Geometrie non Euclidee - Istituto Cambi-Serrani
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dimostrazione sarebbe stata più semplice con l'introduzione di esso. Si direbbe dunque che Euclide abbia cercato di ottenere il maggior numero di proposizioni senza utilizzare il V postulato. Per spiegare questo modo di procedere potremmo ipotizzare che Euclide abbia cercato di dimostrare il V postulato partendo dai primi quattro per ottenerlo come teorema. Non giungendo però alla dimostrazione, essendo tuttavia convinto della verità di tale proposizione, la inserì fra i postulati. Dunque il primo uomo a sfidare Euclide fu Euclide stesso! Euclide non riuscì a dimostrare il V postulato e a depennarlo dalle proposizioni primitive, da allora, per più di 20 secoli, tutta la matematica occidentale cercherà di farlo. A tal scopo si offrono due possibilità: - ottenere una dimostrazione del V postulato a partire dagli altri e dalle proposizioni da essi dedotte. - determinare una proposizione equivalente al V postulato, ma che risulti evidente e si possa annoverare senza difficoltà fra i postulati. Dopo Euclide numerosissimi furono i tentativi di dimostrare il V postulato, fino ad arrivare ai più significativi dell’epoca recente: Gerolamo Saccheri 1733, Karl Friedrich Gauss , Adrien- Marie Legendre inizio sec.XIX Farkas Bolyai inizio sec.XIX Nella seconda metà del secolo XVIII il problema di dedurre il V postulato dalla geometria neutrale( geometria che prevedeva solamente i primi quattro postulati della geometria euclidea), che fu definito da D'Alambert come "le scandale des elements de géométrie", si era imposto come indifferibile all'attenzione dei matematici. Ma prima o poi la difficoltà del problema avrebbe indotto qualcuno a concludere che la sua soluzione era impossibile. Il primo a farlo in uno scritto pubblicato fu G.S.Klügel (1739-1812), studente di dottorato presso l'università di Gottinga. Assistito dal suo relatore, A.G.Kästner, Klügel esaminò 28 tentativi di dimostrazione del V postulato (compreso quello di Saccheri), trovandoli tutti insoddisfacenti, e avanzò l'ipotesi che il postulato non fosse dimostrabile,ma fosse avvalorato solo dal giudizio dei nostri sensi. Egli non era in grado di dimostrare la sua affermazione, ma la sua idea fu presa sul serio e suscitò tra i matematici l'interesse che portò alla scoperta della geometria non euclidea. Dal punto di vista logico c'è solo un piccolo passo tra le due tesi seguenti: 1) la geometria neutrale di per sé non implica il V postulato; 2) è logicamente possibile una geometria alternativa a quella di Euclide. Per passare da 1) a 2) i matematici impiegarono mezzo secolo! I FONDATORI DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE Sembra che la geometria non euclidea sia stata scoperta almeno quattro volte in 20 anni. Scoperte simultanee indipendenti non sono rare nella storia della scienza e della matematica, specialmente in periodi in cui molti studiosi si dedicano allo stesso problema e le comunicazioni fra di loro sono scarse. Il primo ad avere una chiara visione di una geometria coerente in cui il V postulato fosse
sostituito dalla sua negazione sembra esser stato Gauss attorno al 1813. In seguito, alla fine del 1818, egli ricevette una lettera di Ferdinand Schweikart che lo informava di esser giunto in modo indipendente a conclusioni sostanzialmente identiche. Nel 1831 poi, Gauss ricevette da Farkas Bolyai una copia di un trattato sulla geometria non euclidea che suo figlio János Bolyai era in procinto di pubblicare. Infine, tra i fondatori della geometria non euclidea va citato Nicolaj Ivanovic Lobacevskij che, in anticipo su Bolyai, aveva pubblicato nel 1830 un articolo sull'argomento. Pare che Gauss, ancora quindicenne, pensasse alla possibilità di costruire una geometria coerente partendo dalla negazione del V postulato; egli poi sembrò convinto, come del resto lo erano gli ambienti matematici di Gottinga, della ineluttabile necessità del postulato euclideo. Solo assai lentamente, a partire dal 1813, si fece strada in lui una geometria diversa da quella euclidea. Gauss fu il primo ad avere una chiara visione da una geometria coerente in cui il V postulato fosse sostituito dalla sua negazione. L'idea era nata dopo circa 20 anni di sporadici tentativi di dimostrare il V postulato. Le riflessioni che Gauss andava elaborando sull'argomento non furono mai pubblicate in vita. Egli infatti preferì affidarle a lettere private che scriveva agli amici pregandoli di mantenere il silenzio per evitare "le strida dei Beoti". Queste prese di posizione da parte di Gauss sono una testimonianza del clima culturale sfavorevole che circondava questo primo svilupparsi delle prospettive non euclidee; egli temeva infatti di cadere nel ridicolo presso i matematici del tempo che non avrebbero compreso i suoi risultati. Gauss diceva infatti di provare "una grande avversione a esser trascinato in una qualunque polemica". I