi in collegamento in modo da essere tutti<br />
soggetti alla stessa pressione. In base alle letture così effettuare venivano calcolati i coefficienti<br />
<strong>di</strong> calibrazione. La elevatissima sensibilità del sistema faceva sì che spesso la calibrazione<br />
dovesse essere effettuata più <strong>di</strong> una volta prima <strong>di</strong> raggiungere un grado <strong>di</strong> precisione<br />
accettabile. La calibrazione, per maggiore sicurezza, veniva effettuata ogni qualvolta veniva<br />
aperta la porta <strong>di</strong> accesso alla galleria, il che vuol <strong>di</strong>re, come si vedrà in seguito, prima <strong>di</strong><br />
ciascuna registrazione.<br />
Le serie temporali delle <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> potenziale, memorizzate sul Personal Computer <strong>di</strong><br />
acquisizione, venivano poi trasferite su <strong>di</strong> un <strong>di</strong>sco fisso <strong>di</strong> un sistema IBM RISC, che veniva<br />
in seguito utilizzato per l’elaborazione dei dati. Dalle serie delle <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> potenziale<br />
rappresentanti i coefficienti <strong>di</strong> pressione, me<strong>di</strong>ante integrazione, e con l’uso dei fattori <strong>di</strong><br />
calibrazione cui si accennava, venivano costruite le serie temporali dei coefficienti<br />
aero<strong>di</strong>namici. Da queste era poi possibile, con ulteriori elaborazioni, costruire gli spettri <strong>di</strong><br />
potenza dei coefficienti stessi e le funzioni <strong>di</strong> cross-correlazione <strong>di</strong> questi. I programmi<br />
utilizzati per il controllo della galleria, per l’acquisizione e per l’elaborazione dei dati<br />
costituiscono parte <strong>di</strong> un più vasto complesso <strong>di</strong> programmi appositamente creati al BLWTL.<br />
Solo piccole aggiunte sono state fatte dallo scrivente per il calcolo delle funzioni <strong>di</strong> crosscorrelazione.<br />
Gli esperimenti sono stati realizzati nella prima sezione <strong>di</strong> prova al fine <strong>di</strong> ridurre al<br />
minimo lo spessore dello strato limite. In particolare i modelli erano posizionati 7.40 m a valle<br />
della griglia a nido d’ape. Maggiori dettagli circa l’allestimento sperimentale vengono dati in<br />
[<strong>Ricciardelli</strong> 1994].
<strong>Analisi</strong> sperimentale sul comportamento aero<strong>di</strong>namico delle sezioni delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce 71<br />
3. Caratteristiche del flusso<br />
Gli esperimenti sono stati condotti con due <strong>di</strong>fferenti con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso: la prima a<br />
regime laminare, la seconda a regime turbolento.<br />
In regime laminare la velocità me<strong>di</strong>a, misurata dal Pitot <strong>di</strong> riferimento, era <strong>di</strong> 10.7 m/s, il<br />
che vuol <strong>di</strong>re un numero <strong>di</strong> Reynolds pari a 22000, qualora come <strong>di</strong>mensione caratteristica<br />
venga preso il lato della sezione trasversale dei cilindri.<br />
L’uniformità del flusso nella sezione <strong>di</strong> prova e le caratteristiche dello strato limite sono<br />
state verificate me<strong>di</strong>ante delle misurazioni <strong>di</strong> velocità effettuate attraverso l’uso <strong>di</strong> un<br />
anemometro a filo caldo. L’uso <strong>di</strong> un anemometro a due fili <strong>di</strong>sposti a croce ha consentito la<br />
contemporanea misurazione delle serie temporali della componente longitu<strong>di</strong>nale e della<br />
componente verticale della velocità.<br />
Il trasduttore a filo caldo veniva montato su un carrello mobile all’interno della galleria,<br />
dotato <strong>di</strong> tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà. Un tale sistema consente <strong>di</strong> raggiungere automaticamente un<br />
qualsiasi punto all’interno della galleria, in<strong>di</strong>viduato me<strong>di</strong>ante le sue coor<strong>di</strong>nate rispetto ad un<br />
riferimento cartesiano definito dall’operatore; è inoltre possibile programmare una sequenza <strong>di</strong><br />
punti, in modo da effettuare registrazioni nei no<strong>di</strong> <strong>di</strong> un reticolo prestabilito. In particolare<br />
sono state effettuate misurazioni, sempre nell’ambito della sezione <strong>di</strong> prova, lungo due<br />
verticali ed una orizzontale, con un passo <strong>di</strong> 5 cm. Le due verticali erano quella <strong>di</strong> mezzeria ed<br />
una posta a circa 0.30 m da questa; l’orizzontale era ad una altezza <strong>di</strong> circa 0.61 m dal<br />
pavimento. Dalle registrazioni della velocità è possibile calcolare il valore me<strong>di</strong>o e lo scarto<br />
quadratico (e quin<strong>di</strong> l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> turbolenza) della velocità; è inoltre possibile ricavare lo spettro<br />
delle due componenti della velocità considerate.<br />
In Figura 4.3 viene riportato il profilo verticale delle velocità me<strong>di</strong>e misurato in mezzeria.<br />
In ascisse viene riportato il rapporto tra la velocità me<strong>di</strong>a locale e quella misurata dal Pitot <strong>di</strong><br />
riferimento, in or<strong>di</strong>nate la quota a<strong>di</strong>mensionalizzata rispetto all’altezza della galleria. Il<br />
<strong>di</strong>agramma mostra una buona uniformità del flusso (U/Uref = 1), eccetto per una piccola<br />
z / H<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1<br />
U / Uref<br />
Figura 4.3 - Profilo verticale delle velocità me<strong>di</strong>e in mezzeria in flusso laminare
72<br />
z / H<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
.000 .005 .010 .015 .020 .025 .030<br />
Ix<br />
Figura 4.4 - Profilo verticale delle<br />
intensità <strong>di</strong> turbolenza longitu<strong>di</strong>nale in<br />
mezzeria in flusso laminare<br />
0.0<br />
.000 .005 .010 .015 .020 .025 .030<br />
Iz<br />
Capitolo IV<br />
regione intorno alla metà altezza della galleria. Il motivo <strong>di</strong> tale <strong>di</strong>sunifomità risiede in una<br />
<strong>di</strong>scontinuità che vi è nella griglia a nido d’ape posta alla presa della galleria. Va tuttavia<br />
notato che i modelli erano posti ad una altezza variabile tra z/H = 0.23 e z/H = 0.46, il che<br />
vuole <strong>di</strong>re al <strong>di</strong> fuori della regione ove il flusso presenta una non uniformità.<br />
Per controllare l’assenza <strong>di</strong> strato limite nella regione prossima al pavimento, sono state<br />
effettuate registrazioni <strong>di</strong> velocità più ravvicinate. Le misurazioni hanno messo in luce la<br />
presenza <strong>di</strong> un sottile strato limite, caratterizzato da una velocità me<strong>di</strong>a pari allo 0.88 <strong>di</strong> quella<br />
misurata dal Pitot <strong>di</strong> riferimento, ad una quota <strong>di</strong> 0.10 m ed una velocità pari allo 0.99 <strong>di</strong> quella<br />
al riferimento ad una quota <strong>di</strong> 0.20 m.<br />
Nelle Figure 4.4 e 4.5 vengono riportati rispettivamente gli andamenti degli in<strong>di</strong>ci della<br />
turbolenza longitu<strong>di</strong>nale e verticale, sempre per la stessa verticale. Dai <strong>di</strong>agrammi si possono<br />
dedurre dei valori degli in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> turbolenza longitu<strong>di</strong>nale e verticale pressappoco costanti nella<br />
regione ove erano situati i modelli e pari rispettivamente a 0.004 e 0.003. Ancora una volta è<br />
possibile leggere dai <strong>di</strong>agrammi la presenza della <strong>di</strong>scontinuità nella griglia della presa. Si<br />
vede come tale <strong>di</strong>scontinuità, ancor più che creare una turbativa nel valore me<strong>di</strong>o della<br />
velocità, introduce una elevata turbolenza locale.<br />
Agli esperimenti in flusso laminare si è affiancata una seconda serie <strong>di</strong> esperimenti<br />
effettuati in regime turbolento. Le caratteristiche della turbolenza erano intese a riprodurre le<br />
caratteristiche della turbolenza atmosferica, nel campo <strong>di</strong> quote <strong>di</strong> interesse per l’ingegneria<br />
civile. La turbolenza veniva realizzata me<strong>di</strong>ante l’uso <strong>di</strong> una griglia a maglia grossa, posta 1.80<br />
m a valle della presa. Alla griglia definitiva si è arrivati attraverso successive mo<strong>di</strong>fiche <strong>di</strong> una<br />
griglia già esistente, che tuttavia si era <strong>di</strong>mostrata poco idonea a fornire con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso<br />
uniforme. La prima griglia era formata da quattro fasce verticali e da due orizzontali, <strong>di</strong> una<br />
larghezza pari a 14 cm, e poste ad un interasse <strong>di</strong> 55 cm; la <strong>di</strong>stanza dell’asse delle fasce<br />
orizzontali dal pavimento e dal tetto era <strong>di</strong> 57 cm, il che creava un flusso accelerato in<br />
prossimità <strong>di</strong> questi. L’effetto che ne risultava è quello che si può evincere dal profilo verticale<br />
delle velocità me<strong>di</strong>e in mezzeria, presentato in Figura 4.6; è chiara la forte accelerazione del<br />
z / H<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
Figura 4.5 - Profilo verticale delle<br />
intensità <strong>di</strong> turbolenza verticale in<br />
mezzeria in flusso laminare
<strong>Analisi</strong> sperimentale sul comportamento aero<strong>di</strong>namico delle sezioni delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce 73<br />
z / H<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4<br />
U / Uref<br />
Figura 4.6 - Profilo verticale delle velocità me<strong>di</strong>e in mezzeria in flusso turbolento<br />
con la griglia non mo<strong>di</strong>ficata<br />
flusso in prossimità del pavimento ed altresì la scarsa utilizzabilità <strong>di</strong> un tale tipo <strong>di</strong> flusso nel<br />
caso in cui i modelli, dovendo essere spostati verticalmente, vadano <strong>di</strong> volta in volta ad<br />
occupare quote <strong>di</strong>verse nell’ambito della sezione trasversale. Si rendeva pertanto necessario<br />
mo<strong>di</strong>ficare la griglia in modo da rendere il flusso uniforme. La mo<strong>di</strong>fica consistette<br />
nell’aggiungere due fasce, in corrispondenza del pavimento e del tetto, <strong>di</strong> larghezza tale da<br />
appiattire intorno al valore unitario il profilo verticale delle velocità me<strong>di</strong>e. Dopo qualche<br />
tentativo, con <strong>di</strong>fferenti larghezze, si è giunti con fasce <strong>di</strong> 7 cm al profilo <strong>di</strong> Figura 4.7, che si è<br />
reputato sufficientemente uniforme.<br />
In Figura 4.8 viene riportato il profilo verticale in mezzeria dell’in<strong>di</strong>ce della turbolenza<br />
longitu<strong>di</strong>nale in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso turbolento; se ne evince un valore pari a 0.10, per tutta la<br />
z / H<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1<br />
U/ Uref<br />
Figura 4.7 - Profilo verticale delle velocità me<strong>di</strong>e in mezzeria in flusso turbolento<br />
con la griglia mo<strong>di</strong>ficata
74<br />
z / H<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12<br />
Ix<br />
Figura 4.8 - Profilo verticale delle<br />
intensità <strong>di</strong> turbolenza longitu<strong>di</strong>nale in<br />
mezzeria in flusso turbolento<br />
Capitolo IV<br />
sezione trasversale della galleria, ad esclusione <strong>di</strong><br />
una piccola regione in prossimità del pavimento (e<br />
simmetricamente del tetto), in cui si risente della<br />
presenza <strong>di</strong> uno strato limite.<br />
Come si accennava in precedenza, dalle<br />
registrazioni delle serie temporali della velocità<br />
locale del vento è possibile costruire lo spettro <strong>di</strong><br />
potenza <strong>di</strong> tale quantità. In Figura 4.9 viene<br />
riportato lo spettro a<strong>di</strong>mensionalizzato della<br />
componente longitu<strong>di</strong>nale della turbolenza.<br />
Dalle registrazioni puntuali della velocità è<br />
possibile risalire a tutte le caratteristiche locali del<br />
flusso. Oltre alle statistiche della velocità e allo<br />
spettro della sua componente fluttuante, è infatti<br />
possibile costruire anche le funzioni <strong>di</strong><br />
autocorrelazione della velocità e quin<strong>di</strong> ottenere le<br />
scale integrali dei tempi. Tuttavia per la completa<br />
conoscenza delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso è necessario avere anche informazioni sulla<br />
organizzazione spaziale della turbolenza. Tali informazioni possono ottenersi tramite le<br />
contemporanee registrazioni <strong>di</strong> storie temporali della velocità in coppie <strong>di</strong> punti, al variare<br />
della posizione relativa <strong>di</strong> questi. Disponendo <strong>di</strong> un grosso numero <strong>di</strong> tali registrazioni, è allora<br />
possibile, per interpolazione, la costruzione delle funzioni <strong>di</strong> coerenza della turbolenza. Tale<br />
approccio, che porterebbe a risultati <strong>di</strong> ottima precisione, è estremamente oneroso dal punto <strong>di</strong><br />
vista sperimentale, implicando la registrazione <strong>di</strong> un elevatissimo numero <strong>di</strong> storie temporali.<br />
Facendo però riferimento alla ipotesi formulata da Taylor circa la natura convettiva della<br />
turbolenza, è possibile da registrazioni puntuali della velocità risalire alle scale integrali della<br />
turbolenza. Si ha così una prima informazione globale sulla struttura spaziale della turbolenza<br />
ed in particolare sulla <strong>di</strong>mensione caratteristica degli elementi vorticosi che la caratterizzano.<br />
Figura 4.9 - Spettro della turbolenza longitu<strong>di</strong>nale
<strong>Analisi</strong> sperimentale sul comportamento aero<strong>di</strong>namico delle sezioni delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce 75<br />
Ipotizzando una natura convettiva della turbolenza, le scale integrali delle lunghezze e dei<br />
tempi della componente longitu<strong>di</strong>nale della turbolenza devono essere legate in modo tale che il<br />
loro rapporto sia uguale alla velocità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> flusso, cioè:<br />
x<br />
u<br />
L<br />
T<br />
u<br />
= U<br />
(4.1)<br />
ove con T u si è in<strong>di</strong>cate rispettivamente le scale integrale dei tempi della turbolenza<br />
longitu<strong>di</strong>nale. Il valore della scala dei tempi può essere ricavata dallo spettro della turbolenza;<br />
risulta infatti:<br />
∞<br />
Suu( ) u<br />
~ 2<br />
Ru() t dt u<br />
~ 2<br />
0 = 4 ∫ = 4 Tu<br />
(4.2)<br />
0<br />
dove con S uu (0) si è in<strong>di</strong>cato il valore dello spettro della componente longitu<strong>di</strong>nale della<br />
turbolenza corrispondente ad un valore nullo della frequenza e con R u (t) la sua funzione <strong>di</strong><br />
autocorrelazione. Dalla (4.2) si ricava pertanto:<br />
L<br />
U⋅ S ( 0)<br />
=<br />
4u ~ 2 (4.3)<br />
x uu<br />
u<br />
Le tre quantità che compaiono nella (4.3) possono essere ricavate dalla registrazione<br />
utilizzata per la costruzione dello spettro <strong>di</strong> Figura 4.9. Ne risulta una scala della turbolenza<br />
longitu<strong>di</strong>nale <strong>di</strong> 0.24 m, ossia pari a 8 volte la <strong>di</strong>mensione caratteristica della sezione<br />
trasversale dei cilindri.<br />
4. Profilo degli esperimenti<br />
La <strong>di</strong>stanza tra i cilindri è stata fatta variare tra 2 e 13 volte la <strong>di</strong>mensione caratteristica<br />
della sezione trasversale, mentre l’angolo <strong>di</strong> attacco, inteso come l’angolo tra la congiungente i<br />
centri delle sezioni trasversali e la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del flusso, è stato fatto variare tra 0° e 90°<br />
(0°, 7.5°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° e 90°).<br />
Il campionamento è stato effettuato, ad una frequenza <strong>di</strong> 200 Hz, per 256 secon<strong>di</strong>, il che ha<br />
consentito la costruzione <strong>di</strong> spettri <strong>di</strong> 512 punti, me<strong>di</strong>ando tra 100 blocchi <strong>di</strong> dati. Alcune<br />
registrazioni aggiuntive ad una frequenza <strong>di</strong> 800 Hz e per 128 secon<strong>di</strong> si sono rese necessarie<br />
al fine <strong>di</strong> avere una migliore risoluzione nelle funzioni <strong>di</strong> cross-correlazione, utilizzate per il<br />
calcolo della fase del <strong>di</strong>stacco dei vortici dai due cilindri.
76<br />
Capitolo IV<br />
Delle registrazioni sono anche state effettuate su un singolo cilindro posto con <strong>di</strong>fferenti<br />
angoli <strong>di</strong> attacco, al fine <strong>di</strong> avere, quali termini <strong>di</strong> paragone, dati sul comportamento del<br />
cilindro isolato. Tali risultati vanno infatti intesi quali valori asintotici dei dati relativi ai due<br />
cilindri, <strong>di</strong>sposti con lo stesso angolo <strong>di</strong> attacco, al tendere all’infinito della separazione.
Capitolo V<br />
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a<br />
sezione quadrata<br />
1. Premessa<br />
L’analisi dei risultati delle prove sperimentali ha messo in luce due <strong>di</strong>fferenti mo<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
interagire dei due cilindri: il primo si verifica quando uno dei due è nella scia dell’altro, il<br />
secondo quando i cilindri hanno scie separate, che si deformano a vicenda. Il caso limite del<br />
primo comportamento è quello della configurazione a cilindri allineati col flusso, mentre per il<br />
secondo comportamento il caso limite è quello della configurazione a cilindri affiancati. Per<br />
quanto riguarda le configurazioni interme<strong>di</strong>e, queste rappresentano la transizione tra un<br />
comportamento e l’altro. Sulla base <strong>di</strong> queste osservazioni il presente capitolo, in cui si<br />
illustrano il comportamento aero<strong>di</strong>namico e le modalità <strong>di</strong> interferenza <strong>di</strong> due cilindri a sezione<br />
quadrata posti in un campo <strong>di</strong> moto bi<strong>di</strong>mensionale, viene sud<strong>di</strong>viso in quattro paragrafi. I<br />
primi due riportano i risultati relativi alle configurazioni a cilindri allineati e a cilindri<br />
affiancati, mentre i due successivi si occupano delle configurazioni a piccoli angoli <strong>di</strong> attacco<br />
(α≤30°), in cui prevale il comportamento dovuto ad un’unica scia, e delle configurazioni a<br />
gran<strong>di</strong> angoli <strong>di</strong> attacco (α≥45°), in cui prevale il comportamento dovuto alla esistenza <strong>di</strong> due<br />
scie <strong>di</strong>storte. L’approccio sarà <strong>di</strong> tipo prevalentemente qualitativo, inteso a fornire gli elementi<br />
necessari alla comprensione dei fenomeni più che alla elaborazione numerica. La serie<br />
completa <strong>di</strong> risultati numerici viene presentata in [<strong>Ricciardelli</strong> 1994], e a tale lavoro si farà<br />
riferimento in seguito, nell’applicare i risultati delle prove sperimentali alla verifica delle torri<br />
dei ponti <strong>di</strong> grande luce. In [<strong>Ricciardelli</strong> e Vickery 1994] vengono sintetizzati i risultati relativi<br />
alle forze aero<strong>di</strong>namiche che agiscono su ciascuno dei due cilindri, mentre in [<strong>Ricciardelli</strong> e<br />
Vickery 1995] viene data una più estesa interpretazione del comportamento fluido<strong>di</strong>namico,<br />
nel caso in cui i cilindri siano allineati col flusso.<br />
In Figura 5.1 vengono riportate le convenzioni sui segni delle forze aero<strong>di</strong>namiche; per il<br />
significato dei simboli si fa riferimento alla simbologia riportata all’inizio del lavoro.<br />
77
78<br />
2. Cilindri allineati col flusso<br />
Le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso, e<br />
<strong>di</strong> conseguenza le forze aero<strong>di</strong>namiche,<br />
nelle configurazioni<br />
a cilindri allineati, si<br />
<strong>di</strong>mostrano fortemente <strong>di</strong>pendenti<br />
dalla separazione, sia in<br />
flusso laminare che turbolento;<br />
in particolare in flusso<br />
laminare il passaggio tra un<br />
regime ad un altro avviene<br />
attraverso una brusca <strong>di</strong>scontinuità.<br />
Per valori molto piccoli del<br />
rapporto <strong>di</strong> separazione (s/b <<br />
3), in flusso laminare, il flusso<br />
<strong>di</strong>staccato dal cilindro<br />
sopravento si riattacca sulle<br />
facce laterali del cilindro<br />
Capitolo V<br />
sottovento, comportando una quasi totale assenza <strong>di</strong> flusso nell’intercape<strong>di</strong>ne tra i cilindri. Il<br />
valor me<strong>di</strong>o della resistenza del cilindro sopravento è leggermente inferiore al valore misurato<br />
sul cilindro isolato, a causa della minore entità della depressione che si genera<br />
nell’intercape<strong>di</strong>ne, rispetto a quella che si genera nella scia del singolo cilindro. Il cilindro<br />
sottovento è invece soggetto ad una resistenza negativa, che deriva soprattutto dal fatto che la<br />
sua faccia <strong>di</strong> monte non sia investita da un flusso in<strong>di</strong>sturbato, ma sia immersa in una area<br />
C D<br />
2.5<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
-0.5<br />
-1.0<br />
Fx<br />
D<br />
Fy<br />
sopravento<br />
sottovento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.2 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza per cilindri allineati in flusso<br />
laminare<br />
L<br />
M<br />
W<br />
D<br />
Fy<br />
Figura 5.1 - Segni delle forze aero<strong>di</strong>namiche<br />
s<br />
Fx<br />
L<br />
M
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 79<br />
~<br />
C D<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
sopravento<br />
sottovento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.3 - Valori fluttuanti dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza per cilindri allineati in<br />
flusso laminare<br />
depressa del campo <strong>di</strong> moto. Le pressioni sulla faccia <strong>di</strong> valle del cilindro sopravento e sulla<br />
faccia <strong>di</strong> monte del cilindro sottovento, sono uguali; ciò in<strong>di</strong>ca la natura statica <strong>di</strong> tali pressioni<br />
e quin<strong>di</strong> conferma la assenza <strong>di</strong> flusso nella intercape<strong>di</strong>ne. Tale assenza <strong>di</strong> flusso fa sì che i due<br />
cilindri si comportino come un corpo unico, dalla sezione notevolmente allungata, il che porta<br />
al restringimento della scia, e <strong>di</strong> conseguenza alla riduzione della forza <strong>di</strong> portanza sulla faccia<br />
<strong>di</strong> valle del cilindro sottovento. In Figura 5.2 sono riportati i valori me<strong>di</strong> dei coefficienti <strong>di</strong><br />
resistenza dei due cilindri, in funzione della separazione. Il valore della parte fluttuante (scarto<br />
quadratico me<strong>di</strong>o) dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza (Figura 5.3) è notevolmente inferiore a quello<br />
che si misura sul cilindro isolato ( ~<br />
CD = 016 . ), sia per il cilindro sopravento che per quello<br />
sottovento, ancora una volta a causa dell’assenza <strong>di</strong> flusso nell’intercape<strong>di</strong>ne e del<br />
restringimento della scia.<br />
La parte fluttuante del coefficiente <strong>di</strong> portanza (Figura 5.4), essendo nullo il valore me<strong>di</strong>o<br />
per la simmetria del flusso, presenta per piccole separazioni valori molto bassi, e comunque<br />
maggiori per il cilindro sottovento. Un tale risultato, tenuto conto che le forze fluttuanti <strong>di</strong><br />
portanza sono, nel caso <strong>di</strong> regime laminare quasi esclusivamente attribuibili all’azione dei<br />
vortici che si <strong>di</strong>staccano dai cilindri, porta alla conclusione che il <strong>di</strong>stacco dei vortici è poco<br />
accentuato e che comunque avviene prevalentemente dal cilindro sottovento. Si deduce allora<br />
che il flusso che si <strong>di</strong>stacca dal cilindro sopravento presenti un basso livello <strong>di</strong> vorticosità, e<br />
che vi sia un vero e proprio, anche se <strong>di</strong> debole intensità, <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici solo dal cilindro<br />
sottovento; ciò è coerente con quanto affermato circa il restringimento della scia. Queste<br />
considerazioni vengono avvalorate dall’analisi degli spettri <strong>di</strong> potenza del coefficiente <strong>di</strong><br />
portanza. Con riferimento alla Figura 5.5, in cui vengono riportati gli spettri a<strong>di</strong>mensionalizzati<br />
dei coefficienti <strong>di</strong> portanza, in funzione della frequenza ridotta, si nota che sebbene gli spettri<br />
relativi ai due cilindri abbiano la stessa forma per s/b = 2, quello relativo al cilindro sottovento<br />
ha valori <strong>di</strong> circa un or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza maggiori <strong>di</strong> quello del cilindro sopravento. Si nota<br />
inoltre come la maggiore parte dell’energia sia concentrata a frequenze prossime a quella <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici.
80<br />
Capitolo V<br />
Il numero <strong>di</strong> Strouhal (Figura 5.6), che si mantiene lo stesso per i due cilindri, è fortemente<br />
<strong>di</strong>pendente dalla separazione, e per piccole separazioni decrescente con questa. Anche questa<br />
osservazione può essere interpretata alla luce <strong>di</strong> un comportamento unitario dei due cilindri:<br />
all’aumentare della separazione aumenta, infatti, l’allungamento dell’insieme dei due cilindri, e<br />
ne <strong>di</strong>minuisce <strong>di</strong> conseguenza il numero <strong>di</strong> Strouhal.<br />
La possibilità, che per piccole separazioni, il flusso che si <strong>di</strong>stacca dal cilindro sopravento<br />
possa riattaccarsi al cilindro sottovento, era già stata messa in luce in [Zdravkovich e Pridden<br />
1977] con riferimento a cilindri a sezione circolare, e in [Sakamoto e Haniu 1988] per quanto<br />
riguarda i prismi a sezione quadrata; inoltre in [Reinhold et al. 1977] vengono osservati<br />
coefficienti <strong>di</strong> resistenza negativi per il cilindro sottovento, ma non viene fornita alcuna<br />
interpretazione del comportamento osservato.<br />
Per una separazione s/b = 3 si verifica, in flusso laminare, una brusca variazione del regime<br />
<strong>di</strong> moto: il flusso che si separa dal cilindro sopravento non è più in grado <strong>di</strong> riattaccarsi sul<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
~<br />
C L<br />
1.2<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
s / b = 2 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
23.8<br />
sopravento<br />
sottovento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.4 - Valori fluttuanti dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per cilindri allineati in<br />
flusso laminare<br />
s / b = 4 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
f ⋅b<br />
sopravento<br />
f ⋅SC( f ) −<br />
LCL<br />
U<br />
sottovento<br />
Figura 5.5 - Spettri dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per cilindri allineati in flusso laminare
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 81<br />
St<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.10<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0.00<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.6 - Numero <strong>di</strong> Strouhal per cilindri allineati in flusso laminare<br />
cilindro sottovento, che rimane completamente immerso nella scia del primo. L’interazione,<br />
per rapporti <strong>di</strong> separazione leggermente superiori a 3, è ancora bilaterale, nel senso che<br />
entrambi i cilindri risentono della presenza dell’altro. Il cilindro sopravento in quanto ha una<br />
scia turbata dalla presenza del cilindro sottovento, e questo per l’essere nella scia del primo.<br />
All’ulteriore aumento della separazione, si accompagna un comportamento sempre più<br />
autonomo del cilindro sopravento, mentre quello sottovento si comporta coerentemente col<br />
fatto che si trova nella scia del primo. Con riferimento alla Figura 5.2, si vede come per s/b > 3<br />
il valore me<strong>di</strong>o del coefficiente <strong>di</strong> resistenza del cilindro sopravento sia praticamente costante,<br />
e pari al valore misurato sul cilindro isolato ( CD = 225 . ). Per il cilindro sottovento il<br />
coefficiente <strong>di</strong> resistenza si mantiene costante, assumendo, tuttavia, un valore molto più basso.<br />
Se nel calcolo del coefficiente <strong>di</strong> resistenza al posto della velocità del flusso in<strong>di</strong>sturbato si<br />
utilizza la il valore della velocità me<strong>di</strong>a in scia, e se si tiene conto del maggiore livello <strong>di</strong><br />
turbolenza che vi è in questa rispetto al flusso in<strong>di</strong>sturbato, si ritrova il valore del coefficiente<br />
<strong>di</strong> resistenza misurato sul cilindro in<strong>di</strong>sturbato. Tale verifica è stata eseguita facendo<br />
riferimento al modello <strong>di</strong> scia presentato in [Hangan e Vickery 1994].<br />
Per separazioni maggiori <strong>di</strong> quella per cui si verifica la <strong>di</strong>scontinuità nel regime <strong>di</strong> moto, il<br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici è pienamente sviluppato da entrambi i cilindri. La parte fluttuante del<br />
coefficiente <strong>di</strong> resistenza cresce notevolmente, in particolar modo per il cilindro sottovento,<br />
che comincia ad essere investito dalla turbolenza causata dal <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici dal cilindro<br />
sopravento; per rapporti <strong>di</strong> separazione poco superiori a 3, questo coefficiente è notevolmente<br />
maggiore sia del corrispondente valore misurato sul cilindro in<strong>di</strong>sturbato, sia <strong>di</strong> quello che<br />
competerebbe al cilindro sottovento qualora immerso in una scia pienamente sviluppata, e a<br />
tale secondo valore tende al crescere della separazione. La parte fluttuante del coefficiente <strong>di</strong><br />
portanza (Figura 5.4), anche, presenta un improvviso e forte aumento, che è appunto il risultato<br />
dello svilupparsi del <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici. All’ulteriore aumento della separazione il coefficiente<br />
relativo al cilindro sopravento decresce leggermente, stabilizzandosi al valore relativo al<br />
cilindro isolato, mentre quello relativo al cilindro sottovento decresce in misura maggiore,<br />
coerentemente con i più bassi valori della velocità del flusso che lo investe. In Figura 5.5 viene
82<br />
()<br />
RCt L12<br />
~ ~<br />
C C<br />
L1 L2<br />
s / b = 6 . 0<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
-1.0<br />
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40<br />
Ut/b<br />
Figura 5.7 - Coefficiente <strong>di</strong> cross-correlazione delle forze <strong>di</strong> portanza per cilindri<br />
allineati in flusso laminare<br />
Capitolo V<br />
riportato lo spettro del coefficiente <strong>di</strong> portanza per un rapporto <strong>di</strong> separazione pari a 4; gli<br />
spettri relativi ai due cilindri sono in questo caso coincidenti nel campo <strong>di</strong> frequenze a<br />
maggiore contenuto energetico. Tale osservazione viene interpretata da Sakamoto e Haniu<br />
me<strong>di</strong>ante l’ipotesi della esistenza <strong>di</strong> una violenta oscillazione trasversale del flusso, che<br />
coinvolga i due cilindri e che porta al <strong>di</strong>stacco contemporaneo <strong>di</strong> vortici da questi, esplicando<br />
notevoli forze <strong>di</strong> portanza.<br />
Il numero <strong>di</strong> Strouhal, che attinge un valore minimo in corrispondenza della <strong>di</strong>scontinuità,<br />
cresce dopo questa tendendo al valore relativo al cilindro isolato.<br />
La coincidenza delle frequenze <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici, anche a <strong>di</strong>spetto del fatto che<br />
coefficienti aero<strong>di</strong>namici coerenti col flusso <strong>di</strong> scia farebbero pronosticare una frequenza <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stacco inferiore per il cilindro sottovento, fa pensare ad un meccanismo <strong>di</strong> sincronizzazione<br />