Beoti di cui parla Gauss sono quasi sicuramente i seguaci di Kant, i quali ritengono che la geometria sia una forma di conoscenza sintetica ma a priori. Ma gli appunti allora abbozzati furono presto interrotti quando nel 1832 gli giungeva tra le mani una prima pubblicazione sulla geometria non euclidea ad opera di Janos Bolyai. Janos Bolyai (1802-1860), nonostante le esortazioni del padre a non occuparsi delle questioni relative al V postulato che erano state per lui fonte di lunghi e vani sforzi, fece della teoria delle parallele l'oggetto preferito delle sue riflessioni. Dopo alcuni inutili tentativi di dimostrazione del V postulato, estese le sue ricerche nella direzione della geometria assoluta, e nel 1823 aveva già trovato alcune formule fondamentali della geometria non euclidea (nonostante fosse inizialmente deciso a dimostrare il V postulato). La "scienza dello spazio assolutamente vera" che Bolyai annunciava era la geometria indipendente dal postulato delle parallele, di cui i primi 28 teoremi degli Elementi di Euclide erano un esempio elementare. Egli considerava poi le formule fondamentali della trigonometria sferica, che è indipendente dal postulato euclideo. Sia il giovane Bolyai sia Gauss ignoravano che già da tempo idee analoghe avevano visto la luce a Kazan in Russia per opera di Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856). Professore presso l'università di quella città, Lobacevskij i fin dal 1817 aveva intrapreso una
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dimostrazione sarebbe stata più semplice con l'introduzione di esso. Si direbbe dunque che<br />
Euclide abbia cercato di ottenere il maggior numero di proposizioni senza utilizzare il V<br />
postulato. Per spiegare questo modo di procedere potremmo ipotizzare che Euclide abbia<br />
cercato di dimostrare il V postulato partendo dai primi quattro per ottenerlo come teorema.<br />
Non giungendo però alla dimostrazione, essendo tuttavia convinto della verità di tale<br />
proposizione, la inserì fra i postulati.<br />
Dunque il primo uomo a sfidare Euclide fu Euclide stesso!<br />
Euclide <strong>non</strong> riuscì a dimostrare il V postulato e a depennarlo dalle proposizioni primitive, da<br />
allora, per più di 20 secoli, tutta la matematica occidentale cercherà di farlo.<br />
A tal scopo si offrono due possibilità:<br />
- ottenere una dimostrazione del V postulato a partire dagli altri e dalle proposizioni da essi<br />
dedotte.<br />
- determinare una proposizione equivalente al V postulato, ma che risulti evidente e si possa<br />
annoverare senza difficoltà fra i postulati.<br />
Dopo Euclide numerosissimi furono i tentativi di dimostrare il V postulato, fino ad arrivare ai<br />
più significativi dell’epoca recente: Gerolamo Saccheri 1733, Karl Friedrich Gauss , Adrien-<br />
Marie Legendre inizio sec.XIX Farkas Bolyai inizio sec.XIX<br />
Nella seconda metà del secolo XVIII il problema di dedurre il V postulato dalla geometria<br />
neutrale( geometria che prevedeva solamente i primi quattro postulati della geometria<br />
euclidea), che fu definito da D'Alambert come "le scandale des elements de géométrie", si era<br />
imposto come indifferibile all'attenzione dei matematici.<br />
Ma prima o poi la difficoltà del problema avrebbe indotto qualcuno a concludere che la sua<br />
soluzione era impossibile. Il primo a farlo in uno scritto pubblicato fu G.S.Klügel (1739-1812),<br />
studente di dottorato presso l'università di Gottinga.<br />
Assistito dal suo relatore, A.G.Kästner, Klügel esaminò 28 tentativi di dimostrazione del V<br />
postulato (compreso quello di Saccheri), trovandoli tutti insoddisfacenti, e avanzò l'ipotesi che<br />
il postulato <strong>non</strong> fosse dimostrabile,ma fosse avvalorato solo dal giudizio dei nostri sensi.<br />
Egli <strong>non</strong> era in grado di dimostrare la sua affermazione, ma la sua idea fu presa sul serio e<br />
suscitò tra i matematici l'interesse che portò alla scoperta della geometria <strong>non</strong> euclidea.<br />
Dal punto di vista logico c'è solo un piccolo passo tra le due tesi seguenti:<br />
1) la geometria neutrale di per sé <strong>non</strong> implica il V postulato;<br />
2) è logicamente possibile una geometria alternativa a quella di Euclide.<br />
Per passare da 1) a 2) i matematici impiegarono mezzo secolo!<br />
I FONDATORI DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE<br />
Sembra che la geometria <strong>non</strong> euclidea sia stata scoperta almeno quattro volte in 20 anni.<br />
Scoperte simultanee indipendenti <strong>non</strong> sono rare nella storia della scienza e della matematica,<br />
specialmente in periodi in cui molti studiosi si dedicano allo stesso problema e le<br />
comunicazioni fra di loro sono scarse.<br />
Il primo ad avere una chiara visione di una geometria coerente in cui il V postulato fosse
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