dei <strong>di</strong>stacchi dai due cilindri. La natura <strong>di</strong> tale sincronizzazione, che viene già ipotizzata in<br />
[Sakamoto e Haniu 1988], può essere investigata me<strong>di</strong>ante l’uso delle funzione <strong>di</strong> crosscorrelazione<br />
tra le forze <strong>di</strong> portanza che agiscono sui due cilindri. Tali funzioni, che ci si<br />
attende essere ad andamento sinusoidale smorzato con periodo pari al periodo <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei<br />
vortici, forniscono informazioni circa il livello <strong>di</strong> sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici<br />
(or<strong>di</strong>nate dei massimi della funzione), e circa la fase dei due <strong>di</strong>stacchi (ascissa del maggiore<br />
dei massimi). Le osservazioni che si possono trarre sono che la coerenza tra i <strong>di</strong>stacchi <strong>di</strong><br />
vortici è elevata, per tutte le separazioni prese in considerazione (massimi delle funzioni <strong>di</strong><br />
cross-correlazione prossimi all’unità), anche se leggermente decrescente con la separazione, e<br />
che la fase aumenta linearmente con la separazione. A ciò si aggiunge che il valore massimo<br />
delle funzioni <strong>di</strong> cross-correlazione è sempre negativo. Si può pertanto dedurre che, con<br />
eccezione delle separazioni per cui il flusso si riattacca sul cilindro sottovento, il <strong>di</strong>stacco dei<br />
vortici dal cilindro sottovento sia suscitato dal sopraggiungere <strong>di</strong> un vortice proveniente dal<br />
cilindro sopravento, e che il <strong>di</strong>stacco avvenga da banda opposta rispetto al vortice che investe<br />
il cilindro. In Figura 5.7 viene riportato un esempio <strong>di</strong> funzione <strong>di</strong> cross-correlazione, per un<br />
rapporto <strong>di</strong> separazione pari a 6; in ascissa viene riportato il tempo a<strong>di</strong>mensionalizzato, e in
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 83<br />
Ut/b<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14<br />
s / b<br />
Figura 5.8 - Ritardo del <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici tra cilindri allineati in regime laminare<br />
or<strong>di</strong>nata i valori a<strong>di</strong>mensionalizzati della funzione <strong>di</strong> cross-correlazione (coefficiente <strong>di</strong><br />
correlazione). In Figura 5.8 viene riportato il ritardo tra i <strong>di</strong>stacchi <strong>di</strong> vortici dai due cilindri,<br />
ricavato dalle funzioni <strong>di</strong> cross-correlazione quale ascissa del valore massimo assunto da<br />
questa, in funzione della separazione. I punti si presentano <strong>di</strong>sposti su una retta, la cui<br />
pendenza rappresenta la velocità convettiva dei vortici; tale velocità risulta essere pari allo 0.80<br />
della velocità <strong>di</strong> riferimento.<br />
Gran parte delle considerazioni fatte sinora circa il comportamento in un flusso a regime<br />
laminare possono essere estese ad un flusso turbolento, a patto <strong>di</strong> interpretare e tenere in conto<br />
l’azione <strong>di</strong> <strong>di</strong>sturbo della turbolenza sui fenomeni in considerazione; in particolar modo per<br />
quanto concerne la capacità <strong>di</strong> questa <strong>di</strong> far perdere coerenza spaziale e temporale alle strutture<br />
vorticose. 1<br />
La brusca <strong>di</strong>scontinuità <strong>di</strong> comportamento del flusso che è stata riscontrata in regime<br />
laminare per un rapporto <strong>di</strong> separazione pari a 3, non viene ritrovata in regime turbolento; si<br />
riscontra invece una graduale transizione tra i due <strong>di</strong>versi comportamenti. Per piccoli valori del<br />
rapporto <strong>di</strong> separazione (Figura 5.9) il valore me<strong>di</strong>o della forza <strong>di</strong> resistenza sul cilindro<br />
sopravento è leggermente inferiore a quello misurato per un cilindro isolato( CD = 179 . ), e<br />
quello sul cilindro sottovento è negativo, così come si osserva nel caso <strong>di</strong> regime laminare. Al<br />
crescere del rapporto <strong>di</strong> separazione il coefficiente <strong>di</strong> resistenza del cilindro sopravento<br />
raggiunge il valore che si ottiene per il cilindro isolato, mentre quello del cilindro sottovento<br />
cresce, stabilizzandosi poi su un valore alquanto inferiore a quello del cilindro isolato. Queste<br />
osservazioni vengono interpretate ipotizzando, quantomeno nel campo <strong>di</strong> separazioni prese in<br />
1 Al crescere del livello della turbolenza il fenomeno del <strong>di</strong>stacco dei vortici, sebbene rimanga<br />
caratterizzato dalla frequenza <strong>di</strong> Strouhal, perde <strong>di</strong> regolarità, presentando quin<strong>di</strong> uno spettro a banda più<br />
ampia che nel caso <strong>di</strong> regime laminare; analogamente, i vortici, una volta <strong>di</strong>staccatisi dal corpo, perdono<br />
coerenza più rapidamente che non in regime laminare. Questa seconda affermazione viene provata dalle<br />
esperienze <strong>di</strong> visualizzazione <strong>di</strong> flusso che si effettuano in galleria del vento, che mostrano come la<br />
turbolenza del flusso incidente tenda a <strong>di</strong>struggere i vortici mentre questi vengono trasportati dalla<br />
corrente.
84<br />
C D<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
-0.5<br />
sopravento<br />
sottovento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.9 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza per cilindri allineati in flusso<br />
turbolento<br />
Capitolo V<br />
considerazione, l’assenza <strong>di</strong> flusso riattaccato sul cilindro sottovento e una variazione delle<br />
forze che agiscono sul cilindro sottovento legata alla sua posizione nella scia del cilindro<br />
sopravento.<br />
Per piccole separazioni il <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici dai due cilindri avviene in maniera<br />
leggermente più debole che non nel caso del cilindro singolo, il che porta ad un valore della<br />
parte fluttuante del coefficiente <strong>di</strong> portanza (Figura 5.10) inferiore a quello del cilindro<br />
isolato( ~<br />
CL = 071) . ed uguale per i due cilindri. Tale coefficiente attinge poi un valore massimo<br />
per un rapporto <strong>di</strong> separazione pari a 5.5, ed infine si stabilizza al valore relativo cilindro<br />
isolato, per il cilindro sopravento , ed ad un valore inferiore a questo, coerente col flusso <strong>di</strong><br />
scia, per quello sottovento.<br />
~CL<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
sopravento<br />
sottovento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.10 - Valori fluttuanti dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per cilindri allineati in<br />
flusso turbolento
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 85<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 2 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
s / b = 4 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
f ⋅b<br />
sopravento<br />
f ⋅SC( f ) −<br />
LCL<br />
U<br />
sottovento<br />
Figura 5.11 - Spettri dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per cilindri allineati in flusso turbolento<br />
Nel caso <strong>di</strong> un regime <strong>di</strong> moto turbolento, parte della forza <strong>di</strong> portanza è dovuta all’azione<br />
della turbolenza. In Figura 5.11 vengono riportati gli spettri <strong>di</strong> potenza del coefficiente <strong>di</strong><br />
portanza, per rapporti <strong>di</strong> separazione <strong>di</strong> 2 e 4. Un confronto tra le Figure 5.11 e 5.4 mette in<br />
luce la <strong>di</strong>fferente composizione delle forze <strong>di</strong> portanza, nei due casi in cui queste siano dovute<br />
ad un flusso in regime laminare od in regime turbolento. Nel caso <strong>di</strong> una separazione pari a 2,<br />
al picco <strong>di</strong> Figura 5.4 si sostituisce un intervallo <strong>di</strong> frequenze a contenuto energetico più<br />
elevato, mentre nel caso <strong>di</strong> una separazione pari a 4, lo spettro relativo al regime turbolento<br />
presenta valori <strong>di</strong> picco inferiori e valori alle basse frequenze più elevati.<br />
Il numero <strong>di</strong> Strouhal, che anche in questo caso è lo stesso per i due cilindri, presenta valori<br />
più bassi <strong>di</strong> quello del cilindro isolato (St = 0.116) quando la separazione è piccola, e cresce<br />
verso tale valore al crescere della separazione.<br />
Il <strong>di</strong>stacco dei vortici dal cilindro sottovento avviene in regime turbolento con le stesse<br />
modalità evidenziate nel caso <strong>di</strong> regime laminare, ossia quando il cilindro viene investito da un<br />
()<br />
RCt L12<br />
~ ~<br />
C C<br />
L1 L2<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 6 . 0<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
-1.0<br />
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40<br />
Ut/b<br />
Figura 5.12 - Coefficiente <strong>di</strong> cross-correlazione delle forze <strong>di</strong> portanza per cilindri<br />
allineati in flusso turbolento
86<br />
Capitolo V<br />
vortice proveniente dal cilindro sopravento. L’effetto <strong>di</strong> <strong>di</strong>sturbo della turbolenza, tuttavia,<br />
riduce la coerenza delle forze <strong>di</strong> portanza e aumenta l’attenuarsi <strong>di</strong> queste all’aumentare della<br />
separazione. In Figura 5.12 è riportato il coefficiente <strong>di</strong> correlazione delle forze <strong>di</strong> portanza,<br />
nel caso <strong>di</strong> un rapporto <strong>di</strong> separazione pari a 6; confrontando questa con quella <strong>di</strong> Figura 5.7,<br />
relativa alla stessa separazione ma in regime laminare, è possibile cogliere le <strong>di</strong>fferenze<br />
accennate. Anche in questo caso il ritardo tra il <strong>di</strong>stacco dei vortici dai due cilindri cresce<br />
linearmente con la separazione, e fornisce un valore della velocità convettiva dei vortici pari<br />
allo 0.78 della velocità <strong>di</strong> riferimento.<br />
3. Cilindri affiancati<br />
La configurazione a cilindri affiancati, malgrado geometricamente simmetrica come quella<br />
a cilindri allineati col flusso, presenta, per separazioni inferiori a 2.5 ed in regime laminare,<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso, e quin<strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namiche, asimmetriche. Per piccole separazioni,<br />
infatti, la configurazione <strong>di</strong> flusso simmetrica risulta non stabile, e pertanto ha luogo una<br />
coppia <strong>di</strong> configurazioni asimmetriche (flusso <strong>di</strong>storto), ciascuna immagine speculare<br />
dell’altra, che si alternano in maniera casuale; un tale fenomeno viene in<strong>di</strong>cato come flusso<br />
bistabile. Il verificarsi <strong>di</strong> una delle due configurazioni piuttosto che l’altra è puramente casuale<br />
e, attesa la simmetria geometrica, in un periodo <strong>di</strong> osservazione sufficientemente lungo, il<br />
tempo <strong>di</strong> permanenza del flusso in ciascuna delle due configurazioni dovrebbe essere<br />
all’incirca uguale. Tuttavia una benché minima imperfezione nella <strong>di</strong>sposizione dei cilindri,<br />
che porta una asimmetria della configurazione geometrica, rende una delle due configurazioni<br />
<strong>di</strong> flusso più probabile dell’altra. Ne risulta che i coefficienti aero<strong>di</strong>namici determinati<br />
C D<br />
2.5<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
1 2<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.13 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza per cilindri affiancati in<br />
flusso laminare
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 87<br />
C L<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
-0.1<br />
-0.2<br />
-0.3<br />
-0.4<br />
1 2<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.14 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per cilindri affiancati in flusso<br />
laminare<br />
sperimentalmente si presentano <strong>di</strong>fferenti per i due cilindri; un tale comportamento è già stato<br />
osservato, per cilindri circolari, in [Zdravkovich e Pridden 1977]. In Figura 5.13 vengono<br />
riportati i valori me<strong>di</strong> del coefficiente <strong>di</strong> resistenza; si vede come per bassi valori della<br />
separazioni questi siano <strong>di</strong>fferenti per i due cilindri, e tendano al valore misurato sul singolo<br />
cilindro al crescere della separazione.<br />
Per rapporti <strong>di</strong> separazione superiori a 2.5 il flusso <strong>di</strong>venta simmetrico per la coppia <strong>di</strong><br />
cilindri, pur rimanendo asimmetrico per il singolo cilindro. Tra i due cilindri si crea infatti un<br />
flusso accelerato che tende a far <strong>di</strong>vergere le due scie. Da ciò risultano forze me<strong>di</strong>e <strong>di</strong> portanza<br />
non nulle, e tali da creare una repulsione tra i due cilindri (Figura 5.14), nonché forze fluttuanti<br />
<strong>di</strong> resistenza con notevoli componenti alla frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici; questi, infatti, non<br />
~CD<br />
0.4<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.1<br />
0.0<br />
1 2<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.15 - Valori fluttuanti dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza per cilindri affiancati in<br />
flusso laminare
88<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 2 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
s / b = 2 . 50<br />
Capitolo V<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
f ⋅b<br />
f ⋅SC( f ) −<br />
LCL<br />
U<br />
Figura 5.16 - Spettri dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza per cilindri affiancati in flusso laminare<br />
si <strong>di</strong>staccano nella <strong>di</strong>rezione del flusso me<strong>di</strong>o bensì della <strong>di</strong>rezione dell’asse della scia. 2 In<br />
Figura 5.15 vengono riportati i valori della parte fluttuante dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza; è<br />
possibile vedere un improvviso aumento della parte fluttuante della resistenza, per un rapporto<br />
<strong>di</strong> separazione pari a 2.5, dovuto all’improvviso svilupparsi <strong>di</strong> un intenso <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici in<br />
una <strong>di</strong>rezione non coincidente con quella del flusso me<strong>di</strong>o. In Figura 5.16 sono riportati gli<br />
spettri <strong>di</strong> potenza del coefficiente <strong>di</strong> resistenza per rapporti <strong>di</strong> separazione <strong>di</strong> 2 e 2.5. Dal primo<br />
si evince la asimmetria del flusso me<strong>di</strong>o, essendo gli spettri dei due cilindri non coincidenti; è<br />
inoltre possibile notare un notevole picco alla frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici, che in<strong>di</strong>ca<br />
come questo avvenga in <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong>versa da quella <strong>di</strong> trascinamento. Per una separazione pari<br />
a 2.5, gli spettri mostrano invece un flusso me<strong>di</strong>amente simmetrico, ma conservano il picco<br />
alla frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici, in<strong>di</strong>cando che anche in questo caso il <strong>di</strong>stacco avviene<br />
con una notevole componente trasversale; il picco tende a sparire all’aumentare della<br />
separazione.<br />
Il numero <strong>di</strong> Strouhal (Figura 5.17) è, anche in questo caso lo stesso per i due cilindri. Per<br />
basse separazioni il <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici è molto debole ed avviene ad una frequenza alquanto<br />
superiore a quella che compete al cilindro isolato, mentre per separazioni superiori a 2.5 la<br />
frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco si mantiene costante e uguale a quella del cilindro isolato.<br />
La cross-correlazione tra le forze <strong>di</strong> portanza, bassa per le separazioni che presentano un<br />
flusso <strong>di</strong>storto cresce improvvisamente, appena il flusso <strong>di</strong>venta simmetrico, per poi attenuarsi<br />
rapidamente all’aumentare della separazione. Il valore massimo della cross-correlazione è<br />
sempre negativo, ed ha luogo per un ritardo nullo; ciò in<strong>di</strong>ca come il <strong>di</strong>stacco dei vortici dai<br />
due cilindri sia in opposizione <strong>di</strong> fase (i vortici si <strong>di</strong>staccano contemporaneamente all’interno o<br />
all’esterno dei due cilindri), e che anche quando al crescere della separazione il livello <strong>di</strong><br />
correlazione decresce, la parte correlata resti in opposizione <strong>di</strong> fase. Il meccanismo <strong>di</strong><br />
sincronizzazione è in questo caso <strong>di</strong>fferente da quello visto nel caso <strong>di</strong> cilindri allineati col<br />
flusso; nel caso <strong>di</strong> cilindri allineati si è infatti parlato <strong>di</strong> sincronizzazione <strong>di</strong> tipo convettivo,<br />
2 Anche da questo <strong>di</strong>agramma è possibile percepire, anche se in maniera meno evidente, la presenza <strong>di</strong><br />
imperfezioni nell’allestimento sperimentale; le due curve dovrebbero, infatti, tendere a zero al crescere<br />
della separazione, ed essere simmetriche rispetto all’asse delle ascisse. Affinché ciò avvenga le due curve<br />
dovrebbero essere traslate <strong>di</strong> circa 0.04 verso il basso.<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 89<br />
St<br />
0.20<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.10<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0.00<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.17 - Numero <strong>di</strong> Strouhal per cilindri affiancati in flusso laminare<br />
ossia regolata dal moto convettivo delle strutture vorticose; nel caso <strong>di</strong> cilindri affiancati la<br />
sincronizzazione è invece <strong>di</strong> tipo acustico, ossia legata alla propagazione delle onde <strong>di</strong><br />
pressione dovute alle oscillazioni del flusso.<br />
Il comportamento osservato in flusso laminare, per separazioni superiori a 2.5, viene<br />
ritrovato anche in flusso turbolento, per tutte le separazioni prese in considerazione; non è stata<br />
invece riscontrata la presenza del flusso asimmetrico in<strong>di</strong>viduato alle basse separazioni in<br />
regime laminare. In Figura 5.18 vengono riportati i valori me<strong>di</strong> del coefficiente <strong>di</strong> portanza; il<br />
<strong>di</strong>agramma mostra un andamento analogo a quello in<strong>di</strong>viduato in flusso laminare, dovuto<br />
all’esistenza <strong>di</strong> forze <strong>di</strong> portanza simmetriche, che si riducono all’aumentare della separazione.<br />
Il <strong>di</strong>stacco dei vortici avviene con le stesse modalità messe in luce per il caso <strong>di</strong> regime<br />
laminare, tuttavia i bassi valori della parte fluttuante del coefficiente <strong>di</strong> portanza, e ancor più<br />
l’assenza <strong>di</strong> forti picchi sugli spettri delle forze <strong>di</strong> portanza, evidenzia come questo sia, per<br />
bassi valori della separazione, <strong>di</strong> bassa intensità. Il numero <strong>di</strong> Strouhal è, per bassi valori della<br />
separazione, leggermente superiore a quello del cilindro isolato.<br />
4. Configurazioni a piccoli angoli <strong>di</strong> attacco<br />
Come configurazioni a piccoli angoli <strong>di</strong> attacco si intendono quelle configurazioni in cui,<br />
come nel caso dei cilindri allineati col flusso, l’interazione è principalmente al fatto che uno<br />
dei due cilindri si trovi nella scia dell’altro. All’aumentare dell’angolo d’attacco e della<br />
separazione il cilindro sottovento esce dalla scia del cilindro sopravento, e le modalità <strong>di</strong><br />
interazione cambiano.<br />
L’andamento delle forze aero<strong>di</strong>namiche riscontrato per piccoli angoli <strong>di</strong> attacco, in flusso<br />
laminare e per piccole separazioni, è analogo a quello in<strong>di</strong>viduato per cilindri allineati col
90<br />
C L<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
-0.1<br />
-0.2<br />
-0.3<br />
-0.4<br />
1 2<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Capitolo V<br />
Figura 5.18 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per cilindri affiancati in flusso<br />
turbolento<br />
flusso, il che suggerisce che anche in questo caso il flusso che si separa dal cilindro sopravento<br />
possa riattaccarsi al cilindro sottovento. I risultati che si ottengono nel caso <strong>di</strong> piccoli angoli<br />
d’attacco possono allora essere interpretati alla luce <strong>di</strong> quanto esposto nel paragrafo 5.2. Resta<br />
tuttavia da sottolineare che l’asimmetria della configurazione fa sì che i fenomeni osservati<br />
siano meno evidenti <strong>di</strong> quelli esposti per cilindri allineati e che spesso si confondano tra loro,<br />
facendo sì che non sia possibile, o quantomeno arduo, dare una interpretazione dei risultati in<br />
termini <strong>di</strong> comportamento del flusso, e ci si debba accontentare dei risultati relativi alle forze<br />
aero<strong>di</strong>namiche.<br />
L’asimmetria delle configurazioni fa sì che alle forze osservate per i cilindri allineati col<br />
flusso, si aggiunga una forza me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> portanza, spesso <strong>di</strong> notevole entità. In Figura 5.19<br />
C L<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
sopravento<br />
sottovento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.19 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per un angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong><br />
7.5° in flusso laminare
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 91<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 2 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 2 . 5<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
f ⋅b<br />
f ⋅SC( f ) −<br />
LC<br />
L U<br />
s / b = 2 . 25<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
vengono riportati i valori me<strong>di</strong> del coefficiente <strong>di</strong> portanza nel caso <strong>di</strong> un angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong><br />
7.5°, in flusso laminare. Dalla figura è possibile osservare come la separazione a cui il flusso<br />
non è più in grado <strong>di</strong> riattaccarsi al cilindro sottovento, che è pari a 3 nel caso <strong>di</strong> cilindri<br />
allineati, sia in questo caso pari a 3.5. E’ inoltre possibile osservare come per bassi valori della<br />
separazione siano presenti forti valori me<strong>di</strong> della portanza, <strong>di</strong> segno opposto per i due cilindri,<br />
e tali da generare attrazione tra questi.<br />
Le modalità <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici, al variare della separazione, mostrano caratteristiche<br />
analoghe nel campo <strong>di</strong> angoli <strong>di</strong> attacco definiti quali piccoli; tali caratteristiche possono essere<br />
riscontrate dall’analisi degli spettri delle forze <strong>di</strong> portanza, riportati in Figura 5.20 per un<br />
angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong> 7.5°. Per piccole separazioni gli spettri relativi ai due cilindri si presentano<br />
<strong>di</strong> forma simile, ma con valori spettrali notevolmente <strong>di</strong>versi, coerentemente con quanto<br />
osservato per cilindri allineati col flusso. Un solo, alto picco è presente, che in<strong>di</strong>vidua la<br />
frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici. Al crescere della separazione un secondo picco appare ad una<br />
frequenza superiore a quella <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici, che all’ulteriore aumento della separazione<br />
cresce in altezza e si sposta verso frequenze minori, fino ad inglobare il picco originario che si<br />
è intanto spostato verso frequenze più alte. Risultati <strong>di</strong> questo comportamento sono una<br />
variazione del numero <strong>di</strong> Strouhal (Figura 5.21) e un aumento del forze fluttuanti <strong>di</strong> portanza.<br />
Nel campo <strong>di</strong> separazioni per cui il flusso non si riattacca sul cilindro sottovento, così come<br />
avviene per i cilindri allineati col flusso, gli spettri delle forze <strong>di</strong> portanza presentano valori<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
30.7<br />
21.8<br />
s / b = 4 . 5<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
sopravento<br />
sottovento<br />
Figura 5.20 - Spettri dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong> 7.5° in flusso laminare
92<br />
St<br />
0.16<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.10<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0.00<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Capitolo V<br />
Figura 5.21 - Numero <strong>di</strong> Strouhal per un angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong> 7.5° in flusso laminare<br />
simili per i due cilindri, anche se al crescere della separazione quelli relativi al cilindro<br />
sottovento risultano leggermente inferiori.<br />
In regime turbolento può essere intravisto un comportamento del flusso simile a quello<br />
messo in luce per il regime laminare, tuttavia la turbolenza del flusso incidente crea un’azione<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>sturbo nei confronti delle strutture vorticose, facendo sì che queste perdano <strong>di</strong> coerenza<br />
molto più rapidamente che non in flusso laminare; ne segue che molti fenomeni si presentano<br />
in maniera confusa, è che non sia quin<strong>di</strong> possibile trarre delle conclusioni <strong>di</strong> tipo qualitativo.<br />
5. Configurazioni a gran<strong>di</strong> angoli <strong>di</strong> attacco<br />
Al crescere dell’angolo <strong>di</strong> attacco e della separazione, il cilindro sottovento esce dalla scia<br />
<strong>di</strong> quello sopravento, e variano <strong>di</strong> conseguenza le modalità <strong>di</strong> interazione. Le scie dei due<br />
cilindri continuano ad essere <strong>di</strong>storte, perdendosi però la natura convettiva dell’interazione; le<br />
forze aero<strong>di</strong>namiche e le modalità <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici sono quelle che a ciascun cilindro<br />
competono nelle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso <strong>di</strong>storto in cui si trova. Si ritrovano pertanto notevoli<br />
forze me<strong>di</strong>e <strong>di</strong> portanza ed il <strong>di</strong>stacco dei vortici dai due cilindri avviene in alcuni casi con<br />
frequenze <strong>di</strong>verse. Il comportamento del flusso è, per gran<strong>di</strong> angoli d’attacco, non facilmente<br />
desumibile da semplici misurazioni <strong>di</strong> pressione, e comunque fortemente variabile al variare<br />
della separazione e dell’angolo d’attacco.<br />
Anche in questo caso, come per piccoli angoli <strong>di</strong> attacco, l’analisi degli spettri delle forze<br />
<strong>di</strong> portanza fornisce interessanti informazioni sul comportamento del flusso, che consentono <strong>di</strong><br />
interpretare i risultati ottenuti in termini <strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namiche. Dalla Figura 5.22, in cui<br />
vengono riportati alcuni spettri dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per un angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong> 45° in
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 93<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 2 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 6 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
s / b = 3 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
flusso laminare, è possibile vedere come per piccoli valori della separazione gli spettri della<br />
portanza presentino bassi valori, ed in<strong>di</strong>chino come il <strong>di</strong>stacco dei vortici avvenga in maniera<br />
debole, prevalentemente dal cilindro sopravento, e con una frequenza alquanto elevata ed<br />
uguale per i due cilindri.<br />
Al crescere della separazione il <strong>di</strong>stacco dei vortici aumenta <strong>di</strong> intensità e la frequenza <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stacco si riduce; contemporaneamente un secondo picco spettrale appare, ad una frequenza<br />
inferiore a quella <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco, per il solo cilindro sottovento. All’ulteriore aumento della<br />
separazione il picco, comune ai due cilindri, che in<strong>di</strong>vidua la frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco si sposta<br />
verso frequenze sempre più basse, mentre quello relativo al solo cilindro sottovento cresce in<br />
altezza e si sposta verso frequenze più alte, sino a inglobare il picco principale. Si evince<br />
l’esistenza, per un certo intervallo <strong>di</strong> separazioni <strong>di</strong> due frequenze <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco per il cilindro<br />
sottovento. La spiegazione <strong>di</strong> quanto osservato può essere trovata nel fatto che il cilindro<br />
sottovento è investito dal flusso deviato ed accelerato dalla presenza del cilindro sopravento, le<br />
cui caratteristiche <strong>di</strong>pendono dall’angolo d’attacco. In Figura 4.23 vengono riportati i numeri<br />
<strong>di</strong> Strouhal dei due cilindri, per un angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong> 45°; le due serie <strong>di</strong> punti rappresentano<br />
rispettivamente il picco comune ai due cilindri e quello, detto secondario, relativo al cilindro<br />
sottovento.<br />
In relazione a quanto appena osservato circa il comportamento del flusso, è possibile<br />
interpretare l’andamento delle forze aero<strong>di</strong>namiche. La resistenza me<strong>di</strong>a del cilindro<br />
sopravento, con eccezione dei casi in cui la separazione sia tanto piccola da fare sì che la scia<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 13 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
f ⋅b<br />
sopravento<br />
f ⋅SC( f ) −<br />
LCL<br />
U<br />
sottovento<br />
Figura 5.22 - Spettri dei coefficienti <strong>di</strong> portanza per angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong> 45° in flusso laminare
94<br />
St<br />
Capitolo V<br />
del cilindro sopravento sia deformata dalla presenza del cilindro sottovento, è pari al valore<br />
che si riscontra sul cilindro isolato; la resistenza del cilindro sottovento è invece inferiore a<br />
quella del cilindro isolato, e cresce al crescere della separazione verso questo valore, in<strong>di</strong>cando<br />
l’uscita del cilindro sottovento dalla scia <strong>di</strong> quello sopravento; a titolo esemplificativo, in<br />
Figura 5.24 viene riportato l’andamento delle forze me<strong>di</strong>e <strong>di</strong> resistenza per un angolo <strong>di</strong><br />
attacco <strong>di</strong> 60° in flusso laminare. Le forze me<strong>di</strong>e <strong>di</strong> portanza presentano valori notevolmente<br />
variabili sia con l’angolo d’attacco che con la separazione, in relazione alle citate variazioni<br />
della <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del flusso che investe ciascuno dei due cilindri. I valori fluttuanti delle<br />
forze, che in flusso laminare sono legati al <strong>di</strong>stacco dei vortici, sono bassi per piccole<br />
separazioni e crescono all’aumentare della separazione.<br />
C D<br />
0.28<br />
0.24<br />
0.20<br />
0.16<br />
0.12<br />
0.08<br />
0.04<br />
0.00<br />
2.5<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
sopravento e sottovento<br />
sottovento secondario<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 4.23 -- Numero <strong>di</strong> Strouhal per un angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong> 45° in flusso laminare<br />
sopravento<br />
sottovento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 5.24 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti <strong>di</strong> resistenza per un angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong><br />
60° in flusso laminare
Capitolo VI<br />
Coefficienti aero<strong>di</strong>namici delle sezioni delle torri<br />
dei ponti <strong>di</strong> grande luce<br />
1. Premessa<br />
Nel precedente capitolo sono stati presentati risultati relativi all’interferenza tra due cilindri<br />
a sezione quadrata, posti in un flusso bi<strong>di</strong>mensionale, in termini <strong>di</strong> caratteristiche del flusso e<br />
<strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namiche agenti su ciascuno dei due cilindri. Ai fini del <strong>di</strong>mensionamento delle<br />
torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce secondo il metodo che verrà illustrato nel Capitolo VII, oltre alle<br />
informazioni <strong>di</strong> carattere qualitativo che da tali risultati è possibile desumere, è necessaria la<br />
conoscenza dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici relativi alla coppia <strong>di</strong> cilindri e delle funzioni <strong>di</strong><br />
densità spettrale <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong> questi. La conoscenza <strong>di</strong> tali coefficienti, insieme a quella degli<br />
spetti <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong> questi, consente l’applicazione, con opportune mo<strong>di</strong>fiche, del metodo <strong>di</strong><br />
calcolo della risposta delle strutture allungate esposto nel Capitolo III. Di seguito verranno<br />
riportati e commentati i risultati salienti, rimandando a [<strong>Ricciardelli</strong> 1994] per la serie completa<br />
<strong>di</strong> risultati.<br />
Le forze globali istantanee agenti sulla coppia <strong>di</strong> cilindri vengono calcolate quale somma<br />
delle forze agenti sui singoli cilindri; i valori me<strong>di</strong> <strong>di</strong> tali forze possono essere semplicemente<br />
ricavati quali somma dei valori me<strong>di</strong> delle corrispondenti forze agenti sui due cilindri. Per<br />
quanto concerne, invece, la parte fluttuante, è necessario tenere in conto le fasi delle singole<br />
armoniche che compongono la forza totale. In particolare, quando l’azione ha una frequenza<br />
dominante, come accade nel caso in cui questa sia provocata dal <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici, la fase<br />
della armonica dominante può essere presa quale fase dell’intera azione. Per la descrizione<br />
delle forze globali ci si riferisce al sistema <strong>di</strong> assi x-y-z solidale con la coppia <strong>di</strong> cilindri<br />
piuttosto che legata alla <strong>di</strong>rezione del vento, così come introdotto nel Capitolo III; invece che<br />
<strong>di</strong> forze <strong>di</strong> resistenza e <strong>di</strong> portanza si parla allora <strong>di</strong> forze longitu<strong>di</strong>nali e trasversali, le prime<br />
<strong>di</strong>rette come la congiungente i baricentri delle sezioni delle colonne, la seconde ortogonali a<br />
questa.<br />
95
96<br />
2. Vento ortogonale all’asse del ponte<br />
Capitolo VI<br />
La con<strong>di</strong>zione in cui il vento sia ortogonale all’asse del ponte risulta non solo la più<br />
frequente, in quanto spesso le con<strong>di</strong>zioni orografiche sono tali da creare percorsi preferenziali<br />
per il vento, ma anche la più gravosa sia per quanto riguarda l’impalcato che per quanto<br />
riguarda la torre. Il meccanismo <strong>di</strong> sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici, messo in luce nel<br />
precedente capitolo e relativo a cilindri allineati col flusso, porta a notevoli valori delle forze<br />
fluttuanti <strong>di</strong> portanza agenti sui due cilindri. Lo sfasamento <strong>di</strong> queste <strong>di</strong>pende esclusivamente<br />
dalla <strong>di</strong>stanza tra le colonne che compongono la torre, e non dalla velocità del vento. In<br />
particolare il <strong>di</strong>stacco dei vortici avviene in fase quando la <strong>di</strong>stanza tra le due colonne è tale<br />
che il tempo che un vortice <strong>di</strong>staccatosi dalla prima colonna impiega a raggiungere la seconda<br />
colonna è pari alla metà del periodo <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco. Il vortice che investe il secondo cilindro,<br />
infatti, suscita il <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> un vortice anche dal lato opposto <strong>di</strong> questo, contemporaneamente<br />
al <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> un vortice dal lato opposto del primo cilindro. Tale evenienza, a cui corrisponde<br />
un massimo della forza <strong>di</strong> portanza, si verifica se:<br />
s<br />
=<br />
b St<br />
1<br />
ove con U v si è in<strong>di</strong>cata la velocità convettiva dei vortici.<br />
Analogamente, quando la <strong>di</strong>stanza tra le colonne è tale che il vortice <strong>di</strong>staccatosi dal<br />
cilindro sopravento impieghi a raggiungere la colonna sottovento un tempo pari al periodo <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stacco, questo avviene dai due cilindri in opposizione <strong>di</strong> fase. Tale con<strong>di</strong>zione che comporta<br />
il valore massimo della parte fluttuante dell’azione torcente sulla torre si verifica se:<br />
~<br />
C<br />
~<br />
C<br />
Fy<br />
M<br />
2.5<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
Uv<br />
U<br />
forza trasversale<br />
momento torcente<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 6.1 - Valori fluttuanti dei coefficienti della forza trasversale e del momento<br />
torcente per la coppia <strong>di</strong> cilindri allineati in flusso laminare<br />
(6.1)
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 97<br />
s<br />
=<br />
b St<br />
2<br />
Il coefficiente del momento torcente agente sulla coppia <strong>di</strong> cilindri viene introdotto in<br />
maniera analoga a quello relativo al singolo cilindro, definito attraverso la terza (2.4). Va<br />
tuttavia notato che nel caso della (2.4) l’a<strong>di</strong>mensionalizzazione viene effettuata <strong>di</strong>videndo il<br />
momento agente per unità <strong>di</strong> lunghezza, tra l’altro, per il quadrato della <strong>di</strong>mensione<br />
caratteristica del cilindro; ciò in quanto questa <strong>di</strong>mensione è caratteristica sia dell’area (per<br />
unità <strong>di</strong> lunghezza) su cui agiscono le pressioni sia del braccio della risultante. Nel caso della<br />
coppia dei cilindri, fermo restando che b ben rappresenta l’area su cui agisce la pressione<br />
cinetica, va tenuto conto del fatto che il braccio della risultante è caratterizzato dalla <strong>di</strong>stanza s<br />
tra i due cilindri. Per tale motivo la definizione usata per il coefficiente del momento torcente,<br />
nel caso <strong>di</strong> sezioni formate da due elementi a <strong>di</strong>stanza s, è la seguente:<br />
Uv<br />
U<br />
M<br />
CM<br />
=<br />
1 2<br />
ρUbs<br />
2<br />
Nelle Figure 6.1 e 6.2 vengono riportati, in funzione della separazione, i valori delle parti<br />
fluttuanti dei coefficienti della forza trasversale e del momento torcente rispettivamente in<br />
flusso laminare e turbolento. Con esclusione dei casi in cui la separazione è minore <strong>di</strong> 3, in cui<br />
la debole intensità del <strong>di</strong>stacco dei vortici fa sì che sia la forza <strong>di</strong> portanza che la coppia<br />
torcente siano <strong>di</strong> modesta entità, i due <strong>di</strong>agrammi presentano un andamento ondulato, che si<br />
smorza all’aumentare della separazione. A valori massimi dell’uno corrispondono valori<br />
minimi dall’altro e viceversa, in<strong>di</strong>cando in maniera evidente le con<strong>di</strong>zioni in cui i vortici si<br />
<strong>di</strong>staccano in fase e quelle in cui si <strong>di</strong>staccano in opposizione <strong>di</strong> fase. Ciò è a conferma <strong>di</strong><br />
~<br />
C<br />
F<br />
~<br />
C<br />
y<br />
M<br />
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
forza trasversale<br />
momento torcente<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 6.2 - Valori fluttuanti dei coefficienti della forza trasversale e del momento<br />
torcente per la coppia <strong>di</strong> cilindri allineati in flusso turbolento<br />
(6.2)<br />
(6.3)
98<br />
Capitolo VI<br />
quanto precedentemente asserito, e testimonia il carattere convettivo dell’interazione tra i due<br />
cilindri. L’andamento smorzato dei <strong>di</strong>agrammi è legato alla per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> coerenza che ha luogo<br />
via via che i cilindri si allontanano, mentre la esistenza <strong>di</strong> valori minimi dei coefficienti <strong>di</strong>versi<br />
da zero, sta a testimoniare l’esistenza <strong>di</strong> una porzione scorrelata delle forze aero<strong>di</strong>namiche.<br />
La presenza della turbolenza ha l’effetto <strong>di</strong> ridurre la coerenza delle strutture vorticose e<br />
quin<strong>di</strong> attenua il meccanismo <strong>di</strong> sincronizzazione all’aumentare della <strong>di</strong>stanza tra i cilindri. La<br />
maggiore ampiezza della banda delle frequenze <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici fa sì che sia maggiore la<br />
porzione non correlata delle forze <strong>di</strong> portanza, con conseguente riduzione dell’ampiezza della<br />
fluttuazione della forza <strong>di</strong> portanza e della coppia torcente al variare della separazione.<br />
E’ opportuno riba<strong>di</strong>re come il verificarsi <strong>di</strong> una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> massima portanza o <strong>di</strong><br />
massima coppia torcente, non solo non sia legato al numero <strong>di</strong> Reynolds, ma non <strong>di</strong>penda<br />
neanche dalla velocità del flusso, e sia invece solo legato alle caratteristiche geometriche della<br />
torre attraverso il rapporto <strong>di</strong> separazione. In particolare è possibile osservare come il massimo<br />
valore della portanza si abbia, nel caso <strong>di</strong> colonne a sezione quadrata, per un rapporto <strong>di</strong><br />
separazione pari a 4.25, mentre il massimo valore della coppia torcente si abbia per un<br />
rapporto <strong>di</strong> separazione pari a 7.<br />
Da una analisi delle caratteristiche geometriche delle torri <strong>di</strong> alcuni ponti <strong>di</strong> grande luce<br />
risulta come nella maggioranza dei casi il rapporto tra l’interasse delle colonne e il lato <strong>di</strong><br />
queste sia compreso tra 4 e 5 per i ponti sospesi e tra 5 e 6 per quelli strallati. Ciò fa capire<br />
come nel primo caso sia determinante la risposta alle forze fluttuanti <strong>di</strong> portanza, mentre nel<br />
secondo caso vada presa in considerazione l’azione simultanea <strong>di</strong> forze <strong>di</strong> portanza e coppie<br />
torcenti; queste, esclusi casi limite <strong>di</strong> colonne particolarmente snelle e <strong>di</strong>stanti, risultano<br />
sempre <strong>di</strong> entità inferiore a quella massima che si avrebbe se il <strong>di</strong>stacco dei vortici avvenisse in<br />
opposizione <strong>di</strong> fase.<br />
Alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco in fase, che si verifica per una <strong>di</strong>stanza relativa delle colonne<br />
pari a 4.25, già <strong>di</strong> per se critica dal punto <strong>di</strong> vista della sollecitazione trasversale, si aggiunge<br />
che per valori della separazione intorno a 4, il <strong>di</strong>stacco dei vortici assume caratteristiche più<br />
violente <strong>di</strong> quando i cilindri sono posti a <strong>di</strong>stanza maggiore. Tale fenomeno, che nel precedente<br />
capitolo è stato spiegato attraverso una oscillazione del flusso che coinvolge entrambi i<br />
cilindri, fa sì che il valore totale della forza fluttuante <strong>di</strong> portanza sia notevolmente elevato<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 4 . 25<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
f ⋅b<br />
f ⋅SC( f ) −<br />
FyCFy<br />
U<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 7 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
Figura 6.3 - Spettri dei coefficienti della forza trasversale per la coppia <strong>di</strong> cilindri allineati in<br />
flusso laminare
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 99<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 4 . 25<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
f ⋅b<br />
f ⋅SC( f ) −<br />
M CM U<br />
s / b = 7 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
Figura 6.4 - Spettri dei coefficienti del momento torcente per la coppia <strong>di</strong> cilindri allineati in<br />
flusso laminare<br />
(valori del coefficiente fluttuante <strong>di</strong> portanza fino a 2.1), determinando quella che è la<br />
con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> carico critica per quanto concerne la flessione trasversale della torre.<br />
Nelle Figure 6.3 e 6.4 sono riportate le funzioni <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza dei<br />
coefficienti della forza trasversale e del momento torcente in regime laminare, per separazioni<br />
rispettivamente <strong>di</strong> 4.25 e 7. Dagli spettri risulta evidente il meccanismo <strong>di</strong> sincronizzazione del<br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici; i due valori della separazione presi in considerazione rappresentano,<br />
infatti, rispettivamente la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco in fase ed in opposizione <strong>di</strong> fase.<br />
In Figura 6.5 sono invece riportate le funzioni <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza dei<br />
coefficienti del momento torcente in flusso turbolento, sempre per separazioni pari a 4.25 e 7.<br />
Anche in questo caso si nota, per una separazione pari a 7 un picco alla frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco<br />
dei vortici, che è invece assente per una separazione <strong>di</strong> 4.25; l’effetto <strong>di</strong> <strong>di</strong>sturbo della<br />
turbolenza fa tuttavia sì che i valori spettrali del picco siano inferiori e la banda più ampia.<br />
La forza me<strong>di</strong>a totale <strong>di</strong> resistenza (Figura 6.6), somma <strong>di</strong> quelle che agiscono su ciascuna<br />
delle due colonne, si presenta, in flusso laminare, costante nell’ambito dei due regimi <strong>di</strong> flusso<br />
in<strong>di</strong>viduati nel precedente capitolo (flusso riattaccato e scia sviluppata), ma con valori<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
1E-4<br />
s / b = 4 . 0<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
s / b = 7 . 0<br />
1E-4<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30<br />
f ⋅b<br />
.<br />
f ⋅SC( f ) −<br />
M CM U<br />
Figura 6.5 - Spettri dei coefficienti del momento torcente per la coppia <strong>di</strong> cilindri allineati in<br />
flusso turbolento
100<br />
C Fx<br />
3.0<br />
2.5<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
flusso laminare<br />
flusso turbolento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 6.6 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti della forza longitu<strong>di</strong>nale per la coppia <strong>di</strong><br />
cilindri allineati in flusso laminare e turbolento<br />
Capitolo VI<br />
fortemente <strong>di</strong>fferenti nel passare da un regime all’altro; nei due casi vengono rispettivamente<br />
in<strong>di</strong>viduati i due valori per il coefficiente <strong>di</strong> resistenza <strong>di</strong> 1.2 e 2.9. In flusso turbolento i<br />
coefficienti me<strong>di</strong> <strong>di</strong> resistenza sono crescenti con la <strong>di</strong>stanza relativa tra le colonne,<br />
stabilizzandosi intorno al valore <strong>di</strong> 2.8, per una separazione pari a 5.<br />
La parte fluttuante del coefficiente <strong>di</strong> resistenza (Figura 6.7), che ha in flusso laminare<br />
valori molto modesti per piccole separazioni, attinge un valore massimo appena il flusso non è<br />
più in grado <strong>di</strong> riattaccarsi al cilindro sottovento. All’ulteriore crescere della separazione il<br />
coefficiente decresce verso un valore costante pari a 0.38. In flusso turbolento questo<br />
coefficiente assume un valore massimo, pari a 0.65 per una separazione pari a 3, e decresce poi<br />
verso il valore <strong>di</strong> 0.47.<br />
~<br />
C Fx<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
flusso laminare<br />
flusso turbolento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 6.7 - Valori fluttuanti dei coefficienti della forza longitu<strong>di</strong>nale per la coppia<br />
<strong>di</strong> cilindri allineati in flusso laminare e turbolento
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 101<br />
3. Vento parallelo all’asse del ponte<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista dei carichi statici la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> vento parallelo all’asse del ponte è<br />
senza dubbio la più onerosa; al massimo valore del coefficiente me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> resistenza (Figure 6.8<br />
e 6.12) si associa infatti il minor valore della rigidezza flessionale della struttura. Al valore<br />
me<strong>di</strong>o della risposta trasversale si aggiunge inoltre l’aliquota <strong>di</strong>namica flettente dovuta alla<br />
turbolenza e l’effetto torcente dovuto alla non perfetta coerenza della turbolenza stessa nel<br />
piano della sezione trasversale. Il coefficiente fluttuante della forza trasversale (Figura 6.9)<br />
risulta, per la ridotta coerenza, alquanto inferiore alla somma dei coefficienti relativi alle due<br />
colonne, e pertanto l’aliquota della risposta dovuta alla parte fluttuante della forza trasversale<br />
risulta anch’essa ridotta. La mancanza <strong>di</strong> coerenza fa tuttavia sì che vi sia anche un momento<br />
torcente fluttuante che genera una risposta che va a comporsi con quella dovuta alla forza<br />
trasversale.<br />
Per completezza, anche se non presenta utilità applicativa, va detto che il flusso <strong>di</strong>storto,<br />
caratteristico delle basse separazioni, introduce valori me<strong>di</strong> non nulli della forza longitu<strong>di</strong>nale<br />
(che in questo caso è a 90° col flusso) e del momento torcente, ma riducendo la resistenza dei<br />
due cilindri crea una riduzione della forza trasversale globale. Inoltre la rapida riduzione della<br />
coerenza delle forze <strong>di</strong> portanza all’aumentare della separazione fa sì che siano possibili<br />
notevoli valori della parte fluttuante del coefficiente della forza longitu<strong>di</strong>nale.<br />
4. Gli angoli d’attacco interme<strong>di</strong><br />
C Fy<br />
5.0<br />
4.5<br />
4.0<br />
3.5<br />
3.0<br />
2.5<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
flusso laminare<br />
flusso turbolento<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
s / b<br />
Figura 6.8 - Valori me<strong>di</strong> del coefficiente della forza trasversale per la coppia <strong>di</strong><br />
cilindri affiancati in flusso laminare e turbolento
102<br />
~<br />
C Fx Fy<br />
~<br />
C M<br />
1.4 0.7<br />
1.2 0.6<br />
1.0 0.5<br />
0.8 0.4<br />
0.6 0.3<br />
0.4 0.2<br />
0.2 0.1<br />
0.0<br />
forza trasversale<br />
momento torcente<br />
0 1 215 3 4 305 6 45 7<br />
s / b<br />
8 α 960 10 11 7512 13 90 14<br />
Capitolo VI<br />
Figura 6.11 6.9 - Valori fluttuanti dei coefficienti della forza trasversale longitu<strong>di</strong>nale e del per momento la coppia<br />
torcente per la coppia <strong>di</strong> cilindri <strong>di</strong> cilindri in flusso affiancati turbolento<br />
in flusso turbolento<br />
Per angoli d’attacco interme<strong>di</strong> le con<strong>di</strong>zioni più onerose ai fini della risposta della struttura<br />
possono essere in<strong>di</strong>viduate me<strong>di</strong>ante l’ausilio <strong>di</strong> <strong>di</strong>agrammi del tipo <strong>di</strong> quelli riportati nelle<br />
Figure da 6.10 a 6.15, in cui vengono illustrati rispettivamente gli andamenti, in funzione<br />
dell’angolo d’attacco dei valori me<strong>di</strong> e fluttuanti dei coefficienti della forza longitu<strong>di</strong>nale, della<br />
forza trasversale e del momento torcente in flusso turbolento. Le separazioni prese in esame<br />
sono quelle comprese tra 4 e 6, ossia quelle in cui <strong>di</strong> solito ricade la <strong>di</strong>stanza tra le colonne<br />
delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce.<br />
Per quanto concerne le forze nella <strong>di</strong>rezione longitu<strong>di</strong>nale è possibile vedere che i valori<br />
C Fx<br />
3.5<br />
3.0<br />
2.5<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
-0.5<br />
s / b = 4<br />
s / b = 4.5<br />
s / b = 5<br />
s / b = 6<br />
s / b = 4<br />
s / b = 4.5<br />
s / b = 5<br />
s / b = 6<br />
0 15 30 45 60 75 90<br />
α<br />
Figura 6.10 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti della forza longitu<strong>di</strong>nale per la coppia <strong>di</strong><br />
cilindri in flusso turbolento
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 103<br />
me<strong>di</strong> più elevati si verificano per un angolo <strong>di</strong> attacco <strong>di</strong> 30°, e sono compresi tra 3.0 e 3.3, a<br />
cui corrisponde tuttavia un valore basso delle aliquote fluttuanti. Queste assumono i massimi<br />
valori, compresi tra 1.0 e 1.3, per un angolo d’attacco <strong>di</strong> 90°, e sono in tale caso dovute alla<br />
bassa correlazione tra il <strong>di</strong>stacco dei vortici dai due cilindri.<br />
Le forze nella <strong>di</strong>rezione trasversale presentano i valori me<strong>di</strong> più elevati quando la <strong>di</strong>rezione<br />
trasversale coincide con quella del flusso me<strong>di</strong>o, ossia per un angolo d’attacco pari a 90°; in<br />
questa con<strong>di</strong>zione si ha un valore pari a 4.0 del coefficiente aero<strong>di</strong>namico della forza<br />
trasversale. Al contrario, le aliquote fluttuanti della forza nella <strong>di</strong>rezione trasversale assumono<br />
il minimo valore, pari a 0.6, proprio per un angolo d’attacco <strong>di</strong> 90°, in quanto in questo caso vi<br />
è solo il contributo della turbolenza, mancando quello del <strong>di</strong>stacco dei vortici. I massimi valori<br />
della aliquota fluttuante della forza trasversale, compresi tra 1 e 1.7, si hanno infatti quando i<br />
cilindri sono allineati col flusso, ed il valore del corrispondente coefficiente aero<strong>di</strong>namico è in<br />
questo caso fortemente <strong>di</strong>pendente dalla separazione in virtù del meccanismo <strong>di</strong><br />
sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici <strong>di</strong> cui si è detto in precedenza.<br />
C Fy<br />
4.5<br />
4.0<br />
3.5<br />
3.0<br />
2.5<br />
2.0<br />
1.5<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
-0.5<br />
s / b = 4<br />
s / b = 4.5<br />
s / b = 5<br />
s / b = 6<br />
0 15 30 45 60 75 90<br />
α<br />
Figura 6.12 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti della forza trasversale per la coppia <strong>di</strong><br />
cilindri in flusso turbolento
104<br />
~<br />
C CFy M<br />
1.8 0.6<br />
1.6<br />
0.5<br />
1.4<br />
1.2 0.4<br />
1.0<br />
0.3<br />
0.8<br />
0.6 0.2<br />
0.4<br />
0.1<br />
0.2<br />
s s / / b b = = 44<br />
s s / / b b = = 4.5<br />
s s / / b b = = 55<br />
s s / / b b = = 66<br />
0.0<br />
0 15 30 45 αα<br />
60 75 90<br />
Capitolo VI<br />
Figura 6.13 6.15 - Valori fluttuanti dei coefficienti della del momento forza trasversale torcente per la coppia <strong>di</strong><br />
cilindri in flusso turbolento<br />
I massimi valori della coppia torcente me<strong>di</strong>a si hanno per angoli d’attacco <strong>di</strong> 15° e 45° e<br />
sono comunque modesti e dovuti al flusso <strong>di</strong>storto che si instaura in questi casi. Il massimo<br />
valore della parte fluttuante del momento torcente si verifica quando i cilindri sono allineati col<br />
flusso me<strong>di</strong>o ed è dovuto in parte all’effetto della turbolenza ed in parte a quello del <strong>di</strong>stacco<br />
dei vortici. L’aliquota del momento torcente dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici, collegata al<br />
meccanismo <strong>di</strong> sincronizzazione, è comunque preponderante rispetto a quella dovuta all’effetto<br />
della turbolenza. Ai fini della verifica della struttura risulta più onerosa la con<strong>di</strong>zione in cui sia<br />
massima la coppia torcente me<strong>di</strong>a ovvero quella in cui sia massimo il valore fluttuante <strong>di</strong><br />
questa a seconda della <strong>di</strong>stanza tra le due colonne.<br />
C M<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
-0.1<br />
-0.2<br />
-0.3<br />
-0.4<br />
s / b = 4<br />
s / b = 4.5<br />
s / b = 5<br />
s / b = 6<br />
0 15 30 45 60 75 90<br />
α<br />
Figura 6.14 - Valori me<strong>di</strong> dei coefficienti del momento torcente per la coppia <strong>di</strong><br />
cilindri in flusso turbolento
Forze aero<strong>di</strong>namiche su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione quadrata 105
<strong>Analisi</strong> della risposta delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce all’azione del vento<br />
Capitolo VII<br />
<strong>Analisi</strong> della risposta delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande<br />
luce all’azione del vento<br />
1. Premessa<br />
Nei Capitoli I, II e III è stata illustrata, per passi successivi, una metodologia volta alla<br />
valutazione della risposta delle strutture snelle all’azione del vento. Tra le ipotesi fatte vi è<br />
quella che la sezione trasversale sia compatta. Tale ipotesi è necessaria affinché sia possibile<br />
scindere le forze dovute al <strong>di</strong>stacco dei vortici da quelle dovute alla turbolenza e affinché<br />
queste ultime possano essere calcolate <strong>di</strong>rettamente a partire dalle caratteristiche del flusso<br />
in<strong>di</strong>sturbato. Ciò inoltre viene fatto considerando una perfetta correlazione delle forze<br />
aero<strong>di</strong>namiche nell’ambito della sezione trasversale.<br />
Nei Capitoli IV, V e VI sono state presentate le modalità esecutive e riassunti i risultati <strong>di</strong><br />
una indagine sperimentale intesa ad analizzare il modo <strong>di</strong> interferire <strong>di</strong> due cilindri a sezione<br />
quadrata e <strong>di</strong> lunghezza infinita, posti in flussi laminare e turbolento. Sono state inoltre<br />
presentate, in termini <strong>di</strong> coefficienti aero<strong>di</strong>namici e funzioni <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong><br />
questi, le forze aero<strong>di</strong>namiche che agiscono su ciascuno dei due cilindri e sulla coppia, al<br />
variare della <strong>di</strong>stanza tra i due cilindri e dell’angolo d’attacco.<br />
In particolare i risultati del Capitolo VI possono essere utilizzati per comprendere il<br />
comportamento del flusso d’aria attorno a quelle torri <strong>di</strong> ponti <strong>di</strong> grande luce che siano<br />
costituite da due colonne verticali a sezione pressappoco quadrata. Si sono così in<strong>di</strong>viduate per<br />
ciascuna <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> incidenza del vento e per ciascuna separazione tra le colonne le<br />
caratteristiche del flusso e delle forze aero<strong>di</strong>namiche me<strong>di</strong>e e fluttuanti; è quin<strong>di</strong> stato possibile<br />
in<strong>di</strong>viduare le <strong>di</strong>rezioni <strong>di</strong> incidenza e le separazioni più pericolose ai fini della risposta<br />
strutturale.<br />
Per la valutazione delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stabilità del moto e per il calcolo della risposta me<strong>di</strong>a<br />
possono, nell’ipotesi <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà della teoria quasistatica linearizzata, possono essere utilizzati i<br />
risultati del Capitolo III. Viceversa per il calcolo della parte fluttuante della risposta non risulta<br />
107
108<br />
Capitolo VII<br />
più possibile separare a priori gli effetti dovuti al <strong>di</strong>stacco dei vortici da quelli dovuti alla<br />
turbolenza, e non risulta inoltre possibile far <strong>di</strong>scendere <strong>di</strong>rettamente le forze dovute alla<br />
turbolenza dalle caratteristiche del flusso in<strong>di</strong>sturbato.<br />
La <strong>di</strong>sponibilità degli spettri della forzante, misurata <strong>di</strong>rettamente sui cilindri me<strong>di</strong>ante<br />
prove in galleria del vento, consente tuttavia la stima della parte fluttuante della risposta. Il<br />
calcolo <strong>di</strong> questa viene ancora effettuato utilizzando le (3.25), (3.26) e (3.27), ove però lo<br />
spettro della forzante non è più quello definito me<strong>di</strong>ante la (3.28) e successive.<br />
La matrice <strong>di</strong> densità spettrale <strong>di</strong> potenza della forzante da utilizzarsi in questo caso è<br />
quella che si ricava, me<strong>di</strong>ante un’espressione analoga alla (3.31), dagli spettri dei coefficienti<br />
aero<strong>di</strong>namici misurati sperimentalmente:<br />
ove si è posto:<br />
[ SFF ]<br />
1<br />
( f ) = ρ U ( z ) b( z ) ∫ U ( z ) b( z ) C ( z , z , f ) dz dz<br />
ij 4<br />
2 l 2<br />
l 2<br />
∫0<br />
1 1 0 1 1 ij 1 2 1 2<br />
⎡ SC C SC C s( z S<br />
Fx Fx Fx Fy 2 ) ⎤<br />
⎢<br />
CFxCM ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
T<br />
Cij( z1, z2, f ) = µ i ( z1)<br />
⎢<br />
SC C SC C s( z SC<br />
C j z<br />
Fy Fx Fy Fy 2 )<br />
⎥<br />
µ (<br />
Fy M<br />
2)<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
sz ( 1) SC C sz ( SC C sz sz S<br />
M Fx 1) (<br />
M Fy 1) ( 2)<br />
⎣⎢<br />
CMCM⎦⎥ Nella (7.2) si è per brevità omessa la <strong>di</strong>pendenza degli spettri mutui dei coefficienti<br />
aero<strong>di</strong>namici dalle quote e dalla frequenza.<br />
Anche in questo caso gli spettri mutui dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici possono essere<br />
espressi, come fatto nel Capitolo III, come prodotto degli spettri locali e <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong><br />
coerenza.<br />
2. Applicazione: calcolo della risposta delle torri del Kwang Ahn Bridge<br />
Si riportano <strong>di</strong> seguito i risultati dell’applicazione delle procedure esposte all’analisi delle<br />
torri del Kwang Ahn Bridge, un ponte sospeso in via <strong>di</strong> costruzione in Corea.<br />
Il ponte presenta un impalcato reticolare a doppia via, con una campata <strong>di</strong> largo <strong>di</strong> 650 m.<br />
Le torri sono costituite da due colonne verticali la cui sezione trasversale è riportata in Figura<br />
7.2.<br />
Sul ponte sono state effettuate prove in galleria del vento presso il Boundary Layer Wind<br />
Tunnel Laboratory della University of Western Ontario. Le prove sono state eseguite in tre<br />
tornate. Una prima serie <strong>di</strong> prove (gennaio 1994) è stata effettuata sul modello sezionale<br />
(7.1)<br />
(7.2)
<strong>Analisi</strong> della risposta delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce all’azione del vento<br />
dell’impalcato, volta alla determinazione<br />
dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici e delle velocità<br />
critiche <strong>di</strong> sincronizzazione e <strong>di</strong> galloping.<br />
Una seconda serie <strong>di</strong> prove (maggio 1994) è<br />
stata eseguita sul modello aeroelastico della<br />
torre, in assenza dei cavi <strong>di</strong> sospensione, al<br />
fine <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare la risposta in con<strong>di</strong>zioni<br />
<strong>di</strong> stabilità del moto e le velocità critiche.<br />
Infine una terza serie <strong>di</strong> prove è stata<br />
eseguita (ottobre 1994) sul modello<br />
aeroelastico completo del ponte, sia per<br />
saggiare il comportamento globale della<br />
struttura in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto stabile, sia<br />
per in<strong>di</strong>viduare le con<strong>di</strong>zioni critiche 1 .<br />
Le torri del ponte (Figura 7.1), come si<br />
accennava, sono costituite da due colonne<br />
verticali, <strong>di</strong> altezza pari a 107.50 m a partire<br />
dal piano <strong>di</strong> fondazione (7 m s.l.m.), poste<br />
Figura 7.1 - Torre del Kwang Ahn Bridge<br />
ad un interasse <strong>di</strong> 24 m e con sezione<br />
trasversale a forma <strong>di</strong> rettangolo smussato.<br />
Il lato corto del rettangolo è <strong>di</strong>sposto nella <strong>di</strong>rezione trasversale all’asse del ponte e ha<br />
lunghezza costante con la quota e pari a 4 m; il lato lungo del rettangolo, <strong>di</strong>sposto nella<br />
<strong>di</strong>rezione dell’asse del ponte ha una lunghezza variabile linearmente con la quota, da un<br />
massimo <strong>di</strong> 6.50 m alla base ad un minimo <strong>di</strong> 5 m in sommità. Le due colonne sono collegate<br />
me<strong>di</strong>ante elementi orizzontali a tre livelli: un primo elemento, a forma <strong>di</strong> arco, presenta<br />
l’estradosso ad una quota <strong>di</strong> 28.80 m rispetto alla base della torre; un secondo elemento a<br />
sezione rettangolare è <strong>di</strong>sposto con l’asse ad una quota <strong>di</strong> 39.30 m, sempre rispetto alla base<br />
della torre; infine un terzo elemento, a forma <strong>di</strong> doppio arco, collega le due colonne in testa,<br />
con asse ad una quota rispetto alla base della torre <strong>di</strong> 99 m.<br />
Il confronto tra i risultati sperimentali e quelli analitici va inteso a titolo <strong>di</strong> esempio. La non<br />
coincidenza della sezione trasversale delle colonne del modello (rettangoli smussati) con quella<br />
alla quale si riferiscono i coefficienti aero<strong>di</strong>namici ed i numeri <strong>di</strong> Strouhal utilizzati nei calcoli<br />
(quadrata), fa sì che non si possa sperare in uno spinto accordo tra i risultati ottenuti per via<br />
sperimentale e per via analitica. La assenza <strong>di</strong> risultati sperimentali ottenuti su un modello <strong>di</strong><br />
torre avente colonne con sezione trasversale più prossima a quella per la quale è <strong>di</strong>sponibile la<br />
caratterizzazione aero<strong>di</strong>namica (o viceversa l’assenza <strong>di</strong> dati aero<strong>di</strong>namici sulla sezione della<br />
torre presa in considerazione) fa sì che ci si debba accontentare <strong>di</strong> un tale tipo <strong>di</strong> confronto. E’<br />
comunque nelle intenzioni <strong>di</strong> chi scrive <strong>di</strong> effettuare ulteriori prove in galleria del vento al fine<br />
<strong>di</strong> poter <strong>di</strong>sporre dei dati necessari per un più esatto raffronto.<br />
Le prove in galleria del vento sono state effettuate su un modello aeroelastico costituito da<br />
un’anima, realizzata in profili <strong>di</strong> acciaio e volta a riprodurre le caratteristiche meccaniche della<br />
struttura, ed un involucro, realizzato in schiuma <strong>di</strong> polistirene e volto a riprodurre la geometria<br />
1 L’accesso ai risultati delle prove sperimentali è stato consentito dal dr. J. Peter C. King del Boundary<br />
Layer Wind Tunnel Laboratory, al quale devo per questo il mio ringraziamento.<br />
109
110<br />
Figura 7.2 - Sezione della torre del Kwang Ahn Bridge<br />
Capitolo VII<br />
della struttura. Per il progetto del modello è stata effettuata una analisi agli elementi finiti del<br />
prototipo, per in<strong>di</strong>viduarne le frequenze <strong>di</strong> oscillazione ed i mo<strong>di</strong> propri. Le prime quattro<br />
frequenze <strong>di</strong> oscillazione risultano nell’or<strong>di</strong>ne la prima trasversale, la prima longitu<strong>di</strong>nale, la<br />
prima torsionale e la seconda trasversale, ed i valori sono rispettivamente pari a:<br />
f = 0. 393 Hz f = 0. 977 Hz f = 136 . Hz f = 219 . Hz<br />
y1 x1 ϑ 1 y2<br />
I mo<strong>di</strong> propri trasversali e torsionale possono essere ben approssimati me<strong>di</strong>ante le seguenti<br />
funzioni polinomiali:<br />
µ<br />
µ<br />
y1<br />
y2<br />
µ ϑ1<br />
( z l ) 51 ( z l )<br />
3 2<br />
= -0.5 ⋅ + 1. ⋅<br />
( z l ) ( z l ) 16 ( z l )<br />
4 -5 3 2<br />
= -13.6 ⋅ + 30.4 ⋅10 ⋅ - ⋅<br />
( ) ( )<br />
3 2<br />
= -0.525 ⋅ z l + 1.31 ⋅ z l + 0.21⋅z<br />
l<br />
Il modello è stato ridotto in scala secondo Froude, con una scala delle lunghezze pari a<br />
1 200 , da cui consegue una scala dei tempi pari a 1 200 2 .<br />
2 Si ricorda che in un modello ridotto in scala secondo Froude la scala delle accelerazioni deve essere<br />
unitaria e pertanto la scala dei tempi pari alla ra<strong>di</strong>ce quadrata della scala delle lunghezze. Nel caso<br />
comune in cui gli esperimenti vengono effettuati usando aria a pressione atmosferica, anche la scala delle<br />
densità risulta fissata, ed in particolare risulta unitaria se gli esperimenti vengono eseguiti alla stessa<br />
quota a cui si trova il prototipo. Resta così un solo parametro libero per la definizione del modello, che<br />
viene fissato in base ai vincoli sulle <strong>di</strong>mensioni geometriche della sezione <strong>di</strong> prova.
<strong>Analisi</strong> della risposta delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce all’azione del vento<br />
A valle della taratura sul modello sono stati invece misurati i seguenti valori delle prime tre<br />
frequenze proprie:<br />
f = 0373 . Hz f = 0994 . Hz f = 120 . Hz<br />
y1 x1<br />
ϑ 1<br />
Sul modello viene inoltre letto un rapporto <strong>di</strong> smorzamento nel primo modo in assenza <strong>di</strong><br />
vento pari a:<br />
ξ sy1<br />
= 0. 003<br />
Il modello è stato strumentato me<strong>di</strong>ante strain gauges poste ad una quota <strong>di</strong> 2 m rispetto al<br />
piano <strong>di</strong> fondazione, in grado <strong>di</strong> misurare i valori del momento longitu<strong>di</strong>nale e trasversale in<br />
ciascuna colonna, e me<strong>di</strong>ante accelerometri posti ad una quota <strong>di</strong> 97 m rispetto al piano <strong>di</strong><br />
fondazione, in grado <strong>di</strong> misurare le due componenti <strong>di</strong> accelerazione longitu<strong>di</strong>nale e trasversale<br />
della sommità della torre.<br />
Il profilo delle velocità me<strong>di</strong>e viene espresso me<strong>di</strong>ante la legge <strong>di</strong> potenza (1.9) con un<br />
esponente α = 0.122:<br />
z<br />
U() z = U ⋅ ⎛ ⎞<br />
10 ⎜ ⎟<br />
⎝ 10⎠<br />
e viene in<strong>di</strong>viduata una altezza geostrofica pari a 200 m, e quin<strong>di</strong> una velocità <strong>di</strong> riferimento<br />
pari a:<br />
Uref U = 144 . 10<br />
L’intensità della componente longitu<strong>di</strong>nale della turbolenza risulta pari a 0.10 ad una quota<br />
<strong>di</strong> 10 m, e decrescente all’aumentare della quota, con un valore <strong>di</strong> 0.05 ad una quota<br />
corrispondente alla sommità della torre.<br />
La elevata rigidezza che la struttura presenta nel piano x-z fa sì che, in una prima analisi,<br />
sia sufficiente analizzare la risposta nella <strong>di</strong>rezione trasversale alla torre e quella torsionale.<br />
2.1 Risposta per vento parallelo all’asse del ponte<br />
Nel caso in cui la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del vento sia parallela all’asse del ponte la risposta nella<br />
<strong>di</strong>rezione trasversale alla torre risulta <strong>di</strong>saccoppiata dalla risposta torsionale, e questa seconda<br />
<strong>di</strong> entità notevolmente inferiore. Ci si limita pertanto <strong>di</strong> seguito a considerare solo la risposta<br />
flessionale nel piano trasversale alla torre.<br />
Si prende a caratterizzare le <strong>di</strong>mensioni della sezione trasversale delle colonne la lunghezza<br />
del lato corto del rettangolo, ossia l’ingombro visto dal vento che investe la sezione. Dalla<br />
Figura 6.8 è possibile leggere il valore del coefficiente <strong>di</strong> resistenza:<br />
0122 .<br />
111
112<br />
b= 4 m ⇒ s b= 6 ⇒ CD= 41 .<br />
Capitolo VII<br />
Il numero <strong>di</strong> Strouhal risulta pari a 0.116, ossia coincidente con quello relativo al cilindro<br />
isolato.<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> resistenza positivo garantisce che il moto sia incon<strong>di</strong>zionatamente stabile<br />
dal punto <strong>di</strong> vista del galloping.<br />
Facendo riferimento ai due valori della velocità me<strong>di</strong>a del vento rispettivamente pari a 10<br />
m/s e 30 m/s, i valori me<strong>di</strong> della risposta modale vengono calcolati me<strong>di</strong>ante la (3.24), e<br />
risultano rispettivamente pari a:<br />
η = 0. 078 m η = − 0. 00010 m U = 10 m s<br />
y1 y2<br />
10<br />
η = 0. 70 m η = − 0. 0094 m U = 30 m s<br />
y1 y2<br />
10<br />
I valori me<strong>di</strong> e fluttuanti del momento flettente alla base vengono calcolati utilizzando il<br />
proce<strong>di</strong>mento basato sull’uso delle linee d’influenza. La risposta fluttuante viene attribuita al<br />
solo effetto della turbolenza, trascurando il contributo dovuto al <strong>di</strong>stacco dei vortici, e pertanto<br />
viene calcolata a partire dallo spettro <strong>di</strong> questa, facendo riferimento all’espressione (1.4).<br />
Si ottengono in definitiva i seguenti valori per la me<strong>di</strong>a e lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o del<br />
momento flettente alla base:<br />
~<br />
M = 9. 69⋅10 N ⋅m M = 0. 154⋅10 N ⋅ m U = 10 m s<br />
6 6 -1<br />
10<br />
~<br />
M = 87.2⋅10 N ⋅m M = 4. 86⋅10 N ⋅ m U = 30 m s<br />
ed i seguenti valori <strong>di</strong> picco:<br />
6 6 -1<br />
10<br />
g = 3.17 ⇒ M$ = 10. 17⋅10 N ⋅ m U = 10 m s<br />
M<br />
g = 3.47 ⇒ M$ = 104. 1⋅10 N ⋅ m U = 30 m s<br />
M<br />
6 -1<br />
10<br />
6 -1<br />
10<br />
In Figura 7.3 vengono riportati i <strong>di</strong>agrammi rappresentanti i momenti flettenti trasversali<br />
alla base delle due colonne risultanti dalle prove in galleria del vento, in funzione della velocità<br />
me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> riferimento. Se ne desumono i seguenti valori me<strong>di</strong> e <strong>di</strong> picco:<br />
M = 10⋅10 N ⋅m M$ = 11⋅10 N ⋅ m U = 10<br />
m s<br />
6 6 -1<br />
10<br />
M = 89 ⋅10 N ⋅m M$ = 100⋅10 N ⋅ m U = 30 m s<br />
6 6 -1<br />
10<br />
-1<br />
-1
<strong>Analisi</strong> della risposta delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce all’azione del vento<br />
Figura 7.3 - Momento trasversale alla base delle due colonne per vento longitu<strong>di</strong>nale<br />
all’asse del ponte<br />
Il confronto tra i risultati sperimentali e quelli ricavati analiticamente mostra un accordo<br />
più che sod<strong>di</strong>sfacente in considerazione delle ipotesi semplificative che è stato necessario<br />
introdurre nella modellazione analitica e della non coincidenza della sezione trasversale della<br />
torre con quella a cui si riferisce il coefficiente <strong>di</strong> resistenza utilizzato nei calcoli.<br />
2.2 Risposta per vento ortogonale all’asse del ponte<br />
Nel caso in cui la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a del vento sia ortogonale all’asse del ponte la risposta<br />
nella <strong>di</strong>rezione trasversale alla torre risulta accoppiata a quella torsionale.<br />
Nella scelta della <strong>di</strong>mensione caratteristica della sezione trasversale bisogna in questo caso<br />
tenere presente due <strong>di</strong>fferenti aspetti. Da un lato la frequenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco dei vortici, così come<br />
il rapporto <strong>di</strong> separazione s/b sono dettati dalla larghezza della sezione trasversale. Dall’altro,<br />
per il calcolo della risposta nella <strong>di</strong>rezione trasversale bisogna tenere presente che questa è<br />
causata dalle pressioni agenti sulle facce laterali delle colonne, e pertanto la <strong>di</strong>mensione<br />
determinante è in questo caso la lunghezza della sezione. Dalle Figure 6.10, 6.12 e 6.14 è<br />
possibile leggere i valori del coefficiente <strong>di</strong> resistenza e delle derivate dei coefficienti <strong>di</strong><br />
portanza e <strong>di</strong> momento:<br />
b= 5 ÷ 650 . m ⇒ s b≈ 4 ⇒ C = 2. 6 C<br />
'<br />
= 019 . C<br />
'<br />
= −2.<br />
41<br />
Il numero <strong>di</strong> Strouhal risulta pari a 0.1.<br />
D L M<br />
113
114<br />
Figura 7.4 - Accelerazione trasversale in sommità della torre<br />
Capitolo VII<br />
La sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici in testa alla struttura con una delle due<br />
frequenze proprie flessionali e con quella torsionale avviene rispettivamente per i seguenti<br />
valori della velocità me<strong>di</strong>a del vento:<br />
U = 139 . m / s U = 44 . 5 m / s U = 813 . m / s<br />
csy1 csϑ 1 csy2<br />
In Figura 7.4 vengono riportati gli andamenti dei valori <strong>di</strong> picco delle accelerazioni in<br />
sommità in funzione della velocità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> riferimento. Il primo dei due <strong>di</strong>agrammi mostra il<br />
valore dell’accelerazione me<strong>di</strong>ato tra le due colonne, mentre il secondo mostra lo scarto tra i<br />
valori relativi alle due colonne. In questo modo è possibile cogliere dal primo <strong>di</strong>agramma le<br />
accelerazioni nella <strong>di</strong>rezione trasversale alla torre e dal secondo <strong>di</strong>agramma le accelerazioni<br />
torsionali.<br />
Dal primo dei due <strong>di</strong>agrammi è possibile vedere un picco della risposta per U 10 =10.4 m/s<br />
(U ref =15 m/s), che si attribuisce alla sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici con la prima<br />
frequenza propria della struttura. La <strong>di</strong>screpanza che si presenta tra il valore stimato e quello<br />
ricavato dalle prove in galleria del vento viene attribuita al fatto che il numero <strong>di</strong> Strouhal<br />
usato nei calcoli è quello relativo a colonne quadrate a spigoli vivi e non quello relativo alla<br />
sezione effettiva. La coincidenza delle velocità critiche <strong>di</strong> sincronizzazione misurata e calcolata<br />
si avrebbe se nei calcoli si usasse un valore del numero <strong>di</strong> Strouhal pari a 0.133. La prova da<br />
cui i <strong>di</strong>agrammi sono stati dedotti è stata interrotta ad una velocità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> riferimento <strong>di</strong> 70<br />
m/s (U 10 =47 m/s), e pertanto non è possibile verificare l’effetto della sincronizzazione del<br />
<strong>di</strong>stacco dei vortici con la seconda frequenza propria trasversale della struttura.
<strong>Analisi</strong> della risposta delle torri dei ponti <strong>di</strong> grande luce all’azione del vento<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
S ( f)<br />
CC<br />
L L<br />
0.0<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20<br />
Figura 7.5 - Spettro del coefficiente della forza trasversale per vento ortogonale<br />
all’asse del ponte<br />
Dal secondo dei due <strong>di</strong>agrammi è possibile vedere due picchi. Il secondo dei due, <strong>di</strong><br />
piccola entità, si presenta in corrispondenza <strong>di</strong> una velocità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> riferimento <strong>di</strong> 63 m/s<br />
(U10 =43.7 m/s), e viene attribuito alla sincronizzazione del <strong>di</strong>stacco dei vortici con la prima<br />
frequenza propria torsionale della struttura. In questo caso l’accordo tra la velocità calcolata e<br />
quella misurata è più che buono. Il basso valore del picco è dovuto al fatto che (cfr. paragrafo<br />
6.2) per un rapporto <strong>di</strong> separazione pari a 4 il <strong>di</strong>stacco dei vortici avviene in fase tra le due<br />
colonne, e pertanto l’effetto torcente è <strong>di</strong> modesta entità. Il primo dei due picchi, <strong>di</strong> entità<br />
notevolmente maggiore, si presenta in corrispondenza <strong>di</strong> un valore della velocità <strong>di</strong> riferimento<br />
pari a 36 m/s (U10 =25 m/s) e viene invece attribuito ad una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> galloping. La<br />
velocità critica <strong>di</strong> galloping è fortemente legata al valore dello smorzamento strutturale e<br />
pertanto il confronto tra il valore calcolato e quello misurato può essere effettuato solo qualora<br />
si conosca con sufficiente precisione il valore dello smorzamento strutturale relativo al modo<br />
considerato. In questo caso si può quin<strong>di</strong> solo affermare che la coincidenza del valore calcolato<br />
con quello misurato si avrebbe nel caso in cui lo smorzamento strutturale nel primo modo<br />
torsionale fosse pari a 0.0021.<br />
Lo scarto quadratico me<strong>di</strong>o della accelerazione in sommità viene calcolato, per una velocità<br />
me<strong>di</strong>a pari a 30 m/s, utilizzando le (2.40) e (2.37). In Figura 7.5 viene mostrato lo spettro della<br />
forzante ricavato dalle prove sul modello sezionale. Questo viene scisso in due aliquote, una<br />
dovuta alla turbolenza e l’altra all’effetto del <strong>di</strong>stacco dei vortici. Alla prima aliquota viene<br />
data una espressione lineare, con coefficiente angolare ed intercetta rispettivamente pari a<br />
0.00008 e 0.0025, mentre alla seconda viene data l’espressione (2.26), con B = 0.08 e<br />
~ s<br />
CL = 2 .<br />
Si ottengono in definitiva i seguenti risultati:<br />
~<br />
y&= 0. 498 m s g = 4.12 ⇒ y&$<br />
= 2. 05 m s<br />
-2 -2<br />
y&<br />
St<br />
115
116<br />
Capitolo VII<br />
Dal primo <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Figura 7.4 viene letto un valore dell’accelerazione <strong>di</strong> picco in<br />
sommità pari a:<br />
y &$<br />
= 1.2 m s -2<br />
In questo caso il confronto tra i risultati sperimentali e quelli ricavati analiticamente mostra<br />
un notevole scarto, la cui natura può <strong>di</strong>pendere da una delle tante approssimazioni che è stato<br />
necessario fare al fine <strong>di</strong> instaurare un confronto tra i risultati ottenuti con i due approcci. Una<br />
più rigorosa indagine volta alla validazione della metodologia che si è utilizzata potrebbe<br />
essere effettuata solo <strong>di</strong>sponendo dei risultati <strong>di</strong> prove su modello aeroelastico e su modello<br />
sezionale relativo alla stessa torre.
Bibliografia<br />
117<br />
Nello stu<strong>di</strong>o degli argomenti trattati è risultata estremamente utile la consultazione dei<br />
seguenti libri:<br />
• Clough R.W., Penzien J. - Dynamics of structures - 2nd e<strong>di</strong>tion, McGraw-Hill 1993<br />
un testo universitario <strong>di</strong> Dinamica delle Strutture estremamente completo. Oltre alla<br />
consueta trattazione dei sistemi ad uno e più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà vengono anche forniti<br />
elementi <strong>di</strong> base sui sistemi continui e <strong>di</strong> <strong>di</strong>namica aleatoria. Comprende inoltre<br />
elementi <strong>di</strong> Ingegneria Sismica<br />
• Simiu E., Scanlan R.H. - Wind effects on structures - 2nd e<strong>di</strong>tion, John Wiley & Sons<br />
1986<br />
un testo in<strong>di</strong>spensabile per chi si occupa <strong>di</strong> Ingegneria del Vento. Copre un ampio<br />
spettro <strong>di</strong> problemi relativi all’azione del vento sulle strutture civili. La vasta<br />
bibliografia che conclude ogni capitolo lo rende un utile punto <strong>di</strong> partenza per chi si<br />
avvia per la prima volta allo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un problema. Un capitolo <strong>di</strong> Dinamica<br />
Strutturale ed una appen<strong>di</strong>ce sui processi stocastici lo rendono inoltre autonomo da<br />
altri testi
118<br />
Bibliografia<br />
Nei seguenti lavori sono invece contenuti gli elementi <strong>di</strong> base da cui il presente stu<strong>di</strong>o si è<br />
mosso:<br />
• Davenport A.G. 1961b - The application of statistical concepts to the wind loa<strong>di</strong>ng of<br />
structures - Procee<strong>di</strong>ngs of the Institution of Civil Engineers, paper n° 6480 vol. 19<br />
può essere considerato un classico lavoro <strong>di</strong> Ingegneria del Vento. Introduce<br />
l’approccio probabilistico al calcolo della risposta all’azione eolica ed il concetto <strong>di</strong><br />
fattore <strong>di</strong> raffica. Affronta il problema del calcolo della risposta nella <strong>di</strong>rezione<br />
me<strong>di</strong>a del vento <strong>di</strong> una struttura puntiforme immersa in un flusso turbolento.<br />
Vengono inoltre fornite classiche espressioni per lo spettro della componente<br />
longitu<strong>di</strong>nale della turbolenza e per il fattore <strong>di</strong> raffica<br />
• Davenport A.G. 1987 - The response of slender structures to wind - Memoria presentata<br />
quale parte <strong>di</strong> un breve corso dal titolo “The application of Wind Engineering principles to<br />
the design of structures”, Lausanne, Switzerland<br />
tra i vari argomenti trattati vi è quello della risposta delle strutture allungate <strong>di</strong><br />
sezione circolare all’azione del vento. Viene introdotto un proce<strong>di</strong>mento che<br />
consente, tramite l’uso del concetto <strong>di</strong> linea d’influenza, <strong>di</strong> pervenire <strong>di</strong>rettamente ai<br />
valori me<strong>di</strong>o e fluttuante del generico parametro della risposta strutturale<br />
• <strong>Ricciardelli</strong> F. 1994 - Aerodynamics of a pair of square cylinders - M.E.Sc. Thesis,<br />
Faculty of Engineering Science, The University of Western Ontario, London, Ontario<br />
contiene i risultati <strong>di</strong> una indagine sperimentale volta a determinare le<br />
caratteristiche delle forze aero<strong>di</strong>namiche agenti su una coppia <strong>di</strong> cilindri a sezione<br />
quadrata posti in flussi laminare e turbolento. Vengono prese in considerazione<br />
quelle configurazioni nelle quali le sezioni trasversali dei due cilindri presentano<br />
facce parallele tra loro ed alla congiungente i centri<br />
• Solari G. 1994 - Gust-excited vibrations - Memoria presentata quale parte <strong>di</strong> un breve corso<br />
dal titolo “Wind-excited vibrations of structures”, H. Sockel e<strong>di</strong>tor, Springer Verlag, Wien<br />
viene fornita una trattazione matematica del problema della risposta delle strutture<br />
<strong>di</strong> forma allungata all’azione della turbolenza. Viene prima effettuata una analisi<br />
delle forze aero<strong>di</strong>namiche agenti sulla struttura e poi viene affrontata la risoluzione<br />
delle equazioni linearizzate del moto nel caso in cui queste risultino <strong>di</strong>saccoppiabili<br />
• Vickery B.J. 1971 - On the reliability of gust loa<strong>di</strong>ng factors - Transactions of the<br />
Australian Society of Civil Engineers, vol. 13<br />
tratta il problema del fattori <strong>di</strong> raffica per strutture non puntiformi. Viene fornita<br />
una espressione semplificata del fattore <strong>di</strong> raffica che tenga conto del modo <strong>di</strong><br />
vibrare della struttura e della non piena coerenza spaziale della turbolenza<br />
• Vickery B.J., Clark A.W. 1972 - Lift or acrosswind response of tapered stacks - Journal of<br />
the Structural Division, Procee<strong>di</strong>ngs of the American Society of Civil Engineers, vol. 98
viene fonito un modello per il calcolo della risposta nella <strong>di</strong>rezione ortogonale a<br />
quella del vento <strong>di</strong> ciminiere a sezione variabile con la quota. Particolare<br />
importanza viene data all’azione dovuta al <strong>di</strong>stacco dei vortici, e viene analizzata in<br />
termini qualitativi e quantitativi la coerenza <strong>di</strong> questa con la quota<br />
Altre utili informazioni sono state tratte dai seguenti lavori:<br />
119<br />
• Basu R.I., Vickery B.J. 1983 - Across-wind vibration of structures of circular crosssection,<br />
part 2, development of a mathematical model for full scale application - Journal<br />
of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, vol. 12<br />
• Blessmann J., Riera J.D. 1979 - Interaction effects in neighbouring tall buil<strong>di</strong>ngs - 5th International conference on Wind Engineering, Fort Collins, Colorado<br />
• Davenport A.G. 1961a - A statistical approach to the treatment of wind loa<strong>di</strong>ng on tall<br />
masts and suspension bridges - Ph.D. Thesis, Department of Civil Engineering, University<br />
of Bristol, Bristol, U.K.<br />
• Davenport A.G. 1961c - The spectrum of the horizontal gustiness near the ground in high<br />
winds - Journal of the Royal Meteorological Society n° 87<br />
• Davenport A.G. 1964 - Note on the <strong>di</strong>stribution of the largest value of a random function<br />
with application to gust loa<strong>di</strong>ng - Procee<strong>di</strong>ngs of the Institution of Civil Engineers, paper<br />
n° 6739 vol. 28<br />
• Davenport A.G. 1967 - Gust loa<strong>di</strong>ng factors - Journal of the Structural Division,<br />
Procee<strong>di</strong>ngs of the American Society of Civil Engineers, vol. 93<br />
• Den Hartog J.P. 1956 - Mechanical vibrations - 4th e<strong>di</strong>tion, McGraw-Hill<br />
• Eiffel G. 1885 - Projet d’une tour en fer de 300 metres de hauteur - Memoires de la<br />
Societè des Ingenieurs Civils, vol. 1<br />
• Hangan H., Vickery B.J. 1994 - About a 2D wake model for bluff bo<strong>di</strong>es, smooth and<br />
turbulent flow results - Interim Report BLWT-SS11 The Boundary Layer Wind Tunnel<br />
Laboratory, The University of Western Ontario, London, Ontario<br />
• Hangan H., Vickery B.J. 1995 - A semi-empirical wake model for two-<strong>di</strong>mensional (sharp<br />
edged) bluff bo<strong>di</strong>es, smooth and turbulent flow results - 9th International Conference on<br />
Wind Engineering, New Delhi<br />
• Hartlen R.T., Currie I.G. 1970 - Lift-oscillator model of vortex-induced vibration - Journal<br />
of the Engineering Mechanics Division, Procee<strong>di</strong>ngs of the American Society of Civil<br />
Engineers, vol. 96<br />
• Kaimal J.C. et al. 1972 - Spectral characteristics of surface-layer turbulence - Journal of<br />
the Royal Meteorological Society n. 98
120<br />
Bibliografia<br />
• Kristiansen L., Jensen N.O. 1979 - Lateral coherence in isotropic turbulence and in the<br />
natural wind - Boundary Layer Metereology, n. 17<br />
• Lumley J.L. e Panofsky H.A. 1964 - The structure of atmospheric turbulence - John Wiley<br />
& Sons, 1964<br />
• Novak M. 1972 - Galloping oscillations of prismatic structures - Journal of the<br />
Engineering Mechanics Division, Procee<strong>di</strong>ngs of the American Society of Civil Engineers,<br />
vol. 98<br />
• Parkinson G.V, Brooks N.P.H. 1961 - On the aeroelastic instability of bluff cylinders -<br />
Journal of the Engineering Mechanics Division, Procee<strong>di</strong>ngs of the American Society of<br />
Civil Engineers, vol. 84<br />
• Provis W.A. 1841 - Observations on the effects of wind on the suspension bridge over the<br />
Menai Straits, more especially with reference to the injuries which its roadway sustained<br />
during the storm of January 1939 - Minutes of the Procee<strong>di</strong>ngs of the Institution of Civil<br />
Engineers, vol. 1<br />
• Reinhold T.A., Tieleman H.W., Maher F. 1977 - Interaction of square prisms in two flow<br />
fields - Journal of Industrial Aerodynamics, vol. 2 n. 3<br />
• <strong>Ricciardelli</strong> F., Vickery B.J. 1994 - Wind loads on a pair of long prisms of square crosssection<br />
- IN-VENTO-94, 3° Convegno Nazionale <strong>di</strong> Ingegneria del Vento, Roma<br />
• <strong>Ricciardelli</strong> F., Vickery B.J. 1995 - Vortex shed<strong>di</strong>ng triggering and wake interference<br />
between two square cylinders in a two-<strong>di</strong>mensional flow field - XII Congresso Nazionale<br />
dell’Associazione Italiana <strong>di</strong> Meccanica Teorica ed Applicata, Napoli<br />
• Sakamoto H., Haniu H. 1988 - Aerodynamic forces acting on two square prisms placed<br />
vertically in a turbulent boundary layer - Journal of Wind Engineering and Industrial<br />
Aerodynamics, vol. 31<br />
• Scanlan R.H., Tomko J.J. 1971- Airfoil and bridge deck flutter derivatives - Journal of the<br />
Engineering Mechanics Division, Procee<strong>di</strong>ngs of the American Society of Civil Engineers,<br />
vol. 97<br />
• Shiotani M. 1967-1971 - Structure of gusts in high winds - The Physical Sciences<br />
Laboratory, Nikon University, Furabashi, Chiba, Japan<br />
• Skop R.A., Griffin O.M. 1975 - On a theory for the vortex-excited oscillation of flexible<br />
cylindrical structures - Journal of Sound and Vibration, vol, 41<br />
• Theodorsen T. 1935 - General theory of aerodynamic instability and the mechanism of<br />
flutter - NACA report n° 496<br />
• Vickery B.J., Basu R.I. 1983 - Across-wind vibration of structures of circular crosssection,<br />
part 1, development of a mathematical model for two-<strong>di</strong>mensional con<strong>di</strong>tions -<br />
Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, vol. 12
• Zdravkovich M.M., Pridden D.L. 1977 - Interference between two circular cylinders;<br />
series of unexpected <strong>di</strong>scontinuities - Journal of Industrial Aerodynamics, vol. 2<br />
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